Čvrstoća Konstrukcija

DG 2012/5 ČVRSTOĆA KONSTRUKCIJA – PODSJETNIK 1

CK-POD-02

Danko Gugić

ČVRSTOĆA KONSTRUKCIJA

PODSJETNIK

ZAGREB, 2012


CK-POD-02

SADRŽAJ

PREDGOVOR .......................................................................................................................................................................... 4

1. UVOD ......................................................................................................................................................................... 5

1.1 DEFINICIJE I OSNOVNI POJMOVI ............................................................................................................... 5 1.2 KLASIFIKACIJA OPTEREĆENJA ................................................................................................................. 7

1.2.1 Opterećenje po mjestu djelovanja ................................................................................................................. 7 1.2.2 Vrste opterećenja po brzini djelovanja ......................................................................................................... 7

1.3 ELEMENTI KONSTRUKCIJE ........................................................................................................................ 9 1.3.1 Klasifikacija EK po obliku ............................................................................................................................ 9 1.3.2 Klasifikacija EK po opterećenju ................................................................................................................. 10

1.4 OSNOVNE HIPOTEZE .................................................................................................................................. 10 1.4.1 Hipoteze o materijalu .................................................................................................................................. 10 1.4.2 Hipoteze o deformaciji ................................................................................................................................ 10

1.5 PROBLEMATIKA I ZADACI ........................................................................................................................ 11

2. NORMALNO NAPREZANJE .................................................................................................................................. 12

2.1 AKSIJALNO OPTEREĆENI ŠTAPOVI ........................................................................................................ 12 2.1.1 Deformacije štapa ....................................................................................................................................... 12 2.1.2 Normalno naprezanje.................................................................................................................................. 12 2.1.3 Hookeov zakon ............................................................................................................................................ 14 2.1.4 Utjecaj vlastite težine .................................................................................................................................. 15 2.1.5 Statički neodređeni slučajevi ...................................................................................................................... 16 2.1.6 Štapovi od dva različita materijala ............................................................................................................. 18 2.1.7 Termičko naprezanje ................................................................................................................................... 19

2.2 NORMALNA NAPREZANJA U KRUŽNOM PRSTENU ............................................................................ 20 2.2.1 Kotlovska formula ....................................................................................................................................... 20 2.2.2 Termička deformacija i naprezanje u kružnom prstenu .............................................................................. 20 2.2.3 Naprezanje u rotirajućem kružnom prstenu ................................................................................................ 21

2.3 ENERGIJA ELASTIČNE DEFORMACIJE ŠTAPA ...................................................................................... 21 2.4 RJEŠAVANJE PROBLEMA .......................................................................................................................... 23

3. SMIČNO NAPREZANJE ......................................................................................................................................... 25

3.1 NAPREZANJE ............................................................................................................................................... 25 3.2 DEFORMACIJE ............................................................................................................................................. 26 3.3 RJEŠAVANJE PROBLEMA .......................................................................................................................... 27

4. VIŠEOSNO NAPREZANJE ..................................................................................................................................... 28

4.1 NORMALNO I SMIČNO NAPREZANJE KOD JEDNOOSNOG OPTEREĆENJA ..................................... 28 4.2 DVOOSNO NORMALNO OPTEREĆENJE .................................................................................................. 29 4.3 OPĆI SLUČAJ DVOOSNOG OPTEREĆENJA ............................................................................................. 30

5. ČVRSTOĆA GREDE ................................................................................................................................................ 31

5.1 UNUTARNJE SILE I MOMENTI SAVIJANJA ............................................................................................ 31 5.1.1 Definicije unutarnjih sila i momenata savijanja ......................................................................................... 31 5.1.2 Kontinuirano opterećenje, poprečna sila i moment savijanja .................................................................... 32 5.1.3 Konstrukcija N, Q i M dijagrama ............................................................................................................... 32

5.2 NAPREZANJA U POPREČNOM PRESJEKU GREDE ................................................................................ 39 5.2.1 Čisto savijanje grede................................................................................................................................... 39 5.2.2 Težište i aksijalni momenti poprečnih presjeka .......................................................................................... 45 5.2.3 Opći slučaj savijanja grede ........................................................................................................................ 47

5.3 PROGIB SAVIJENE GREDE ......................................................................................................................... 50 5.3.1 Diferencijalna jednadžbe elastične linije .................................................................................................... 50 5.3.2 Odredivanje elastične linije ........................................................................................................................ 51

5.4 SPECIJALNI SLUČAJEVI SAVIJANJA GREDE ......................................................................................... 54 5.4.1 Statički neodređene grede ........................................................................................................................... 54 5.4.2 Grede neobičnog poprečnog presjeka ........................................................................................................ 57 5.4.3 Koso savijanje grede ................................................................................................................................... 59

5.5 RJEŠAVANJE PROBLEMA .......................................................................................................................... 61 5.6 PRIMJERI DIMENZIONIRANJA GREDA ................................................................................................... 63

6. ČVRSTOĆA VRATILA ........................................................................................................................................... 69

6.1 DEFORMACIJE I NAPREZANJA ................................................................................................................. 69 6.2 VRATILA S POPREČNIM PRESJEKOM U OBLIKU KRUŽNOG VIJENCA ............................................ 72


CK-POD-02

6.3 VRATILA PRAVOKUTNOG POPREČNOG PRESJEKA ............................................................................ 74 6.4 TORZIJA I SAVIJANJE ................................................................................................................................. 75 6.4 RJEŠAVANJE PROBLEMA .......................................................................................................................... 75

7. IZVIJANJE ŠTAPA .................................................................................................................................................. 78

7.1 IZVIJANJE I SILA IZVIJANJA ..................................................................................................................... 78 7.2 NAPREZANJE U PRITISNUTOM ŠTAPU ................................................................................................... 80 7.3 DIMENZIONIRANJE ŠTAPOVA ................................................................................................................. 81

8. OSNOVE ZA DIMENZIONIRANJE KONSTRUKCIJSKIH ELEMENATA ......................................................... 82

8.1 KOEFICIJENTI SIGURNOSTI I DOPUŠTENO NAPREZANJE.................................................................. 82 8.1.1 Statičko djelovanje opterećenja .................................................................................................................. 82 8.1.2 Dinamičko djelovanje opterećenja .............................................................................................................. 83 8.1.3 Teorije čvrstoće ........................................................................................................................................... 85

8.2 KONCENTRACIJE NAPREZANJA .............................................................................................................. 86 8.2.1 Zarezi i rupe ................................................................................................................................................ 86 8.2.2 Površinski pritisci ....................................................................................................................................... 87

9. DODACI.................................................................................................................................................................... 88

9.1 ZNAČAJKE NEKIH MATERIJALA ............................................................................................................. 88 9.2 AKSIJALNI MOMENTI INERCIJE I MOMENTI OTPORA ........................................................................ 89 9.3 KARAKTERISTIKE NEKIH STANDARDNIH PROFILA .......................................................................... 92

9.3.1 Čelični istokračni L-profili ......................................................................................................................... 92 9.3.2 Čelični raznokračni L-profili ...................................................................................................................... 93 9.3.3 Čelični U-profili .......................................................................................................................................... 94 9.3.4 Čelični I-profili ........................................................................................................................................... 95

9.4 REAKCIJE, POPREČNE SILE , MOMENTI SAVIJANJA I PROGIBI GREDA .......................................... 96

10. LITERATURA ........................................................................................................................................................ 104


CK-POD-02

PREDGOVOR Studenti OMV i OZ upisuju u drugom semestru kolegij Čvrstoća konstrukcija. Treba reći da je naziv ovog kolegija preambiciozan. Naime da bi se razmatrala problematika čvrstoće konstrukcija treba poznavati barem osnove nauke o čvrstoći. Zato se u ovom Podsjetniku iz Čvrstoće konstrukcija (Podsjetnik) obrađuju osnove nauke o čvrstoći onoliko koliko je potebno za neke osnove čvrstoće konstrukcija. Postoji obilje literature iz problematike nauke o čvrstoći i čvrstoće konstrukcija čije proučavanje bi studentima oduzelo više vremena nego li je predviđeno nastavnim planom. Zato je napisan Podsjetnik radi lakše pripreme ispita i što boljeg razumijevanja cijele problematike. U Podsjetniku su dani detaljni izvodi i odgovarajući primjeri koji s predavanjima i vježbama čine pedagošku cjelinu. Podsjetnik je organiziran u devet poglavlja. U prvom se obrađuje uvodna problematika i daju definicije osnovnih pojmova. Posebno se obrađuju i definiraju elementi konstrukcije i opterećenja kojima su izloženi. Slijedi izlaganje problematike aksijalno opterećenih štapova u kojima se pojavljuje normalno naprezanje. U trećem poglavlju obrađuje se odrez a u četvrtom se daju osnove ravninskog višeosnog stanja naprezanja. Savijanje greda obrađeno je u petom poglavlju a čvrstoća vratila u šestom poglavlju. Osnove izvijanja odnosno stabilnosti štapova dane su u sedmom poglavlju. U osmom poglavlju daju se neke smjernice za dimenzioniranje elemenata konstrukcije i jednostavnijih konstrukcija. Deveto poglavlje složeno je kao kratki priručnik i sadrži značajke nekih materijala, aksijalne momente tromosti i momente otpora geometrijskih likova, podatke o standardnim profilima, reakcije veza, dijagrame poprečnih sila, dijagrame momentata savijanja, najveće vrijednosti poprečnih sila i momenata savijanja te progibe najčešćih tipova greda. Za uspješno korištenje Podsjetnika potrebna su predznanja iz statike (uvjeti ravnoteže i određivanje reakcija veza), i dinamike (za razumijevanje dinamičkih opterećenja) te iz matematike. U izlaganjima se polazi od mehaničkih modela, za dijelove inženjerskih konstrukcija, za koje se definira matematički model. Ovaj model sadrži odgovarajuće izraze i formule za dimenzioniranje elemenata konstrukcije odnosno za izračun deformacija i naprezanja u poprečnim presjecima elemenata konstrukcije. Knjiga bez korisnika je mrtvo slovo na papiru. Zato se zahvaljujem, unaprijed, svim korisnicima i njihovim primjedbama, bilo koje vrste, koje će doprinijeti korisnosti ovog Podsjetnika. Danko Gugić Zagreb, 2012.


CK-POD-02

1. UVOD Konstrukcija je skup međusobno povezanih tijela a zamišljena je, projektirana i izgrađena radi zadovoljenja neke čovjekove potrebe. Konstrukcija ima svoj oblik (formu), ustrojstvo (raspored sastavnih dijelova) i svoju namjenu. Tijekom ostvarivanja svoje namjene konstrukcija se giba ili miruje izložena opterećenju. Pritom se oblik konstrukcije mijenja jer se mijenja oblik njenih dijelova. Dijelovi konstrukcije se deformiraju: produljuju ili skraćuju, savijaju ili uvijaju. U materijalu dijelova konstrukcije pojavljuju se naprezanja. Deformacije i naprezanja mogu ugroziti funkcionalnost dijelova konstrukcije i ostvarivanje namjene konstrukcije. Prema dopuštenim deformacijama i dopuštenim naprezanjima, čije vrijednosti se određuju obzirom na građevni materijal i opterećenje konstrukcije, u fazi projektiranja određuju se dimenzije i oblik poprečnh presjeka dijelova konstrukcije. Kaže se da se sastavni dijelovi konstrukcije dimenzioniraju. Dopuštene vrijednosti naprezanja određuju se prema naprezanjima pri kojima dolazi do trajnih deformacija ili do loma građevnog materijala uzimajući u obzir faktor sigurnosti. Veličina faktora sigurnosti utječe na količinu upotrebljenog građevnog materijala što je u izravnoj vezi s troškovima gradnje i eksploatacije konstrukcije. Projektant konstrukcije vodi brigu o ekonomičnosti i sigurnosti konstrukcije. U fazi projektiranja konstrukcije u prvom koraku riješavaju se problemi statike i dinamike konstrukcije dakle dijelovi konstrukcije promatraju se kao kruta tijela. Pri dimenzioniranju dijelovi konstrukcije se ne mogu promatrati kao kruta već kao deformabilna tijela. Metode za dimenzioniranje dijelova konstrukcije temelje se na zakonitostima nauke o čvrstoći koja spada u tehničku mehaniku ali u tehničku mehaniku čvrstih (deformabilnih) tijela. U općem slučaju problematika čvrstoće konstrukcija je vrlo složena pak će se u kolegiju Čvrstoća konstrukcija razmatrati čvrstoća jednostavnijih konstrukcija odnosno čvrstoća dijelova konstrukcije. U tom smislu u ovom poglavlju definirat će se osnovni pojmovi i mehanički modeli za dijelove konstrukcije, klasificirat će se opterećenje i navesti osnovne hipoteze o materijalu i deformacijama. Na kraju poglavlja bit će govora o problematici i zadacima nauke o čvrstoći. Temeljem spomenutih osnovnih hipoteza u narednim poglavljima definirat će se veze između deformacija i naprezanja te odrediti operativne izraze za dimenzioniranje dijelova konstrukcije radi ispunjenja osnovnih zadataka nauke o čvrstoći.

1.1 DEFINICIJE I OSNOVNI POJMOVI

Element konstrukcije Konstrukcija, koja je proizvod ljudskog rada, sastavljena je od više tijela i tvori mehanički sistem. Kako su dijelovi konstrukcije deformabilni onda je i taj mehanički sistem deformabilan. Element konstrukcije (EK) je mehanički model za realna tijela, dijelove konstrukcije, od kojih je sastavljena konstrukcija. Kriteriji definiranja EK su njegova geometrija i opterećenje te veze s okolinom odnosno drugim dijelovima konstrukcije. EK su deformabilni i predstavljaju tipske dijelove mehaničkog sistema kojim se idealizira konstrukcija.

Poprečni presjek Može se reći da je za održavanje funkcionalnosti EK najvažniji poprečni presjek EK zato ga se i posebno definira: Poprečni presjek je geometrijski lik, proizvoljnog oblika, koji se dobije presjecanjem EK s ravninom koja je u pravilu okomita na vanjsku plohu EK, slika 1.1-1: a) EK i ravnina π okomita na vanjsku plohu EK, b) lijevi dio EK presječenog ravninom π .

Slika 1.1-1 Poprečni presjek EK

Opterećenje Pod opterećenjem se podrazumijeva svako djelovanje okoline na konstrukciju i EK. Posebno u opterećenje EK se ubraja djelovanje okolnih mu EK. U čvrstoći konstrukcija su važni intezitet i brzina djelovanja opterećenja te mjesto djelovanja (hvatište sile).


CK-POD-02

Deformacija Deformacija je promjena oblika EK koja nastaje pod djelovanjem opterećenja. Geometrijski gledano razlikuju se četiri vrste deformacija: uzdužna, odrezna (smična), savojna i uvojna deformacija koje su prikazane na slikama 1.1-2 do 1.1-5. U čvrstoći konstrukcija razmatraju se elastične deformacije. Elastična deformacija nestaje, u potpunosti, s prestankom djelovanja opterećenja. Pri elastičnoj deformaciji u EK se akumulira potencijalna energija.

Slika 1.1-2 Uzdužna deformacija EK

Slika 1.1-3 Odrezna deformacija EK

Slika 1.1-4 Savojna deformacija EK

Slika 1.1-5 Uvojna deformacija EK

Naprezanje Naprezanje je stanje koje se javlja u poprečnom presjeku EK zbog djelovanja opterećenja na EK i drži ravnotežu s dijelom ovog opterećanja. Naprezanje se mjeri u N/mm2. Ako naprezanje djeluje okomito na poprečni presjek, yσ , naziva se normalno naprezanje a ako djeluje u ravnini

poprečnog presjeka, i x zτ τ , naziva se tangecijalno ili smično naprezanje, slika 1.1-6.

Unutarnje sile i momenti Pretpostavlja se da u poprečnom presjeku, u općem slučaju djeluju tri unutarnje sile N, QX i QZ i tri unutarnja sprega sila predstavljena s tri momenta MX, MY i MZ, slika 1.1-7. Gledajući s apekta statike ove sile i momenti drže ravnotežu vanjskom opterećenju. Ustvari u poprečnom presjeku postoji naprezanje koje se iz praktičnih razloga zamjenjuje ovim silama i momentima koji su rezultante tog naprezanja.

Slika 1.1-6 Normalno yσ i smično i x zτ τ

naprezanje

Slika 1.1-7 Unutarnje sile i momenti

Moduli elastičnosti Modul elastičnosti je mehaničko svojstvo materijala od kojeg je izrađen EK i povezuje deformaciju i naprezanje u EK. Može se reći da je modul elastičnosti mjera opiranja EK deformaciji. Određuje se ispitivanjem a mjeri se u N/mm2. Razlikuju se dva modula elaastičnosti: - Youngov modul elastičnosti (1807. god.) koji povezuje deformaciju i naprezanje pri normalnom (vlačnom ili tlačnom) naprezanju i označava se s E, - Poissonov modul elastičnosti (1828. god.) koji povezuje deformaciju i naprezanje pri smičnom naprezanju i označava se s G. Prvi se modul obično naziva modul elastičnosti a drugi modul klizanja ili smika.

Dimenzioniranje Dimenzioniranje je postupak određivanja dimenzija i oblika poprečnog presjeka EK s ciljem osiguranja funkcionalnosti i sigurnosti EK u eksploataciji konstrukcije. Dimenzije odnosno oblik poprečnog presjeka određuju se tako da najveće naprezanje u poprečnom presjeku EK ne bude veće od dopuštenog naprezanja. Ovaj kriterij je nužni kriterij i on uvijek treba biti zadovoljen. Dovoljni kriterij traži da deformacija EK bude manja od dopuštene. Ispunjenje ovog kriterija ima za


CK-POD-02

cilj održanje geometrije EK u okviru konstrukcije, čiji je EK dio, čime se osigurava projektom predviđena funkcionalnost EK u sklopu namjene konstrukcije. Pri dimenzioniranju treba voditi računa o troškovima izrade EK i troškovima eksploatacije odnosno o ekonomičnosti konstrukcije.

1.2 KLASIFIKACIJA OPTEREĆENJA Mehanički modeli opterećenja isti su u čvrstoći konstrukcija kao i u statici:

- koncentrirana sila, - kontinuirano opterećenje, - spreg sila.

U statici, koja proučava ravnotežu krutih tijela, nije bilo važno mjesto djelovanja opterećenja pak se je, primjerice, sila tretirala kao klizni vektor. Čvrstoća konstrukcija se bavi s deformabilnim tijelima pak je važno mjesto djelovanja opterećenja. Konstrukcije se mogu podijeliti u tri velike grupe:

- nepomične u odnosu na okolinu, - nepomične u odnosu na okolinu ali sadrže dijelove koji se gibaju, - pomične u odnosu na okolinu.

Kod prve grupe konstrukcija opterećenje djeluje statički dok na konstrukcije iz druge i treće grupe opterećenje djeluje i statički i dinamički. Bitna razlika između statičkog i dinamičkog djelovanja je brzina djelovanja opterećenja. Opterećenje se klasificira po:

- mjestu djelovanja, - brzini djelovanja.

1.2.1 Opterećenje po mjestu djelovanja Razlikuju se dva slučaja: - opterećenje djeluje na plohu EK i naziva se vanjsko opterećenje, - opterećenje djeluje unutar volumena EK, po masi EK, i naziva se unutarnje opterećenje.

1. Vanjsko opterećenje Ovo opterećeneje obuhvaća već spomenute mehaničke modele opterećenja:

- kontinuirano opterećenje, slika 1.2.1-1, koje uključuje i površinski tlak, - koncentrirane sile, slika 1.1-2, - spregove sila: savojne i uvojne, slike 1.1-2 i 1.1-3.

Svako od navedenih opterećenja može na EK djelovati statički i dunamički.

Slika 1.2.1-1 Kontinuirano opterećenje Treba istaknuti da se položaj djelovanja bilo koje vrste vanjskog opterećenja u čvrstoći konstrukcija ne može mijenjati.

2. Unutrašnje opterećenje Unutrašnje opterećenje djeluje po volumenu odnosno po masi EK – slika 1.2.1-2. To su gravitacijska sila (vlastita težina EK) i inercijske sile. Najčešća inercijska sila je centrifugalna sila. Obje sile se nekad zamijenjuju s jednom silom a nekad se tretiraju kao kontinuirano opterećenje.

Slika 1.2.1-2 Djelovanje opterećenja po volumenu

1.2.2 Vrste opterećenja po brzini djelovanja

1. Statičko opterećenje Statičko opterećenje raste vrlo polagano od nule do punog inteziteta nakon čega je konstantno po veličini. Ovo je ilustrirano na slici 1.2.2-1:


CK-POD-02

a) cilindrična opruga pričvršćena je na jednom kraju cilindričnim zglobom za nepomičnu podlogu u polju zemljine privlačne sile, b) na slobodnom kraju opruge ovjesi se uteg mase m, težine mg, kojeg se pridržava silom F, koja djeluje u suprotnom smjeru od težine utega, čija veličina opada od mg do nule, c) kada veličina sile F postane jednaka nuli opruga se izduži za statičko produljenje stl∆ .

0 F mg≤ ≤

stmg c l= ∆

st

mgl

c∆ = (a)

Nakon što se je opruga izdužila za stl∆ težina

utega i sila u opruzi su u ravnoteži – opruga je statički opterećena težinom utega.

Slika 1.2.2-1 Statičko djelovanje opterećenja

2. Dinamičko opterećenje Dinamičko opterećenje klasificira se prema brzini djelovanja:

- naglo priloženo, - udarno, - cikličko, - šokovi.

Naglo priloženo opterećenje je slučaj kada se opterećenje prilaže bez brzine ali trenutačno i u punom intezitetu – primjer djelovanja ovog opterećenja dan je na slici 1.2.2-2: a) cilindrična opruga pričvršćena je na jednom kraju cilindričnim zglobom za nepomičnu podlogu u polju zemljine privlačne sile, b) na slobodnom kraju opruge ovjesi se uteg mase m, težine mg, i pusti da djeluje na oprugu - uteg na nivou 1 ima brzinu jednaku nuli i giba se do nivoa 2, na kojem mu je brzina također jednaka nuli, izduživši oprugu za dinamičko produljenje ∆ld. Veličina dinamičkog produljenja izračunat će se pomoću zakona kinetičke energije koji promjenu kinetičke energije tereta izjednačava s radom sila prikazanih na slici 1.2.2-2c).

2 1 12k kE E W− = Kako su brzine jednake nuli:

1 20 0v v= = kinetičke energije jednake nuli:

1 20 0k kE E= = i suma mehaničkih radova je jednaka nuli:

12

0

0dl

dW mg l c x dx∆

= ∆ − =∫ (b)

Iz izraza (b) se nalazi:

2d

mgl

c∆ = (c)

Slika 1.2.2-2 Naglo priloženo opterećenje

Usporedbom izraza (a) i(c) dobije se: 2d stl l∆ = ∆ (d)

Kod naglo priloženog tereta produljenje opruge je dvostruko veće od produljenja opruge kada teret djeluje statički. Udarno opterećenje je djelovanje nekog tijela koje se giba na EK prilikom kojeg to tijelo svoju kinetičku energiju predaje EK – slika 1.2.2-3. Odlika cikličkog opterećenja je promjena veličine opterećenja u vremenu i njegovo periodičko ponavljanje – slika 1.2.2-4. Kod motora s unutarnjim izgaranjem broj ciklusa je reda veličine 100 ciklusa u sekundi.

Slika 1.2.2-3 Skica za udarno opterećenje

Slika 1.2.2-4 Cikličko opterećenje


CK-POD-02

Šokovi su opterećenje vrlo velikog inteziteta u vrlo kratkom vremenu – slika 1.2.2-5. Brzina djelovanja opterećenja ide do 10000 m/s.

Slika 1.2.2-5 Šok

1.3 ELEMENTI KONSTRUKCIJE Inženjerske konstrukcije su mnogobrojne (koliko različitih potreba toliko različitih konstrukcija) i raznolike. Postavlja se problem sistematizacije i standardizacije, radi lakšeg proučavanja, primjenom principa zanemarivanja nebitnih karakteristika i idealizacije. Polazi se od realnog stanja: konstrukcija je skup tijela koja su povezana u cjelinu na način da se ostvari željena namjena konstrukcije. Ovi dijelovi su deformabilni pak je i konstrukcija deformabilna. Deformabilnost dijelova konstrukcije ograničena je a da bi se ispunila namjena konstrukcije i očuvala njena sigurnost tijekom eksploatacije. Dakle inženjerska konstrukcija je mehanički sistem koji ima određenu namjenu a sastavljen je od deformabilnih dijelova. Sistematizacija i idealizacija dijelova konstrukcije tema je sljedećeg teksta. Dijelovi konstrukcije razlikuju se po obliku, međusobnim vezama i opterećenju a u skladu s funkcionalnošću tog dijela u okviru konstrukcije. Oblici dijelova konstrukcije su raznoliki i uvijek su 3D. Također im se razlikuju i poprečni presjeci. Veze ovih dijelova konstrukcije zamjenjuju se sa standardnim vezama definiranim u statici: dodirnim, zglobnim, uklještenjima i sa savitljivim vezama (uže, nit i sl.). Uzimajući u obzir već prije rečeno za opterećenje definiraju se mehanički modeli za realne dijelove konstrukcije – elementi konstrukcije.

1.3.1 Klasifikacija EK po obliku Broj dimenzija EK može biti: 1D, 2D, 3D. U okviru kolegija Čvrstoća konstrukcija razmatraju se deformacije i naprezanja EK koji imaju jednu dimenziju, dužinu, znatno veću od ostale dvije – dimenzije poprečnog presjeka. U većini slučajeva model EK je ravna, pravčasta, jednodimenziona forma koja se naziva štap – slike 1.3.1-1 i 1.3.1-2. Poprečni presjeci štapa mogu biti – slika 1.3.1-1:

a) pravilni geometrijski likovi, b) složeni (tankostjeni) profili, c) standardni profili (I nosači, uglovnice i ostali).

Gledajući po dužini štapovi su: - konstantnog poprečnog presjeka, slika 1.3.1-1, - promjenjivog poprečnog presjeka, slika 1.3.1-2.

Promjena poprečnog presjeka može biti, slika 1.3.1-2: a) kontinuirana, b) nekontinuirana.

Kod štapova promjenjivog poprečnog presjeka postoji jedan poprečni presjek u kojem je naprezanje najveće i koji se, zbog toga, zove opasni ili kritični poprečni presjek. Sve navedene inačice štapa imaju težišta poprečnih presjeka na pravcu koji se naziva os štapa.

Slika 1.3.1-1 Štapovi konstanog poprečnog presjeka

Slika 1.3.1-2 Štapovi promjenjivog poprečnog presjeka


CK-POD-02

U kolegiju ČK neće se razmatrati EK s 2D i 3D, slika 1.3.1-3, koji su: a) prsten, koji se nekad može promatrati kao štap kružnog oblika, b) ploče koje imaju dvije dimenzije značajno veće od treće dimenzije (debljine) i mogu biti različitih oblika, c) ukrepljene ploče, d) ljuske i membrane koje su djelovi ploha cilindra, torusa, kugle i sličnih ploha.

Slika 1.3.1-3 2D i 3D EK

1.3.2 Klasifikacija EK po opterećenju Ovisno o opterećenju govori se o: 1. Aksijalno opterećenom štapu ako je opterećenje po osi štapa, slika 1.1-2. U ovom slučaju u poprečnom presjeku se javlja normalno naprezanje. 2. Smično opterećenom štapu ako je štap opterećen na odrez, slika 1.1-3. U poprečnom presjeku se pojavljuje smično (odrezno) naprezanje. 3. Štap opterećen savojno naziva se greda, slika 1.1-4. Opterećenje može biti: - od dva sprega istog momenta a suprotnog smjera djelovanja - u ovom slučaju se u poprečnom presjeku pojavljuje normalno naprezanje koje se linearno mijenja po visini poprečnog presjeka, - kontinuiranim opterećenjem, silama i spregovima - u ovom slučaju se u poprečnom presjeku pojavljuje normalno i smično naprezanje koje se mijenja po visini poprečnog presjeka. 4. Štap ako je opterećen spregom koji ga uvija naziva se vratilo, slika 1.1-5. U poprečnom se presjeku pojavljuje smično (uvojno, torziono) naprezanje. Za aksijalno i smično opterećene štapove nije važan oblik poprečnog presjeka već samo njegova površina dok je za savojno i uvojno opterećene štapove uz površinu važan i oblik poprečnog presjeka. U potonjem slučaju postoje oblici poprečnog presjeka koji su uobičajeni: za savijanje standarni I i U profili ili tankostijeni profili a za uvijanje kružni poprečni presjek. Treba istaknuti da se jednim oblikom štapa mogu predstaviti realni dijelovi konstrukcije opterećeni na sva četiri navedena načina.

1.4 OSNOVNE HIPOTEZE Radi teoretskih izvoda i pronalaženja veza između opterećanja i naprezanja, pri čemu se koriste odgovarajući matematički postupci, uvode se neke pretpostavke o građevnom materijalu EK i obliku deformacija.

1.4.1 Hipoteze o materijalu 1. Neprekidnost materije: materija ispunjava cijeli volumen tijela – mogu se primjeniti metode infinitezimalnog računa. 2. Homogenost materijala: materijal ima identična svojstva po cijelom volumenu – deformacije i naprezanja su neprekinute funkcije koordinata tijela. 3. Izotropnost: materijal ima ista mehanička svojstva u svim smjerovima. Kod anizotropnog materijala svojstva nisu jednaka u svim smjerovima. Ortotropni materijal je anizotropni materijal koji ima različita svojstva u dva ili tri međusobno okomita smjera. 4, Elastičnost: nakon rasterećenja nestaju deformacija - tijelu se vraća prvobitni oblik.

