Analiza probabilistic a

riscului

Conf. dr. Cristian PUN ASE Bucureti, cpaun@ase.ro www.finint.ase.ro

Cursul 6

2

imperfeciunea informaiei;

imposibilitatea unor predicii corecte cu privire la even. viitoare;

incapacitatea de a identifica toate alternativele decizionale;

evenimentele viitoare sunt adesea unice;

profilul investitorilor;

imposibilitatea de a controla toi factorii care pot afecta decizia;

presiunea timpului.

risc mai mare implic un ctig ateptat mai mare

relaia dintre utilitatea ctigului ateptat al unei investiii i ctig nu este una liniar (utilitatea marginal descrescnd u(w)>0 i u(w)

n orice situaie investiional putem calcula un randament din investiiile pe care le realizm:

initiala

initialai

Investitie

Investitiefinal ValoareRET

i

t

1tt

i

t

i

1ti

P

DPPRET

De exemplu: o investiie pe piaa de capital va genera urmtorul randament (care poate fi calculat zilnic, lunar, sptmnal):

Unde: P(t+1) este preul la care vindem titlul i ulterior, P(t) preul la care cumprm titlul i, D sunt dividendele ncasate n perioada n care am deinut titlul n portofoliu

qk

qk

4k3k

4k3k

2k1k

2k1k

R...

p...

RR

pp

RR

pp. ticeprobabilisRand

Avnd n vedere randamentele observate pentru o perioad istoric, putem asocia probabilitile p(qk) unor randamente probabile pe care le-am putea obine dac ne-am implica ntr-un proiect k de investiii.

Suma acestor probabiliti trebuie s fie 1. Ele reflect diferite scenarii n care noi estimm c o s obinem randamentele Rq dac investim banii n proiectul k.

Randamentele pot fi normal distribuite n sensul c cele mai multe randamente sunt poziionate n zona median n jurul randamentului mediu calculat pe o serie de randamente probabilistice.

Funcia aferent distribuie normale este: Unde:

x randamentul i

media seriei de date

dispersia seriei de date

S presupunem c ntr-o fabric avem urmtoarele rebuturi determinate lunar:

Luna Rebuturi Producie Pondere

1 106 1500 7.07%

2 109 1805 6.04%

3 105 1682 6.24%

4 105 1249 8.41%

5 108 1140 9.47%

6 108 1687 6.40%

7 107 1037 10.32%

8 101 1321 7.65%

9 108 1905 5.67%

10 104 1886 5.51%

11 106 1009 10.51%

12 103 1967 5.24%

Luna Rebuturi Producie Pondere

13 105 1511 6.95%

14 105 1033 10.16%

15 109 1397 7.80%

16 100 1462 6.84%

17 106 1067 9.93%

18 107 1272 8.41%

19 103 1720 5.99%

20 107 1058 10.11%

21 102 1825 5.59%

22 106 1221 8.68%

23 102 1737 5.87%

24 102 1028 9.92%

Aceast serie de date are urmtoarea medie i dispersie (pentru rebuturi, pentru producie i pentru ponderea rebuturilor n producie:

Asumnd c distribuia datelor mele este una normal sunt interesat s determin cu ce probabilitate rebuturile n urmtoarea lun vor fi de 109 piese i cu ce probabilitate producia va fi de 1200 de piese:

Datele Descrierea

109 Valoarea pentru care dorii s calculm distribuia

105.17 Media aritmetic a distribuiei

2,565 Deviaia standard a distribuiei

Formula n Excel Descrierea formulei

=NORMDIST(A2,A3,A4,FALSE) Probabilitatea pentru valoarea dat

Funcia aferent distribuie Poisson este:

Unde:

e baza logaritmului natural (e = 2.71828)

k - este numrul de apariii n cazul unui eveniment a crui probabilitate de apariie este dat de funcia de mai sus

k! este valoarea factorial a lui k (k! = 1 x 2 x 3 x x k)

este un numr real pozitiv egal cu valoarea ateptat a apariiilor n viitor a unui fenomen ntr-un interval dat (de exemplu dac un fenomen apare n medie odat la 4 minute dar noi dorim s lum n calcul un interval de 10 minute atunci = 10/4 = 2.5

S presupunem c dorim s calculm probabilitatea de apariie a unui accident de main (aceast distribuie este folosit n sectorul asigurrilor).

Vrem s calculm cu ce probabilitate apare un accident pe zi dac n trecut la fiecare 3 ore s-au produs n localitatea X 6 accidente uoare (adic k = 6) i deci = 24/3 = 8

Conform distribuiei Poisson avem c probabilitatea de apariie a unui accident este:

it

1tt

i

t

i

1ti

P

DPPRET

qk

qk

4k3k

4k3k

2k1k

2k1k

ik R...

p...

