CURVAS DE NIVEL Y SURFER

Cuando se tiene que representar cuantitativamente una superficie, parece lgico que el esfuerzo de descripcin se realice con tanta ms intensidad cuanto ms vare. Los elementos de descripcin deben asociarse a las direcciones de mxima pendiente. De hecho, los sistemas iniciales de representacin del terreno hacan uso intensivo de secciones y perfiles. Sin embargo, este tipo de representacin resulta extremadamente esquemtica o simplista, puesto que la informacin se limita a una lnea. Su integracin a travs de la representacin de la proyeccin sobre un plano horizontal de las direcciones de mxima pendiente, resulta confusa.Al graduar por cotas las lneas de mxima pendiente para permitir su medida, es posible integrar las graduaciones en lneas de igual cota o isolneas. Finalmente, como las lneas de mxima pendiente pueden ser reconstruidas a partir de las isolneas, ya que son las lneas que definen la mnima distancia entre las curvas de nivel, se eliminan de la representacin para mayor claridad. De esta manera queda el clsico plano con curvas de igual cota, esquemtico y claro, sin informacin redundante. La comprensin espacial de la superficie representada requiere la construccin mental del modelo de mximas pendientes, ortogonal a las curvas de igual cota y graduado por ellas.

Pendientes graduadas

Curvas de nivel

Las curvas de nivel.

El trazado de las curvas de igual cota, curvas de nivel o isolneas, se centra normalmente en el valor asociado a ellas, haciendo un seguimiento de ese valor sobre la superficie. Sin embargo, es importante resaltar que, como graduacin de las lneas de mxima pendiente, la isolnea es una frontera topolgica que separa el conjunto de los puntos de mayor cota de los de menor cota.Dando una orientacin a la isolnea se consigue que queden a uno de sus lados los puntos de mayor cota y al otro los de menor cota, siendo este criterio el que se utiliza para la deteccin de inconsistencias en los trazados de isolneas.

La red como grfico de informacin espacial.Para definir una superficie, a partir de un conjunto de puntos, datos, irregularmente distribuidos, hay que utilizar la informacin asociada a su distribucin espacial. Una de las formas de estructurar la informacin espacial consiste en el mallado, con la construccin de un grfico que relaciona los puntos con sus vecinos. De esta manera se concentra la informacin dispersa de las posiciones relativas de los puntos en una informacin concreta de relaciones entre puntos del conjunto inicial, graduada por la mtrica del grfico.

La red como particin en polgonos.La red de arcos del grfico define a su vez una particin del rea que recubre, sobre la que establece una red de polgonos que tienen los arcos por lados. Los polgonos de la red son simplemente conexos, mutuamente excluyentes y contiguos. Sus intersecciones son vacas y la unin de todos ellos es el dominio de definicin de la superficie.Para construir la superficie buscada, se define en el interior de cada polgono una superficie continua y nica, tal que pase por los vrtices y que a lo largo de los lados del polgono, sus valores coincidan con los de las superficies definidas para los polgonos adyacentes. La unin de esas superficies es una superficie continua y nica en todo el dominio.

Polgonos convexos.Un polgono simplemente conexo es convexo si cualquier recta, que se trace por un punto de su interior, corta siempre en dos puntos a su contorno. Si el polgono es convexo, cualquier recta que una dos puntos de su frontera cortar a la frontera solo en esos puntos y todos los puntos del segmento abierto sern interiores.Cuando los polgonos de la red son convexos, se puede establecer un criterio para trazar lneas de nivel sin indeterminaciones, aunque los contornos de los polgonos presenten multiplicidad de mximos y mnimos.

Criterio.Cuando una curva de nivel que, segn su sentido de recorrido, deja los puntos de menor cota a su izquierda, entra en un polgono por un punto de su contorno, el punto de salida es el primer punto de igual cota que se encuentra recorriendo el contorno del polgono en sentido contrario al giro de las agujas del reloj. Si se llega al punto inicial del recorrido, el punto de salida es el mismo que el de entrada (es el primer punto encontrado de igual cota).Se puede establecer el criterio simtrico del anterior sin ms que invertir el sentido de recorrido de la curva de nivel o el sentido de recorrido del contorno del polgono. Estos dos criterios son equivalentes al criterio de la mano derecha o de la mano izquierda para atravesar un laberinto.

