Cursul 13Integrale ale functiilor reale scalar-scalare

Necesit¼ati practice legate �e de determinarea matematic¼a a st¼arii unui proces dinamic c¼aruiaîi este cunoscut¼a viteza de evolutie, �e de calculul unor caracteristici numerice de ordin geometric(precum lungimi, arii si volume), �zic (ca, de exemplu, momente de inertie, valori de potentiale silucru mecanic), deterministic (coordonate de pozitie ori centre de greutate) sau probabilist-stochastic(densit¼ati de probabilitate, medii si dispersii pentru variabile aleatoare continue) ale anumitor entit¼atipot � solutionate, în dese rânduri, prin folosirea adecvat¼a a notiunii de integral¼a. Amintind aicidespre integrala nede�nit¼a si despre integrala Riemann a unei functii reale scalar-scalare, avem învedere înc¼a tipurile de integrale improprii (pe intervale nem¼arginite sau din integranzi nem¼arginiti),cât si integralele cu parametri, între care functiile � (gamma) si B (beta), ale lui Euler, sunt prezentate,pe scurt, în �nal.

Integrale nede�nite. Primitive

Fie I � R un interval cu interior nevid si f : I ! R.

De�nitia 13.1 a) O functie F : I ! R se numeste primitiv¼a (pe intervalul I) a functiei f dac¼aF este derivabil¼a pe I si F 0(x) = f(x), 8x 2 I.

b) Dac¼a f are cel putin o primitiv¼a pe I, atunci f se numeste functie primitivabil¼a pe I si acestfapt se noteaz¼a prin f 2 P(I).

c) Dac¼a f 2 P(I), atunci multimea tuturor primitivelor (pe I) ale functiei f poart¼a denumirea deintegrala nede�nit¼a a lui f pe I si se noteaz¼a cu

Zf(x) dx.

Observatii:

i) Dac¼a f 2 P(I) si F : I ! R este o primitiv¼a a lui f (pe I), atunci toate primitivele functieif sunt de forma F + c, unde c este o constant¼a real¼a. Aceasta deoarece, oricare alt¼a primitiv¼a(decât F ) a lui f are derivata egal¼a cu a lui F (adic¼a f) pe I si deci difer¼a de F printr-o constant¼a

(real¼a) c. Asadar:Zf(x) dx = F (x) + c, 8x 2 I.

ii) Dac¼a f : I ! R este o functie derivabil¼a pe I, atunci ea este o primitiv¼a (pe I) a functiei f 0 sideci

Rf 0(x) dx = f(x) + c, 8x 2 I, unde c este o constant¼a real¼a arbitrar¼a.

iii) Determinarea unei primitive F; a lui f , pe intervalul I, se numeste (operatie de) integrare a luif pe I. Integrarea este "inversa" operatiei de diferentiere a unei functii f : I ! R, cu primitivaF : I ! R, deoarece avem:

d

�Zf(x) dx

�= d (F (x) + c) = (F + c)0 (x) dx = F 0(x)dx = f(x)dx si

ZdF (x) =

ZF 0(x) dx =

Zf(x) dx = F (x) + c;8x 2 I; c 2 R:

iv) Multimea P(I) (a functiilor primitivabile pe intervalul I � R) este nevid¼a, întrucât orice functiecontinu¼a pe I are primitive pe I, adic¼a ? 6= C(I;R) � P(I). În plus, din punct de vedere

algebric, P(I) este un subspatiu liniar real al spatiului vectorial (peste R) F(I;R), deoarece,pentru orice f; g 2 P(I) si �; � 2 R, avem �f + �g 2 P(I) siZ

(�f(x) + �g(x)) dx = �

Zf(x) dx+ �

Zg(x) dx; pe I:

v) P(I) este parte a multimii functiilor f care au proprietatea lui Darboux pe I (8x1; x2 2 I,8� 2 R cuprins strict între f(x1) si f(x2), 9 ex din intervalul deschis cu extremit¼atile x1 si x2,astfel încât f(ex) = �). Aceasta întrucât, �ind derivat¼a a oric¼areia dintre primitivele sale, ofunctie f 2 P(I) are, în mod necesar, proprietatea mentionat¼a. Prin urmare, dac¼a o functief : I ! R nu are proprietatea lui Darboux pe I, atunci ea nu este primitivabil¼a pe I.

Ca metode de calcul pentru primitive , indic¼am folosirea tabelului integralelor nede�nite aleunor functii elementare, integrarea prin p¼arti, integrarea prin transform¼ari algebrice si trigonometrice,integrarea prin substitutii si utilizarea, în anumite cazuri, a unor formule de recurent¼a.

Tabelul speci�cat cuprinde urm¼atoarele primitive uzuale :

Zx� dx =

8>><>>:x�+1

�+ 1; � 2 R n f�1g

ln jxj; � = �1+ c; x 2 I � R; c 2 R;

Zdx

x2 � a2 =1

2aln

����x� ax+ a

����+ c; Zdx

x2 + a2=1

aarctg

x

a+ c; a 2 R�;Z

dxpx2 + a2

= ln�x+

px2 + a2

�+ c;

Zdxpa2 � x2

= arcsinx

jaj + c; a 2 R�;Z

ax dx =1

ln aax + c; a 2 R�+ n f1g; x 2 I � R; c 2 R;Z

sinx dx = � cosx+ c;Zcosx dx = sinx+ c; c 2 R;Z

shx dx =

Zex � e�x

2dx = chx+ c;

Zchx dx =

Zex + e�x

2dx = shx+ c; x 2 I:

Integrarea prin p¼arti , aplicabil¼a ori de câte ori avem de-a face cu dou¼a functii f si g : I ! R,derivabile si cu derivatele f 0 si respectiv g0 continue pe I, se face în conformitate cu formulaZ

f 0(x)g(x) dx = f(x)g(x)�Zf(x)g0(x) dx; x 2 I;

care, în virtutea relatiilor f 0(x)dx = (df) (x), g0(x)dx = (dg) (x) si d(fg) = f(dg) + g(df), pe I, poate� redat¼a si prin: Z

g(x)(df)(x) = f(x)g(x)�Zf(x)(dg)(x); x 2 I:

Aplicarea acestei formule permite, de exemplu, între altele, completarea tabelului de primitiveimediate cu urm¼atoarele integrale nede�nite:Z p

a2 � x2 dx = x

2

pa2 � x2 + a2

2arcsin

x

jaj + c; a 2 R�+; jxj < a; c 2 R;

Z px2 � a2 dx = x

2

px2 � a2 � a2

2ln���x+px2 � a2���+ c; a 2 R�; x 2 I; c 2 R;

Zlnx dx = x(lnx� 1) + c; x 2 I � R�+; c 2 R:

Tot integrarea prin p¼arti este recomandat¼a, ca metod¼a de calcul, în cazul integralelor de formaZPn(x)f(x) dx;

unde Pn 2 R[X] si f este una dintre functiile elementare ex, lnx, arcsinx, arccosx, arctg x, arcctg x,ax, loga x etc. Prin aplicarea acestei metode, se reduce treptat, cu câte o unitate la �ecare utilizare(repetat¼a) a integr¼arii prin p¼arti, gradul polinomului Pn (n 2 N).

Metoda transform¼arilor algebrice se foloseste, cu prec¼adere, pentru calculul primitivelor unor

functii rationale, de forma f(x) =P (x)

Q(x), unde P si Q sunt din R[X], de�nite pe un interval I � R, cu

�I 6= ? si Q(x) 6= 0 pe I. Cum, potrivit unui rezultat cunoscut din algebr¼a, orice functie rational¼a sedescompune, în mod unic, într-o sum¼a de fractii rationale "simple", în conformitate cu formula

(�) f(x) =P (x)

Q(x)= G(x) +

H(x)

Q(x)= G(x) +

X1

Ak;m(x� xk)m

+X

2

Bk;mx+ Ck;m(x2 + pkx+ qk)m

; x 2 I;

în care G este un polinom (nul, când gradP < gradQ), H tot un polinom (cu gradul strict mai micdecât gradul lui Q si identic cu P; atunci când gradP < gradQ),

X1este o sum¼a relativ¼a la toate

r¼ad¼acinile reale xk (simple si multiple) ale lui Q, iarX

2se raporteaz¼a la toate r¼ad¼acinile complexe

(simple si multiple) ale lui Q (cu pk; qk 2 R; asa încât p2k � 4qk < 0), integrarea lui f revine ladeterminarea primitivelor tuturor componentelor din suma de descompunere (�).

