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Curva Normal.
Importancia Clínica y
Significación Estadística
Curva Normal.
Importancia Clínica y
Significación Estadística
Curva normal, en Campana o de GaussCurva normal, en Campana o de Gauss
La campana de Gauss, curva de Gauss o curva normal, es una función de probabilidad continua, simétrica, cuyo máximo coincide con la media (m) y que tiene dos puntos de inflexión situados a ambos lados de la media, a una distancia (d) de ella.
Esta curva fue descrita por el matemático alemán Carl Friedrich Gauss, estudiando los errores que se producen al medir reiteradamente una cierta magnitud.
La campana de Gauss, curva de Gauss o curva normal, es una función de probabilidad continua, simétrica, cuyo máximo coincide con la media (m) y que tiene dos puntos de inflexión situados a ambos lados de la media, a una distancia (d) de ella.
Esta curva fue descrita por el matemático alemán Carl Friedrich Gauss, estudiando los errores que se producen al medir reiteradamente una cierta magnitud.
Breve Reseña HistóricaBreve Reseña HistóricaCarl Friedrich Gauss (Brunswick, norte de Alemania, Abril 30 de 1777 – Gotinga, Febrero 23 de 1885, XIX), fue un matemático, astrónomo y físico alemán que contribuyó significativamente en muchos campos, incluida la teoría de números, el análisis matemático, la geometría diferencial, la geodesia, el y la óptica. Considerado "el príncipe de las matemáticas" y "el matemático más grande desde la antigüedad", Gauss ha tenido una influencia notable en muchos campos de la matemática y de la ciencia, y es considerado uno de los que más influencia ha tenido en la historia. Fue de los primeros en extender el concepto de divisibilidad a otros conjuntos.
Carl Friedrich Gauss (Brunswick, norte de Alemania, Abril 30 de 1777 – Gotinga, Febrero 23 de 1885, XIX), fue un matemático, astrónomo y físico alemán que contribuyó significativamente en muchos campos, incluida la teoría de números, el análisis matemático, la geometría diferencial, la geodesia, el y la óptica. Considerado "el príncipe de las matemáticas" y "el matemático más grande desde la antigüedad", Gauss ha tenido una influencia notable en muchos campos de la matemática y de la ciencia, y es considerado uno de los que más influencia ha tenido en la historia. Fue de los primeros en extender el concepto de divisibilidad a otros conjuntos.
Propiedades de la Curva Normal
Una propiedad interesante de la curva normal, es que su
localización y forma, se determinan completamente por los
valores de la media y la desviación estándar.
El valor de la media establece el centro de la curva,
mientras que el valor de la desviación estándar determina
la extensión del esparcimiento.
Propiedades de la Curva Normal
Una propiedad interesante de la curva normal, es que su
localización y forma, se determinan completamente por los
valores de la media y la desviación estándar.
El valor de la media establece el centro de la curva,
mientras que el valor de la desviación estándar determina
la extensión del esparcimiento.
XX
SS
Puesto que todas las curvas normales, que representan distribuciones teórica, tienen un área total de 1, al aumentar el valor de la desviación típica la curva debe reducirse en altura, extendiéndose a partir de la media. El hecho que la forma de una curva normal quede completamente determinada por su desviación estándar permiten reducir todas las curvas normales o que se aproximen a un patrón, por un simple cambio de variables.
Puesto que todas las curvas normales, que representan distribuciones teórica, tienen un área total de 1, al aumentar el valor de la desviación típica la curva debe reducirse en altura, extendiéndose a partir de la media. El hecho que la forma de una curva normal quede completamente determinada por su desviación estándar permiten reducir todas las curvas normales o que se aproximen a un patrón, por un simple cambio de variables.
Propiedades de la Curva NormalPropiedades de la Curva Normal
11
Utilidad de la Curva Normal
1. Si se toman numerosas muestras de un tamaño n de un mismo universo, los promedios de los valores muestrales se distribuyen en forma de curva normal alrededor del promedio del universo y con una desviación estándar.
2. La gran importancia de esta distribución se debe a la enorme frecuencia con la que aparece en las situaciones más variadas:
Caracteres morfológicos de individuos. Caracteres fisiológicos. Caracteres sociológicos. Caracteres físicos.
Para cada valor de la media (X) y de la desviación típica (S) hay una curva normal.
Utilidad de la Curva Normal
1. Si se toman numerosas muestras de un tamaño n de un mismo universo, los promedios de los valores muestrales se distribuyen en forma de curva normal alrededor del promedio del universo y con una desviación estándar.
