Cvičebnice

Cvičení z ekonometrie

Česká zemědělská univerzita v Praze Provozně ekonomická fakulta

Katedra ekonomiky

Ing. Lukáš Čechura, Ph.D. Dr. Ing. Pavlína Hálová Ing. Zdeňka Kroupová Ing. Michal Malý, Ph.D.

Ing. Jarmila Peterová, CSc. Ing. Lenka Šobrová

Určeno pro posluchače oborů PAE, PAA, INFO, SYI,

Tato publikace neprošla redakční ani jazykovou úpravou.

Autoři jednotlivých kapitol: Ing. Lukáš Čechura, Ph.D. - cvičení č. 1, 2, 3, 4, 14 Dr. Ing. Pavlína Hálová - cvičení č. 9 Ing. Zdeňka Kroupová - cvičení č. 6, 7, 8 Ing. Michal Malý, Ph.D. - cvičení č. 10, 11, 12, 13 Ing. Jarmila Peterová, CSc. - cvičení č. 5 Ing. Lenka Šobrová - cvičení č. 2, 3, 4 Pozn.: Teoretický úvod cvičení č. 1, 5, 9, 10, 11, 12, 13, 14 vychází z Tvrdoň, et al. 2001

Lektoroval: Ing. Michal Mejdrech, Ph.D.

Praha, 2008 ©

Předmluva Skripta, která se Vám dostávají do ruky, jsou určena pro posluchače oboru PAE, PAA, INFO a SYI na provozně ekonomické fakultě ČZU v Praze. „Cvičení z ekonometrie“ jsou zpracovány jako doplňkový učební text k přednáškám z předmětu Ekonometrie a Ekonometrické modelování. Učební text tedy není náhradou přednášek, ale slouží k praktickému procvičení probírané teorie. Jednotlivá cvičení jsou zpracována tak, aby tvořila relativně samostatný okruh problémů, které jsou osvojovány postupným řešením zadaných úkolů. Každé cvičení je složeno z úvodu do problematiky, praktických cvičení a úkolů k samostatnému procvičení. Úvod do problematiky obsahuje stručný přehled teorie, kterou by měl mít student před začátkem každého praktického cvičení ovládnutu do té míry, aby se při řešení zadaných úkolů neztrácel v neznámých pojmech. Praktická cvičení obsahují jednoduché úkoly, které však svým rozsahem a uspořádáním umožňují komplexní procvičení daného tématu. Řešení úkolů k samostatnému procvičení potom slouží k hlubšímu pochopení probírané látky a rovněž stimulují k zamyšlení nad analyzovanými problémy, a tím umocňují efekt kontaktní výuky. Za kolektiv autorů Vám přeji hodně zdaru a rovněž příjemných chvil při pronikání do krás předmětu Ekonometrie, resp. Ekonometrického modelování. Ing. Lukáš Čechura, Ph.D. garant předmětu

Obsah:

Cvičení 1 Opakování základních pojmů str. 5

Cvičení 2 Konstrukce lineárního regresního modelu (LRM) str. 12

Cvičení 3 Předpoklady a odhad LRM str. 20

Cvičení 4 Aplikace modelu, dynamizace modelu, dummy proměnné str. 28

Cvičení 5 Modely simultánních rovnic str. 33

Cvičení 6 Odhad modelu – dvoustupňová metoda nejmenších čtverců str. 39

Cvičení 7 Odhad modelu – metoda minimalizace poměru rozptylů str. 48

Cvičení 8 Verifikace ekonometrického modelu, interpretace a aplikace str. 57

Cvičení 9 Konstrukce nelineárních spotřebních funkcí str. 65

Cvičení 10 Konstrukce produkčních funkcí str. 73

Cvičení 11 Konstrukce nákladových funkcí a odvození nabídkové funkce str. 77

Cvičení 12 Konstrukce vícefaktorové produkční funkce str. 81

Cvičení 13 Vztahy mezi výrobními faktory a mezi produkty str. 87

Cvičení 14 Aplikace EKM v prognostické oblasti str. 93

Přílohy str. 99

- 5 -

1. cvičení Opakování základních pojmů Opakování vybraných partií z: – Matematiky (lineární algebra, matematická analýza) – Statistiky (regresní analýza) 1.1 Úvod do problematiky 1.1.1. Vektorový počet Vektor lze definovat jako m-tici reálných čísel.

mx

x

x..1

1 =

Čísla xi (i = 1,...,m) jsou prvky (komponenty, složky nebo souřadnice) sloupcového vektoru. Obecně lze vektor chápat jako abstraktní prvek vektorového prostoru. Dva sloupcové vektory jsou si rovny, právě když jsou si rovny jejich odpovídající prvky, tj.: x = y tehdy a jen tehdy, když xi = yi (i = 1,...,m). Základní operace definované na sloupcových vektorech jsou sčítání a násobení skalárem. Sčítání: z = x + y tehdy a jen tehdy, když zi = xi + yi (i = 1,...,m). Součet dvou sloupcových vektorů je definován pouze pro případ, kdy oba vektory mají stejný počet prvků. Násobení skalárem: y = cx tehdy a jen tehdy, když yi = cxi (i = 1,..,m). Uvedené operace lze kombinovat a dostat lineární kombinaci množiny vektorů ve tvaru: y = c1x(1)+ ...+ cnx(n) tehdy a jen tehdy, když yi = c1xi

(1)+ ...+ cnxi(n) (i = 1, ...,m), kde xi

(j) je i-tý prvek j-tého vektoru. O množině vektorů pravíme, že je lineárně závislá v případě, že existuje netriviální kombinace vektorů, která je rovna nulovému vektoru. Přesněji, množina n vektorů typu m x 1 {x(1), ..., x(n)} je lineárně závislá tehdy a jen tehdy, existuje-li množina skalárů {c1, ... ,cn} s alespoň jedním nenulovým prvkem taková, že c1x(1) + ...+ cnx(n) = 0.

- 6 -

1.1.2. Maticový počet Matice typu [m x n] je uspořádání (m.n) čísel ve tvaru obdélníku majícího m řádků a n sloupců.

mnmm

n

n

aaa

aaaaaa

A

.....................

...

...

21

22221

11211

=

Čísla aij (i = 1,...,m; j = 1,...,n) nazýváme prvky (nebo též elementy) matice A. Matice (m.n) se nazývá matice typu m krát n. Dvě matice jsou si rovny, jsou-li si rovny jejich odpovídající prvky, tj.: A = B tehdy a jen tehdy, když aij = bij (i = 1..m, j = 1..n). Sečíst dvě matice znamená provést součet jejich odpovídajících prvků. Dostáváme C = A + B tehdy a jen tehdy, když cij = aij + bij pro (i = 1,..m; j = 1,..n). Součet dvou matic je definován pouze pro případ, kdy obě matice mají stejný rozměr. Násobení matice skalárem znamená násobení každého jejího prvku tímto skalárem, tj.: B = cA tehdy a jen tehdy, když bij = caij (i = 1,..m; j = 1,..n). Kombinací a rozšířením těchto operací dostáváme lineární kombinaci z množiny matic: B = c1A(1) + ... + cpA(p) tehdy a jen tehdy, když bij =c1aij

(1) +... + cpaij(p) pro (i=1,..m;j=1,..n),

kde aij(p) je i,j prvek p-té matice A(p) typu [m x n].

Z uvedených definic a z vlastností reálných čísel plyne: A + B = B + A (A + B) + C = A + (B + C) = A + B +C c(A + B) = cA + cB (c + d) A = cA + dA Srovnáme-li definované operace s maticemi s operacemi se sloupcovými vektory, zjistíme, že platí pro matice i vektory. Třetí základní operací s maticemi je násobení matic. Součin matice A typu m x n s maticí B typu n x p je matice C typu m x p, jejíž (i,j)-tý prvek je součtem n-tice součinů příslušných prvků i-tého řádku matice A a j-tého sloupce matice B, tj.:

C = AB tehdy a jen tehdy, když ∑=

=n

kkjikij bac

1

(i = 1,..m, j = 1,..n).

Z postupu pro násobení matic je zřejmé, že prvek ležící na průsečíku i-tého řádku a j-tého sloupce matice C=AB dostaneme jako skalární součin i-tého řádku matice A a j-tého sloupce matice B. Pro součin C = AB musí mít matice B právě tolik řádků, kolik má matice A sloupců. Jedině za těchto podmínek lze definovat součin dvou matic.

- 7 -

Z uvedených definic a z vlastností reálných čísel plyne: (AB)C = A(BC) = ABC A(B + C) = AB + AC AcB = cAB Násobení matic však není obecně komutativní. Obecně neplatí rovnost BA = AB. Proto je důležité rozlišovat pořadí násobení matic, zda jde o násobení zleva či zprava a zachovávat pořadí i při dílčích součinech více než dvou matic. Matici transponovanou dostaneme vzájemnou výměnou řádků a sloupců dané matice. Označujeme ji čárkou nebo písmenem T nahoře. Platí, že AT tehdy a jen tehdy, když ji

Tij aa =

(i=1,…,m; j=1,...,n). Matice transponovaná k transponované matici je rovna matici původní. Je zřejmé, že součet transponovaných matic je roven transponované matici ze součtu těchto matic. Transponovaná matice ze součinu matic je rovna součinu těchto transponovaných matic, ale v obráceném pořadí. Matice se nazývá čtvercová, když má stejný počet řádků a sloupců, tj. když m=n. Čtvercová matice se nazývá symetrickou, když je rovna matici k ní transponované, tj. platí-li aij = aji. Čtvercová matice, jejíž všechny prvky na diagonále jsou rovny jedničce a všechny prvky mimo ní pak nule, se nazývá jednotkovou maticí. Jednotková matice má stejnou funkci jako jednička v algebře. Hodnost matice A (též Rank) lze definovat jako maximální počet lineárně nezávislých řádků matice. Jelikož platí, že maximální počet lineárně nezávislých řádků matice je roven maximálnímu počtu lineárně nezávislých sloupců, lze definici hodnosti formulovat i jako maximální počet lineárně nezávislých sloupců. Hodnost matice A značíme h(A). Pro matici A typu m x n tedy platí { }nmAh ,min)( ≤ . Hodnost matice lze určit např. pomocí Gaussovy eliminace. Inversní matice k matici A typu n x n je matice typu n x n, kterou když zprava či z leva vynásobíme maticí původní, dostaneme matici jednotkovou. Matici inversní k matici A značíme A-1. Je-li matice A typu n x n, pak k ní existuje matice inversní tehdy a jen tehdy, když A = 0, nebo h(A) = n nebo matice A je regulární. Inversní matice k matici transponované je rovna transponované inversní matici. Je-li matice A symetrická a regulární, pak i A-1 je symetrická. Jednotková matice je zároveň k sobě inversní. A konečně inversní matice k součinu matic je rovna součinu inversních matic v opačném pořadí, tzn., že jsou-li matice A a B regulární, pak AB-1 = B-1 A-1.

- 8 -

1.2 Praktická cvičení 1. Napište libovolný sloupcový vektor. 2. Napište k němu vektor transponovaný. 3. Proveďte skalární součin zapsaných vektorů. 4. Proveďte následující operace s vektory. Předem určete, zda výsledek bude vektor nebo

skalár. Zobecněte podmínky sčítání a násobení vektorů.

=+−217

345

32 =+

1741

2421

5

5. Napište libovolnou matici typu 2 x 3. Napište k ní jinou matici stejného typu. Proveďte součet obou matic.

6. Lze-li, proveďte součet následujících matic:

=+312753

27541

7. Určete, co vznikne vynásobením matic typu:

3x5 x 5x2 = 2x3 x 2x3 = 2x1 x 1x5 =

8. Uveďte velikost následujících matic a zjistěte, jaký rozměr bude mít matice C vzniklá

jejich vzájemným vynásobením. Lze-li, vyčíslete ji.

a) 132013 −

=A x 215

=B C =

b) 6234

=A x 2442

=B C =

- 9 -

c) 421213

−=A x

130141 −

=B C =

9. Zjistěte, zda pro matice z příkladu číslo 8. platí, že A x B ≠ B x A. Z výsledků odvoďte

obecné pravidlo pro násobení matic. 10. Proveďte součin matic A x B a B x A pro následující matice, zdůvodněte jejich výsledek

a uveďte, čím se liší od bodu číslo 9.

102012103

=A x 013201023

=B

Ze získaných poznatků vyvoďte obecné pravidlo pro součin čtvercových matic.

11. K následujícím maticím utvořte matice inversní a přesvědčte se o jejich správném tvaru.

a) matice původní matice inversní

3123

=A

73

71

72

73

1

−

−=−A

Zkouška:

3123

=A x

73

71

72

73

1

−

−=−A =

1001

b) 534523541

=B B-1 =

c) 24

31−

−=C

1,04,03,02,01 =−C

- 10 -

12. Vypočítejte hodnost následujících matic

a) b)

4123013212000130

−−

−

1012221176213201

−−−−

13. Napište první derivaci následujících funkcí y = 2x3 + 3x + 6 y´ =

2 32 xxy += y´ = y = 4x (2 + 5x2) y´ =

( )425 23 −+= xxy y´ =

2

3

332

xxy +

=

y´ =

+−

=11

2

2

xxy

y´ =

xey 5= y´ =

xxey −= 4 y´ =

2ln xy = y´ =

2)(ln xy = y´ =

)43ln( 2 ++= xxy y´ =

- 11 -

Úkoly k samostatnému procvičení 1. Je dána množina bodů o následujících souřadnicích x a y

x y 1 2 2 4 3 3 4 5 5 6 6 8 ∑ 21 28 Ø 3,5 4,66

a) Zakreslete body do grafu b) Vypočítejte rozptyl hodnot závisle proměnné y. c) Proložte množinou bodů přímky: y1 = 2,5 + x

y2 = 3,6 + 0,4x

d) Zakreslete uvedené přímky do grafu a určete, která z nich lépe popisuje vztah mezi skutečnými hodnotami bodů x a y. Přesvědčte se, zda mimo dvou výše uvedených přímek existuje některá jiná lineární funkce, která by pole bodů popsala přesněji. K výpočtu jejích parametrů použijte řešení normálních rovnic a běžnou metodu nejmenších čtverců.

- 12 -

2. cvičení Konstrukce lineárního regresního modelu (LRM) 2.1 Úvod do problematiky

2.1.1 Fáze konstrukce ekonometrického modelu Konstrukci ekonometrického modelu lze rozdělit do následujících kroků (fází):

(i) Ekonomická teorie – studium dokumentů (ii) Tvorba ekonomického modelu (iii) Tvorba ekonometrického modelu (iv) Sběr, zpracování a analýza vstupních dat (v) Odhad parametrů ekonometrického modelu (vi) Ekonomické ověření modelu – interpretovatelnost (vii) Statistické a ekonometrické ověření (viii) Aplikace ekonometrického modelu nebo jeho zamítnutí, které vrací postup

k bodu (i)

2.1.2 Ekonomický vs. ekonometrický model Ekonomický model je odvozen z ekonomické teorie a je zjednodušenou abstrakcí reálného světa. Ekonomický model, tj. vztahy mezi ekonomickými proměnnými, mohou být zapsány třemi způsoby: a) slovně, b) graficky a c) algebraicky. Definovaný ekonomický model slouží ke konfrontaci ekonomické teorie s realitou, resp. se statistickými daty. Ekonomický model (ve formě algebraického zápisu) vyjadřuje přesný vztah, resp. deterministický vztah mezi vysvětlující proměnou a vysvětlovanou proměnnou. Při konfrontaci ekonomického modelu se statistickými (ekonomickými) daty je přesného (deterministického) vztahu zřídkakdy dosaženo. Hlavním důvodem je pravděpodobnostní povaha ekonomických dat. Ekonomický model proto musí být modifikován tak, aby odrážel vlastnosti ekonomických dat, tj. zohledňoval pravděpodobnostní povahu procesu generování ekonomických dat. Ekonomický model se stane ekonometrickým modelem určením funkční formy modelu a přidáním náhodné složky (proměnné). Přidáním náhodné složky je tak respektována stochastická povaha modelovaného vztahu.

2.1.3 Značení proměnných V ekonometrických modelech jsou rozlišovány následující typy proměnných:

(i) endogenní proměnné, (ii) exogenní proměnné, (iii) predeterminované proměnné, (iv) náhodné proměnné.

- 13 -

Endogenní proměnné jsou proměnné, které jsou modelem vysvětlovány. Podle toho se tyto proměnné rovněž nazývají vysvětlované proměnné. Jejich hodnoty jsou tedy generovány modelem. Endogenní proměnné jsou zpravidla označovány písmenem y s příslušnými indexy, které umožňují jednoznačnou identifikaci proměnné a její hodnoty v příslušném období. To znamená, že obecný zápis yit vyjadřuje, že se jedná o i-tou endogenní proměnnou v čase t. Exogenní proměnné jsou proměnné, které vysvětlují endogenní proměnné. Proto se též nazývají vysvětlující proměnné. Pro jejich označení je zpravidla používáno písmeno x. Obdobně jako u endogenních proměnných xjt značí j-tou exogenní proměnnou v čase t. Jelikož se vnější prostředí, které má být modelem popsáno, vyznačuje značnou dynamikou vztahů mezi proměnnými, statické modely nejsou obvykle při modelování dostačující. Jedním ze způsobů, jak lze model dynamizovat, je použití zpožděných proměnných (viz též 2.1.5), a to jak endogenních, tak exogenních. Například xi(t-1) je zpožděná hodnota i-té exogenní proměnné o jedno období. Zahrnutím této proměnné do modelu vyjádříme, že vysvětlovaná proměnná je závislá na hodnotě i-té exogenní proměnné, která předchází období t. Soubor exogenních proměnných, zpožděných exogenních proměnných a rovněž zpožděných endogenních proměnných je nazýván jako predeterminované proměnné. Predeterminovanými proto, že jejich hodnoty jsou dány vnějším prostředí. Náhodná složka obsahuje vliv všech dalších proměnných na závisle proměnnou, které nejsou v modelu zahrnuty. Dále obsahuje chyby měření a zkreslení plynoucí z volby nevhodného typu funkce. Náhodná proměnná bude označována písmenem u, případně v (podrobněji viz modely simultánních rovnic).

2.1.4 Multikolinearita Multikolinearita vyjadřuje závislost mezi dvěma či více vysvětlujícími proměnnými v rovnici. Při výskytu vysoké multikolinearity není možné separovat vlivy jednotlivých vysvětlujících proměnných na vysvětlovanou proměnou, a proto je vysoká multikolinearita nežádoucí. Perfektní multikolinearita nastává v případech, kdy závislost mezi dvěma či více vysvětlujícími proměnnými je deterministická, tj. párový korelační koeficient nebo koeficient vícenásobné korelace je roven 1. V případě, že je v modelu přítomna perfektní multikolinearita, nelze takovýto model odhadnout. Vysoká multikolinearita se zpravidla vyskytuje tehdy, když hodnoty vysvětlujících proměnných mají nízkou variabilitu. Z toho plyne, že vyvarování se problému přítomnosti vysoké multikolinearity lze dosáhnout zajištěním dostatečné variability vysvětlujících proměnných. Avšak určitá výše multikolinearity je v modelu vždy přítomna. Přítomnost vysoké multikolinearity neumožňuje dosáhnout přesného odhadu parametrů vysvětlujících proměnných, které multikolinearitu způsobují. Tato skutečnost působí problémy při aplikaci modelu ve strukturální analýze, kde co nejlepší znalost velikosti parametrů je nezbytností. Přítomnost vysoké multikolinearity lze identifikovat vyčíslením korelační matice. Korelační matice obsahuje párové korelační koeficienty jednotlivých vysvětlujících proměnných a lze ji vyčíslit z následujícího vztahu:

′ ′X XT , (2.1) kde X´ je matice normalizovaných vektorů, které lze získat podle (2.2).

)........1()........1(

. ntki

nxx

xix

iitit =

=−=′

σ , (2.2)

kde xit je hodnota i-té vysvětlující proměnné v čase t, ix je její průměr a ixσ směrodatná

odchylka n je počet pozorování.

- 14 -

Z konstrukce korelační matice je zřejmé, že tato matice je symetrická podle hlavní diagonály. Vysoká multikolinearita je přítomna tehdy, jestliže je některý z párových korelačních koeficientů vyšší než 0,8, resp. 0,9. Multikolinearita může být snížena použitím dummy proměnné(ých) nebo vhodnou transformací podkladových údajů (např. vyjádřením proměnné(ých) v postupných diferencích nebo relativně). V krajním případě lze vysokou multikolinearitu odstranit tím, že proměnnou způsobující vysokou multikolinearitu z modelu vypustíme.

2.1.5 Dynamizace modelu Model lze dynamizovat následujícími způsoby:

(i) zahrnutím zpožděné(ých) proměnné(ých), (ii) vyjádřením proměnných v postupných diferencích nebo relativně, (iii) zahrnutím časového vektoru, (iv) zahrnutím dummy proměnné(ých).

2.2 Praktická cvičení Zadání: Podkladová data

Korelační matice

Rok Sp VM (kg/os./rok)

SpC VM (Kč/kg)

SpC HM (Kč/kg)

SpC DM (Kč/kg)

Příjem (Kč) *

Označení proměnné

1995 8,04 84,20 94,81 52,32 55 578,01996 8,87 90,42 102,12 62,77 64 114,01997 8,74 92,11 104,82 70,64 70 968,01998 10,36 86,39 110,16 73,31 77 942,01999 9,78 80,47 107,80 56,51 80 771,02000 8,94 90,04 111,53 61,83 83 422,02001 9,05 101,66 112,56 71,28 90 167,02002 9,55 89,84 112,99 62,40 93 153,02003 10,14 82,74 108,02 60,67 98 102,02004 9,97 85,36 112,84 62,55 102 217,02005 11,18 85,30 117,73 62,73 116 573,5

Průměr 9,51 88,05 108,67 63,36 84 818,9* Čisté peněžní příjmy na domácnost

Proměnná Sp VM SpC VM SpC HM SpC DM PřSp VM 1

SpC VM -0,369659 1SpC HM 0,751629 0,165662 1SpC DM 0,209048 0,626810 0,416617 1

Př 0,814929 -0,069005 0,892922 0,144044 1

- 15 -

Ekonomický model Spotřeba vepřového masa je závislá na spotřebitelské ceně vepřového masa, spotřebitelské ceně hovězího masa, spotřebitelské ceně drůbežího masa a výši příjmu. Předpokládané vztahy (na základě poznatků z ekonomické teorie):

• vepřové a drůbeží maso jsou substituty; • vepřové a hovězí maso jsou substituty; • zvýšení úrovně příjmu vyvolá zvýšení spotřeby vepřového masa.

Úkoly

1. Proveďte jednoznačné označení výše uvedených proměnných (tj. pomocí symbolů y a x s příslušnými indexy).

2. Vypište hodnoty pro následující proměnné:

a. y1,6 = b. x2,10 = c. x4,1 =

3. Přepište výše uvedenou slovní podobu modelu do podoby algebraické. Předpokládejte

lineární vztah mezi endogenní proměnnou a exogenními proměnnými.

4. Zapište výše uvedený model v mocninném tvaru.

5. Upravte model (lineární verzi) tak, aby se stal modelem ekonometrickým.

6. Vysvětlete, co reprezentuje u1t.

7. Matematicky zapište způsob výpočtu u1,5 .

8. V korelační matici identifikujte přítomnost vysoké multikolinearity a navrhněte způsob její eliminace.

- 16 -

9. Příprava podkladových údajů: a. Upravte model tak, aby obsahoval konstantu. Jak se změní tabulka

podkladových údajů?

b. Jaký problém způsobují odlehlá pozorování (hodnoty)? Jak zjistíte přítomnost odlehlých pozorování v podkladových datech? Navrhněte způsob řešení problému přítomnosti odlehlých pozorování.

c. Navrhněte způsob řešení problému chybějících pozorování.

d. Upravte data tak, aby byla vhodná pro odhad parametrů modelu v prostředí Microsoft Excel.

10. Proveďte dynamizaci modelu (výsledky zapište do následující tabulky): a. Pomocí časového vektoru.

b. Zavedením zpožděné hodnoty vysvětlující proměnné o jedno období. Jak se změní tabulka podkladových údajů? Uveďte vektor hodnot zpožděné proměnné y1t, tzn. hodnoty vektoru y1(t-1).

c. Vyjádřením proměnných v postupných diferencích. Uveďte, s jakými hodnotami budete pracovat u proměnných y1t, x1t a x2t .