1.4.2 Hipoteze o deformaciji 1. Hipoteza ravnih presjeka: presjeci koji su bili ravni prije djelovanja opterećenja ostaju ravni i kada djeluje opterećenja. 2. Hipoteza malih pomaka: pomaci i/ili deformacije nastale pod djelovanjem opterećenja male su u odnosu na dimenzije tijela. 3. Saint-Venantov princip ili princip lokalnog djelovanja: lokalna naprezanja vrlo brzo opadaju s udaljenošču od mjesta opterećenja. Ovime se razlučuju koncentracije naprezanja od prosječnog naprezanja. Koncentracije naprezanja rješavaju se temeljem eksperimentalnih rezultata.


CK-POD-02

1.5 PROBLEMATIKA I ZADACI Najkraće rečeno nauka o čvrstoći se bavi dimenzioniranjem EK. Dimenzioniranjem se određuju dimenzije i oblik poprečnog presjeka EK kako bi taj EK imao predviđenu funkcionalnost u ustrojstvu konstrukcije a konstrukcija bila sigurna u ispunjavanju svoje namjene. Dimenzioniranje je proces koji uključuje: a) definiranje problema i zahtjeva: tip, namjena, opterećenje i građevni materijal, b) odabir mehaničkog modela za pojedini dio konstrukcije odnosno definiranje EK, c) iznalaženje matematičkog modela odnosno metode proačuna za dimenzioniranje EK, d) odabir kriterija: granične (dopuštene) vrijednosti za naprezanja i deformacije, nivoi ekonomičnosti i sigurnosti, e) zadovoljavanje, ako postoje, posebnih zahtjeva na oblik poprečnog presjeka EK, f) definiranje metoda proračuna i određivanje poprečnog presjeka, naprezanja i deformacija, g) analiza rezultata dimenzioniranja u kojoj se ustanovljuje zadovoljavanje zahtjeva i kriterija. Zahtjevi sigurnosti i ekonomičnosti konstrukcije su kontradiktorni zahtjevi. Sigurnost konstrukcije je svojstvo konstrukcije koje jamči predviđenu/zadanu funkcionalnost i trajnost konstrukcije te isključuje pojavu trajnih i nepredviđenih deformacija i lomova EK. Može se govoriti o nivoima sigurnosti konstrukcije: minimalnom, zadovoljavajućem i visokom nivou sigurnosti. Ostvarenje višeg nivoa sigurnosti, u odnosu na niži nivo sigurnosti, traži veći utrošak građevnog materijal za izradu EK. Radi ovog je sigurniji EK i skuplji pri izradi, radi većeg utroška građevnog materijala, a u nekim slučajevima se povećavaju i troškovi eksploatacije naročito kod pokretnih konstrukcija. U zahtjevnijim slučajevima, koji nisu tipični odnosno određeni običajima i propisima, kontradiktornost se rješava racionalnim dimenzioniranjem odnosno optimizacijom. U ovom slučaju se u pravilu definira donji prag sigurnosti. U čvrstoći konstrukcija se rješavaju tri tipska zadatka: 1. Zadan je oblik, opterećenje i građevni materijal EK a treba odrediti poprečni presjek EK tako da budu zadovoljeni kriteriji dimenzioniranja. Ovaj se zadatak rješava pri projektiranju/konstruiranju neke nove konstrukcije. 2. Zadano je opterećenje i oblik EK a treba odabrati građevni materijal i odrediti dimenzije poprečnog presjeka tako da budu zadovoljeni kriteriji dimenzioniranja. Ovaj zadatak je proširenje 1. zadatka s izborom građevnog materijala što omogućuje racionalniju izvedbu konstrukcije u smislu boljeg rješavanja oprečnih zahtjeva sigurnosti i ekonomičnosti konstrukcije. 3. Za neku već izvedenu konstrukciju treba odrediti dopušteno opterećenje. U ovom slučaju poznate su dimenzije poprečnog presjeka i građevni materijal EK pak se iz zadovoljavanja kriterija dimenzioniranja određuje najveće moguće opterećenje. Ovaj se tip zadatka rješava pri prenamjeni neke konstrukcije ili kada se utvrdi značajna istrošenost nekog EK koja bi mogla narušiti funkcionalnost konstrukcije.


CK-POD-02

2. NORMALNO NAPREZANJE Razmatraju se štapovi s konstantnim normalnim naprezanjem u poprečnom presjeku. U principu su to dijelovi konstrukcije koji su vezani za ostale dijelove konstrukcije ili nepomičnu okolinu s cilindričnim ili sfernim zglobovima. Opterećenje se naziva aksijalno jer se pravac njegovog djelovanja poklapa s pravcem kroz težište poprečnih presjeka odnosno s osi štapa. U ovom poglavlju definiraju se naprezanja i deformacije kružnog prstena kod kojeg se u poprečnim presjecima javlja normalno naprezanje. Na kraju poglavlja govori se o enrgiji elastične deformacije štapa.

2.1 AKSIJALNO OPTEREĆENI ŠTAPOVI

2.1.1 Deformacije štapa Štap konstantnog presjeka, slika 2.1.1-1, u neopterećenom stanju ima duljinu l i širinu poprečnog presjeka a. Pod djelovanjem sile F štap se produlji za l∆ a poprečni presjek se suzi za a∆ . Produljenje l∆ i suženje a∆ se mjere a relativno produljenje ε i relativno suženja aε se definiraju

izrazima (2.1.1-1) i (2.1.1-2):

Slika 2.1.1-1 Deformacije aksijalno opterećenog štapa

l

l ∆ = ε (2.1.1-1)

a

aa

∆=ε (2.1.1-2)

Omjer relativnog suženja i relativnog produljenja naziva se Poissonov koeficijent (1828.) i označava se s ν a definira izrazom (2.1.1-3):

ε

εν a− = (2.1.1-3)

Kako su reletivno suženje i reletivno produljenje uvijek suprotnog predznaka Poissonov koeficijent je uvijek pozitivan broj. Vrijednost ovog koeficijenta za metale i metalne legure je približno 0.3. Relativno produljenje aksijalno opterećenog štapa promjenjivog poprečnog presjeka, slika 2.1.1-2, ovisi o položaju poprečnog presjeka:

dx

xx

)(∆ = ε (a)

Produljenje dijela štapa diferencijalne duljine je:

) xdx dxε∆( = (b) a ukupno produljenje štapa je:

0

)l

l dx∆ = ∆(∫ (c)

Slika 2.1.1-2 Produljenje štapa promjenjivog pp

Uzevši u obzir izraz (b) dobije se:

dxll

o

x∫=∆ ε (2.1.1-4)

Za aksijalno tlačno opterećene štapove vrijede izrazi (2.1.1-1) do (2.1.1-4) ali s deformacijama suprotnog predznaka.

2.1.2 Normalno naprezanje Štap konstantnog poprečnog presjeka aksijalno opterećen, slika 2.1.2-1a), sa silama F nalazi se u stanju ravnoteže. Dio tog štapa, slika 2.1.2-1b), bit će u ravnoteži ako pretpostavimo da u poprečnom presjeku štapa, površine A , djeluje sila N , zvana normalna ili uzdužna sila, i da vrijedi:

FN = (a)


CK-POD-02

S gledišta statike sila N je rezultanta paralelnog sistema sila iN , i = 1,2,3,..,n, n je po volji velik prirodan broj, čiji su pravci djelovanja okomiti na poprečni presjek štapa i djeluju na dio površine iA∆ , slika 2.1.2-

1c):

∑=

=n

iiNN

1

(b)

Pretpostavlja se ista veličina sila iN i jednolika raspodjela ovih sila po poprečnom presjeku štapa pak se može napisati:

n

NN i = (c)

n

AAi =∆ (d)

Slika 2.1.2-1 Uzdužna sila i normalno naprezanje u poprečnom presjeku štapa

S gledišta nauke o čvrstoći u poprečnom presjeku štapa postoji normalno naprezanje koje se definira izrazom:

i

i

A

N

∆=ισ (2.1.2-1)

Kako su sile iN i dijelovi površine iA∆ konstantne veličine to je i naprezanje konstantno po

poprečnom presjeku štapa pak se može napisati: ισσ = (e)

Uvrstivši izraze (c), (d) i (e) u izraz (2.1.2-1) dobije se:

A

N=σ (2.1.2-2)

Sila N se može zamijeniti silom F , koristeći (a), u gornjem izrazu pak vrijedi

A

F=σ (2.1.2-3)

Kod štapa promjenjivog poprečnog presjeka, slika 2.1.2-2, pretpostavljajući jednoliku raspodjelu naprezanja u poprečnom presjeku površine xA , čiji je položaj određen koordinatom x , naprezanje se definira izrazom:

xx A

F=σ (2.1.2-4)

Slika 2.1.2-2 Aksijalno opterećen štap promjenjivog pp

Kada na štap djeluje kolinearni sistem sila jF , j =

1,2,3,..,m, a m je po volji velik prirodan broj, praktično je konstruirati dijagram uzdužnih sila, slika 2.1.2-3, pak se naprezanje u poprečnom presjeku štapa određuje po izrazu (2.1.2-2) ali je, primjerice, za poprečni presjek određen koordinatom x uzdužna sila jednaka:

3

m

x jj

N F=

=∑ (2.1.2-4)

O konstrukciji dijagrama uzdužnih sila bit će još govora u poglavlju 5.

Slika 2.1.2-3 Aksijalno opterećen štap s više sila i dijagram uzdužnih sila

Ako se poprečni presjeci mijenjaju po dužini štapa uzima se odgovarajuća površina poprečnog presjeka. Treba istaknuti sljedeće: - pravac djelovanja uzdužnih sila, koje generiraju naprezanje u poprečnom presjeku štapa, poklapa se s pravcem djelovanja vanjskih sila koje opterećuju štap, - težišta svih poprečnih presjeka štapa leže na pravcu koji se poklapa s pravcem djelovanja uzdužnih sila i vanjskih sila koje opterećuju štap,


CK-POD-02

- oblik poprečnog presjeka, bilo da je konstantan ili se mijenja duž štapa, nije spomenut u gornjim razmatranjima pak ne utječe na veličinu naprezanja, - normalno naprezanje u poprečnim presjecima štapa ima pozitivan predznak ako uzdužna sila razvlači štap i naziva se vlačno naprezanje, - normalno naprezanje u poprečnim presjecima štapa ima negativan predznak ako uzdužna sila skraćuje štap i naziva se tlačno naprezanje, Kada raspodjela naprezanja po poprečnim presjecima nije jednolika naprezanje se određuje donjim izrazom:

i

i

A A

N

i∆

=→∆

lim0

σ (2.1.2-5)

2.1.3 Hookeov zakon Deformaciju štapa, produljenje ili skraćenje, i naprezanje u poprečnim presjecima štapa povezuje zakon koji je 1678. postavio Hook: Deformacije su proporcionalne opterećenju. Jednostavnim misaonim pokusom razvlačenja štapa silom F , primjerice kao na slici 2.1.1-1, uspoređujući njegovu deformaciju l∆ s veličinom sile F , duljinom l , površinom poprečnog presjeka A i modulom elastičnosti E , materijala od kojeg je građen štap, zaključuje se:

a) deformacija je to veća što je veća duljina štapa i što je veća sila (opterećenje), b) deformacija je to manja što je veća površina poprečnog presjeka i što je veći modul

elastičnosti. Drugim riječima rečeno: produljenje aksijalno opterećenog štapa proporcionalno je sili i duljini štapa a obrnuto proporcionalno površini poprečnog presjeka štapa i modulu elastičnosti materijala od kojeg je štap građen. Temeljem ovih zaključaka može se napisati:

AE

Fll =∆ (2.1.3-1)

Gornji izraz vrijedi ako su unutrašnje sile N iste veličine u svim poprečnim presjecima. Preuređenjem gornjeg izraza u oblik:

El

l

A

F ∆= (a)

i uzevši u obzir izraze (2.1.2-3) i (2.1.1-1) izraz (a) prelazi u oblik: Eσ ε= (2.1.3-2)

koji predstavlja Hookeov zakon za aksijalno opterećen štap i definira vezu između normalnog naprezanja, deformacije i modula elastičosti. Ispitivanjima razvlačenjem štapa dobiju se dijagrami ovisnosti naprezanja i relativnog produljenja prikazani na slici 2.1.3-1. Hookeov zakon vrijedi u području proporcionalnosti u kojem je naprezanje proporcionalno relativnom produljenju. Deformacija u području proporcionalnosti se naziva elastična deformacija i ona postoji dok je štap opterećen – prestankom djelovanja sile štap se vraća u stanje prije opterećivanja. Granica proporcionalnosti je naprezanje 0.2PR i ona određuje najveću vrijednost dopuštenog naprezanja i dopuštene deformacije štapa. Modul elastičnosti materijala štapa, sukladno izrazu (2.1.3-2), može se definirati izrazom: E tgα= (2.1.3-3)

Slika 2.1.3-1 Dijagram naprezanje-relativno izduženje

Za većinu metala i njihovih legura dijagram prikazan na slici 2.1.3-1 vrijedi i za pokuse tlačenja štapa. Važno je istaknuti da se sva razmatranja u ovom Podsjetniku izvode pod pretpostavkom da veličine naprezanja i deformacija leže u području proporcionalnosti. U tablici 2.3.1-1 dane su veličine naprezanja i produljenja čeličnih, aluminijskih i bakrenih štapova za različite veličine sile F , površine poprečnog presjeka i duljine štapova radi ilustracije odnosa veličina u izrazu (2.1.3-1). Računato je s modulima elastičnosti, E , i naprezanjem na granici proporcionalnosti 0.2PR za:


CK-POD-02

- čelik Č.0361 E = 206000 N/mm2, 0.2PR = 240 N/mm2, - aluminij E = 72000 N/mm2, 0.2PR = 100 N/mm2, - bakar E = 115000 N/mm2, 0.2PR = 120 N/mm2.

Tablica 2.3.1-1 Naprezanja i produljenja čeličnih, aluminijskih i bakrenih štapova

Materijal

Sila N

Duljina štapa mm

Površina popr. presjeka

štapa, mm2

Naprezanje

N/mm2

Produljenje štapa

Produljenje štapa pri RP0.2

mm % mm % (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9)

Čelik Č.0361

30000

3000

200 150 2.18 0.073 3.50

0.116 500 60 0.87 0.029

6000

200 150 4.37 0.073 6.99

0.233 500 60 1.75 0.029

60000

3000

200 150 4.37 0.146 3.50

0.116 500 60 1.75 0.058

6000

200 150 8.74 0.146 6.99

0.233 500 60 3.50 0.058

Aluminij 30000 3000 500 60 2.50 0.083 4.17 0.139 Bakar 30000 3000 500 60 1.57 0.052 3.13 0.104 Izraz (2.1.3-1) izveden je za slučaj da na štap djeluje jedna sila. U slučaju djelovanja više sila produljenja štapa se zbrajaju.

2.1.4 Utjecaj vlastite težine Kod štapova značajne duljine koji su zavješeni na jednom kraju, slika 2.1.4-1, tako da im se os poklapa s pravcem vertikale pri određivanju naprezanja treba uzeti u obzir težinu štapa G . Očito je najveće naprezanje u poprečnom presjeku u A i iznosi:

A

GFA

+=σ (2.1.4-1)

Ovo naprezanje mora biti manje ili jednako dopuštenom naprezanju

dσ :

dA σσ ≤ (a)

Težina štapa računa se kao umnožak njegove mase i ubrzanja zemljine sile teže g ; masa se računa kao umnožak volumena štapa i njegove gustoće ρ a volumen kao umnožak površine A poprečnog presjeka i duljine štapa:

gAlG ρ= (b) Uvrštenjem (a) i (b) u (2.1.4-1) nakon sređenja se dobije:

gl

FA

d ρσ −≥ (2.1.4-2)

Slika 2.1.4-1 Štap pod

djelovanjem vlastite težine

Interesantan je slučaj kada je sila F jednaka nuli a naprezanje jednako prekidnom naprezanju

mR . Tada se iz izraza (2.1.4-2) može odrediti duljina samonosivosti štapa - pri većoj duljini dolazi

do prekida štapa uslijed djelovanja vlastite težine:

g

Rl m

ρ≤ (2.1.4-3)

Primjerice duljina samonosivosti za štap od čelika gustoće 7800 kg/m3 i prekidne čvrstoće od 2100 N/mm2 je 27400 m a za štap od aluminija gustoće 2790 kg/m3 i prekidne čvrstoće od 350 N/mm2 je 13200 m. Izraz (2.1.4-2) vrijedi za štapove konstantnog poprečnog presjeka. Najveće naprezanje, jednako ili manje od dopuštenog naprezanja, javlja se u poprečnom presjeku u A . Naprezanja u ostalim presjecima su manja pak se postavlja problem ekonomičnosti: naime štap bi mogao imati poprečne presjeke čija bi se površina smanjivala idući od A prema B i da u svim presjecima bude naprezanje jednako ili manje od dopuštenog naprezanja. Za ovakove štapove se kažu da su to štapovi jednake čvrstoće a površina poprečnih presjeka im se mijenja po eksponencijalnom zakonu.


CK-POD-02

2.1.5 Statički neodređeni slučajevi Statička neodređenost aksijalno opterećenog štapa ogleda se u nemogućnosti određivanja reakcija veza tog štapa s nepomičnom okolinom ili s drugim elementima konstrukcije, koji su u vezi s njim, iz uvjeta ravnoteže. Statički neodređen štap može se dimenzionirati tek kada se odredi opterećenje koje na njega djeluje odnosno uzdužna sila u njegovom poprečnom presjeku a na čiju veličinu utječu i reakcije veza. Razmotrit će se dva slučaja statičke neodređenosti: - statički neodređen štap, - štap je dio statički neodređene konstrukcije.

Statički neodređen štap Po definiciji aksijalno opterećenje štapa je kolinearni sistem sila koji može imati jedan stupanj slobode gibanja - jednu elementarnu translaciju. Kako je štap u ravnoteži može se postaviti jedan uvjet ravnoteže pak će postojati statička neodređenost ako su u spomenutom kolinearnom sistemu sila dvije i više nepoznatih sila. Primjerice štap AB, slika 2.1.5-1a), vezan je za okolinu s dva cilindrična zgloba koja na njega djeluju s dvije reakcije veza, sile AR i BR , na slici 2.1.5-1b), koje su nepoznate veličine, opterećen je silom F poznate veličine. Mehanički model, karakterističan za statičko razmatranje problema prikazan je na slici 2.1.5-1b). Uvjet ravnoteže govori da suma svih sila koje djeluju po osi x mora biti jednaka nuli:

0A BR F R− + − = (a)

Iz gornje jednadžbe ne mogu se jednoznačno odrediti veličine reakcija veza – nedostaje jedna jednadžba. Kaže se da je razmatrani štap jedanput statički neodređen. Problem se rješava na dva načina: - iz jednakosti deformacija dijelova štapa duljine a i b slijedi dodatni uvjet, - primjenom metode superpozicije. Prema prikazu na slici 2.1.5-1b) na dio štapa AC djeluje sila AR , i produlji ga za al∆ , a na dio štapa

CB djeluje sila BR i skrati ga za bl∆ .Kako se

duljina štapa ne mijenja slijedi:

Slika 2.1.5-1 Statički neodređen štap

al∆ = bl∆ (b)

Deformacije štapa, prema (2.1.3-1) iznose:

al∆ = AR a

AE (c)

bl∆ = BR b

AE (d)

Iz izraza (b), (c) i (d) dobije se:

A B

bR R

a= (e)

Gornji izraz je traženi dodatni uvjet pak se rješenjem jednadžbi (a) i (e) dobiju izrazi koji određuju veličinu reakcija:

A

bR F

l= B

aR F

l= (f)

Za određivanje reakcija veza metodom superpozicije uklanja se veza u B i promatraju se deformacije štapova prikazanih na slici 2.1.5-2: a) na štap djeluju sile 1AR i F i pritom se štap produlji za:

1

Fal

AE∆ = (g)

a reakcija u A jednaka je sili F , b) štap je opterećen sa silama 2AR i BR i pritom se skrati za:

2BR l

lAE

∆ = (h)

a reakcija u A jednaka je sili BR .


CK-POD-02

Da bi reakcje veza i deformacije štapova opterećenih kao na slikama 2.1.5-2 a) i b) odgovarale reakcijama veza i deformaciji štapa prikazanog na slici 2.1.5-1a) treba izjednačiti deformacije il∆ i 2l∆ te zbrojiti

reakcije veza 1AR i 2AR da bi dobili reakciju AR :

1 2B

B

R lFa al l R F

AE AE l∆ = ∆ → = → =

1 2A A A

a bR R R F F F

l l= − + = − + = −

Slika 2.1.5-2 Određivanje reakcija veza metodom superpozicije

Rezultati su jednaki onima u izrazima (f).

Statički neodređene štapne konstrukcije Jednostavne štapne konstrukcije prikazane na slikama 2.1.5-3 i 2.1.5-4 su jedamput statički neodređene. Promatrajući ravnotežu točke D za štapnu konstrukciju u ravnini mogu se postaviti dva uvjeta ravnoteže a nepoznate su sile u tri štapa. Za štapnu konstrukciju u prostoru odnosno za točku E mogu se postaviti tri uvjeta ravnoteže a nepoznate su četiri sile u štapovima. U oba slučaja jedan štap je nepotreban. Dodatni uvjet dobija se analizom deformacija.

Slika 2.1.5-3 Statički neodređena štapna konstrukcija u ravnini

Za štapnu konstrukciju u ravnini na slici 2.1.5-3b) prikazane su deformacije među kojima postoji veza definirana donjim izrazom:

3 2 sinl l α∆ = ∆ (i)

Deformacije štapova, prema (2.1.3-1), iznose:

3 32 22 3

2 3

, F lF l

l lA E A E

∆ = ∆ = (j)

Pomoću izraza (i) i (j) dobije se dodatni, treći, uvjet za određivanje sila u štapovima. Na isti način, analizom deformacija, može se dobiti dodatni, četvrti, uvjet za određivanje sila u štapovima prostorne štapne konstrukcije prikazane na slici 2.1.5-4.

Slika 2.1.5-4 Statički neodređena štapna

konstrukcija u prostoru

Kod štapnih konstrukcija mogu se pojaviti naprezanja u štapovima bez da je ta konstrukcija opterećena. Za primjer ako štapovi za konstrukciju prikazanu na slici 2.1.5-3a) nisu izrađeni s odgovarajućim duljinama, kao na slici 2.1.5-5a) štap 3 je kraći za gl∆ , a konstrukcija se složi tako

da se točke D0 i E poklope u štapovima se pojavljuje naprezanje. Ova se naprezanja zovu početna naprezanja ili naprezanja uslijed montaže. Konstrukcija je statički neodređena pak se sile u štapovima određuju pomoću dodatnog uvjeta koji se dobije analizom deformacija koje su prikazane na slici 2.1.5-5b):

32 sing

ll l

α

∆∆ = ∆ + (k)

Greška gl∆ je obično poznata pak se pomoću izraza (j) i (k) dobije dodatni uvjet. Nakon što se

odrede sile u štapovima može se odrediti i naprezanje u štapovima.


CK-POD-02

Slika 2.1.5-5 Štapna konstrukcija sa štapom 2 čija duljina ne odgovara projektnoj duljini Nakon što se odrede sile u štapovima mogu se koristiti izrazi (2.1.2-3), (2.1.3-1) i (2.1.3-2) za dimenzioniranje štapova ili za računanje naprezanja i deformacija štapova.

2.1.6 Štapovi od dva različita materijala Kod aksijalno opterećenog štapa, slika 2.1.6-1, koji je sastavljen od dva dijela, 1 i 2, čiji su poprečni presjeci pvršine 1A i 2A a moduli elastičnosti 1E i 2E (ovi su dijelovi od različitih materijala)

interesantno je odrediti naprezanja, 1σ i 2σ , sile u svakom dijelu štapa, 1F i 2F , te ekvivalentni

modul elastičnosti E . Pod djelovanjem sila 1F i 2F dijelovi se štapa produlje za 1 l∆ i 2l∆ a pod djelovanjem sile F štap

se produlji za l∆ . Očito vrijedi:

1 l∆ = 2l∆ = l∆ (a)

1 2F F F+ = (b)

Za površinu štapa A vrijedi: 1 2A A A= + (c)

Produljenja dijelova štapa, prema (2.1.3-1) i uzevši u obzir (c), definiraju se donjim izrazima:

Slika 2.1.6-1 Rastezanje štapa izrađenog od dva različita materijala

11

1 1

Fll

A E∆ = 2

22 2

F ll

A E∆ =

Fll

AE∆ = (d)

Sile 1F i 2F mogu se naći iz prva dva od izraza (d) i uzevši u obzir (a) dobije se:

1 11

A EF l

l= ∆ 2 2

2

A EF l

l= ∆ (e)

Uvrstivši izraze (e) u (b) dobije se izraz koji određuje produljenje štapa:

1 1 2 2

Fll

A E A E∆ =

+ (2.1.6-1)

Izjednačenjem gornjeg izraza s trećim od izraza (d) dobije se izraz koji definira ekvivalentni modul elastičnosti E :

1 1 2 2

1 2

A E A EE

A A

+=

+ (2.1.6-2)

Srednje naprezanje u štapu i naprezanja u dijelovima štapa su po definiciji:

F

Aσ = 1

11

F

Aσ = 2

22

F

Aσ = (f)

Uvrstivši izraze (e) u zadnja dva od izraza (f) dobiju se izrazi koji određuju naprezanja u dijelovima štapa:

(2.1.6-3)


CK-POD-02

2.1.7 Termičko naprezanje Pri promjeni temperature materijala štapa mijenjaju se dimenzije štapa. Razmatrat će se promjena duljine Tl∆ koju karakterizira koeficijent toplinskog rastezanja α . Štap, slika 2.1.7-1, ima duljinu

1l pri temperaturi 1T a duljinu 2l pri temperaturi 2T .

Promjena temperature materijala štapa je: 2 1T T T∆ = − (a)

a promjena duljine štapa je određena donjim izrazom: Tl l Tα∆ = ∆ (2.1.7-1)

Dakle produljenje štapa proporcionalno je umnošku duljine štapa i promjene temperature materijala štapa a faktor proprcionalnosti je koeficijent temperaturnog rastezanja α materijala štapa. Dimenzija ovog koeficijenta je K-1.

Slika 2.1.7-1 Deformacija štapa pri promjeni temperature materijala štapa

Termička deformacija je produljenje ako je T∆ pozitivno a skraćenje ako je T∆ negativno. Ukoliko je spriječena promjena duljine štapa, slika 2.1.7-2, u poprečnim presjecima štapa javlja se naprezanje. Veličinu ovog naprezanja određuje se pomoću relativnog produljenja štapa Tε koje se

određuje iz (2.1.7-1): T Tε α= ∆ (2.1.7-2)

Po Hookeovom zakonu, izraz (2.1.3-2), termičko naprezanje Tσ se određuje donjim izrazom:

T T Eσ α= ∆ (2.1.7-3)

Termičko naprezanje je vlačno ili tlačno u skladu s termičkom deformacijom. Termička deformacija i termičko naprezanje pribrajaju se deformacijama i naprezanju od opterećenja.

Slika 2.1.7-2 Štap kojemu je spriječena deformacija uslijed promjene temperature

Primjer 2.1.7-1 Tramvajske šine spojene su zavarivanjem, u zimskim uvjetima, pri temperaturi 50 C. Temperatura šina naraste na 500 C, u ljetnim mjesecima. Za pravocrtni dio tramvajske pruge duljine 1000 m odrediti: a) naprezanje i uzdužnu silu u poprečnom presjeku šina ako su krajevi šina čvrsto vezani za nepomičnu okolinu, b) produljenje šina kad ne bi bile vezane za nepomičnu okolinu, c) prirast temperature pri kojem naprezanje u šinama postane jednako granici tečenja od 240 N/mm2 (krajevi šina čvrsto su vezani za nepomičnu okolinu). Koeficijent termičkog širenja čelika je 12x10-6 a površina poprečnog presjeka šine je A = 6297 mm2. Računati s modulom elastičnosti E = 206000 N/mm2.