2. La gran importancia de esta distribución se debe a la enorme frecuencia con la que aparece en las situaciones más variadas:
Caracteres morfológicos de individuos. Caracteres fisiológicos. Caracteres sociológicos. Caracteres físicos.
Para cada valor de la media (X) y de la desviación típica (S) hay una curva normal.
El conocimiento de que los promedios se distribuyen en forma de curva normal nos permite utilizar esta curva y su sistema de medición para determinar las probabilidades de ocurrencia de diversos eventos.
Así podemos estimar , que sacando una muestra de un universo, el valor de dicha muestra reproduzca el valor real de ese universo o la probabilidad de que el azar explique la diferencia encontrada al extraer dos muestras simultaneas de ese universo.
El conocimiento de que los promedios se distribuyen en forma de curva normal nos permite utilizar esta curva y su sistema de medición para determinar las probabilidades de ocurrencia de diversos eventos.
Así podemos estimar , que sacando una muestra de un universo, el valor de dicha muestra reproduzca el valor real de ese universo o la probabilidad de que el azar explique la diferencia encontrada al extraer dos muestras simultaneas de ese universo.
Si se toma muchas veces una muestra, obtendríamos un valor diferente en cada oportunidad.
La mayoría agrupados alrededor del promedio y unos pocos valores muy apartados. Esta variación se debe al error.
Si se toma muchas veces una muestra, obtendríamos un valor diferente en cada oportunidad.
La mayoría agrupados alrededor del promedio y unos pocos valores muy apartados. Esta variación se debe al error.
Una diferencia importante para el progreso científico, puede no ser estadísticamente significativa si el número de personas investigadas es pequeño. Al contrario, pequeñas diferencias sin importancia práctica, pueden llegar a ser estadísticamente significativas cuando el número de personas es muy grande.
El hecho está ligado a la sensación de que los resultados expresados en números adquieren una aureola de certeza. Por esto es conveniente recordar que:
Una diferencia importante para el progreso científico, puede no ser estadísticamente significativa si el número de personas investigadas es pequeño. Al contrario, pequeñas diferencias sin importancia práctica, pueden llegar a ser estadísticamente significativas cuando el número de personas es muy grande.
El hecho está ligado a la sensación de que los resultados expresados en números adquieren una aureola de certeza. Por esto es conveniente recordar que:
1. La determinación de la significación e interpretación estadística es un fenómeno probabilístico que mide únicamente la probabilidad de que un evento se haya debido al azar.
2. En el campo de la medicina , la importancia clínica de un determinado hallazgo, basada en constatar una diferencia entre dos situaciones tanto en materia diagnóstica como pronostica o terapéutica, se basa esencialmente en principios científicos lógicos mas bien que en los fríos razonamientos estadísticos.
1. La determinación de la significación e interpretación estadística es un fenómeno probabilístico que mide únicamente la probabilidad de que un evento se haya debido al azar.
2. En el campo de la medicina , la importancia clínica de un determinado hallazgo, basada en constatar una diferencia entre dos situaciones tanto en materia diagnóstica como pronostica o terapéutica, se basa esencialmente en principios científicos lógicos mas bien que en los fríos razonamientos estadísticos.
VsVs
Un resultado de la significancía de un estudio está estrechamente ligado al número de observaciones realizadas, por ejemplo: con un tratamiento médico se mejoran el 50% de los pacientes y con otro el 45%, esto tiene importancia estadística cuando cada uno de los grupos tiene una población de 800 o mas y pierde significancia en grupos pequeños.
Una diferencia estadística significativa solo indica que existe una baja probabilidad de que el azar explique la diferencia observada, pero NO prueba que exista una diferencia real.
Error Alfa I, existe una diferencia significativa cuando en realidad no existe y Beta II cuando supone no existe diferencia alguna cuando en verdad si existe.
Un resultado de la significancía de un estudio está estrechamente ligado al número de observaciones realizadas, por ejemplo: con un tratamiento médico se mejoran el 50% de los pacientes y con otro el 45%, esto tiene importancia estadística cuando cada uno de los grupos tiene una población de 800 o mas y pierde significancia en grupos pequeños.
Una diferencia estadística significativa solo indica que existe una baja probabilidad de que el azar explique la diferencia observada, pero NO prueba que exista una diferencia real.
Error Alfa I, existe una diferencia significativa cuando en realidad no existe y Beta II cuando supone no existe diferencia alguna cuando en verdad si existe.
3.3.
4.4.
5.5.