Tabulka dalších proměnných

RokJV

(zavedení konstanty)

Časový vektor y1(t-1)

y1t

(postupné diference)

x1t


x2t



19951996199719981999200020012002200320042005

Průměr

- 17 -

Upravená podkladová data

Upravená korelační matice

Úkoly k samostatnému procvičení

1. Na základě tabulky podkladových údajů uvedené v příloze č. 1 sestavte jednorovnicový lineární model, který popisuje, že výdaje domácností na konečnou spotřebu jsou ovlivněny výdaji domácností na konečnou spotřebu v předchozím období, mírou inflace, úrokovou sazbou domácností a výší mzdy. Definujte předpokládané vztahy mezi proměnnými (na základě poznatků z ekonomické teorie).

2. Proveďte jednoznačné označení výše uvedených proměnných (tj. pomocí symbolů y a

x s příslušnými indexy).


SpC VM (Kč/kg)

SpC HM (Kč/kg)

SpC DM (Kč/kg)

Příjem - postupné diference (tis. Kč) *


1996 8,87 90,42 102,12 62,77 8,5361997 8,74 92,11 104,82 70,64 6,8541998 10,36 86,39 110,16 73,31 6,9741999 9,78 80,47 107,80 56,51 2,8292000 8,94 90,04 111,53 61,83 2,6512001 9,05 101,66 112,56 71,28 6,7452002 9,55 89,84 112,99 62,40 2,9862003 10,14 82,74 108,02 60,67 4,9492004 9,97 85,36 112,84 62,55 4,1152005 11,18 85,30 117,73 62,73 14,357

Průměr 9,66 88,43 110,06 64,47 6,100* Čisté peněžní příjmy na domácnost

Proměnná Sp VM SpC VM SpC HM SpC DM PřSp VM 1

SpC VM -0,602642 1SpC HM 0,614154 0,005568 1SpC DM -0,163091 0,628116 -0,017416 1

Př 0,456484 0,091175 0,220278 0,279075 1

- 18 -

3. Vypište hodnoty pro následující proměnné: a. y1,4 = b. x2,8 = c. x3,2 =

4. Přepište výše uvedenou slovní podobu modelu do podoby algebraické. Předpokládejte lineární vztah mezi endogenní proměnnou a exogenními proměnnými.

5. Zapište výše uvedený model v mocninném tvaru.

6. Upravte model (lineární verzi) tak, aby se stal modelem ekonometrickým.

7. Matematicky zapište způsob výpočtu u1,3 .

8. V korelační matici identifikujte přítomnost vysoké multikolinearity a navrhněte způsob její eliminace.

- 19 -

9. Příprava podkladových údajů: a. Upravte model tak, aby obsahoval konstantu.

b. Upravte data tak, aby byla vhodná pro odhad parametrů modelu v prostředí Microsoft Excel.

10. Uveďte, zda se jedná o model statický či dynamický. Pokud je model statický, navrhněte způsob jeho dynamizace.

- 20 -

3. cvičení Předpoklady a odhad LRM 3.1 Úvod do problematiky 3.1.1 Předpoklady LRM Odhadnuté parametry ekonometrického modelu mají požadované vlastnosti, tj. jsou nejlepší, nestranné a konzistentní, jestliže jsou splněny jisté předpoklady. Mezi podstatné předpoklady u lineárních regresních modelů patří:

(i) Specifikační předpoklady a. Neopomenutí podstatné vysvětlující proměnné; b. Vypuštění irelevantních vysvětlujících proměnných; c. Volba správné funkční formy modelu; d. Stabilní odhadnuté parametry, časová invariantnost; e. Respektování simultánnosti vztahů mezi proměnnými;

(ii) Nulový průměr náhodné složky ut (iii) Homoskedasticita [ 2)|( σ=ii XuVar ] (iv) Nepřítomnost autokorelace reziduí (v) Nezávisle proměnné jsou nenáhodné a fixní v opakujících se souborech (vi) Neexistence perfektní multikolinearity (vii) Normální rozdělení náhodné složky

3.1.2 Odhad LRM K odhadu parametrů lineárního regresního modelu se pro svou jednoduchost nejčastěji využívá běžná metoda nejmenších čtverců (BMNČ). Tato metoda poskytuje nejlepší, nestranné a konzistentní odhady parametrů modelu, právě když jsou splněny výše uvedené předpoklady. Podstatou BMNČ je nalezení parametrů, které minimalizují součet čtverců odchylek teoretických hodnot vysvětlované proměnné od jejích skutečných hodnot. Jinými slovy, odhadnuté parametry LRM jsou nejlepší, nestranné a konzistentní, jestliže jsou splněny výše uvedené předpoklady a kritérium (3.1).

( )∑=

−n

ttt yy

1

2ˆmin (3.1)

Vzorec pro odhad parametrů lze z kritéria (3.1) získat jednoduchým způsobem s využitím matematické analýzy. Je-li úkolem nalézt parametry modelu, které minimalizují (3.1), stačí provést parciální derivace vztahu (3.1) podle odhadovaných parametrů a položit je rovny nule. Řešením získané soustavy rovnic lze obdržet hledané parametry.

- 21 -

Pro praktické účely lze z obdržené soustavy rovnic zobecněním pro „k“ vysvětlujících proměnných získat následující vztah (3.2).

yXXX TT 1)( −=γ , (3.2) kde γ .......... je vektor (k x 1) odhadovaných parametrů,

X ...........matice o rozměru n x k, která obsahuje napozorované hodnoty „k“ vysvětlujících proměnných,

y ...........je vektor (n x 1) obsahující napozorované hodnoty vysvětlované proměnné.

Vztah (3.2) reprezentuje vzorec pro odhad parametrů modelu běžnou metodou nejmenších čtverců. 3.1.3 Verifikace ekonometrického modelu Odhadnutý ekonometrický model je nutné před jeho aplikací verifikovat, tzn. ověřit, zda jsou odhadnuté parametry v souladu s výchozími ekonomickými hypotézami a zda mají požadované statistické charakteristiky. Verifikaci modelu lze rozdělit do tří kroků, a to podle toho, co je ověřováno.

(i) Ekonomická verifikace V rámci ekonomické verifikace se posuzuje zejména směr a intenzita působení vysvětlujících proměnných na proměnnou vysvětlovanou. Ověřuje se zde správnost znamének a velikost číselných hodnot odhadnutých parametrů. Pokud získané parametry nejsou v souladu s předpoklady, je zpravidla nutné ověřit správnost specifikace modelu.

(ii) Statistická verifikace Statistická verifikace slouží k posouzení statistické významnosti odhadnutých parametrů, jednotlivých rovnic i celého modelu. V rámci statistické verifikace se hodnotí:

a. shoda odhadnutého modelu s daty; b. statistická významnost odhadnutých parametrů.

(iii) Ekonometrická verifikace V rámci ekonometrické verifikace se ověřují podmínky nutné pro aplikaci konkrétních ekonometrických metod, testů a technik, tj. předpoklady ekonometrického modelu. Zahrnuje např. test autokorelace náhodných složek či multikolinearity vysvětlujících proměnných.

add (ii) a. Shoda odhadnutého modelu s daty Kvalita odhadnuté rovnice se v případě lineární funkce posuzuje pomocí koeficientu vícenásobné determinace R2. Tento ukazatel je založen na rozkladu celkového rozptylu vysvětlované proměnné (𝑆𝑆𝑦𝑦

2) na rozptyl teoretický (regresní, 𝑆𝑆ŷ2) a reziduální (𝑆𝑆𝑢𝑢

2):

𝑆𝑆𝑦𝑦2 = 𝑆𝑆ŷ

2 + 𝑆𝑆𝑢𝑢2 (3.3)

- 22 -

( )

n

yyS

n

tt

y

∑=

−= 1

2

2 , (3.4)

kde yt ...........jsou skutečné hodnoty vysvětlované proměnné v jednotlivých letech

pozorování, 𝑦𝑦�........... je průměr skutečných hodnot vysvětlované proměnné,

𝑛𝑛 ...........je délka časové řady.

( )

n

yyS

n

tt

y

∑=

−= 1

2

2ˆ

ˆ , (3.5)

kde ty ........... jsou teoretické hodnoty vysvětlované proměnné v jednotlivých letech

pozorování.

( )

n

yyS

n

ttt

u

∑=

−= 1

2

2

ˆ

(3.6)

Koeficient vícenásobné determinace je dán vztahem: 𝑅𝑅2 = 1 − 𝑆𝑆𝑢𝑢

2

𝑆𝑆𝑦𝑦2 (3.7)

Vyjadřuje se obvykle v % a udává, z kolika % jsou změny závisle proměnné vysvětleny změnami nezávisle proměnných. Hodnota R2 se pohybuje od 0 % do 100 %. Pokud R2 = 0 %, všechny odhadnuté koeficienty jsou nulové, celkový rozptyl je roven reziduálnímu a daná funkce nevysvětluje vůbec zkoumaný vztah. Naopak R2 = 100 % nastane, když všechna rezidua jsou nulová, tudíž také reziduální rozptyl je nulový a daná funkce plně vystihuje zkoumaný vztah. Protože hodnota R2 nikdy neklesne (zpravidla vždy vzroste) přidáním dalších vysvětlujících proměnných do modelu, je často používán korigovaný koeficient vícenásobné determinace:

𝑅𝑅2�� = 1 − (1 − 𝑅𝑅2) 𝑛𝑛−1𝑛𝑛−𝑝𝑝

(3.8) kde p ........... je počet odhadovaných parametrů v dané rovnici. Hodnota korigovaného koeficientu determinace je zpravidla nižší, než hodnota R2. Odchylka těchto dvou koeficientů se snižuje s růstem počtu stupňů volnosti (n-p). Při velkém počtu stupňů volnosti se R2 a 𝑅𝑅2�� liší velice málo. Při malém počtu stupňů volnosti může nabývat 𝑅𝑅2�� i záporných hodnot. V takovém případě se hodnota korigovaného koeficientu vícenásobné determinace interpretuje jako nulová.

- 23 -

Statistickou významnost modelu jako celku lze testovat pomocí F-testu, v jehož rámci se porovnává F poměr s tabulkovou hodnotou F*. Je-li F poměr větší než tabulková hodnota na zvolené hladině významnosti a při daném počtu stupňů volnosti, zamítá se nulová hypotéza o statistické nevýznamnosti R2, a tedy shoda odhadnutého modelu s daty je statisticky významná. U nelineární funkce je jako míra těsnosti závislosti používán index determinace I2, jeho výpočet i interpretace se však shodují s R2. add (ii) b. Testování statistické významnosti strukturálních parametrů Statistická významnost jednotlivých strukturálních parametrů se hodnotí t-testem. Při výpočtu testovacího kritéria, t-hodnoty, je používán korigovaný reziduální rozptyl. Korekce se provádí opět počtem stupňů volnosti v daném vztahu. Korigovaný reziduální rozptyl je tedy určen jako:

( )

pn

yyS

n

ttt

u −

−=

∑=1

2

2

ˆ. (3.9)

Ověření statistické významnosti strukturálních parametrů se liší v závislosti na použité metodě, kterou byly parametry odhadnuty.

3.1.4 Postup statistické verifikace strukturálních parametrů LRM odhadnutých BMNČ

(i) Výpočet matice pro ověření statistické významnosti parametrů: ( ) 1−XX T .

(ii) Výpočet korigovaného reziduálního rozptylu: ( )

pn

yyS

n

ttt

u −

−=

∑=1

2

2

ˆ.

(iii) Výpočet rozptylu odhadnutých parametrů:

( )

==

−

ii

Tuii

S

SXXSS

1112 .

Prvky na hlavní diagonále matice vzniklé vynásobením korigovaného

reziduálního rozptylu 2uS a matice ( ) 1−XX T jsou rozptyly odhadnutých parametrů

iiS . (iv) Výpočet standardní chyby odhadnutých parametrů: iibi SS = .

Vyčíslení standardních chyb jednotlivých parametrů jako odmocniny prvků z hlavní diagonály výše uvedené matice iiS .

- 24 -

(v) Výpočet testovacího kriteria:

bi

it

Sodhaduchybaparametruhodnotahodnotat

γ==− .

(vi) Zjištění statistické významnosti odhadnutých parametrů: porovnání vypočtené t-

hodnoty s tabulkovou hodnotou t-testu na zvolené hladině významnosti s přihlédnutím k příslušnému počtu stupňů volnosti tα. Je-li t > tα, zamítá se nulová hypotéza o statistické nevýznamnosti parametrů. Vysvětlující proměnná je z hlediska svého vlivu na vysvětlovanou proměnnou na hladině významnosti α a při n-p stupních volnosti významnou proměnnou. Je-li t < tα, s pravděpodobností 100(1-α)% není parametr statisticky významný, tj. statisticky významně odlišný od nuly.

Zamítnutí nulové hypotézy ještě neznamená, že bodové odhady parametrů jsou přesnými odhady jejich skutečných hodnot. Pro určení stupně shody skutečné hodnoty parametru s odhadem se stanovuje interval spolehlivosti, tzv. konfidenční interval. Neboli hledají se meze, v nichž se bude skutečná hodnota parametru při opakovaných výběrech nacházet s určitým stupněm spolehlivosti, tj. s určitou zvolenou pravděpodobností.

Intervalový odhad parametrů se stanovuje pomocí vztahu:

biiiervalii Stαγγ ±=int .

Odhadnutý parametr se významně liší od nuly, pokud tento interval nulu neobsahuje. Obsahuje-li konfidenční interval nulu, je parametr statisticky nevýznamný.

3.2 Praktická cvičení Úkoly

1. Sestavte matici X a vektor y pro odhad parametrů modelu z úkolu 5 předchozího cvičení s využitím BMNČ, do modelu zahrňte konstantu a v tomto odhadu abstrahujte od přítomnosti multikolinearity. (Pozn. model zohledňující přítomnost vysoké multikolinearity mezi proměnnými SpC HM a Př bude odhadnut v následujícím cvičení).

- 25 -

2. Proveďte odhad parametrů tohoto modelu na základě následující tabulky

podkladových dat.

Tabulka podkladových dat:

Možný postup (sled kroků) odhadu parametrů podle vztahu (3.2): 1. krok: XX T 2. krok: ( ) 1−XX T 3. krok: yX T

4. krok: ( ) yXXX TT 1−

3. Proveďte ekonomickou verifikaci modelu.


SpC VM (Kč/kg)

SpC HM (Kč/kg)

SpC DM (Kč/kg)

Příjem (tis. Kč)


1995 8,04 84,20 94,81 52,32 55,5781996 8,87 90,42 102,12 62,77 64,1141997 8,74 92,11 104,82 70,64 70,9681998 10,36 86,39 110,16 73,31 77,9421999 9,78 80,47 107,80 56,51 80,7712000 8,94 90,04 111,53 61,83 83,4222001 9,05 101,66 112,56 71,28 90,1672002 9,55 89,84 112,99 62,40 93,1532003 10,14 82,74 108,02 60,67 98,1022004 9,97 85,36 112,84 62,55 102,2172005 11,18 85,30 117,73 62,73 116,574

Průměr 9,66 88,43 110,06 64,47 84,819

- 26 -

4. Otestujte statistickou významnost odhadnutých parametrů a vypočítejte koeficient determinace. Kritické hodnoty t-testu jsou uvedeny v příloze č. 2.

Tabulka pro výpočet korigovaného reziduálního rozptylu a koeficientu determinace

Počet pozorování =

Počet stupňů volnosti =

Korigovaný reziduální rozptyl ( 2uS ) =

Matice pro ověření statistické významnosti parametrů: ( ) 1−XX T

Ověření statistické významnosti parametrů

5. Vypočítejte interval, ve kterém se budou odhadnuté parametry nacházet s pravděpodobností 95 %.

Rok Sp VM skutečná

Sp VM teoretická u u2

1995 8,041996 8,871997 8,741998 10,361999 9,782000 8,942001 9,052002 9,552003 10,142004 9,972005 11,18

yyt − 2)( yyt −

JV SpC VM SpC HM SpC DM Př106,894340

0,0052980,021988

0,0057870,002402

JV SpC VM SpC HM SpC DM PřSii

Sbit-hodnotat-tab. (α=0,1)V / N ** V = parametr statisticky významný, N = parametr statisticky nevýznamný

- 27 -

6. Zjistěte, zdali je model prostý autokorelace reziduí. Test lze provést s využitím Durbin-Watsonova testu (DW), jehož vzorec je následující:

( )

∑

∑

=

=−−

= n

tt

n

ttt

u

uuDW

1

2

2

2)1(

.


1. Sestavte matici X a vektor y pro odhad parametrů modelu z úkolu k samostatnému procvičení 6 předchozího cvičení s využitím BMNČ, do modelu zahrňte konstantu.

2. Proveďte odhad parametrů tohoto modelu.

3. Proveďte ekonomickou verifikaci modelu.

4. Otestujte statistickou významnost odhadnutých parametrů a vypočítejte 2R .

5. Zjistěte, zdali je model prostý autokorelace reziduí.

- 28 -

4. cvičení Aplikace modelu, dynamizace modelu, dummy proměnné 4.1 Úvod do problematiky 4.1.1 Aplikace modelu Výsledkem ekonomického a statistického, resp. ekonometrického ověření modelu je rozhodnutí o jeho praktickém využití nebo jeho zamítnutí. Zamítnutím modelu se vše vrací na začátek. Naopak kvalitní, resp. přijatelný ekonometrický model je využitelný v oblasti, pro kterou byl odvozen. Oblasti aplikace ekonometrického modelu lze rozdělit do tří skupin. První skupina představuje prognostické využití ekonometrického modelu, druhá skupina oblast strukturální analýzy a třetí oblast použití modelu je v simulaci efektů a výsledků různých scénářů. Při aplikaci modelu se často využívají pružnosti (elasticity). Zatímco odhadnutý parametr vyjadřuje, jak příslušná vysvětlující proměnná působí na vysvětlovanou proměnou v jednotkách, v jakých jsou obě proměnné sledovány, potom pružnost (elasticita) umožňuje vyjádřit toto působení v procentech. Jinými slovy odhadnutý parametr je absolutním vyjádřením vlivu vysvětlující proměnné na vysvětlovanou proměnnou a pružnost relativním. Relativní vyjádření potom umožňuje srovnat intenzitu působení jednotlivých vysvětlujících proměnných na proměnnou vysvětlovanou (vedle jiného), tj. porovnání při odlišných jednotkách. Obecný vzorec pro výpočet pružnosti (elasticity) je následující:

yx

xyE i

i ˆ∂∂

= (4.1)

Ze vzorce (4.1) je patrné, že pružnost (elasticita) je podílem procentické změny vysvětlované proměnné ku procentické změně i-té vysvětlující proměnné. Proto samotná pružnost (elasticita) vychází v procentech a informuje o procentické změně vysvětlované proměnné při jednoprocentní změně příslušné i-té vysvětlující proměnné. V simulacích či při prognózování často nastává situace, kdy vysvětlující proměnná se mění o h %. V tomto případě při práci s nelineární funkcí dochází při použití pružnosti pro určení výsledné změny závisle proměnné ke zkreslení, které pramení ze skutečnosti, že nelineární průběh funkce je aproximován průběhem lineárním (tečnou) se sklonem rovným hodnotě derivace v daném bodě. Tuto nepřesnost lze odstranit použitím rozdílového koeficientu pružnosti. Rozdílový koeficient pružnosti respektuje zakřivení funkce (viz vyšší derivace) a lze ho vypočíst dle následujícího vztahu:

!...

!2)()(

)2()(

)1()()( n

hEhEEE nxxxr iii

+++= , (4.2)

- 29 -

kde E(r)....... rozdílový koeficient pružnosti

mxi

E )( ..... koeficient pružnosti m-tého řádu funkce y v bodě xi, tj. yx

xyE imi

mmxi ˆ)( ∂

∂=

h .......... přírůstek (procentický) nezávisle proměnné xi. 4.1.2 Dynamizace modelu Jak již bylo uvedeno ve 2. cvičení, model lze dynamizovat následujícími způsoby:

(i) zahrnutím zpožděné(ých) proměnné(ých), (ii) vyjádřením proměnných v postupných diferencích nebo relativně, (iii) zahrnutím časového vektoru, (iv) zahrnutím dummy proměnné(ých).

4.1.3 Dummy proměnné Dummy proměnné jsou v ekonometrických modelech využívány pro zachycení efektů, které mění, resp. posouvají hodnotu vysvětlované proměnné, pro označení podskupiny v rámci analyzovaného souboru, pro označení sledovaného jevu, pro zachycení sezónnosti, apod. Dummy proměnné nabývají 0, 1 podoby. 0 reprezentuje situaci, kdy daný efekt, jev, apod. nenastává. Naopak 1 informuje o přítomnosti daného efektu, jevu, apod. 4.2 Praktická cvičení Úkoly

1. Proveďte ekonomickou interpretaci modelu odhadnutého v předchozím cvičení, tj. modelu:

y1t = 8,994 – 0,101x2t+0,278x3t+0,065x4t+0,027x5t + u1t ,

kde y1t .........spotřeba vepřového masa (kg/os./rok) x2t..........spotřebitelská cena vepřového masa (Kč/kg) x3t..........spotřebitelská cena hovězího masa (Kč/kg) x4t..........spotřebitelská cena drůbežího masa (Kč/kg) x5t..........příjem (tis. Kč) u1t ~ nid(0, σ2)

Uveďte, jak byste odhadnuté parametry využili ve strukturální analýze.

- 30 -

2. Vypočítejte přímou cenovou, křížovou a příjmovou pružnost pro poslední období a

interpretujte je.

Dále vypočítejte:

a) úroveň spotřeby vepřového masa při poklesu ceny hovězího masa o 10 % oproti úrovni posledního období, ceteris paribus.

b) úroveň spotřeby vepřového masa při růstu příjmu o 5 % oproti úrovni posledního období, ceteris paribus.

3. Simulujte následující scénáře:

a) změnu ceny vepřového masa (stanovte ji), ceteris paribus, aby se v 10. roce spotřeba

vepřového masa na obyvatele zvýšila na 12 kg.

b) změnu příjmu (uveďte jeho výši), ceteris paribus, aby se v 10. roce spotřeba vepřového masa na obyvatele zvýšila na 12 kg.

c) Jak by se pro udržení tržní rovnováhy musela změnit nabídka vepřového masa (při absenci zahraničního obchodu), jestliže by se za jinak stejných okolností příjem v 9. roce zvýšil o 6 000 Kč?

- 31 -

d) Jak by se musela změnit cena hovězího masa, aby se spotřeba vepřového masa v 10. roce zvýšila ve srovnání s předcházejícím obdobím o 4 % při růstu cen vepřového masa o 2 %?

4. Odhadněte dynamickou verzi modelu, ve které bude příjem vyjádřen v postupných diferencích. Model ověřte a následně interpretujte. Porovnejte výsledky modelu se statickou verzí. Dále vypočtěte koeficient pružnosti pro proměnnou příjem (vyjádřenou v postupných diferencích) v posledním období a interpretujte ji.

5. V následující tabulce jsou uvedena hypotetická data pro spotřebu vepřového masa, která byla v letech 2000 a 2001 ovlivněna významným šokem (např. v důsledku šíření vážných nemocí prasat), který zapříčinil propad ve spotřebě. S využitím dummy proměnné eliminujte tento šok. Specifikaci modelu s dummy proměnnou založte na dynamické verzi modelu v podobě použité v úkolu č. 4.


SpC VM (Kč/kg)

SpC HM (Kč/kg)

SpC DM (Kč/kg)

Diference Příjem (Kč)


1996 8,87 90,42 102,12 62,77 8536 1997 8,74 92,11 104,82 70,64 6854 1998 10,36 86,39 110,16 73,31 6974 1999 9,78 80,47 107,8 56,51 2829 2000 5,94 90,04 111,53 61,83 2651 2001 6,05 101,66 112,56 71,28 6745 2002 9,55 89,84 112,99 62,4 2986 2003 10,14 82,74 108,02 60,67 4949 2004 9,97 85,36 112,84 62,55 4115 2005 11,18 85,3 117,73 62,73 14356,5

- 32 -

Úkoly k samostatnému procvičení 1. Pro následující model vypočítejte rozdílový koeficient pružnosti 3. řádu při předpokládané

změně příjmu o 5 % oproti úrovni posledního období.