În cazul în care polinomul Q are r¼ad¼acini multiple, calculul primitivei functiei rationaleP (x)

Q(x)se

mai poate face si prin metoda lui Gauss-Ostrogradski , bazat¼a pe formula

(��)ZP (x)

Q(x)dx =

P1(x)

Q1(x)+

ZP2(x)

Q2(x)dx; x 2 I;

unde Q1 2 R[X] este cel mai mare divizor comun al polinoamelor Q si Q0 (derivata lui Q), Q2 =Q

Q1,

iar P1 si P2 sunt polinoame care au gradul cu o unitate mai mic decât gradQ1 si respectiv gradQ2,determinarea lor realizându-se prin derivarea relatiei (��), adic¼a pe baza relatiei

P (x)

Q(x)=P 01(x)Q1(x)� P1(x)Q01(x)

Q21(x)+P2(x)

Q2(x); x 2 I;

prin identi�care si a�are, în acest mod, a coe�cientilor (initial necunoscuti ai) lui P1 si P2.Metoda transform¼arilor trigonometrice , adeseori combinat¼a cu metoda substitutiilor , se

foloseste pentru calculul primitivelor unor functii în ale c¼aror expresii sunt prezente functii trigono-metrice.

În cazul integralelor trigonometrice de formaZE(sinx; cosx) dx; x 2 I = (��; �);

unde E este o functie rational¼a de dou¼a variabile, se foloseste, în general, substitutia tgx

2= t, care,

pe baza relatiilor sinx =2t

1 + t2, cosx =

1� t21 + t2

, x = 2arctg t, dx = 2dt1+t2

, conduce la calculul prim-

itivei unei functii rationale în variabila t. Calculul integraleiRE(sinx; cosx) dx poate � simpli�cat,

evitându-se utilizarea substitutiei standard tgx

2= t, în urm¼atoarele trei cazuri:

1. E(� sinx; cosx) = �E(sinx; cosx), adic¼a E este impar¼a în sinx, recomandat¼a �ind folosireasubstitutiei cosx = t.

2. E(sinx;� cosx) = �E(sinx; cosx), adic¼a E este impar¼a în cosx si atunci se face substitutiasinx = t.

3. E(� sinx;� cosx) = E(sinx; cosx), adic¼a E este par¼a (simultan) în sinx si cosx, f¼acându-sesubstituta tg x = t.

Tot substitutii se practic¼a si pentru calculul unor integrale (asa-numite) irationale, întru re-ducerea lor la integrale din functii rationale. Este cazul substitutiilor lui Euler , folosite pentruintegrale de forma Z

E�x;pax2 + bx+ c

�dx; x 2 I;

cu a; b; c 2 R, asa încât ax2 + bx + c � 0, 8x 2 I si E o expresie rational¼a de dou¼a variabile reale.Se face trecerea de la variabila x la variabila t, în conformitate cu una din urm¼atoarele trei situatii sirelatii corespunz¼atoare:

i)pax2 + bx+ c = �x

pa� t, când a > 0;

ii)pax2 + bx+ c = �tx�

pc, când c > 0;

iii)pax2 + bx+ c = t(x� x0), când b2 � 4ac > 0,

unde x0 este o r¼ad¼acin¼a ( din R) a ecuatiei ax2 + bx+ c = 0.Pentru integrale irationale de formaZ

E

x;

�ax+ b

cx+ d

�p1=q1; : : : ;

�ax+ b

cx+ d

�pk=qk!dx; x 2 I � R;

în care E este o functie rational¼a de k + 1 (k 2 N�) variabile reale si cu valori în R, a; b; c; d 2 R,a2 + b2 + c2 + d2 6= 0, cx+ d 6= 0, 8x 2 I, ax+ b

cx+ d> 0, 8x 2 I, pi 2 Z, qi 2 N�, 8 i = 1; k, se utilizeaz¼a

(în scopul calculului) substitutia x! t, dat¼a de relatiaax+ b

cx+ d= tq0 , unde q0 este cel mai mic multiplu

comun al numerelor q1; q2; : : : ; qk.Substitutiile lui Cebîsev se folosesc pentru calculul integralelor care, cunoscute sub denumirea

de integrale binoame , sunt de formaZxp(axq + b)r dx; x 2 I � R;

unde a 2 R�, b 2 R si p; q; r 2 Q. Calculul unor asemenea integrale se reduce la calculul primitivelorpentru functii irationale, doar în urm¼atoarele trei cazuri:

j) r 2 Z, când se face substitutia x = tm, cu m cel mai mic multiplu comun al numitorilor lui p siq;

jj)p+ 1

q2 Z, situatie în care se face substitutia axq + b = tl, unde l 2 N� este numitorul lui r.

jjj)p+ 1

q+ r 2 Z, caz în care se face substitutia a+ bx�q = tl, l �ind numitorul lui r.

Calculul integralelor de formaZE (ar1x; ar2x; : : : ; arnx) dx;

unde a 2 R�+ n f1g, r1; r2; : : : ; rn 2 Q, iar E este o functie rational¼a, de n (n 2 N�) variabile reale sicu valori în R, se poate face pe baza substitutiei ax = t� , unde t > 0, si � este cel mai mic multiplucomun al numitorilor numerelor r1; r2; : : : ; rn.

Atragem atentia asupra faptului c¼a exist¼a si o serie de primitive care nu se pot exprima princombinatii liniare �nite de functii elementare. Este cazul integralelor eliptice , adic¼a al integralelorde forma Z q

(1� a2 sin2 x)�1 dx; cu a 2 (0; 1) si x 2 Ia � R

precum si al urm¼atoarelor integrale:Zsinx

xdx (sinusul integral);

Zcosx

xdx (cosinusul integral);

Zdx

lnx(logaritmul integral);

Zex

xdx (exponentialul integral);Z

e�x2dx (primitiva lui Poisson);

Zcos2 x dx si

Zsin2 x dx (primitivele lui Fresnel):

Integrala de�nit¼a (în sens Riemann)

Fie a; b 2 R, a < b si f : [a; b]! R.

De�nitia 13.2 1) Se numeste diviziune (divizare) a intervalului compact [a; b], notat¼a prin�, o multime �nit¼a si ordonat¼a cresc¼ator de elemente x0; x1; : : : ; xn 2 [a; b], cu a = x0 < x1 <: : : < xn�1 < xn = b. Elementele xi, i = 0; n se numesc puncte ale diviziunii �, iar [xi; xi+1](i = 0; n� 1) se numesc intervale partiale ale diviziunii �.

2) Num¼arul notat cu k�k (sau cu �(�)) si de�nit prin

k�k = max16i6n

fxi � xi�1g

se numeste norma diviziunii �.

3) O diviziune � a intervalului [a; b] se numeste echidistant¼a dac¼a xi�xi�1 =b� an, 8 i = 1; n,

caz în care avem k�k = b� an

si xi = a+ ib� an, 8 i = 0; n.

De regul¼a, multimea tuturor diviziunilor unui interval compact [a; b] � R se noteaz¼a cuD[a; b] si, pe ea, se poate de�ni o relatie binar¼a (de "�nete"), ce se dovedeste a � una de ordinepartial¼a, în modul urm¼ator: 8�1;�2 2 D[a; b] spunem c¼a �2 este mai �n¼a decât �1, si not¼am�1 � �2, dac¼a �2 contine cel putin un element în plus fat¼a de �1. Este lesne de v¼azut atunci c¼a,8�1;�2 2 D[a; b], 9�(= �1 [�2) astfel încât �1 � � si �2 � �.

