Curvas y Super cies, 2015 - Departamento de Matemática ...dma.aq.upm.es/.../Apuntes/Curvas3_CurvaturaTorsion.pdf · Repaso Curvatura Torsion Triedro De nicionLlamamosvector curvaturade

Repaso Curvatura Torsion Triedro

1.3 Curvatura y torsion. Triedro de Frenet.

Sonia L. Rueda

ETS Arquitectura. UPM

Curvas y Superficies, 2015


Curvas y superficies

1. Curvas

2. Superficies

3. Superficies Regladas


Curvas

1.1 Definicion de curva parametrizada espacial. Representacionimplıcita.

1.2 Longitud de una curva. Parametro arco.

1.3 Curvatura y torsion. Triedro de Frenet.

1.4 Curvas notables: helices, curvas de Bezier.


Contenidos

Repaso de notacion

CurvaturaVector normalPlano osculador. Circunferencia osculatriz

TorsionVector binormalTorsion

Triedro de FrenetFormulas de Frenet-SerretTeorema Fundamental


Repaso de notacion





Repaso de notacion

Sea C una curva parametrizada por la longitud de arco s, conrepresentacion parametrica natural

β : J = (a, b) ⊆ R −→ R3.

T (s) = β′(s) vector tangente uni-tario a C en el punto P = β(s). Larecta tangente a C en P tiene comovector director a T (s).

r(λ) = P + λT (s).

El plano normal a C en P tiene como

vector normal T (s).


Repaso de notacion





Curvatura

Gateway Arch, St Louis, USA. Eero Saarinen (arquitecto) yHannskarl Bandel (ingeniero), 1965


Definicion Llamamos vector curvatura de C en el punto P = β(s0),al vector β′′(s0) y curvatura (de flexion), a su modulo ||β′′(s0)||.Definimos ademas la funcion curvatura

κ : J −→ R, κ(s) = ||β′′(s)||.

Si κ(s0) 6= 0, llamamos a su inverso ρ(s0) = 1κ(s0) radio de

curvatura.Interpretacion geometrica La curvatura esta ligada a la rapidez conla que se aleja la curva C de la recta tangente en un punto P.

β′′(s0) = lims→s0

β′(s)− β′(s0)

s − s0.

κ(s0) mide la tasa de cambio del angulo que forma T (s0) convectores tangentes a C en puntos proximos a P.


Definicion Llamamos vector curvatura de C en el punto P = β(s0),al vector β′′(s0) y curvatura (de flexion), a su modulo ||β′′(s0)||.Definimos ademas la funcion curvatura

κ : J −→ R, κ(s) = ||β′′(s)||.

Si κ(s0) 6= 0, llamamos a su inverso ρ(s0) = 1κ(s0) radio de

curvatura.Interpretacion geometrica La curvatura esta ligada a la rapidez conla que se aleja la curva C de la recta tangente en un punto P.

β′′(s0) = lims→s0

β′(s)− β′(s0)

s − s0.

κ(s0) mide la tasa de cambio del angulo que forma T (s0) convectores tangentes a C en puntos proximos a P.


Proposicion Una curva C parametrizada por la longitud de arcotiene curvatura identicamente nula si, y solo si, es una recta.Ejemplos

1. La curvatura de una circunferencia de radio r centrada en elorigen es 1

r y su radio de curvatura r .

2. Consideramos una helice circular parametrizada por lalongitud de arco,

β(s) =

(acos

(s√

a2 + b2

), asen

(s√

a2 + b2

), b

s√a2 + b2

),

s ∈ R. La curvatura y el radio de curvatura son

κ(s) =a

a2 + b2y ρ(s) =

a2 + b2

a.






β(s) =

(acos

(s√

a2 + b2

), asen

(s√

a2 + b2

), b

s√a2 + b2

),


κ(s) =a

a2 + b2y ρ(s) =

a2 + b2

a.






β(s) =

(acos

(s√

a2 + b2

), asen

(s√

a2 + b2

), b

s√a2 + b2

),


κ(s) =a

a2 + b2y ρ(s) =

a2 + b2

a.


Vector normal

Si κ(s) 6= 0 entonces β′′(s) y el vector tangente β′(s) a la curva Cen un punto P = β(s) son vectores ortogonales, ya que

β′(s) · β′(s) = 1⇒ 2β′′(s) · β′(s) = 0.