2,03

5,025,37ˆ ttt xxy −=

kde, ty .......spotřeba x2t.......cena x3t.......příjem Proměnné nabývají v posledním období následujících hodnot: yt = 41

x2t = 5 x3t = 102

- 33 -

5. cvičení Modely simultánních rovnic 5.1 Úvod do problematiky 5.1.1 Zásady konstrukce simultánních modelů a práce s nimi Vztah mezi vysvětlující a vysvětlovanou proměnnou může být simultánního charakteru. Vzájemná determinace vysvětlující a vysvětlované proměnné plyne z povahy ekonomických jevů a procesů, které jsou modelem popisovány. Lze-li předpokládat simultánní vztah mezi proměnnými, měl by být při konstrukci modelu zohledněn. V opačném případě je v modelu přítomna specifikační chyba. Model obsahující vzájemné vazby mezi proměnnými (vysvětlovanými neboli endogenními) je potom nazýván modelem simultánním. Simultánní model může obsahovat vedle stochastických rovnic rovněž rovnici(e) identitní. Vztahy mezi proměnnými v modelu lze popsat s využitím matice Beta (В) a Gama (Γ). Je-li model simultánní, má matice B nenulové prvky (parametry endogenních proměnných modelu) nad i pod hlavní diagonálou. Sama je vždy čtvercová o rozměru [g x g]. Simultánní modely je nutné identifikovat - zajistit jejich řešitelnost, resp. jednoznačnost. Identifikace se provádí samostatně pro každou rovnici. Model je identifikovaný, jsou-li identifikované všechny jeho rovnice. Podmínka identifikace je:

k ** ≥ g ∆ -1 , (5.1)

kde g je počet endogenních proměnných v modelu celkem, k je počet predeterminovaných proměnných v modelu celkem,

symbol *, ∆, nebo v znamenají, že proměnná je zahrnuta v identifikované rovnici, symbol **, ∆∆, nebo n znamená, že proměnná v rovnici, pro niž se provádí identifikace, není obsažena, ale je obsažena v jiných rovnicích modelu.

Výsledek: • platí-li ostrá nerovnost - rovnice je identifikovaná (přeidentifikovaná); • nastává-li rovnost - rovnice je přesně identifikovaná; • neplatí-li nerovnost, pak je rovnice neidentifikovaná (podidentifikovaná).

Model ve strukturální formě představuje závislost endogenních proměnných jak na predeterminovaných proměnných, tak na jiných vysvětlujících endogenních, s nimiž jsou v simultánním vztahu. Jeho maticová forma zápisu má podobu:

B yt + Г xt = ut (5.2)

Model v redukované formě představuje závislost endogenních proměnných pouze na predeterminovaných proměnných. Jeho maticová forma zápisu je:

yt = M xt + vt (5.3)

Matici multiplikátorů lze kvantifikovat ze vztahu:

M = - B -1 Г (5.4)

- 34 -

5.2 Praktická cvičení

5.2.1 Konstrukce ekonometrického modelu

Z tabulky podkladových údajů uvedených v příloze č. 1 byl sestaven čtyřrovnicový simultánní model, který obsahuje následující ekonomické vazby:

1) výdaje domácností na spotřebu jsou funkcí SAZO, míry inflace, úrokové sazby pro domácnosti, míry investic a míry nezaměstnanosti.

2) tvorba fix. kapitálu je funkcí SAZO, úrokové sazby pro podniky, počtu zaměstnaných.

3) SAZO je funkcí výdajů domácností na spotřebu, kursu koruny a objemu fix. kapitálu.

4) HDP celkem je součet výdajů na spotřebu domácností, investic, SAZO a vládních výdajů

Formální obecný zápis ekonomického modelu:

y1 = fce (y3, x3, x4 , x10, x11) y2 = fce (y3, x5, x12) y3 = fce (y1, x9, x15) y4 = y1 + y2 + y3 + x13

Ekonometrický model má následující tvar:

𝛽𝛽11𝑦𝑦1𝑡𝑡 = 𝛽𝛽13𝑦𝑦3𝑡𝑡 + 𝛾𝛾13𝑥𝑥3𝑡𝑡 + 𝛾𝛾14𝑥𝑥4𝑡𝑡 + 𝛾𝛾110 𝑥𝑥10𝑡𝑡 + 𝛾𝛾111 𝑥𝑥11𝑡𝑡 + 𝑢𝑢1𝑡𝑡

𝛽𝛽22 𝑦𝑦2𝑡𝑡 = 𝛽𝛽23𝑦𝑦3𝑡𝑡 + 𝛾𝛾25𝑥𝑥5𝑡𝑡 + 𝛾𝛾212 𝑥𝑥12𝑡𝑡 + 𝑢𝑢2𝑡𝑡

𝛽𝛽33𝑦𝑦3𝑡𝑡 = 𝛽𝛽31𝑦𝑦1𝑡𝑡 + 𝛾𝛾39𝑥𝑥9𝑡𝑡 + 𝛾𝛾315 𝑥𝑥15𝑡𝑡 + 𝑢𝑢3𝑡𝑡

𝛽𝛽44𝑦𝑦4𝑡𝑡 = 𝛽𝛽41𝑦𝑦1𝑡𝑡 + 𝛽𝛽42𝑦𝑦2𝑡𝑡 + 𝛽𝛽43𝑦𝑦3𝑡𝑡 + 𝛾𝛾413 𝑥𝑥13𝑡𝑡

5.2.2 Maticový zápis modelu

Vzhledem ke skutečnosti, že mnohdy se v praxi koncipují velmi rozsáhlé modely, a to jak z hlediska počtu zahrnutých proměnných, tak i počtu rovnic daného modelu, vzniká požadavek na jednoduchý zápis modelu, který by přitom věrně zachycoval veškeré vazby. Uvedený problém je řešen pomocí maticového zápisu modelu dle vztahu 5.2, přičemž obsah jednotlivých matic a vektorů je následující:

• matice В obsahuje parametry endogenních proměnných modelu, • matice Г obsahuje parametry predeterminovaných proměnných modelu, • vektor yt obsahuje endogenní proměnné modelu, • vektor xt obsahuje predeterminované proměnné modelu, • vektor ut obsahuje stochastické proměnné modelu.

- 35 -

Pro výše uvedený model má matice B rozměr [4 x 4] a její zápis je následující:

�

1 0 −𝛽𝛽13 00 1 −𝛽𝛽23 0

−𝛽𝛽31 0 1 0−𝛽𝛽41 −𝛽𝛽42 −𝛽𝛽43 1

�

Matice В zachycuje strukturu vztahů mezi endogenními proměnnými, tj. obsahuje strukturální parametry endogenních proměnných modelu. Z povahy věci je patrné, že matice В je vždy maticí čtvercovou o rozměru [g x g], tj. rozměr odpovídá počtu rovnic neboli počtu endogenních proměnných daného modelu. Na hlavní diagonále obsahuje jedničky, protože křížové prvky β 11 až β44 se vždy rovnají 1. Rovněž parametry identitní rovnice jsou předem známé, a proto je lze místo obecného záznamu v tomto případě zapsat ve formě -1. Dalším důležitým poznatkem je skutečnost, že maticový zápis zachycuje model v podobě, kdy všechny endogenní a predeterminované proměnné jsou převedeny na levou stranu jednotlivých rovnic modelu (viz vztah č. 5.2). Z tohoto důvodu mají parametry vysvětlujících endogenních proměnných zápornou hodnotu. Matice Г zachycuje strukturu vztahů mezi endogenními proměnnými a predeterminovanými proměnnými, jejich přímé vazby neboli obsahuje strukturální parametry predeterminovaných proměnných modelu. Matice Γ uvedeného modelu bude proto mít rozměr [4 x 9] (obecně [g x k], tj. počet endogenních proměnných x počet predeterminovaných proměnných), a má následující zápis:

�

−𝛾𝛾13 −𝛾𝛾14 0 0 −𝛾𝛾110 −𝛾𝛾111 0 0 00 0 −𝛾𝛾25 0 0 0 −𝛾𝛾212 0 00 0 0 −𝛾𝛾39 0 0 0 0 −𝛾𝛾3150 0 0 0 0 0 0 −𝛾𝛾413 0

�

Matice Г je konstruována obdobným způsobem jako matice В. Proto i v matici Г mají parametry záporné znaménko. 5.2.3 Identifikace jednotlivých rovnic modelu Celkový počet endogenních proměnných modelu g = 4. Celkový počet predeterminovaných proměnných modelu k = 9.

Identifikace 1. rovnice: k * = 4 → k ** = 5 tj. 9-4

g∆ = 2 g∆ -1 = 1

rovnice je identifikovaná s výsledkem 5 > 1 a je tedy přeidentifikovaná.


g∆ = 2 g∆ -1 = 1


- 36 -


g∆ = 2 g∆ -1 = 1


Identifikace 4. rovnice: u identitní rovnice se identifikace neprovádí, je vždy považována za identifikovanou. 5.2.4 Konstrukce a obsah matice multiplikátorů M Matice multiplikátorů M obsahuje parametry ekonometrického modelu v redukovaném tvaru, tj. vyjadřuje komplexní – přímé a zprostředkované – vazby mezi endogenním a predeterminovanými proměnnými. Matici multiplikátorů lze kvantifikovat podle vztahu (5.4). Vyčíslením matice multiplikátorů je tedy získán redukovaný tvar ekonometrického modelu.

U velmi jednoduchých modelů lze redukovaný tvar modelu odvodit prostou substitucí. Např. je-li kvantifikovaný model ve tvaru:

y1t = 2x2t - x3t y2t = -2y1t - 3x1t + 2x3t,

pak redukovaná forma tohoto rekursívního modelu má tvar:

y1t = 2x2t - x3t y2t = -2 (2x2t - x3t) -3x1t + 2x3t = -4x2t +2x3t -3x1t+2x3t = -3x1t - 4x2t +4x3t

Parametr -3 ve druhé rovnici je vazbou přímou, neboť se ve srovnání se strukturálním tvarem nezměnil. Parametr -4 je vazbou zprostředkovanou, neboť proměnná x2t se v původním strukturálním tvaru nevyskytuje. Parametr 4 vyjadřuje komplexní působení proměnné x3t na endogenní proměnnou y2t (jak přímé, tak zprostředkované přes endogenní proměnnou y1t). Matice M výše uvedeného modelu bude mít rozměr [4 x 9] a její parametry představují přímé a zprostředkované vazby predeterminovaných proměnných na příslušné endogenní proměnné.

�

𝑚𝑚13 𝑚𝑚14 0 𝑚𝑚19 𝑚𝑚110 𝑚𝑚111 0 0 𝑚𝑚115𝑚𝑚23 𝑚𝑚24 𝑚𝑚25 𝑚𝑚29 𝑚𝑚210 𝑚𝑚211 𝑚𝑚212 0 𝑚𝑚215𝑚𝑚33 𝑚𝑚34 0 𝑚𝑚39 𝑚𝑚310 𝑚𝑚311 0 0 𝑚𝑚315𝑚𝑚43 𝑚𝑚44 𝑚𝑚45 𝑚𝑚49 𝑚𝑚410 𝑚𝑚411 𝑚𝑚412 𝑚𝑚413 𝑚𝑚415

�

Redukovaný tvar modelu tak v tomto případě umožňuje vyjádřit vliv všech proměnných na HDP, který by bylo obtížné stanovit přímým výpočtem, a to s ohledem na vysokou multikolinearitu.

- 37 -

Úkoly

1. U následujících modelů určete jejich typ, proveďte identifikaci, sestavte matici B, Γ a naznačte obsah matice M. a) y1t = γ13 x3t + γ14 x 4t + u1t

b) y2t = β21y 1t + γ22x2t + γ25x5t + u2t

c) y1t = β12y2t + γ11 x1t + u1t

y2t = β21y1t + γ21 x1t + u2t

d) y1t = 5 + 3y2t + 4x1t + u1t y2t = 3 - y1t + 0,5 x2t + 2y1t-1 +u2t y3t = y1t - y2t

- 38 -

2. Sestavte obecný simultánní dvourovnicový model přesně identifikovaný

3. Sestavte obecný simultánní třírovnicový model tak, aby matice B byla symetrická a její prvky β13 a β23 byly jedinými prvky nad diagonálou rovny nule. Proveďte identifikaci modelu a udělejte z něho model přesně identifikovaný.

4. Proveďte redukci následujícího modelu a zapište jeho rovnice

y1t = 3y3t - 2x6t + u1t y2t = 4x2t - 3x3t + x5t + u2t y3t = -2y2t +1 -3x3t +u3t


1. Co řeší v modelu endogenní proměnná v pozici vysvětlující?

2. Za jakých podmínek se do modelu řadí identitní rovnice, co je podmínkou její

konstrukce?

3. Co obsahují a jak se konstruují matice B, Γ, M a jak se kvantifikují vektory ut a vt .

- 39 -

6. cvičení Odhad modelu - dvoustupňová metoda nejmenších čtverců

6.1 Úvod do problematiky

6.1.1 Podstata dvoustupňové metody nejmenších čtverců

Dvoustupňová metoda nejmenších čtverců (DMNČ) je jednou z nejrozšířenějších metod odhadu strukturálních parametrů simultánního modelu. Patří mezi metody s omezenou informací, tzn. odhad parametrů se provádí pro každou rovnici modelu zvlášť. Je využitelná pro všechny přesně identifikované a přeidentifikované rovnice simultánního modelu. Podstatou DMNČ je opakovaná aplikace běžné metody nejmenších čtverců, a to nejprve k odhadu teoretických hodnot vysvětlujících endogenních proměnných v dané rovnici a podruhé k vlastnímu odhadu strukturálních parametrů této rovnice. Základní myšlenkou je v 1. stupni DMNČ nahrazení matice napozorovaných hodnot Y2 (tj. matice skutečně napozorovaných hodnot vysvětlujících endogenních proměnných v rovnici, pro niž se odhad provádí) maticí Ŷ2 (tj. maticí teoretických hodnot vysvětlujících endogenních proměnných), v níž jsou hodnoty proměnných Ŷ2 odhadnuty na základě regrese na všech predeterminovaných proměnných v modelu. Dochází tak k nahrazení vysvětlujících proměnných zkorelovaných s náhodnými složkami nestochastickými hodnotami Ŷ2, čímž je splněn předpoklad pro aplikaci běžné metody nejmenších čtverců pro vlastní odhad strukturálních parametrů (2. stupeň).

6.1.2 Postup výpočtu strukturálních parametrů pomocí DMNČ

a) Sestavení vektorů a matic napozorovaných hodnot pro odhadovanou rovnici:

y1t = β12y2t +…..+ β1g∆yg∆t + γ11x1t+….+ γ1k*xk*t+u1t

y1.....vektor skutečných hodnot vysvětlované endogenní proměnné;

Y2.....matice napozorovaných hodnot vysvětlujících endogenních proměnných zahrnutých v odhadované rovnici;

X*.....matice hodnot predeterminovaných proměnných zahrnutých v odhadované rovnici;

X**.....matice hodnot predeterminovaných proměnných v odhadované rovnici nezahrnutých, ale obsažených v ostatních rovnicích modelu;

X = [X*, X**]…..matice hodnot všech predeterminovaných proměnných modelu.

b) 1. stupeň DMNČ - vyčíslení matice teoretických hodnot Ŷ2 ze vztahu:

Ŷ2 = X(XTX)-1XTY2 (6.1)

- 40 -

c) 2. stupeň DMNČ – vyčíslení vektoru strukturálních parametrů odhadované rovnice ze vztahu:

� 𝛽𝛽2𝛾𝛾1∗

� = �Ŷ2𝑇𝑇Ŷ2 𝑌𝑌2

𝑇𝑇𝑋𝑋∗𝑋𝑋∗

𝑇𝑇𝑌𝑌2 𝑋𝑋∗𝑇𝑇𝑋𝑋∗

�−1

�Ŷ2𝑇𝑇

𝑋𝑋∗𝑇𝑇� 𝑦𝑦1

(6.2.)

Výraz: �Ŷ𝟐𝟐𝑻𝑻Ŷ𝟐𝟐 𝑌𝑌2



� je tzv. matice K, což je komplexní matice, tvořená čtyřmi

submaticemi. Vypočtené parametry jsou ve výsledném vektoru řazeny následujícím způsobem – nejprve jsou uvedeny parametry endogenních proměnných v pořadí, v jakém vstupují hodnoty jednotlivých proměnných do matice Y2. Následují parametry predeterminovaných proměnných v pořadí, v jakém byly jednotlivé predeterminované proměnné zařazeny do matice X*.

d) Zápis vyčíslených parametrů do rovnice. Výpočet parametrů vychází z rovnice v klasickém tvaru: y1t = β12y2t +…..+ β1g∆yg∆t + γ11x1t+….+ γ1k*xk*t+u1t. Při zápisu parametrů zůstávají znaménka nezměněna.


Úkoly

1. Proveďte odhad parametrů 1. rovnice následujícího ekonometrického modelu s použitím DMNČ. Odhadovaný model:

𝑦𝑦1𝑡𝑡 = 𝛽𝛽13𝑦𝑦3𝑡𝑡 + 𝛾𝛾11𝑥𝑥1𝑡𝑡 + 𝛾𝛾13𝑥𝑥3𝑡𝑡 + 𝛾𝛾14𝑥𝑥4𝑡𝑡 + 𝛾𝛾110 𝑥𝑥10𝑡𝑡 + 𝛾𝛾111 𝑥𝑥11𝑡𝑡 + 𝑢𝑢1𝑡𝑡

𝑦𝑦2𝑡𝑡 = 𝛽𝛽23𝑦𝑦3𝑡𝑡 + 𝛾𝛾21𝑥𝑥1𝑡𝑡 + 𝛾𝛾25𝑥𝑥5𝑡𝑡 + 𝛾𝛾212 𝑥𝑥12𝑡𝑡 + 𝑢𝑢2𝑡𝑡

𝑦𝑦3𝑡𝑡 = 𝛽𝛽31𝑦𝑦1𝑡𝑡 + 𝛾𝛾31𝑥𝑥1𝑡𝑡 + 𝛾𝛾315 𝑥𝑥15𝑡𝑡 + 𝑢𝑢3𝑡𝑡

𝑦𝑦4𝑡𝑡 = 𝑦𝑦1𝑡𝑡 + 𝑦𝑦2𝑡𝑡 + 𝑦𝑦3𝑡𝑡 + 𝑥𝑥13𝑡𝑡

Deklarace proměnných: y1t…výdaje domácností na konečnou spotřebu v mld. Kč y2t…tvorba hrubého fixního kapitálu v mld. Kč y3t…saldo zahraničního obchodu v mld. Kč y4t…hrubý domácí produkt v mld. Kč x1t…jednotkový vektor x3t…míra inflace v % x4t…úroková sazba domácností v % x5t…úroková sazba podniků v % x10t…míra investic v % x11t…obecná míra nezaměstnanosti v % x12t…zaměstnaní v mil. x13t…výdaje na konečnou spotřebu vlády v mld. Kč x15t…přímé zahraniční investice do ČR v mld. Kč

- 41 -

Podkladové údaje: Rok y1 y2 y3 y4 x1 x3 x4 x5 x10 x11 x12 x13 x15

1992 411,8 285,9 -20,3 846,8 1 11,1 5,4 15,6 33,7 2,7 4,9 169,4 28,4

1993 531,7 289,6 -19,5 1002,3 1 20,8 7,2 14,6 28,4 4,3 4,9 200,5 16,6

1994 592,7 361,2 -39,5 1143,0 1 10,0 7,6 13,9 31,6 4,3 4,9 228,6 24,8

1995 761,9 461,8 -63,5 1466,5 1 9,1 7,2 13,5 31,5 4,0 5 306,3 67,9

1996 900,8 540,4 -98,3 1683,3 1 8,8 7,1 13,1 32,1 3,9 5 340,4 38,8

1997 983,5 542,1 -93,8 1811,1 1 8,5 8,7 13,7 29,9 4,8 4,9 379,3 41,3

1998 1056,1 562,4 -21,7 1996,5 1 10,7 9,4 13,3 28,2 6,5 4,9 399,7 81,9

1999 1102,2 562,3 -24,3 2080,8 1 2,1 9,1 9,0 27,0 8,7 4,8 440,6 168,7

2000 1181,9 612,5 -66,1 2189,2 1 3,9 9,0 7,3 28,0 8,8 4,7 460,9 129,8

2001 1255,0 659,3 -58,8 2352,2 1 4,7 9,0 6,8 28,0 8,1 4,7 496,7 214,6

2002 1288,5 677,8 -51,4 2464,4 1 1,8 8,8 5,9 27,5 7,3 4,8 549,5 277,7

2003 1345,2 687,5 -58,8 2577,1 1 0,1 8,2 4,5 26,7 7,8 4,7 603,2 59,3

2004 1464,1 727,2 1,9 2814,8 1 2,8 8,0 4,8 25,8 8,3 4,7 621,6 114,7

2005 1488,7 746,1 94,7 2987,7 1 1,9 7,2 4,2 24,9 7,9 4,8 658,2 263,2

2006 1622,1 812,9 111,2 3231,6 1 2,5 6,8 4,5 25,2 7,1 4,8 685,4 134,7

2007 1966,1 850,2 29,9 3557,7 1 2,8 8,5 2,1 23,9 5,3 4,9 711,5 218,0 Zdroj: ČSÚ

Řešení 1. rovnice:

a. Deklarace matic a vektorů pro výpočet strukturálních parametrů funkce y1 = (y3,x1,x3,x4,x10,x11).

Y2 y1

x1 x3 x4 x10 x11 x1 x3 x4 x10 x11 x5 x12 x13 x15 y3 y1

1 11,1 5,4 33,7 2,7 1 11,1 5,4 33,7 2,7 15,6 4,9 169,4 28,4 -20,3 411,8

1 20,8 7,2 28,4 4,3 1 20,8 7,2 28,4 4,3 14,6 4,9 200,5 16,6 -19,5 531,7

1 10,0 7,6 31,6 4,3 1 10,0 7,6 31,6 4,3 13,9 4,9 228,6 24,8 -39,5 592,7

1 9,1 7,2 31,5 4,0 1 9,1 7,2 31,5 4,0 13,5 5,0 306,3 67,9 -63,5 761,9

1 8,8 7,1 32,1 3,9 1 8,8 7,1 32,1 3,9 13,1 5,0 340,4 38,8 -98,3 900,8

1 8,5 8,7 29,9 4,8 1 8,5 8,7 29,9 4,8 13,7 4,9 379,3 41,3 -93,8 983,5

1 10,7 9,4 28,2 6,5 1 10,7 9,4 28,2 6,5 13,3 4,9 399,7 81,9 -21,7 1056,1

1 2,1 9,1 27,0 8,7 1 2,1 9,1 27,0 8,7 9,0 4,8 440,6 168,7 -24,3 1102,2

1 3,9 9,0 28,0 8,8 1 3,9 9,0 28,0 8,8 7,3 4,7 460,9 129,8 -66,1 1181,9

1 4,7 9,0 28,0 8,1 1 4,7 9,0 28,0 8,1 6,8 4,7 496,7 214,6 -58,8 1255,0

1 1,8 8,8 27,5 7,3 1 1,8 8,8 27,5 7,3 5,9 4,8 549,5 277,7 -51,4 1288,5

1 0,1 8,2 26,7 7,8 1 0,1 8,2 26,7 7,8 4,5 4,7 603,2 59,3 -58,8 1345,2

1 2,8 8,0 25,8 8,3 1 2,8 8,0 25,8 8,3 4,8 4,7 621,6 114,7 1,9 1464,1

1 1,9 7,2 24,9 7,9 1 1,9 7,2 24,9 7,9 4,2 4,8 658,2 263,2 94,7 1488,7

1 2,5 6,8 25,2 7,1 1 2,5 6,8 25,2 7,1 4,5 4,8 685,4 134,7 111,2 1622,1

1 2,8 8,5 23,9 5,3 1 2,8 8,5 23,9 5,3 2,1 4,9 711,5 218,0 29,9 1966,1

X* X

- 42 -

b. Vyčíslení matice teoretických hodnot Ŷ2:

Pro výpočet teoretických hodnot je nutné nejprve transponovat matici X. Z původní matice X o rozměru [16x9] je získána matice [9x16].

Následně je proveden součin matice XT s maticí X. Výsledkem tohoto násobení je matice o rozměru [9x9].

V dalším kroku je provedena inverze matice XTX.