Ejemplo 1: (datos a la izquierda):
En una muestra donde la media ( X ) = 20,3 años
Y la desviación estándar ( S ) = 4,5 años
¿Cuál es la probabilidad de que alguien tenga menos de 18 años?
Ejemplo 1: (datos a la izquierda):
En una muestra donde la media ( X ) = 20,3 años
Y la desviación estándar ( S ) = 4,5 años
¿Cuál es la probabilidad de que alguien tenga menos de 18 años?
X1 = 18 añosX1 = 18 años X = 20,3
añosX = 20,3 años
( S ) = 4,5 años( S ) = 4,5 años
Z= = - 0,51 Z= = - 0,51 18 – 20,3
4,5
18 – 20,3
4,5
Se busca en la tabla, ÁREA BAJO LA CURVA NORMAL TIPIFICADA y el número hallado se multiplica por 100 así:Se busca en la tabla, ÁREA BAJO LA CURVA NORMAL TIPIFICADA y el número hallado se multiplica por 100 así:
- 0,51 A = 0,305 0,305 x 100 = 30,5 % - 0,51 A = 0,305 0,305 x 100 = 30,5 %
La probabilidad de que alguien de este grupo tenga menos de 18 años es del 30,5 %La probabilidad de que alguien de este grupo tenga menos de 18 años es del 30,5 %
Ejemplo 2: (datos a la derecha):
En una muestra donde la media ( X ) = 20,3 años
Y la desviación estándar ( S ) = 4,5 años
¿Cuál es la probabilidad de que alguien tenga mas de 25 años?
Ejemplo 2: (datos a la derecha):
En una muestra donde la media ( X ) = 20,3 años
Y la desviación estándar ( S ) = 4,5 años
¿Cuál es la probabilidad de que alguien tenga mas de 25 años?
X1 = 25 añosX1 = 25 añosX = 20,3
añosX = 20,3 años
Z= = 1,04Z= = 1,0425 – 20,3
4,5
25 – 20,3
4,5
Se busca en la tabla, ÁREA BAJO LA CURVA NORMAL TIPIFICADA y el número hallado se le resta a 1 y se multiplica por 100 así:
Se busca en la tabla, ÁREA BAJO LA CURVA NORMAL TIPIFICADA y el número hallado se le resta a 1 y se multiplica por 100 así:
1,04 A = 0,8508 1 – 0,8508 x 100 = 14,92 % 1,04 A = 0,8508 1 – 0,8508 x 100 = 14,92 %
La probabilidad de que alguien de este grupo tenga más de 25 años es del 14,92 %La probabilidad de que alguien de este grupo tenga más de 25 años es del 14,92 %
Ejemplo 3: (datos en un intervalo):
En una muestra donde la media ( X ) = 20,3 años
Y la desviación estándar ( S ) = 4,5 años
¿Cuál es la probabilidad de que alguien tenga mas de 16 años y menos de 22? o que tenga entre 16 y 22 años?
Ejemplo 3: (datos en un intervalo):
En una muestra donde la media ( X ) = 20,3 años
Y la desviación estándar ( S ) = 4,5 años
¿Cuál es la probabilidad de que alguien tenga mas de 16 años y menos de 22? o que tenga entre 16 y 22 años?
X1 = 22 añosX1 = 22 añosX = 20,3
añosX = 20,3 años
X1 = 16 añosX1 = 16 años
( S ) = 4,5 años( S ) = 4,5 años
Z= = - 0,96Z= = - 0,96 16 – 20,3
4,5
16 – 20,3
4,5
Se busca en la tabla, ÁREA BAJO LA CURVA NORMAL TIPIFICADA y el número hallado se le resta a 1 y se multiplica por 100 así:
Se busca en la tabla, ÁREA BAJO LA CURVA NORMAL TIPIFICADA y el número hallado se le resta a 1 y se multiplica por 100 así:
La probabilidad de que alguien de este grupo tenga más de 16 años y menos de 25 años es del 47,95 %La probabilidad de que alguien de este grupo tenga más de 16 años y menos de 25 años es del 47,95 %
Para 22 años
0,38 A = 0,648
Para 22 años
0,38 A = 0,648
Z= = 0,38Z= = 0,38 22 – 20,3
4,5
22 – 20,3
4,5
Para 16 años - 0,96 A = 0,1685
Para 16 años - 0,96 A = 0,1685
0, 648 – 0,1685 = 0,4795
0,4795 x 100 = 47,95 %
0, 648 – 0,1685 = 0,4795
0,4795 x 100 = 47,95 %
Medidas de tendencia Medidas de tendencia
central y central y
Medidas de disperciónMedidas de disperción
Media Media (promedio)(promedio)
Fórmula: x = Fórmula: x = x / x / nn
Ejemplo: Número de accidentes por Ejemplo: Número de accidentes por semanasemana
8, 5, 3, 2, 7, 1, 2, 4, 6, 28, 5, 3, 2, 7, 1, 2, 4, 6, 2
X = ( 8+5+3+2+7+1+2+4+6+2 ) / 10 X = ( 8+5+3+2+7+1+2+4+6+2 ) / 10
= 40 / 10 = 4= 40 / 10 = 4
MedianaMedianaEl valor que divide a un grupo clasificado en dos mitades El valor que divide a un grupo clasificado en dos mitades
iguales.iguales.