Rješavanje: a) Naprezanje se određuje uzrazom (2.1.7-3): ( )6 12 10 50 5 206000T T Eσ α −= ∆ = ⋅ ⋅ − ⋅ = 111.24 N/mm2

Uzdužna sila se određuje kao umnožak prije izračunatog naprezanja i površine poprečnog presjeka šine: 6297 111.24TN A σ= = ⋅ = 700478.28 N b) Produljenje se računa po izrazu (2.1.7-1): ( )6 12 10 1000 1000 50 5Tl l Tα −∆ = ∆ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − = 540 mm

c) Prirast temperature pri kojem će termičko naprezanje postati jednako granici tečenja nađe se iz izraza (2.1.7-3):

6

240 =

12 10 206000TTE

σ

α −∆ = =

⋅ ⋅97.090C


CK-POD-02

2.2 NORMALNA NAPREZANJA U KRUŽNOM PRSTENU

2.2.1 Kotlovska formula Kružni prsten konstantnog pravokutnog poprečnog presjeka, širine b i debljine d, čija težišta leže na kružnici, dio je plohe cilindričnih kotlova, čvrstog trupa podmornice, cilindričnog dijela trupa aviona, hidrauličnih cilindara, cijevi i sličnih formi. Opterećenje kružnog prstena, slika 2.2.1-1a), je pritisak p bilo vanjski ili unutarnji. Za mehanički model kružnog prstena, slika 2.2.1-1b) postavlja se uvjet ravnoteže:

0yR =

0

2 sinN dFπ

α− + = 0∫ (a)

Sila diferencijalne veličine dF koja djeluje na direrencijalnu površinu kružnog prstena određuje se kao umnožak pritiska i te površine: dF r d b pα= (b)

Slika 2.2.1-1 Opterećenje i unutarnje sile kod kružnog prstena

Uzevši u obzir djelovanje sila dF na promatranu polovinu kružnog prstena, integracijom od 0α = do =α π , unutarnja sila N se određuje izrazom:

0

1 b p sin d

2N r

π

α α= ∫ (c)

Nakon integracije dobije se: N r b p= (2.2.1-1)

Naprezanje u poprečnom presjeku kružnog prstena dobije se dijeljenjem sile N s površinom d b× poprečnog presjeka:

N

d bσ = (d)

Uvrštenjem (2.2.1-1) u (d) dobije se kotlovska formula: p r

dσ = (2.2.1-2)

Ova jednostavna a vrlo djelotvorna formula ima mnogostruku primjenu i zaslužna je za razvoj transporta ljudi i tereta željeznicom te fluida u sustavima vodovoda i hidraulike. Deformacija kružnog prstena izražena promjenom duljine radijusa određuje se polazeći od relativnog produljenja i Hookeovog zakona:

r

r E

σε

∆= = (e)

Iz izraza (e) nakon uvrštenja izraza (2.2.1-2) dobije:

r

rE

σ∆ = (2.2.1-3)

2.2.2 Termička deformacija i naprezanje u kružnom prstenu Radijus kružnog prstena, prije promjene njegove temperature, definiran je na slici 2.2.2-1. Polazi se od izraza (2.1.7-1) u koji se uvrštava opseg kružnog prstena 2rπ :

2 Tl r Tα π∆ = ∆ (a)

Opseg kružnog prstena nakon promjene njegove temperature određuje se donjim izrazom:

( )2 2 2r r T r rπ α π π+ ∆ = + ∆ (b)

iz kojeg se može odrediti promjena duljine radijusa kružnog prstena:

r T rα∆ = ∆ (2.2.2-1)

Slika 2.2.2-1 Kružni prsten s početnom temperaturom

Relativno produljenje radijusa je, po definiciji, jednako:

T

r

rε

∆= (c)


CK-POD-02

Uvrstivši izraz (2.2.2-1) u (c) dobije se isti izraz kao (2.1.7-2):

T Tε α= ∆ (d)

Ako je deformacija kružnog prstena spriječena u njegovim poprečnim presjecima pojavljuje se termičko naprezanje koje je, prema Hookeovom zakonu, određeno izrazom (2.1.7-3):

T T Eσ α= ∆ (2.2.2-2)

2.2.3 Naprezanje u rotirajućem kružnom prstenu Kružni prsten, koji rotira s konstantnom kutnom brzinom ω oko osi kroz točku O, prikazan je na slici 2.2.3-1a). Opterećenje kružnog prstena je od centrifugalne sile raspoređene po dijelićima mase kružnog prstena i može se tretirati kao pritisak p u 2.2.1. Radi određivanja ovog pritiska definira se centrifugalna sila, slika 2.2.3-1b), koja djeluje na diferencijalni dio mase kružnog prstena:

N NdL dm a= (a)

Normalno ubrzanje je: 2 ωNa r= (b)

Diferencijal mase, izražen umnoškom gustoće ρ i diferencijala volumena, definira se izrazom (c):

dm r d d bα ρ= (c)

Slika 2.2.3-1 Opterećenje kružnog prstena pri rotaciji s kutnom brzinom ω

U izrazu (c) d je debljina a b je širina kružnog prstena. Predpostavlja se da sila NdL djeluje na

diferencijalnu površinu: dA r d bα= (d)

pak se pritisak p definira: 2

r d d b rp

r d b

α ρ ω

α= (e)

Nakon sređenja izraza (e) dobuje se: 2 ω p r dρ= (2.2.3-1)

Uvrštenjem izaraza (2.2.3-1) u kotlovsku formulu, (2.2.1-2) dobije se izraz koji određuje naprezanje u poprečnim presjecima kružnog prstena, izrađenog od materijala gustoće ρ , koji rotira kutnom brzinom ω :

2 2 r ωσ ρ= (2.2.3-2)

2.3 ENERGIJA ELASTIČNE DEFORMACIJE ŠTAPA Energija elastične deformacije aksijalno opterećenog štapa je potencijalna enegija PE akumulirana

u štapu i jednaka je mehaničkom radu 12W kojeg izvrši sila elstične deformacije pri produljenju štapa za l∆ . Po definiciji uzdužna sila u štapu je: xN c x= − (a)

Kako je prije rečeno vrijedi: 12PE W= (b)

Mehanički rad uzdužne sile je:

12

0 0

l l

xW N dx c x dx∆ ∆

= = −∫ ∫ (c)

Izjednačenjem (b) i (c) dobije se:

( )21

2PE c l= ∆ (d)

Slika 2.3-1 Skica za određivanje energije elastične deformacije štapa

Konstanta elastičnosti štapa c dobije se pomoću izraza (2.1.3-1). Prvo se sila F zamjeni silom N i izrazi sila N :

A EN l

l= ∆ (e)


CK-POD-02

Sila N se može izraziti i po definiciji elastične sile:

N c l= ∆ (f) Usporedbom izraza (e) i (f) konstanta elastičnosti štapa određuje se izrazom:

A Ec

l= (2.3-1)

Uvrstivši (2.3-1) u (d) dobije se: 21

( )2P

A EE l

l= ∆ (2.3-2)

Izrazi li se produljenje iz izraza (e) i zamjeni u gornjem izrazu dobije se još jedan izraz koji definira energiju elastične deformacije štapa:

21

2 P

N lE

A E= (2.3-3)

Energija elastične deformacije štapa može se izraziti pomoću naprezanja: 21

2PE A l

E

σ= (2.3-4)

uz napomenu da mora biti zadovoljeno:

0.2PRσ ≤ (g)

jer se radi o energiji elastične deformacije. Interesantno je odrediti energiju elastične deformacije po volumenu štapa, /P VE , koja se mjeri u

Nm/m3. U tu svrhu izraz (2.3-4) treba podijeliti s volumenom koji je jednak A l pak se dobije:

2

/

1

2P VEE

σ= (2.3-5)

Energija elastične deformacije po masi štapa, /P mE , koja se mjeri u Nm/kg dobije se dijeljenjem izraza (2.3-4) s masom štapa ( ρ je gustoća materijala štapa): m A l ρ= (h)

2

/

1

2P mEE

σ

ρ= (2.3-6)

U tablici 2.3-1 dane dane su energije elastične deformacije po volumenu i masi za neke tehničke materijale.

Tablica 2.3-2 Specifične energije elastične deformacije štapa

Materijal

Gustoća kg/m3

Modul E N/mm2

0.2PRσ =

N/mm2 /P VE

Nm/m3 /P mE

Nm/kg Aluminijska slitina AlMg3 2700 72000 80 44444.4 16.5 Bakar 8930 115000 30 3913.0 0.44 Čelik Č.0361 7850 206000 240 139805.8 17.8 Čelik Č.0561 7850 206000 360 314563.1 40.1 Čelik Č.2133 7850 206000 1130 3099271.9 394.8 Guma 930 14 2.1 157500.0 169.4 Hrastovina 850 13000 30 34615.4 40.7 Prema podacima u gornjoj tablici najviše se energije po jedinici volumena može akumulirati u štapu od čelika Č.2133 koji je čelik za opruge. Energija akumulirana po jedinici mase također je najveća za taj čelik ali je vrlo velika i za štap od gume. Produljenje štapa i naprezanje u poprečnim presjecima štapa u ovisnosti o energiji elastične deformacije određuje se pomoću izraza (2.3-7) i (2.3-8):

2

Pl E

lA E

∆ = (2.3-7)

2

PE E

A lσ = (2.3-8)

koji su dobiveni iz izraza (2.3-2) i (2.3-4). Iz istih se izraza može odrediti površina poprečnog presjeka za dopušteno produljenje dl∆ i graničnu vrijednost naprezanja 0.2PRσ ≤ :


CK-POD-02

( )

2

2 P

d

l EA

E l≥

∆ (2.3-9)

2

0.2

2

P

P

E EA

R l≥ (2.3-10)

2.4 RJEŠAVANJE PROBLEMA Osnovni posao je dimenzioniranje odnosno određivanje površine poprečnog presjeka štapa i debljine kružnog prstena uz zadovoljenje dvaju uvjeta:

- normalno naprezanje σ u poprečnom presjeku mora biti manje ili jednako dopuštenom naprezanju dσ , - produljenje l∆ za štap i r∆ za kružni prsten moraju biti manji ili jednaki dopuštenom produljenju dl∆ za štap i dr∆ za kružni prsten.

Dodatni posao je za štap poznate površine poprečnog presjeka odnosno za kružni prsten poznate debljine određivanje veličine normalnog naprezanja σ i produljenja l∆ odnosno r∆ . Navedeni poslovi obavljaju se kroz četiri zadatka koristeći prije izvedene izraze za rješavanje 1. i 2. zadatka koji se odgovarajuće modificiraju za rješavanje 3. i 4. zadatka.

1. zadatak računanje normalnih naprezanja - štap

A

F=σ (2.1.2-3)

Eσ ε= (2.1.3-2) - štap s utjecajem vlastite težine

A

GFA

+=σ (2.1.4-1)

- štapovi od dva različita materijala

(2.1.6-3) - termičko naprezanje u neslobodnom štapu

T T Eσ α= ∆ (2.1.7-3)

- kružni prsten p r

dσ = (2.2.1-2)

- termičko naprezanje u kružnom prstenu T T Eσ α= ∆ (2.2.2-2)

- naprezanje u rotirajućem prstenu 2 2 r ωσ ρ= (2.2.3-2)

- štap koji je akumulirao energiju elastične deformacije PE

2

PE E

A lσ = (2.3-8)

2. zadatak računanje produljenja - štap

AE

Fll =∆ (2.1.3-1)


1 1 2 2

Fll

A E A E∆ =

+ (2.1.6-1)

- termičko produljenje slobodnog štapa Tl l Tα∆ = ∆ (2.1.7-1)

- kružni prsten – produljenje radijusa


CK-POD-02

r

rE

σ∆ = (2.2.1-3)

- termičko produljenje radijusa kružnog prstena r T rα∆ = ∆ (2.2.2-1)


2

Pl E

lA E

∆ = (2.3-7)

3. zadatak dimenzioniranje po dopuštenom naprezanju - štap

dd

F FA

Aσ σ

σ= ≤ → ≥ (2.1.2-3a)

- štap s utjecajem vlastite težine

gl

FA

d ρσ −≥ (2.1.4-2)


(2.1.6-3a) - termičko naprezanje u neslobodnom štapu

T dT Eσ α σ= ∆ ≤ (2.1.7-3a)

- kružni prsten

dd

p r p rd

dσ σ

σ= ≤ → ≥ (2.2.1-2a)

- termičko naprezanje u kružnom prstenu T dT Eσ α σ= ∆ ≤ (2.2.2-2)

- naprezanje u rotirajućem prstenu 2 2 r ω dσ ρ σ= ≤ (2.2.3-2a)


2

0.2

2

P

P

E EA

R l≥ (2.3-10)

4. zadatak dimenzioniranje po dopuštenom produljenju - štap

dd

Fl Fll l A

AE l E∆ = ≤ ∆ → ≥

∆ (2.1.3-1a)


1 1 2 2d

Fll l

A E A E∆ = ≤ ∆

+ (2.1.6-1)

- termičko produljenje slobodnog štapa T dl l T lα∆ = ∆ ≤ ∆ (2.1.7-1a)

- kružni prsten – produljenje radijusa

d

rr r

E

σ∆ = ≤ ∆ (2.2.1-3a)

- termičko produljenje radijusa kružnog prstena dr T r rα∆ = ∆ ≤ ∆ (2.2.2-1a)


( )

2

2 P

d

l EA

E l≥

∆ (2.3-9)


CK-POD-02

3. SMIČNO NAPREZANJE O smičnom naprezanju u štapovima govorit će se sada i kada se bude razmatralo uvijanje štapa. Sada će se razmatrati odrezno opterećenje štapa, slika 3-1a), i opterećenje koje izaziva smicanje ili klizanje u materijalu štapa ili u spoju dvaju štapova, slika 3-1b).

Slika 3-1 Modeli za smik: a) odrez i b) smicanje ili klizanje; štapovi su širine b Naprezanje u slučaju prikazanom na slici 3-1a sadrži, osim smičnog naprezanja, gnječenje materijala koje se uključuje u smično naprezanje. Smičnom naprezanju često se pridružuje atribut tangencijalno za razliku od normalnog jer se smično naprezanje javlja u ravnini poprečnog presjeka koja se može smatrati tangencijalnom ravninom poprečnog presjeka. Pravci normalnog naprezanja i smičnog naprezanja međusobno su okomiti.

3.1 NAPREZANJE Štapovi konstantnog poprečnog presjeka spojeni, slika 3-1b), na površini A , spojem duljine a i širine b , aksijalno su opterećeni sa silama F i nalaze se u stanju ravnoteže. Lijevi štap, slika 3.1-1a), bit će u ravnoteži ako pretpostavimo da u spojnoj površini A djeluje sila Q i da vrijedi:

Q F= (a) S gledišta statike sila Q je rezultanta paralelnog sistema sila iQ , i = 1,2,3,..,n, a n je po volji velik prirodan broj, čiji su pravci djelovanja paralelni s osi štapa i leže u spojnoj površini, djeluju na dio spojne površine iA∆ , slika 3.1-1b):

1

n

ii

Q Q=

=∑ (b)

Pretpostavlja se ista veličina sila iQ i jednolika raspodjela ovih sila po spojnoj površini pak se može napisati:

i

QQ

n= (c)

n

AAi =∆ (d)

Slika 3.1-1 Sila smicanja i srednje smično naprezanje

S gledišta nauke o čvrstoći u spojnoj površini štapova postoji smično naprezanje koje se definira izrazom:

i

i

Q

Aιτ =∆

(3.1-1)

Kako su sile iQ i dijelovi spojne površine štapova iA∆ konstantni to je i smično naprezanje

konstantno pak se može napisati: ιτ τ= (e)

Uvrstivši izraze (c), (d) i (e) u izraz (3.1-1) dobije se: Q

Aτ = (3.1-2)

Sila Q se može zamijeniti silom F , koristeći (a), u gornjem izrazu pak vrijedi


CK-POD-02

F

Aτ = (3.1-3)

Površina A se zove smična površina a sila Q smična sila. Kako je već napomenuto u modelu definiranom slikom 3-1a) osim smičnog naprezanja pojavljuje se, u manjoj ili većoj mjeri gnječenje materijala štapa. No i u ovakovim slučajevima koristi se izraz (3.1-3) a za naprezanje se kaže da je srednje smično naprezanje. Smična površina je površina poprečnog presjeka štapa. Kada raspodjela smičnog naprezanja po spojnoj odnosno smičnoj površini nije jednolika smično naprezanje se određuje donjim izrazom:

0lim

i

i

A i

Q

Aτ

∆ →

=∆

(2.1.2-5)

3.2 DEFORMACIJE Spoj štapova na koje djeluju sile F , slika 3-1b), značajno uvećan i s debljinom c prikazan je na slici 3.2-1. Prije djelovanja sila F na štapove razmatrani spoj imao je formu kvadra koji se je deformirao u paralelopiped (na slici je dan pogled na spoj pak se vidi deformacija pravokutnika u paralelogram): gornji štap je otklizao u desno u odnosu na donji štap za ∆c. Treba imati na umu da su i debljina spoja c i posmik c∆ vrlo male veličine. Jednostavnim misaonim pokusom, slično kao kod razvlačenja štapa, uspoređujući deformaciju, posmik

c∆ , s opterećenjem, sile F, debljinom spoja, površinom spoja A i modulom smika G materijala štapova i spoja, zaključuje se:

c) deformacija je to veća što su veći opterećenje i debljina spoja,

d) deformacija je to manja što su veći površina spoja i modul smika.

Drugim riječima rečeno: posmik spoja štapa proporcionalan je opterećenju i debljini spoja a obrnuto proporcionalan površini spoja i modulu smika.

Slika 3.2-1 Smična deformacija spoja štapova

Temeljem ovih zaključaka može se napisati:

F cc

A G∆ = (3.2-1)

Uobičajeno je promatrati smičnu deformaciju kvadratnog elementa spoja stranice c , slika 3.2-2, koji se radi smičnih naprezanja τ deformira u romb. Smična naprezanja djeluju u parovima, prema dva nasuprotna vrha romba, i iste su veličine što slijedi iz ravnoteže elementa. Razlikuju se dvije vrste deformacije: - posmik c∆ koji se naziva apsolutni smik, - kut smika γ ili relativni smik.

Slika 3.2-2 Smična deformacija elementa spoja štapova

Veza između apsolutnog i relativnog smika vidi se na slici 3.2-2:

c

tgc

∆γ = (a)

Kako je već rečeno relativni i apsolutni smik su male veličine pak je onda i kut smika mali kut te se koristi približenje da je tangens malog kuta jednak samom kutu:

c

c

∆γ = (3.2-2)

Preuređenjem izraza (3.2-1) i uzevši u obzir gornji i izraz (3.1-3) dobije se: Gτ γ= (3.2-3)


CK-POD-02

Gornji izraz se zove Hookeov zakon za smik i povezuje smično naprezanje s relativnim smikom i modulom smika kao što je Hookeov zakon za normalno naprezanje povezivao relativno produljenje i modul elastičnosti. Valjanost Hookeovog zakona za smik potvđuje se pokusima kojima se dobija zavisnost između smičnog naprezanja i relativnog smika prikazana na slici 3.2-3. Na ovoj slici uočava se područje proporcionalnosti i granice proporcionalnosti. Granica proporcionalnosti po naprezanju je

Pτ a po relativnom smiku kut smika Pγ čija je veličina oko

1/1000 radijana. Smično naprezanje mτ je prekidno naprezanje smika.

Slika 3.2-3 Dijagram smično naprezanje - relativni smik

Modul smika može se izraziti kao tangens kuta kojeg pravac proporcionalnosti zatvara s apscisom.

3.3 RJEŠAVANJE PROBLEMA Osnovni posao je dimenzioniranje: određivanje smične površine odnosno odgovarajuće površine poprečnog presjeka štapa ili površine spoja štapova uz zadovoljenje dvaju uvjeta:

- smično naprezanje τ u poprečnom presjeku mora biti manje ili jednako dopuštenom naprezanju dτ , - relativni smik γ mora biti manji ili jednak dopuštenom relativnom smiku dγ .

Dodatni posao je za poznatu smičnu površinu odrediti veličine smičnog naprezanja τ i relativnog smika γ . Navedeni poslovi obavljaju se kroz četiri zadatka koristeći prije izvedene izraze za rješavanje 1. i 2. zadatka koji se odgovarajuće modificiraju za rješavanje 3. i 4. zadatka.

1. zadatak računanje smičnih naprezanja

F

Aτ = (3.1-3)

2. zadatak računanje smičnih deformacija

F cc

A G∆ = (3.2-1)

c

c

∆γ = (3.2-2)

3. zadatak dimenzioniranje po dopuštenom naprezanju

dd

F FA

Aτ τ

τ= ≤ → ≥ (3.1-3a)

4. zadatak dimenzioniranje po dopuštenim smičnim deformacijama

dd

F c F cc c A

A G G c∆ = ≤ ∆ → ≥

∆ (3.2-1a)

d

d

c F FA

c A G Gγ

γ

∆γ = = ≤ → ≥ (3.2-2a)


CK-POD-02

4. VIŠEOSNO NAPREZANJE Kod aksijalnog opterećenja štapa uobičajeno je govoriti o normalnom naprezanju u poprečnom presjeku okomitom na os štapa odnosno okomitom na pravac djelovanja opterećenja. U pokusima razvlačenja štapa od mekog čelika dominatne i presudne deformacije dešavaju su u poprečnom presjeku koji zatvara kut od 450 s pravcem razvlačenja. Ove deformacije, Lüdersove linije, vidljive su golim okom i nastaju radi smičnih naprezanja. Može se reći da postoji neka veza između normalnog i smičnog naprezanja u slučaju kada opterećenje djeluje po jednom pravcu. EK često su opterećeni po više pravaca zato se analizira veza između deformacija i normalnih i smičnih naprezanja u poprečnim presjecima koji zatvaraju različite kutove s pravcima opterećenja. Jedan od razloga je potreba određivanja najvećih naprezanja a radi činjenice da su neki materijali različito otporni na normalna i smična naprezanja. U općem slučaju analizira se jedno, dvo i troosno opterećenje. Ovdje će se razmatrati jedno i dvoosno opterećenje i odgovarajuća naprezanja.

4.1 NORMALNO I SMIČNO NAPREZANJE KOD JEDNOOSNOG OPTEREĆENJA Na slici 4.1-1 poprečni presjek koji sadrži pravac pr okomit je na os štapa i pravac opterećenja i ima površinu A . Poprečni presjek koji sadrži pravac ps zatvara kut ϕ s poprečnim presjekom A

i ima površinu 'A . Između površina ovih dvaju presjeka postoji jednostavan odnos: ' cosA A ϕ= (a) Presječe li se razmatrani štap, slika 4.1-2, po pravcu ps lijevi dio štapa bit će u ravnoteži ako u poprečnom presjeku djeluje sila N i ako je ispunjen uvjet ravnoteže: N F= (b) Sila N se može rastaviti na dvije komponente: - nN koja djeluje po pravcu normale na poprečni presjek, pravac n, - tN koja djeluje po pravcu tangente na poprečni presjek, pravac t. Veličine ovih sila, uzevši u obzir (b), su: cosnN F ϕ= (c)

sintN F ϕ= (d)

Normalno naprezanje u poprečnom presjeku okomitom na os x definirano je izrazom:

x

F

Aσ = (e)

a normalno naprezanje u poprečnom presjeku koji sadrži pravac ps izrazom:

'n

n

N

Aσ = (f)

Slika 4.1-1 Različiti poprečni presjeci

Slika 4.1-2 Sile u poprečnom presjeku koji sadrži pravac ps

Slika 4.1-3 Naprezanja u poprečnom presjeku koji sadrži pravac ps

Izraz (f) se transformira pomoću izraza (a), (c) i (e):

2cosn

F

Aσ ϕ= (g)

2cosn xσ σ ϕ= (4.1-1)

Smično naprezanje u poprečnom presjeku koji sadrži pravac ps definira se izrazom:

'tN

Aτ = (h)

Izraz (h) se transformira pomoću izraza (a), (d) i (e):

sin cosF

Aτ ϕ ϕ= (i)

1

sin 22 xτ σ ϕ= (4.1-2)


CK-POD-02

Izrazi (4.1-1) i (4.1-2) definiraju normalno i smično naprezanje u bilo kojem poprečnom presjeku, određenom kutom ϕ , u ovisnosti o normalnom naprezanju xσ u poprečnom presjeku okomitom na os štapa i pravac djelovanja opterećenja. Najveće vrijednosti normalno i smično naprezanje imaju u poprečnim presjecima za koje je ϕ :

- 0ϕ = za normalno naprezanje:

( )maxn xσ σ= (4.1-3)

- 4

πϕ = za smično naprezanje:

max

1

2 xτ σ= (4.1-4)

Zavisnosti razmatranih naprezanja o kutu ilustriraju se pomoću Mohrove kružnice prikazane na slici 4.1-4.

Slika 4.1-4 Mohrova kružnica za jednoosno opterećenje

4.2 DVOOSNO NORMALNO OPTEREĆENJE Razmatra se kvadrat, slika 4.2-1, opterećen po osima x i y pak se na njegovim stranicama

pojavljuju normalna naprezanja xσ i yσ . Kvadrat je u ravnotežnom stanju.

U poprečnom presjeku čija normala zatvara kut ϕ s osi x , slika 4.2-1, djeluje normalno i smično naprezanje:

2 2cos sinn x yσ σ ϕ σ ϕ= + (4.2-1)

( )1sin 2

2 x yτ σ σ ϕ= − (4.2-2)

Ova naprezanja se dobiju pomoću izraza 4.1-1 i 4.1-2 zbrajajući djelovanje opterećenja po osima x i y . Naprezanja nσ i τ su prikazana na Mohrovoj kružnici, slika 4.2-2, za razmatrani poprečni presjek određen kutom ϕ . U poprečnom presjeku koji je okomit na prethodni, određen kutom 090ϕ + djeluju naprezanja 1nσ i -τ koja su također prikazana na slici 4.2-2 a određena su izrazima:

2 21 sin cosn x yσ σ ϕ σ ϕ= + (4.2-1)

( )1sin 2

2 y xτ σ σ ϕ= − (4.2-2)

Radi nalaženja veze između modula elastičnosti E i modula smika G razmatraju se naprezanja i deformacije kvadrata, prikazanih na slici 4.2-3.

Slika 4.2-1 Dvoosno normalno opterećenje

Slika 4.2-2 Mohrova kružnica za dvoosno normalno opterećenje

Na kvadrat stranica a djeluju normalna naprezanja xσ ,

vlačno, i yσ , tlačno, iste veličine. U stranicama kvadrata

stranica b djeluje smično naprezanje τ koje je iste veličine kao i normalna naprezanja što proizlazi iz Mohrove kružnice prikazane na slici 4.2-4. Na slici 4.2-3 se vidi: - trokut ABO deformirao se u trokut A1B1O, - kut OAB se smanjio i sada kut O A1B1 iznosi 450 - γ / 2, - stranica a se je produljila i skratila za a∆ . Temeljem rečenog može se napisati:

Slika 4.2-3 Normalno i smično opterećeni elementi i njihove deformacije

2 cos4 2

a a

b

π+ ∆

γ = −

(a)

Razvojem cosinusa i preuređenjem lijeve strane izraza (a) dobije se:


CK-POD-02

1cos cos sin sin

2 4 2 4 2

aa

a

b

π π

∆ + γ γ = + (b)

Gornji izraz se trensformira razvojem cosinusa na lijevoj strani i uzevši u obzir da je sinus malog kuta jednak kutu:

cos 1 cos (sin )4 4 4 2

a

a

π π π∆ γ + = +

(c)

Nakon skraćenja se dobije:

Slika 4.2-4 Mohrova kružnica za elemente prikazane slikom 4.2-3

1 12

a

a

∆ γ+ = + (d)

Relativno produljenje stranice a sastoji od produljenja uslijed djelovanja naprezanja xσ i yσ :

yxa

a E E

σσε ν

∆= = + (e)

U pisanju gornjeg izraza korišten je izraz (2.1.1-3) s promijenjenim predznakom jer naprezanje yσ

doprinosi produljenju stranice a . Simboli xσ i yσ zamijenjeni su s σ jer su ta naprezanja iste

veličine pak se konačno dobije:

( )1a

a E

σ∆= + ν (f)

Kako je σ τ= i Gγ τ= / iz izraza (f) se dobije izraz koji definira vezu između modula elastičnosti E i modula smika G :

( )2 1

EG =

+ ν (4.2-4)

4.3 OPĆI SLUČAJ DVOOSNOG OPTEREĆENJA U općem slučaju dvoosnog opterećenja, prikazanog na slici 4.3-1, traže se najveće vrijednosti normalnog, 1σ i 2σ , te smičnog naprezanja maxτ . Problem se rješava pomoću Mohrove kružnice konstruirane na slici 4.3-2 odakle se nalazi:

2

21 2 2

x y x yσ σ σ σσ τ

+ − = + +

(4.3-1)

2

22 2 2


+ − = − +

(4.3-2)

22

x y

tgτ

ϕσ σ

= −−

(4.3-3)

2

21 2max 2 2

x yσ σσ στ τ

− −= = +

(4.3-4)

Slika 4.3-1 Opći slučaj dvoosnog opterećenja

Slika 4.3-2 Mohrova kružnica za opći slučaj dvoosnog opterećenja


CK-POD-02

5. ČVRSTOĆA GREDE Greda je štap opterećen savojno a opterećenje može biti: - od dva sprega istog momenta a suprotnog smjera djelovanja - u ovom slučaju se u poprečnom presjeku pojavljuje normalno naprezanje koje se linearno mijenja po visini poprečnog presjeka, - kontinuiranim opterećenjem, silama i spregovima - u ovom slučaju se u poprečnom presjeku pojavljuje normalno i smično naprezanje koje se mijenja po visini poprečnog presjeka. Dimenzioniranjem grede treba postići da veličine obje vrste naprezanja budu manje od dopuštenih vrijednosti. Pritom je važan oblik poprečnog presjeka čak važniji od njegove površine. Također se razmatra i promjena oblika grede koja od pravčaste forme prelazi savijanjem, pod djelovanjem opterećenja, u zakrivljenu formu.

5.1 UNUTARNJE SILE I MOMENTI SAVIJANJA U prvoj fazi razvijanja teorije savijanja grede definira se stanje u poprečnom presjeku grede. Uobičajeno je presjeći gredu na dva dijela i pretpostaviti da u nastalim poprečnim presjecima djeluju unutarnje sile i unutarnji momenti koji drže ravnotežu vanjskom opterećenju koje djeluje na pojedini dio grede. U općem slučaju govori se o tri unutarnje sile N , xQ i zQ i tri unutarnja sprega

sila predstavljena s tri momenta xM , yM i zM , slika 1.1-7. Ovdje će se razmatrati samo tri od

navedenih veličina: uzdužna sila N , poprečna sila Q i moment savijanja M . Unutarnje sile i momenti su zapravo rezultante naprezanja koje djeluje u poprečnom presjeku grede što se definira u drugoj fazi razvijanja teorije savijanja grede. Zamjena naprezanja s njegovim rezultantama ima i praktične razloge: veličina unutarnjih sila i momenata određuje se metodama statike koristeći uvjete ravnoteže. Često se unutarnje sile i momenti proučavaju u statici.

5.1.1 Definicije unutarnjih sila i momenata savijanja Greda prikazana na slici 5.1.1-1 je u stanju ravnoteže a opterećena je s dva sistema vanjskih sila:

, 1,2,3,..., ; 1,2,3,...,i jF i n F j m= = (a)

koji sadrže i reakcije veza. Sistem sila iF djeluje na lijevi dio grede, od A do P, a sistem sila jF na

desni dio grede od P do B. Ravnoteža grede definirana je s donjim uvjetima ravnoteže:

1 1

cos cos 0n m

x i i j ji j

R F F= =

= α + α =∑ ∑ (b)

1 1

sin sin 0n m

y i i j ji j

R F F= =

= α + α =∑ ∑ (c)

1 1

0ji

n mFF

T T Ti j

M M M= =

= + =∑ ∑ (d) Slika 5.1.1-1 Greda u ravnoteži

Unutarnje sile i momenti definiraju se temeljem prikaza na slikama 5.1.1-2 i 5.1.1-3.