De�nitia 13.3 a) Fie a; b 2 R, a < b si � = fa = x0 < x1 < : : : < xn = bg din D[a; b]. Multimea�� = f�i j �i 2 [xi�1; xi]; i = 1; ng, adic¼a multimea n-uplelor (�1; �2; : : : ; �n) 2 Rn; unde �ieste arbitrar ales din intervalul partial [xi�1; xi], 8 i = 1; n se numeste multime a punctelorintermediare asociate diviziunii �.

b) Numim sum¼a Riemann a functiei f : [a; b] ! R, în raport cu o diviziune � 2 D[a; b] si cu(�1; �2; : : : ; �n) 2 ��, num¼arul

�f (�; ��) =

nXi=1

f(�i)(xi � xi�1);

unde xi sunt punctele diviziunii � = fa = x0 < x1 < : : : < xn = bg:

De�nitia 13.4 Functia f : [a; b] ! R se numeste integrabil¼a, în sens Riemann, pe intervalulcompact [a; b] (a; b 2 R, a < b), dac¼a exist¼a un num¼ar real I, astfel încât, oricare ar � " > 0, exist¼a�", în raport cu care, 8� 2 D[a; b], cu k�k < �", s¼a avem j�f (�; ��)� Ij < ", pentru orice alegere apunctelor intermediare ��. Se mai spune c¼a f este R-integrabil¼a pe [a; b].

Num¼arul I se numeste, atunci, integrala Riemann a lui f pe [a; b] si se poate vedea c¼a este

unic determinat. El se noteaz¼a cu

bZa

f(x) dx (sau cu (R)bZa

f(x) dx ori prinZ[a;b]

f(x) dx).

Multimea tuturor functiilor R-integrabile (Riemann-integrabile) pe un interval compact [a; b] dinR se noteaz¼a cu R[a; b].

Propozitia 13.1 Dac¼a f 2 R[a; b], atunci f 2 B[a; b], unde B[a; b] înseamn¼a multimea tuturor functi-ilor f : [a; b]! R care sunt m¼arginite pe [a; b].

(Cu alte cuvinte, orice functie f : [a; b] ! R, integrabil¼a în sens Riemann pe un interval compact[a; b] din R este, în mod necesar, m¼arginit¼a pe [a; b]).

Demonstratie: Cum f 2 R[a; b], exist¼a I 2 R, astfel încât, în conformitate cu De�nitia 13.4,8 " > 0, 9 �" > 0, asa încât, 8� 2 D[a; b] cu k�k < �" si 8 � = (�1; �2; : : : ; �n) 2 ��, avemj�f (�; �)� Ij < ", adic¼a

( ! ) I � " <nXi=1

f(�i)(xi � xi�1) < I + ":

Fixând " = 1 si � 2 D[a; b] (cu k�k < �"), l¼as¼am �1 s¼a varieze în [x0; x1], iar pe �2; �3; : : : ; �n lementinem, pe moment, constante. Atunci, din ( ! ), deducem c¼a avem

1

x1 � x0

"I � 1�

nXi=2

f(�i)(xi � xi�1)#< f(�1) <

1

x1 � x0

"I + 1�

nXi=2

f(�i)(xi � xi�1)#;

8 �1 2 [x0; x1]. Deci functia f este m¼arginit¼a pe intervalul partial al lui � [x0; x1].În mod analog, se arat¼a c¼a f este m¼arginit¼a si pe celelalte intervale [xi�1; xi], 8 i = 1; n. Astfel,

reiese c¼a f 2 B[a; b]. JObservatie: O consecint¼a direct¼a a Propozitiei 13.1 este aceea potrivit c¼areia, dac¼a o functie

f : [a; b] ! R (cu a; b 2 R, a < b) nu este m¼arginit¼a pe intervalul (compact) [a; b], atunci ea nu esteR-integrabil¼a pe [a; b].

Exist¼a îns¼a si functii m¼arginite pe un interval [a; b] � R, care nu sunt din R[a; b]. De exemplu,

functia lui Dirichlet, f : [a; b]! R, dat¼a prin f(x) =�1; x 2 [a; b] \Q0; x 2 [a; b] n Q:

O conditie necesar¼a si su�cient¼a de Riemann-integrabilitate pentru functii f : [a; b]! R se obtinecaracterizând limita I, prin sume Riemann �f (�; ��), pe baza conditiei Cauchy (de existent¼a a uneilimite). Astfel, are loc urm¼atorul rezultat:

Teorema 13.1 (de caracterizare Cauchy a integrabilit¼atii Riemann)Functia f : [a; b] ! R este integrabil¼a în sens Riemann pe [a; b] dac¼a si numai dac¼a, 8 " > 0,

9 �" > 0, asa încât, 8� 2 D[a; b], cu k�k < �" si �0; �00 2 ��, avem���f (�; �0)� �f (�; �00)�� < ".

Prin folosirea Teoremei 13.1, se pot pune în evident¼a urm¼atoarele propriet¼ati ale functiilorR-integrabile pe intervale compacte din R, reunite în cadrul propozitiei imediat enuntate aici:

Propozitia 13.2 i) Dac¼a f 2 R[a; b], atunci f 2 R[c; d], oricare ar � subintervalul [c; d] al lui[a; b].

ii) Fie f : [a; b] ! R si c 2 (a; b). Dac¼a f 2 R[a; c] si f 2 R[c; b], atunci f 2 R[a; b] si are locegalitatea:

bZa

f(x) dx =

cZa

f(x) dx+

bZc

f(x) dx:

iii) Dac¼a f 2 R[a; b], atunci jf j 2 R[a; b] si are loc relatia:������bZa

f(x) dx

������ 6bZa

jf(x)j dx:

iv) Dac¼a f 2 R[a; b], atunci f2 2 R[a; b].

v) Dac¼a f; g 2 R[a; b], atunci f � g 2 R[a; b] si are loc inegalitatea ("Cauchy-Schwarz-Buniakowski"pentru functii R-integrabile):

( !! )

0@ bZa

f(x)g(x) dx

1A2 �0@ bZa

f2(x) dx

1A0@ bZa

g2(x) dx

1A :

vi) Dac¼a f 2 R[a; b] si jf(x)j � � > 0, 8x 2 [a; b], atunci 1f2 R[a; b].

vii) Dac¼a f; g 2 R[a; b] si �; � 2 R, atunci �f + �g 2 R[a; b] sibZa

(�f(x) + �g(x)) dx = �

bZa

f(x) dx+ �

bZa

g(x) dx:

(Asadar, R[a; b] este, în raport cu adunarea functiilor reale scalar-scalare si cu înmultirea aces-tora cu scalari reali, un spatiu liniar).

viii) Dac¼a f 2 R[a; b] si f(x) � 0, 8x 2 [a; b], atuncibZa

f(x) dx � 0.

Observatii:

a) Similar situatiei de la sisteme �nite de numere reale, inegalitatea (!!) are, drept generalizare,inegalitatea lui Hölder pentru functii R-integrabile si anume:������

bZa

f(x)g(x) dx

������ �0@ bZa

jf(x)jp dx

1A1p0@ bZa

jg(x)jq dx

1A1q

;

8 f; g 2 R[a; b], p; q 2 (1;+1), cu 1p+1

q= 1 si jf jp; jgjq 2 R[a; b].

b) Tinând seama de viii) din Propozitia 13.2, se deduce monotonia integralei Riemann, în sensulc¼a, 8 f; g 2 R[a; b], cu proprietatea c¼a f(x) � g(x), 8x 2 [a; b], avem:

(�)bZa

f(x) dx �bZa

g(x) dx:

c) Convenind ca, pentru f 2 R[a; b], s¼a de�nimbZa

f(x) dx ca �ind �aZb

f(x) dx, rezult¼a:

aZa

f(x) dx = 0:

d) Având în atentie relatia (�), se poate vedea c¼a, dac¼a f 2 R[a; b], atunci m(b� a) �bZa

f(x) dx �

M(b� a), unde m = infx2[a;b]

f(x) 2 R si M = supx2[a;b]

f(x) 2 R.

