Curve di livello - Università di Roma LUMSA · 2019. 12. 3. · Curve di livello Piano Paraboloide Funzioni le cui curve di livello sono iperboli Funzioni le cui curve di livello

Curve di livello

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Lezioni del 19-20 novembre 2018

Matematica generale. Corso A

Lezioni del 19-20 novembre 2018 Curve di livello

Curve di livello

PianoParaboloideFunzioni le cui curve di livello sono iperboliFunzioni le cui curve di livello sono paraboleCurve di livello descritte dal grafico di funzioni ad una variabile

Definizione: Sia f : R2 → R, A ⊂ R2. La curva di livello k è ilsottoinsieme del dominio A dove il valore di f è uguale a k

Sk = {(x , y) ∈ A : f (x , y) = k}


Curve di livello


Esempio di curva di livello che già conosciamo. Una cartatopografica


Curve di livello


Esempio di curva di livello che già conosciamo. Una cartatopografica

Figura: Fonte: https://storiadellascienza.wordpress.com/2013/07/12/le-montagne-sulla-carta-topografica/


https://storiadellascienza.wordpress.com/2013/07/12/le-montagne-sulla-carta-topografica/https://storiadellascienza.wordpress.com/2013/07/12/le-montagne-sulla-carta-topografica/

Curve di livello


Un esempio dalla Letteratura.... ”L’Inferno di Dante”L’inferno di Dante

Rappresentazione tramite curve di livello


Curve di livello


Data la funzione f (x , y) = 7x + 5y , disegnare le sue curve di livello.Disegnamo le curve di livello Sk = {(x , y) ∈ R2 : 7x + 5y = k}

Poniamo k = 07x + 5y = 0 da cui y = −75x , x ∈ RLa curva di livello 0 è una retta di coefficiente angolare −7/5 epassante per (0, 0)Poniamo k = 17x + 5y = 1 da cui y = 15 −

75x , x ∈ R

La curva di livello 1 è una retta di coefficiente angolare −7/5 epassante per (0, 15 )Poniamo k = −17x + 5y = −1 da cui y = −15 −

75x , x ∈ R

La curva di livello −1 è una retta di coefficiente angolare −7/5 epassante per (0,−15 )


Curve di livello


Data la funzione f (x , y) = 7x + 5y , disegnare le sue curve di livello.Disegnamo le curve di livello Sk = {(x , y) ∈ R2 : 7x + 5y = k}Poniamo k = 07x + 5y = 0 da cui y = −75x , x ∈ RLa curva di livello 0 è una retta di coefficiente angolare −7/5 epassante per (0, 0)

Poniamo k = 17x + 5y = 1 da cui y = 15 −

75x , x ∈ R


75x , x ∈ R



Curve di livello


Data la funzione f (x , y) = 7x + 5y , disegnare le sue curve di livello.Disegnamo le curve di livello Sk = {(x , y) ∈ R2 : 7x + 5y = k}Poniamo k = 07x + 5y = 0 da cui y = −75x , x ∈ RLa curva di livello 0 è una retta di coefficiente angolare −7/5 epassante per (0, 0)Poniamo k = 17x + 5y = 1 da cui y = 15 −

75x , x ∈ R

La curva di livello 1 è una retta di coefficiente angolare −7/5 epassante per (0, 15 )

Poniamo k = −17x + 5y = −1 da cui y = −15 −

75x , x ∈ R



Curve di livello


Data la funzione f (x , y) = 7x + 5y , disegnare le sue curve di livello.Disegnamo le curve di livello Sk = {(x , y) ∈ R2 : 7x + 5y = k}Poniamo k = 07x + 5y = 0 da cui y = −75x , x ∈ RLa curva di livello 0 è una retta di coefficiente angolare −7/5 epassante per (0, 0)Poniamo k = 17x + 5y = 1 da cui y = 15 −

75x , x ∈ R


75x , x ∈ R



Curve di livello


In generale la curva di livello k è una retta di coefficiente angolare−7/5 e passante per il punto (0, k/5).

Le curve di livello della funzione f (x , y) = 7x + 5y sono rette dicoefficiente angolare −7/5 e passanti per il punto (0, k/5). Alcrescere dell’intercetta sull’asse y, ci spostiamo su curve di livellocui corrisponde un valore di f via via più grande.