1

0 cos 0n

x D i ii

R N F=

= → + α =∑ (5.1.1-1)

1

0 Q sin 0n

y D i ii

R F=

= → + α =∑ (5.1.1-2)

1

0 0i

nF

P D Pi

M M M=

= → + =∑ (5.1.1-3)

Slika 5.1.1-2 Lijevi dio grede u ravnoteži

1

0 cos 0m

x L j jj

R N F=

= → + α =∑ (5.1.1-4)

1

0 Q sin 0m

y L j jj

R F=

= → + α =∑ (5.1.1-5)

1

0 0j

mF

P L Pj

M M M=

= → + =∑ (5.1.1-6)

Slika 5.1.1-3 Desni dio grede u ravnoteži

U izrazima (5.1.1-1) do (5.1.1-6) korištena je konvencija o predznacima dana na slici 5.1.1-4.


CK-POD-02

Po zakonu jednakosti akcije i reakcije vrijedi: D LN N=

D LQ Q= (5.1.1-7)

D LM M=

Slika 5.1.1-4 Konvencija o predznacima

5.1.2 Kontinuirano opterećenje, poprečna sila i moment savijanja Između kontinuiranog opterećenja q , poprečne sile Q i momenta savijanja M postoji veza koja se nalazi promatrajući ravnotežu diferencijalnog dijela grede, duljine dx , opterećenog prema slici 5.1.2-1. Iz uvjeta ravnoteže 0yR = dobije se:

( ) 0Q q dx Q dQ− + + + = (a)

odakle slijedi:

dQ

qdx

= − (5.1.2-1)

Suma momenata za točku O, 0OM = , daje:

Slika 5.1.2-1 Skica za određivanje veze q , Q i M

( )1

02

M M dM Q dx dx q dx− + + − + = (b)

( )21

02

dM Q dx q dx− + = (c)

Zanemarivši ( )2

dx kao malu veličinu drugog reda iz (c) se dobije:

0dM Q dx− = (d)

dM

Qdx

= (5.1.2-2)

Izraz (5.1.2-1) povezuje kontinuirano opterećenje i poprečnu silu a izraz (5.1.2-2) povezuje poprečnu silu i moment savijanja. Također vrijedi:

2

2

dQ d Mq

dx dx− = = (5.1.2-3)

5.1.3 Konstrukcija N, Q i M dijagrama Veličine unutarnjih sila i momenta savijanja obično se mijenjaju od jednog do drugog poprečnog presjeka. Uobičajeno je, zbog praktičnosti, nanositi njihove veličine iznad raspona grede, odnosno osi x , na mjestu poprečnih presjeka za koje su te veličine određene. Potrebno je odrediti najveću vrijednost unutarnjih sila i momenta savijanja jer te vrijednosti sudjeluju u dimenzioniranju grede. Zato se će se definirati konstrukcija dijagrama unutarnjih sila i momenta savijanja. Konstrukcija dijagrama unutarnjih sila i momenta savijanja izvodi se kroz sljedeće korake:

1. Za zadanu gredu određuju se reakcije veza. 2. Odabere se položaj za prvo presjecanje grede i u nastalom poprečnom presjeku se,

shodno konvenciji o predznacima, ucrtaju (pretpostavi da djeluju) uzdužna i poprečna sila te moment savijanja.

3. Postavljaju se uvjeti ravnoteže bilo za lijevi bilo za desni dio grede i iz kojih se određuju veličine uzdužne i poprečne sile te momenta savijanja – koriste se odgovarajući od izraza (5.1.1-1) do (5.1.1-6).

4. Koraci 2. i 3. ponavljaju se dovoljan broj puta za reprezentativne poprečne presjeke grede. 5. Nanošenjem izračunatih vrijednosti iznad osi x uz ispitivanje toka dijagrama pomoću izraza

(5.1.2-1) i (5.1.2-2) konstruiraju se dijagrami iz kojih se mogu očitati najveće vrijednosti uzdužne i poprečne sile te momenta savijanja.

U primjerima 5.1.3-1 do 5.1.3-6 pokazana je konstrukcija dijagrama unutarnjih sila i momenta savijanja. Uobičajeno je dijagrame šrafirati crtama okomitim na os x i označiti tako dobivenu površinu s plus ili minus za pozitivne odnosno negativne vrijednosti unutarnjih sila i momenata savijanja.


CK-POD-02

Primjer 5.1.3-1 Jednostavna greda opterećena jednolikim kontinuiranim opterećenjem

Određivanje reakcija veza:

0xR =

0 0y A BR R R ql= → − − + = (a)

10 0

2A BM l R l ql= → − = (b)

Iz izraza (a) i (b) nalazi se: 1

2BR ql= , 1

2AR ql= (5.1.3-1)

Potrebno je odrediti N , Q i M za samo jedan poprečni presjek:

0 0xR N= → = (c)

0 0y AR R qx Q= → − + + = (d)

10 0

2P AM M x R x qx= → − + = (e)

Iz izraza (c) se dobije: 0N = Poprečne sile određuju se iz izraza (d):

AQ R qx= − (f)

Uvrštenjem AR u (f) dobije se:

1( )2

Q q l x= −

Najveća vrijednost poprečne sile prema dijagramu je:

max

1

2Q ql= (5.1.3-2)

Podaci za dijagram momenta savijanja dobiju se iz izraza (e):

21

2AM xR qx= − (g)

Uvrštenjem AR u gornji izraz dobije se ovisnost

momenta o x-u: 21

( )2

M q xl x= − (h)

Položaj poprečnog presjeka u kojem djeluje najveći moment savijanja određuje se pomoću izraza (5.1.2-2):

max0 dM

Q M Mdx

= = → =

u x-u u kojem funkcija ima prvu derivaciju jednaku nuli – funkcija ima ekstrem:

1 10 ( ) 0

2 2Q q l x x l= → − = → =

Uvrštenjem 1

2

x l= u (h) dobije se:

2max

1

8M ql= (5.1.3-3)

Dio grede u ravnoteži zbog djelovanja N, Q i M

Dijagram uzdužnih sila

Dijagram poprečnih sila

Dijagram momenata savijanja

Slika 5.1.3-1 Konstrukcija dijagrama unutarnjih sila i momenata savijanja za jednostavnu gredu opterećenu jednolikim kontinuiranim opterećenjem


CK-POD-02

Primjer 5.1.3-2 Jednostavna greda opterećena koncentriranom silom

Određivanje reakcija veza:

0xR =

0 0y A BR R F R= → − + − = (a)

0 0A BM aF l R= → − + = (b)

Iz izraza (a) i (b) nalazi se:

B

aFR

l= , A

bFR

l= (5.1.3-4)

Potrebno je odrediti Q i M za dva poprečna presjeka. Kako vanjsko opterećenje ne djeluje po osi x neće se razmatrati uzdužne sile. Uvjeti ravnoteže za lijevi dio grede:

0 0y AR R Q= → − + = (c)

10 0P AM M x R= → − = (d)

Uvjeti ravnoteže za desni dio grede: 0 0y BR Q R= → − − = (e)

20 ( ) 0P BM M l x R= → − + − = (f)

Poprečne sile za lijevi dio grede – iz (c):

A

bFQ R

l= = (5.1.3-5)

Poprečne sile za desni dio grede – iz (e):

B

aFQ R

l= − = − (5.1.3-6)

Najveća vrijednost poprečne sile jednaka je većoj od reakcija veza. U presjeku C poprečna sila jednaka je nuli. Moment savijanja za lijevi dio grede – iz (d):

1 1A

bFM x R x

l= = (g)

Moment savijanja za desni dio grede – iz (f)

2 2( ) ( )B

aFM l x R l x

l= − = − (h)

Za 1 2x x a= = iz (g) i (h) dobije se ista veličina momenta savijanja:

max

abM F

l= (5.1.3-7)

koja je i najveća veličina momenta savijanja. Za poseban slučaj a b= vrijedi:

max

1

2Q F= (5.1.3-8)

max 4

FlM = (5.1.3-9)

Dijelovi grede u ravnoteži zbog djelovanja Q i M



Slika 5.1.3-2 Konstrukcija dijagrama poprečnih sila i momenata savijanja za jednostavnu gredu opterećenu koncentriranom silom


CK-POD-02

Primjer 5.1.3-3 Jednostavna greda opterećena spregom sila

Određivanje reakcija veza

0xR =

0 0y A BR R R= → − + = (a)

0 0A V BM M l R= → − = (b)

VB A

MR R

l= = (5.1.3-10)

Dijelovi grede u ravnoteži zbog djelovanja Q i M

Potrebno je odrediti Q i M za dva poprečna presjeka. Kako vanjsko opterećenje ne djeluje po osi x neće se razmatrati uzdužne sile. Uvjeti ravnoteže za lijevi dio grede:

0 0y AR R Q= → − + = (c)

10 0P AM x R M= → − + = (d)

Uvjeti ravnoteže za desni dio grede:

0 0y BR Q R= → − + = (e)

20 ( ) 0P BM l x R M= → − − − = (f)


Poprečne sile za lijevi dio grede – iz (c)

VA

MQ R

l= =

Poprečne sile za desni dio grede – iz (e)

VB

MQ R

l= =

Poprečna sila konstantna je duž grede pak je:

maxVM

Ql

= (5.1.3-11)


Moment savijanja za lijevi dio grede – iz (d)

1 1V

A

MM x R x

l= =

Moment savijanja za desni dio grede – iz (f)

2 2( ) ( ) VB

MM l x R l x

l= − − = − −

Za a>b:

maxVM

M al

= (5.1.3-12)

Moment savijanja u poprečnom presjeku C jednak je nuli.

Slika 5.1.3-3 Konstrukcija dijagrama poprečnih sila i momenata savijanja za jednostavnu gredu opterećenu spregom sila


CK-POD-02

Primjer 5.1.3-4 Konzola opterećena koncentriranom silom

Određivanje reakcija veza

0xR =

0 0y AR R F= → − + = (a)

0 0B A AM M l R= → − = (b)

AR F= (5.1.3-13)

A AM R l Fl= = (5.1.3-14)

Dio grede u ravnoteži zbog djelovanja Q i M

Potrebno je odrediti Q i M za samo jedan poprečni presjek:

0 0y AR R Q= → − + = (c)

0 0P A AM M x R M= → − + = (d)


Poprečna sila određuje se iz izraza (c):

AQ R F= = (5.1.3-15)

Vrijednost poprečne sile je konstantna duž raspona konzole pak vrijedi:

maxQ F= (5.1.3-16)


Moment savijanja određuje se iz izraza (d):

A AM xR M xF Fl= − = −

( )M F l x= − − (5.1.3-17) Najveću veličinu moment savijanja ima za x=0:

maxM Fl= (5.1.3-18)

Slika 5.1.3-4 Konstrukcija dijagrama poprečnih sila i momenata savijanja za konzolu opterećenu koncentriranom silom

Primjer 5.1.3-5 Konzola opterećena jednolikim kontinuiranim opterećenjem

Određivanje reakcija veza 0xR =

0 0y AR R ql= → − + = (a)

0 02B A A

lM M R l ql= → − + = (b)

AR ql= (5.1.3-19)

2 2 21 1

2 2A AM R l ql ql ql= − = −

21

2AM ql= (5.1.3-20)


Potrebno je odrediti Q i M za samo jedan poprečni presjek:

0 0y AR R qx Q= → − + + = (c)

0 02P A A

xM M R x qx M= → − + + = (d)


CK-POD-02


Poprečna sila se određuje iz izraza (c):

AQ R qx ql qx= − = −

( )Q q l x= − (5.1.3-21) Najveću veličinu poprečna sila ima za x=0:

maxQ ql= (5.1.3-22)


Moment savijanja određuje se iz izraza (d) 21

2A AM R x M qx= − −

21( )

2M q l x= − − (5.1.3-23)

Najveću veličinu moment savijanja ima za x=0: 2

max

1

2M ql= − (5.1.3-24)

Slika 5.1.3-5 Konstrukcija dijagrama poprečnih sila i momenata savijanja za konzolu opterećenu jednolikim kontinuiranim opterećenjem Primjer 5.1.3-6 Konzola opterećena jednolikim kontinuiranim opterećenjem i koncentriranom silom Na ovom primjeru pokazat će se primjena metode superpozicije u konstruiranju dijagrama poprečnih sila i momenata savijanja.

Određivanje reakcija veza 0 0y AR R ql F= → − + − = (a)

0 02B A A

lM M R l ql= → − + = (b)

AR F ql= + (5.1.3-25)

2 21 1( )

2 2A AM R l ql F ql l ql= − = + −

21

2AM Fl ql= + (5.1.3-26)


Potrebno je odrediti Q i M za samo jedan poprečni presjek

0 0y AR R qx Q= → − + + = (c)

0 02P A A

xM R x M qx M= → − + + + = (d)

Iz izraza (c) i (d) dobije se: ( )Q F ql qx F q l x= + − = + − (5.1.3-27)

21

2A AM R x M qx= − −

21( ) ( )

2M F l x q l x= − − − − (5.1.3-28)

Slika 5.1.3-6 Ravnoteža konzole i dijela konzole Usporedbom rezultata polučenih za konzolu opterećenu s koncentriranom silom i jednolikim kontinuiranim opterećenjem, primjer 5.1.3-6, s rezultatima za konzolu opterećenu s koncentriranom silom, primjer 5.1.3-4, i konzolu opterećenu jednolikim kontinuiranim opterećenjem, primjer 5.1.3-5, nalazi se: - reakcija veze AR u primjeru 5.1.3-6, izraz (5.1.3-25), jednaka je zbroju reakcija u primjerima 5.1.3-4 i 5.1.3-5, izrazi (5.1.3-13) i (5.1.3-19), - moment upetosti AM u primjeru 5.1.3-6, izraz (5.1.3-26), jednaka je zbroju momenata upetosti u primjerima 5.1.3-4 i 5.1.3-5, izrazi (5.1.3-14) i (5.1.3-20),


CK-POD-02

- poprečna sila Q u primjeru 5.1.3-6, izraz (5.1.3-27), jednaka je zbroju poprečnih sila u primjerima 5.1.3-4 i 5.1.3-5, izrazi (5.1.3-15) i (5.1.3-21), - moment savijanja M u primjeru 5.1.3-6, izraz (5.1.3-28), jednak je zbroju momenata savijanja u primjerima 5.1.3-4 i 5.1.3-5, izrazi (5.1.3-17) i (5.1.3-23). Isto vrijedi i za opterećenja u razmatranim slučajevima što je simbolički prikazano na slici 5.1.3-7:

Slika 5.1.3-7 Superpozicija opterećenja

opterećenje konzole u primjeru 5.1.3-6 jednako je zbroju opterećenja konzola u primjerima 5.1.3-4 i 5.1.3-5. Temeljem ove analize definira se metoda superpozicije: Jednostavna opterećenja greda mogu se superponirati da bi se dobilo složeno opterećenje grede i isto tako se mogu superponirati (zbrojiti) efekti jednostavnih opterećenja da bi se odredili efekti složenog opterećenja. Složeno opterećenje može biti sastavljeno od dva i više jednostavnih opterećenja. Primjena metode superpozicije u konstruiranju dijagrama poprečnih sila i momenata savijanja pokazana je na slici 5.1.3-8.



Slika 5.1.3-8 Konstrukcija dijagrama poprečnih sila i momenata savijanja za konzolu opterećenu jednolikim kontinuiranim opterećenjem i koncentriranom silom metodom superpozicije U poglavlju 9, odjeljak 9.4, dane su reakcije veza, dijagrami poprečnih sila i momenata savijanja te najveće vrijednosti poprečne sile i momenta savijanja, kao i poprečni presjeci u kojima djeluju, za jednostavna opterećenja greda. U boljim tehničkim priručnicima također se daju navedene značajke greda. Pomoću metode superpozicije moguće je pomoću tih podataka odrediti sve navedene veličine za gredu sa složenim opterećenjem.


CK-POD-02

5.2 NAPREZANJA U POPREČNOM PRESJEKU GREDE

5.2.1 Čisto savijanje grede Naprezanja u poprečnom presjeku odredit će se za homogenu gredu, slika 5.2.1-1, opterećenu s dva sprega sila jednakih momenata VM . Za ovu se gredu kaže da je izložena čistom savijanju jer su momenti savijanja u svim poprečim presjecima iste veličine – slika 5.2.1-2. Na slici 5.2.1.-1 prikazana je kruta greda, kao u statici, a momenti savijanja su određeni kao dogovorna rezultantna veličina koja djeluje u poprečnom presjeku grede. U nauci o čvrstoći greda se razmatra kao čvrsta, što znači deformabilna, kako je prikazana na slici 5.2.1-3. Poprečni presjek grede se također deformira kako je kvalitativno prikazano na slici 5.1.2.-4. Ovakav pristup omogućava nalaženje veze između opterećenja i deformacija grede pak će se moći definirati i veza između opterećenja i naprezanja u poprečnom presjeku grede. Deformacija poprečnog presjeka se zanemaruje po hipotezi ravnih presjeka.

Slika 5.2.1-1 Čisto savijanje grede

Slika 5.2.1-2 Dijagram momenata savijanja za čisto savijanje grede

Slika 5.2.1-3 Čisto savijanje čvrste grede

Slika 5.2.1-4 Deformacija poprečnog

presjeka grede Diferencijalni dio grede isječen je iz grede, slika 5.2.1-3, i prikazan je na slici 5.2.1-5. Njegova je duljina ds , os mu je zakrivljena a središte zakrivljenosti je u točki S. Dio ovog dijelića od osi prema središtu zakrivljenosti se je skratio a dio preko osi se produljio.

Slika 5.2.1-5 Geometrija deformiranog dijelića grede

Na slici 5.2.1-5 vidi se da je trokut ST1T2 sličan trokutu T2T3T4 pak vrijedi:

( )ds ds

rη

∆=

η (a)

Iz izraza (a) se dobije: ( )ds

ds rη

∆ η= (b)

Po definiciji relativnog produljenja može se napisati: ( )ds

dsε η

η

∆= (c)

Izjednačenjem izraza (b) i (c) za relativno produljenje na udaljenosti η od osi poprečnog presjeka dobije se:

r

ηεη = (d)

Raspored relativnih produljenja po visini poprečnog presjeka je proporcionalan udaljenosti od osi, dakle je linearan, kako je prikazano na slici 5.2.1-6. Pomoću Hookeovog zakona definira se normalno naprezanje ησ na udaljenosti η od osi poprečnog

presjeka: Eσ εη η= (e)

Slika 5.2.1-6 Raspored relativnih produljenja po visini poprečnog presjeka


CK-POD-02

Razmatra se ravnoteža dijela grede od oslonca A do poprečnog presjeka na udaljenosti x od A, slika 5.2.1-3, koji je opterećen s vanjskim spregom sila momenta VM i kojemu se suprostavljaju momenti sila dN prema prikazu na slici 5.2.1-7. Poprečni presjek prikazan na ovoj slici ima proizvoljan oblik ali simetričan u odnosu na os η . Zamišlja se da je greda sastavljena od slojeva

Slika 5.2.1-7 Poprečni presjek grede

debljine dη a slojevi od vlakana površine dA . Umnožak ove

površine i normalnog naprezanja daje silu dN : dN dAση= (f)

Koristeći izraze (d) i (e) normalno naprezanje je:

Er

ησ η = (g)

a normalna uzdužna sila:

dN E dAr

η= (h)

Promatrani dio grede je u ravnoteži pak će se postaviti uvjeti ravnoteže. Iz uvjeta ravnoteže po osi ξ dobije se:

( ) ( )

0 0A A

R dN E dArξ

η= → = =∫ ∫ (i)

Kako su i E r konstantne veličine može ih se izvući ispred integrala:

( )

0 A

EdA

rη =∫ (j)

i E r su različiti od nule pak je integral u izrazu (j) jednak nuli

( )

0 A

dAη =∫ (k)

Ovaj integral je statički moment površine poprečnog presjeka za os kroz težište poprečnog presjeka – drugačije rečeno na osi ς leži težište poprečnog presjeka.

Sljedeći se koristi uvjet ravnoteže 0M ζ = : suma momenta za os ς je jednaka nuli:

( )

0V

A

M dNη− =∫ (l)

Uvrštenjem (h) u (l) dobije se:

( )

V

A

M E dAr

ηη= ∫ (m)

i nakon sređenja:

2

( )

V

A

EM dA

r= η∫ (n)

Integral u izrazu (n) je značajan za savijanje grede i posebno ga se definira:

2

( )

A

I dAζ = η∫ (5.2.1-1)

i ima svoje ime: aksijalni moment tromosti površine poprečnog presjeka za os ς koja prolazi težištem poprečnog presjeka. Uobičajeno je ovu značajku poprečnog presjeka zvati moment tromosti imajući na umu da se on računa za točno određenu os pri savijanju grede i označava ga se samo s I - dakle vrijedi: I Iζ= (o)

Vanjskom spregu sila momenta VM drži ravnotežu moment savijanja M u poprečnom presjeku kojeg generira normalno naprezanje pak vrijedi:

VM M= (p)

Uzevši u obzir izraze (5.2.1-1), (o) i (p) izraz (m) dobija oblik: E

M Ir

= (q)


CK-POD-02

Iz izraza (g) dobije se:

E

rησ

η= (r)

pak se izraz (q) transformira u:

M Iσ

ηη= (5.2.1-2)

U točki 5.1.1, izrazi (5.1.1-3) i (5.1.1-6), moment savijanja M definiran je kao spreg koji drži ravnotežu vanjskom opterećenju. Izraz (5.2.1-2) definira moment savijanja kao rezultantni spreg kojeg generira normalno naprezanje u poprečnom presjeku. Izrazi li se normalno naprezanje iz izraza (5.2.1-2) može se definirati raspored normalnog naprezanja po visini poprečnog presjeka:

M

I

ησ η = (5.2.1-3)

što je prikazano na slici 5.2.1-8: - u sloju koji sadrži os ς i, kako je prije pokazano težište poprečnog presjeka, normalno je naprezanje jednako nuli, - raspored normalnih naprezanja po visini poprečnog presjeka je linearan i vrijednosti se mijenjaju od 2σ− do 1σ+ .

Slika 5.2.1-8 Raspored normalnih naprezanja po visini poprečnog presjeka

Sloj grede u kojem su normalna naprezanja jednaka nuli, a koji sadrži težište poprečnog presjeka, naziva se neutralni sloj, često i neutralna linija misleći na vlakno koje sadrži težište, i on se nije deformirao/produljio prilikom savijanja grede. Slojevi u području s negativnim vrijednostima normalnog naprezanja su se skratili a slojevi u području s pozitivnim vrijednostima normalnog naprezanja su se produljili što je već pokazano na slici 5.2.1-5. Može se reći da kod čistog savijanja grede u poprečnom presjeku djeluju na jednu stranu od neutralnog sloja tlačna normalna naprezanja a na drugu stranu od neutralnog sloja vlačna normalna naprezanja. Za dimenzioniranje su interesantne najveće vrijednosti naprezanja pak se iz izraza (5.2.1-3) određuju granične vrijednosti normalnih naprezanja: - za 1hη = − dobije se:

11

M h

Iσ = (5.2.1-4)

- za 2hη = dobije se:

22

M h

Iσ = − (5.2.1-5)

Praktično je i uobičajeno uvesti dvije nove značajke poprečnog presjeka:

11

IW

h= , 2

2

IW

h= (5.2.1-6)

koje se zovu aksijalni momenti otpora poprečnog presjeka ili skraćeno momenti otpora imajući na umu značenje izraza (5.2.1-6) i (5.2.1-1): vrijednosti momenata otpora određuju se prema vrijednosti momenta tromosti za os kroz težište poprečnog presjeka. S momentima otpora naprezanja se određuju izrazima:

11

M

Wσ = , 2

2

M

Wσ = − (5.2.1-7)

Najveće normalno naprezanje je: { }max 1 2max ,σ σ σ= (5.2.1-8)

U izrazima za naprezanja treba uzeti u obzir predznak momenta savijanja naročito ako je greda od materijala čija vlačna i tlačna svojstva nisu jednaka. Razlike u normalnim naprezanjima krajnjih slojeva javljaju se kod poprečnih presjeka koji nisu simetrični u odnosu na os ς ili ako os ς ne

prolazi sredinom visine poprečnog presjeka pak je 1 2h h≠ . Za grede od homogenog materijala, koji ima ista vlačna i tlačna svojstva, a poprečni im je presjek simetričan u odnosu na os ς ili je 1 2h h h= = što daje 1 2W W W= = izrazi (5.2.1-7) i (5.2.1-8) se pojednostavnjuju:


CK-POD-02

1 2

M

Wσ σ σ= = = , (5.2.1-7)

max

M

Wσ = (5.2.1-8)

U izrazu (5.2.1-8) zanemaren je predznak momenta savijanja. Za razliku od aksijalno i odrezno opterećenog štapa kod grede se u izrazima za naprezanje ne pojavljuje površina poprečnog presjeka već moment otpora poprečnog presjeka. Veličina momenta otpora ovisi o obliku poprečnog presjeka i rasporedu površine po visini poprečnog presjeka. Iz činjenice da se u krajnjim slojevima javlja veće normalno naprezanje nego li u središnjim slojevima naslućuje se mogućnost oblikovanja poprečnog presjeka tako da se sa što manjom površinom dobije što veći moment otpora. U tu svrhu treba što više površine poprečnog presjeka biti na što većoj udaljenosti od neutralnog sloja. Ovu opću uputu objašnjava se i ilustrira u sljedećem tekstu. Razmatra se obična i jednostavna greda, kao ona prikazana naslici 5.2.1-1, u čijim poprečnim presjecima djeluje moment savijanja M i normalno naprezanje krajnjih slojeva je KSσ . Moment savijanja odredit će se kao rezultanta ili zbroj momenata normalnih sila, diferencijalne veličine, za pravokutni poprečni presjek, slika 5.2.1-9a), i za složeni poprečni presjek prikazan na slici 5.2.1-10a).

Slika 5.2.1-9 Pravokutni poprečni presjek

Pravokutni poprečni presjek Diferencijal momenta savijanja dM jednak je momentu diferencijalne normalne sile dN , slika 5.2.1-9b), za os ς :

2 dM dNη= (a1) Moment savijanja dobije se integracijom:

( )

A

M dNη= ∫ (a2)

Diferencijalna normalna sila jednaka je umnošku diferecijalne površine dA i normalnog naprezanja

ησ koje djeluje u sloju udaljenom za η od osi ς :

dN dA ησ= (a3)

Diferencijal površine se deifinira prema slici 5.2.1-9a): dA b dη= (a4)

a naprezanje ησ prema slici 5.2.1-9c):

2KShη

ησ σ= (a5)

Pomoću izraza (a3) do (a5) transformira se integral u izrazu (a2):

2 22

0 0

2 42

h h

KS KS

bM b d d

h h

ηη η σ σ η η= =∫ ∫ (a6)

Integracija se provodi nad pola površine poprečnog presjeka, granice integracije od 0 do h/2, a rezultat će se pomnožiti s 2. Tako se dobije za moment savijanja:

2

6 KS

b hM σ= (a7)

Površina razmatranog pravokutnog presjeka: A b h= (a8)

uvođenjem omjera sranica:

h

k h k bb

= → = (a9)

definira se izrazom: 2 A k b= (a10)


CK-POD-02

Koristeći omjer stranica k iz izraza (a7) može se definirati stranica b :

1

3

2

6

KS

Mb

k σ

=

(a11)

Za vrijednosti momenta savijanja M = 106 Nmm i normalnog naprezanja u krajnjim slojevima

KSσ = 100 N/mm2 te za 0.5 4.0k≤ ≤ izračunate su i dane u tablici 5.2.1-1 dimenzije stranica i površine poprečnog presjeka. Uspoređujući vrijednosti u stupcima (1) i (2) ove tablice nalazi se da su za veće vrijednosti k vrijednosti površi-na manje: što je veća visina poprečnog presjeka

Tablica 5.2.1-1 Dimenzije i površine pravokutnih poprečnih presjeka

k

b h Površina mm mm2

(1) (2) (3) (4) .5 62.1 31.1 1931.0

1.0 39.1 39.1 1532.6 1.5 29.9 44.8 1338.9 2.0 24.7 49.3 1216.4 2.5 21.3 53.1 1129.2 3.0 18.8 56.5 1062.7 3.5 17.0 59.4 1009.4 4.0 15.5 62.1 965.5

to je manja površina. Ovo potvrđuje prije izrečenu opću uputu da treba što više površine poprečnog presjeka biti na što većoj udaljenosti od neutralnog sloja.