Dac¼a, în plus, f 2 C[a; b], atunci, deoarece m �

bZa

f(x) dx

b� a � M si f , ca functie continu¼a pe

[a; b], îsi atinge marginile (m siM), având proprietatea lui Darboux, exist¼a c 2 [a; b], astfel încât

f(c) =

bZa

f(x) dx

b� a , adic¼a are loc formula de medie:

bZa

f(x) dx = f(c)(b� a):

Dac¼a f : [a; b]! R este o functie m¼arginit¼a pe [a; b], se pot de�ni sumele Darboux (corespunz¼atoarelui f si unei diviziuni � 2 D[a; b] arbitrare), inferioar¼a si respectiv superioar¼a , prin

sf (�) =

mXi=1

mi(xi � xi�1) si Sf (�) =mXi=1

Mi(xi � xi�1);

unde � = fa = x0 < x1 < : : : < xn = bg, mi = infx2[xi�1;xi]

f(x) si Mi = supx2[xi�1;xi]

f(x), 8 i = 1; n.

Notând elementul sup�2D[a;b]

sf (�) cu I si inf�2D[a;b]

Sf (�) cu I, numim I integrala Darboux inferioar¼a

a lui f pe [a; b], iar I integrala Darboux superioar¼a a lui f pe [a; b]. Folosind aceste elemente, sepoate pune în evident¼a urm¼atorul criteriu (al lui Darboux ) pentru stabilirea R-integrabilit¼atiilui f pe [a; b].

Teorema 13.2 O functie f : [a; b]! R, m¼arginit¼a pe [a; b], este integrabil¼a în sens Riemann pe [a; b]dac¼a si numai dac¼a I = I 2 R, ceea ce echivaleaz¼a cu:

8 " > 0;9�" 2 D[a; b] astfel încât Sf (�")� sf (�") < ":

Valoarea comun¼a a elementelor I si I este, atunci când are loc relatia I = I 2 R, tocmaibZa

f(x) dx.

Pe baza oric¼aruia dintre criteriile de R-integrabilitate formulate de Teoremele 13.1 (criteriul luiCauchy) si 13.2 (criteriul lui Darboux ), se pun în relief categorii de functii ce sunt integrabileRiemann pe intervale compacte din R. Are loc, astfel, rezultatul ce urmeaz¼a.

Teorema 13.3 Fie functia f : [a; b]! R.

a) Dac¼a f 2 C[a; b], atunci f 2 R[a; b].

b) Dac¼a f este monoton¼a pe [a; b] (sau pe portiuni, pe [a; b], intervalul [a; b] putându-se scrie cao reuniune �nit¼a de intervale [a; c1]; [c1; c2]; : : : ; [ck; b], astfel încât, pe �ecare dintre ele, f estemonoton¼a, nu neap¼arat de acelasi fel), atunci f 2 R[a; b].

c) f 2 R[a; b] dac¼a si numai dac¼a f 2 B[a; b] si f este continu¼a "aproape peste tot" pe [a; b], adic¼af 2 C ([a; b];E), unde E � [a; b] este o multime "neglijabil¼a" (de m¼asur¼a Lebesgue nul¼a)( criteriullui Lebesgue de R-integrabilitate).

(O multime A � R se numeste neglijabil¼a sau de m¼asur¼a Lebesgue nul¼a dac¼a, 8 " > 0, exist¼a unsir de intervale (J"n)n2N� � R, asa încât A �

[n2N�

J"n siXn2N�

l(J"n) < ", unde l(J"n) înseamn¼a lungimea

intervalului J"n, 8n 2 N�.)

Propozitia 13.3 Fie f 2 R[a; b] si, 8x 2 [a; b], în virtutea a�rmatiei i) din Propozitia 13.2, �e

F : [a; b]! R, dat¼a de relatia: F (x) =xZa

f(t) dt, 8x 2 [a; b]. Au loc urm¼atoarele concluzii:

a) F 2 C[a; b]: Mai mult, 9L > 0, asa încât

jF (x)� F (ex)j � Ljx� exj;8x; ex 2 [a; b].b) Dac¼a f este continu¼a într-un punct x0 2 [a; b], atunci F este derivabil¼a în x0 si F 0(x0) = f(x0).Dac¼a f 2 C[a; b], atunci F este o primitiv¼a a lui f si deci f 2 P[a; b].

Demonstratie: a) Cum f 2 R[a; b], avem: f 2 B[a; b] (în virtutea Propozitiei 13.1). Exist¼a deciL 2 R�+, astfel încât jf(t)j � L, 8 t 2 [a; b]. Atunci:

jF (x)� F (ex)j =������xZa

f(t) dt�exZa

f(t) dt

������ =������xZexf(t) dt

������ �

�xZexjf(t)j dt �

xZexLdt = L � jx� exj;8x; ex 2 [a; b]:

Deci F este lipschitzian¼a pe [a; b] si, în consecint¼a, F 2 C[a; b].b) Avem:

(��)����F (x)� F (x0)x� x0

� f(x0)���� =

������ 1

x� x0

xZx0

(f(t)� f(x0)) dt

������ �

� 1

jx� x0j

xZa

jf(t)� f(x0)j dt;8x 2 [a; b] n fx0g:

Cum f este continu¼a în x0, putem conta pe faptul c¼a, 8 " > 0, 9 �" > 0, asa încât, 8 t 2 [a; b], cujt� x0j < �", avem: jf(t)� f(x0)j < ". Folosind acest lucru în (��), obtinem c¼a

8 " > 0;9 �" > 0; astfel încât, 8x 2 [a; b]; cu jx� x0j < ";

rezult¼a: ����F (x)� F (x0)x� x0� f(x0)

���� < ":

Ca atare, exist¼a limx!x0

F (x)� F (x0)x� x0

= f(x0), adic¼a F este derivabil¼a în x0 si F 0(x0) = f(x0).

Când f 2 C[a; b], înseamn¼a c¼a F 0(x0) = f(x0), 8x0 2 [a; b]. Deci F este derivabil¼a pe [a; b] siF 0 = f , pe [a; b]. Altfel spus, F este o primitiv¼a a lui f si, astfel, f 2 P[a; b]. J

Calculul integralelor de�nite pentru functii f 2 R[a; b] se face, atunci când f 2 P[a; b], pebaza formulei lui Leibnitz-Newton

( # )

bZa

f(x) dx = F (x)jba = F (b)� F (a);

unde F este o primitiv¼a a lui f pe [a; b].Conform Propozitiei 13.3, b), formula ( # ) are sens când f 2 C[a; b].Tot pentru calculul unei integrale de�nite (în sens Riemann) dintr-o functie f : [a; b]! R, pentru

care exist¼a

bZa

f(x) dx, se mai poate folosi metoda schimb¼arii de variabil¼a , potrivit formulei

�Z�

(f � ')(t)'0(t) dt ='(�)Z'(�)

f(x) dx;

când f 2 C([a; b];R), iar ' 2 C1([�; �]; [a; b]) sau în conformitate cu formula

bZa

f(x) dx =

�1(b)Z �1(a)

(f � )(t) 0(t) dt;

când f 2 C([a; b];R) si 2 C1([�; �]; [a; b]), �ind bijectiv¼a.La fel de bine, atunci când este posibil, se foloseste si formula de integrare prin p¼arti pentru calcule

de integrale de�nite. Aceasta se exprim¼a prin relatia

bZa

f(x)g0(x) dx = f(x)g(x)jba �bZa

f 0(x)g(x) dx;

ori de câte ori f si g : [a; b] ! R sunt derivabile pe [a; b] si cu f 0; g0 2 R[a; b] (în particular, cândf; g 2 C1[a; b]).