Curve di livello


Nota Bene: Una circonferenza di centro (α, β) e raggio r è datada √

(x − α)2 + (y − β)2 = r

(x − α)2 + (y − β)2 = r2

x2 + y2 − 2αx − 2βy + α2 + β2 = r2

Esercizio: scrivere l’equazione della circonferenza di raggio 6 ecentro (2,-5).

(x − 2)2 + (y + 5)2 = 36x2 − 4x + 4 + y2 + 10y + 25 = 36

x2 − 4x + y2 + 10y = 7

r =√

(2)2 + (−5)2 + 7 = 6


Curve di livello


Se troviamox2 + y2 + ax + by = c

allora l’insieme dei punti (x , y) che soddisfa l’equazione precedenteè una circonferenzadi centro: C = (α, β) con α = − a2 , β = −

b2

e raggio: r =

√(− a2)2

+(−b2)2

+ c

Esempio: l’insieme dei punti che soddisfano l’equazionex2 + y2 + 14x − 6y = −42 è una circonferenza di centroC =

(−142 ,−

−62

)= (−7, 3) e raggio

r =√

72 + (−3)2 − 42 =√

16 = 4.


Curve di livello


Disegnare le curve di livello della funzione f (x , y) = x2 + y2 + 15 ,Sk = {(x , y) ∈ R2 : x2 + y2 + 15 = k}Svolgimento. Le curve di livello sono circonferenze di centro:C = (0, 0) e raggio r =

√k − 15

Grafico di

f (x, y) = x2 + y2 + 15

x

y

30

1

-2

-3

2

1

3

-1

-1

-3

2

0-2

Curve di livello di

f (x, y) = x2 + y2 + 15


Curve di livello


Di conseguenza f assume valori di k ≥ 15, ovvero la funzioneassume valori maggiori od uguali a 15. Inoltre all’aumentare delraggio, ci spostiamo su curve di livello con k maggiore, ovvero viavia che il raggio r aumenta, i punti che appartengono allecirconferenza di raggio r restituiscono un valore di f sempre piùgrande.


Curve di livello


Disegnare le curve di livello della funzionef (x , y) = x2 − 8x + y2 + 6y

f (x , y) = x2 − 8x + y2 + 6y = k ,Le curve di livello sonocirconferenze di centro: C = (4,−3) e raggior =√k + 16 + 9 =

√k + 25.

Di conseguenza f assume valori di k ≥ −25, ovvero la funzioneassume valori maggiori od uguali a −25.Inoltre all’aumentare del raggio, ci spostiamo su curve di livello conk maggiore, ovvero via via che il raggio r aumenta, ai punti cheappartengono alle circonferenza di raggio r corrisponde un valoredi f sempre più grande.(La rappresentazione grafica delle curve di livello di f è lasciataallo studente )


Curve di livello


Disegnare le curve di livello della funzionef (x , y) = x2 − 8x + y2 + 6yf (x , y) = x2 − 8x + y2 + 6y = k ,Le curve di livello sono

circonferenze di centro: C = (4,−3) e raggior =√k + 16 + 9 =

√k + 25.



Curve di livello




√k + 25.

Di conseguenza f assume valori di k ≥ −25, ovvero la funzioneassume valori maggiori od uguali a −25.

Inoltre all’aumentare del raggio, ci spostiamo su curve di livello conk maggiore, ovvero via via che il raggio r aumenta, ai punti cheappartengono alle circonferenza di raggio r corrisponde un valoredi f sempre più grande.(La rappresentazione grafica delle curve di livello di f è lasciataallo studente )


Curve di livello




√k + 25.

Di conseguenza f assume valori di k ≥ −25, ovvero la funzioneassume valori maggiori od uguali a −25.Inoltre all’aumentare del raggio, ci spostiamo su curve di livello conk maggiore, ovvero via via che il raggio r aumenta, ai punti cheappartengono alle circonferenza di raggio r corrisponde un valoredi f sempre più grande.

(La rappresentazione grafica delle curve di livello di f è lasciataallo studente )


Curve di livello




√k + 25.