Definicion. Llamamos vector normal principal a C en P = β(s) alvector unitario N(s) en la direccion del vector curvatura

N(s) =β′′(s)

||β′′(s)||=β′′(s)

κ(s).

Tenemos ası la primera formula de Frenet-Serret

T ′(s) = κ(s)N(s).


Vector normal


β′(s) · β′(s) = 1⇒ 2β′′(s) · β′(s) = 0.


N(s) =β′′(s)

||β′′(s)||=β′′(s)

κ(s).


T ′(s) = κ(s)N(s).


Vector normal


β′(s) · β′(s) = 1⇒ 2β′′(s) · β′(s) = 0.


N(s) =β′′(s)

||β′′(s)||=β′′(s)

κ(s).


T ′(s) = κ(s)N(s).


Plano osculador. Circunferencia osculatriz

Definicion La recta normal a C en P = β(s) es la recta afın quecontiene a P y tiene como vector director al vector normalprincipal N(s).

Definicion El plano osculador de C en P = β(s) es el plano afın Ωque contiene a P y tiene como vectores directores T (s) y N(s).

Definicion Llamamos centro de curvatura de C en P = β(s) alpunto de la recta normal

Z (s) = P + ρ(s)N(s).

La circunferencia osculatriz de C en P es la circunferenciacontenida en el plano osculador Ω, de centro el centro de curvaturaZ (s) y radio el radio de curvatura ρ(s).






Z (s) = P + ρ(s)N(s).







Z (s) = P + ρ(s)N(s).







Z (s) = P + ρ(s)N(s).



• Intuitivamente Ω es el plano que mejor se adapta a la curvaen un entorno del punto P.

• La circunferencia osculatriz tiene un orden de contactomaximo con la curva.

• Los vectores tangente y normal principal en P a la curva y lacircunferencia coinciden.

• Los puntos de la circunferencia osculatriz son los puntos deinterseccion del plano osculador Ω y la esfera de centro Z (s) yradio ρ(s).


Repaso de notacion





Torsion

Puente de Madrid Rıo. D. Perrault, 2011


Vector binormal

Definicion Sea P = β(s) un punto de C con κ(s) 6= 0. Llamamosvector binormal a C en P, al producto vectorial

B(s) = T (s) ∧ N(s).

Observamos que B(s) es unitario y ortogonal al plano osculador.

Definicion La recta binormal a la curva C en el punto P es la rectaafın que contiene a P y tiene como vector director al vectorbinormal B(s).

Definicion El plano rectificante de la curva C en el punto P es elplano afın Γ que contiene a P y tiene como vectores directores aT (s) y B(s).


Vector binormal


B(s) = T (s) ∧ N(s).





Vector binormal


B(s) = T (s) ∧ N(s).





Torsion

Segunda formula de Frenet-Serret

B ′(s) = τ(s)N(s)

Definicion Supongamos que κ(s) 6= 0, s ∈ J. El numero real τ(s),tal que B ′(s) = τ(s)N(s), se denomina torsion de C en P = β(s).

Interpretacion geometrica La torsion esta ligada a la variacion delvector binormal, ya que |τ(s)| = ||B ′(s)|| mide la velocidad conque la curva C se aleja del plano osculador en P.||B ′(s)|| mide la tasa de cambio del angulo que forman el planoosculador de C en P con los planos osculadores en puntos de Ccercanos a P.


Torsion


B ′(s) = τ(s)N(s)




Torsion


B ′(s) = τ(s)N(s)




Torsion

Proposicion Sea C una curva tal que κ(s) 6= 0, ∀s ∈ J. Entonces,

C es una curva plana ⇔ τ(s) = 0, ∀s ∈ J.

Demostracion

• C esta contenida en un plano si y solo si B(s) es contante,igual a B0 = (b1, b2, b3), para todo s ∈ J.

• Equivalentemente B ′(s) = 0 = (0, 0, 0), ∀s ∈ J y τ(s) = 0,∀s ∈ J.

Formula para calcular la torsion:

τ(s) = − [β′(s), β′′(s), β′′′(s)]

κ(s)2.


La torsion puede ser positiva o negativa.Ejemplo Continuacion del ejemplo de la helice circular

τ(s) =−b

a2 + b2, ∀s ∈ R.

Por tanto, el signo de la torsion depende del signo de b.