Dup¼a cum am mentionat, f¼ar¼a demonstratie, în Cursul 12, pentru un sir (fn)n2N� � C([a; b];R)care este uniform convergent, pe [a; b], la o functie f : [a; b]! R, are loc un transfer de integrabilitate(Riemann), de la fn la f , în conformitate cu urm¼atorul enunt.

Propozitia 13.4 Dac¼a (fn)n2N� � C([a; b];R) este un sir de functii uniform convergent, pe [a; b], laf : [a; b]! R, atunci f 2 R[a; b] si

bZa

f(x) dx =

bZa

limn!1

fn(x) dx = limn!1

bZa

fn(x) dx:

Demonstratie: Aplicarea Teoremei 12.3, de transfer de continuitate, ne conduce la o prim¼a con-cluzie: f 2 C([a; b];R). Atunci, prin Teorema 13.3, a), rezult¼a: f : R[a; b]. Cum fn si f sunt continue pe

[a; b], exist¼a supx2[a;b]

jfn(x)� f(x)j 2 R. Si, pentru c¼a fnu=[a;b]����!n!1

f , avem: limn!1

supx2[a;b]

jfn(x)� f(x)j!=

0. Deci, 8 " > 0, 9n" 2 N�, asa încât, 8n 2 N�, cu n � n", are loc relatia: supx2[a;b]

jfn(x)� f(x)j <"

b� a .

În acest fel, constat¼am c¼a, 8 " > 0, 9n" 2 N�, astfel încât, 8n 2 N�, cu n � n", avem:������bZa

fn(x) dx�bZa

f(x) dx

������ �bZa

jfn(x)� f(x)j dx � (b� a) supx2[a;b]

jfn(x)� f(x)j < ":

Asadar, exist¼a limn!1

bZa

fn(x) dx si este egal¼a cu

bZa

f(x) dx. J

De fapt, tinând seama de aproximarea functiilor din R[a; b] prin functii din C[a; b], se poate a�rmac¼a transferul de integrabilitate (în sens Riemann) are loc si într-un caz mai general, în care sirul defunctii (fn)n2N� � R[a; b] converge uniform pe [a; b] la f : [a; b]! R. Se justi�c¼a astfel, acum, Teorema12.5. În mod �resc, pe baza sirului sumelor partiale, acest rezultat se manifest¼a si la nivelul seriilorde functii, uniform convergente pe [a; b]. Este justi�cat deci si rezultatul din Teorema 12.9, a).

Integrale improprii

O extindere natural¼a a integralei Riemann, integral¼a în leg¼atur¼a cu care, atât intervalul de inte-grare, cât si functia de integrat, adic¼a integrandul, au fost considerate m¼arginite, este aceea constituit¼ade integralele improprii (�e din pricina nem¼arginirii domeniului de integrare, �e din cauza faptuluic¼a functia de integrat este nem¼arginit¼a). Integralele pe intervale nem¼arginite sunt acelea în carecel putin una dintre limitele de integrare este in�nit¼a, adic¼a de forma

+1Za

f(x) dx;

aZ�1

f(x) dx sau

+1Z�1

f(x) dx:

Integralele din functii nem¼arginite sunt acelea de forma

bZa

f(x) dx, unde f : (a; b) ! R este

nem¼arginit¼a cel putin în vecin¼atatea unui punct din (a; b). Atât integralele pe intervale nem¼arginite,cât si integralele din functii nem¼arginite pot � privite ca integrale pe intervale necompacte .

De�nitia 13.5 Fie f : A � R ! R o functie de�nit¼a pe multimea A = (�; �) n f 1; 2; : : : ; n�1g,unde 1; 2; : : : ; n�12 (�; �) si 1 < 2 < : : : < n�1. De asemenea, prin notatie, �e 0 = � si n = �.

Dac¼a f este integrabil¼a local (în sens Riemann) pe A, adic¼a f este integrabil¼a pe orice intervalcompact inclus în A, iar functia F : R2n ! R, de�nit¼a prin

F (u0; v0; u1; v1; : : : ; un�1; vn�1) =n�1Xi=1

viZui

f(x) dx;8ui; vi 2 ( i; i+1);8 i = 0; n� 1;

are o limit¼a �nit¼a când (u0; v0; u1; v1; : : : ; un�1; vn�1) �! ( 0; 1; 1; 2; : : : ; n�1; n�1; n), atuncivaloarea acestei limite se ia ca de�nitie a integralei lui f pe intervalul (�; �) . Se spune, înacest caz, c¼a functia f este integrabil¼a impropriu ( generalizat ) pe (�; �) ori, prin analogie cu

termenul corespunz¼ator din teoria seriilor, se spune c¼a integralaZ �

�f(x) dx este convergent¼a.

Dac¼a F nu are limit¼a sau limita sa nu este �nit¼a când (u0; v0; u1; v1; : : : ; un�1; vn�1) tinde la( 0; 1; 1; 2; : : : ; n�1; n�1; n), spunem c¼a f nu este integrabil¼a, impropriu, pe (�; �) sau, echivalent,

c¼a integralaZ �

�f(x) dx nu este convergent¼a (adic¼a este divergent¼a).

Observatii: Cum existenta limitei �nite a lui F este legat¼a de faptul c¼a �ecare functie Fi : R2 ! R,de�nit¼a prin

Fi(ui; vi) =

viZui

f(x) dx; ui; vi 2 ( i; i+1); i = 0; n� 1;

trebuie s¼a aib¼a limit¼a �nit¼a când (ui; vi) ! ( i; i+1) 2 R2, adic¼a integrala i+1Z i

f(x) dx trebuie s¼a

�e convergent¼a pentru orice i = 0; n� 1, se poate spune c¼a stabilirea convergentei (sau divergentei)

integraleiZ �

�f(x) dx revine la stabilirea naturii �ec¼areia dintre integralele

i+1Z i

f(x) dx, i = 0; n� 1.

Întrucât, în cazul acestora, intervalele ( i; i+1) nu contin alte puncte în care integrandul f este

nem¼arginit, stabilirea convergentei sau divergentei integralelor

i+1Z i

f(x) dx, i = 0; n� 1, va consta,

conform De�nitiei 13.5, în stabilirea existentei si �nitudinii, respectiv nonexistentei ori existentei sine�nitudinii limitelor

lim�& i

!iZ�

f(x) dx si lim�% i+1

�Z!i

f(x) dx, unde i < � < !i < � < i+1, i = 0; n� 1:

Când aceste limite exist¼a si sunt �nite, atunci ele de�nesc integralele functiei f pe intervalelenecompacte ( i; !i] si respectiv [!i; i+1), integrale notate, îndeobste, cu

!iZ i+0

f(x) dx si respectiv

i+1�0Z!i

f(x) dx.

Prin analogie, pentru integrala improprie a functiei f pe intervalul ( i; i+1) se foloseste notatia i+1� 0Z i+ 0

f(x) dx.

Deoarece

i+1� 0Z i+ 0

f(x) dx =

!iZ i+ 0

f(x) dx+

i+1� 0Z!i

f(x) dx;8 i = 0; n� 1, este su�cient ca, în studiul

convergentei integralelor pe interval necompact, s¼a ne ocup¼am de convergenta unor integrale de tipul

(!)

bZa+0

f(x) dx si

b�0Za

f(x) dx;

unde functia f este R -integrabil¼a pe orice interval compact continut în intervalele (a; b] si respectiv[a; b).

Când a si/sau b sunt in�nite (�1), integralele în cauz¼a (din (!)) sunt improprii, pe intervalenem¼arginite, iar când a si b sunt din R , atunci integralele (!) sunt improprii, din functii nem¼arginite.