RR

pp

RR

ppR

Randamentul unui instrument financiar:

Distribuia randamentelor probabilistice:

q

1i iikRp)E(R

Ateptarea de ctig calculat pe aceste randamente probabilistice este:

Modelul se bazeaz pe ipoteza c distribuia este una normal

n acest caz putem aproxima probabilitile pi cu numrul de observaii

Ateptarea de ctig devine medie simpl a ateptrilor de ctig din trecut.

S presupunem c dorim s investim o sum de bani n proiectul A, B sau n proiectul C care genereaz lunar urmtoarele randamente:

Ateptarea de randament (asumnd o distribuie normal a acestora) va fi n acest caz egal cu:

Volatilitatea randamentelor lunare se calculeaz cu deviaia standard sau variana (n Excel funcia este STDEV):

)E(RR...

p...

)E(RR)E(RR

pp)E(RR

iqk

qk

i2ki1k

2k1k

iik

2 iii2 RERp

iii RERpMsura riscului n cazul unui proiect individual

Proprietile varianei:

1. var (constant)= 0

2. var (c x z) = c2 x var (z)

3. var (x + y) = var (x) + var (y) + cov (x, y)

Pe seria noastr am determinat variana pentru cele trei proiecte de investiii.

Am calculat apoi raportul dintre randamentul ateptat i variana determinnd profilul risc ctig al fiecrui proiect:

Proiectul cu cel mai bun profil risc ctig este PROIECTUL A i dac a decide s investesc tot capitalul de care dispun ntr-un singur proiect a alege proiectul A

O combinaie de trei proiecte poate avea un efect pozitiv asupra profilului risc ctig doar dac cele trei proiecte nu sunt perfect corelate ntre ele (o situaie rar).

Diversificarea investiiei n toate cele trei proiecte reduce riscul Notnd cu wi ponderile din capitalul total alocate pentru cele trei proiecte

obinem c:

n1,ini

q1,ii

n

q1,i2iq1,i1i

q1,iiq1,ii

21

port

E(R

p

w

...E(RE(R

...pp

...ww

R

)))

n

1i iiport)E(Rw)E(R

Not: am nmulit ctigul ateptat pentru fiecare proiect cu ponderea wi alocat acestuia i apoi am adunat acele valori obinnd c dac a combina capitalul n proporile specificate voi obine acea valoare a ctigului ateptat pentru portofoliul meu de proiecte.

Urmtorul pas const n calculare deviaiei standard (sau a varianei combinaiei de cele trei proiecte).

Formula n acest caz folosete i covariana:

)E(RR)E(RRpCov jjxN

1x

ii

xiij

Proprietile covarianei:

1. cov(y, xi)= c1*cov(y,x1)+c2* cov(y,x2)+...cn* cov(y,xn) when

y= c1*x1+c2*x2+...cn*xn

2. cov(x,y) = cov(y,x)

3. cov(c * x, y)=c*cov(x,y)

)E(RRp)E(RRp

)E(RR)E(RRp

disp(y)disp(x)

y)cov(x,y)correl(x,

y

i

y

ii

x

i

x

ii

y

i

y

i

x

i

x

ii

Interpretare:

correl(x,y) = 0 x este independent de y

correl(x,y)=1 x corelat pozitiv perfect cu y

correl(x,y) negativ indic relaie de invers proporionalitate ntre cei doi termeni

Spuneam c diversificarea capitalurilor ntre diferitele proiecte duce la reducerea riscului doar dac aceste proiecte nu sunt corelate perfect (nu au corelaia egal cu 1).

Formula corelaiei este:

Am calculat n cazul nostru folosind funcia CORREL din Excel corelaia ntre cele trei proiecte (sau Matricea de corelaie):

A este corelat negativ cu B i cu C i B i C sunt corelate ntre ele pozitiv

Pentru a determina variana combinaiei de proiecte am folosit MATRICEA VARIAN COVARIAN din Excel:

Urmtorul pas: am construit un vector coloan al ponderilor wi fcnd referin direct la ele din foaia de calcul

Urmtorul pas: am construit un vector linie al ponderilor wi fcnd referin direct la ele din foaia de calcul si am nmulit matricea cu acest vector:

Urmtorul pas: am calculat deviaia standard i profilul risc ctig al combinaiei de trei proiecte

Urmtorul pas: am optimizat cu ajutorul solverului Excel aceast combinaie astfel nct s ofere cea mai bun combinaie risc ctig:

Rezultatul final este urmtorul:

Obinut pe urmtoarea combinaie a proiectelor de investiii:

Concluzie: o combinaie n proporiile de mai sus asigur cel mai bun profil risc ctig (mai bun dac a investi toi banii n proiecte

individuale, mai exact n proiectul A care avea cel mai bun profil risc ctig).