XTX16 101,6 127,1 452,4 99,8 146,6 77,4 7252 1880

102 1073 777,9 3005 518,9 1240 496,1 34423 7237127 777,9 1028 3576 813,2 1142 614,4 58585 15499452 3005 3576 12911 2761 4317 2191 2E+05 50674

99,8 518,9 813,2 2761 683,4 812,5 480,1 48899 13389147 1240 1142 4317 812,5 1666 713,6 54739 12629

77,4 496,1 614,4 2191 480,1 713,6 374,6 34939 90287252 34423 58585 2E+05 48899 54739 34939 4E+06 1E+061880 7237 15499 50674 13389 12629 9028 1E+06 3E+05

(XTX)-1

3465 -5,746 7,3169 -11,88 -37,76 10,895 -628,1 0,0508 0,0039-5,75 0,0295 -0,004 0,055 0,0658 -0,026 0,745 0,0006 7E-057,317 -0,004 0,133 0,007 -0,129 -0,004 -1,608 0,0003 -3E-04-11,9 0,0547 0,0067 0,148 0,1247 -0,054 1,308 0,0015 0,0001-37,8 0,0658 -0,129 0,125 0,4666 -0,108 6,863 -6E-04 -9E-0510,9 -0,026 -0,004 -0,054 -0,108 0,0945 -2,049 0,0011 0,0004-628 0,7451 -1,608 1,308 6,8627 -2,049 121,5 -0,027 -0,003

0,051 0,0006 0,0003 0,001 -6E-04 0,0011 -0,027 6E-05 5E-060,004 7E-05 -3E-04 1E-04 -9E-05 0,0004 -0,003 5E-06 2E-05

XT

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 111 21 10 9,1 8,8 8,5 11 2,1 3,9 4,7 1,8 0,1 2,8 1,9 2,5 2,8

5,4 7,2 7,6 7,18 7,1 8,7 9,4 9,08 9 8,99 8,8 8,24 8 7,2 6,79 8,5134 28 32 31,5 32 30 28 27 28 28 28 26,7 26 24,9 25,2 23,9

2,7 4,3 4,3 4 3,9 4,8 6,5 8,7 8,8 8,1 7,3 7,8 8,3 7,9 7,1 5,316 15 14 13,5 13 14 13 9,02 7,3 6,78 5,9 4,53 4,8 4,2 4,45 2,1

4,9 4,9 4,9 4,96 5 4,9 4,9 4,76 4,7 4,73 4,8 4,73 4,7 4,76 4,83 4,92169 200 229 306 340 379 400 441 461 497 550 603 622 658 685 712

28 17 25 67,9 39 41 82 169 130 215 278 59,3 115 263 135 218

- 43 -

Po provedení inverze lze k matici (𝑿𝑿𝑻𝑻𝑿𝑿)−𝟏𝟏zleva přinásobit matici X.

K matici 𝑿𝑿(𝑿𝑿𝑻𝑻𝑿𝑿)−𝟏𝟏 je dále zprava přinásobena matice XT.

0,69 0,1 0,18 0,16 0,076 0,039 -0,17 -0,01 -0,19 -0,05 0,148 0,089 0,047 0,11 -0,04 -0,16

0,1 0,9 0,11 -0,03 -0,11 -0,07 0,134 -0,06 0,04 0,045 -0,111 -0,08 0,077 0,02 -0,01 0,069

0,18 0,11 0,33 0,17 0,121 0,038 -0,077 0,198 0,16 -0,04 -0,051 0,087 -0,1 -0,15 -0,09 0,105

0,16 -0,03 0,17 0,24 0,284 0,093 0,033 0,036 0,06 0,006 -0,004 -0,1 -0,11 0,03 0,08 0,056

0,08 -0,11 0,12 0,28 0,491 0,093 0,055 -0,21 0,15 0,1 -0,071 -0,07 -0,05 -0,05 0,18 6E-04

0,04 -0,07 0,04 0,09 0,093 0,474 0,397 0,053 -0,17 -0,08 0,056 0,111 0,042 -0,1 -0,04 0,048

-0,17 0,13 -0,08 0,03 0,055 0,397 0,565 0,075 -0,03 0,066 0,037 -0,07 0,064 0,01 0,01 -0,1

-0,01 -0,06 0,2 0,04 -0,21 0,053 0,075 0,77 0,17 -0,11 0,025 0,023 -0,08 0,17 -0,01 -0,03

-0,19 0,04 0,16 0,06 0,154 -0,168 -0,033 0,173 0,54 0,273 -0,04 0,085 0,056 -0,06 0,04 -0,07

-0,05 0,04 -0,04 0,01 0,1 -0,076 0,066 -0,11 0,27 0,473 0,332 -0,02 0,099 0,05 -0,11 -0,04

0,15 -0,11 -0,05 -0 -0,07 0,056 0,037 0,025 -0,04 0,332 0,545 -0,02 0,032 0,17 -0,19 0,147

0,09 -0,08 0,09 -0,1 -0,07 0,111 -0,074 0,023 0,08 -0,02 -0,018 0,643 0,363 -0,16 0,05 0,081

0,05 0,08 -0,1 -0,11 -0,05 0,042 0,064 -0,08 0,06 0,099 0,032 0,363 0,377 0,09 0,17 -0,08

0,11 0,02 -0,15 0,03 -0,05 -0,095 0,01 0,167 -0,06 0,046 0,169 -0,16 0,086 0,53 0,33 0,022

-0,04 -0,01 -0,09 0,08 0,179 -0,035 0,013 -0,01 0,04 -0,11 -0,194 0,049 0,175 0,33 0,55 0,073

-0,16 0,07 0,11 0,06 6E-04 0,048 -0,095 -0,03 -0,07 -0,04 0,147 0,081 -0,08 0,02 0,07 0,881

X(XTX)-1XT

X(XTX)-1

23,14 -0,052 -0,075 -0,058 -0,247 0,0663 -4,021 -4E-04 0,00066,398 0,0475 -0,017 -0,068 -0,02 -0,04 -0,721 -0,001 -2E-04-6,23 -0,025 0,0135 -0,035 0,0423 -0,074 1,896 -0,003 -8E-04-14,3 0,0092 -0,043 0,051 0,1207 -0,025 2,622 -2E-04 0,0003-25,4 0,0612 -0,04 0,19 0,2346 -0,067 3,794 0,0018 -2E-0411,31 -0,034 0,1164 -0,047 -0,185 0,1255 -2,387 0,0021 -5E-041,944 0,0175 0,0828 7E-05 -0,017 0,1217 -1,041 0,003 0,0002-0,79 -0,092 -0,058 -0,208 0,0773 0,0491 1,795 -0,004 0,0003-25,1 0,0517 -0,013 0,126 0,3366 -0,15 4,444 -0,002 -8E-04-3,75 0,0651 0,0751 0,166 0,0554 -0,065 -0,492 0,0013 0,001217,51 -0,014 0,1065 0,017 -0,234 0,0403 -3,763 0,0008 0,002320,48 -0,048 0,0893 -0,049 -0,218 -0,006 -3,628 -3E-04 -0,00315,23 0,0052 0,0042 0,012 -0,108 0,0361 -3,292 0,0018 -0,0010,654 -0,006 -0,169 -0,049 0,0548 0,0757 0,119 0,0007 0,002-15,7 0,0247 -0,184 0,022 0,2182 0,0085 2,99 0,0014 -5E-04-4,42 -0,011 0,1108 -0,07 -0,11 -0,098 1,686 -0,002 -6E-05

- 44 -

Teoretické hodnoty vysvětlujících endogenních proměnných jsou vypočteny vynásobením matice 𝑿𝑿(𝑿𝑿𝑻𝑻𝑿𝑿)−𝟏𝟏𝑿𝑿𝑻𝑻 maticí Y2.

Ŷ2 = X(XTX)-1XTY2

-36,6981711

1,644228681

-79,8573837

-47,9756123

-68,1384075

-75,7000274

-54,5791802

-6,74333753

-67,8641829

-70,5539121

-43,1780061

-46,8330777

3,000954113

100,967747

90,33065533

23,75924669

c. Pro výpočet matice K v druhém kroku DMNČ je zapotřebí transponovat matici teoretických hodnot Ŷ2, matici 𝑿𝑿∗ a matici skutečných hodnot Y2. Transponovanou matici 𝑿𝑿∗ je vhodné umístit pod transponovanou matici Ŷ2, neboť v dalším výpočtu je s nimi počítáno jako s jednou maticí složenou ze dvou submatic.

Ŷ2T -37 1,64 -80 -48 -68 -75,7 -54,6 -6,7 -67,9 -70,6 -43 -46,8 3 101 90,3 23,76

X*T 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

11 20,8 10 9,1 8,8 8,5 10,7 2,1 3,9 4,7 1,8 0,1 2,8 1,9 2,5 2,8

5,4 7,2 7,56 7,18 7,05 8,72 9,43 9,08 8,95 8,99 8,84 8,24 7,96 7,2 6,79 8,512

34 28,4 31,6 31,5 32,1 29,9 28,2 27 28 28 27,5 26,7 25,8 24,9 25,2 23,9

2,7 4,3 4,3 4 3,9 4,8 6,5 8,7 8,8 8,1 7,3 7,8 8,3 7,9 7,1 5,3

-20,3 -19,5 -39,5 -63,5 -98,3 -93,8 -21,7 -24,3 -66,1 -58,8 -51,4 -58,8 1,91 94,7 111 29,86

Y2T

55994,717 -378,41847 -3635,6116 -3295,1983 -12274,479 -1929,1999

-378,41847 16 101,6 127,1421 452,4 99,8

-3635,6116 101,6 1073,34 777,88187 3004,95 518,9

-3295,1983 127,1421 777,88187 1027,9791 3575,6161 813,1721

-12274,479 452,4 3004,95 3575,6161 12910,76 2760,55

-1929,1999 99,8 518,9 813,1721 2760,55 683,44

K

- 45 -

Dále je provedena inverze matice K. K-1

0,0001769 -0,143874 -0,0001922 0,0067737 0,0034579 -0,0003722

-0,143874 141,171 0,1359261 -5,9801548 -3,4004053 -0,2737268

-0,0001922 0,1359261 0,0051875 -0,0110634 -0,0051446 0,0096137

0,0067737 -5,9801548 -0,0110634 0,3530869 0,132019 -0,052583

0,0034579 -3,4004053 -0,0051446 0,132019 0,085409 0,0081515

-0,0003722 -0,2737268 0,0096137 -0,052583 0,0081515 0,0627236

K inverzní matici K je přinásobena matice �Ŷ2𝑇𝑇

𝑋𝑋∗𝑇𝑇� složená ze dvou submatic.

-1E-04 -0,002 -0,001 0,002 -3E-04 0,002 0,003 0,006 -0,002 -0,003 0,0004 -0,007 -0,004 0,006 0,002 -0,002

0,0949 2,956 0,1799 -1,835 -0,21 -1,92 -3,59 -6,066 0,322 0,7706 -0,746 5,72 3,515 -2,987 0,276 4,509

-0,007 0,059 -0,002 -0,011 -0,011 -0,01 0,015 -0,008 0,011 0,0082 -0,016 -0,008 0,009 -0,005 -0 -0,02

-0,124 -0,134 -0,017 0,078 -0,017 0,187 0,243 0,264 -0,089 -0,065 0,0754 -0,274 -0,211 0,097 -0,04 0,032

0,0341 -0,091 0,004 0,058 0,023 0,038 0,062 0,141 -0,01 -0,024 0,0163 -0,131 -0,082 0,081 0,006 -0,124

0,0047 0,048 -0,018 -0,038 -0,028 -0,08 -0,01 0,037 0,099 0,0613 -0,023 0,018 0,064 0,027 0,01 -0,176 Strukturální parametry jsou poté vyčísleny přinásobením vektoru y1.

Odhadnutá rovnice má následující podobu:

ŷ1𝑡𝑡 = −1,07𝑦𝑦3𝑡𝑡 + 5868,9 − 43,42𝑥𝑥3𝑡𝑡 + 9,53𝑥𝑥4𝑡𝑡 − 142,12𝑥𝑥10𝑡𝑡 − 88,78𝑥𝑥11𝑡𝑡 Pro ověření správnosti výpočtu je provedena zkouška dosazením průměrů skutečných hodnot jednotlivých vysvětlujících proměnných do dané rovnice a srovnáním s průměrem skutečných hodnot vysvětlované proměnné y1. Zkouška: 1122 = 1122.

2. Proveďte ekonomickou interpretaci 1. rovnice.

-1,07 β13

5868,90 γ11

-43,42 γ13

9,53 γ14

-142,12 γ110

-88,78 γ111

- 46 -

3. Sestavte matice a vektory potřebné pro odhad 2. rovnice modelu z příkladu č. 1

pomocí DMNČ.

4. Sestavte matice a vektory potřebné pro odhad 3. rovnice modelu z příkladu č. 1 použitím DMNČ.

- 47 -


1. Vyčíslete parametry 2. rovnice modelu z příkladu č. 1 pomocí DMNČ. 2. Vyčíslete parametry 3. rovnice modelu z příkladu č. 1 pomocí DMNČ. 3. Vyčíslete strukturální parametry rovnice 𝑦𝑦1𝑡𝑡 = 𝑓𝑓(𝑦𝑦2𝑡𝑡 , 𝑥𝑥1𝑡𝑡 , 𝑥𝑥2𝑡𝑡 ) + 𝑢𝑢 metodou

DMNČ, znáte-li matici K-1, matici X*, matici Ŷ2 a vektor y1.

4. Vyčíslete matici K, jsou-li matice X*, matice Ŷ2 následující:

Návod k řešení: Lze dokázat, že submatice 𝑌𝑌2

𝑇𝑇𝑋𝑋∗ je rovna submatici Ŷ2𝑇𝑇𝑋𝑋∗ a rovněž 𝑋𝑋∗

𝑇𝑇𝑌𝑌2 = 𝑋𝑋∗

𝑇𝑇Ŷ2. 5. Vypočítejte vektor teoretických hodnot vysvětlující endogenní proměnné,

znáte-li:

6. Vyčíslete matici K, jsou-li matice X*, matice Ŷ2 následující:

7. Určete, jakého rozměru bude matice K, je-li rozměr matice Ŷ2 [15x2] a matice

X* [15x3]. 8. Určete, jakého rozměru bude matice K, je-li v odhadované rovnici

5 predeterminovaných proměnných a 1 vysvětlující endogenní proměnná. Délka časové řady je 7 let.

Ŷ2 X* y1 K-1

2 1 3 -1 0,24 0,08 -0,11 1 1 1 0,08 2,36 -1

-1 1 2 2 -0,1 -1,04 0,56

Ŷ2 X*

3 1 3 21 1 4 21 1 5 1

X(XTX)-1XTY2

0,1 -1 0,7 31,7 0,4 -0,8 20,4 0,6 -0,5 1

-1,3 0 0,6 1

Ŷ2 X*

2 4 31 3 2

-1 3 42 5 1

- 48 -

7. cvičení Odhad modelu – metoda minimalizace poměru rozptylů 7.1 Úvod do problematiky

7.1.1 Podstata metody minimalizace poměru rozptylů

Metoda minimalizace poměru rozptylů (MPR) patří rovněž do skupiny metod s omezenou informací. Podstatou MPR je odhad parametrů všech endogenních proměnných v dané rovnici zahrnutých tak, aby reziduální rozptyl při regresi na predeterminovaných proměnných v dané rovnici obsažených (X*) byl v poměru k reziduálnímu rozptylu při regresi na všech predeterminovaných proměnných modelu (X) co nejmenší. Základní myšlenka metody minimalizace poměru rozptylů vychází z toho, že odhadovanou strukturální rovnici lze zapsat ve tvaru: β1∆Y∆ = γ1*X* + 0X** + u,

kde Y∆….. zahrnuje všechny endogenní proměnné v dané rovnici;

X*…...obsahuje predeterminované proměnné zahrnuté v dané rovnici;

X**….predeterminované proměnné nezahrnuté v dané rovnici.

Výraz β1∆Y∆ lze nahradit ỹ. Cílem pak je zvolit β1∆ tak, aby ỹ bylo vysvětleno závislostí na X* téměř tak dobře, jako závislostí na všech predeterminovaných proměnných X. Pokud je tato podmínka splněna, podíl reziduálního rozptylu závislosti ỹ na X* a reziduálního rozptylu závislosti ỹ na X je jen nepatrně větší než 1. Podstatou je tedy odhadnout takové β1∆, při němž bude podíl rozptylů minimální.

7.1.2 Postup výpočtu strukturálních parametrů pomocí MPR

a) Sestavení matic napozorovaných hodnot pro odhadovanou rovnici ve tvaru:

β11y1t +…..+ β1g∆yg∆t + γ11x1t+….+ γ1k*xk*t = u1t

Y∆.....matice skutečných hodnot všech endogenních proměnných zahrnutých v odhadované rovnici;

X*.....matice skutečných hodnot predeterminovaných proměnných zahrnutých v odhadované rovnici;

X**.....matice skutečných hodnot predeterminovaných proměnných v odhadované rovnici nezahrnutých, ale obsažených v ostatních rovnicích modelu;

X = [X*, X**]…..matice napozorovaných hodnot všech predeterminovaných proměnných modelu.

b) Výpočet reziduálního rozptylu při regresi na zahrnutých predeterminovaných

proměnných v dané rovnici: W* = 𝑌𝑌∆

𝑇𝑇𝑌𝑌∆ − 𝑌𝑌∆𝑇𝑇𝑋𝑋∗(𝑋𝑋∗

𝑇𝑇𝑋𝑋∗)−1𝑋𝑋∗𝑇𝑇𝑌𝑌∆ (7.1)

- 49 -

c) Výpočet reziduálního rozptylu při regresi na všech predeterminovaných proměnných modelu:

W = 𝑌𝑌∆𝑇𝑇𝑌𝑌∆ − 𝑌𝑌∆

𝑇𝑇𝑋𝑋(𝑋𝑋𝑇𝑇𝑋𝑋)−1𝑋𝑋𝑇𝑇𝑌𝑌∆ (7.2)

d) Výpočet vektoru strukturálních parametrů endogenních proměnných, který minimalizuje poměr reziduálních rozptylů:

𝑘𝑘 = 𝛽𝛽1∆𝑊𝑊∗𝛽𝛽1∆𝑇𝑇

𝛽𝛽1∆𝑊𝑊𝛽𝛽1∆𝑇𝑇 (7.3)

Pro nalezení minimálního poměru rozptylů musí být derivace tohoto vztahu podle β1∆ rovna nule, tj. (𝑊𝑊∗ − 𝑘𝑘𝑊𝑊)𝛽𝛽1∆

𝑇𝑇 = 0. Tato rovnost platí v případě, že determinant det|𝑊𝑊∗ − 𝑘𝑘𝑊𝑊| = 0. Pro výpočet strukturálních parametrů endogenních proměnných je tedy nejprve hledáno „k“, při kterém je determinant matice |𝑊𝑊∗ − 𝑘𝑘𝑊𝑊| roven nule. Řešením determinantu je polynomní funkce, jejíž nejmenší kořen představuje hledané „k“. Dosazení tohoto „k“ zpět do vztahu (𝑊𝑊∗ − 𝑘𝑘𝑊𝑊)𝛽𝛽1∆

𝑇𝑇 = 0 umožní vyčíslit vektor strukturálních parametrů 𝛽𝛽1∆. Řazení parametrů v uvedeném vektoru odpovídá řazení hodnot endogenních proměnných v matici Y∆.

e) Vyčíslení parametrů predeterminovaných proměnných ze vztahu: 𝛾𝛾1∗ = −𝛽𝛽1∆𝑌𝑌∆

𝑇𝑇𝑋𝑋∗(𝑋𝑋∗𝑇𝑇𝑋𝑋∗)−1 (7.4)

Jednotlivé parametry predeterminovaných proměnných jsou ve výsledném vektoru 𝛾𝛾1∗ řazeny dle pořadí predeterminovaných proměnných v matici X*.

f) Zápis parametrů do rovnice. Vzhledem k výchozímu tvaru rovnice v podobě: β11y1t +…..+ β1g∆yg∆t + γ11x1t+….+ γ1k*xk*t = u1t, jsou při přepisu parametrů do rovnice v klasickém tvaru: y1t = β12y2t +…..+ β1g∆yg∆t + γ11x1t+….+ γ1k*xk*t + u1t otáčena znaménka.

- 50 -

7.2 Praktická cvičení Úkoly

1. Proveďte odhad parametrů 1. rovnice následujícího ekonometrického modelu s použitím MPR.

Odhadovaný model:

𝑦𝑦1𝑡𝑡 = 𝛽𝛽13𝑦𝑦3𝑡𝑡 + 𝛾𝛾11𝑥𝑥1𝑡𝑡 + 𝛾𝛾13𝑥𝑥3𝑡𝑡 + 𝛾𝛾14𝑥𝑥4𝑡𝑡 + 𝛾𝛾110 𝑥𝑥10𝑡𝑡 + 𝛾𝛾111 𝑥𝑥11𝑡𝑡 + 𝑢𝑢1𝑡𝑡

𝑦𝑦2𝑡𝑡 = 𝛽𝛽23𝑦𝑦3𝑡𝑡 + 𝛾𝛾21𝑥𝑥1𝑡𝑡 + 𝛾𝛾25𝑥𝑥5𝑡𝑡 + 𝛾𝛾212 𝑥𝑥12𝑡𝑡 + 𝑢𝑢2𝑡𝑡

𝑦𝑦3𝑡𝑡 = 𝛽𝛽31𝑦𝑦1𝑡𝑡 + 𝛾𝛾31𝑥𝑥1𝑡𝑡 + 𝛾𝛾315 𝑥𝑥15𝑡𝑡 + 𝑢𝑢3𝑡𝑡

𝑦𝑦4𝑡𝑡 = 𝑦𝑦1𝑡𝑡 + 𝑦𝑦2𝑡𝑡 + 𝑦𝑦3𝑡𝑡 + 𝑥𝑥13𝑡𝑡

Deklarace proměnných: y1t…výdaje domácností na konečnou spotřebu v mld. Kč y2t…tvorba hrubého fixního kapitálu v mld. Kč y3t…saldo zahraničního obchodu v mld. Kč y4t…hrubý domácí produkt v mld. Kč x1t…jednotkový vektor x3t…míra inflace v % x4t…úroková sazba domácností v % x5t…úroková sazba podniků v % x10t…míra investic v % x11t…obecná míra nezaměstnanosti v % x12t…zaměstnaní v mil. x13t…výdaje na konečnou spotřebu vlády v mld. Kč x15t…přímé zahraniční investice do ČR v mld. Kč Podkladové údaje:

Rok y1 y2 y3 y4 x1 x3 x4 x5 x10 x11 x12 x13 x15

1992 411,8 285,9 -20,3 846,8 1 11,1 5,4 15,6 33,7 2,7 4,9 169,4 28,4

1993 531,7 289,6 -19,5 1002,3 1 20,8 7,2 14,6 28,4 4,3 4,9 200,5 16,6

1994 592,7 361,2 -39,5 1143,0 1 10,0 7,6 13,9 31,6 4,3 4,9 228,6 24,8

1995 761,9 461,8 -63,5 1466,5 1 9,1 7,2 13,5 31,5 4,0 5 306,3 67,9

1996 900,8 540,4 -98,3 1683,3 1 8,8 7,1 13,1 32,1 3,9 5 340,4 38,8

1997 983,5 542,1 -93,8 1811,1 1 8,5 8,7 13,7 29,9 4,8 4,9 379,3 41,3

1998 1056,1 562,4 -21,7 1996,5 1 10,7 9,4 13,3 28,2 6,5 4,9 399,7 81,9

1999 1102,2 562,3 -24,3 2080,8 1 2,1 9,1 9,0 27,0 8,7 4,8 440,6 168,7

2000 1181,9 612,5 -66,1 2189,2 1 3,9 9,0 7,3 28,0 8,8 4,7 460,9 129,8

2001 1255,0 659,3 -58,8 2352,2 1 4,7 9,0 6,8 28,0 8,1 4,7 496,7 214,6

2002 1288,5 677,8 -51,4 2464,4 1 1,8 8,8 5,9 27,5 7,3 4,8 549,5 277,7

2003 1345,2 687,5 -58,8 2577,1 1 0,1 8,2 4,5 26,7 7,8 4,7 603,2 59,3

2004 1464,1 727,2 1,9 2814,8 1 2,8 8,0 4,8 25,8 8,3 4,7 621,6 114,7

2005 1488,7 746,1 94,7 2987,7 1 1,9 7,2 4,2 24,9 7,9 4,8 658,2 263,2

2006 1622,1 812,9 111,2 3231,6 1 2,5 6,8 4,5 25,2 7,1 4,8 685,4 134,7

2007 1966,1 850,2 29,9 3557,7 1 2,8 8,5 2,1 23,9 5,3 4,9 711,5 218,0Zdroj: ČSÚ

- 51 -

Řešení 1. rovnice: Deklarace matic a vektorů pro výpočet strukturálních parametrů funkce y1 = (y3,x1,x3,x4,x10,x11).