De�nitia 13.6 i) Dac¼a functia f este integrabil¼a Riemann pe orice interval compact inclus în

intervalul (a; b] sau [a; b), iar integrala

bZa+0

jf(x)j dx, respectivb�0Za

jf(x)j dx, este convergent¼a,

atunci se spune c¼a integrala

bZa+0

f(x) dx, respectiv

b�0Za

f(x) dx, este absolut convergent¼a.

ii) dac¼a integrala

bZa+0

f(x) dx, respectiv

b�0Za

f(x) dx, este convergent¼a, dar nu si absolut convergent¼a,

atunci ea se numeste semiconvergent¼a (sau simplu convergent¼a).

Integrale improprii pe intervale in�nite

Relativ la integralele

+1Za

f(x) dx,

aZ�1

f(x) dx si

+1Z�1

f(x) dx, observ¼am c¼a ne putem limita la a

investiga doar prima dintre ele, deoarece celelalte dou¼a pot � redate pe baza unor integrale de tipul

primei. Într-adev¼ar, prin substitutia x = �t, avemaZ

�1

f(x) dx =

+1Z�a

f(�t) dt, iar+1Z�1

f(x) dx se poate

scrie sub forma

+1Z�a

f(�t) dt++1Za

f(x) dx.

De�nitia 13.7 i) Fie f : [a;+1) ! R, cu a 2 R, o functie R-integrabil¼a pe orice intervalcompact [a; b], cu b 2 R, b > a. Numim integral¼a improprie, de la a la +1, din functia f ,

limita limb!1

bZa

f(x) dx, dac¼a aceasta exist¼a. În caz de existent¼a, respectiva integral¼a se noteaz¼a

cu

+1Za

f(x) dx.

ii) Integrala improprie

+1Za

f(x) dx se numeste convergent¼a dac¼a limita limb!1

bZa

f(x) dx exist¼a si

este �nit¼a. Acest fapt se marcheaz¼a prin:

+1Za

f(x) dx (C).

iii) Integrala

+1Za

f(x) dx se numeste improprie divergent¼a dac¼a limita limb!1

bZa

f(x) dx nu exist¼a

sau, dac¼a exist¼a, este in�nit¼a. Atunci, se foloseste notatia:

+1Za

f(x) dx (D).

De exemplu, integrala improprie

+1Za

1

xpdx, unde a > 0, este convergent¼a când p > 1 si divergent¼a

când p � 1, deoarece, pentru p > 1, obtinem limb!1

bZa

1

xpdx = lim

b!1

x1�p

1� p

����ba

!=

a1�p

p� 1 2 R, iar

pentru p � 1, avem: limb!1

bZa

1

xpdx = +1.

Propozitia 13.5 (criteriul lui Cauchy de convergent¼a pentru integrale improprii)

Integrala

+1Za

f(x) dx este convergent¼a dac¼a si numai dac¼a, oricare ar � " > 0, exist¼a a" > a, astfel

încât, 8 a0; a00 > a", avem:

(�)

������a00Za0

f(x) dx

������ < ":

Acest rezultat se obtine prin interpretarea în sens Cauchy a existentei limitei �nite limb!1

bZa

f(x) dx.

Considerând a00 = a0 + 1, pe baza Propozitiei 13.5 deducem c¼a, pentru orice " > 0, exist¼a a" > a,asa încât, 8 a0 > a", avem: Ma0 = sup

t2[a0;a0+1]jf(t)j < ". Obtinem astfel faptul c¼a o conditie necesar¼a

de convergent¼a a integralei

+1Za

f(t) dt este: limx!1

f(x) = 0.

Tot pe baza Propozitiei 13.5, se poate vedea c¼a, dac¼a integrala

+1Za

jf(x)j dx este convergent¼a, altfel

spus dac¼a integrala

+1Za

f(x) dx este (AC), adic¼a absolut convergent¼a, atunci integrala

+1Za

f(x) dx este

convergent¼a.

Un alt criteriu de convergent¼a pentru integrala

+1Za

f(x) dx este criteriul general de comparatie ,

cu urm¼atorul enunt:

Propozitia 13.6 Dac¼a jf(x)j � g(x), 8x 2 [a;+1), cu g(x) � 0, 8x 2 [a;+1) si+1Za

g(x) dx (C),

atunci

+1Za

f(x) dx (C).

Demonstratie: Cum 0 � jf(x)j � g(x), 8x 2 [a;+1), rezult¼a: 0 �bZa

jf(x)j dx �bZa

g(x) dx,

8 b � a. În acelasi timp, deoarece integrala

+1Za

g(x) dx este convergent¼a, exist¼a si este �nit¼a limita

limb!+1

bZa

g(x) dx. Deducem atunci c¼a exist¼a si este �nit¼a si limita limb!+1

bZa

jf(x)j dx. Deci+1Za

f(x) dx

este absolut convergent¼a si, drept urmare, avem:

+1Za

f(x) dx (C). J

Teorema 13.4 ( Criteriul în � )Fie � un num¼ar real �xat. Dac¼a exist¼a l = lim

x !+1x�jf(x)j, atunci:

j)

+1Za

f(x) dx (AC) , când � > 1 si l < +1;

jj)

+1Za

jf(x)j dx (D) , când � � 1 si 0 < l .

Demonstratie: j) Când � > 1 si l < +1, avem: 8 " > 0;9 x" > 0 , asa încât, 8x > x", are locrelatia

l � " < x�jf(x)j < l + ";

adic¼al � "x�

< jf(x)j < l + "

x�:

De aici, rezult¼a c¼a avem:

0 �+1Za

jf(x)j dx =x"Za

jf(x)j dx++1Zx"

jf(x)j dx �x"Za

jf(x)j dx+ (l + ")+1Zx"

1

x�dx < +1:

Asadar, reiese c¼a

+1Za

f(x) dx (AC) , ceea ce implic¼a faptul c¼a

+1Za

f(x) dx este convergent¼a.

jj) În acest caz, se constat¼a c¼a (l�")+1Zx"

1

x�dx �

+1Zx"

jf(x)j dx, cu " 2 (0; l) si, întrucât+1Zx"

1

x�dx =

+1, se obtine concluzia:+1Za

jf(x)j dx (D). J

Observatie: În cazul în care f(x) 2 R+;8x � x", jj) implic¼a:

+1Za

f(x) dx (D).

Propozitia 13.7 (Criteriul integral al lui Cauchy)

Dac¼a functia f : [1;+1)! R+ este monoton descresc¼atoare, atunci integrala improprie+1Z1

f(x) dx

are aceeasi natur¼a cu seria1Xn=1

f(n).

Demonstratie: Scriind

n + 1Z1

f(x) dx =nXk=1

k + 1Zk

f(x) dx si folosind faptul c¼a, din monotonia lui f ,

avem f(k + 1) � f(x) � f(k), 8x 2 [k; k + 1], 8 k = 1; n� 1;8n 2 N�, obtinem:

nXk=1

f(k + 1) �n +1Z1

f(x) dx �nXk=1

f(k);8n 2 N�:

Pe baza acestei relatii, are loc concluzia din enunt. J

Pot � formulate si alte criterii de convergent¼a pentru integrale de tipul

+1Za

f(x) dx, pornind de la

criteriile corespunz¼atoare pentru serii numerice.

Integrale din functii nem¼arginite

De�nitia 13.8 Fie functia f : [a; b) ! R, cu limx%b

jf(x)j = +1 si f 2 R[a; b � "], 8 " 2 (0; b � a).

Dac¼a exist¼a si este �nit¼a limita

(�) lim"&0

b�"Za

f(x) dx;

atunci spunem c¼a f este integrabil¼a (impropriu) pe [a; b) sau c¼a integrala de la a la b din f

este convergent¼a. Valoarea limitei se noteaz¼a cu

b�0Za

f(x) dx si scriem:

bZa

f(x) dx (C).

În caz contrar, dac¼a limita (�) nu exist¼a sau este in�nit¼a, spunem c¼a

bZa

f(x) dx este divergent¼a

si scriem:

bZa

f(x) dx (D).