Curve di livello


Disegnare le curve di livello della funzione c)f (x , y) = −x2 + 9x − y2 + 12y ;

f (x , y) = −x2 + 9x − y2 + 12y ; La curva di livello k è data daSk = {(x , y) ∈ R2 : −x2 + 9x − y2 + 12y = k} da cuiSk = {(x , y) ∈ R2 : x2 − 9x + y2 − 12y = −k}. Le curve di livellodella funzione sono circonferenze di centro

(92 , 6)

e raggio√814 + 36− k. Di conseguenza f assume valori di k ≤

2254 ,

ovvero la funzione assume valori minori od uguali a 2254 .All’aumentare del raggio, ci spostiamo su curve di livello con kminore, ovvero via via che il raggio r aumenta, ai punti cheappartengono alle circonferenza di raggio r corrisponde un valoredi f sempre più piccolo.


Curve di livello


Disegnare le curve di livello della funzione c)f (x , y) = −x2 + 9x − y2 + 12y ;f (x , y) = −x2 + 9x − y2 + 12y ; La curva di livello k è data daSk = {(x , y) ∈ R2 : −x2 + 9x − y2 + 12y = k} da cuiSk = {(x , y) ∈ R2 : x2 − 9x + y2 − 12y = −k}. Le curve di livellodella funzione sono circonferenze di centro

(92 , 6)

e raggio√814 + 36− k. Di conseguenza f assume valori di k ≤

2254 ,

ovvero la funzione assume valori minori od uguali a 2254 .All’aumentare del raggio, ci spostiamo su curve di livello con kminore, ovvero via via che il raggio r aumenta, ai punti cheappartengono alle circonferenza di raggio r corrisponde un valoredi f sempre più piccolo.


Curve di livello


Grafico dif (x , y) = −x2 + 9x − y2 + 12y

Curve di livello dif (x , y) = −x2 + 9x − y2 + 12y


Curve di livello


Esercizio. Rappresentare le curve di livello della funzionef (x , y) = xy .Svolgimento. Analogamente a quanto visto per i casi precedenti,il grafico di f è rappresentato dalla figura a sinistra. Al fine dirappresentare le curve di livello dobbiamo consideriamo i casik = 0, k > 0 e k < 0.

Per k = 0 la curva di livello è rappresentata dalla coppia degli assicartesiani (colorati di giallo nella figura a destra).Per k > 0, rami di iperboli equilatere che occupano il primo ed ilterzo quadrante (colorate di blu).Per k < 0, rami di iperboli equilatere che occupano il secondo ed ilquarto quadrante (colorate di rosso).


Curve di livello


Esercizio. Rappresentare le curve di livello della funzionef (x , y) = xy .Svolgimento. Analogamente a quanto visto per i casi precedenti,il grafico di f è rappresentato dalla figura a sinistra. Al fine dirappresentare le curve di livello dobbiamo consideriamo i casik = 0, k > 0 e k < 0.Per k = 0 la curva di livello è rappresentata dalla coppia degli assicartesiani (colorati di giallo nella figura a destra).

Per k > 0, rami di iperboli equilatere che occupano il primo ed ilterzo quadrante (colorate di blu).Per k < 0, rami di iperboli equilatere che occupano il secondo ed ilquarto quadrante (colorate di rosso).


Curve di livello


Esercizio. Rappresentare le curve di livello della funzionef (x , y) = xy .Svolgimento. Analogamente a quanto visto per i casi precedenti,il grafico di f è rappresentato dalla figura a sinistra. Al fine dirappresentare le curve di livello dobbiamo consideriamo i casik = 0, k > 0 e k < 0.Per k = 0 la curva di livello è rappresentata dalla coppia degli assicartesiani (colorati di giallo nella figura a destra).Per k > 0, rami di iperboli equilatere che occupano il primo ed ilterzo quadrante (colorate di blu).

Per k < 0, rami di iperboli equilatere che occupano il secondo ed ilquarto quadrante (colorate di rosso).


Curve di livello


Esercizio. Rappresentare le curve di livello della funzionef (x , y) = xy .Svolgimento. Analogamente a quanto visto per i casi precedenti,il grafico di f è rappresentato dalla figura a sinistra. Al fine dirappresentare le curve di livello dobbiamo consideriamo i casik = 0, k > 0 e k < 0.Per k = 0 la curva di livello è rappresentata dalla coppia degli assicartesiani (colorati di giallo nella figura a destra).Per k > 0, rami di iperboli equilatere che occupano il primo ed ilterzo quadrante (colorate di blu).Per k < 0, rami di iperboli equilatere che occupano il secondo ed ilquarto quadrante (colorate di rosso).