Resultado de la adopcin del criterio.El trazado de curvas de nivel segn este criterio minimiza el rea del conjunto de cotas superiores encerrado por cada isolnea.Como los polgonos son convexos, el rea barrida por el vector que une el punto de entrada con el punto que recorre el contorno del polgono, para determinar el punto de salida, es siempre creciente. En efecto, siendo el polgono convexo, la directriz del vector no puede cortar ms que en otro punto adems del punto de entrada. Si el rea barrida cambiara de creciente a decreciente tendra un mximo. Y si tuviera un mximo, en un entorno del mximo habra dos puntos de corte de la directriz con la frontera, con lo que el polgono no sera convexo. En todo polgono simplemente conexo y convexo, la proyeccin de un punto interior sobre su frontera tiene la misma secuencia que las direcciones de sus segmentos proyectantes.El criterio establecido escoge, de todos los posibles puntos de salida, el que determina la menor rea entre la curva de nivel y el contorno del polgono. Esto se debe a que el contorno se recorre en sentido creciente de reas y se elige el primer punto encontrado.Como el rea encerrada por el conjunto de toda la isolnea es suma de las reas encerradas en cada polgono, y es mnima en cada polgono, es mnima en la suma.De la misma forma el criterio simtrico maximiza el rea del conjunto de cotas superiores encerrado por cada isolnea.

Conjunto de las posibles formas de curvado.Al representar el primer criterio el mnimo de reas y el criterio simtrico el mximo de reas, cualquier otro curvado vlido estar comprendido entre ellos. Esto permite establecer una forma de acotado de las posibles soluciones. Si las soluciones de curvado son idnticas bajo los dos criterios, la solucin de curvado es nica. Si la solucin de curvado es nica, en el contorno de todos los polgonos no hay ms que un mximo y un mnimo.Como un tringulo es un polgono convexo, la solucin de curvado de una red formada por tringulos puede no ser nica si hay tringulos que tienen dos vrtices de la misma cota. No obstante, la medida en reas de las diferencias es nula.

Elementos de definicin de la malla.La malla sobre la que se establece el procedimiento de trazado de isolneas se define de tal forma que est formada por polgonos contiguos, convexos, simplemente conexos y externos entre s, que recubren completamente el dominio de definicin de la superficie. Los elementos de definicin son:1. Vrtices que se representan por sus tres coordenadas y una referencia de identificacin2. Lados que se representan con dos vrtices y una referencia de identificacin3. Polgonos que se representan por una sucesin ordenada de lados de manera que el primer vrtice del primer lado coincida con el ltimo vrtice del ltimo lado (condicin de cierre).

Condiciones de la superficie.La superficie es funcin unvoca y continua de las coordenadas dentro del domino que es recubierto por los polgonos. Esta condicin es necesaria para que las curvas de nivel sean continuas, nicas y no se crucen. Esta condicin se alcanza debido a la definicin, en cada polgono de la red, de una superficie continua que pasa por los vrtices y tiene los mismos valores sobre el contorno que las superficies de los polgonos adyacentes. Los mximos y los mnimos de la superficie establecida en cada polgono se deben encontrar en su contorno.

Pasos del procedimiento de trazado.a) Se buscan los vrtices de mayor y de menor cota de toda la mallab) Se calcula la diferencia entre ellos y el nmero de curvas a dibujarc) Se trazan las curvas de nivel

CURVAS DE NIVELLas curvas de nivel pueden ser de dos tipos:a) CERRADAS. Son curvas de nivel cerradas sobre s mismas, con todos sus puntos interiores al dominio a curvar.En las curvas de nivel cerradas se puede elegir, indistintamente, cualquier punto de inicio del trazado, con solo tener en cuenta cules son las coordenadas de ese punto y el polgono de inicio. Cuando se regresa a tal punto y polgono, se da por finalizado el trazado de la curva.b) ABIERTAS. Son las que cortan a la frontera del dominio a curvar.Cuando las curvas son abiertas, siempre cortan a la frontera en un nmero par de puntos. Se comienza en cualquier punto y polgono como en el caso de la curva de nivel cerrada. El trazado de la curva se interrumpe al llegar a la frontera exterior. Para continuar el trazado hay que buscar un punto de entrada de la curva. Para encontrarlo se recorre la frontera exterior en sentido inverso al del recorrido de los polgonos y se toma el primer punto encontrado de cota igual a la isolnea. A partir de ese punto se vuelve a trazar la curva hasta llegar otra vez a la frontera, o regresar al punto de inicio y finalizar.La inversin del recorrido de la frontera se basa en que, considerada como un polgono exterior, sujeto al criterio general de cruce de polgonos, la secuencia de recorrido de sus puntos es la inversa. El trazado se suspende porque no hay un polgono real que cruzar.