Analog, dac¼a f : (a; b] ! R este integrabil¼a local (adic¼a f 2 R[a + "; b], 8 " 2 (0; b � a)) si

limx&a

jf(x)j = +1, iar lim"&0

bZa+"

f(x) dx exist¼a si este �nit¼a, �ind notat¼a cu

bZa+0

f(x) dx, atunci spunem

c¼a f este integrabil¼a (impropriu) pe intervalul necompact (a; b] si scriem:

bZa

f(x) dx (C). Alt-

minteri, dac¼a lim"&0

bZa+"

f(x) dx nu exist¼a sau este in�nit¼a, spunem c¼a f nu este integrabil¼a pe (a; b] (sau

c¼a integrala

bZa

f(x) dx este divergent¼a) si scriem.

bZa+0

f(x) dx (D).

Observatie: Pentru cazul în care f : [a; b] n fcg ! R, c 2 (a; b) si limx!c

jf(x)j = +1, iar integralele

improprii

cZa

f(x) dx si

bZc

f(x) dx sunt convergente, avem

bZa

f(x) dx (C) si

bZa

f(x) dx = lim"&0

c�"Za

f(x) dx+ lim"0&0

bZc+"0

f(x) dx:

Când exist¼a

lim"!0

0@ c�"Za

f(x) dx+

bZc+"

f(x) dx

1A ;

declar¼am aceast¼a limit¼a ca �ind valoarea principal¼a a integralei

bZa

f(x) dx. Dac¼a, în plus, limita

în cauz¼a este si �nit¼a, atunci spunem c¼a f este integrabil¼a pe [a; b]; în sensul valorii principale .

Pe baza De�nitiei 13.8, integrala improprie

bZa

dx

(x� a)� , unde � 2 R, este convergent¼a atunci când

� < 1 si divergent¼a când � � 1.Si pentru asemenea tipuri de integrale improprii exist¼a criterii de convergent¼a si de absolut¼a conver-

gent¼a (adic¼a de convergent¼a a integralei

bZa

jf(x)j dx), între care, des folosit în aplicatii este asa-numitul

criteriu în �).

Teorema 13.5 (Criteriul de convergent¼a în �)Fie � 2 R si f : [a; b) (respectiv (a; b]) ! R o functie R-integrabil¼a pe orice interval compact inclus

în [a; b) (respectiv (a; b]). În plus, f(x) � 0, 8x 2 [a; b) (respectiv (a; b]).Dac¼a exist¼a limita L = lim

x%b[(b� x)�f(x)] (respectiv L = lim

x&a[(x� a)�f(x)]), atunci:

i) integrala

bZa

f(x) dx este convergent¼a când � < 1 si L < +1;

ii) avem

bZa

f(x) dx (D) când � � 1 si L > 0.

Demonstratie: Se utilizeaz¼a interpretarea existentei limitei L în limbajul "�� si convergenta/divergenta

integralei

bZa

dx

(b� x)� ( respectivbZa

dx

(x� a)� ), la fel ca în Teorema 13.4. J

Teorema 13.6 (Criteriul de convergent¼a de tip Cauchy)

Integrala improprie

b�0Za

f(x) dx (respectiv

bZa+0

f(x) dx) este convergent¼a dac¼a si numai dac¼a

8 " > 0;9 b" 2 (a; b), asa încât, 8 b0; b00 2 (b"; b), cu b0 < b00, avem

������b00Zb0

f(x) dx

������ < "

(respectiv, pentru

bZa+0

f(x) dx:

8 " > 0;9 a" 2 (a; b), asa încât, 8 a0; a00 2 (a; a"), cu a0 < a00, avem

������a00Za0

f(x) dx

������ < "):

Acest criteriu rezult¼a prin interpretarea, în sens Cauchy, a existentei limitei �nite, în �ecare caz înparte. Pe baza sa, se pot deduce si alte criterii de convergent¼a pentru asemenea integrale improprii,de interes particular strict.

Integrale cu parametri

Fie A � Rk o multime nevid¼a, a si b 2 R, cu a < b, precum si f : [a; b]� A ! R, cu proprietateac¼a, 8 y 2 A, arbitrar �xat, functia f(�; y) este Riemann integrabil¼a pe [a; b]. Se poate considera atunciF : A! R, de�nit¼a prin

F (y) =

bZa

f(x; y) dx;8 y = (y1; y2; : : : ; yk) 2 A

si denumit¼a integral¼a Riemann , pe [a; b], cu parametri y1; y2; : : : ; yk.Mai general, dac¼a, în plus, se iau în consideratie si functiile p : A ! [a; b], q : A ! [a; b], atunci

este bine de�nit¼a si functia G : A! R, dat¼a de:

G(y) =

q(y)Zp(y)

f(x; y) dx; y 2 A:

Ea se numeste integral¼a Riemann cu parametri si cu limitele de integrare dependente deparametri .

În leg¼atur¼a cu astfel de integrale, intereseaz¼a îndeosebi conditiile în care propriet¼ati ale integrandu-lui f , relative la parametrul vectorial (când k > 1) sau scalar (când k = 1) y, din A, se transmitfunctiilor F si G.

Încercând s¼a vedem, mai întâi, dac¼a transferul de existent¼a a limitei limy!y0

f(x; y), 8x 2 [a; b], într-un punct de acumulare al multimii A (y0 2 A0), se produce sau nu, ne punem, �resc, întrebarea dac¼a

exist¼a limy!y0

F (y) si dac¼a limy!y0

F (y) = limy!y0

bZa

f(x; y) dx =

bZa

g(x) dx. R¼aspunsul, negativ în general,

este a�rmativ doar dac¼a limy!y0

f(x; y) exist¼a uniform în raport cu x. Astfel, cel putin în cazul în care

A = N, y = n si f(x; y) = f(x; n) = fn(x), 8x 2 [a; b], vedem c¼a limn!1

bZa

fn(x) dx nu este egal¼a cu

bZa

hlimn!1

fn(x)idx, decât dac¼a fn

u=[a;b]����!n!1

g.

De�nitia 13.9 Pentru y0 2 A0, spunem c¼a functia f : [a; b] � A ! R are limita g : [a; b] ! R,când y ! y0, adic¼a g(x) = lim

y!y0f(x; y), uniform în raport cu x 2 [a; b], dac¼a,8 " > 0, 9V" 2

V(y0), vecin¼atate a lui y0, independent¼a de x, astfel încât, 8x 2 [a; b] si 8 y 2 V" n fy0g s¼a avem:jf(x; y)� g(x)j < ".

Folosind acum notiunea de limit¼a uniform¼a introdus¼a prin De�nitia 13.9, precum si caracterizareade tip Cauchy a existentei unei limite într-un punct, putem vedea c¼a rezultatul enuntat de propozitiacare urmeaz¼a este adev¼arat, pe baza Teoremei 13.1.

Propozitia 13.8 Dac¼a f : [a; b] � A ! R este integrabil¼a pe [a; b] (în raport cu 8 y 2 A) si, pentruun y0 2 A, avem lim

y!y0f(x; y) = g(x), uniform în raport cu x 2 [a; b], atunci g este integrabil¼a pe [a; b]

si are loc relatia:

limy!y0

bZa

f(x; y) dx =

bZa

g(x) dx:

În ceea priveste transferul de continuitate, în cazul cel mai general, adic¼a cel al functiei G, are locurm¼atorul rezultat.

Propozitia 13.9 Dac¼a A este o multime compact¼a din Rk, f 2 C([a; b]�A;R) , iar p; q 2 C(A; [a; b]),atunci G 2 C(A;R). În particular, când p; q sunt constante, ca de pild¼a când p � a si q � b, obtinem:F 2 C(A;R).