Složeni poprečni presjek Diferencijal momenta savijanja dM , moment diferencijalne normalne sile dN za os ς , moment savijanja i diferencijalna normalna sila definiraju se istim izrazima, (a1) do (a3), kao za pravokutni poprečni presjek. Kako se diferencijalne površine razlikuju za struk i pojase, slika 5.2.1-10a): 1 dA b dη= (a12)

2 1 dA b dη= (a13) promijenit će se granice integriranja: za struk od 0 do h1/2 a za pojas od h1/2 do h/2. Za normalno naprezanje vrijedi izraz (a5). Temeljem rečenog za moment savijanja može se napisati:

Slika 5.2.1-10 Složeni poprečni presjek

1 1

1 1

2 2 2 22 21

1

0 02 2

42 2 42 2

h hh h

KS KS KS KS

h h

b bM b d b d d d

h h h h

η ηη η σ η η σ σ η η σ η η= + = +∫ ∫ ∫ ∫ (a14)

Uvrštenjem granica integracije i sređenjem dobije se izraz koji određuje moment savijanja: 3 3

21 1 1

6 6KS KSb h bh

M bhh h

σ σ = + −

(a15)

Uvode se udjeli struka i pojasa u momentu savijanja: SM je dio momenta savijanja koji generira normalno naprezanje u struku a PM je dio momenta savijanja koji generira normalno naprezanje u pojasima:

3 321 1 1,

6 6KS KS

S P

b h bhM M bh

h h

σ σ = = −

(a16)

Gornji udjeli definiraju se kao postotni udjeli od ukupnog momenta savijanja:

100 , 100 SP MMPPM PSM

M M= = (a17)

Uz prije definirani omjer visine h i širine b , izraz (a9), uvode se sljedeći omjeri:

12 1 2

hk h k h

h= → = (a18)

13 1 3

bk b k b

b= → = (a19)

Pomoću izraza (a9), (a18) i (a19) iz izraza (a16) dobije se:

( )

1

3

2 3 33 2 2

6

1 KS

Mb

k k k k σ

= + −

(a20)

Površina složenog presjeka, slika 5.2.1-10a), određuje se izrazom:


CK-POD-02

( )1 1 1A b h h b h= − + (a21)

Za predstojeću analizu definiraju se postotni udjeli površina struka, PPA2, i pojasa, PPA1, u ukupnoj površini složenog poprečnog presjeka:

( )11 11 100 , 2 100

b h hb hPPA PPA

A A

−= = (a22)

Koristeći izraze (a9) i (a18) do (a21) moguće je odrediti dimenzije struka, pojasa i veličinu površine složenog poprečnog presjeka. Za iste vrijednosti momenta savijanja M = 106 Nmm i normalnog naprezanja u krajnjim slojevima KSσ = 100 N/mm2, kao za pravokutni poprečni presjek, izračunate su za 4.0k = dimenzije struka i pojasa te površine poprečnog presjeka. Rezultati proračuna dani su u tablicama 5.2.1-2 i 5.2.1-3. Također su dani i postotni udjeli momenata savijanja i površina pojasa i struka u ukupnim vrijednostima momenta savijanja i površine razmatranog poprečnog presjeka. Složeni poprečni presjek, čije su značajke dane u tablici 5.2.1-2, ima 2 0.7k = što znači da je

debljina pojasa 0.15 h a visina struka od 0.7 h. . Kako je 30.1 1.0k≤ ≤ debljina struka se mijenja od 0.1 b do b. Tablica 5.2.1-2 Dimenzije i površine složenih poprečnih presjeka za 4.0k = i 2 0.7k =

3k a1 b1 a2 b2 Površina PPM PSM PPA1 PPA2

mm mm2 %

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) .1 17.6 70.3 1.8 49.2 456.9 95.0 5.0 81.1 18.9 .2 17.3 69.2 3.5 48.4 526.1 90.5 9.5 68.2 31.8 .3 17.0 68.1 5.1 47.7 591.3 86.5 13.5 58.8 41.2 .4 16.8 67.1 6.7 47.0 653.0 82.7 17.3 51.7 48.3 .5 16.5 66.2 8.3 46.3 711.4 79.3 20.7 46.2 53.8 .6 16.3 65.3 9.8 45.7 767.0 76.1 23.9 41.7 58.3 .7 16.1 64.4 11.3 45.1 820.0 73.2 26.8 38.0 62.0 .8 15.9 63.6 12.7 44.5 870.6 70.5 29.5 34.9 65.1 .9 15.7 62.9 14.1 44.0 919.0 68.0 32.0 32.3 67.7 1.0 15.5 62.1 15.5 43.5 965.5 65.7 34.3 30.0 70.0

U tablici 5.2.1-3 dane su značajke za složeni poprečni presjek čija je debljina struka konstantna,

3 0.1k = , i iznosi 0.1 b a mijenja se visina struka, a s time i debljina pojasa, od 0.5 h do 0.9 h.

Tablica 5.2.1-3 Dimenzije i površine složenih poprečnih presjeka za 4.0k = i 3 0.1k =

2k a1 b1 a2 b2 Površina PPM PSM PPA1 PPA2

mm mm2 %

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) .5 16.2 64.7 1.6 32.3 575.0 98.6 1.4 90.9 9.1 .6 16.7 66.8 1.7 40.1 513.0 97.3 2.7 87.0 13.0 .7 17.6 70.3 1.8 49.2 456.9 95.0 5.0 81.1 18.9 .8 19.1 76.4 1.9 61.1 408.1 90.5 9.5 71.4 28.3 .9 22.2 88.7 2.2 79.8 373.7 78.8 21.2 52.6 47.4

Na slici 5.2.1-11 prikazane su površine pravokutnog poprečnog presjeka, k područje apscisne osi, i površine složenog poprečnog presjeka podaci iz tablice 5.2.1-2, 3k područje apscisne osi, i podaci iz tablice 5.2.1-3, 2k područje apscisne osi. Smanjenje potrebne površine poprečnog presjeka u kojem se generira isti moment savijanja, M = 106 Nmm, očigledno je uslovjeno udaljavanjem površine od neutralnog sloja. Treba upozoriti na omjer najveće i najmanje površine vrijednosti 5.17 koji govori o mogućoj optimizaciji oblika poprečnog presjeka u smislu generiranja istog momenta savijanja sa što manjom površinom poprečnog presjeka. Rezultat ove optimizacije je manji utrošak materijala za izradu grede. Definitivno složeni poprečni presjek je bolji za savijanje od pravokutnog poprečnog presjeka. Zato se za izradu greda već dugi niz godina proizvode takozvani standardni I i U profili. Za neke konstrukcije, mostovi, mostne dizalice i slične, radi uštede građevnog materijala konstruiraju se složeni oblici poprečnog presjeka, slični standardnim I profilima, sastavljeni od traka. Ova praksa naročito je uzela maha nakon ovladavanja tehnologijom zavarivanja.


CK-POD-02

Slika 5.2.1-11 Površine poprečnih presjeka za različite vrijednosti omjera 2 3, k k i k

Slika 5.2.1-12 Postotni udjeli momenata savijanja i površina pojasa i struka za različite vrijednosti omjera 3k za složeni poprečni presjek

Na slici 5.2.1-12 nacrtani su krivulje za postotne udjele momenata savijanja i površina pojasa i struka u ukupnim vrijednostima momenta savijanja i površine razmatranih poprečnih presjeka prema podacima iz stupaca (7) do (10) tablica 5.2.1-2 i 5.2.1-3. Očito pojasi doprinose više nego struk u generiranju momenta savijanja a s manjom površinom od struka.

5.2.2 Težište i aksijalni momenti poprečnih presjeka Značaj aksijalnih momenata za savijanje grede pokazan je u prethodnom poglavju. Zato se posebno obrađuje određivanje aksijalnih momenata za homogene geometrijske likove misleći na poprečne presjeke greda. Promatra se ravni i homogeni geometrijski lik (lik) proizvoljnog oblika prikazan na slici 5.2.2-1. Prema izloženom u statici statički momenti površine lika definiraju se:

( )

A

S dAζ = η∫ , ( )

A

S dAζη = ∫ (5.2.2-1)

Koordinate težišta lika su:

( )

A

T

dA

A

η

η =∫

, ( )

A

T

dA

A

ζ

ζ =∫

(5.2.2-2) Slika 5.2.2-1 Homogeni geometrijski lik

Aksijalni momenti tromosti površine poprečnog presjeka ili momenti tromosti za osi η i ζ definiraju se izrazima:

2

( )

A

I dAζ = η∫ (5.2.2-3)

2

( )

A

I dAζη = ∫ (5.2.2-4)

Centrifugalni moment tromosti za osi η i ζ definira se izrazom:

( )

A

I dAζ ζη = η∫ (5.2.2-5)

Slično kao u kinetici izvode se Steinerova pravila za homogene geometrijske likove temeljem prikaza na slici 5.2.2-2. Osi koordinatnih sistema Oζ η i 1 1Oζ η su paralelne i vrijedi:

1Tη = η + η , 1Tζ ζ ζ= + (a)

Aksijalni moment tromosti za os ζ definira se pomoću izraza (5.2.2-3) i prvog od izraza (a):

21

( )

( + ) T

A

I dAζ = η η∫ (b)


CK-POD-02

2 21 1

( )

( 2 ) T T

A

I dAζ = η + η η + η∫ (c)

Protezanjem integrala na članove trinoma u zagradi dobije se:

2 21 1

( ) ( ) ( )

2T T

A A A

I dA dA dAζ = η + η η + η∫ ∫ ∫ (d)

Neka je u točki T težište lika pak vrijedi:

2 2 2

( ) ( )

T T T

A A

dA dA Aη =η =η∫ ∫ (e)

Slika 5.2.2-2 Skica za izvod Steinerovih pravila

1 1

( ) ( )

2 2 0T T

A A

dA dAη η = η η =∫ ∫ (f)

21

( )A

dA Iζ 1η =∫ (g)

2TI I Aζ ζ 1= + η (5.2.2-6)

Izraz (f) je jednak nuli jer je:

1

( )

0A

dAη =∫ (h)

statički moment površine lika za os kroz težišta jednak nuli. Na sličan način izvode se izrazi za aksijalni moment tromosti za os η i centrifugalni moment tromosti:

2TI I Aζη η1= + (5.2.2-7)

1 T TI I Aζ ζ ζη 1η= + η (5.2.2-8)

Za svaki lik mogu se naći osi za koje je centrifugalni moment inercije jednak nuli a od aksijalnih momenata jedan ima najveću a drugi najmanju veličinu. Promatra se lik definiran na slici 5.2.2-3.

Slika 5.2.2-3 Skica za određivanje glavnih osi tromosti

Polazi se od definicije koordinata diferencijala površine u zarotiranom koordinatnom sistemu 1 1Oζ η :

1 cos sinζ ζ ϕ ϕ= + η (i)

1 cos sinϕ ζ ϕη = η − (j)

Aksijalni momenti inercije i centrifugalni moment inercije u

1 1Oζ η definiraju se izrazima:

2 21 1

( ) ( )

( cos sin )A A

I dA dAζ ϕ ζ ϕ= η = η −∫ ∫ (k)

2 21 1

( ) ( )

( cos sin )A A

I dA dAζ ζ ϕ ϕη = = + η∫ ∫ (l)

1 1 1 1

( ) ( )

( cos sin )( cos sin )A A

I dA dAζ ζ ζ ϕ ϕ ϕ ζ ϕη = η = + η η −∫ ∫ (m)

Razvijanjem integrala u izrazima (k), (l) i (m) uz primjenu izraza (5.2.2-3) do (5.2.2-5) dobije se: 2 2cos sin sin 2I I I Iζ ζ ζϕ ϕ − ϕ1 η η= + (5.2.2-9)

2 2sin cos sin 2I I I Iζ ζϕ ϕ + ϕη1 η η= + (5.2.2-10)

1

1( )sin 2 cos 2

2I I I Iζ ζ ζϕ ϕ1η η η= − + (5.2.2-11)

Iz gornjeg izraza za 1 0Iζ 1η = nalazi se:

2 2

Itg

I Iζ

ζ

ϕ η

η

=−

(5.2.2-12)


CK-POD-02

Uvrštenje (5.2.2-12) u (5.2.2-9) i (5.2.2-10) dobiju se izrazi za određivanje najvećeg i najmanjeg aksijalnog momenta tromosti:

2

2max 2 2

I I I II Iζ ζ

ζη η

η

+ − = + +

(5.2.2-13)

2

2min 2 2

I I I II Iζ ζ

ζη η

η

+ − = − +

(5.2.2-14)

Glavne osi tromosti određuju se pomoću izraza (5.2.2-12). Kada je poprečni presjek sastavljen od više likova koristi se izraz (5.2.2-15) koji se temelji na Steinerovim pravilima:

2, ,

1 1

n n

i T i T ii i

I I d A= =

= +∑ ∑ (5.2.2-15)

5.2.3 Opći slučaj savijanja grede U općem slučaju savijanja grede, kada je greda opterećena silama i kontinuiranim opterećenjem, u poprečnom se presjeku pojavljuje normalno i smično naprezanje. Za normalno naprezanje vrijede prije određeni izrazi za čisto savijanje grede. U poprečnim presjecima u kojima djeluje koncentrirana sila raspored naprezanja je složeniji nego li je bio slučaj kod čistog savijanja. U pravilu se ipak koriste izrazi određeni za čisto savijanje grede uz zadovoljavajuću točnost provjerenu ispitivanjima. Normalno naprezanje se razlikuje u poprečnim presjecima kako se mijenjaju i momenti savijanja. Zato treba odrediti poprečni presjek u kojem djeluje najveći moment savijanja i s tim, najvećim, momentom savijanja, maxM , računati normalna naprezanja. Izrazi (5.2.1-7) i (5.2.1-8) se mijenjaju:

max

max1,

1M

M

Wσ =

max

max2,

2M

M

Wσ = − (5.2.3-1)

{ }max maxmax 1, 2,max ,M Mσ σ σ= (5.2.3-2)

Za grede od homogenog materijala, koji ima ista vlačna i tlačna svojstva, a poprečni im je presjek simetričan u odnosu na os ς ili je 1 2h h h= = što daje 1 2W W W= = izrazi (5.2.3-1) i (5.2.3-2) se pojednostavnjuju:

max1 2

M

Wσ σ σ= = = , (5.2.3-3)

maxmax

M

Wσ = (5.2.3-4)

Radi određivanja smičnih naprezanja promatra se dio grede duljine dx opterećen prema prikazu na slici 5.2.3-1a) i dio ovog dijela greda opterećen prema prikazu na slici 5.2.3-1b).

Slika 5.2.3-1 Skica za određivanje smičnih naprezanja u poprečnom presjeku Dio dijela grede je u ravnoteži i vrijedi:

' '

2 1

( ) ( )

0 0x

A A

R dN dN b dx τη= → − − =∫ ∫ (a)

Diferencijalne normalne sile i normalna naprezanja definiraju se izrazima (b) i (c):


CK-POD-02

'

'1 1( )dN dA σ

η= '

'2 2( )dN dA σ

η= (b)

'

'

1( )M

Iσ

η

η= '

'

2

( ) ( )

M dM

Iσ

η

+ η= (c)

Uvrštenjem izraza (b) i (c) u (a) dobije se: 1 1

' ' ' ' 0h h

M dM MdA dA b dx

I Iτη

η η

+η − η − =∫ ∫ (d)

1 1

' ' ' ' 0h h

M dM MdA dA b dx

I Iτη

η η

+η − η − =∫ ∫ (e)

Donji izraz je statički moment dijela površine poprečnog presjeka od η do 1h a za os ζ : 1

' ',

h

S dAζ η

η

= η∫ (f)

te se supstitucijom iz izraza (e) dobije:

, , , 0M dM M

S S S b dxI I Iζ η ζ η ζ η τη+ − − = (g)

Nakon sređenja izraza (g) dobije se:

,

dM S

dx b Iζ ητη = (h)

uzevši u obzir da je prema izrazu (5.1.2-2):

dM

Qdx

= (i)

konačno se dobije:

,Q

S

b Iζ ητη = (5.2.3-5)

Raspodjela smičnih naprezanja po visini poprečnog presjeka pokazat će se za pravokutni poprečni presjek. Površina, statički moment i aksijalni moment tromosti se definiraju izrazima:

1 2 1

1 A=2h b

2h h h= = → (j)

11( )( )

2

hS h bζ

− η= η + − η (k)

2 21

1( )

2S h bζ = − η (l)

3311

(2 ) 2

12 3

b hI bh= = (m)

Slika 5.2.3-2 Raspodjela smičnih naprezanja po visini pravokutnog poprečnog presjeka

Raspodjela smičnih naprezanja po visini poprečnog presjeka prikazana je na slici 5.2.3-2 a definirana je donjim izrazom:

2 21

31

3

2 2

hQ

b hτη

− η= (5.2.3-6)

Najveća i najmanja veličina određuje se izrazima:

max

30

2

Q

Aτ τη = → = = (5.2.3-7)

1 min 0h τ τη = → = = (5.2.3-8)

Iz izraza (5.2.3-5) se vidi da je najveće smično naprezanje maxτ veće od srednjeg smičnog

naprezanja:

max 1.5 sred sred

Q

Aτ τ τ= → =


CK-POD-02

Zanimljivo je integrirati diferencijalne smične sile dFτ po poprečnom presjeku pravokutnika prikazanog na slici 5.2.3-3 radi određivanja njihove rezultante: dF dAτ τη= (n)

dA b d= η (o) 1 1 2 2

131( ) 0 0

32 2

2 2

h h

A

hdF dA Q b d

b hτ τη

− η= = η∫ ∫ ∫ (p)

11 33

2 2 2 11 13 3 3

1 1 10 0

23 3 3( ) ( )

2 2 3 2 3

hhhQ Q Q

h d h Qh h h

η− η η = η − = =∫ (q)

Smično naprezanje generira smičnu silu koja je po veličini jednaka poprečnoj sili za koju se pretpostavlja da djeluje u poprečnom presjeku Na osnovu gornjih razmatranja definira se najveće smično naprezanje koje djeluje u neutralnom sloju, 0η = , sljedećim izrazom:

,0max 0

Q

S

b Iζτ τη== = (5.2.3-9)

Slika 5.2.3-3 Skica za određivanje rezultante smičnih sila

Ako se želi odrediti maxτ za cijelu gredu u izraz (5.2.3-9) uvrštava se za poprečnu silu njena

najveća vrijednost iz dijagrama poprečnih sila maxQ . Normalna naprezanja najveća su u krajnjim slojevima grede a u neutralnom sloju jednaka su nuli. Smična naprezanja najveća su u neutralnom sloju a u krajnjim slojevima su jednaka nuli. Ovo je prikazano na slici 5.2.3-4. na kojoj je prikazan i diferencijalni dio grede, kvadratnog oblika, na udaljenosti η od osi x odnosno neutralnog sloja. Ovaj diferencijalni dio prikazan je uvećan na slici

5.2.3-5 s naprezanjima koja djeluju na njegovim stranicama xσ , određuje se izrazom (5.2.1-3), i τ ,

određuje se izrazom (5.2.3-3). Sličan slučaj razmatran je u 4.3, slika 4.3-1, s naprezanjem yσ ali

koje u slučaju grede ne postoji. Interesantno je naći glavna naprezanja jer ona mogu biti veća od normalnih ili smičnih naprezanja.

Slika 5.2.3-4 Raspored normalnih i smičnih naprezanja

Slika 5.2.3-5 Naprezanja na diferencijalnom elementu

Slika 5.2.3-6 Mohrova kruž- nica za naprezanja na diferencijalnom elementu

Iz izraza (4.3-1) do (4.3-4), koji su izvedeni u 4.3, sa 0yσ = dobije se:

22

1 2 2x xσ σ

σ τ

= + +

(5.2.3-10)

22

2 2 2x xσ σ

σ τ

= − +

(5.2.3-11)

22

x

tgτ

ϕσ

= − (5.2.3-12)

221 2

max 2 2xσσ σ

τ τ−

= = +

(5.2.3-13)

Na slici 5.2.3-6 konstruirana je Mohrova kružnica pomoću koje se mogu verificirati izrazi (5.2.3-10) do (5.2.3-11).


CK-POD-02

5.3 PROGIB SAVIJENE GREDE

5.3.1 Diferencijalna jednadžbe elastične linije Pri određivanju naprezanja u poprečnom presjeku savijene grede nađen je jedan sloj koji se ne deformira niti u njemu postoje normalna naprezanja koji se zove neutralni sloj. Posebno je istaknuto jedno vlakno ovog sloja koje prolazi kroz težište poprečnog presjeka. U razmatranju savijanja grede odnosno određivanju oblika savijene grede ovo se vlakno naziva elastična linija. Može se reći da je elastična linija savijene grede linija (krivulja) na kojoj leže težišta svih poprečnih presjeka grede. U tekstu koji slijedi izlaže se način određivanja elastične linije savijene grede. Skica za određivanje elastične linije dana je na slici 5.3.1-1: - ishodište koordinatnog sistema postavljeno je u oslonac A, - povučena je tangenta na elastičnu liniju u točki T1 koja je udaljena za x od ishodišta, - na tangentu je ucrtana normala, - definiran je dijelić elastične linije duljine ds , od T1 do T2, i u točki T2 konstruirana je normala, - ove dvije normale sijeku se u točki S koja je središte zakrivljenosti elastične linije za dio ds elastične linije; r je radijus zakrivljenosti, - ucrtan je kut θ kojeg tangenta zatvara s osi x i kut dθ koji određuje dijelić ds elastične linje. Pretpostavja se da su progibi mali u odnosu na raspon (duljinu) grede pak vrijedi: ds r dθ= (a) Izraz (a) se piše u obliku:

1 d

r ds

θ= − (b)

Minus u gornjem izrazu je radi smanjivanja kuta θ s porastom x-a. Tangens kuta θ je po definiciji:

dy

tgdx

θ = (c)

Kako je ovaj kut mali, a i progibi su mali, vrijedi:

dy

tgdx

θ θ θ≈ → ≈ ds dx≈ (d)

Uzevši u obzir (c) i (d) iz (b) se dobije:

Slika 5.3.1-1 Skica za određivanje elastične linije

2

2

1 d d dy d y

r dx dx dx dx

θ = − = − = −

2

2

1 d y

r dx= − (e)

U 5.2.1 izvedeni su izrazi (g) i (5.2.1-2) iz koji se mogu preurediti u oblik:

1

r Eησ

η= (f)

xM

I

σ

ηη = (g)

U izrazu (g) momentu savijanja pridružen je indeks x da se naglasi da je to moment savijanja u poprečnom presjeku na udaljenosti x od oslonca A. Uvrštenjem (g) u (f) se dobije:

1 xM

r IE= (5.3.1-1)

Izjednačenjem izraza (e) i (5.3.1-1) dobije se diferencijalna jednadžba elastične linije drugog reda: 2

2xMd y

dx IE= − (5.3.1-2)

U nauci o čvrstoći često se koriste oznake za derivacije s crticama – primjerice za drugu derivaciju y po x-u:

2"

2

d yy

dx= (h)

pak se izaraz (5.3.1-2) može napisati u obliku: " xM

yIE

= − (5.3.1-3)


CK-POD-02

Diferencijalna jednadžba elastične linije rješava se integriranjem po x-u. Pritom treba paziti dali moment tromosti poprečnog presjeka i modul elastičnosti materijala grede imaju konstantnu vrijednost po cijeloj dužini grede – ako imaju (homogena greda konstantnog poprečnog presjeka) oni ne ulaze u podintegralnu funkciju. Ako izraz (5.3.1-3) napišemo u obliku: "

xIEy M= − (5.3.1-4)

integrira se samo desna strana izraza (5.3.1-4). U protivnom slučaju integrira se desna strana izraza (5.3.1-3). U oba slučaja dvostrukim integriranjem dobije se: ( )y y x=

jednadžba elastične linije savijene grede. S jednim integriranjem po x-u dobije se:

' dyy

dxθ= = (5.3.1-5)

izraz koji određuje kutove nagiba tangente duž grede. Treba istaknuti da oblik elastične linije ovisi o opterećenju, momentu savijanja xM , građevnom

materijalu grede, modul elastičnosti E , i obliku poprečnog presjeka, moment tromosti poprečnog presjeka I . Derivacijom po x-u izraza (5.3.1-4) a uzevši u obzir izraze (5.1.2-3), izvedene u 5.1.2, dobiju se:

''' xIE y Q= − (5.3.1-6) '''' xIE y q= (5.3.1-7)

diferencijalne jednadžbe elastične linije trećeg i četrvtog reda. Ako su progibi veliki diferencijalna jednadžba elastične linije je složenija od izvedenih oblika jer se polazi od donjeg izraza:

( )

''

32 2'1

xM y

IEy

= −

+

(5.3.1-4)

5.3.2 Odredivanje elastične linije Kako je već rečeno elastična linija se određuje integriranjem diferencijalne jednadžbe elastične linije. Osim oblika elastične linije, ( )y y x= , određuju se kutovi nagiba nad osloncima te veličina i

položaj najvećeg progiba. Određivanje elastične linije pokazat će se na dva primjera.

Primjer 5.3.2-1 Odrediti elastičnu liniju jednostavne grede opterećene jednolikim kontinuiranim opterećenjem prema prikazu na slici 5.3.2-1. Građevni materijal grede je homogen i poprečni presjeci su isti duž grede.

Slika 5.3.2-1 Jednostavna greda opterećena kontinuiranim opterećenjem

U 5.1.3-1 izveden je izraz (h) za moment savijanja u poprečnom presjeku udaljenom za x od oslonca A:

21( )

2xM q xl x= − (a)

Uvrštenjem (a) u (5.3.1-4) dobije se:

( )'' 21

2IE y q x x l= − (b)

Kako je greda od homogenog materijala i I je konstantno duž raspona diferencijalna jednadžba, izraz (b), može se integrirati:

( )' 21

0

2

xqIE y x l x dx c= − +∫ (c)

Nakon rješenja integrala dobije se: 3 2

'1

2 3 2

q x xIE y l c

= − +

(d)

Slijedi još jedna integracija:


CK-POD-02

3 2

1 2

0

2 3 2

x q x xIE y l c dx c

= − + +

∫ (e)

Nakon rješenja integrala dobije se opće rješenje diferencijalne jednadžbe elastične linije za razmatranu gredu:

( )4 31 2

1 2

24IE y q x l x c x c= − + + (5.3.2-1)

Konstante integracije 1c i 2c određuju se:

- uvrštenjem 0x = i 0y = , što vrijedi za elastičnu liniju u osloncu A, u izraz (d) dobije se:

2 0c = (f)

- na sredini raspona kut nagiba tangente je jednak nuli što se definira na sljedeći način: '1

02

x l y θ= → = = (g)

Uvrstivši u (g) u (d) dobije se: 3

1

1

24c q l= (h)

Nakon uvrštenja konstanti integracije 1c i 2c u izraze (d) i (5.3.2-1) dobije se:

( )' 3 2 3 6 4 24

qIE y IE l l x xθ= = − + (5.3.2-2)

( )3 3 4 2 24

qIE y l x l x x= − + (5.3.2-3)

Karakteristične veličine, najveći progib i kutovi nagiba tangente nad osloncima, definiraju se donjim izrazima:

4

max

5

2 384

l q lx y y

IE= → = = (5.3.2-4)

31 0 =

24A

q lx

IEθ θ= → = (5.3.2-5)

31 =

24B

q lx l

IEθ θ= → = − (5.3.2-6)

Primjer 5.3.2-2 Odrediti elastičnu liniju jednostavne grede opterećene koncentriranom silom prema prikazu na slici 5.3.2-2. Građevni materijal grede je homogen i poprečni presjeci su isti duž grede.

Slika 5.3.2-2 Jednostavna greda opterećena koncentriranom silom

U 5.1.3-2 izvedeni su izrazi (g) i (h) za momente savijanja u poprečnim presjecima udaljenim za x1 i x2 od oslonca A:

1 1

x

b FM x

l= (a)

2 2

( )x

a FM l x

l= − (b)

Kako dijagram momenata savijanja, slika 5.1.3-2,

ima lom za x=a integracija diferencijalne jednadžbe elastične linije integrirat će se posebno za lijevi i desni dio grede. Za dio grede 10 x a≤ < uvrštenjem (a) u (5.3.1-4) dobije se:

''1

F bIE y x

l= − (c)

i nakon integracije: 2

' 11

2

xF bIE y c

l= − + (d)

Za dio grede 2a x l< ≤ uvrštenjem (b) u (5.3.1-4) dobije se:


CK-POD-02

''

2 2

( )

F bIE y F x a x

l= − − (e)

i nakon integracije: 2 2

' 2 22

( )

2 2

x a xF bIE y F c

l

−= − + (f)

Konstante integracije 1c i 2c se određuje na osnovu jednakosti kuta nagiba, lijevo i desno, u poprečnom presjeku na x1=x2=a:

22 2

1 2

( )

2 2 2

F b a a F ba c F a c

l l

−− + = − + (g)

Iz gornje jednadžbe se dobije c1=c2 pak će se umjesto njih dalje pisati c. Integracijom izraza (d), za 10 x a≤ < , dobije se:

31

1 3

6

xF bIE y cx c

l= − + + (h)

Uvrštenjem 1 0x = i =0y , što vrijedi za elastičnu liniju u osloncu A, u izraz (h) dobije se:

3 0c = (i)

Integracijom izraza (f), za 2a x l< ≤ , dobije se: 3 3

2 22 4

( )

6 6

x a xF bIE y F cx c

l

−= − + + (j)

Kako su za 1 2x x a= = progibi u izrazima (h) i (j) jednaki slijedi: 3 3 3

4

( )

6 6 6

F b a a a F b ac a F c a c

l l

−− + = − + + (k)

Iz izraza (k) nalazi se:

4 0c = (l)

Preostala konstanta integracije c određuje se uvrštenjem 4 0c = , 2x l= i 0y = u izraz (j):

2 2 ( )

6

F bc l b

l= − (m)

pak se mogu izrazi (d), (f), (h) i (j) napisati u sređenom obliku. Za 10 x a≤ <

2 2 21

( 3 )

F bIE l b x

lθ = − − (5.3.2-7)

2 2 211

( )

F b xIE y l b x

l= − − (5.3.2-8)

Za 2a x l< ≤ 2

2 2 2 22

( ) ( 3 )

6 2

F x aF bIE l b x

lθ

−= − − + (5.3.2-9)

32 2 22 2

2

( ) ( )

6 6

F b x F x aIE y l b x

l

−= − − + (5.3.2-10)

Kutovi tangente na elastičnu liniju nad osloncima definiraju se sljedećim izrazima: 2 2 ( )

6 A

F b l b

l IEθ

−= (5.3.2-11)

( )

6 B

F b a l a

l IEθ

+= − (5.3.2-12)

Položaj najvećeg progiba nalazi se za a b> uvrštenjem =0θ u (5.3.2-7): 2 2 2

13 0l b x− − = (n)

Iz izraza (n) se nalazi: 2 2

13

l bx

−= (5.3.2-13)

i uvrštenjem (5.3.2-13) u (5.3.2-8) dobije se:


CK-POD-02

3

2 2 2

max

( )

9 3

F b l by

l IE

−= (5.3.2-14)

Ako koncentrirana sila djeluje na polovici raspona, 1

2a b l= = , dobije se:

3

max

48

F ly

IE= (5.3.2-15)

2

16 A B

F l

IEθ = −θ = (5.3.2-16)

U poglavlju 9, odjeljak 9.4, kao i u boljim tehničkim priručnicima daju se za tipične grede opterećene s tipičnim opterećenjima izrazi koji određuju elastičnu liniju, kutove nagiba tangente te položaj i veličinu najvećeg progiba. Svi ti izrazi sadrže neku funkciju od vanjskog opterećenja (VO) i apscise položaja poprečnog presjeka podijeljenu sa savojnom krutošću IE :

( )( ),f VO x

xIE

θθ = (5.3.2-17)

( ),maxmax

f VO

IEθθ = (5.3.2-18)

( )( ),yf VO x

y xIE

= (5.3.2-19)

( ),maxmax

yf VOy

IE= (5.3.2-20)

5.4 SPECIJALNI SLUČAJEVI SAVIJANJA GREDE

5.4.1 Statički neodređene grede Statički je greda neodređena ako ima reakcija veza više od uvjeta koji se mogu postaviti za njenu ravnotežu. Za primjer će se razmotriti određivanje ravnoteže grede upete na jednom kraju i oslonjene na dugom kraju – slika 5.4.1-1.