Datos OrdenadosDatos Ordenados
Si n es par, se dividen las dos observaciones centralesSi n es par, se dividen las dos observaciones centrales
Si n es impar, la mediana es la observación del medio.Si n es impar, la mediana es la observación del medio.Dando un número de observaciones par ( n = 10 ):
Ejemplo: 1, 2, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
Mediana = ( 3 + 4 ) / 2 = 3.5
Dando un número de observaciones impar ( n = 11):
Ejemplo: 1, 2, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10
Mediana = 4
( n + 1 ) / 2 = ( 11 + 1 ) / 2 = 6a observación
ModaModaEl valor que ocurre más frecuentemente en un grupo de El valor que ocurre más frecuentemente en un grupo de
datosdatos
Ejemplo: 1, 2, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8Ejemplo: 1, 2, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
Modo = 2Modo = 2
RangoRangoLa diferencia entre el mayor y el menor de los La diferencia entre el mayor y el menor de los
valores en una distribuciónvalores en una distribución
Ejemplo: 1, 2, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8Ejemplo: 1, 2, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
Rango = 8 - 1 = 7Rango = 8 - 1 = 7
Varianza y Desviación Varianza y Desviación Típica o EstándarTípica o Estándar
Medidas de dispersión de los valores alrededor de Medidas de dispersión de los valores alrededor de
la mediala media
Si los números están cerca de la media, la varianza Si los números están cerca de la media, la varianza
es pequeñaes pequeña
Si están alejados de la media, la varianza será más Si están alejados de la media, la varianza será más grande.grande.
Medidas de dispersión de los valores alrededor de Medidas de dispersión de los valores alrededor de
la mediala media
Si los números están cerca de la media, la varianza Si los números están cerca de la media, la varianza
es pequeñaes pequeña
Si están alejados de la media, la varianza será más Si están alejados de la media, la varianza será más grande.grande.
Desviación Típica o Desviación Típica o EstándarEstándar
La desviación estándar (o desviación típica) es una medida de dispersión para variables de razón y de intervalo, de gran utilidad en la estadística descriptiva. Es una medida (cuadrática) que informa de la media de distancias que tienen los datos respecto de su media aritmética, expresada en las mismas unidades que la variable.
La desviación estándar (o desviación típica) es una medida de dispersión para variables de razón y de intervalo, de gran utilidad en la estadística descriptiva. Es una medida (cuadrática) que informa de la media de distancias que tienen los datos respecto de su media aritmética, expresada en las mismas unidades que la variable.
S = Ʃ f X 2
nƩ f X
n
2
VARIANZA ( s 2 ): es el promedio del
cuadrado de las distancias entre cada observación y la media aritmética del conjunto de observaciones.
Si los datos están agrupados utilizamos las
marcas de clase en lugar de X i.
VARIANZA ( s 2 ): es el promedio del
cuadrado de las distancias entre cada observación y la media aritmética del conjunto de observaciones.
Si los datos están agrupados utilizamos las
marcas de clase en lugar de X i.
VarianzaVarianza
V = S2
La varianza es una medida de disperción de una variable
aleatoria respecto a su esperanza. Se define como la
esperanza de la transformación.
La varianza es una medida de disperción de una variable
aleatoria respecto a su esperanza. Se define como la
esperanza de la transformación.
Distribuciones Simétricas Distribuciones Simétricas y Sesgadasy Sesgadas
Media
Mediana
Modo
Media
Mediana
ModoModoModoMedianaMediana
MediaMedia
SimétricaSimétrica SesgadaSesgada
El sabio consigue más ventajas
por sus enemigos, que el necio
por sus amigos.
Benjamin Franklin
(1706-1790) Estadista y científico estadounidense.
El sabio consigue más ventajas
por sus enemigos, que el necio
por sus amigos.
Benjamin Franklin
(1706-1790) Estadista y científico estadounidense.