X* X Y∆

x1 x3 x4 x10 x11 x1 x3 x4 x10 x11 x5 x12 x13 x15 y1 y3

1 11,1 5,4 33,7 2,7 1 11,1 5,4 33,7 2,7 15,6 4,9 169,4 28,4 411,8 -20,3

1 20,8 7,2 28,4 4,3 1 20,8 7,2 28,4 4,3 14,6 4,9 200,5 16,6 531,7 -19,5

1 10,0 7,6 31,6 4,3 1 10,0 7,6 31,6 4,3 13,9 4,9 228,6 24,8 592,7 -39,5

1 9,1 7,2 31,5 4,0 1 9,1 7,2 31,5 4,0 13,5 5,0 306,3 67,9 761,9 -63,5

1 8,8 7,1 32,1 3,9 1 8,8 7,1 32,1 3,9 13,1 5,0 340,4 38,8 900,8 -98,3

1 8,5 8,7 29,9 4,8 1 8,5 8,7 29,9 4,8 13,7 4,9 379,3 41,3 983,5 -93,8

1 10,7 9,4 28,2 6,5 1 10,7 9,4 28,2 6,5 13,3 4,9 399,7 81,9 1056,1 -21,7

1 2,1 9,1 27,0 8,7 1 2,1 9,1 27,0 8,7 9,0 4,8 440,6 168,7 1102,2 -24,3

1 3,9 9,0 28,0 8,8 1 3,9 9,0 28,0 8,8 7,3 4,7 460,9 129,8 1181,9 -66,1

1 4,7 9,0 28,0 8,1 1 4,7 9,0 28,0 8,1 6,8 4,7 496,7 214,6 1255,0 -58,8

1 1,8 8,8 27,5 7,3 1 1,8 8,8 27,5 7,3 5,9 4,8 549,5 277,7 1288,5 -51,4

1 0,1 8,2 26,7 7,8 1 0,1 8,2 26,7 7,8 4,5 4,7 603,2 59,3 1345,2 -58,8

1 2,8 8,0 25,8 8,3 1 2,8 8,0 25,8 8,3 4,8 4,7 621,6 114,7 1464,1 1,9

1 1,9 7,2 24,9 7,9 1 1,9 7,2 24,9 7,9 4,2 4,8 658,2 263,2 1488,7 94,7

1 2,5 6,8 25,2 7,1 1 2,5 6,8 25,2 7,1 4,5 4,8 685,4 134,7 1622,1 111,2

1 2,8 8,5 23,9 5,3 1 2,8 8,5 23,9 5,3 2,1 4,9 711,5 218,0 1966,1 29,9

Pro odhad strukturálních parametrů je nutné tyto matice transponovat.

Y∆T

412 532 593 762 901 984 1056 1102 1182 1255 1288 1345 1464 1489 1622 1966

-20 -19 -40 -63 -98 -94 -21,7 -24,3 -66,1 -58,8 -51,4 -58,8 1,914 94,71 111,2 29,86

X*

T

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

11,1 20,8 10 9,1 8,8 8,5 11 2,1 3,9 4,7 1,8 0,1 2,8 1,9 2,5 2,8

5,44 7,2 7,6 7,2 7,05 8,72 9,4 9,08 8,95 8,99 8,84 8,24 8 7,2 6,79 8,51

33,7 28,4 32 32 32,1 29,9 28 27 28 28 27,5 26,7 26 24,9 25,2 23,9

2,7 4,3 4,3 4 3,9 4,8 6,5 8,7 8,8 8,1 7,3 7,8 8,3 7,9 7,1 5,3 XT

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

11,1 20,8 10 9,1 8,8 8,5 10,7 2,1 3,9 4,7 1,8 0,1 2,8 1,9 2,5 2,8

5,44 7,2 7,56 7,18 7,05 8,72 9,43 9,08 8,95 8,99 8,84 8,24 7,96 7,2 6,79 8,51

33,7 28,4 31,6 31,5 32,1 29,9 28,2 27 28 28 27,5 26,7 25,8 24,9 25,2 23,9

2,7 4,3 4,3 4 3,9 4,8 6,5 8,7 8,8 8,1 7,3 7,8 8,3 7,9 7,1 5,3

15,6 14,6 13,9 13,5 13,09 13,7 13,3 9,02 7,28 6,78 5,85 4,53 4,75 4,2 4,45 2,1

4,93 4,87 4,93 4,96 4,972 4,94 4,87 4,76 4,731 4,73 4,76 4,73 4,71 4,76 4,83 4,92

169 200 229 306 340,4 379 400 441 460,9 497 550 603 622 658 685 712

28,4 16,6 24,8 67,9 38,78 41,3 81,9 169 129,8 215 278 59,3 115 263 135 218

- 52 -

Dále pro výpočet reziduálních rozptylů je proveden součin matic 𝑌𝑌△𝑇𝑇𝑌𝑌△.

Y∆

TY∆

22791498 -235511,95

-235511,95 62067,055

Výpočet reziduálního rozptylu při regresi na zahrnutých predeterminovaných proměnných je pak proveden v posloupnosti následujících kroků:

a) Součin matic 𝑋𝑋∗

𝑇𝑇 a 𝑋𝑋∗. X*

TX*

16 101,6 127,1 452,4 99,8

101,6 1073,3 777,9 3005 518,9

127,1 777,9 1028,0 3575,6 813,2

452,4 3005 3575,6 12910,8 2760,6

99,8 518,9 813,2 2760,6 683,4

b) Inverze matice 𝑋𝑋∗𝑇𝑇𝑋𝑋∗.

(X*TX*)-1

24,13 -0,02 -0,47 -0,59 -0,58

-0,02 0,00 0,00 0,00 0,01

-0,47 0,00 0,09 0,00 -0,04

-0,59 0,00 0,00 0,02 0,02

-0,58 0,01 -0,04 0,02 0,06

c) Součin matic 𝑌𝑌△𝑇𝑇 a X*.

Y∆TX*

17952,46 87844,23 145372,41 491868,50 119997,66

-378,42 -3635,61 -3295,20 -12274,48 -1929,20

d) Součin matice 𝑌𝑌△𝑇𝑇𝑋𝑋∗ a matice (𝑋𝑋∗

𝑇𝑇𝑋𝑋∗)−1. Y∆

TX*(X*TX*)-1

5001,38 -44,58 50,37 -121,27 -91,02

813,47 1,09 -38,30 -19,55 2,10

e) Součin matice 𝑋𝑋∗𝑇𝑇

a matice 𝑌𝑌△. X*

TY∆

17952,46 -378,42

87844,23 -3635,61

145372,41 -3295,20

491868,50 -12274,48

119997,66 -1929,20

- 53 -

f) Přinásobení matice 𝑋𝑋∗𝑇𝑇𝑌𝑌△ zprava k matici 𝑌𝑌△

𝑇𝑇𝑋𝑋∗(𝑋𝑋∗𝑇𝑇𝑋𝑋∗)−1.

Y∆TX*(X*

TX*)-1 X*TY∆

22624372 -232448,32

-232448,32 50340,705

g) Reziduální rozptyl při regresi na zahrnutých predeterminovaných proměnných je rozdílem matic 𝑌𝑌△

𝑇𝑇𝑌𝑌△ a matice 𝑌𝑌△𝑇𝑇𝑋𝑋∗(𝑋𝑋∗

𝑇𝑇𝑋𝑋∗)−1𝑋𝑋∗𝑇𝑇𝑌𝑌△.

W*

167125,50 -3063,63

-3063,63 11726,35 Stejným postupem, pouze s použitím matice X místo matice 𝑋𝑋∗, je počítán reziduální rozptyl při regresi na všech predeterminovaných proměnných modelu. W

26637,348 2966,0663

2966,0663 6072,3381 Dále pro výpočet strukturálních parametrů endogenních proměnných je nutné vyjádřit matici (𝑊𝑊∗ − 𝑘𝑘𝑊𝑊).

� 167125,5 − 26637,35𝑘𝑘 −3063,6321 − 2966,07𝑘𝑘−3063,632 − 2966,066𝑘𝑘 11726,35 − 6072,34𝑘𝑘 �

Následuje výpočet determinantu této matice. 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡(𝑊𝑊∗ − 𝑘𝑘𝑊𝑊) = (167125,5 − 26637,35𝑘𝑘)(11726,35 − 6072,34𝑘𝑘) − (−3063,632 − 2966,066𝑘𝑘)2 Úpravou uvedeného vztahu je získána kvadratická funkce.

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡(𝑊𝑊∗ − 𝑘𝑘𝑊𝑊) = 152953437𝑘𝑘2 − 1345375307𝑘𝑘 + 1950386324 Pro nalezení kořenu „k“, při kterém je poměr reziduálních rozptylů minimální, je nutné tento determinant položit roven nule a hledat kořeny kvadratické funkce.

k1 = 1,8307 k2 = 6,9652 Hledané „k“ představuje kořen s nižší hodnotou, tzn. v tomto případě k1. Ten je dosazen zpět do matice (𝑊𝑊∗ − 𝑘𝑘𝑊𝑊). W*-kW

118359,65 -8493,71

-8493,71 609,52 Parametry vysvětlujících endogenních proměnných lze poté vyčíslit vynásobením této matice vektorem parametrů β a položením daného součinu rovno nule. Vektor parametrů β v odhadované 1. rovnici modelu je � 1

𝛽𝛽13�.

118359,65 -8493,7058 * 1 = 0

-8493,7058 609,52394 β13 0

- 54 -

Výsledek uvedeného součinu je následující: 118359,645 − 8493,7𝛽𝛽13 = 0

−8493,7 + 609,5𝛽𝛽13 = 0 Pro získání jednoznačné hodnoty parametru 𝛽𝛽13 jsou sečteny tyto dvě rovnice dohromady:

118359,645 − 8493,7 − 8493,7𝛽𝛽13 + 609,5𝛽𝛽13 = 0 109865,94 − 7884,2𝛽𝛽13 = 0

𝛽𝛽13 = 109865,94

7884,2= −13,93

Posledním krokem je vyčíslení parametrů predeterminovaných proměnných, a to vynásobením transponovaného vektoru parametrů β mínus jedn ičkou a následně maticí 𝑌𝑌△

𝑇𝑇𝑋𝑋∗(𝑋𝑋∗𝑇𝑇𝑋𝑋∗)−1.

-1 13,93 * 5001,4 -44,6 50,4 -121,3 -91,0 = 6334 59,7 -584 -151 120

813,5 1,1 -38,3 -19,6 2,1 γ11 γ13 γ14 γ110 γ111

Odhadnutá rovnice má následující podobu:

ŷ1𝑡𝑡 = 13,93𝑦𝑦3𝑡𝑡 − 6334 − 59,7𝑥𝑥3𝑡𝑡 + 584𝑥𝑥4𝑡𝑡 + 151𝑥𝑥10𝑡𝑡 − 120𝑥𝑥11𝑡𝑡

Pro ověření správnosti výpočtu je provedena zkouška dosazením průměrů skutečných hodnot jednotlivých vysvětlujících proměnných do dané rovnice a srovnáním s průměrem skutečných hodnot vysvětlované proměnné y1. Zkouška: 1122 = 1122.

2. Proveďte ekonomickou interpretaci 1. rovnice.

3. Srovnejte parametry 1. rovnice vyčíslené pomocí DMNČ s parametry získané

pomocí MPR a zdůvodněte rozdíly. β13 γ11 γ13 γ14 γ110 γ111 DMNČ MPR

- 55 -

4. Sestavte matice a vektory potřebné pro odhad 2. rovnice modelu z příkladu č. 1 pomocí MPR.

5. Sestavte matice a vektory potřebné pro odhad 3. rovnice modelu z příkladu č. 1

použitím MPR.

- 56 -


1. Vyčíslete parametry 2. rovnice modelu z příkladu č. 1 pomocí MPR. 2. Vyčíslete parametry 3. rovnice modelu z příkladu č. 1 pomocí MPR.

3. Vypočítejte kořeny „k“, znáte-li matice W* a W a vyberte vhodný kořen

pro výpočet strukturálních parametrů pomocí MPR.

4. Vypočítejte hodnotu parametru β 12, znáte-li matici (W* - kW) a víte-li, že matici Y△ tvoří hodnoty proměnných y1 a y2 v uvedeném pořadí.

5. Vyčíslete hodnotu parametrů predeterminovaných proměnných rovnice 𝑦𝑦1𝑡𝑡 = 𝑓𝑓(𝑦𝑦2𝑡𝑡 , 𝑥𝑥1𝑡𝑡 , 𝑥𝑥2𝑡𝑡 ) + 𝑢𝑢, znáte-li matici 𝑌𝑌△

𝑇𝑇𝑋𝑋∗(𝑋𝑋∗𝑇𝑇𝑋𝑋∗)−1 a hodnotu

parametru β12. β12 = -2

6. Určete, jakého rozměru bude matice W, je-li v modelu 5 predeterminovaných

proměnných, z nichž jsou v dané rovnici zahrnuty tři z nich, dále jsou v odhadované rovnici dvě vysvětlující endogenní proměnné a délka časové řady je 10 let.

W* W

5 10 2 0,410 72 0,4 40

W*-kW

15 4

4 3

Y∆TX*(X*

TX*)-1

5 32 5

- 57 -

8. Cvičení Verifikace ekonometrického modelu, interpretace a aplikace 8.1 Úvod do problematiky 8.1.1 Verifikace ekonometrického modelu Odhadnutý ekonometrický model je nutné před jeho aplikací verifikovat, tzn. ověřit, zda jsou odhadnuté parametry v souladu s výchozími ekonomickými hypotézami a zda mají požadované statistické charakteristiky. Verifikace modelu se provádí jako:

(i) Ekonomická verifikace

V rámci ekonomické verifikace se posuzuje zejména směr a intenzita působení vysvětlujících proměnných na proměnnou vysvětlovanou. Ověřuje se zde správnost znamének a velikost číselných hodnot odhadnutých parametrů. Pokud získané parametry nejsou v souladu s předpoklady, je zpravidla nutné ověřit správnost specifikace modelu.

(ii) Statistická verifikace Statistická verifikace slouží k posouzení statistické významnosti odhadnutých parametrů, jednotlivých rovnic i celého modelu. V rámci statistické verifikace se hodnotí:

a. shoda odhadnutého modelu s daty, b. statistická významnost strukturálních parametrů.

(iii)Ekonometrická verifikace

V rámci ekonometrické verifikace se ověřují podmínky nutné pro aplikaci konkrétních ekonometrických metod, testů a technik, tj. předpoklady ekonometrického modelu. Zahrnuje např. test autokorelace náhodných složek, multikolinearity vysvětlujících proměnných.

add (ii) a. Shoda odhadnutého modelu s daty

Kvalita odhadnuté rovnice se v případě lineární funkce posuzuje pomocí koeficientu vícenásobné determinace R2. Tento ukazatel je založen na rozkladu celkového rozptylu vysvětlované proměnné (𝑆𝑆𝑦𝑦

2) na rozptyl teoretický (regresní, 𝑆𝑆ŷ2) a reziduální

(𝑆𝑆𝑢𝑢2):

𝑆𝑆𝑦𝑦2 = 𝑆𝑆ŷ

2 + 𝑆𝑆𝑢𝑢2 (8.1)

𝑆𝑆𝑦𝑦2 = ∑ (𝑦𝑦𝑡𝑡 −𝑦𝑦�)2𝑛𝑛

𝑡𝑡=1𝑛𝑛

, (8.2)

kde yt jsou skutečné hodnoty vysvětlované proměnné v jednotlivých letech pozorování, 𝑦𝑦� je průměr skutečných hodnot vysvětlované proměnné,

𝑛𝑛 je délka časové řady.

- 58 -

𝑆𝑆ŷ2 = ∑ (ŷ𝑡𝑡 −𝑦𝑦�)2𝑛𝑛

𝑡𝑡=1 𝑛𝑛

, (8.3)

kde ŷ𝑡𝑡 jsou teoretické hodnoty vysvětlované proměnné v jednotlivých letech

pozorování.

𝑆𝑆𝑢𝑢2 = ∑ (𝑦𝑦𝑡𝑡 −ŷ𝑡𝑡 )2𝑛𝑛

𝑡𝑡=1𝑛𝑛

. (8.4) Koeficient vícenásobné determinace je dán vztahem: 𝑅𝑅2 = 1 − 𝑆𝑆𝑢𝑢

2

𝑆𝑆𝑦𝑦2 (8.5)

Vyjadřuje se obvykle v % a udává, z kolika % jsou změny závisle proměnné vysvětleny změnami nezávisle proměnných. Hodnota R2 se pohybuje od 0% do 100%. Pokud R2 = 0%, všechny odhadnuté koeficienty jsou nulové, celkový rozptyl je roven reziduálnímu a daná funkce nevysvětluje vůbec zkoumaný vztah. Naopak R2 = 100% nastane, když všechna rezidua jsou nulová, tudíž také reziduální rozptyl je nulový a daná funkce plně vystihuje zkoumaný vztah. Protože hodnota R2 nikdy neklesne (zpravidla vždy vzroste) přidáním dalších vysvětlujících proměnných do modelu, je často používán korigovaný koeficient vícenásobné determinace: 𝑅𝑅2�� = 1 − (1 − 𝑅𝑅2) 𝑛𝑛−1

𝑛𝑛−𝑝𝑝 (8.6)

kde, 𝑝𝑝 je počet odhadovaných parametrů v dané rovnici. Hodnota korigovaného koeficientu determinace je zpravidla nižší, než hodnota R2. Odchylka těchto dvou koeficientů se snižuje s růstem počtu stupňů volnosti (n-p). Při velkém počtu stupňů volnosti se R2 a 𝑅𝑅2�� liší velice málo. Při malém počtu stupňů volnosti může nabývat 𝑅𝑅2�� i záporných hodnot. V takovém případě se hodnota korigovaného koeficientu vícenásobné determinace interpretuje jako nulová. Statistickou významnost modelu jako celku lze testovat pomocí F-testu, v jehož rámci se porovnává F poměr s tabulkovou hodnotou F*. Je-li F poměr větší než tabulková hodnota na zvolené hladině významnosti a při daném počtu stupňů volnosti, zamítá se nulová hypotéza o statistické nevýznamnosti R2, a tedy shoda odhadnutého modelu s daty je statisticky významná. U nelineární funkce je jako míra těsnosti závislosti používán index determinace I2, jeho výpočet i interpretace se však shodují s R2.

add ii) b. Testování statistické významnosti strukturálních parametrů Statistická významnost jednotlivých strukturálních parametrů se testuje t-testem. Při výpočtu testovacího kritéria, t poměru, je používán korigovaný reziduální rozptyl. Korekce se provádí opět počtem stupňů volnosti v daném vztahu. Korigovaný reziduální rozptyl je tedy určen jako:

𝑆𝑆𝑢𝑢2�� = ∑ (𝑦𝑦𝑡𝑡 −ŷ𝑡𝑡 )2𝑛𝑛

𝑡𝑡=1𝑛𝑛− 𝑝𝑝

. (8.7)

- 59 -

a) Postup testování parametrů odhadnutých DMNČ: I. Sestavení kovariační matice 𝑆𝑆𝑏𝑏𝑏𝑏

𝑎𝑎𝑎𝑎 :

𝑆𝑆𝑏𝑏𝑏𝑏𝑎𝑎𝑎𝑎 = 𝑆𝑆𝑢𝑢

2�� Ŷ2𝑇𝑇Ŷ2 𝑌𝑌2



�−1

= ��𝑆𝑆11 ⋯

⋮ ⋱ ⋮⋯ 𝑆𝑆𝑖𝑖𝑖𝑖

��

Prvky na diagonále kovariační matice jsou rozptyly strukturálních parametrů Sii. Nejdříve jsou zde uvedeny rozptyly parametrů endogenních proměnných, a to v takovém pořadí v jakém vytváří jednotlivé endogenní proměnné matici Y2. Následují rozptyly strukturálních parametrů predeterminovaných proměnných, a to v takovém pořadí v jakém tvoří jednotlivé predeterminované proměnné matici 𝑋𝑋∗.

II. Vyčíslení standardních chyb jednotlivých parametrů jako odmocniny prvků z diagonály:

Sbi = √𝑆𝑆𝑖𝑖𝑖𝑖. III. Vyčíslení t-hodnoty:

𝑡𝑡 =ℎ𝑜𝑜𝑑𝑑𝑛𝑛𝑜𝑜𝑡𝑡𝑎𝑎 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑝𝑝𝑎𝑎𝑚𝑚𝑑𝑑𝑡𝑡𝑝𝑝𝑢𝑢

𝑐𝑐ℎ𝑦𝑦𝑏𝑏𝑎𝑎 𝑜𝑜𝑑𝑑ℎ𝑎𝑎𝑑𝑑𝑢𝑢=

|𝛾𝛾𝑖𝑖𝑖𝑖 |𝑆𝑆𝑏𝑏𝑖𝑖

= |𝛽𝛽𝑖𝑖𝑖𝑖 |𝑆𝑆𝑏𝑏𝑖𝑖

IV. Porovnání t-hodnoty s tabulkovou hodnotou t-testu na zvolené hladině významnosti s přihlédnutím k příslušnému počtu stupňů volnosti. Je-li t > tα, zamítá se nulová hypotéza o statistické nevýznamnosti parametrů. Vysvětlující proměnná je z hlediska svého vlivu na vysvětlovanou proměnnou na hladině významnosti α a při (n-p) stupních volnosti významnou proměnnou.

Je-li t < tα, s pravděpodobností 100(1-α)%, není odhad parametru statisticky významný, tj. statisticky významně odlišný od nuly.

b) Postup testování parametrů odhadnutých MPR:

I. Vytvoření matice X, složené ze všech vysvětlujících proměnných (predeterminovaných i endogenních) v dané rovnici.

II. Výpočet testovací matice (XTX)-1. III. Výpočet kovariační matice:

𝑆𝑆𝑏𝑏𝑏𝑏𝑎𝑎𝑎𝑎 = 𝑆𝑆𝑢𝑢

2 �� (𝑋𝑋𝑇𝑇𝑋𝑋)−1 Prvky na diagonále této matice jsou rozptyly strukturálních parametrů Sii, a to v takovém řazení v jakém vstupují jednotlivé proměnné do matice X.

IV. Vyčíslení standardních chyb jednotlivých parametrů jako odmocniny prvků z diagonály kovariační matice.

V. Vyčíslení t-hodnoty. VI. Porovnání t-hodnoty s tabulkovou hodnotou t testu.

Zamítnutí nulové hypotézy ještě neznamená, že odhady strukturálních parametrů jsou přesnými odhady skutečných hodnot strukturálních parametrů. Pro určení stupně shody skutečné hodnoty parametru s odhadem se stanovuje interval spolehlivosti, tzv. konfidenční interval. Neboli hledají se meze, v nichž se bude skutečná hodnota parametru při opakovaných výběrech nacházet s určitým stupněm spolehlivosti, tj. s určitou zvolenou pravděpodobností.

- 60 -

Intervalový odhad parametrů se stanovuje pomocí vztahu: 𝛽𝛽𝑖𝑖𝑖𝑖_𝑖𝑖𝑛𝑛𝑡𝑡𝑑𝑑𝑝𝑝𝑖𝑖𝑎𝑎𝑖𝑖 𝑛𝑛𝑑𝑑𝑏𝑏𝑜𝑜 𝛾𝛾𝑖𝑖𝑖𝑖_𝑖𝑖𝑛𝑛𝑡𝑡𝑑𝑑𝑝𝑝𝑖𝑖𝑎𝑎𝑖𝑖 = 𝛽𝛽𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑛𝑛𝑑𝑑𝑏𝑏𝑜𝑜 𝛾𝛾𝑖𝑖𝑖𝑖 ∓ 𝑡𝑡𝛼𝛼 𝑆𝑆𝑏𝑏𝑖𝑖 (8.8) Odhadnutý parametr se významně liší od nuly, pokud tento interval nulu neobsahuje. Obsahuje-li konfidenční interval nulu, je parametr statisticky nevýznamný.


Úkoly

1. Proveďte ekonomickou verifikaci 1. rovnice modelu ze cvičení č. 6 - Odhad modelu pomocí DMNČ.

ŷ1𝑡𝑡 = −1,07𝑦𝑦3𝑡𝑡 + 5868,9 − 43,42𝑥𝑥3𝑡𝑡 + 9,53𝑥𝑥4𝑡𝑡 − 142,12𝑥𝑥10𝑡𝑡 − 88,78𝑥𝑥11𝑡𝑡 2. Proveďte statistickou verifikaci rovnice z příkladu č. 1. Řešení: a) Pro testování shody odhadnuté rovnice s daty jsou nejprve vypočítány teoretické

hodnoty vysvětlované proměnné y1, a to dosazením skutečných hodnot vysvětlujících proměnných do odhadnuté rovnice. Dále je vyčíslena odchylka skutečných hodnot od průměru a odchylka teoretických hodnot od skutečných. Následuje umocnění vyčíslených odchylek druhou mocninou a jejich součet.

y1 ŷ1 y1-ÿ1 (y1-ÿ1)2 y1-ŷ1 (y1-ŷ1)2

411,849 431,399 -710,179 504354,888 -19,550 382,221

531,725 637,251 -590,303 348458,193 -105,526 11135,713

592,715 676,245 -529,313 280172,755 -83,530 6977,214

761,867 778,093 -360,161 129716,289 -16,226 263,298

900,813 750,652 -221,215 48936,287 150,161 22548,415

983,544 1007,579 -138,484 19177,950 -24,035 577,677

1056,131 932,581 -65,897 4342,477 123,550 15264,683

1102,201 1280,652 -19,827 393,129 -178,451 31844,758

1181,920 1094,856 59,892 3586,995 87,064 7580,200

1255,014 1114,852 132,986 17685,150 140,162 19645,419

1288,474 1373,497 166,446 27704,113 -85,023 7228,846

1345,197 1518,818 223,169 49804,190 -173,621 30144,290

1464,086 1417,677 342,058 117003,350 46,409 2153,840

1488,689 1513,968 366,661 134439,940 -25,279 639,029

1622,135 1494,848 500,107 250106,536 127,287 16201,895

1966,096 1929,489 844,067 712449,327 36,607 1340,070

Suma

- 61 -

Pro výpočet celkového a reziduálního rozptylu je dále zapotřebí určit délku časové řady, která je v tomto případě 16 let. Celkový rozptyl je poté roven podílu sumy čtverců odchylek skutečných hodnot vysvětlované endogenní proměnné od průměru ((𝑦𝑦1 − 𝑦𝑦1��)2 = 2648332) a počtu let časové rady (n = 16), tj. 𝑆𝑆𝑦𝑦

2 = 165520,7. Reziduální rozptyl je roven podílu sumy čtverců odchylek teoretických hodnot od skutečných hodnot vysvětlované endogenní proměnné ((y1-ŷ1)2 = 173927,6) a počtu let časové řady (n = 16), tj. 𝑆𝑆𝑢𝑢

2 = 10870,47. Koeficient vícenásobné determinace, tj. R2 = �1 − 10870 ,47

165520 ,7� ∗ 100 = 93,43%.

