CURSOLOGICA-08-apen1

7/27/2019 CURSOLOGICA-08-apen1

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Apndice 1Reglas y leyes lgicas

1. Reglas lgicas

Tal como ya se ha visto, una regla lgica, o regla de inferencia (deductiva), esuna forma vlida de razonamiento que es empleada en cada caso para inferirdeductivamente un enunciado a partir de otros. La simplicidad, el carcter evidente, suuso a lo largo de la historia de la lgica y, sobre todo, el hecho de representarpropiedades bsicas de las expresiones lgicas estn entre las razones que conducena la adopcin de una forma de razonamiento como regla de inferencia. Son reglas enel sentido de quepermiten la afirmacin de la conclusin a partir de premisas. (En estesentido, son reglas de permisin: expresan que est permitido inferir vlidamente laconclusin a partir de las premisas.)

Por analoga con los razonamientos, se hablar de premisas y conclusin deuna regla de inferencia. Puesto que son formas vlidas de razonamiento, se dar paracualquier ejemplo de sustitucin de una regla lgica que si sus premisas sonverdaderas, la conclusin deber ser verdadera. El nmero de reglas de inferencia esinfinito (del mismo modo que lo es el nmero de formas vlidas de razonamiento).

Los lgicos han propuesto diferentes conjuntos finitos de reglas, seleccionadas,como se ha mencionado ya, por su evidencia, simplicidad o utilidad. Estos conjuntosconstituyen sistemas de reglas que pueden ser vistos como mquinas lgicas cuyafuncin es realizar inferencias a partir de informacin dada o determinar si undeterminado razonamiento es vlido. As, pueden ofrecerse conjuntos de reglas,consideradas ms elementales o bsicas, que sirvan para obtener potencialmentetodas las restantes reglas, las que sern reglas derivadas o secundarias. As sucede,

por ejemplo, en la deduccin natural con las reglas propias.A continuacin, se ofrece una lista de reglas lgicas. Todas ellas muestran

propiedades lgicas interesantes o han cumplido un papel importante en la historia dela lgica y se las ha tomado como ejemplos tpicos de lo que se entiende por ladeduccin. Algunas de ellas ya han sido tomadas en consideracin, pues funcionancomo las reglas bsicas del mtodo de deduccin natural. Por lo dems, la validez decualquier regla lgica de esta lista puede demostrarse mediante este mtodo.

La doble lnea horizontal ( ) indicar que la deduccin vale para amboslados (esto es lo que se llama regla de equivalencia).


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1.1 Reglas de cuantificadores:

Descenso cuantificacional: x [ ]x________

x [ ]x

Conmutatividad del cuantificador universal: xy [ ]xy

yx [ ]xy

Conmutatividad del cuantificador existencial: xy [ ]xy

yx [ ]xy

Conmutatividad del cuantificador existencial y el universal:

xy [ ]xy_________

yx [ ]xy

1.2. Reglas de conjuncin y de disyuncin:

Producto Lgico: [ ]

_______

[ ]

Simplificacin: [ ] [ ] _______ _______

[ ]

Adicin: [ ] _______ ______

[ ] [ ]

1.3. Reglas del condicional

Modus Ponens: [ ]

[ ] _______

Silogismo Hipottico: [ ]

{ }_______

[ ] { }


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1.7. Silogismo disyuntivo [ ] [ ]

[ ] _______ _______

[ ]

1.8. Dilemas

Simple: [ ]

[ ] { }

{ }________{ }

Complejo: [ ] [ ] { }

| |________

{ } | |

1.9. Reglas de sustitucin de variable ligada: x [ ]x x [ ]x_______ ________

y [ ]y y [ ]y

1.10. Reglas de equivalencia de cuantificadores

x [ ]x x [ ]x

x [ ]x x [ ]x

Interdefinicin de cuantificadores:

x [ ]x x [ ]x

x [ ]x x [ ]x

1.11. Reglas de De Morgan ([ ] ) ([ ] ) [ ] [ ]


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1.12. Reglas de Equivalencia de conectivas:

Condicional: (a) [ ]

[ ]

(b) [ ]

([ ] )

Disyuncin: (a) [ ]

([ ] )

(b) [ ]

[ ]

Conjuncin: (a) [ ]

([ ] )

(b) [ ]

([ ] )

Bicondicional: [ ]

([ ] ) ( [ ])

Definicin del condicional mediante el bicondicional:

[ ]

[ ] ([ ] )

Disyuncin exclusiva: (a) [ ] w (b) [ ] w

([ ] ) ([ ] ([ ] )

1.13. Reglas de Distribucin de Cuantificadores

Cuantificador universal: x([ ]x x)

x [ ]x x x

x([ ]x x)

_______________x [ ]x x x

x([ ]x y y)________________

x[ ]x x x


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Cuantificador existencial: x([ ]x x)

x [ ]x x x

x [ ]x x x______________

x([ ]x x)

x [ ]x x x______________

x([ ]x x)

1.14. Reglas booleanas (propiedades de conjuncin y disyuncin)

Conmutatividad: (a) [ ] (b) [ ]

[ ] [ ]

Asociatividad: (a) ([ ] ) { } (b) ([ ] ) { }

[ ] ( { }) [ ] ( { })

Distributividad: (a) [ ] ( { }) (b) [ ] ( { })

([ ] ) ([ ] { }) ([ ] ) ([ ] { })

Idempotencia: (a) [ ] [ ] (b) [ ] [ ] [ ] [ ]

Absorcin: (a) [ ] ([ ] ) (b) [ ] ([ ] )

[ ] [ ]

Contradiccin: (a) ([ ] [ ]) (b) ([ ] [ ])

[ ] [ ])


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1.15. Regla de equivalencia de doble negacin: [ ][ ]

1.16. El modus barbara de la silogstica:

x ( x { }x)

x ([ ]x x)_____________

x ([ ]x { }x)

2. Leyes lgicas

Las reglas de inferencia constituyen el ncleo de la lgica, sus entidades bsicas,por as decirlo, ya que son formas lgicas de razonamiento. Sin embargo, es posibleotro enfoque en el cual la lgica aparece fundamentalmente como la ciencia de las

leyes lgicas. Una ley lgica es una forma de enunciado, cuyas instancias son todasverdaderas, son verdades necesarias, enunciados verdaderos en toda circunstancia,sin poder ser nunca falsos. El paralelismo con las reglas de inferencia salta a la vista.Las leyes lgicas pueden verse como un caso extremo de reglas lgicas, esto es,como reglas lgicas que no tienen premisas. Pinsese en la definicin de forma vlidade razonamiento basada en el concepto de verdad: Todo ejemplo de sustitucin quetenga premisas verdaderas tendr tambin conclusin verdadera. Una ley lgicatendr todo caso de sustitucin verdadero, de modo que, vista como una regla, noimporta qu enunciado o enunciados se coloquen como premisas, la conclusin sersiempre verdadera, de modo que siempre ser una regla vlida. Y esta es una manerade interpretar el hecho de que sus casos son verdaderos en toda circunstancia:cualquier condicin los har siempre verdaderos. Aqu se considerar, entonces, el

concepto de regla lgica como primario o bsico y el de ley lgica como secundario,derivado o definido.

2.1 Los tres principios lgicos clsicos

Principio de identidad: [ ] [ ].

Principio de no contradiccin: ([ ] [ ]).

Principio de tercero excluido: [ ] [ ].

2.1.1. Versiones generalizadas

Principio de no contradiccin generalizado: (x[ ]x x[ ]x)

Principio de tercero excluido generalizado: x[ ]x x[ ]x


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