Slika 5.4.1-1 Statički neodređena greda

Slika 5.4.1-2 Greda sa slike 5.4.1-1 oslobođena veza

Razmatrana greda oslobođena je veza i s ucrtanim reakcijama veza prikazana je na slici 5.4.1-2. Nepoznate reakcije veza su sile AR i BR te moment upetosti UM . Za ovu se gredu mogu postaviti

dva uvjeta ravnoteže: 0yR = i 0AM = . Kako je broj nepoznanica veći od broja uvjeta ravnoteže za

jedan kaže se da je razmatrana greda jedanput statički neodređena. Gledajući s aspekta ravnoteže nepotrebna, pa i prekobrojna, je veza u B ali postoje realne konstrukcije s elementima oslonjenim kao razmatrana greda pak se za vezu u B ne može reći da je nepotrebna već prekobrojna. Za određivanje prekobrojnih reakcija veza uvode se dodatni uvjeti: za uklještenje je to nulti kut nagiba tangente na elastičnu liniju, za prekobrojni oslonac jednakost kutova nagiba tangente na elastičnu liniju lijevo i desno od oslonca ili nulti progib u tom osloncu. Po određenju reakcija veza određuju se dijagrami poprečnih sila i momenata savijanja, računaju se naprezanja u poprečnim presjecima i određuje elastična linija. Na primjeru statički neodređene grede, prikazane na slici 5.4.1-1, pokazat će se rješavanje problema metodom superpozicije i metodom diferencijalne jednadžbe.

Metoda superpozicije Postavljaju se prije navedeni uvjeti ravnoteže za mehanički model razmatrane grede prikazan na slici 5.4.1-2:

0 0y A BR R ql R= → − + − = (a)


CK-POD-02

1

0 02A U BM M l ql l R= → − + = (b)

Neka prekobrojna nepoznanica bude moment upetosti UM . Iz izraza (a) i(b) se definiraju reakcije u A i B:

1

2U

A

MR ql

l= + (c)

1

2U

B

MR ql

l= − (d)

Dodatni uvjet postavlja se na osnovu slike 5.4.1-1: kut kojeg zatvara tangenta na elastičnu liniju s osi x nad ležajem A jednak je nuli – ova tvrdnja se može smatrati kao dio definicije uklještenja. Uklještenje je takova veza koja ne dozvoljava rotaciju što u potpunosti vrijedi za poprečni presjek u A a ostali poprečni presjeci se zaokreću kako se greda deformira.

Slika 5.4.1-3 Grede koje se superponiraju

Gredu ekvivalentnu razmatranoj gredi dobije se superpozicijom dviju greda prikazanih na slici 5.4.1-3. Dodatni uvjet glasi:

, , 0A q A Mθ − θ = (e)

Izrazi koji definiraju kutove nagiba tangente prema osi x za ove dvije grede su:

3

,

24A q

q l

IEθ = , ,

M

3U

A M

l

IEθ = (f)

Uvrštenjem izraza (f) u izraz (e) određuje se moment upetosti: 21

8UM q l= (5.4.1-1)

Sada se mogu definirati sile koje djeluju u ležajima A i B uvrštenjem (5.4.1-1) u (c) i (d):

5

8AR ql= (5.4.1-2)

3

8BR ql= (5.4.1-3)

Problem se može riješiti na još jedan način. Za prekobrojnu nepoznanicu odabere se reakcija u B. Iz izraza (a) i (b) definiraju se reakcija AR i moment upetosti UM :

A BR R ql= − (g)

21

2U BM q l l R= − (h)

Slika 5.4.1-4 Grede koje se superponiraju

U ovom slučaju superponiraju se dvije grede, slika 5.4.1-4, a dodatni uvjet glasi:

, , 0B q B Ry y− = (i)

Izrazi koji definiraju progibe u B za ove dvije grede su:

4

,

8 B q

q ly

IE= ,

3

, 3 B

B R

R ly

IE= (j)

Uvrštenjem izraza (j) u izraz (i) dobije se: 3

8BR ql= (k)

Izrazi (5.4.1-3) i (k) su isti a lako se dokazuje da će se uvrštavanjem izraza (k) u izraze (g) i (h) za reakciju AR i moment upetosti UM dobiti izrazi isti izrazima (5.4.1-1) i (5.4.1-2). Dijagrami poprečnih sila i momenata savijanja mogu se odrediti na način izložen u 5.1. Dakle promatra se ravnoteža dijela grede, slika 5.4.1-5, i postavljaju uvjeti ravnoteže:

0 0y AR R qx Q= → − + + = (l)

210 0

2P A UM xR M qx M= → − + + + = (m)

Iz ovih uvjeta određuje se:


CK-POD-02

AQ R qx= − (n)

21

2U AM M x R q x= − + − (o)

Slika 5.4.1-5

Uvrštenjem izraza (5.4.1-1) do (5.4.1-3), za UM , AR i BR , u (n) i (o) dobiju se izrazi koji određuju poprečne sile i momente savijanja:

5

8Q ql qx= − (5.4.1-4)

2 21 5 1

8 8 2M q l x q l q x= − + − (5.4.1-5)

pomoću kojih su nacrtani dijagrami prikazani na slici 5.4.1-6.

Slika 5.4.1-6 Dijagrami poprečnih sila i momenata savijanaj Dijagrami poprečnih sila i momenata savijanja mogu se dobiti superpozicijom dijagrama poprečnih sila i momentata savijanja greda prikazanih na slici 5.4.1-3.

Metoda diferencijalne jednadžbe Polazi se od mehaničkog modela i rubnih uvjeta kojima se definiraju progibi i kutevi nagiba tan-

Slika 5.4.1-7 Mehanički model za primjenu metode diferencijalne jednadžbe

gente na krajevima grede: 0 0, 0A Ax yθ= → = = (p)

0, 0B Bx l yθ= → ≠ = (q)

te veza između poprečnih sila i momenata savijanja s vanjskim silama i momentima koji djeluju na krajevima grede:

0 , A A A Ux Q R M M= → = = − (r)

, 0B B Bx l Q R M= → = − = (s)

Diferencijalna jednadžba elastične linije četvrtog reda, izraz (5.3.1-7), uzastopno se integrira pak se dobiju sljedeći izrazi:

'''1 xIE y Q q x c− = = + (a1)

'' 21 2

1

2xIE y M q x c x c− = = + + (b1)

' 3 21 2 3

1 1

6 2xIE y IE q x c x c x cθ= = + + + (c1)

4 3 21 2 3 4

1 1 1

24 6 2IE y q x c x c x c x c= + + + + (d1)

Konstante integracije određuju se pomoću rubnih uvjeta definiranih izrazima (p) do (s). Ako se uvrsti 0 0, 0A Ax yθ= → = = u (c1) i (d1) dobije se:

3 0c = , 4 0c = (e1)

Ako se uvrsti M 0, 0B Bx l y= → = = u (b1) i (d1) dobiju se dvije jednadžbe s nepoznatim

konstantama integracije 1c i 2c :

21 2

10

2q l c l c= + + (e)

4 3 21 2

1 1 10

24 6 2q l c l c l= + + (f)

Rješenjem ovih jednadžbi dobije se:


CK-POD-02

1

5

8c ql= − 2

2

1

8c ql=

Uvrštenjem konstanti integracije u izraze (a1) do (d1) nakon sređenja se dobije: 5

( )8

xQ ql

l= − − (5.4.1-6)

221

4 5 18

x xM q l

l l

= − − +

(5.4.1-7)

3 231

8 15 648

x x xq l

IE l l lθ

= − +

(5.4.1-8)

4 3 241

2 5 348

x x xy q l

IE l l l

= − +

(5.4.1-9)

Metodom diferencijalne jednadžbe za razmatranu gredu određene su reakcije veza, poprečne sile i momenti savijanja te jednadžbe koje definiraju elastičnu liniju i kutove nagiba tangente prena osi x. Treba upozoriti da se radi integriranja ova metoda može primjeniti ako je opterećenje glatka funkcija. U protivnom treba raditi po segmentima čime metoda gubi prednost pred metodom superpozicije.

5.4.2 Grede neobičnog poprečnog presjeka Pri određivanju naprezanja u poprečnom presjeku grede, u 5.2, pretpostavljen je homogeni građevni materijal grede a pri određivanju elastične linije, u 5.3, još i konstantni poprečni presjek duž grede. U ovom odjelku razmotrit će se određivanje naprezanja u poprečnom presjeku grede od nehomogenog materijala i određivanje progiba grede nejednolikog poprečnog presjeka.

Primjer 5.4.2-1 Greda izgrađena od dva materijala Jednostavna greda prikazana na slici 5.4.2-1a) sastavljena je od materijala M1 i M2. Da bi se mogli koristiti izrazi izvedeni za homogene grede postojeći poprečni presjek, slika 5.4.2-1b), zamijenit će se s odgovarajućim homogenim poprečnim presjekom, slika 5.4.2-1c). Pritom treba sačuvati savojnu krutost koja se definira kao umnožak momenta tromosti i modula elastičnosti. U ovom slučaju zamijenit će se pravokutni dio poprečnog presjeka 2 2a b× , čiji je moment tromosti I2, od

materijala M2 s pravokutnikom '2 2a b× , čiji je moment tromosti I1, od materijaka M1. Dakle mora biti

ispunjeno:

1 1 2 2I E I E= (a)

Momenti tromosti za razmatrane pravokutnike su: ' 32 2

1 12

a bI = ,

32 2

2 12

a bI = (b)

Uvrštenjem (b) u (a), nakon sređenja, dobije se izraz za određivanje širine zamjenskog pravokutnika:

' 22 2

1

Ea a

E= (c)

Za primjer će se za gredu, slika 5.4.2-1a), odrediti najveće i najmanje savojno naprezanje u poprečnom presjeku ako je M1 čelik a M2 drvo. Podaci potrebni za izračune su: - moduli elastičnosti: - čelika E1 = 206000 N/mm2, - drva E2 = 12000 N/mm2, - F = 4500 N, - l = 3.0 m, - a1 = a2 = 100 mm, - b1 = 5 mm, - b2 = 150 mm.

Slika 5.4.2-1 Savijanje grede izrađene od dva materijala

Proračun se provodi u šest koraka:


CK-POD-02

1. korak Širina zamjenskog pravokutnika računa se po izrazu (c):

'2

12000 1005.83

206000a mm

⋅= =

2. korak Tabličnim proračunom određuju se kordinate težišta poprečnog presjeka prikazanog slikom 5.4.2-1c): 1 51.8 h mm= 2 103.2 h mm=

3. korak Tabličnim proračunom određuje se moment tromosti za poprečni presjek prikazan slikom 5.4.2-1c): 6 43.553 10I mm= ⋅

4. korak Najveći moment savijanja je:

6max

4500 30003.375 10 Nmm

4 4

F lM

⋅= = = ⋅

5. korak Najveća savojna naprezanja računaju se po izrazima:

6

2max 1max 1 6

3.375 10 51.8( ) 49.20 /

3.553 10

M hN mm

Iσ

⋅ ⋅= = =

⋅

6

2max 2max 2 6

3.375 10 103.2( ) 98.02 /

3.553 10

M hN mm

Iσ

⋅ ⋅= = =

⋅

6. korak Najveće savojno naprezanje 2

max 2( ) 98.02 /N mmσ = vrijedi za čelik a za drvo ga treba, prema

Hookeovom zakonu, korigirati s omjerom modula elastičnosti:

22max 2 max 2

1

12000( ) ( ) 98.02 5.71 /

206000drvo

EN mm

Eσ σ= = ⋅ =

Dakle najveća savojna naprezanja su u vanjskom sloje čelične trake 49.20 N/mm2 i u vanjskom sloju drvenog dijela grede 5.71 N/mm2. Opisani postupak temelji se na pretpostavci (a) koja daje približne ali uptrebljive rezultate. Naime izrazom (a) se čuva savojna krutost drvenog dijela poprečnog presjeka a trebalo bi sačuvati savojnu krutost cijelog poprečnog presjeka.

Primjer 5.4.2-2 Greda s nejednolikim poprečnim presjecima Konzola prikazana na slici 5.4.2-2 ima poprečni presjek konstantne širine c i promjenjive visine od h1 do h2. Odredit će se progib na slobodnom kraju konzole. Kako se poprečni presjek konzole mijenja duž konzole, pak se mijenja i moment tromosti poprečnog presjeka, integriranje diferencijalne jednadžbe uključuje i moment tromosti poprečnog presjeka u podintegralnoj funkciji.

Slika 5.4.2-2 Konzola nejednolikog poprečnog presjeka

Slika 5.4.2-3. Pojednostavnjeni oblik konzole

Moment savijanja u poprečnom presjeku određenom s x je: xM x F= − (a)

Moment tromosti tog poprečnog presjeka je: 3

12x

x

c hI = (b)


CK-POD-02

Na slici 5.4.2-3 prikazan je pojednostavnjeni oblik konzole i za visinu poprečnog presjeka, određenog s x , nalazi se:

2 11x

h hh x h

l

−= + (c)

Uz supstitucije:

2 1h hb

l

−= i 1a h= (d)

izraz (c) se može napisati u obliku:

xh bx a= + (e)

Sada se moment tromosti, izraz (b), izražava s izrazom: 3

( )12x

cI a bx= + (f)

Konačno se može napisati diferencijalna jednadžba elastične linije: 2

2 3

12

( )x

x

Md y F x

dx I E cE a b x= − =

+ (g)

iz koje se integriranjem dobije:

( )122

12 1 1

2

dy F ac

dx c E b a b x a b x

= − + +

+ +

(h)

1 22

12 1 1ln( )

2

F a xy a b x arctg c x c

c E b b a a

= − + + + +

(i)

Konstante integracije određuju se pomoću rubnih uvjeta. Uvrštenjem:

i 0dy

x ldx

= = (j)

u izraz (h) dobije se:

1 2 2

1 1

2( )

ac

b a b l a b l

= − + +

(5.4.2-1)

Konstanta integracije 2c određuje se iz izraza (i) nakon što se u njega uvrste konstanta integracije

1c , izraz (5.4.2-1), i rubni uvjeti: i 0 x l y= = (k)

2 1 2

1 1 2ln( )

2

lc c l a b l arctg

b b a

= − + + −

(5.4.2-2)

Izraz za progib na slobodnom kraju konzole određuje se iz izraza (i) nakon što se u njega uvrste izrazi (5.4.2-1) i (5.4.2-2) te:

max0 x y y= → = (l)

max 3 2 2 2 3 2

12 ln 1 ln( )

( ) 2 ( ) 2

F a a a b l a ly arctg

c E b b a b l b a b l b b a

+= − − + + −

+ + (5.4.2-3)

Za zadane vrijednosti: h1 = 10 mm, h2 = 50 mm, c = 100 mm, l = 500 mm, F = 50 kN,

progib na slobodnom kraju konzole je:

max 80 y mm=

5.4.3 Koso savijanje grede Grede se u konstrukcijama obično postavljaju tako da savojno opterećenje djeluje u ravnini koja sadrži glavnu os tromosti za koju moment tromosti poprečnog presjeka grede ima najmanju


CK-POD-02

vrijednost. Greda se savija oko osi okomite na ravninu u kojoj djeluje savojno opterećenje a za tu os moment tromosti poprečnog presjeka ima najveću vrijednost. Za opisano stanje opterećenja grede izvedeni su izrazi s kojima se određuju naprezanja u poprečnom presjeku i elastična linija grede. Ako savojno opterećenje ne djeluje u ravnini koja sadrži glavnu os tromosti poprečnog presjeka govori se o kosom savijanju grede. Razmatranje će se radi jednostavnosti provesti za gredu pravokutnog poprečnog presjeka. Na slici 5.4.3-1 osi y i z su glavne osi tromosti i ravnina u kojoj djeluje vanjsko savojno opterećenje zatvara s osi z kut α . Rezultantni moment savijanja M , kojeg treba generirati normalno naprezanje u poprečnom presjeku, rastavlja se na komponente

i y zM M od kojih prva savija gredu oko osi y a druga oko osi z .

Slika 5.4.3-1 Koso savijanje grede

Slika 5.4.3-2 Položaj neutralnog sloja pri kosom savijanju grede

Normalna naprezanja , yx Mσ od yM i , zx Mσ od zM se su-

perponiraju (zbrajaju) u rezultantno naprezanje:

, ,y zx x M x Mσ σ σ= − (a)

Pojedina normalna naprezanja se definiraju prema izrazu (5.2.1-3):

, y

yx M

y

Mz

Iσ = (b)

, z

zx M

z

My

Iσ = (c)

Komponentni momenti savijanja mogu se izraziti pomoću rezultantnog momenta savijanja M :

cosyM M= α (d)

sinzM M= α (e)

Uvrštavanjem (d) i (e) u (b) i (c) i (b) i (c) u (a) dobije se:

cos sinx

y z

z yM

I Iσ

α α= −

(f)

Izraz (f) omogućava traženje položaja neutralnog sloja. U neutralnom sloju normalno naprezanje jednako je nuli:

cos sin0 0x

y z

z y

I Iσ

α α= → − = (g)

pak je pravac koji određuje neutralni sloj dan izrazom:

y

z

Iz y tg

I= α (h)

Kako je vidljivo na slici 5.4.3-2 pravac neutralnog sloja ne poklapa se s pravcem djelovanja rezultantnog momenta savijanja – ovi bi se pravci poklopili kad bi poprečni presjek bio kvadrat. Radi određivanja položaja neutralnog sloja uvodi se kut β i prema slici 5.4.3-2 definira se:

z tg y= β (i) Uvrštenjem (i) u (h) dobije se:

y

z

Itg tg

Iβ = α (j)

Rezultantni progib δ koso savijene grede, slika 5.4.3-2, i sastoji se od progiba i w v :

2 2v wδ = + (k) Progibi i w v proporcionalni su momentima savijanja a obrnuto proporcionalni momentima tromosti što se pomoću izraza (d) i (e) izražava:

cosy

y y

M Mw k k

I I

α= = (l)

sinz

z z

M Mv k k

I I

α= = (m)

Temeljem slike 5.4.3-2 vrijedi


CK-POD-02

v

ctgw

γ = (n)

Uvrštenjem (l) i (m) u (n) dobije se:

y

z

Ictg tg

Iγ = α (o)

Usporedbom izraza (j) i (o) nalazi se: ctg tg βγ = (p)

Prema izrazu (p) kutovi i γ β su komplementarni kutovi pak rezultantni progib leži u ravnini okomitoj na ravninu neutralog sloja.

Slika 5.4.3-3 Raspored normalnih

naprezanja kod kosog savijanja Zaključno najveća normalna naprezanja definiraju se pomoću izraza (b) i (c) uvođenjem momenata otpora poprečnog presjeka:

( ),maxy

yx M

y

M

Wσ = (5.4.3-1)

( ), maxz

zx M

z

M

Wσ = (5.4.3-2)

Najveće i najmanje rezultantno normalno naprezanje određuje se, prema izrazu (a), donjim izrazima :

( ) ( ) ( ){ }, ,max max maxmax

z yx x M x Mσ σ σ= − (5.4.3-3)

( ) ( ) ( ){ }, ,min max maxmin

z yx x M x Mσ σ σ= − (5.4.3-4)

Ilustracija rasporeda normalnog naprezanja po poprečnom presjeku dana je na slici 5.4.3-3.

5.5 RJEŠAVANJE PROBLEMA Osnovni posao je dimenzioniranje: izbor oblika poprečnog presjeka, ako će se greda izvesti od standardnih profila, ili konstruiranje složenog poprečnog presjeka uz zadovoljenje sljedećih uvjeta:

- najveće normalno naprezanje u poprečnom presjeku mora biti manje ili jednako dopuštenom normalnom naprezanju dσ , - najveće smično naprezanje u poprečnom presjeku mora biti manje ili jednako dopuštenom smičnom naprezanju dτ ,

- najveći progib elastične linije grede mora biti manji ili jednak dopuštenom progibu dy i najveći nagib tangente mora biti manji ili jednak dopuštenom nagibu dθ .

Dodatni posao je za poznati oblik poprečnog presjeka grede odrediti veličine normalnog i smičnog naprezanja u poprečnom presjeku te progibe i nagibe tangente na elastičnu liniju grede. Navedeni poslovi obavljaju se kroz četiri zadatka koristeći prije izvedene izraze za rješavanje 1. i 2. zadatka koji se odgovarajuće modificiraju za rješavanje 3. i 4. zadatka.

1. zadatak računanje normalnih i smičnih naprezanja

Opći slučaj savijanja grede (uključuje i čisto savijanje uz maxM M= )

normalno naprezanje u sloju udaljenom za η od neutralnog sloja

max M

I

ησ η = (5.2.1-3a)

najveća normalna naprezanja u krajnjim slojevima

max

max1,

1M

M

Wσ = ,

max

max2,

2M

M

Wσ = − (5.2.3-1)

{ }max maxmax 1, 2,max ,M Mσ σ σ= (5.2.3-2)

za simetrične poprečne presjeke

maxmax

M

Wσ = (5.2.3-4)


CK-POD-02

smično naprezanje u sloju udaljenom za η od neutralnog sloja

,Q

S

b Iζ ητη = (5.2.3-5)

najveće smično naprezanja u neutralnom sloju

,0max 0

Q

S

b Iζτ τη== = (5.2.3-9)

Koso savijanje najveća normalna naprezanja za komponente opterećenja

( ),maxy

yx M

y

M

Wσ = (5.4.3-1)

( ), maxz

zx M

z

M

Wσ = (5.4.3-2)

najveće i najmanje rezultantno normalno naprezanje:

( ) ( ) ( ){ }, ,max max maxmax

z yx x M x Mσ σ σ= − (5.4.3-3)

( ) ( ) ( ){ }, ,min max maxmin

z yx x M x Mσ σ σ= − (5.4.3-4)

Glavna naprezanja 2

21 2 2

x xσ σσ τ

= + +

(5.2.3-10)

22

2 2 2x xσ σ

σ τ

= − +

(5.2.3-11)

22

x

tgτ

ϕσ

= − (5.2.3-12)

221 2

max 2 2xσσ σ

τ τ−

= = +

(5.2.3-13)

2. zadatak računanje progiba i nagiba tangente na elastičnu liniju grede

( )( ),f VO x

xIE

θθ = (5.3.2-17)

( ),maxmax

f VO

IEθθ = (5.3.2-18)

( )( ),yf VO x

y xIE

= (5.3.2-19)

( ),maxmax

yf VOy

IE= (5.3.2-20)


Opći slučaj savijanja grede (uključuje i čisto savijanje uz maxM M= )

{ }max maxmax 1, 2,max ,M M dσ σ σ σ= ≤ (5.2.3-2a)

max

max max1, 1

1M d

d

M MW

Wσ σ

σ= ≤ → ≥ (5.2.3-1a)

max

max max2, 2

2M d

d

M MW

Wσ σ

σ= − ≤ → ≥ − (5.2.3-1a)

za simetrične poprečne presjeke

max maxmax d

d

M MW

Wσ σ

σ= ≤ → ≥ (5.2.3-4a)


CK-POD-02

,0max

,0

Q Q

dd

S b I

b I Sζ

ζ

τ ττ

= ≤ → ≥ (5.2.3-9a)

Koso savijanje

( ) ( ) ( ){ }, ,max max maxmax

z yx x M x M dσ σ σ σ= − ≤ (5.4.3-3a)

( ),maxy

y yx M d y

y d

M MW

Wσ σ

σ= ≤ → ≥ (5.4.3-1a)

( ), maxz

z zx M d z

z d

M MW

Wσ σ

σ= ≤ → ≥ (5.4.3-2a)

Glavna naprezanja 2

21 2 2

x xd

σ σσ τ σ

= + + ≤

(5.2.3-10a)

22

2 2 2x x

d

σ σσ τ σ

= − + ≤

(5.2.3-11a)

22

max 2x

d

στ τ τ

= + ≤

(5.2.3-13a)

4. zadatak dimenzioniranje po dopuštenom progibu i dopuštenom nagibu

( ),maxmax d

f VO

IEθθ θ= ≤ →

( ),max

d

f VOI

Eθ

θ≥ (5.3.2-18a)

( ),maxmax

yd

f VOy y

IE= ≤ →

( ),max

E y

d

f VOI

y≥ (5.3.2-20a)

5.6 PRIMJERI DIMENZIONIRANJA GREDA U nastavku teksta daje se nekoliko primjera dimenzioniranja grede.

Primjer 5.6-1 Jednostavnu gredu, prikazanu na slici 5.6-1.1, izvesti od čeličnog standardnog ili I U profila. Kriterij izbora je manja količina građevnog materijala. Zadano: F = 25.0 kN, l = 8.0 m,

dσ = 75.0 N/mm2

dτ = 40.0 N/mm2.

Slika 5.6-1.1

Rješavanje: Najveći moment savijanja djeluje u poprečnom presjeku na sredini raspona grede i određuje se pomoću izraza (5.1.3-9) izvedenog u 5.1.3:

max 4

FlM = (a)

3 3

7max

25.0 10 8.0 105.0 10

4M Nmm

⋅ ⋅ ⋅= = ⋅

Potrebni moment otpora poprečnog presjeka određuje se po izrazu (5.2.3-4a) koji vrijedi za simetrične poprečne presjeke:

max

d

MW

σ≥


CK-POD-02

7

5 3 3max 5.0 106.667 10 666.7

75.0d

MW mm cm

σ

⋅≥ = = ⋅ =

Iz tablica za standardne profile, po principu „prvi veći“, odgovaraju profili 32I i 32U čije su značajke dane u tablici 5.6-1.

Tablica 5.6-1 Značajke odabranih profila

Svojstvo profila Profil 32I Profil 32U Profil 35U Visina profila, mm 320 320 350 Moment otpora poprečnog presjeka, cm3 W = 782.0 W = 679.0 W = 734.0 Momemt tromosti poprečnog presjeka, cm4 I = 12510.0 I = 10870.0 I = 12840.0 Statički moment polovine površine poprečnog presjeka profila, cm3

,0Sζ = 457.0

,0Sζ = 413.0

,0Sζ = 459.0

Masa jednog metra profila, kg/m 1m = 61.1 1m = 59.5 1m = 60.6 Debljina struka b , mm 11.5 14.0 14.0 Najveća smična naprezanja provjeravaju se pomoću izraza (5.2.3-9a):

max ,0max

Q

d

S

b Iζτ τ= ≤

u kojeg treba uvrstiti poprečnu silu maxQ . Za razmatranu gredu ova se sila određuje pomoću izraza

(5.1.3-8) izvedenog u 5.1.3:

max

1

2Q F= (b)

max 0.5 25000.0 12500.0 Q N= ⋅ =

Za profil 32I se dobije:

3

2 2max 4

12500.0 457.0 103.97 / 40.0 /

11.5 12510.0 10N mm N mmτ

⋅ ⋅= = ≤

⋅ ⋅

Za profil 32U se dobije:

3

2 2max 4

12500.0 413.0 103.39 / 40.0 /

14.0 10870.0 10N mm N mmτ

⋅ ⋅= = ≤

⋅ ⋅

Dakle za oba razmatrana profila najveće vrijednosti smičnog naprezanja manje su od dopuštene vrijednosti smičnog naprezanja. U daljnjem postupku uzima se u obzir vlastita težina grede kao kontinuirano jednoliko opterećenje q , u N/mm, koje se dobije množeći masu jednog metra profila, veličina 1m u tablici 5.6-1, s ubrzanjem sile teže: - za gredu od profila 32I 1 /1000. 61.1 9.81 /1000. 0.599 /q m g N mm= = ⋅ = - za gredu od profila 32U 1 /1000. 59.5 9.81 /1000. 0.584 /q m g N mm= = ⋅ = Novo opterećenje grede definirano je na slici 5.6-1.2. Ponovno se računaju najveći moment savijanja i najveća poprečna sila. Vrijednostima određenim pomoću izraza (a) i (b), koji vrijede za gredu prikazanu na slici 5.6-1.1, treba dodati odgovarajuće vrijednosti koje su određene izrazima (5.1.3-2) i (5.1.3-3):

max

1

2Q ql= (c)

2max

1

8M ql= (d)

Slika 5.6-1.2

koji izrazi su izvedeni u 5.1.3 za gredu opterećenu jednolikim kontinuiranim opterećenjem. Novi su izrazi za određivanje najvećeg momenta savijanja i najveće poprečne sile:

2max

1

4 8

FlM ql= + (e)

max

1 1

2 2Q F ql= + (f)

Pregledom slika 5.1.3-1 i 5.1.3-2 nalaze se mjesta djelovanja:


CK-POD-02

- najveći moment savijanja, određen izrazom (e), djeluje u poprečnom presjeku na sredini raspona grede, - najveća poprečna sila, određena izrazom (f), djeluje u poprečnim presjecima nad osloncima. Nove vrijednosti su: - za gredu od profila 32I :

2

7 7max

0.599 8000.05.0 10 5.479 10

8M Nmm

⋅= ⋅ + = ⋅

max

0.599 8000.012500.0 14896.0

2Q N

⋅= + =

- za gredu od profila 32U :

2

7 7max

0.584 8000.05.0 10 5.467 10

8M Nmm

⋅= ⋅ + = ⋅

max

0.584 8000.012500.0 14836.0

2Q N

⋅= + =

Slijedi proračun najvećih normalnih naprezanja po izrazu (5.2.3-4) s novim vrijednostim najvećeg momenta savijanja i vrijednostima momenta otpora iz tablice 5.6-1: - za gredu od profila 32I :

7

2maxmax 3

5.479 1070.06 /

782.0 10

MN mm

Wσ

⋅= = =

⋅


7

2maxmax 3

5.467 1080.52 /

679.0 10

MN mm

Wσ

⋅= = =

⋅

Najveća smična naprezanja računaju se po izrazu (5.2.3-9) s novim vrijednostim najveće poprečne sile i vrijednostima momenta tromosti, statičkog momenta polovine površine poprečnog presjeka i debljine struka iz tablice 5.6-1: - za gredu od profila 32I :

3max ,0 2

max 4

Q 14896.0 457.0 104.73 /

11.5 12510.0 10

SN mm

b Iζτ

⋅ ⋅= = =

⋅ ⋅


3

max ,0 2max 4

Q 14836.0 413.0 104.03 /

14.0 10870.0 10

SN mm

b Iζτ

⋅ ⋅= = =

⋅ ⋅

Rezultati govore da standardni profil 32I zadovoljava jer su najveća i normalna i smična naprezanja manja od dopuštenih dok je kod standardnog profila 32U najveće normalno naprezanje veće od dopuštenog. Zato treba uzeti prvi veći profil a to je 35U . Ponavljaju se proračuni za ovaj profil: - za gredu od profila 32U 1 /1000. 60.6 9.81 /1000. 0.594 /q m g N mm= = ⋅ =

2

7 7max

0.594 8000.05.0 10 5.475 10

8M Nmm

⋅= ⋅ + = ⋅

max

0.594 8000.012500.0 14876.0

2Q N

⋅= + =

7

2maxmax 3

5.475 1074.59 /

734.0 10

MN mm

Wσ

⋅= = =

⋅

3

max ,0 2max 4

Q 14876.0 459.0 103.80 /

14.0 12840.0 10

SN mm

b Iζτ

⋅ ⋅= = =

⋅ ⋅

Kako su najveća normalna i smična naprezanja manja od dopuštenih standardni profil 35U zadovoljava. Za izvedbu razmatrane grede odabire se standardni profil 35U jer ima manju masu po metru duljine, 1m = 60.6 kg/m, od standardnog profila 32I , 1m = 61.1 kg/m.


