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Importância das Curvas
• na engenharia, projeto e manufatura de uma ampla gama de produtos, como automóveis, cascos de navios, fuselagem e asas de aviões, lâminas de propulsão, sapatos, garrafas, edificações, etc.
• na descrição e interpretação de fenômenos físicos em áreas como geologia, física e medicina.
• Em sistemas CAD que incorpora modelos matemáticos e computacionais desenvolvidos para apoiar os processos de engenharia, projeto e manufatura.
Superfícies
• Frequentemente, superfícies são descritas por uma malha de curvas definidas em planos ortogonais.
• As curvas podem ser obtidas através da digitalização de um modelo físico ou desenho, e posterior ajuste de uma curva matemática aos pontos digitalizados.
Interpolação e Aproximação
• Interpolação: Hermite, Catmull-Rom spline• Aproximação: Bézier, curvas B-spline
Uma curva baseada em interpolação intercepta os
pontos de controle.
Uma curva baseada em aproximação sempre
intercepta os pontos finais.Os pontos de controle servem
para modelar a curva.
Curvas de Hermite
• Formada por 2 pontos e 2 vetores tomados como tangentes à curva nos pontos
• Passa pelos 2 pontos especificados
Curvas de Bézier
• A curva de Bézier é definida pela equação:
• Onde P é o ponto de controle e B é a função de blending
Curvas de Bézier
• Curva de Bézier Linear
Curvas de Bézier
• Curva de Bézier Quadrática
Curvas de Bézier
• Curva de Bézier Cúbica
Curvas de Bézier
• Construindo curvas de BézierThe t in the function for a linear Bézier curve can be thought of as
describing how far B(t) is from P0 to P1. For example when t=0.25, B(t) is one quarter of the way from point P0 to P1. As t varies from 0 to 1, B(t) describes a curved line from P0 to P1.
Curvas de Bézier
• Construindo curvas de BézierFor higher-order curves one needs correspondingly more
intermediate points. For cubic curves one can construct intermediate points Q0, Q1 & Q2 that describe linear Bézier
curves, and points R0 & R1 that describe quadratic Bézier curves.
B-Splines
• Na síntese de imagens uma curva pode possuir formas muito complexas para serem representadas por simples curvas cúbicas de Bézier.
• Aumentando o grau da curva de Bézier será aumentado proporcionalmente a flexibilidade da forma projetada.
• Este fato no entanto aumenta consideravelmente o processamento e o gasto de memória.
• Por essas razões é divido a curva em “sub-curvas” que podem ser representadas por equações de menores graus.
• Uma curva que é constituída de diversas “sub-curvas” de Bézier, quer dizer, uma composição de curvas de Bézier, é chamada de B-Splines.
B-Splines
NURBS(Non-uniform rational B-spline)
• É um modelo matemático usado regularmente em programas gráficos para gerar e representar curvas e superficies.
• É baseado na B-Spline