Trazado de las curvas.Para la realizacin del trazado de curvas de nivel se deben cumplir las siguientes etapas:a) Un procedimiento de iniciacinb) Un procedimiento de controlc) Un procedimiento de cruce de un polgonod) Un procedimiento de cruce de frontera exteriore) Un procedimiento de terminacin

a) Procedimiento de iniciacin.Una vez seleccionada una cota (z), se busca un lado que contenga un punto de comienzo de curva y que no haya sido marcado como cruzado por la curva. De no encontrarlo se da por terminado el trazado de las curvas de nivel de dicha cota.Todo lado se cruza por una curva de nivel solamente una vez. Un lado contiene un punto de comienzo de curva si su primer vrtice tiene cota igual o menor que la curva y el segundo vrtice tiene cota mayor. El polgono de inicio ser el que incluya el lado de inicio en su permetro con la misma secuencia de vrtices. El polgono de terminacin de la curva ser el adyacente por ese lado.

b) Procedimiento de control.Desde el punto de vista de organizacin, para evitar iniciar una misma curva dos veces a partir de distintos lados, se marcarn como ya utilizados los lados por los que vaya pasando una curva de forma tal que se pueda saber si el lado ya ha sido utilizado para trazar una curva de la misma cota.

c) Procedimiento de cruce de un polgono.Iniciada una curva, sta penetra en un polgono. Para determinar el punto de salida basta con seguir el criterio de cruce adoptado. Recorriendo el contorno del polgono en sentido contrario a las agujas del reloj (rea barrida creciente) se elige el lado de salida. Es el primer lado que tiene el primer vrtice mayor que la cota de la curva y el segundo menor o igual.El uso de un criterio uniforme garantiza la unicidad y posibilidad de repeticin del procedimiento y, por lo tanto, la posibilidad de expresarlo en forma de algoritmo, que es un procedimiento finito y determinado.

d) Procedimiento de cruce de frontera exterior.Si el lado en que se encuentra el punto de salida pertenece a la frontera exterior de la malla de polgonos se activa este procedimiento. El trazado de la curva se suspende y, a partir del punto de salida, se recorre la frontera exterior en el sentido de las agujas del reloj (rea barrida decreciente) hasta encontrar un lado de entrada. El criterio de lado de entrada se invierte por estar en la frontera: primer segmento con primer vrtice mayor que la cota y segundo vrtice menor o igual. Se vuelve a activar el trazado de la curva y se termina el cruce de frontera como si se acabase de cruzar un polgono normal.

e) Procedimiento de terminacin.El lado en el que se encuentra el punto de salida es comn con el polgono adyacente. Cuando se considera como perteneciente a este nuevo polgono, se recorre en sentido contrario. En consecuencia, el punto de salida del primer polgono cumple las condiciones de punto de entrada en el polgono adyacente.No obstante, hay que verificar que no se ha vuelto al punto de inicio de la curva. Basta con mirar si el lado no ha sido ya cruzado por la curva. En ese caso se vuelve al procedimiento de control.Si el lado de inicio est marcado como cruzado, se activa el procedimiento de terminacin y concluye el trazado de la curva de nivel. Se vuelve al procedimiento de iniciacin para comenzar el trazado de otra curva de la misma cota.

Aplicacin a una malla rectangular regular.Se expone como ejemplo concreto el caso de una regin rectangular cubierta por una malla rectangular regular, paralela a sus bordes. Las definiciones de los objetos que intervienen en la definicin de la malla se han simplificado de manera que basta con una matriz bidimensionalz(i,j)que contiene las cotas, las coordenadas del primer punto de la matriz u origen de la malla y el valor del espaciado regular de la malladxsegn el ejexydysegn el ejey.Los vrtices se obtienen en base a la matriz, calculando a partir de los subndices que los identifican sus coordenadas:X = Xorigen + (i-1) * dx ; Y = Yorigen + (j-1) * dy

Los lados son segmentos de rectas paralelos a los ejes y comprendidos entre dos vrtices. Los polgonos son rectngulos comprendidos entre cuatro lados de la malla.Los parmetros de curvado se pueden elegir entre una equidistancia o una serie de cotas para las que se desea obtener las curvas.Se comienza con la determinacin del rango de valores que cubre la superficie definida por la matriz de cotas. Se obtienen los valores mximo y mnimo de la matriz y se determina la serie de valores equidistantes en el caso de equidistancia. En el otro caso se determinan los valores comprendidos dentro del rango de cotas de la superficie y se ordenan si no lo estuvieran.