CK-POD-02

Primjer 5.6-2 Dimenzionirati gredu prikazanu na slici 5.6-2.1. Utvrditi dali odgovara standardni I profil. Zanemariti masu grede. Zadano: F = 100 kN, a = 0.15 m, b = 3.0 m,

dσ = 80.0 N/mm2, dτ = 40.0 N/mm2.

Slika 5.6-2.1

Rješavanje:

Slika 5.6-2.2

Reakcije se određuju iz uvjeta ravnoteže: 0 0y A BR R F F R= → − + + − =

0 ( ) ( ) 0A BM aF a b F a b a R= → − − + + + + =

BR F=

A BR R F= =

Dijagrami poprečnih sila i momenata savijanja prikazani su na slici 5.6-2.2

5max max 10Q F Q N= → =

5 7max max 150*10 1.5*10M a F M Nmm= → = =


max

d

MW

σ≥

7

3 3max 1.5 10187500 187.5 c

80d

MW mm m

σ

⋅≥ = = =

Iz tablica za standardne profile, po principu „prvi veći“, odabran je profil 20I čije su značajke dane u tablici 5.6-2.


Svojstvo profila Profil 20I Profil 30I Visina profila, mm 200 300 Moment otpora poprečnog presjeka, cm3 W = 214.0 W = 653.0 Momemt tromosti poprečnog presjeka, cm4 I = 2140.0 I = 9800.0 Statički moment polovine površine poprečnog presjeka profila, cm3

,0Sζ = 125.0

,0Sζ = 381.0

Masa jednog metra profila, kg/m 1m = 26.3 1m = 54.2 Debljina struka b , mm 7.5 10.8 Najveća smična naprezanja provjeravaju se pomoću izraza (5.2.3-9a):

max ,0max

Q

d

S

b Iζτ τ= ≤

5 5max ,0 2

max 7

Q 10 1.25 1077.88 /

2.14 10 7.5

SN mm

b Iζτ

⋅ ⋅= = =

⋅ ⋅

Najveće smično naprezanje u neutralnom sloju: 2 2

max 77.88 / 40.0 /N mm N mmτ = ≥

je veće od dopuštenog pak profil 20I u principu ne zadovoljava. Zadovoljio bi profil 30I , čije su karakteristike dane u tablici 5.6-2, jer je njegovo najveće smično naprezanje:

5 5max ,0 2

max 7

Q 10 3.81 1036.0 /

9.8 10 10.8

SN mm

b Iζτ

⋅ ⋅= = =

⋅ ⋅

manje od dopuštenog dτ = 40.0 N/mm2.


CK-POD-02

Greda izrađena od profila 30I bila bi za cca 106% teža od grede izrađene od profila 20I . Uzevši u obzir da profil 20I zadovoljava zahtjeve za normalna naprezanja a poprečna sila, slika 5.5-2.2,

ima veličinu 5max 10Q N= samo u području 150 mm uz oslonce, a na ostalom dijelu raspona je

jednaka nuli, rješenje je u povećanju debljine struka na cca 15 mm u duljini cca 200 mm od oslonaca.

Primjer 5.6-3 Jednostavnu gredu, prikazanu na slici 5.6-3, izvesti od čeličnog I profila. Uzeti u obzir težinu grede. Zadano: F = 25.0 kN, l = 16.0 m,

dσ = 80.0 N/mm2,

dτ = 40.0 N/mm2, 800d

ly ≤ .

Slika 5.6-3

Rješavanje: Pri dimenzioniranju grede odnosno izboru I profila treba osim zahtjeva za naprezanje zadovoljiti i zahtjev za najveći progib. Težina grede uzet će se u obzir nakon što se u prvom koraku odabere I profil prema naprezanjima koja izaziva sila F .

Prvi korak Najveći moment savijanja djeluje u poprečnom presjeku na sredini raspona grede i određuje se pomoću izraza (5.1.3-9) izvedenog u 5.1.3:

max 4

FlM = (a)

3 3

8max

25.0 10 16.0 101.0 10

4M Nmm

⋅ ⋅ ⋅= = ⋅


max

d

MW

σ≥

8

6 3 3max 1.0 101.25 10 1250.0

80.0d

MW mm cm

σ

⋅≥ = = ⋅ =

Iz tablica za standardne profile, po principu „prvi veći“, odgovara profil 38I čije su značajke dane u donjoj tablici.


Svojstvo profila Profil 38I Profil 55I Visina profila, mm 380 550 Moment otpora poprečnog presjeka, cm3 W = 1260.0 W = 3610.0 Momemt tromosti poprečnog presjeka, cm4 I = 24010.0 I = 99180.0 Statički moment polovine površine poprečnog presjeka profila, cm3

,0Sζ = 741.0

,0Sζ = 2120.0

Masa jednog metra profila, kg/m 1m = 84.0 1m = 167.2 Debljina struka b , mm 13.7 19.0 Najveća smična naprezanja provjeravaju se pomoću izraza (5.2.3-9a):

max ,0max

Q

d

S

b Iζτ τ= ≤

u kojeg treba uvrstiti poprečnu silu maxQ . Za razmatranu gredu ova se sila određuje pomoću izraza

(5.1.3-8) izvedenog u 5.1.3:

max

1

2Q F= (b)

max 0.5 25000.0 12500.0 Q N= ⋅ =

Za profil 38I se dobije:


CK-POD-02

3

2 2max 4

12500.0 741.0 102.82 / 40.0 /

13.7 24010.0 10N mm N mmτ

⋅ ⋅= = ≤

⋅ ⋅

Najveći progib će se računati uzevši u obzir težinu grede dakle za gredu prikazanu na slici 5.6-2.1 u primjeru 5.6-1. Opterećenje od težine grede je: 1 /1000. 84.0 9.81 /1000. 0.824 /q m g N mm= = ⋅ = Izraz za progib, u sredini raspona grede, dobije se zbrojivši progibe od sile i kontinuiranog opterećenja. Koristeći izraze za progibe dane u poglavlju 9, odjeljak 9.4, može se napisati:

3 4

max

5

48 384

Fl qly

IE IE= + (c)

Uvrštenjem zadanih vrijednosti, s 2206000 /E N mm= , dobije se:

3 3 3

max 4

5 16000 25.0 10 5 0.824 16000.057.3

48 384 48 38424010.0 10 206000

l F qly mm

IE

⋅ ⋅ ⋅ = + = + =

⋅ ⋅

Kako je:

16000.0

20 800 800d

ly mm≤ = =

profil 38I ne zadovoljava jer je: max dy y≥

Drugi korak Ispitat će se odgovara li profil 55I čije se karakteristike navedene u tablici 5.6-3. Opterećenje od težine grede je: 1 /1000. 167.2 9.81 /1000. 1.64 /q m g N mm= = ⋅ = Najveći progib je:

3 3 3

max 4

5 16000 25.0 10 5 1.64 16000.017.29

48 384 48 38499180.0 10 206000

l F qly mm

IE

⋅ ⋅ ⋅ = + = + =

⋅ ⋅

Kako je:

max 17.29 20.0 dy mm y mm= ≤ = profil 55I zadovoljava zahtjev dopuštenog progiba a zadovoljava i zahtjeve za naprezanja jer ih je zadovoljavao i profil 38I . Radi kompletnosti izračunat će se najveća normalna i smična naprezanja. Veličine najvećeg momenta savijanja i najveće poprečne sile određuju se izrazima (e) i (f) navedenim u primjeru 5.6-1.

3 3 2

2 8max

1 25.0 10 16.0 10 1.64 16000.01.52 10

4 8 4 8

FlM ql Nmm

⋅ ⋅ ⋅ ⋅= + = + = ⋅

max

1 10.5 25000.0 0.5 1.64 16000.0 25620.0

2 2Q F ql N= + = ⋅ + ⋅ ⋅ =

Najveće normalno naprezanje računa se po izrazu (5.2.3-4) s novim vrijednostim najvećeg momenta savijanja i vrijednostima momenta otpora danim u tablici 5.6-3 za profil 55I :

8

2maxmax 3

1.52 1042.11 /

3610.0 10

MN mm

Wσ

⋅= = =

⋅

Najveća smična naprezanja računaju se po izrazu (5.2.3-9) s novim vrijednostim najveće poprečne sile i vrijednostima momenta tromosti, statičkog momenta polovine površine poprečnog presjeka i debljine struka danim u tablici 5.5-3 za profil 55I :

3max ,0 2

max 4

Q 25620.0 2120.0 102.88 /

19.0 99180.0 10

SN mm

b Iζτ

⋅ ⋅= = =

⋅ ⋅


CK-POD-02

6. ČVRSTOĆA VRATILA Veći dio kinetičke energije, kojom se osigurava život i razvoj ljudskog društva, stvara se i troši u konstrukcijama (strojevi i uređaji) čiji bitni element je vratilo koje rotira s kutnom brzinom ω . Poznato je, iz kinetike, da se trošenjem kinetičke energije dobija mehanički rad W koji je određen izrazom:

2

1

W M dϕ

ϕ

ϕ= ∫ (a)

Granice integrala u izrazu (a) su kutovi rotacije vratila. Nadalje snaga P koja se prenosi vratilom, bilo pri stvaranju ili trošenju energije, definira se izrazom: P Mω= (b) U izrazima (a) i (b) M je, s aspekta kinetike, moment sprega koji vrši rad odnosno određuje, skupa s kutnom brzinom, snagu koja se prenosi vratilom. S aspekta nauke o čvrstoći M je moment koji uvija vratilo odnosno uzrokuje deformaciju vratila. Ovaj moment često se zove moment torzije. U nekim konstrukcijama, koje ne učestvuju u stvaranju i transferu energije, postoje elementi koji miruju a opterećeni su uvojno. U ovom poglavlju definirat će se veza između uvojnog (torzionog) opterećenja, deformacije i naprezanja i dati osnove za dimenzioniranje vratila. Poprečni presjeci vratila najčešće su kružnog oblika pak će se najprije izložiti teorija uvijanja takvih vratila.

6.1 DEFORMACIJE I NAPREZANJA Na slici 6.1-1a) definirana je geometrija vratila: valjak promjera d i duljine l s ucrtanim izvodnicama 1 i 2i i te odreskom valjka, na udaljenosti x od nepomične baze vratila, duljine dx . Izvodnice 1 i 2i i s kružnicama odreska valjka formiraju pravokutni četverokut 1 2 3 4T T T T na plaštu

valjka. Na dijelu b) slike 6.1-1 dan je dijagram momenata torzije UM , koji djeluju u poprečnim presjecima vratila, i drže ravnotežu vanjskom momentu torzije tM .

Slika 6.1-1 Geometrija i opterećenje vratila

Slika 6.1-2 Deformacije vratila

Deformacija vratila, prikazana na slici 6.1-2, ispoljava se u rotaciji poprečnih presjeka za kut xθ koji se mjeri od položaja radijusa kružnog presjeka u neopterećenom stanju do položaja tog radijusa u opterećenom stanju kada je došlo do deformacije. Ova deformacija očituje se i uvijanjem izvodnica 1 i 2i i . Pri opisanoj deformaciji poprečni presjeci ostaju ravni. Dio valjka duljine dx s naznačenim

deformacijama prikazan je na slici 6.1-3 a na slikama 6.1-4 i 6.1-5 definirane su deformacije četverokuta 1 2 3 4T T T T i ' ' ' '

1 2 3 4T T T T .

Slika 6.1-3 Deformacije dijela vratila

Slika 6.1-4 Deformacija četverokuta 1 2 3 4T T T T

Slika 6.1-5 Deformacija četverokuta ' ' ' '

1 2 3 4T T T T


CK-POD-02

Uspoređujući četverokut 1 2 3 4T T T T na slici 6.1-1a) s onim na slici 6.1-4 vidi se da je stranica 3 4T T proklizala u odnosu na stranicu 1 2T T . Ova pojava se može vidjeti golim okom. Slično se deformirao

četverokut ' ' ' '1 2 3 4T T T T , slika 6.1-5, pod djelovanjem smičnog naprezanja rτ . Pri razmatranju smično

opterećenog štapa u 3. poglavlju, slika 3.2-2, uspostavljena je veza između kuta smika i smičnog naprezanja, Hookeovim zakonom za smik, izrazom (3.2-3): Gτ γ= (a) Uz napomenu da su slike 3.2-2 i 6.1-5, izuzimajući oznake iste, izraz (a) se prilagođava oznakama na slici 6.1-5: r r Gτ γ= (b)

Apsolutni smik r dxγ sa slike 6.1-5 dovodi se u vezu s rotacijom poprečnog presjeka, slika 6.1-3,

za kut dθ : r dx r dθγ = (c)

Iz izraza (c) se definira smik:

r

dr

dx

θγ = (d)

Uvrštenjem (d) u (b) dobije se:

G r

dr

dx

θτ = (e)

Kako je promjena kuta dθ konstantna duž vratila uvodi se konstanta:

G d

kdx

θ= (f)

pak se smično naprezanje na radijusu r određuje donjim izrazom: r k rτ = (g)

Koristeći izraz (g) definira se raspored smičnih naprezanja na slici 6.1-6.

Slika 6.1-6 Raspored smičnih naprezanja

Slika 6.1-7 Skica za moment torzije

Na početku je rečeno da vrijedi:

t UM M= (h)

Moment torzije UM , koji djeluju u poprečnom presjeku vratila, i kojeg generiraju smična naprezanja odredit će se temeljem prikaza na slici 6.1-7. Diferencijalna smična sila na radijusu r definira se izrazom: rdQ dAτ= (i)

i njen moment za točku O odnosno diferencijalni moment torzije: UdM r dQ= (j)

Ukupni moment torzije dobije se sumiranjem svih diferencijalnih momenata torzije koji djeluju na cijeloj površini poprečnog presjeka:

( )

U

A

M r dQ= ∫ (k)

Uvrštenjem (g) i (i) u (k) dobije se:

2

( )

U

A

M k r dA= ∫ (l)

Pri sređivanju gornjeg izraza uzeto je u obzir da je k konstanta pak se dobije integral:


CK-POD-02

2

( )

P

A

I r dA= ∫ (6.1-1)

koji ima posebno značenja za torziju vratila. Veličina definirana izrazom (6.1-1) zove se polarni moment tromosti poprečnog presjeka. Sada se izraz (l) može napisati u obliku:

t PM k I= (m)

Uvrstivši izraz (g) u (m) dobije se: t

rP

M r

Iτ = (6.1-2)

Izraz (6.1-2) utvrđuje linearnu ovisnost smičnog naprezanja o radijusu r , kao i izraz (g), ali daje mogućnost izračuna vrijednosti smičnog naprezanja. Za dimenzioniranje vratila treba odrediti najveću vrijednost smičnog naprezanja. Najveće smično naprezanje djeluje na stranicama četverokuta na oplošju vratila jer je za taj četverokut, slike 6.1-3 i 6.1-4, najveći kut smika za najveći radijus, slika 6.1-6, pak se uvrštenjem:

max 2

dr τ τ= → = (n)

u izraz (6.1-2) dobije:

max

2t

P

M d

Iτ = (o)

Slično kao kod savijanja grede uvodi se još jedna značajka poprečnog presjeka: 2 P

P

IW

d= (6.1-3)

koja se naziva polarni moment otpora poprečnog presjeka. Sada se najveće smično naprezanje definira izrazom:

max

t

P

M

Wτ = (6.1-4)

Polarni moment tromosti kružnog poprečnog presjeka za os kroz toku O određeuje se prema slici 6.1-8.

Slika 6.1-8 Skica za određivanje

polarnog momenta tromosti

Diferencijalna površina je: dA r d drϕ = (p) Uvrštenjem izraza (p) u izraz (6.1-1) dobije se:

/2 2

2 3

( ) 0 0

d

P

A

I r dA r dr dπ

ϕ= =∫ ∫ ∫ (q)

Nakon integriranja:

/242

00

4

d

P

rI

πϕ= (r)

i uvrštavanja granica integracije dobije se izraz kojim se određuje polarni moment tromosti za kružni poprečni presjek:

4

32P

dI

π= (6.1-5)

Koristeći definiciju polarnog momenta otpora, izraz (6.1-3), dobije se konačni izraz kojim se određuje polarni moment otpora za kružni poprečni presjek:

3

16P

dW

π= (6.1-6)

Uvrštenjem izraza (6.1-5) u izraz (6.1-2) i izraza (6.1-6) u izraz (6.1-4) smična naprezanja definiraju se pomoću promjera poprečnog presjeka:

4

32 tr

M r

dτ

π= (6.1-2a)

max 3

16 tM

dτ

π= (6.1-4a)

Kut uvijanja vratila θ određuje se polazeći od preuređenog izraza (e):


CK-POD-02

r G

rd dxτ

θ = (s)

u koji se uvrštava izraz (6.1-2):

t

P

M r dxd

I r Gθ = (t)

Kraćenjem r -a dobije se izraz koji treba integrirati:

t

P

Md dx

I Gθ = (u)

U općem slučaju rezultat integracije je:

0

lt

P

Mdx c

I Gθ = +∫ (6.1-7)

Ako je: i P tI konst M konst= = (v)

dobije se rješenje: t

P

M lc

I Gθ = + (w)

Konstanta integracije određuje se za početne uvjete: 0, 0 0x cθ= = → = (z)

pak je konačni izraz za određivanje kuta uvijanja: t

P

M l

I Gθ = (6.1-8)

Dakle kut uvijanja vratila proporcionalan je momentu torzije i duljini vratila a obrnuto proporcionalan polarnom momentu tromosti i modulu smika građevnog materijala vratila. Izraz (6.1-8) matematički je jednak izrazu (2.1.3-1), izvedenom u 2.1.3, koji određuje produljenje aksijalno opterećenog štapa. Sličnost postoji i u uzročno-posljedičnom smislu. Uvrštenjem izraza (6.1-5) u izraz (6.1-8) kut uvijanja vratila definira se pomoću promjera poprečnog presjeka:

4

32 tM l

d Gθ

π= (6.1-8a)

6.2 VRATILA S POPREČNIM PRESJEKOM U OBLIKU KRUŽNOG VIJENCA Raspored smičnih naprezanja po poprečnom presjeku, slika 6.1-6, nagoviješta mogućnost optimiziranja poprečnog presjeka u smislu da se sa što manjom količinom materijala odnosno sa što manjom površinom poprečnog presjeka generira dovoljno velik moment torzije koji će držati ravnotežu vanjskom momentu uvijanja. Naime središnji dio poprečnog presjeka zbog manjih smičnih naprezanja daje manji doprinos generiranju momenta torzije. Zato se neka vratila izvode s poprečnim presjekom u obliku kružnog vijenca, slika 6.2-1, pak se takva vratila često nazivaju šuplja vratila.

Slika 6.2-1 Poprečni presjek šupljeg vratila

Za šuplja vratila vrijede, osim izraza (6.1-5) i (6.1-6), uglavnom svi izrazi izvedeni u 6.1 (izrazi (6.1-2a), (6.1-4a) i (6.1-8a) će se promijeniti). Vrijede čak i izrazi (6.1-1) i (6.1-3) kojima se definiraju polarni moment tromosti i polarni moment otpora. No pri određivanju polarnog momenta tromosti mijenjaju se granice integracija pak se izraz (q) piše u obliku:

2

1

/2 22 3

( ) /2 0

d

P

A d

I r dA r dr dπ

ϕ= =∫ ∫ ∫ (a)

Rezultat integriranja je: 2

1

/242

0/2

4

d

P

d

rI

πϕ= (b)


CK-POD-02

Nakon uvrštavanja granica integracije dobije se izraz koji određuje polarni moment tromosti kružnog vijenca odnosno poprečnog presjeka šupljeg vratila:

4 42 1( )

32P

d dI

π−= (6.2-1)

Prema izrazu (6.1-6) definira se polarni moment otpora kružnog vijenca odnosno poprečnog presjeka šupljeg vratila:

4 42 1

2 2

2 ( )

16P

P

I d dW

d d

π−= = (6.2-2)

Izrazi (6.1-2), (6.1-4) i (6.1-8) izvedeni za puna vratila vrijede i za šuplja vratila. Ali ako je potrebno smična naprezanja i kut uvijanja izraziti kao funkcije promjera treba u navedene izraze uvrstiti izraze (6.2-1) i (6.2-2). Uvrštenjem izraza (6.2-1) u izraz (6.1-2) i izraza (6.2-2) u izraz (6.1-4) smična naprezanja definiraju se pomoću promjera poprečnog presjeka:

( )4 4

2 1

32 tr

M r

d dτ

π=

− (6.1-2b)

( )

2max 4 4

2 1

16 td M

d dτ

π=

− (6.1-4b)

Uvrštenjem izraza (6.2-1) u izraz (6.1-8) kut uvijanja vratila definira se pomoću promjera poprečnog presjeka:

( )4 42 1

32 tM l

d d Gθ

π=

− (6.1-8b)

Efekti optimizacije poprečnog presjeka odredit će se u tekstu koji slijedi. U izrazu (6.1-4) najveće smično naprezanje izjednačava se s dopuštenim smičnim naprezanjem

dτ :

max

td

P

M

Wτ τ= = (c)

Uz supstituciju 1

2

d

dλ = iz izraza (6.2-2) i (c) se dobije:

32 4

16

(1 )t

d

Md

π τ λ=

− (d)

Izraz (d) se preuređuje uvođenjem supstitucije:

32, 0

16100

t

d

Md λ

π τ= = = (e)

u oblik:

2 43

100

(1 )d

λ=

− (f)

Uvedena supstitucija, izraz (e), znači da za neki moment torzije i neko dopušteno smično naprezanje vratilo punog poprečnog presjeka ima promjer 100 mm. Površina poprečnog presjeka oblika kružnog vijenca je:

( )2

22 14

dA

πλ= − (g)

a površina punog poprečnog presjeka, 0λ = , je:

2

0

100

4Aλ

π= = (h)

Varirajući vrijednosti λ od 1.0 do 0.999 izračunate su vrijednosti 1d , 2d , A te omjera A s 0Aλ= i dane su u tablici 6.2-1. Gledajući vrijednosti u petom stupcu ove tablice vidi se da se površina poprečnog presjeka smanjuje s porastom vrijednosti λ . Također se smanjuje i omjer površina dan u šestom stupcu iste tablice. Geometrijski se ove konstatacije objašnjavaju da porastom vrijednosti


CK-POD-02

Tablica 6.2-1 Značajke vratila za različite vrijednosti λ

i

1

2

d

dλ = 2d 1d A

0

iA

Aλ=

mm mm2

1 .000 100.0 .0 7850.0 1.000 2 .250 100.1 25.0 7378.6 .940 3 .500 102.2 51.1 6146.3 .783 4 .700 109.6 76.7 4807.7 .612 5 .900 142.7 128.5 3038.6 .387 6 .920 152.2 140.0 2793.3 .356 7 .940 165.8 155.9 2513.0 .320 8 .960 187.9 180.4 2173.7 .277 9 .980 234.4 229.7 1708.2 .218

10 .990 293.9 290.9 1349.1 .172 11 .993 330.5 328.2 1196.0 .152 12 .996 397.6 396.1 991.0 .126 13 .999 630.3 629.6 623.4 .079

λ promjer šupljine raste brže nego vanjski promjer vratila pak se površina poprečnog presjeka smanjuje. Također se može reći da se porastom promjera šupljine, i porastom vrijednosti λ , površina udaljava od točke O. S aspekta uravnotežavanja momenta uvijanja s momentom torzije ovo udaljavanje površine od točke O doprinosi generiranju momenta torzije jer rastu krakovi diferencijalnih sila smika, slika 6.1-7, pak je potrebno manje površine za isti moment torzije. Pomoću podataka iz tablice 6.2-1 prikazane su promjene promjera i omjera površina na slici 6.2-2. Efekt optimizacije poprečnog presjeka prelaskom s punog (kružnog) poprečnog presjeka na poprečni presjek u obliku kružnog vijenca ogleda se u mogućnosti uštede u građevnom materijalu.

Slika 6.2-2 Promjene promjera i omjera površina u ovisnosti vrijednosti λ

6.3 VRATILA PRAVOKUTNOG POPREČNOG PRESJEKA U slučaju uvijanja štapa pravokutnog poprečnog presjeka poprečni presjeci ne ostaju ravni, slika 6.3-1, pak je određivanje smičnih naprezanja vrlo složeno. Zato se ovdje daju neke preporuke za približno određivanje smičnih naprezanja. Teoretskim analizama i pokusima utvrđeno je da se najveće smično naprezanje javlja na sredini duže stranice pravokutnog poprečnog presjeka a njegova veličina određuje se izrazom:

max 2 tM

b cτ

α= (6.3-1)

u kojem je b duža a c kraća stranica poprečnog presjeka. Kut uvijanja određuje se izrazom:

2 tM l

b c Gθ

β= (6.3-2)

Veličine α i β , koje se nalaze u izrazima (6.3-1) i (6.3-2)

Slika 6.3-1 Deformacija štapa

pravokutnog poprečnog presjeka određene su pokusima. Na temelju rezultata pokusa daju se regresijski izrazi za određivanje njihove vrijednosti u zavisnosti o omjeru duljina stranica poprečnog presjeka:

2 3

0.1675 0.050 0.00634 0.00028b b b

c c cα

= + − +

(6.3-3)

2 3

0.0581 0.112 0.0166 0.00805b b b

c c cβ

= + − +

(6.3-4)


CK-POD-02

Najveća smična naprezanja mogu se dovoljno točno odrediti i po donjem izrazu:

max 23 1.8

tM c

b c bτ

= +

(6.3-5)

6.4 TORZIJA I SAVIJANJE U slučaju kada je vratilo istovremeno opterećeno savojno i uvojno, slika 6.4-1, u poprečnim presjecima se javlja normalno i smično naprezanje kako je prikazano na slici 6.4-1. Radi dimenzioniranja treba odrediti najveće naprezanje.

Slika 6.4-1 Vratilo opterećeno

savojno i uvojno

Slika 6.4-2 Naprezanja na stranicama dijelića vratila

opterećenog savojno i uvojno Polazi se od izraza izvedenih u 4.3

2

21 2 2


+ − = + +

(4.3-1)

2

22 2 2


+ − = − +

(4.3-2)

1 2max 2

σ στ

−= (4.3-4)

Kako je u razmatranom slučaju je 0yσ = iz izraza (4.3-1) i (4.3-2) se dobije:

2 21

14

2 2x

x

σσ σ τ= + + (a)

2 22

14

2 2x

x

σσ σ τ= − + (b)

Uvrštenjem (a) i (b) u (4.3-4) određuje se najveće smično naprezanje:

2 2max

14

2 xτ σ τ= + (6.4-1)

Normalna i smična naprezanja definirana su prije izvedenim izrazima:

, =S tx

P

M M

W Wσ τ= (c)

Momenti otpora, aksijalni i polarni, za kružni poprečni presjek promjera d definirani su izrazima: 3 3

W= i W =32 16P

d dπ π (d)

Uvrštenjem izraza (c) i (d) u izraz (6.4-1) dobije se 2 2

max 3

16S tM M

dτ

π= + (6.4-2)

6.4 RJEŠAVANJE PROBLEMA Osnovni posao je dimenzioniranje: određivanje promjera poprečnog presjeka vratila, ako je poprečni presjek krug ili kružni vijenac, te određivanje stranica poprečnog presjeka uvojno opterećenih štapova, ako je poprečni presjek pravokutnik, uz zadovoljenje sljedećih uvjeta:

- najveće smično naprezanje u poprečnom presjeku mora biti manje ili jednako dopuštenom smičnom naprezanju dτ , - najveći kut uvijanja mora biti manji ili jednak dopuštenom kutu uvijanja dθ .