Mostramos las helices para valores a = 1 y b = ±2.

b = 2, τ(s) < 0 b = −2, τ(s) > 0


La torsion puede ser positiva o negativa.Ejemplo Continuacion del ejemplo de la helice circular

τ(s) =−b

a2 + b2, ∀s ∈ R.

Por tanto, el signo de la torsion depende del signo de b.

Mostramos las helices para valores a = 1 y b = ±2.

b = 2, τ(s) < 0 b = −2, τ(s) > 0


Repaso de notacion





Triedro de Frenet

Resumiendo, dada la curva C con parametrizacion naturalβ : J → R3 y κ(s) 6= 0, ∀s ∈ J. Asociados a un punto P = β(s)hemos definido vectores unitarios y ortogonales dos a dos

T (s) = β′(s), N(s) = β′′(s)/κ(s), B(s) = T (s) ∧ N(s).

Definicion La base ortonormal T (s),N(s),B(s) de R3 recibe elnombre de triedro de Frenet de C en P = β(s).

En cada punto P = β(s) de C tenemos un sistema de referenciaafın ortonormal de R3 con origen en P y base T (s),N(s),B(s).


Triedro de Frenet






Triedro de Frenet






Formulas de Frenet-SerretJean Frederic Frenet (1816-1900), Joseph Serret (1819-1885)Las derivadas T ′(s) y B ′(s) expresadas en el Triedro de Frenetgeneran entidades geometricas, la curvatura y la torsion, queproporcionan informacion sobre el comportamiento de la curva Cen un entorno del punto P = β(s).

Tercera formula de Frenet-Serret

N ′(s) = B ′(s) ∧ T (s) + B(s) ∧ T ′(s) = −τ(s)B(s)− κ(s)T (s).

Completando ası las formulas de Frenet-Serret

T ′(s) = κ(s)N(s),

N ′(s) = −τ(s)B(s)− κ(s)T (s).

B ′(s) = τ(s)N(s).






T ′(s) = κ(s)N(s),

N ′(s) = −τ(s)B(s)− κ(s)T (s).

B ′(s) = τ(s)N(s).






T ′(s) = κ(s)N(s),

N ′(s) = −τ(s)B(s)− κ(s)T (s).

B ′(s) = τ(s)N(s).


Teorema Fundamental

Intuitivamente podemos imaginar una curva en R3 como elresultado de someter una recta a combamiento (curvatura) yatornillamiento (torsion).

Teorema Fundamental de curvas alabeadas Dadas dos funcionesdiferenciables κ, τ : J ⊆ R −→ R, κ(s) > 0, ∀s ∈ J, existe unacurva C, parametrizada por la longitud de arco, tal que κ es sufuncion curvatura y τ(s) es la torsion en cada punto s ∈ J. Estacurva es unica salvo movimientos rıgidos directos.


Teorema Fundamental

Intuitivamente podemos imaginar una curva en R3 como elresultado de someter una recta a combamiento (curvatura) yatornillamiento (torsion).

Teorema Fundamental de curvas alabeadas Dadas dos funcionesdiferenciables κ, τ : J ⊆ R −→ R, κ(s) > 0, ∀s ∈ J, existe unacurva C, parametrizada por la longitud de arco, tal que κ es sufuncion curvatura y τ(s) es la torsion en cada punto s ∈ J. Estacurva es unica salvo movimientos rıgidos directos.


Teorema Fundamental

Dado un movimiento rıgido directo σ : R3 → R3, la curvatransformada σ(C) tiene la misma curvatura y torsion que C. Estoes:

1. γ = σ β es una parametrizacion por la longitud del arco deσ(C).

2. σ(Tβ(s)) = Tγ(s), σ(Nβ(s)) = Nγ(s) y σ(Bβ(s)) = Bγ(s).

3. κβ(s) = κγ(s) y τβ(s) = τγ(s)


Curvas no parametrizadas por la longitud de arcoSea C una curva con parametrizacion regular α : I ⊆ R −→ R3.

κ(t) := κβ(s(t)) =||α′(t) ∧ α′′(t)||||α′(t)||3

6= 0,

τ(t) := τβ(s(t)) = − [α′(t), α′′(t), α′′′(t)]

||α′(t) ∧ α′′(t)||2.

T (t) := Tβ(s(t)) =α′(t)

||α′(t)||,

B(t) := Bβ(s(t)) =α′(t) ∧ α′′(t)

||α′(t) ∧ α′′(t)||,

N(t) = B(t) ∧ T (t).

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