Curve di livello


Grafico di f (x , y) = xyCurve di livello di Curve di

livello di f (x , y) = xy


Curve di livello


Esercizio. Rappresentare le curve di livello della funzionef (x , y) = log x + log y .Svolgimento. Il grafico di f è rappresentato dalla figura a sinistra.Osserviamo preliminarmente che poiché il campo di esistenza di fè rappresentato da Ef = {(x , y) ∈ R2 : x > 0, y > 0} le curve dilivello di f si trovano nell’ortante strettamente positivo di R2. Lagenerica curva di livello k è data da:Sk = {(x , y) ∈ Ef : log x + log y = k}.

In base alle proprietà deilogaritmi si ha :log x + log y = k, se e solo se log(xy) = k , x > 0, y > 0, se e solose xy = ek , x > 0, y > 0.


Curve di livello


Esercizio. Rappresentare le curve di livello della funzionef (x , y) = log x + log y .Svolgimento. Il grafico di f è rappresentato dalla figura a sinistra.Osserviamo preliminarmente che poiché il campo di esistenza di fè rappresentato da Ef = {(x , y) ∈ R2 : x > 0, y > 0} le curve dilivello di f si trovano nell’ortante strettamente positivo di R2. Lagenerica curva di livello k è data da:Sk = {(x , y) ∈ Ef : log x + log y = k}. In base alle proprietà deilogaritmi si ha :log x + log y = k, se e solo se log(xy) = k , x > 0, y > 0, se e solose xy = ek , x > 0, y > 0.


Curve di livello


Sfruttando lo studio dell’esercizio precedente, deduciamo che lecurve di livello sono quindi iperboli.

Poniamo ad esempio k = 4. La curva di livello k = 4 èrappresentata dalla curva xy = e4 e quindi la curva di livello k = 4è il grafico della funzione y = e

4

x (in figura colore rosso).Analogamente la curva di livello k = 5 è rappresentata dal graficodella funzione y = e

5

x (in figura colore arancione).


Curve di livello


Sfruttando lo studio dell’esercizio precedente, deduciamo che lecurve di livello sono quindi iperboli.Poniamo ad esempio k = 4. La curva di livello k = 4 èrappresentata dalla curva xy = e4 e quindi la curva di livello k = 4è il grafico della funzione y = e

4

x (in figura colore rosso).

Analogamente la curva di livello k = 5 è rappresentata dal graficodella funzione y = e

5



Curve di livello


Sfruttando lo studio dell’esercizio precedente, deduciamo che lecurve di livello sono quindi iperboli.Poniamo ad esempio k = 4. La curva di livello k = 4 èrappresentata dalla curva xy = e4 e quindi la curva di livello k = 4è il grafico della funzione y = e

4

x (in figura colore rosso).Analogamente la curva di livello k = 5 è rappresentata dal graficodella funzione y = e

5



Curve di livello


In figura sono riportate le curve di livello k = 6 (colore giallo),k = 6, 5 (colore verde), k = 7 (colore blu), k = 7, 5 (colore viola).All’aumentare di k le curve di livello si spostato verso destra.

f (x, y) = log x + log y

Curve di livello di Curve di livello di

f (x, y) = log x + log y


Curve di livello


Esercizio Disegnare le curve di livello della funzionef(x , y) = −x2 + 6x − y + 20.

La curva di livello k è data daSk = {(x , y) ∈ R2 : −x2 + 6x − y + 20 = k}. Al fine di studiarel’andamento delle curve di livello esplicitiamo y in funzione di x ,y = −x2 + 6x − k + 20.Ricordiamo che il grafico della funzione g(x) = ax2 + bx + c èrappresentato da una parabola di vertice

V =(− b2a , a

(− b2a

)2+ b

(− b2a

)+ c)

=(− b2a ,

4ac−b24a

); se a > 0

g(x) è convessa, mentre se a < 0 g(x) è concava.


Curve di livello


Esercizio Disegnare le curve di livello della funzionef(x , y) = −x2 + 6x − y + 20.La curva di livello k è data daSk = {(x , y) ∈ R2 : −x2 + 6x − y + 20 = k}. Al fine di studiarel’andamento delle curve di livello esplicitiamo y in funzione di x ,y = −x2 + 6x − k + 20.