Se toma de forma ordenada un valor de la serie de cotas a trazar y se procede a trazar todas las curvas posibles de esa cota.Se dispone de una matriz auxiliar para indicar si un lado ya ha sido cruzado por una curva de la cota actual de dibujo y se inicializa como no cruzado previamente.a) Para las curvas que cortan el permetro exterior hay que disponer tantos elementos como lados exteriores tenga la malla, esto es:n = 2 * ( ( n - 1) + ( m - 1) )

b) Si las curvas interiores se inician nicamente en lados verticales, solamente hay que disponer tantos elementos como lados verticales interiores tenga la malla, esto es:n = ( n - 2) * ( m - 1)

Esto es posible porque las curvas interiores son cerradas sobre s mismas. Por lo tanto tienen que encerrar en su interior algn punto de la malla y siempre habr algn punto interior que sea extremo de un lado vertical que corte a la curva. Como es posible iniciar la curva en un punto arbitrario, basta con iniciarla en ese lado vertical.Se comienza con el trazado de todas las curvas abiertas posibles, comprobando todos los lados del permetro exterior. Una vez localizado un lado que permite la entrada en un polgono se marca el punto inicial de la curva de nivel y se anota este lado como ya utilizado. Terminado el permetro exterior se procede con los lados verticales interiores.A partir de este lado se construye el rectngulo en el que entra la curva. Es bastante sencillo mediante rotaciones e incrementos de ndices. Los dos primeros vrtices A y B son los extremos del lado de entrada. Los otros dos C y D, limitan un lado de malla paralelo al primero y separado un paso de malla en el sentido de propagacin de la curva. Tomados en el sentido correcto dan un rectngulo A B C D en el que se ha entrado por el lado A B.Se comprueban, secuencialmente, los lados B C, C D y D A para buscar el punto de salida. Puesto que de acuerdo con un teorema topolgico existe un punto de salida, no es posible terminar el recorrido del contorno sin encontrarlo. No obstante y por si hubiera algn fallo de gestin de datos, se puede poner en este punto del algoritmo una seal de error y una parada.Encontrado el lado de salida del rectngulo, se comprueba si pertenece al permetro exterior (curvas abiertas), en cuyo caso se suspende el trazado y se procede a buscar el punto de entrada de la curva sobre el permetro exterior recorrindolo en sentido inverso. Si el punto que se halla no es el punto inicial de la curva, se reinicia el trazado a partir de ese punto y se marca el lado como cruzado. Si el punto es el inicial, se termina la curva en el punto de salida del rectngulo. Si no pertenece al permetro exterior, se comprueba si el lado es vertical y si lo es, se anota como utilizado. Si el punto de salida coincide con el punto de comienzo de la curva (curvas interiores y cerradas) se marca tambin el punto de salida como punto final de la curva.

Si no se ha encontrado el punto final de la curva, se anota el punto como punto de continuacin de la curva y se toman los extremos del lado de salida y, invirtiendo su orden, se renombran como extremos A B. En este punto del procedimiento se vuelve al apartado de construccin del rectngulo en el que entra la curva.Cuando se acaba una curva, se vuelve a intentar con otra curva de la misma cota hasta que no se encuentre ningn lado de comienzo. Entonces se cambia de cota a la siguiente de la serie prevista y se vuelve al punto en que se inicializa la matriz auxiliar de control de trazado, hasta que se termina la serie de cotas a trazar.

Procesado final de las curvas.Se puede incorporar un filtro en la salida de resultados de manera que, comparando la curva que se est trazando con la que resultara si se eliminaran algunos puntos, se reduzca el volumen de datos en la salida sin cometer un error superior a una cantidad determinada.Tambin se puede utilizar un filtro de interpolacin o de suavizado para que las curvas no presenten un aspecto anguloso. En cualquiera de estos dos casos, ya no es posible garantizar plenamente que las curvas de nivel no se corten entre s, como ocurre con la salida original del algoritmo expuesto. Aunque con una gama muy amplia de superficies, se comporten perfectamente en la mayora de los casos.

Como hacer Curvas de Nivel en surfer

1. Realizo todos los clculos en Excel y obtenemos los valores de los ejes (x, y, z) y guardo el documento con la extension .DXf2. en el programa surfer me voy a file, import. lo cual me trae el plano hasta ac.3. el siguiente paso es hacer las curvas de nivel, para esto el manual me dice que me tengo que al menu map y en este pulsar la opcion contour-map, ya estando en esta prisiono la opcion new contour-map.4. Finalmente tenemos el plano realizado.