Pro výpočet korigovaného koeficientu vícenásobné determinace je nutné stanovit počet stupňů volnosti, odečtením počtu odhadovaných parametrů v dané rovnici od délky časové řady, tj. 16 – 6 = 10. Korigovaný koeficient vícenásobné determinace pak nabývá hodnoty 90,15%, tj. 𝑅𝑅2�� = 1 − (1 − 0,9343) 16−1

10.

b) Pro otestování statistické významnosti strukturálních parametrů je vyčíslen

korigovaný reziduální rozptyl, jako podíl sumy čtverců odchylek teoretických hodnot od skutečných a počtu stupňů volnosti, tj. 𝑆𝑆𝑢𝑢

2�� = 17392,76.

Tímto korigovaným reziduálním rozptylem jsou násobeny prvky na diagonále matice K-1 (K-1 lze označit jako Cii), použité při výpočtu strukturálních parametrů.

K-1

0,0002 -0,1439 -0,0002 0,0068 0,0035 -0,0004

-0,1439 141,1710 0,1359 -5,9802 -3,4004 -0,2737

-0,0002 0,1359 0,0052 -0,0111 -0,0051 0,0096

0,0068 -5,9802 -0,0111 0,3531 0,1320 -0,0526

0,0035 -3,4004 -0,0051 0,1320 0,0854 0,0082

-0,0004 -0,2737 0,0096 -0,0526 0,0082 0,0627

3,07618

2455353

90,2258

6141,155

1485,498

1090,937

Odmocniny těchto prvků tvoří standardní chybu odhadu strukturálních parametrů. Velikost t-hodnoty je stanovena jako podíl absolutní hodnoty strukturálního parametru a jeho standardní chyby. Vyčíslená t-hodnota je dále porovnána s tabulkovou hodnotou t-testu stanovenou na hladině významnosti 10% a 5% při 10 stupních volnosti, tj. t0,1 = 1,8121; t0,05 = 2,2281.

- 62 -

Je-li t-hodnota vyšší než tabulková hodnota, je parametr průkazný (významný), v opačném případě neprůkazný (nevýznamný).

3. Proveďte interpretaci výsledků příkladu č. 1 a navrhněte vhodnou úpravu pro zkvalitnění dané rovnice.

4. Vyčíslete intervaly spolehlivosti pro všechny parametry z příkladu č. 1.

5. Proveďte ekonomickou a statistickou verifikaci 1. rovnice, odhadnuté pomocí MPR.

ŷ1𝑡𝑡 = 13,93𝑦𝑦3𝑡𝑡 − 6334 − 59,7𝑥𝑥3𝑡𝑡 + 584𝑥𝑥4𝑡𝑡 + 151𝑥𝑥10𝑡𝑡 − 120𝑥𝑥11𝑡𝑡

y1 ŷ1 y1-ÿ1 (y1-ÿ1)2 y1-ŷ1 (y1-ŷ1)2

411,8 666,937

531,7 133,252

592,7 1193,16

761,9 712,186

900,8 271,339

983,5 885,998

1056,1 1712,59

1102,2 1539,78

1181,9 912,747

1255,0 1074,39

1288,5 1284,33

1345,2 750,868

1464,1 1075,85

1488,7 1890,92

1622,1 1986,54

1966,1 1861,56

Průměr

Suma

Délka časové řady

Počet stupňů volnosti

Reziduální rozptyl

Korigovaný reziduální rozptyl

Celkový rozptyl

Koeficient vícenásobné determinace

Korigovaný koeficient vícenásobné determinace

β13 γ11 γ13 γ14 γ110 γ111

Sbi 1,753904 1566,957 9,498724 78,36552 38,54216 33,02933

abs parametr 1,066446 5868,896 43,42332 9,528851 142,1154 88,77884

t-hodnota 0,608041 3,74541 4,57149 0,121595 3,687272 2,68787990% N P P N P P95% N P P N P N

- 63 -

Matice X vznikla z vektorů v pořadí x1, x3, x4, x10, x11, y3.

6. Převeďte následující model do redukovaného tvaru:

ŷ1𝑡𝑡 = −1,07𝑦𝑦3𝑡𝑡 + 5868,9 − 43,42𝑥𝑥3𝑡𝑡 + 9,53𝑥𝑥4𝑡𝑡 − 142,12𝑥𝑥10𝑡𝑡 − 88,78𝑥𝑥11𝑡𝑡

ŷ2𝑡𝑡 = −0,17𝑦𝑦3𝑡𝑡 − 1020,8 − 40,7𝑥𝑥5𝑡𝑡 + 408,42𝑥𝑥12𝑡𝑡

ŷ3𝑡𝑡 = 0,06𝑦𝑦1𝑡𝑡 − 99,27 + 0,08𝑥𝑥15𝑡𝑡

ŷ4𝑡𝑡 = 𝑦𝑦1𝑡𝑡 + 𝑦𝑦2𝑡𝑡 + 𝑦𝑦3𝑡𝑡 + 𝑥𝑥13𝑡𝑡

(XTX)-1

80,565 0,055 -3,127 -1,944 -0,431 -0,0690,055 0,005 -0,007 -0,003 0,009 0,000

-3,127 -0,007 0,219 0,063 -0,045 0,003

-1,944 -0,003 0,063 0,050 0,012 0,002

-0,431 0,009 -0,045 0,012 0,062 0,000

-0,069 0,000 0,003 0,002 0,000 0,00009

γ11 γ13 γ14 γ110 γ111 β13

Sbi

abs parametr

t poměr90%95%

- 64 -


1. Otestujte 2. rovnici modelu odhadnutou pomocí DMNČ. 2. Otestujte 3. rovnici modelu odhadnutou pomocí DMNČ. 3. Proveďte statistickou verifikaci 1. rovnice modelu:

y1t = fce (y2t, x1t, x2t) + u1t y2t = fce (y1t, x1t, x3t) + u2t,

znáte-li skutečné hodnoty proměnných, hodnoty odhadnutých parametrů pomocí DMNČ a matici K-1.

4. Převeďte následující model do redukovaného tvaru: ŷ1t = 3y2t + 0,5x1t + 2x2t ŷ2t = 0,3x1t + 0,7x3t.

5. Převeďte následující model do redukovaného tvaru: ŷ1t = 3y2t + 1,5x1t + 2x2t ŷ2t = 0,5y1t + 0,3x1t + 0,7x3t.

y1 y2 x1 x2 x3

4 1,5 1 0,5 1,13 1,8 1 0,6 2,15 1,4 1 0,4 2

3,5 1,3 1 0,7 3Průměr 3,875 1,5 1 0,55 2,05

K-1

34,9481 -52,4221 2,5E-13-52,422 84,9332 -112,6E-13 -11 20

-3,0882 β12

11,5324 γ11

-5,5 γ12

- 65 -

9. Cvičení Konstrukce nelineárních spotřebních funkcí 9.1 Úvod do problematiky Spotřebu jednotlivých statků (komodit) je možné modelovat s pomocí lineárních či nelineárních funkcí. Nevýhodou použití lineárních funkcí je jejich vyjádření neomezeného růstu spotřeby v závislosti na růstu příjmu, což zcela neodpovídá skutečnému vývoji spotřeby zejména potravinářských výrobků. Toto lze eliminovat právě pomocí nelineárních funkcí, jako např. funkce mocninné, semilogaritmické či hyperbolické. Mocninný tvar funkce má i další výhodu – jednotlivé exponenty této funkce zároveň vyjadřují koeficienty pružnosti.

Obecné tvary vybraných nelineárních funkcí jsou následující:

- funkce mocninná yi = ax1 b . x2

c . uik

v linearizované formě ve tvaru: ln yi = ln a + b.ln x1 + c.ln x2 + k.ln ui

- funkce semilogaritmická y = a1 + a2 ln x s pružností ve tvaru E a

yi = 2

nebo její další tvar ve formě

−

= xaa

i ey2

1

s pružností ve tvaru E a

xi = 2

v linearizované formě ve tvaru:

−=

xaayi

21ln

Pro modelování spotřeby v závislosti na příjmu, zejména nezbytných a relativně zbytných statků, je vhodné použití funkcí, které umožňují vyjádřit hladinu nasycenosti. Toto obecně umožňují tzv. Engelovy funkce (lineární ani mocninná funkce toto neumožňují). Obecně lze definovat tři základní požadavky na tento typ funkcí. Funkce:

a) by měly umožnit vyjádřit počáteční úroveň příjmu, tj. takový příjem, při kterém se spotřeba určitého výrobku nevyskytuje,

b) by měly sledovat tendenci k nasycenosti spotřeby při dosažení určité výše příjmu,

c) by neměly vyjadřovat záporné výdaje při libovolné výši příjmu.

Pro zkoumání spotřeby v závislosti na příjmu se často používá speciálních funkcí, tzv. Tornquistových funkcí (TQ). Jejich tvar je následující:

1. Tornquistova funkce:



y ax

a xip

p=

+12

s pružností ve tvaru:

( )2

2

axa

Ep

i +=

y ax aa x

uip

pi=

−

++1

3

2

y a xx aa x

ui pp

pi=

−

++1

3

2

- 66 -

Odhad parametrů nelineárních funkcí je možné provést pomocí různých metod, a to i včetně BMNČ, která vyžaduje linearizovanou formu modelu. To znamená, že po provedení vhodné transformace lze odhad parametrů některých nelineárních funkcí provést BMNČ. V případě mocninné či semilogaritmické funkce lze pro převedení do linearizované podoby použít logaritmickou transformaci, v případě 1. TQ substituci.

Linearizaci 1. TQ lze provést pomocí následujících substitučních vztahů:

11

2

1

2 111axa

axa

xay pp

p

i

+=+

= 11

1 yy

′=

pp

xx

′=1

1

1

1 aa

′= 21

2 aaa

′=

Linearizovaná podoba 1.TQ funkce pak má tvar: pxaay ′′+′=′ 211 (Matice X a vektor y pro odhad linearizované 1. TQ obsahují reciproké hodnoty původních proměnných.) 9.2. Praktická cvičení Analýza nelineárních spotřebních funkcí vychází z následujícího ekonomického modelu, který vyjadřuje závislost spotřeby vepřového masa na spotřebitelské ceně vepřového masa, spotřebitelské ceně drůbežího masa a příjmu. Model dále obsahuje konstantu. Ekonomický model:

SpVM = fce (SpC VM, SpC DM, Příjem). Podkladová data, která byla použita pro odhad parametrů mocninné a semilogaritmické funkce metodou BMNČ, vychází ze SRÚ.

Skutečné hodnoty podkladových údajů

Rok Sp VM SpC VM SpC DM Příjem kg Kč/kg Kč/kg tis. Kč/ob. 1995 8,67 85 53,35 72,3066 1996 8,52 90,28 63,64 72,8801 1997 8,45 92,07 71,96 82,7072 1998 9,9 84,25 74,5 83,9766 1999 10,2 80,56 56,42 86,237 2000 9,32 89,96 61,79 89,056 2001 9,35 101,66 71,27 95,9531 2002 9,95 89,89 62,4 99,4625 2003 10,45 82,8 60,66 104,5126 2004 10,27 85,43 62,63 108,9004 2005 11,18 85,3 62,73 116,5735

Průměr 9,66 87,93 63,76 92,05

- 67 -

Logaritmické hodnoty podkladových údajů

Rok Sp VM SpC VM SpC DM Příjem 1995 2,16 4,44 3,98 4,28 1996 2,14 4,5 4,15 4,29 1997 2,13 4,52 4,28 4,42 1998 2,29 4,43 4,31 4,43 1999 2,32 4,39 4,03 4,46 2000 2,23 4,5 4,12 4,49 2001 2,24 4,62 4,27 4,56 2002 2,3 4,5 4,13 4,6 2003 2,35 4,42 4,11 4,65 2004 2,33 4,45 4,14 4,69 2005 2,41 4,44 4,14 4,76

Průměr 2,26 4,48 4,15 4,49

1. Vysvětlete obsah matice X a vektoru y pro odhad parametrů výše definované funkce v mocninném tvaru pomocí BMNČ. y X

2,16 1 4,44 3,98 4,28 2,14 1 4,5 4,15 4,29

. . . . .

. . . . . 2,33 1 4,45 4,14 4,69 2,16 1 4,44 4,14 4,76

2. Vysvětlete obsah matice X a vektoru y pro odhad parametrů výše definované funkce v semilogaritmickém tvaru pomocí BMNČ.

y X

8,67 1 4,44 3,98 4,28 8,52 1 4,5 4,15 4,29

. . . . .

. . . . . 10,27 1 4,45 4,14 4,69 11,18 1 4,44 4,14 4,76

- 68 -

3. Pomocí BMNČ byly odhadnuty následující parametry. Zapište linearizovanou formu mocninné funkce i samotnou mocninnou funkci a proveďte ekonomickou a statistickou interpretaci.

Parametry 2,68326 14,6327 MOC -0,60964 Zkouška 9,66 = 9,66

0,02426 2,26 = 2,26 0,489275

Korigovaný rez. rozptyl

0,00138

R2 - korig. 0,8355

JV SpC VM SpC DM Příjem

Parametr 2,68326 -0,60964 0,02426 0,489275 t-hodnota 2,94165 -2,76456 0,17675 6,43455 V/N V V N V Pro 7 stupňů volnosti a 5 % hladinu významnosti je kritická hodnota t-testu 2,36 Linearizovaný tvar mocninné funkce: Mocninná funkce: 4. Přesvědčte se výpočtem, že u mocninné funkce exponenty vyjadřují koeficienty pružnosti.

- 69 -

5. Zapište semilogaritmickou funkci vyjadřující výše uvedenou závislost a proveďte její ekonomickou a statistickou verifikaci.

Parametry 14,87502 SEMILOG -6,16874 Zkouška 9,66 = 9,66

0,33338 4,655213

Korigovaný rez. rozptyl

0,114926

R2 - korig. 0,8507

JV SpC VM SpC DM Příjem Parametr 14,87502 -6,16874 0,33338 4,655213 t-hodnota 1,78869 -3,06832 0,26642 6,71514 V/N N V N V Pro 7 stupňů volnosti a 5 % hladinu významnosti je kritická hodnota t-testu 2,36

6. Vysvětlete rozdíl při výpočtu konstanty u mocninné a semilogaritmické funkce.

7. Porovnejte a zhodnoťte výsledky statistické verifikace mocninné a semilogaritmické funkce.

- 70 -

8. Vypočítejte koeficienty pružnosti u semilogaritmické funkce. 9. Definujte obsah matic a vektorů nezbytných pro odhad parametrů pomocí BMNČ

mocninné a semilogaritmické funkce vyjadřující následující závislosti:

Sp HM = fce (SpC HM, SpC VM, Příjem) + ui Sp DM = fce ( SpC DM, SpC VM, SpC HM, Příjem) + ui 10. Podklady pro výpočty a analýzu 1. Tornquistovy funkce obsahují údaje za rok 2004.

Jednotlivé proměnné mají následující deklaraci: x1 čisté peněžní příjmy za rok na obyvatele v tis. Kč y1 výdaje za hovězí maso za rok na obyvatele v tis. Kč y2 spotřeba hovězího masa za rok na obyvatele v kg y3 výdaje za vepřové maso za rok na obyvatele v tis. Kč y4 spotřeba vepřového masa za rok na obyvatele v kg y5 výdaje na drůbeží maso za rok na obyvatele v tis. Kč y6 spotřeba drůbežího masa za rok na obyvatele v kg

Údaje jsou převzaty ze Statistiky rodinných účtů roku 2004, přičemž jsou členěny do deseti příjmových skupin a lze z nich tedy analyzovat vliv příjmu na výdaje resp. naturální spotřebu jednotlivých druhů nebo skupin potravin. Uvedená forma podkladových údajů se nazývá průřezové šetření, protože sleduje změny ve spotřebě v rámci jednoho roku v několika samostatných skupinách, v tomto případě v příjmových skupinách v domácnostech zaměstnanců.

Příjm.sk. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x1 56,77 72,117 81,424 87,787 93,888 101,815 110,723 126,083 151,390 207,007

y1 161 228 280 296 261 346 295 351 388 439

y2 1,45 2,03 2,6 2,68 2,38 3,14 2,59 3,09 3,3 3,72

y3 601 698 846 848 866 942 939 961 1000 1082

y4 7,24 8,03 10,52 10,12 10,31 10,62 11,38 10,88 11,36 12,22

y5 600 734 880 843 868 1031 968 1036 1121 1173

y6 9,89 11,99 14,87 14,12 14,45 16,23 14,95 16,03 17,25 17,36

- 71 -

11. Uveďte obsah matice X a vektoru y pro odhad 1. TQ popisující spotřebu hovězího masa, a to jak v naturálním, tak peněžním vyjádření, pro odhad parametrů pomocí BMNČ.

12. Kvantifikujte a interpretujte 1. TQ funkce pro vztah vyjadřující:

a) závislost výdajů za hovězí maso na velikosti příjmů, jsou-li její

linearizované parametry následující

a1´= 0,0005486 a2´= 0,287204

b) závislost naturální spotřeby hovězího masa v kg na velikosti příjmů, jsou-li její linearizované parametry následující

a1´= 0,08032991 a2´= 30,3476

13. Na základě rovnic z bodu 12. vypočítejte teoretickou výši výdajů za hovězí maso a

naturální spotřebu v kg pro první a poslední příjmovou skupinu. 14. Vypočítejte příjmovou pružnost pro obě proměnné v těchto bodech a vyhodnoťte ji.

- 72 -

15. Na základě podkladových údajů vypočítejte v jednotlivých příjmových skupinách průměrné spotřebitelské ceny za kg hovězího masa. Přesvědčte se, zda je lze použít pro stanovení hladiny nasycenosti v příkladu č. 13.

16. Vypočítejte na jakou úroveň a o kolik kg se zvýší spotřeba v obou krajních skupinách,

dojde-li v nich ke zvýšení příjmu na osobu:

a) o 1000,- Kč

b) o 10 % proti úrovni posledního roku. 17. Porovnejte následující funkce, vyhodnoťte je jak z hlediska ekonomického, tak z hlediska

statistického. Lineární funkce pro drůbeží maso

Rovnice R2 koeficient příjmové pružnosti

výdaje v Kč/obyv.

ipi uxy ++= 0036,056,536 0,89 0,42 %

spotřeba v kg/obyv.

ipi uxy ++= 00004,003,10 0,81 0,29 %

Tornquistovy funkce pro drůbeží maso poptávka yi … spotřeba v kg/obyv. 1.TQ R2 2.TQ R2 3.TQ R2 a1 23,86 0,91 a1 19,3 0,96 a1 0,000 003 85 0,91 a2 62 323,56 a2 -23 799,8 a2 57 196,5 a3 40 051,4 a3 -5 888 000 poptávka yi … výdaje v Kč/obyv. 1.TQ R2 2.TQ R2 3.TQ R2 a1 1 786,76 0,95 a1 1 480,01 0,98 a1 0,000 287 0,95 a2 94 296,81 a2 1 457,1 a2 86 865,1 a3 32 500,5 a3 -5 872 000

- 73 -

MP = xy

∆ ∆ resp. MP =

xy

δδ

AP = xy

EP = yx

xy

ˆ⋅

δδ

10. Cvičení Konstrukce produkčních funkcí 10.1 Úvod do problematiky Produkční funkce z mikroekonomického pohledu vyjadřuje technologický vztah faktor - produkt, tj. vyjadřuje přeměnu jednoho (jednofaktorová produkční fce) nebo více výrobních faktorů (dvou a vícefaktorová produkční fce) ve výslednou produkci. V závislosti na charakteru vztahu faktor – produkt a účelu analýzy lze použít různé typy funkcí (viz např. Cobb-Douglasova produkční funkce, translog produkční funkce, CES produkční funkce apod.), přičemž vysvětlující i vysvětlované proměnné jsou zpravidla uváděny v naturálních jednotkách. Neoklasická produkční funkce má progresivně-degresivní průběh a reprezentuje typický průběh produkční funkce. Produkční funkce je vhodným nástrojem pro ekonomickou analýzu na podnikové, odvětvové i národohospodářské úrovni. Odhad konkrétního tvaru zvoleného typu produkční funkce s využitím ekonometrických postupů je proto prvním krokem v navazující analytické činnosti. V nejjednodušším pojetí lze produkční funkci chápat jako jednofaktorovou produkční funkci, kterou lze obecně zapsat jako: 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑑𝑑(𝑥𝑥1//𝑥𝑥2, 𝑥𝑥3, … , 𝑥𝑥𝑛𝑛 ) , (10.1) kde y produkce v naturálním vyjádření,

x1 variabilní faktor, jehož působení na produkci funkce popisuje, x2 . . . .xn stálé faktory, jejichž vliv na produkci je v dané funkci neměnný.

Po odhadu parametrů produkční funkce lze odvodit její základní charakteristiky: jednotkovou produkci, mezní produkci a produkční pružnost. Jednotková produkce, označovaná taktéž jako průměrná produkce (z angl. average production „AP“), je definována jako takové množství produkce, které připadá na každou spotřebovanou jednotku výrobního faktoru.

(10.2)

Mezní produkce (z angl. marginal production „MP“), je přírůstkem množství produkce, které přinese využití dodatečné jednotky faktoru. Představuje poměr změny produkce ke změně faktoru. Z odhadnuté produkční funkce ji lze odvodit pomocí derivace funkce v daném bodě.

(10.3) Produkční pružnost (z angl. elasticity of production „Ep“) vyjadřuje změnu produkce v procentech, změní-li se využívané množství faktoru o jedno procento. Přibližně ji lze vyčíslit pomocí vztahů pro bodovou či intervalovou pružnost. Při znalosti analytického tvaru funkce ji lze odvodit pomocí derivace funkce v daném bodě.

(10.4)

- 74 -

Cx – cena za jednotku faktoru Cy – cena za jednotku produkce MR – mezní příjem y – množství produkce v naturálních jednotkách x – množství spotřebovaného faktoru příjem R = Cy · y, MR = Cy

Kriterium optimality je podmínkou, která musí být splněna při požadavku na dosahování maximálního objemu zisku. Vyjadřuje bod, ve kterém je cena přírůstku spotřeby faktoru na poslední jednotku produkce právě rovna příjmu za poslední jednotku produkce.

10.2. Praktické cvičení 1. Na základě podkladových údajů uvedených v příloze č. 3 byly odhadnuty parametry

jednofaktorové nelineární produkční funkce, definované v obecném tvaru:

𝑦𝑦 = 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑐𝑐𝑥𝑥2 + 𝑑𝑑𝑥𝑥3

vyjadřující závislost y – přírůstku ( kg/KD) na x - spotřeba krmných směsí ( kg/KD). Výsledný tvar odhadnuté funkce má následující průběh:

2. Vyhodnoťte výsledek regrese a vypočítejte přírůstek v kg na krmný den při dosahované

spotřebě krmných směsí na krmný den 2 kg a 2,5 kg.

y = -0,2788x3 + 1,7783x2 - 3,6307x + 3,1043

0,67

0,69

0,71

0,73

0,75

0,77

0,79

0,81

0,83

1,5 1,7 1,9 2,1 2,3 2,5 2,7 2,9

Přír

ůste

k v

kg/K

D

Spotřeba KS v kg/KD

Průběh odhadnuté produkční funkce

Cx · MP = MR = Cy, z čehož plyne

MP = xy

δδ =

CyCx

- 75 -

y

x AP MP x

3. Odvoďte funkci jednotkové produkce (AP) a vysvětlete ji. 4. Odvoďte funkci mezní produkce (MP) a vysvětlete ji. 5. Graficky znázorněte průběh mezní a jednotkové produkce (MP, AP) tak, aby alespoň

přibližně reflektoval průběh odhadnuté produkční funkce.