Ricordiamo che il grafico della funzione g(x) = ax2 + bx + c èrappresentato da una parabola di vertice

V =(− b2a , a

(− b2a

)2+ b

(− b2a

)+ c)

=(− b2a ,

4ac−b24a

); se a > 0



Curve di livello


Esercizio Disegnare le curve di livello della funzionef(x , y) = −x2 + 6x − y + 20.La curva di livello k è data daSk = {(x , y) ∈ R2 : −x2 + 6x − y + 20 = k}. Al fine di studiarel’andamento delle curve di livello esplicitiamo y in funzione di x ,y = −x2 + 6x − k + 20.Ricordiamo che il grafico della funzione g(x) = ax2 + bx + c èrappresentato da una parabola di vertice

V =(− b2a , a

(− b2a

)2+ b

(− b2a

)+ c)

=(− b2a ,

4ac−b24a

); se a > 0



Curve di livello


Nel nostro caso da −x2 + 6x − y + 20 = k seguey = −x2 + 6x − k + 20.Per ogni k , poiché il coefficiente del termine x2 è minore di zero,y = −x2 + 6x + (20− k) è una funzione concava e la curva dilivello k è rappresentata da una parabola di vertice

V =(− 6−2 ,

−4(20−k)−36−4

)= (3, 29− k)

Se k aumenta l’ordinata del vertice della parabola diminuisce. Diconseguenza all’aumentare di k otteniamo parabole con ugualeascissa, ma minore ordinata.


Curve di livello


Grafico dif (x , y) = −x2 + 6x − y + 20

Curve di livello dif (x , y) = −x2 + 6x − y + 20


Curve di livello


Esercizio. Disegnare le curve di livello della funzionef (x , y) = y − 13x

3 + 2x2

La curva di livello k è data daSk = {(x , y) ∈ R2 : y − 13x

3 + 2x2 = k}.Si osserva preliminarmente che le curve di livello della funzione

non sono né rette, né circonferenze, né parabole. Al fine di studiarel’andamento delle curve di livello esplicitiamo y = k + 13x

3 − 2x2.Poniamo k = 0. Studiamo la funzione ad una variabileg(x) = 13x

3 − 2x2, dato che la curve di livello k = 0 è descritta dalgrafico di g(x).


Curve di livello



3 + 2x2


3 + 2x2 = k}.

Si osserva preliminarmente che le curve di livello della funzionenon sono né rette, né circonferenze, né parabole. Al fine di studiarel’andamento delle curve di livello esplicitiamo y = k + 13x




Curve di livello



3 + 2x2


3 + 2x2 = k}.Si osserva preliminarmente che le curve di livello della funzione

non sono né rette, né circonferenze, né parabole. Al fine di studiarel’andamento delle curve di livello esplicitiamo y = k + 13x




Curve di livello


Campo di esistenza Eg = {x ∈ R}.Segno: g0(0) = 0, g(x) =

13x

3 − 2x2 = x2(

13x − 2

).

g0(x) = 0 per x = 0, x = 6.Comportamento al limite del campo di esistenza:

limx→−∞

13x

3 − 2x2 = −∞, limx→+∞

13x

3 − 2x2 = +∞.

Studio crescenza e decrescenza: g ′0(x) = x2 − 4x = x (x − 4).

Per x < 0 e x > 4, g ′0(x) > 0 (g0(x) è crescente). Per0 < x < 4 g ′0(x) < 0, (g0(x) è decrescente). x = 0 p.to dimax.rel,, x = 4 p.to di min. rel.

Curva di livello 0


Curve di livello


Per k 6= 0, y = k + 13x3 − 2x2 e quindi dobbiamo studiare

gk(x) =13x

3 − 2x2 + k ; gk(0) = k , limx→−∞

gk(x) = −∞,

limx→+∞

gk(x) = +∞, g ′k(x) = x2 − 4x = g ′0(x). Da ciò segue che lagenerica curva di livello k , si ottiene dalla curva di livello k = 0considerando punti aventi la stessa ascissa ed ordinata aumentata(se k > 0) o diminuita (se k < 0).


Curve di livello


Grafico dif (x , y) = y − 13x

3 + 2x2Curve di livello di

f (x , y) = y − 13x3 + 2x2


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