Se utilizar el programa SURFER para generar una superficie o curvas de nivel, a partir de puntos discretos medidos en terreno. Para una mejor visualizacionPaso 1: Haga clic

Paso 2: Haga clic en New

Paso 3: Elegir Plot Document Aceptar

Paso 4: Grid Data

Paso 5: Ejercicio 1 AbrirEn este paso, se le entrega el archivo con los datos ordenados (X, Y, Z) por columnas, en formato txt (separados por espacios o tabulaciones). SURFER tambin permite ingresar los datos en formato EXCEL (*.xls). Es conveniente que en este archivo se coloque el ttulo de cada columna, para poder identificarlas posteriormente.

A continuacin aparecer la siguiente pantalla, la cual contiene varios mdulos: Data, General, Search, Faults and Breaklines. En este caso particular, se utilizar las dos primeras alternativas (Data, General).En el mdulo Data, se debe verificar que los datos asignados por SURFER a las variables (X, Y, Z), sean las mismas ingresadas en la serie de datos. Para lo cual se utiliza el ttulo de cada columna, que fue ingresado en el conjunto de datos.

Paso seguido, en el modulo General se especifican entre otras cosas: mnimos y mximos de la serie, la discretizacin a la cual quiere hacerse la interpolacin, tipo de interpolacin (kriging, Inverse to Distance to a Power, Minimun Curvatura, etc)

En este caso particular, se generar una malla de interpolacin de 50 x 50 metros, utilizando para ello los puntos que se poseen. Una vez introducida la discretizacin espacial, se debe hacer clic en ACEPTAR.

Paso 6: Map Countour Map New Countour Map

Paso 7: Open Grid Ejercicio 1 Abrir

Paso 8: Contour Map Properties

Aparecern dos mdulos: Options y Levels.En el modulo options, se deber marcar Smooth Countours High. El fin es suavizar la generacin de las curvas de nivel.

En el modulo Levels, aparecen una serie de datos, entre los cuales se pueden nombrar: color de las lneas, si aparecen o no los valores de la curva de nivel, etc.

Se deber hacer un doble clic sobre el submdulo Level, en el mdulo Level y aparecer el una pantalla de nombre Countour Levels. Aqu se fijan los intervalos a los que se graficarn las curvas de niveles interpoladas de la serie de datos. Por defecto aparece cada 1 metro. En este caso lo se realizar cada 0.5 m. Paso seguido OK Aceptar. La figura generada debera ser la siguiente:

Paso 9: Map Post Map New Post Map

Este paso se utiliza para verificar donde se ubican los puntos medidos en el terreno y para conocer las zonas de interpolacin, en funcin de los datos reales.

Paso 10: Open Ejercicio 1 AbrirPaso 11: Post Map PropertiesEn esta etapa, se montarn los puntos con informacin sobre las curvas de nivel interpoladas por SURFER. De esta manera, se puede verificar la validez de las interpolaciones y apreciar la existencia de puntos anmalos dentro del rea en estudio.

Deber elegirse un tamao del smbolo a colocar de 0.08 in. Luego deber ACEPTAR. Aparecer en pantalla las siguientes figuras.

Paso 12: Map Overlay MapEn este paso, se deber marcar ambos planos y realizar las siguientes secuencias de comandos que aparecen en la siguiente figura.

El fin de este procedimiento es montar un plano con otro y el resultado se puede apreciar a continuacin.

Paso 13: Map Vector MapEste procedimiento se utiliza para conocer el sentido de mxima curvatura o el sentido que tomara una partcula de agua, que cae en un punto cualquiera de la zona de modelacin

Paso 14: Open Ejercicio 1 AbrirPaso 15: Vector Map Properties AceptarSe tomarn las opciones por defecto que entrega SURFER.

Paso 16: Map Overlay MapLuego el resultado obtenido, ser el siguiente:

A continuacin, se realizar un procedimiento que tiene por finalidad obtener un modelo tridimensional de la zona en estudio.

Paso 17: Map Wireframe

Paso 18: Open Ejercicio 1 Abrir

Se utilizarn las opciones por defecto que presente SURFER.

Una vez realizado el procedimiento, el resultado obtenido ser el siguiente:

CONCLUSIN

En el dibujo de mapas, es decir, en la representacin de las formas de una parte de la superficie de la tierra, hay la diferencia caracterstica de que el dibujo queda totalmente completo, en una vista, representndose a la tercera dimensin la altura, sobre esta vista.

En el dibujo topogrfico hay necesidad de hacer clculos grficos, la precisin en la localizacin de puntos y lneas sobre el plano.

La escala es una representacin de la relacin fija existente entre cada distancia en el mapa a la distancia correspondiente en el terreno. La magnitud de la escala va a depender del fin para el cual se va a dibujar el mapa y tambin en la calidad y extensin de la zona mostrada.