- 76 -

6. Stanovte spotřebu krmných směsí, při které je mezní produkce (MP): a) v maximu a vysvětlete ekonomický význam této hodnoty, b) rovna nule a interpretujte její ekonomický význam.

7. Navrhněte dva způsoby pro výpočet spotřeby krmných směsí, při které je jednotková

produkce (AP) v maximu. 8. Teoreticky vymezte stádium racionality uvažované produkční funkce. 9. Vypočítejte bodovou a obloukovou pružnost produkční funkce při uvažované změně

výrobního faktoru z příkladu č. 2 a zdůvodněte rozdíl mezi hodnotami bodové a intervalové pružnosti.

10. Určete hodnotu produkční pružnosti funkce (Ep) pro uvažované úrovně spotřeby krmných

směsí z příkladu č. 2 a vysvětlete rozdíl oproti výsledku předcházejícího příkladu. 11. Stanovte, v jaké výši musí být spotřeba krmných směsí na krmný den, aby výrobce

dosahoval maximálního zisku za podmínky, že cena jatečních prasat je 38,- Kč/kg ž.hm. při ceně krmných směsí 8900,- Kč/t.

12. Určete, v jaké výši budou tržby a náklady na krmiva (v přepočtu na KD) v bodě maxima

zisku.

- 77 -

11. Cvičení Konstrukce nákladových funkcí a odvození nabídkové funkce 11.1 Úvod do problematiky Nákladová funkce je závislost množství celkových nákladů – vysvětlovaná proměnná (angl. total costs „TC“) na velikosti produkce – vysvětlující proměnná, přičemž náklad je peněžním vyjádřením množství vstupů do výroby a produkce je vyjádřena v naturálních jednotkách. Z uvedené definice následně plyne, že nákladová funkce je při dodržení podmínky neměnnosti cen faktorů funkcí inverzní k produkční funkci, přičemž je posunutá o velikost fixních nákladů. V případě progresivně-degresivní produkční funkce je tedy průběh nákladové funkce degresivně-progresivní se změnou umístění v kartézské soustavě souřadnic o velikost fixních nákladů. Celkové náklady (TC) lze podle různých kritérií dekomponovat na jednotlivé nákladové položky. Pro účely konstrukce nabídkové funkce je vhodné rozdělení na náklady fixní (z angl. fixed costs „FC“) a náklady variabilní (z angl. variable costs „VC“). Náklady fixní (FC) jsou ty nákladové položky, jejichž rozsah je při změnách objemu produkce v určitém intervalu neměnný (fixní). Náklady variabilní (VC) jsou ty nákladové položky, jejichž rozsah je při změnách objemu produkce proměnlivý (variabilní). Proměnlivost spotřeby variabilních faktorů může být popsána různým typem závislosti (lineární, progresivní, degresivní) a právě tento typ závislosti následně určuje průběh celkových nákladů. Celkové náklady (TC) jsou tedy součtem nákladů fixních (FC) a variabilních (VC):

𝑇𝑇𝑇𝑇 = 𝐹𝐹𝑇𝑇 + 𝑉𝑉𝑇𝑇

Tvar nákladové funkce je dán průběhem nákladů variabilních, přičemž počátek nákladové křivky je posunut právě o velikost FC, které vznikají i při nulové produkci.

Při znalosti analytického tvaru funkce nákladů (tedy po odhadu parametrů dané funkce) lze odvodit charakteristiky nákladové funkce, které lze využít v navazující ekonomické analýze.

Jednotkové náklady, označované též jako průměrné náklady (z angl. average costs „AC“), jsou průměrnými náklady vynaloženými na každou jednotku celkové produkce.

(11.1)

Mezní náklady, zvané též marginální náklady (z angl. marginal costs „MC“), jsou určeny přírůstkem nákladů vynaložených na dosažení každé další jednotky produkce (při znalosti tvaru nákladové funkce je lze odvodit derivací funkce v daném bodě).

(11.2)

AC = y

TC

MC = y

TC ∆

∆ resp. MC = y

TCδ

δ

- 78 -

Kriterium optimality - maximální objem zisku je dosahován při takovém množství produkce, které je určeno rovností mezních tržeb (MR) a mezních nákladů (MC). Přičemž v podmínkách dokonalé konkurence platí, že mezní tržby se rovnají ceně produkce (P). V dokonalé konkurence lze kritérium optimality zapsat jako rovnost mezi cenou produkce (P) a mezních nákladů (MC).

MR = MC ⇒ P = MC Znalost nákladové funkce je v podmínkách dokonalé konkurence předpokladem pro odvození mikroekonomické nabídkové funkce. Za předpokladu, že se výrobci (nabízející) snaží dosahovat maximálního objemu zisku, jsou při ceně produktu dané trhem (P) ochotni vyrábět pouze takové množství produkce, při kterém náklady na poslední jednotku produkce budou stejné s příjmy z poslední jednotky produkce. Vstupem nových výrobců do odvětví mohou být producenti s množstvím nabízené produkce stlačeni až k bodu minimálních jednotkových nákladů (AC) – vliv konkurence snižuje objem zisku. Naopak při růstu ceny mohou výrobci nabízet i produkci s vyššími mezními náklady, a proto zvyšují množství produkce. Za uvedených předpokladů lze nabídkovou funkci nahradit rostoucí částí funkce mezních nákladů od bodu, kde se mezní a jednotkové náklady protínají, tj. od minima AC.

11.2. Praktická cvičení

1. Z podkladových údajů uvedených v příloze č. 4 byla vypočtena nelineární nákladová funkce, definovaná v obecném tvaru:

𝑦𝑦 = 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑐𝑐𝑥𝑥2 + 𝑑𝑑𝑥𝑥3

vyjadřující závislost y – nákladů ( Kč/kg/KD) na x – hmotnostním přírůstku ( kg/KD). Výsledný tvar odhadnuté funkce má následující průběh:

2. Vypočítejte výši nákladů na krmný den při dosahovaném denním přírůstku 0,665 kg a

0,775 kg.

y = 9694,2x3 - 20583x2 + 14570x - 3417,6

15,00

17,00

19,00

21,00

23,00

25,00

27,00

29,00

31,00

0,600 0,650 0,700 0,750 0,800 0,850

Nák

lady

v K

č/kg

/KD

Přírůstek v kg/KD

Průběh odhadnuté nákladové funkce

- 79 -

TC

y AC MC y

3. Odvoďte funkci jednotkových nákladů (AC). 4. Odvoďte funkci mezních nákladů (MC). 5. Graficky znázorněte průběh mezních a jednotkových nákladů (MC, AC) tak, aby alespoň

přibližně reflektovaly průběh odhadnuté nákladové funkce.

- 80 -

6. Naznačte matematicky výpočet bodu, v němž budou minimální jednotkové náklady. Zjistěte tento bod graficky, pomocí hodnot uvedených v následující tabulce:

7. Stanovte úroveň přírůstku, při němž lze dosáhnout maximálního objemu zisku, víte-li, že nákupní cena vepřového masa je 39 Kč za 1kg živé hmotnosti jatečního kusu.

8. Vypočítejte, jaká je při maximálním objemu zisku míra zisku (tj. kolik činí tento zisk na

každý kg přírůstku).

Přírůstek AC MC 0,68 29,88 21,22 0,68 29,88 21,22 0,69 29,72 11,10 0,69 29,69 10,10 0,69 29,60 7,43 0,70 29,35 3,26 0,71 29,09 1,94 0,71 29,05 1,98 0,71 29,01 2,08 0,72 28,69 5,62 0,72 28,60 7,84 0,73 28,45 13,86 0,74 28,35 30,34 0,74 28,35 32,18 0,74 28,39 40,15 0,75 28,54 53,85 0,77 29,83 111,04 0,78 30,96 145,46

AC MC přírůstek

- 81 -

9. Určete, k jaké změně v úrovni denního přírůstku stimuluje nákupní cena za 1kg přírůstku, zvýší-li se ze 39 Kč/kg na 45 Kč/kg živé hmotnosti.

10. Určete pružnost nabídky v uvažovaném intervalu v příkladu č. 9. 11. Fixní náklady na jeden krmný den dosahují v uvedeném souboru v průměru výše

7,45 Kč/KD. Určete jejich podíl v celkových nákladech při přírůstku 0,6 kg/KD a 0,7 kg/KD.

Úkol k samostatnému procvičení Dle obecného průběhu mezních a jednotkových nákladů při časovém rozlišení krátkého a dlouhého období zjistěte, jaký je rozdíl mezi křivkou nabídky v relativně krátkém a relativně dlouhém období. Uvedenou situaci znázorněte graficky a definujte počátek nabídkové funkce.

- 82 -

12. Cvičení Konstrukce vícefaktorové produkční funkce 12.1 Úvod do problematiky Produkční funkce vyjadřující současný vliv více (v tomto případě dvou) variabilních faktorů lze v obecném tvaru zapsat:

𝑦𝑦 = 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑑𝑑(𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2//𝑥𝑥3, … , 𝑥𝑥𝑛𝑛 ) ,

kde y reprezentuje produkci v naturálním vyjádření

x1, x2 představují nezávisle proměnné (vybrané variabilní faktory)

x3 … xn jsou variabilní faktory, jež jsou považovány v dané funkci za neměnné.

Grafickým zobrazením dvoufaktorové produkční funkce je produkční povrch. Dvoufaktorová produkční funkce má zpravidla progresivně degresivní průběh - v případě vertikálních řezů povrchem, což je zobrazení jednofaktorové produkční funkce, je-li jeden z variabilních faktorů fixován k dané úrovni.

Po odhadu parametrů zvolené funkce lze odvodit následující charakteristiky:

Celkovou produkci představují hodnoty produkce (y), určené pro jednotlivé kombinace množství faktorů x1, x2 tvarem funkce. Tvar funkce celkové produkce musí být zvolen s ohledem na podmínku progresivně-degresivního průběhu s jedním extrémem (bod maximální produkce). Jednotková produkce (AP) je množství produkce připadající na každou jednotku faktoru x1, resp. x2. Funkce jednotkové produkce jsou proto pro dvoufaktorovou produkční funkci dvě a každá z nich je funkcí dvou proměnných.

(12.1,12.2) Maximum jednotkové produkce je v bodě, ve kterém se první parciální derivace jednotkové produkce rovná nule, pokud je současně splněna podmínka, že druhá parciální derivace funkce jednotkové produkce (podle zvolené proměnné) je záporná. Mezní produkce (MP) je poměr změny (přírůstku x úbytku) produkce k přírůstku příslušného faktoru. Přesně ji vypočítáme jako parciální derivaci produkční funkce podle příslušné proměnné. Pro maximum mezní produkce platí obdobné vztahy jako pro maximum jednotkové produkce.

(12.3,12.4)

22 x

yAPx =1

1 xyAPx =

22 x

yMPx ∂∂

=1

1 xyMPx ∂

∂=

- 83 -

Produkční pružnost (Ep) nabývá pro každý bod produkčního povrchu dvou hodnot, a to produkční pružnost faktoru x1 a produkční pružnost faktoru x2.

yx

xyE

xp ˆ1

11 ∂

∂= [%]

yx

xyE

xp ˆ2

21 ∂

∂= [%] (12.5,12.6)

Kriterium optimality u dvoufaktorových produkčních funkcí musí současně platit pro faktor x1 a x2. Za předpokladu, že mezní produkce jsou vyjádřeny parciálními derivacemi, pro dosažení maximálního objemu zisku musí platit:

y

xx C

CxymP 1

11

=∂∂

= ˄ y

xx C

CxymP 2

22 =

∂∂

=

(12.7,12.8)

12.2. Praktická cvičení 1. Na základě podkladových údajů uvedených v příloze č. 5 byla navržena a odhadnuta

následující dvoufaktorová produkční funkce popisující závislost celkového přírůstku na hmotnosti zastavovaných selat celkem a celkové spotřebě krmných směsí (vše za turnus).

y = a+ bx1 + cx2 + d(x1x2) + ex12 + fx2

2 y přírůstek celkem v tunách živé hmotnosti za turnus x1 hmotnost zástavu v tunách za turnus x2 spotřeba krmných směsí v tunách za turnus

Parametry navržené produkční funkce byly odhadnuty běžnou metodou nejmenších čtverců bii = (XTX)-1XTy v programu Statistica 8.0.

Výsledky regrese se závislou proměnnou: „y“ R= ,92035149 R2= ,84704686 Upravené R2= ,82155467 F(5,30)=33,228 p

Beta Sm.chyba - beta B Sm.chyba - B t(30) Úroveň p

Abs.člen

-10,8108 16,53093 -0,65397 0,518111

x1 0,01043 1,057409 0,0040 0,40819 0,00986 0,992196

x2 2,22421 1,052280 4,2753 2,02265 2,11370 0,042965

x1x2 0,82676 1,634915 0,0087 0,01727 0,50569 0,616769

x12 0,07815 1,324040 0,0001 0,00207 0,05903 0,953322

x22 -2,33946 1,132862 -0,1293 0,06260 -2,06509 0,047650

- 84 -

2. Interpretujte výsledky odhadu navržené funkce se zaměřením na statistické charakteristiky.

3. S využitím podkladových údajů uvedených v příloze č. 5 vypočítejte, jak vysoká bude průměrná úroveň produkce za turnus.

4. Objasněte obsah a význam funkcí znázorněných na podstavě grafu.

- 85 -

5. Vysvětlete obsah následující tabulky a najděte kombinace množství spotřeby faktorů,

které vedou k přibližně shodné úrovni produkce. Uveďte, zda funkce má v reálném intervalu výroby hodnoty maximální produkce.

150 43,311 45,407 47,243 48,822 50,141 51,203 52,005 52,549 52,835 52,862 52,630 52,140145 42,543 44,595 46,388 47,922 49,198 50,216 50,975 51,475 51,717 51,701 51,425 50,892140 41,781 43,789 45,538 47,029 48,261 49,235 49,951 50,407 50,606 50,545 50,226 49,649135 41,025 42,989 44,695 46,142 47,331 48,261 48,932 49,345 49,500 49,396 49,034 48,413130 40,275 42,195 43,857 45,261 46,406 47,292 47,920 48,290 48,401 48,253 47,847 47,182125 39,531 41,408 43,026 44,386 45,487 46,330 46,914 47,240 47,307 47,116 46,666 45,958120 38,793 40,626 42,201 43,517 44,575 45,374 45,915 46,197 46,220 45,985 45,492 44,740115 38,061 39,851 41,382 42,655 43,669 44,424 44,921 45,159 45,139 44,861 44,323 43,528110 37,336 39,082 40,569 41,798 42,768 43,480 43,933 44,128 44,064 43,742 43,161 42,322105 36,616 38,319 39,762 40,948 41,874 42,542 42,952 43,103 42,996 42,630 42,005 41,122100 35,903 37,562 38,962 40,103 40,986 41,611 41,977 42,084 41,933 41,523 40,855 39,92895 35,196 36,811 38,167 39,265 40,104 40,685 41,007 41,071 40,876 40,423 39,711 38,741

x2 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

x1

Spot

řeba

krm

ných

sm

ěsí z

a tu

rnus

ve

výk

rmu

pras

at v

tun

ách

Hmotnost selat zastavených do výkrmu celkem za turnus v tunách 6. Odvoďte rovnice jednotkové produkce pro obě proměnné (APx1, APx2), vypočítejte

jejich průměrnou úroveň a výsledky interpretujte.

7. Naznačte výpočet bodu, ve kterém bude zvolená jednotková produkce v maximu, a výsledek zdůvodněte.

8. Odvoďte rovnice mezní produkce pro obě proměnné (MPx1, MPx2).

- 86 -

9. Vypočítejte produkční pružnost pro průměrné hodnoty produkční funkce.

10. Vypočítejte kombinaci x1 a x2 pro koncipovanou produkční funkci, při které bude dosaženo maxima produkce, a vyčíslete ji.

11. Vypočítejte vzájemnou kombinaci množství obou faktorů, při které bude dosaženo maximálního objemu zisku za podmínky, že ceny faktorů jsou:

x1 = 68 Kč/kg x2 = 12 Kč/kg y = 39 Kč/kg Úkoly k samostatnému procvičení

Na stejných podkladových datech odhadněte dvoufaktorovou produkční funkci v obecném analytickém tvaru:

y = a+ bx1 + cx2 + d(x1 + x2) + ex12 + fx2

2 1. Porovnejte obě získané funkce jak z hlediska dosahovaných hodnot produkce, tak i

z hlediska statistických charakteristik a tvaru výsledného produkčního povrchu. 2. Odvoďte rovnice jednotkové produkce. 3. Odvoďte rovnice mezní produkce. 4. Podle různých kritérií navrhněte, která produkční funkce je vhodnější a proč. 5. Vypočtěte průměrnou úroveň produkce. 6. Vypočtěte produkční pružnost pro průměrné hodnoty produkční funkce a interpretujte

je.

- 87 -

13. Cvičení Vztahy mezi výrobními faktory a mezi produkty 13.1. Úvod do problematiky 13.1.1. Vztahy mezi výrobními faktory Pro většinu podniků platí, že výsledná produkce nevzniká působením pouze jednoho výrobního faktoru, nýbrž že její úroveň je výsledkem použití více výrobních faktorů. Za předpokladu, že lze kombinovat odlišné výrobní faktory v různém množství k dosažení dané úrovně produkce, lze vztahy mezi jednotlivými výrobními faktory popsat pomocí konkrétních funkcí. Obecnou n-faktorovou produkční funkci, jež vyjadřuje vliv n faktorů na výsledné množství produkce, lze zjednodušit do podoby 2-faktorové produkční funkce.

2-faktorovou produkční funkci lze zapsat následovně:

𝑦𝑦 = 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑑𝑑(𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2//𝑥𝑥3, … , 𝑥𝑥𝑛𝑛 )

Vztah mezi výrobními faktory lze z této produkční funkce vyjádřit následovně (za podmínky konstantního množství produkce):

x1 = fce (x2 // y) x2 = fce (x1 // y)

Tyto vztahy, kdy jeden faktor je v pozici závisle proměnné a druhý je nezávisle proměnnou nazýváme izoprodukčními funkcemi (z lat. izo = konstantní; izoprodukce = stále stejná úroveň produkce), zjednodušeně se ovšem běžně nazývají izokvantou. Izokvanta je tedy funkce vyjadřující veškeré kombinace faktorů (x1, x2), při zachování nezměněné úrovně celkové produkce. Pro kvantifikaci vztahu mezi výrobními faktory lze použít ukazatel mezní míra záměny faktoru (MMZF). MMZF lze vyjádřit jako podíl změny množství faktoru x1 a změny množství faktoru x2 (při stále stejné produkci). Tento podíl udává, o kolik jednotek se změní rozsah faktoru x1 při změně faktoru x2 o jednotku. Pokud je znám konkrétní tvar funkce izokvanty, je vhodné určit MMZF pomocí parciální derivace izokvantové funkce.

pro x1 = fce (x2) → 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝐹𝐹 = ∆𝑥𝑥1∆𝑥𝑥2

𝑝𝑝𝑑𝑑𝑟𝑟𝑝𝑝. 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝐹𝐹 = 𝜕𝜕𝑥𝑥1𝜕𝜕𝑥𝑥2

(13.1)

Na základě průběhu MMZF lze rozlišit různé typy vztahů mezi výrobními faktory a tomu odpovídající tvar izokvanty. Na různých izokvantách (tzn. při různých úrovních produkce) lze nalézt body, které mají stejnou hodnotu MMZF. Spojením těchto bodů vznikne tzv. izoklina. Izoklina je tedy funkce spojující na různých izokvantách body se stejnou mezní mírou záměny.

Blízkou charakteristikou k MMZF je pružnost substituce, která je relativním vyjádřením míry záměny.

- 88 -

Pružnost substituce (Substitution elasticity) „Es“ vyjadřuje procentní změnu množství jednoho faktoru při změně množství druhého faktoru o 1 % (při konstantní úrovni produkce). (13.1)

Kriterium optimality je dáno rovností mezní míry záměny faktoru a převráceného záporného poměru cen faktorů. Uvedené pravidlo pro nalezení optimální kombinace faktorů lze odvodit ze vztahu izokvanty a tzv. izonákladové funkce. (13.2) Izonákladová funkce představuje takové kombinace množství výrobních faktorů (x1 a x2), jejichž pořízení představuje stále stejný náklad. Izonákladová funkce, neboli izokosta, je odvozena z funkce nákladů: N = Cx1 x1+ Cx2 x2 (13.3)

Esx1 = 1

2

2

1

xx

xx

⋅

δδ

[%]

Analogicky je platný i vztah pro Esx2

MMZFx1 =2

1

xx

δδ

= - 1

2

CxCx

Analogicky je platný i vztah pro MMZFx2

x1 = - 1

2

CxCx x2 +

1CxN

- 89 -

13.1.2. Vztahy mezi produkty (odvětvími) Pro zkoumání vztahů mezi výrobky (resp. mezi odvětvími) lze opět využít produkčních funkcí, které jsou podkladem pro odvození funkce popisující vztahy produkt – produkt.

𝑦𝑦1 = 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑑𝑑(𝑥𝑥1//𝑥𝑥2, 𝑥𝑥3, … , 𝑥𝑥𝑛𝑛 )

𝑦𝑦2 = 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑑𝑑(𝑥𝑥1//𝑥𝑥2, 𝑥𝑥3, … , 𝑥𝑥𝑛𝑛 ) Jednoduchou substitucí lze z uvedených produkčních funkcí, za předpokladu konstantního množství výrobního faktoru (x1), získat vzájemnou závislost obou produkcí, tzv. izofaktorovou funkci:

y1 = fce (y2 // x1) y2 = fce (y1 // x1)

Izofaktorová funkce vyjadřuje veškeré kombinace různých množství produkce (y1) a (y2), které lze vyrobit z daného (konstantního) množství výrobního faktoru (x1) společného pro obě odvětví. Podle průběhu izofaktorových křivek můžeme rozdělit vztahy mezi odvětvími na vztahy konkurenční, podpůrné a doplňkové. Pro jejich charakteristiku a rozlišení lze použít tzv. mezní míru záměny produkce (MMZP): (13.4) MMZP představuje změnu v produkci (y2) způsobenou jednotkovou změnou v produkci odvětví (y1). Číselně lze MMZP vyjádřit z izofaktorové funkce pomocí parciální derivace funkce. Jsou-li vztahy mezi odvětvími konkurenční, MMZP je negativní a to buď konstantní, rostoucí nebo klesající. Při vztazích podpůrných je MMZP kladná, při doplňkových nulová. Kriterium optimality je dáno rovností hodnoty MMZP a převráceného záporného poměru cen produkce. Optimální kombinaci lze odvodit ze vztahu izofaktorové funkce a funkce izotržeb. Graficky je optimálním řešením bod, ve kterém je funkce izotržeb tečnou k izofaktorové funkci, tj. bod, ve kterém se sklon izofaktorové funkce rovná sklonu funkce izotržeb. Jelikož sklonem izofaktorové funkce je hodnota MMZP a sklonem funkce izotržeb je záporný poměr cen, rovnost MMZP a převráceného záporného poměru cen je optimálním řešením. Obdobně lze odvodit kriterium optimality i pro více produktů (odvětví), kde platí:

(13.5)

(13.6) z toho vyplývá: δy1Cy1 = δy2Cy2 = δy3Cy3 To znamená, že cena mezní produkce jednotky faktoru musí být stejná ve všech odvětvích, která tento faktor používají.

MMZP = 1

2

yy

δδ = -

2

1

CyCy

1

2

yy

δδ = -

2

1

CyCy

1

3

yy

δδ = -

3

1

CyCy

2

3

yy

δδ = -

3

2

CyCy

pro y2 = fce (y1) → MMZP = 1

2

yy

δδ

- 90 -

13.2. Praktická cvičení (F – F)

1. Za předpokladu znalosti obecného tvaru 2-faktorové produkční funkce odvoďte

izoprodukční funkci. Produkční funkce má tvar:

𝑦𝑦 = 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏1 𝑥𝑥1 + 𝑏𝑏2𝑥𝑥2 − 𝑏𝑏3𝑥𝑥12 − 𝑏𝑏4𝑥𝑥2

2 + 𝑏𝑏5𝑥𝑥1𝑥𝑥2

2. Na základě 2-faktorové produkční funkce, odhadnuté ve cvičení 12, která vyjadřuje závislost celkového přírůstku na hmotnosti zástavu a spotřebě krmných směsí, byla odvozena následující izokvantová funkce:

𝑥𝑥2 = −10810,8 + 4,275𝑥𝑥1 + 0,004𝑦𝑦 − 0,000129𝑥𝑥1

2 + 8,734 × 10𝑑𝑑−6𝑥𝑥1𝑦𝑦 + 1,224 × 10𝑑𝑑−7𝑦𝑦2

Vypočítejte potřebné množství krmných směsí, má-li být dosaženo ve výkrmu prasat celkového přírůstku 50 t, pokud do výkrmu bylo zastaveno 600 selat v průměrné hmotnosti 28,5 kg na kus. Vypočtené hodnoty ověřte graficky.