Demonstratie: Folosim relatia

j G(y)�G(y0) j �

�������q(y0)Za

j f(x; y)� f(x; y0)j dx

�������+�������

q(y)Zq(y0)

f(x; y) dx

�������+

+

�������p(y0)Za

j f(x; y)� f(x; y0)j dx

�������+�������

p(y)Zp(y0)

f(x; y) dx

������� ;8 y; y0 2 A;în virtutea c¼areia, în ipotezele din enunt, j G(y)�G(y0)j poate � oricât de mic¼a dorim, de îndat¼a ceky � y0k este acceptabil de mic¼a. J

În aplicatii, cea mai util¼a proprietate de transfer este cea relativ¼a la derivabilitatea functiilor F siG, realizabil¼a, în conditiile din Propozitia 13.10, prin formula lui Leibniz de derivare .

Propozitia 13.10 Dac¼a A este un paralelipiped compact în Rk, f : [a; b]�A! R o functie continu¼a

pe [a; b] � A, care admite@f

@yicontinu¼a pe [a; b] � A, iar p si q sunt dou¼a functii de la A la [a; b],

derivabile în raport cu yi (i 2 f1; 2; : : : ; kg) pe A, atunci G (si implicit F , în situatia în care p si qsunt constante) este derivabil¼a în raport cu yi pe A si are loc formula (lui Leibniz):

@G

@yi(y) = f (q(y); y)

@q

@yi(y)� f (p(y); y) @p

@yi(y) +

q(y)Zp(y)

@f

@yi(x; y) dx, 8 y 2 A:

Cât priveste R-integrabilitatea integralelor cu parametri, mention¼am urm¼atorul rezultat.

Propozitia 13.11 Dac¼a A = [c; d] � R (cu c; d 2 R, c < d) si f 2 C ([a; b]� [c; d];R), atunci functia

F : [c; d]! R, dat¼a prin F (y) =bZa

f(x; y) dx , 8 y 2 [c; d] este integrabil¼a Riemann pe [c; d] si are loc

relatia:dZc

F (y) dy

0@= dZc

0@ bZa

f(x; y) dx

1A dy

1A =

bZa

0@ dZc

f(x; y) dy

1A dx:

Când, în expresia lui F sau a lui G, �e domeniul de integrare, �e integrandul f(�; �), în raport cu x,nu mai este m¼arginit, avem de-a face cu integrale improprii (pe interval necompact) si cu parametri. Siîn cazul unor asemenea integrale intereseaz¼a transferul propriet¼atilor integrandului asupra integraleidin context. De data aceasta, intervine decisiv notiunea de convergent¼a uniform¼a, în raport cu y 2 A,a integralelor ce de�nesc pe F si pe G.

De�nitia 13.10 (relativ¼a la cazul

b�0Za

f(x; y) dx, când improprietatea este pricinuit¼a de nem¼arginirea

lui f , în raport cu x, în b)

j) Integrala improprie

bZa

f(x; y) dx, y 2 A, se numeste convergent¼a punctual pe A dac¼a exist¼a

F : A! R astfel încât limb0%b

b0Za

f(x; y) dx = F (y), y 2 A.

jj) Spunem c¼a integrala

bZa

f(x; y) dx este convergent¼a uniform pe A, dac¼a limb0%b

b0Za

f(x; y) dx =

F (y) exist¼a uniform în raport cu y 2 A.

Utilizând acum, simultan, conceptele introduse de De�nitiile 13.9 si 13.10, se pot formula, înanumite conditii, rezultate de transfer de proprietate si pentru astfel de integrale (improprii si cuparametri). Iat¼a enuntul rezultatului relativ la derivabilitate.

Propozitia 13.12 (asupra transferului de derivabilitate de la integrand la integrala im-proprie cu parametri)

Fie [a; b) � R, [c; d] = A � R, f : [a; b) � [c; d] ! R si integrala improprie cu parametrub�0Za

f(x; y) dx, unde y 2 A. De asemenea, �e satisf¼acute urm¼atoarele ipoteze:

1) Integrala improprie

bZa

f(x; y) dx converge punctual la o functie F (y), pentru y 2 A;

2) Functia f admite derivat¼a partial¼a în raport cu y,@f

@y, pe A;

3) Functiile f si@f

@ysunt continue pe [a; b)� [c; d];

4) Integrala improprie

b�0Za

@f

@y(x; y) dx converge uniform în raport cu y 2 A.

Atunci functia F (y) =

bZa

f(x; y) dx este derivabil¼a în orice punct y 2 [c; d] si

F 0(y) =

b�0Za

@f

@y(x; y) dx;8 y 2 [c; d] = A:

Exemple remarcabile de integrale improprii cu parametri.Functiile � si B ale lui Euler

Dintre integralele improprii si cu parametri care ar � demne de mentionat, amintim aici integrala

lui Dirichlet

+1Z0

sinx

x�, � > 0, integrala lui Euler-Poisson

+1Z0

e�ax2dx, a 2 R si integralele

(functiile) lui Euler , asupra c¼arora z¼abovim acum putin.

Functia � (gamma)

Prin de�nitie, aceast¼a functie este urm¼atoarea:

�(p) =

+1Z0

xp�1e�x dx; p 2 R�+:

Ea este bine de�nit¼a (deci convergent¼a ca integral¼a improprie), 8 p 2 (0;+1), dup¼a cum rezult¼aimediat prin aplicarea criteriilor de convergent¼a în � si în � (v. Teoremele 13.4 si 13.5).

Câteva propriet¼ati imediate ale functiei � sunt prezentate în cadrul urm¼atoarelor relatii:

1. �(p+ 1) = p�(p);8 p > 0;

2. �(1) = 1;

3. �(n+ 1) = n!;8n 2 N;

4. ��1

2

�=p�;

5. �(p)��1

p

�=

�

sin (p�);8 p 2 (0; 1);

6. �(p) = limn !1

n!np

p(p+ 1)(p+ 2) � � � (p+ n) ;8 p > 0;

7. (�(p))�1 = pe p1Y

n = 1

�1 +

p

n

�e�p=n;8 p > 0 (Weierstrass), unde = 0; 5772::: este constanta lui

Euler.

Functia B (beta)

Este de�nit¼a prin: B(p; q) =

1Z0

xp�1(1� x)q�1 dx; p > 0; q > 0 . Satisface relatiile:

1. B(p; q) =

+1Z0

tp�1

(1 + t)p+qdt;8 p; q > 0;

2. B(p; q) = 2

�2Z0

sin2p�1 � cos2q�1 � d�;8 p; q > 0;

3. B(p; q) = B(q; p);8 p; q > 0;

4. B(p; q) =�(p) � �(q)�(p+ q)

;8 p; q > 0;

5. B(p; q + 1) =q

p+ qB(p; q) =

q

pB(p+ 1; q);8 p; q > 0;

6. B(p; q) = B(p+ 1; q) +B(p; q + 1);8 p; q > 0;

7. B(p; n+ 1) =n!

p(p+ 1) � � � (p+ n) ;8 p > 0; n 2 N.

Bibliogra�e recomandat¼a

1. Narcisa Apreutesei Dumitru, Gabriela Apreutesei - Introducere în teoria integrabilit¼atii, Editura"Performantica", Iasi, 2005.

2. Marina Gorunescu, Florin Gorunescu, Augustin Prodan - Matematici superioare. Biostatistic¼asi Informatic¼a (Cap. 8), Editura Albastr¼a, Cluj-Napoca, 2002.

3. Gh. Mocic¼a - Probleme de functii speciale, Editura Didactic¼a si Pedagogic¼a, Bucuresti, 1988.4. Horiana Tudor - Analiz¼a matematic¼a, Editura Albastr¼a, Cluj-Napoca, 2008.5. M. Postolache, Ariana Pitea, Dragos Cioroboiu - Calcul integral, Editura "Fair Partners",

Bucuresti, 2010.6. Sever Angel Popescu -Mathematical Analysis II. Integral Calculus, Conspress, Bucharest, 2011.7. Lee Larson - Introduction to Real Analysis, Univ of Louisville Publ., 2014.