3. Z hodnot propočtených na základě vztahů charakterizujících izokvanty byly sestaveny grafy těchto izokvant pro různé úrovně produkce. Vyhodnoťte jejich průběh.

Izokvanty vyjadřující závislost x2 na x1 pro různé úrovně produkce a průběh izokliny pro MMZF = 0

0

50

100

150

200

250

300

13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 Celkový přírůstek za turnus

y = 30 t y = 35 t y = 40 t y = 45 t y = 50 t y = 55 t y = 60 t y = 70 t

Spotřeba KS v t za turnus

- 91 -

4. Odvoďte rovnici izokliny pro nulovou mezní míru záměny, pro závislost zástavové hmotnosti selat (x2) na spotřebě krmných směsí (x1).

5. Vypočítejte optimální kombinaci faktorů x1 a x2, má-li být dosaženo celkového přírůstku ve výkrmu prasat 30 tun tak, aby náklady na dosažení této produkce byly minimální. Řešení proveďte pro Cx1 = 10 Kč/kg a Cx2 = 56 Kč/kg.

6. Pro optimum kvantifikované v příkladu č. 5 odvoďte izonákladovou funkci a vypočítejte výši nákladů celkem. Dále uvažujte pokles ceny faktoru x2 na Cx2 = 48 Kč/kg. Jakým způsobem bude reagovat podnik, pokud stále zůstává v platnosti kriterium optimality a množství produkce se nemění? Změny v úrovni faktoru x1 ověřte graficky.

- 92 -

13.2. Praktická cvičení (P – P)

1. Byly vypočteny produkční funkce pro tři odvětví popisující závislost mezi variabilními náklady a produkcí z hektaru. (pozn.: jedná se o funkce, kde faktor je v peněžním, nikoliv naturálním vyjádření)

y1 = -8 (x - 2,5)2 + 50 y2 = -7,2 (x - 2,5)2 + 45 y3 = 3 (x + 0,5)2 – 0,75

Jednotlivé funkční hodnoty produkce uvádí následující tabulka:

náklady/ha v tis. Kč x 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5

y1 18,00 32,00 42,00 48,00 50,00 48,00 42,00

y2 16,20 28,80 37,80 43,20 45,00 43,20 37,80

y3 2,25 6,00 11,25 18,00 26,25 36,00 47,25

Produkce v q/ha

Určete pro zemědělský podnik optimální kombinace odvětví y1 a y2 za předpokladu, že souhrn nákladů vynaložených na 1 ha v obou odvětvích dohromady nemá překročit 2,6 tis. Kč. Dosažená realizační cena v odvětví y1 je Cy1 = 150 Kč, v odvětví y2 je Cy2 = 140 Kč/q a v odvětví y3 je Cy3 = 390 Kč/q.

2. Vypočítejte pro tuto funkci MMZP, bude-li y1 = 9,5; 39,57 a 45,5 a podle průběhu vypočtených hodnot určete, o jaký typ vztahů se mezi příslušnými odvětvími jedná.

3. Vypočítejte z produkčních funkcí mezní produkci, stanovte její cenu a řešením soustavy rovnic vypočítejte optimální rozdělení nákladu mezi všechna odvětví.

4. Určete rentabilitu vynaložených nákladů v jednotlivých odvětvích.

- 93 -

14. cvičení Aplikace EKM v prognostické oblasti

14.1. Úvod do problematiky

a)

Vlastnímu odvození prognózy z ekonometrického modelu předchází ověření prognostických vlastností jednotlivých rovnic, které lze posoudit nepřímo na základě rozboru:

b) ekonomické interpretovatelnosti vypočtených parametrů

c)

multikolinearity mezi vysvětlujícími proměnnými vycházejícího z metody vypracované Farrarem a Glaubertem

d) těsnosti závislosti endogenních a vysvětlujících proměnných

e) statistické významnosti parametrů

f) autokorelace reziduí podle Durbin-Watsonova testu normovaných odchylek

Normovaná odchylka je podílem odchylky vyrovnané hodnoty od skutečné a směrodatné odchylky:

iy

ititit s

yyN

−=

ˆ i = (1 … g) a t = (1 … n) (14.1)

ity … teoretická hodnota i – té endogenní proměnné v časovém okamžiku t

ity … skutečná hodnota i – té endogenní proměnné v časovém okamžiku t

iys … směrodatná odchylka i – té endogenní proměnné vyčíslená podle vztahu: odmocnina celkového rozptylu

ityJestliže hodnota Nit = 1 znamená to, že tentýž výsledek lze odvodit, když vyrovnanou hodnotu

nahradíme průměrem iy . V případě, že hodnota Nit > 1, výsledek prognózy je horší, než kdyby byl nahrazen průměrem. V případě shody prognózy se skutečností hodnota Nit = 0. Z normovaných odchylek lze vyčíslit ve formě kvadratických průměrů normovanou odchylku za jednotlivé endogenní proměnné modelu, za každý rok časové řady a za celý model.

∑=

=n

titi N

nN

1

21

Normovaná odchylka pro i-tou endogenní proměnnou modelu se vyčíslí podle vzorce:

i = (1 ... g) (14.2)

Normovaná odchylka pro jednotlivé roky časové řady se vyčíslí podle vzorce:

∑=

=g

iitt N

gN

1

21 t = (1 … n) (14.3)

Normovaná odchylka za celý model je ve tvaru:

∑∑= =

=g

i

n

titN

ngN

1 1

211 (14.4)

- 94 -

Pro vyčíslení normovaných odchylek modelu je nejvhodnější podle vzorce 14.1 odvodit matici normovaných odchylek Nit. Matice je rozměru [g x n]. Výpočet podle vzorce 14.2 je pak vlastně kvadratickým průměrem prvků po řádcích a podle vzorce 14.3 po sloupcích.

Po ověření prognostických vlastností modelu lze redukované formy ekonometrického modelu úspěšně používat při simulacích. Simulace je experiment uskutečněný na modelu, který určuje hodnoty endogenních proměnných, jež se liší při různých alternativách programových proměnných, jiných exogenních proměnných, stochastických proměnných a hodnot parametrů.

Ekonometrické modely umožňují sestavení spojitých prognóz ve zvoleném prognostickém horizontu. V závislosti na kvalitě ekonometrického modelu se zpravidla jedná o krátkodobé a střednědobé prognózy tj. na období 1-3 roky, případně 5-7 let.

Formulace prognózy vychází z následující rovnice:

jnjnxMy ++

= ˆˆ (14.5)

jny

+ˆ prognózované hodnoty jednotlivých endogenních proměnných v období

n+j; ( )jngjnjn

T

jnyyyy

++++=

,,2,1ˆ;....;ˆ;ˆˆ ; Index n představuje poslední rok

časových řad proměnných, z nichž byly odvozeny parametry modelu, index j = (1,2, případně až 10)

jnx +ˆ prognózované hodnoty predeterminovaných proměnných v období n+j;

M matice multiplikátorů

Ze vztahu 14.5 vyplývá, že formulace prognózy z ekonometrických modelů probíhá ve dvou etapách:

V první etapě se jedná o zjištění očekávaných hodnot predeterminovaných proměnných v prognózovaném období. Mohou to být údaje, které jsou součástí hospodářského programu vlády, specializovaných prognóz, subjektivních odhadů apod.

Často se používá extrapolace trendových funkcí predeterminovaných proměnných na základě lineárních, exponenciálních, mocninných a hyperbolických funkcí. Odvození parametrů trendových funkcí by mělo vycházet ze stejně dlouhých časových řad jako kvantifikace parametrů rovnic modelu.

Teprve ve druhé etapě se podle vztahu 14.5 propočtou prognózované hodnoty endogenních proměnných, které představují tzv. střední, případně bodovou variantu prognózy.

( )jnkjnjnjn xxxx ++++ = ,,2,1 ˆ;....;ˆ;ˆˆ

- 95 -

14.2. Praktická cvičení

Ověření prognostických vlastností modelu podle normovaných odchylek a formulaci prognózy z ekonometrického modelu procvičíme na následujícím modelu.

Pro přehlednost nejprve uvedeme podkladové údaje a odhadnutý model.

Podkladové údaje: y4 y1 y2 y3

HDP Spotřeba Investice Saldo zah.obch.

mil. Kč mil. Kč mil. Kč mil. Kč 540367 398781 123086 18500 627100 452200 158400 16500 761700 527100 181600 53000 856500 613700 235200 7600 1030600 732900 289600 8100 1170600 862500 339800 -31700 1353500 976800 442400 -65700 1539400 1123200 500600 -84400 1640200 1221400 514400 -95600 1772700 1290200 508100 -25600 1937314 1406764 603450 -72900

Upravené podkladové údaje

y1 y2 y3 y4 x1 y1(t-1)=x2 y2(t-1)=x3 Měr.j.

45,22 15,84 1,65 62,71 1 39,8781 12,3086 52,71 18,16 5,3 76,17 1 45,22 15,84 61,37 23,52 0,76 85,65 1 52,71 18,16 73,29 28,96 0,81 103,06 1 61,37 23,52 86,25 33,98 -3,17 117,06 1 73,29 28,96 97,68 44,24 -6,57 135,35 1 86,25 33,98 112,32 50,06 -8,44 153,94 1 97,68 44,24 122,14 51,44 -9,56 164,02 1 112,32 50,06 129,02 50,81 -2,56 177,27 1 122,14 51,44 140,676 60,345 -7,29 193,731 1 129,02 50,81

Průměr 92,0676 37,736 -2,91 126,896 1 81,9878 32,9319

Ekonometrický model:

y1t = -2,64528 + 0,746381y4t + u1t y2t = -2,5756 + 0,2346y4t + 0,32006y2(t-1) + u2t y3t = 19,09553 - 1,56561y1t + 1,489y1(t-1) + u3t

y4t = y1t + y2t + y3t

- 96 -

1.

Dopočítejte normované odchylky pro první rovnici, znáte-li skutečné a teoretické hodnoty y1 a celkový rozptyl.

677,10142 =ySCelkový rozptyl Tabulka č. 1

2. Vypočítejte normované odchylky pro i-tou endogenní proměnnou a pro jednotlivé roky časové řady podle tabulky č.2. Vypočtené hodnoty interpretujte.

Nit2

Tabulka č. 2 ∑Nit

2 Ni y1t 0,0011 0,0022 0,0000 0,0010 0,0023 0,0005 0,0000 0,0055 0,0004 0,0016 0,0146 0,0382 y2t 0,0003 0,0219 0,0002 0,0001 0,0001 0,0789 0,0251 0,0011 0,0981 0,0066 0,2324 y3t 1,6439 0,0832 0,0271 1,1355 0,5764 0,0674 0,3506 1,0147 0,1169 0,1226 5,1383

∑Nit2 1,6452 0,1073 0,0273 1,1366 0,5788 0,1468 0,3757 1,0213 0,2155 0,1308 5,3852

Nt 0,7405 0,1891 3. Vypočítejte normovanou odchylku za celý model a interpretujte ji. 4. Formulujte střednědobou prognózu endogenních proměnných: a) dosazením do jednotlivých rovnic

b) maticově podle vztahu 13.5

Matice multiplikátorů M:

Rok ty1 ty1ˆ Nit 1 45,22 44,160 0,033 2 52,71 54,207 -0,047 3 61,37 61,282 4 73,29 74,277 5 86,25 84,726 6 97,68 98,377 7 112,32 112,253 8 122,14 119,776 9 129,02 129,666

10 140,68 141,952

8,67813853 0,93629078 0,20117389 0,98356807 0,29430709 0,38328652 5,50934055 0,02384286 -0,31492799 15,1710472 1,25444074 0,26953243

- 97 -

5.

Vyčíslete intervalovou prognózu pro první endogenní proměnnou s využitím následujícího vztahu:

)ˆ(ˆ 111 +++ −∗± ttt yySEtabulkovety α (14.6)

kde )ˆ( 11 ++ − tt yySE je odhad RMSFE (Root Mean Squared Forecast Error). RMSFE reprezentuje velikost typické chyby vzniklé použitím modelu pro prognostické účely. RMSFE je vypočtena jako odmocnina průměru čtverce chyby prognózy (MSFE - Mean Squared Forecast Error). MSFE lze vyčíslit jako rozptyl ex-post prognózy.

Pro krátkost časových řad aproximujme v našem případě rozptyl ex-post prognózy reziduálním rozptylem.

Reziduální rozptyl 47899,12 =uS

7. Uvažujme nyní, že v našem modelu vystupují namísto zpožděných endogenních proměnných y1(t-1) a y2(t-1) exogenní proměnné x4t (index důvěry v ekonomiku) a x5t (reálný měnový kurz). Odhadnutý model má potom následující podobu:

y1t = -3,645 + 0,6638y4t + u1t

y2t = -1,0757 + 0,4191y4t - 0,2309x4t + u2t y3t = -2,6001 - 0,078y1t + 0,1101x5t + u3t

y4t = y1t + y2t + y3t

Matice multiplikátorů M:

Formulujte střednědobou prognózu endogenních proměnných s využitím následujících trendových funkcí:

tx4ˆ = 8,133 + 0,1939t

(SE) (0,724) (0,022)

tx5ˆ = 14,01 + 1,0485t

(SE) (0,546) (0,032)

146,4283 4,924604 -2,3482 93,67532 2,878322 -1,48257 -14,0215 -0,38412 0,293259 226,0821 7,4188 -3,53751

- 98 -

8. Odvoďte krátkodobou intervalovou prognózu s využitím kvantifikovaných intervalových prognóz predeterminovaných (exogenních) proměnných x4t a x5t pomocí výše uvedených trendových funkcí a následujících vztahů (14.7) a (14.8).

)).(2()2(ˆmin jnSEbSEax bajn +−+−=+ (14.7) )).(2()2(ˆmax jnSEbSEax bajn ++++=+ (14.8)

Úlohy k samostatnému procvičení

1. Ověřte prognostické vlastnosti ekonometrického modelu odhadnutého v 6. cvičení. 2. Formulujte střednědobou prognózu endogenních proměnných tohoto modelu.

- 99 -

Přílohy Příloha č. 1 Podkladové údaje pro konstrukci modelu

Výdaje domácností na konečnou spotřebu [mld.Kč]

Tvorba hrubého fixního kapitálu [mld.Kč]

Saldo zahraničního obchodu SAZO [mld.Kč]

HDP celkem [mld.Kč]

Jednotkový vektor

Míra inflace [%]

Úroková sazba domácností [%]

Úroková sazba podniků [%] CZK/EUR

Míra investic [%]

Obecná míra nezaměstnanosti [%]

Zaměstnaní [mil.]

Výdaje na konečnou spotřebu vlády [mld.Kč]

Přímé zahraniční investice do ČR [mld.Kč]

Rok y1 y2 y3 y4 x1 x3 x4 x5 x9 x10 x11 x12 x13 x15

1992 411,8 285,9 -20,3 846,8 1 11,1 5,4 15,6 28,9 33,7 2,7 4,9 169,4 28,4

1993 531,7 289,6 -19,5 1002,3 1 20,8 7,2 14,6 30,0 28,4 4,3 4,9 200,5 16,6

1994 592,7 361,2 -39,5 1143,0 1 10,0 7,6 13,9 28,8 31,6 4,3 4,9 228,6 24,8

1995 761,9 461,8 -63,5 1466,5 1 9,1 7,2 13,5 26,5 31,5 4,0 5,0 306,3 67,9

1996 900,8 540,4 -98,3 1683,3 1 8,8 7,1 13,1 27,1 32,1 3,9 5,0 340,4 38,8

1997 983,5 542,1 -93,8 1811,1 1 8,5 8,7 13,7 31,7 29,9 4,8 4,9 379,3 41,3

1998 1056,1 562,4 -21,7 1996,5 1 10,7 9,4 13,3 32,3 28,2 6,5 4,9 399,7 81,9

1999 1102,2 562,3 -24,3 2080,8 1 2,1 9,1 9,0 36,9 27,0 8,7 4,8 440,6 168,7

2000 1181,9 612,5 -66,1 2189,2 1 3,9 9,0 7,3 35,6 28,0 8,8 4,7 460,9 129,8

2001 1255,0 659,3 -58,8 2352,2 1 4,7 9,0 6,8 34,1 28,0 8,1 4,7 496,7 214,6

2002 1288,5 677,8 -51,4 2464,4 1 1,8 8,8 5,9 30,8 27,5 7,3 4,8 549,5 277,7

2003 1345,2 687,5 -58,8 2577,1 1 0,1 8,2 4,5 31,9 26,7 7,8 4,7 603,2 59,3

2004 1464,1 727,2 1,9 2814,8 1 2,8 8,0 4,8 31,9 25,8 8,3 4,7 621,6 114,7

2005 1488,7 746,1 94,7 2987,7 1 1,9 7,2 4,2 29,8 24,9 7,9 4,8 658,2 263,2

2006 1622,1 812,9 111,2 3231,6 1 2,5 6,8 4,5 28,3 25,2 7,1 4,8 685,4 134,7

2007 1966,1 850,2 29,9 3557,7 1 2,8 8,5 2,1 27,8 23,9 5,3 4,9 711,5 218,0

Průměr 1122,0 586,2 -23,7 2137,8 1,0 6,4 7,9 9,2 30,8 28,3 6,2 4,8 453,2 117,5

Zdroj: ČSÚ

- 100 -

Příloha č. 2

Tabulka kritických hodnot rozdělení pro t-test hladina významnosti

stupně volnosti

0.10 0.05 0.025 0.01 0.005

1 6.3138 12.7060 25.4521 63.6570 127.321

2 2.9200 4.3027 6.2053 9.9248 14.089

3 2.3534 3.1825 4.1765 5.8409 7.4533

4 2.1318 2.7764 3.4954 4.6041 5.5976

5 2.0150 2.5706 3.1634 4.0321 4.7733

6 1.9432 2.4469 2.9687 3.7074 4.3168

7 1.8946 2.3646 2.8412 3.4995 4.0293

8 1.8595 2.3060 2.7515 3.3554 3.8325

9 1.8331 2.6222 2.6850 3.2498 3.6897

10 1.8125 2.2281 2.6338 3.1693 3.5814

11 1.7959 2.2010 2.5931 3.1058 3.4966

12 1.7823 2.1788 2.5600 3.0545 3.4284

13 1.7709 2.1604 2.5326 3.0123 3.3725

14 1.7613 2.1448 2.5096 2.9768 3.3257

15 1.7530 2.1315 2.4899 2.9467 3.2860

16 1.7459 2.1199 2.4729 2.9208 3.2520

17 1.7396 2.1098 2.4581 2.8982 3.2225

18 1.7341 2.1009 2.4450 2.8784 3.1966

19 1.7291 2.0903 2.4334 2.8609 3.1737

20 1.7247 2.0860 2.4231 2.8453 3.1534

21 1.7207 2.0796 2.4138 2.8314 3.1352

22 1.7171 2.0739 2.4055 2.8188 3.1188

23 1.7139 2.0687 2.3979 2.8073 3.1040

24 1.7109 2.0639 2.3910 2.7969 3.0905

25 1.7081 2.0595 2.3846 2.7874 3.0782

26 1.7056 2.0555 2.3788 2.7787 3.0669

27 1.7033 2.0518 2.3734 2.7707 3.0565

28 1.7011 2.0484 2.3685 2.7633 3.0469

29 1.6991 2.0452 2.3638 2.7564 3.0380

30 1.6973 2.0423 2.3596 2.7500 3.0298

40 1.6839 2.0211 2.3289 2.7045 2.9712

60 1.6707 2.0030 2.2991 2.6603 2.9146

120 1.6577 1.9799 2.2699 2.6174 2.8599

nekonečno 1.6449 1.9600 2.2414 2.5758 2.8070

Zdroj: Likeš, J., Laga, J.: Základní statistické tabulky, Praha, 1978

- 101 -

Příloha č. 3 Příloha č. 4 Příloha č. 5 Produkční funkce Nákladová funkce Dvoufaktorová produkční funkce

Zdroj pro přílohy č. 3,4 a 5: vlastní podnikové šetření

přírůstek

kg/KD spotřeba

KS v kg/KD

Turnus yt x

1 0,724 1,99

2 0,722 1,97

3 0,710 1,87

4 0,723 1,98

5 0,727 2,01

6 0,714 1,91

7 0,730 2,03

8 0,786 2,53

9 0,715 1,92

10 0,719 1,95

11 0,718 1,94

12 0,703 1,77

13 0,703 1,76

14 0,703 1,76

15 0,703 1,77

16 0,704 1,78

17 0,704 1,79

18 0,706 1,82

19 0,712 1,89

20 0,710 1,87

21 0,722 1,97

22 0,786 2,51

23 0,711 1,88

24 0,715 1,92

25 0,724 1,99

26 0,737 2,08

27 0,778 2,39

28 0,731 2,04

29 0,724 1,99

30 0,752 2,18

31 0,785 2,5

32 0,738 2,09

33 0,750 2,17

34 0,744 2,13

35 0,741 2,11

36 0,780 2,67

Celkové náklady

Kč/kg/KD

Přírůstek kg/KD

turnus ys x

1 28,95 0,801

2 21,53 0,744

3 21,73 0,740

4 22,14 0,750

5 21,32 0,728

6 25,93 0,781

7 20,96 0,769

8 19,30 0,667

9 20,81 0,750

10 24,79 0,778

11 19,99 0,722

12 20,30 0,728

13 20,59 0,701

14 20,18 0,719

15 26,63 0,804

16 20,10 0,690

17 20,88 0,694

18 19,28 0,662

19 18,57 0,651

20 19,86 0,676

21 18,11 0,672

22 16,16 0,645

23 19,25 0,650

24 19,89 0,691

25 17,36 0,652

26 18,65 0,652

27 20,89 0,709

28 21,59 0,682

29 26,84 0,795

30 19,49 0,658

31 20,71 0,722

32 20,51 0,728

33 20,20 0,710

34 19,98 0,708

35 20,30 0,739

36 20,10 0,682

přírůstek celkem

v kg/turnus

spotřeba KS v

kg/turnus

hmot. zástavu v kg

turnus y x1 x2

1 49,504 133,358 22,442

2 53,252 141,310 20,002

3 44,669 117,902 20,779

4 45,237 126,136 24,376

5 47,917 132,383 24,234

6 53,453 143,208 20,816

7 49,101 137,991 23,975

8 43,699 139,046 20,779

9 52,111 138,488 20,761

10 49,590 136,477 20,850

11 50,480 141,568 21,882

12 28,091 76,255 10,074

13 45,972 129,802 23,030

14 49,680 125,671 19,884

15 28,447 91,288 9,569

16 51,726 131,234 22,760

17 47,538 117,800 20,850

18 52,603 132,740 16,141

19 51,072 131,845 19,644

20 48,009 126,107 21,526

21 55,540 147,941 20,520

22 45,569 142,317 17,615

23 48,309 126,325 20,315

24 47,307 126,835 21,869

25 48,657 133,057 21,026

26 49,629 142,985 22,148

27 31,271 98,568 12,995

28 50,155 136,421 20,889

29 51,955 140,190 19,218

30 57,231 168,837 21,991

31 38,952 124,705 16,327

32 48,902 140,433 21,496

33 50,660 146,651 21,300

34 47,629 137,119 23,008

35 52,390 148,476 22,300

36 52,049 160,221 17,700

průměr 47,732 132,547 20,141

- 102 -

Literatura

1. HINDLS, R., HRONOVÁ, S., SEGER, J.: Statistika pro ekonomy. Praha: Professional Publishing, 2004. ISBN 80-86419-59-2 (5.vyd.)

2. HUŠEK, R.: Ekonometrická analýza. Praha: Ekopress, 1999. ISBN 80-86119-19-X. 3. HUŠEK, R.: Základy ekonometrie. Praha: VŠE, 1992. ISBN 80-7079-566-2. 4. HUŠEK, R., WALTER, J.: Ekonometrie. Praha: Nakladatelství technické literatury,

1974. 5. SEDDIGHI, H.R., et al.: Econometrics – A Practical Approach, London: Routledge,

2000. ISBN 0-415-15645-9. 6. TVRDOŇ, J., et al.: Cvičení z ekonometrie. Praha: Credit - PEF ČZU v Praze, 2001.

ISBN 80-213-0790-0. 7. TVRDOŇ, J.: Ekonometrie. Praha: Credit – PEF ČZU v Praze, 2000.

ISBN 80-213-0620-3. 8. SINE: Vydání a spotřeba domácností dle statistiky rodinných účtů, ČSÚ Praha, Kód

publikace 3001, Práce, sociální statistiky, dle let 1995 až 2007

Documents

Cvičebnice