CK-POD-02

Dodatni posao je za poznate dimenzije poprečnog presjeka vratila ili uvojno opterećenog štapa odrediti veličinu smičnog naprezanja u poprečnom presjeku i kut uvijanja. Navedeni poslovi obavljaju se kroz četiri zadatka koristeći prije izvedene izraze za rješavanje 1. i 2. zadatka koji se odgovarajuće modificiraju za rješavanje 3. i 4. zadatka.

1. zadatak računanje smičnih naprezanja Vratila punog poprečnog presjeka i vratila poprečnog presjeka oblika kružnog vijenca; poznati

i P PI W

smično naprezanje na udaljenosti r od osi vratila

tr

P

M r

Iτ = (6.1-2)

najveće smično naprezanje

max

t

P

M

Wτ = (6.1-4)

Vratilo punog poprečnog presjeka; poznat promjer

4

32 tr

M r

dτ

π= (6.1-2a)

max 3

16 tM

dτ

π= (6.1-4a)

Vratilo poprečnog presjeka oblika kružnog vijenca; poznati promjeri

( )4 4

2 1

32 tr

M r

d dτ

π=

− (6.1-2b)

( )

2max 4 4

2 1

16 td M

d dτ

π=

− (6.1-4b)

Vratilo opterećeno istovremeno savojno i uvojno, puni poprečni presjek 2 2

max 3

16S tM M

dτ

π= + (6.4-2)

Štap pravokutnog poprečnog presjeka

max 2 tM

b cτ

α= (6.3-1)

2. zadatak računanje kuta uvijanja

Vratila punog poprečnog presjeka i vratila poprečnog presjeka oblika kružnog vijenca; poznat PI opći slučaj

0

lt

P

Mdx c

I Gθ = +∫ (6.1-7)

ako je: i P tI konst M konst= =

t

P

M l

I Gθ = (6.1-8)

Vratilo punog poprečnog presjeka; poznat promjer

4

32 tM l

d Gθ

π= (6.1-8a)

Vratilo poprečnog presjeka oblika kružnog vijenca; poznati promjeri

( )4 42 1

32 tM l

d d Gθ

π=

− (6.1-8b)


2 tM l

b c Gθ

β= (6.3-2)


CK-POD-02


Vratila punog poprečnog presjeka i vratila poprečnog presjeka oblika kružnog vijenca; traži se PW

max

t td P

P d

M MW

Wτ τ

τ= ≤ → ≥ (6.1-4-a)

Vratilo punog poprečnog presjeka; traži se promjer

3max 3

16 16t td

d

M Md

dτ τ

π τ π= ≤ → ≥ (6.1-4a-a)

Vratilo poprečnog presjeka oblika kružnog vijenca; traže se promjeri

( )

4 42 2max 2 14 4

2 1

16 16t td

d

d M d Md d

d dτ τ

τ ππ= ≤ → − ≥

− (6.1-4b-a)

Vratilo opterećeno istovremeno savojno i uvojno, puni poprečni presjek; traži se promjer

2 2 2 23max 3

16 16S t d S t

d

M M d M Md

τ τπ τ π

= + ≤ → ≥ + (6.4-2a)


2max 2

t td

d

M Mb c

b cτ τ

α τ α= ≤ → ≥ (6.3-1a)

4. zadatak dimenzioniranje po dopuštenom kutu uvijanja

Vratila punog poprečnog presjeka i vratila poprečnog presjeka oblika kružnog vijenca; traži se PI

t td P

P d

M l M lI

I G Gθ θ

θ= ≤ → ≥ (6.1-8a)

Vratilo punog poprečnog presjeka; traži se promjer

44

32 32 t td

d

M l M ld

d G Gθ θ

π θ π= ≤ → ≥ (6.1-8a-a)

Vratilo poprečnog presjeka oblika kružnog vijenca; traže se promjeri

( )( )4 4

2 14 42 1

32 32 t td

d

M l M ld d

Gd d Gθ θ

θ ππ= ≤ → − ≥

− (6.1-8b-a)


22

t td

d

M l M lb c

b c G Gθ θ

β θ β= ≤ → ≥ (6.3-2a)


CK-POD-02

7. IZVIJANJE ŠTAPA Štap, prikazan na slici 7-1a), pritisnut je silama F čiji se pravci djelovanja poklapaju s osi štapa. U poglavlju 2 za aksijalno opterećen štap definirano je normalno naprezanje u poprečnom presjeku

Slika 7-1 Pritisnuti štap

štapa površine A izrazom (2.1.2-3):

A

F=σ (a)

i deformacija (skraćenje) štapa izrazom (2.1.3-1):

AE

Fll =∆ (b)

Ako je normalno naprezanje manje od dopuštenog normalnog naprezanja i ako je deformacija štapa manja od dopuštene de-

formacije štapa to znači da je površina poprečnog presjeka dovoljno velika i da će štap zadovoljiti namjenu koja mu je dodijeljena u konstrukciji čiji je dio. Izrečena tvrdnja ne vrijedi za štapove veće duljine a za njenu točnost važan je i oblik poprečnog presjeka. Kod takvih štapova, slika 7-1b), dolazi do izboja štapa y koji rezultira u pojavi zvanoj izvijanje štapa. Umnožak izboja y i sile F je moment savijanja koji povećava izboj. Radi toga je izvijanje progresivan proces jer kad jednom započne ne može se zaustaviti a rezultat je trajna deformacija ili lom štapa. Stanje štapa definirano slikom 7-1a) naziva se stabilno stanje a stanje štapa definirano slikom 7-1b) naziva se nestabilno stanje štapa. Zato se kaže da će se štap izviti kad izgubi stabilnost. Treba istaknuti da gubitak stabilnosti nastaje kod pritisnutih štapova u čijim poprečnim presjecima djeluje normalno tlačno naprezanje koje može biti značajno manje od granice proporcionalnosti. Definiranje veze između duljine štapa, karakteristika poprečnog presjeka i opterećenja štapa pri izvijanju štapa tema je narednih izlaganja. Realni uzroci za početak izvijanja su: - ekscentričnost opterećenja – pravac djelovanja sile F ne poklapa se s osi štapa, - početna poprečna deformacija štapa – os štapa nije pravac bilo radi netočne izrade ili nepredviđene poprečne deformacije nastale u eksploataciji, - nehomogenost u građevnom materijalu štapa. No i ako su svi navedeni uzroci eliminirani ipak može doći do izvijanja štapa.

7.1 IZVIJANJE I SILA IZVIJANJA Razmatra se osnovni oblik izvijanja štapa prikazan na slici 7.1-1a). Štap je uležišten u sfernim zglobovima od kojih je onaj u A nepomičan a onaj u B se može gibati po osi x . Za mehanički mo-

del štapa, slika 7.1-1b), postavlja se uvjet ravnoteže:

0xR = (a) iz kojeg se određuje reakcija u ležaju A:

AR F= (b) Za dio štapa, slika 7.1-1c), postavlja se uvjet ravnoteže:

0PM = (c)

čijom realizacijom se dobije: 0x AM y R− = (d)

Slika 7.1-1 Osnovni oblik izvijanja štapa Iz izraza (d) određuje se moment savijanja:

xM y F= (e)

Smatrajući početak izvijanja štapa kao savijanje koristit će se diferencijalna jednadžba elastične linije, izraz (5.3.1-4), izveden u 5.3: "

xIEy M= − (f)

Izraz (f) nakon što se u njega uvrsti izraz (e) može se napisati u obliku:

'' 0F

y yIE

+ = (g)

Uvodi se supstitucija za konstantni faktor uz y :


CK-POD-02

2 F

kIE

= (7.1-1)

pak se izraz (g) piše u obliku: '' 2 0y k y+ = (7.1-2)

Izraz (7.1-2) je diferencijalna jednadžba izvijanja štapa. Opće rješenje ove diferencijalne jednadžbe je:

sin cosy A kx B kx= + (7.1-3) Konstante integracije i A B određuju se iz rubnih uvjeta: a) Za ležaj A vrijedi:

0 i 0x y= = (h) Uvrštenjem (h) u (7.1-3) dobije se:

0 sin 0 cos0A B= + (i) Iz (i) slijedi 0B = pak izraz (7.1-3) prelazi u oblik:

siny A kx= (j) b) Za ležaj B vrijedi:

i 0x l y= = (k) pak izraz (j) prelazi u oblik:

0 sinA kl= (l) Matematički rečeno 0A = je trivijalno rješenje koje, kad bi se prihvatilo, govori da nema deformacije osi štapa a što odgovara stabilnom stanju štapa. Ovdje se traži rješenje za nestabilno stanje štapa pak drugi faktor u izrazu (l) mora biti jednak nuli:

sin 0kl = (m) Gornji izraz bit će zadovoljen ako je:

kl π= (7.1-4) Iz izraza (7.1-1) i (7.1-4) dobije se:

2

2kr

IEF

l

π= (7.1-5)

Izrazom (7.1-5) određena je minimalna veličina sile kod koje će, i ako ne postoje prije navedeni realni uzroci izvijanja, štap izgubiti svoju stabilnost odnosno doći će do izvijanja štapa. Zato se ova sila zove kritična sila i Eulerova sila u čast njezina pronalazača. Kritična sila proporcionalna je aksijalnom momentu tromosti poprečnog presjeka štapa a kako je štap uležišten u sfernim zglobovima štap će se izviti u ravnini na koju je okomita os za koju aksijalni moment tromosti ima najmanju vrijednost. Sila izvijanja određena izrazom (7.1-5) je minimalna i zbog toga jer uzrokuje deformaciju osi štapa u jednu polovinu sinusoide. Naime izraz (m) zadovoljava svaki prirodan broj u donjem izrazu:

kl n π= (o) Dakle za 2,3,....n = os štapa se izvija u n polovina sinusoide a krF određenu izrazom (7.1-5) treba

množiti s 2n . Za štapove uležištene drugačije od štapa prikazanog slikom 7.1-1 kritična sila se određuje izrazom (7.1-5) ali se mjesto duljine štapa uvrštava duljina izvijanja štapa il :

Slika 7.1-2 Ostali oblici izvijanja štapa 2

2kri

IEF

l

π= (7.1-6)

Štap, slika 7.1-2a), ima slobodan kraj B a uklješten je u A, te mu je duljina izvijanja 2il l= pak je

kritična sila za njega definirana donjim izrazom:


CK-POD-02

2

24kr

IEF

l

π= (7.1-7)

Duljina izvijanja štapa prikazanog slikom 7.1-2b), uklještenje u A i zglobna veza u B, je 0.7il l≈

pak je kritična sila za njega definirana izrazom (7.1-8): 2 2

2 2

2

0.49kr

IE IEF

l l

π π≈ ≈ (7.1-8)

Ako je štap uklješten na oba kraja, slika 7.1-2c), duljina izvijanja mu je 0.5 il l= pak je njegova

kritična sila definirana izrazom: 2

2

4kr

IEF

l

π= (7.1-9)

U svim navedenim slučajevima štap se izvija u ravnini na koju je okomita os za koju aksijalni moment tromosti ima najmanju vrijednost.

7.2 NAPREZANJE U PRITISNUTOM ŠTAPU Podijeli li se kritična sila s površinom poprečnog presjeka štapa dobije se kritično naprezanje:

krkr

F

Aσ = (a)

Kritično naprezanje je tlačno normalno naprezanje koje djeluje u poprečnom presjeku štapa neposredno prije nastanka izvijanja štapa. Uvrštenjem izraza (7.1-6) u (a) dobije se:

2

2

kri

IE

A l

πσ = (b)

Najmanji aksijalni moment tromosti površine poprečnog presjeka štapa može se izraziti kao umnožak kvadrata radijusa tromosti i i površine poprečnog presjeka A :

2I i A= (c) Uvrstivši (c) u (b) kritično naprezanje je:

2 2 2

2 2

( / )kri i

i A E E

A l l i

π πσ = = (d)

Slika 7.2-1 Eulerova hiperbola

Slika 7.3-1 Naprezanja, faktori sigurnosti i ω

Uvodi se značajka štapa važna za izvijanje: l

iλ = (7.2-1)

koja se naziva vitkost štapa. Sada se kritično naprezanje može definirati izrazom: 2

2

kr

E πσ

λ= (7.2-2)

Izrazom (7.2-2) definirana je ovisnost kritičnog naprezanja o vitkosti štapa i koja je prikazana na slici 7.2-1 hiperbolom koja se naziva Eulerova hiperbola. Prema prikazu na slici 7.3-1 Eulerova hiperbola ima teoretski značaj za područje 0 60λ≤ ≤ u kojem vrijednosti kritičnog naprezanja premašuju granicu tečenja za čelik Č.0361. U drugim područjima vrijednosti vitkosti kritično naprezanje utječe na dimenzioniranje pritisnutog štapa.


CK-POD-02

7.3 DIMENZIONIRANJE ŠTAPOVA Na slici 7.3-1 dani su podaci prema kojima se definira način dimenzioniranja pritisnutih štapova a da ne bi došlo do njegovog izvijanja. Linija koja spaja točke A, B, C i D definira vrijednosti naprezanja prema kojima se referira naprezanje u pritisnutom štapu. Crtkana krivulja, dσ , označa vrijednosti dopuštenog naprezanja koje se dobiju dijeleći vrijednosti naprezanja, koje definira linija kroz točke A, B, C i D, s vrijednostima faktora sigurnosti danim linijom označenom s FS. Krivulja označena s ω definira faktor kojim se, radi dodatne sigurnosti, množi veličina pritisne sile. Ovaj faktor u sebi djelomično uključuje i faktor sigurnsti FS. Temeljem rečenog definira se ω -metoda dimenzioniranja. Osnov ω -metode je donji izraz:

prd

FA A

ω

σ= ≤ (7.3-1)

u kojem je: prA proračunska (potrebna) površina poprečnog presjeka štapa,

A površina poprečnog presjeka štapa,

0.2

1.71P

d

Rσ = (7.3-2)

ω faktor uvećanja pritisne sile ovisan o λ . Postupak je iterativan i odvija se u sljedećim koracima: - odabere se poprečni presjek štapa po obliku i dimenzijama, - računaju se površina A i najmanji aksijalni moment tromosti I odabranog poprečnog presjeka, - određuje se radijus tromosti po izrazu:

I

iA

= (7.3-3)

- računa se vitkost štapa po izrazu (7.2-1), - računa se ili se očitava iz tablica vrijednost faktora ω, - računa se prA po izrazu (7.3-1),

- uspoređuje se izračunata potrebna površina poprečnog presjeka, prA , s površinom A odabranog

poprečnog presjeka štapa. Ako je izračunata potrebna površina poprečnog presjeka veća od površine odabranog poprečnog presjeka postupak se ponavlja – povećavaju se dimenzije poprečnog presjeka – dok izračunata potrebna površina poprečnog presjeka ne bude jednaka ili manja od površine odabranog poprečnog presjeka. Štapovi s 0 60λ≤ ≤ nazivaju se kratki štapovi i oni su uvijek u stabilnom stanju a štapovi s 100 150λ≤ ≤ su vitki štapovi i kod njih je moguć gubitak stabilnosti. Ako je 150λ > štapovi se ne razmatraju. Treba istaknuti da su na slici 7.3-1 dani podaci za čelik Č.0361 a za druge građevne materijale konstruiraju se dijagrami s odgovarajućim podacima za te građevne materijale. Vrijednosti ω mogu se izračunati za čelike Č.0361 i Č.0561 po donjim izrazima: ωČ.0361 = 1.0084 + 4.590x10-4 λ + 3.4122x10-5 λ2 + 1.0815x10-6 λ3 (7.3-3) ωČ.0561 = 0.986 + 1.0976x10-2 λ – 5.6773x10-4 λ2 + 1.0536x10-5 λ3 – 3.4209x10-8 λ4 (7.3-4)


CK-POD-02

8. OSNOVE ZA DIMENZIONIRANJE KONSTRUKCIJSKIH ELEMENATA O dimenzioniranju aksijalno i smično opterećenih štapova te greda i vratila bilo je već govora u 2.4, 3.3, 5.5, 5.6 i 6.4 gdje su navedeni kriteriji koje pri dimenzioniranju treba zadovoljiti: - najveće naprezanje u poprečnom presjeku može biti jednako ili manje od dopuštenog naprezanja za građevni materijal promatranog EK, - najveća deformacija EK može biti jednaka ili manja od dopuštene deformacije EK. Dimenzioniranje je vrlo zahtjevan postupak često podložan tehničkim propisima i standardima. U tekstu koji slijedi daju se osnovne informacije o dimenzioniranju a posebno će se razmotriti određivanje dopuštenog naprezanja.

8.1 KOEFICIJENTI SIGURNOSTI I DOPUŠTENO NAPREZANJE

8.1.1 Statičko djelovanje opterećenja U opterećenom EK pojavljuje se naprezanje čija je veličina funkcija opterećenja i poprečnog presjeka EK. Primjerice kod aksijalno opterećenog štapa normalno naprezanje je jednako omjeru sile i površine poprečnog presjeka. Radi sigurnosti i održavanja funkcionalnosti EK veličina ovog naprezanja ni u kojem slučaju nesmije biti jednaka čvrstoći materijala MR , jer bi došlo do loma EK, a također mora biti manja od 0.2PR da bi se izbjegle trajne deformacije EK. Zato se definira jedna vrijednost naprezanja koja se zove dopušteno naprezanje dσ prema kojoj se dimenzionira EK. Vrijednost dσ treba biti dovoljno manja od 0.2PR , slika 8.1.1-1, kako u eksploataciji naprezanje u EK nebi naraslo do veličine 0.2PR a što bi se moglo dogoditi, uglavnom, zbog sljedećih razloga: - nepouzdano određivanje opterećenja EK, - greške u građevnom materijalu EK, - greške u izradi EK, - trošenje EK tijekom eksploatacije, - nepredvidivo povećanje opterećenja EK u eksploataciji, - greške u metodi dimenzioniranja. Prema rečenom područje na osi σ dijagrama ε σ− , dobijenog statičkim ispitivanjem epruveta, od dσ do 0.2PR je područje sigurnosti. Veličinu ove sigurnosti karakterizira faktor sigurnosti FS koji se definira sljedećim izrazom:

Slika 8.1.1-1 Dijagram ε σ− ; određivanje dσ

ref

d

FSσ

σ= (8.1.1-1)

u kojem je refσ referentno naprezanje građevnog materijala. Ovo se naprezanje određuje prema

Slika 8.1.1-2 Dijagram ε σ− ; plastični materijali

Slika 8.1.1-3 Dijagram ε σ− ; krti materijali


CK-POD-02

slikama 8.1.1-2 i 8.1.1-3 na kojima je s PDN označeno područje dopuštenih naprezanja a s PP područje elastičnih deformacija odnosno područje proporcionalnosti. Za materijale koji imaju plastične deformacije prije loma, slika 8.1.1-2, referentno naprezanje je: 0.2ref PRσ = (a)

pak se faktor sigurnosti definira donjim izrazom:

0.2P

d

RFS

σ= (8.1.1-2)

Vrijednost faktora sigurnosti za plastične materijale obično je između 1.5 i 2.0. Za krte materijale, materijali koji nemaju plastične deformacije prije loma, slika 8.1.1-3, referentno naprezanje je: ref MRσ = (b)

pak se faktor sigurnosti definira donjim izrazom:

M

d

RFS

σ= (8.1.1-3)

Vrijednost faktora sigurnosti za krte materijale obično je između 1.8 i 3.0. Značenje faktora sigurnosti kao mjere sigurnosti EK može se vidjeti ako se izraz (8.1.1-1) preuredi u oblik:

refd FS

σσ = (8.1.1-4)

iz kojega se vidi koliko je dopušteno naprezanje manje od referentnog naprezanja i koji daje način izračunavanja vrijednosti dopuštenog naprezanja. U slučaju smičnog naprezanja faktor sigurnosti se definira, po metodologiji izloženoj za normalno naprezanje, kao omjer graničnog smičnog naprezanja Pτ i dopuštenog smičnog naprezanja dτ :

P

d

FSτ

τ= (8.1.1-5)

Dopušteno smično naprezanje se računa po izrazu:

Pd FS

ττ = (8.1.1-6)

Za određivanje dopuštenog smičnog naprezanja često se koristi izraz:

2

dd

στ = (8.1.1-7)

Treba razlikovati projektni i postignuti faktor sigurnosti. Projektni faktori sigurnosti su definirani izrazima (8.1.1-2), (8.1.1-3) i (8.1.1-5). Nakon dimenzioniranja i izrade EK može se izračunati najveće naprezanje u poprečnom presjeku EK. Omjer referentnog naprezanja i najvećeg naprezanja je postignuti računski faktor sigurnosti PRFS :

0.2

max

PPR

RFS

σ= (8.1.1-8)

max

MPR

RFS

σ= (8.1.1-9)

max

PPRFS

τ

τ= (8.1.1-10)

8.1.2 Dinamičko djelovanje opterećenja U slučaju dinamičkog djelovanja opterećenja dopušteno naprezanje određuje se po izrazu (8.1.1-4) a problem je kako odrediti referentno naprezanje. Ispitivanja materijala cikličnim opterećenjem pokazuju da se čvrstoća materijala smanjuje s brojem ciklusa opterećenja. Tako se za metale, posebno za svaku vrstu metala, mogu odrediti Wőhlerovi dijagrami, slika 8.1.2-1, koji definiraju naprezanja, pri kojima dolazi do loma epruvete,u zavisnosti o broju ciklusa opterećenja koje u epruveti izazivaju ta naprezanja. Na slici 8.1.2-1 se vidi da pri nula ciklusa opterećenja do loma epruvete dolazi pri napreza-

Slika 8.1.2-1 Wőhlerov dijagram


CK-POD-02

nju u epruveti MRσ = . Porastom broja ciklusa opterećenja lomovi epruveta nastaju pri manjim

vrijednostima naprezanja: pri 1N ciklusa lom epruvete nastupa pri naprezanju 1Nσ . Može se reći

da Wőhlerov dijagram, osim točke MRσ = , predstavlja dinamičku čvrstoću materijala dinσ . Interesantan je dio dijagrama za trN N> jer je za njega dinamička čvrstoća konstantna, dinσ = trσ , i

zove se trajnja čvrstoća. Dakle broj ciklusa opterećenja trN N> ne utječe na čvrstoću epruvete. Zato se trajna čvrstoća uzima kao referentno naprezanje pri dinamičkom djelovanju opterećenja. Smanjivanje čvrstoće materijala od njegove statičke čvrstoće MR na dinamičku čvrstoću dinσ , ovisnu o broju ciklusa opterećenja, nastaje uslijed zamora materijala. Trajna čvrstoća trσ ima vrijednosti u granicama:

0.40 0.55M tr MR Rσ≤ ≤ a odgovarajući broj ciklusa opterećenja je: 710trN � za čelik,

810trN � za lake metale. Daljnji korak u određivanju dopuštenog naprezanja pri dinamičkom djelovanju opterećenja je konst-

Slika 8.1.2-2 a)Smithov dijagram, b)naprezanje uslijed cikličkog opterećenja

rukcija Smithovih dijagrama, slika 8.1.2-2a), koji se dobiju određivanjem dinamičke čvrstoće za cikličko opterećenje prikazano na slici 8.1.2-2b). Ovi se dijagrami, po potrebi, konstruiraju za svaki materijal i posebno za aksijalno, savojno i torziono naprezanje. Prema prijedlogu Bacha dopušteno se naprezanje određuje pomoću Smithovog dijagram, slika 8.1.2-3, za tri slučaja opterećivanja definirana na slici 8.1.2-4: - slučaj BI je zapravo statičko opterećenje kojemu odgovara dopušteno naprezanje '

dσ - točka D na slici 8.1.2-3,

- slučaj BII je cikličko opterećenje pri kojem naprezanje ne mijenja predznak a dopušteno naprezanje leži u području ''

dσ između točaka B i C na slici 8.1.2-3, - slučaj BIII je cikličko opterećenje pri kojem naprezanje mijenja predznak i ima istu amplitudu u pozitivnom i negativnom području a dopušteno naprezanje '''

dσ je točka A na slici 8.1.2-3.

Slika 8.1.2-3 Dopuštena naprezanja po Bachu

Slika 8.1.2-4 Tri slučaja opterećenja po Bachu

Dopuštena naprezanja ''dσ i '''

dσ jako zavise o kvaliteti površine EK, eventualnim zarezima i utorima te o veličini poprečnog presjeka. Neki od navedenih faktora kao i vrijednosti definiraju se odgovarajućim tehničkim standardima. Za primjer se u tablici 8.1.2-1 daju vrijednosti dopuštenih naprezanja po njemačkim standardima preuzete iz [5].

Tablica 8.1.2-1 Dopuštena naprezanja za Bachova stanja opterećenja

Čelik

Dopuštena naprezanja, N/mm2 Vlačno naprezanje Savojno naprezanje Torziono naprezanje

BI BII BIII BI BII BIII BI BII BIII Č.0361 100 - 150 65 - 95 45 - 70 110 - 165 70 - 105 50 - 75 65 - 95 40 - 60 30 - 45 Č.0545 140 - 210 90 - 135 65 - 95 150 - 220 100 -150 70-105 85-125 55-85 40-60


CK-POD-02

8.1.3 Teorije čvrstoće

Kada u poprečnom presjeku EK djeluje više naprezanja treba odrediti naprezanje maxσ koje će se

usporediti s dopuštenim naprezanjem jer općenito vrijedi:

max dσ σ≤ (8.1.3-1)

Određivanjem maxσ bave se teorije čvrstoće.

Teorija čvrstoće primjenjiva prvenstveno na krte materijale je teorija maksimalnih normalnih naprezanja. Prema izrazima (4.3-1) i (4.3-2) za dvoosno stanje naprezanja, izvedenim u 4.3, odrede se glavna naprezanja 1σ i 2σ . Prema ovoj teoriji čvrstoće vrijedi:

{ }max 1 2max ,σ σ σ= (8.1.3-2)

{ }1 2max ,dσ σ σ≥ (8.1.3-3)

Teorija maksimalnih relativnih deformacija je druga teorija čvrstoće u kojoj se pretpostavlja da su za dimenzioniranje mjerodavna relativna produljenja pak se postavlja sljedeći uvjet:

max dε ε≤ (8.1.3-4)

Najveće relativno produljenje određuje se izrazom:

{ }max 1 2max ,ε ε ε= (8.1.3-5)

u kojem su 1ε i 2ε relativna produljenja koja uzrokuju glavna naprezanja 1σ i 2σ :

1 1 2

1( )

Eε σ νσ= − 2 2 1

1( )

Eε σ νσ= − (8.1.3-6)

Po Hookeovu je:

maxmax E

σε = (8.1.3-7)

Iz izraza (8.1.3-5)do (8.1.3-7) dobije se:

{ }max 1 2 2 1max ,σ σ νσ σ νσ= − − (8.1.3-8)

{ }1 2 2 1max ,dσ σ νσ σ νσ≥ − − (8.1.3-9)

Rezultati ispitivanja pokazuju da je i ova teorija čvrstoće primjerenija za krte nego li za plastične materijale. Treća teorija čvrstoće, primjenjiva za plastične materijale, je teorija maksimalnih smičnih naprezanja pak se postavlja sljedeći uvjet:

max dτ τ≤ (8.1.3-10)

Najveće smično naprezanje kod dvoosnog stanja naprezanja određeno je izrazom (4.3-4) izvedenim u 4.3:

1 2max 2

σ στ

−= (8.1.3-11)

koji se primjenjuje ako su glavna naprezanja suprotnih predznaka. Ukoliko su glavna naprezanja istih predznaka koristi se izraz (4.1-4), izveden u 4.1, po kojem je najveće smično naprezanje:

1max 2

στ = ili 2

max 2

στ = (8.1.3-12)

Dakle najveće smično naprezanje je:

1 2 1 2max max , ,

2 2 2

σ σ σ στ

−=

(8.1.3-13)

Kako je 1

2d dτ σ= iz izraza (8.1.3-13) se dobije:

{ }1 2 1 2max , ,dσ σ σ σ σ≥ − (8.1.3-14)

HMH teorija čvrstoće također se dobro slaže s rezultatima pokusa za plastične materijale. Ime je dobila po autorima: Huber, Mises i Hencky, a polazi od energije promjene oblika. Po ovoj teoriji čvrstoće treba biti ispunjeno:

2 21 2 1 2dσ σ σ σ σ≥ + − (8.1.3-15)


CK-POD-02

8.2 KONCENTRACIJE NAPREZANJA

8.2.1 Zarezi i rupe Ako se poprečni presjek EK naglo mijenja ili u poprečnom presjeku postoje zarezi, slika 8.2.1-1, ili rupe, slika 8.2.1-4, raspored i veličina naprezanja u poprečnom presjeku drugačiji su nego li za EK s konstantnim poprečnim presjekom.

Slika 8.2.1-1

Na slici 8.2.1-1a), za štap aksijalno opterećen silom F , u oslabljenom poprečnom presjeku naprezanja u slojevima uz zareze znatno su veća od naprezanja u središnjim slojevima. U oslabljenom poprečnom presjeku štapa, slika 8.2.1-1b), u kojem djeluje moment savijanja M , raspored naprezanja nije linearan. Naprezanje naglo raste u slojevima uz zareze. Naprezanja nσ i maxσ , slika 8.2.1-1 a) i b, predstavljaju raspored naprezanja bez utjecaja nagle promjene poprečnog presjeka, nσ , a naprezanja maxσ su najveća

naprezanja koja se pojavljuju u poprečnom presjeku. Njihov omjer naziva se koeficijent oblika:

maxk

n

σα

σ= (8.2.1-1)

i definira povećanje naprezanja u poprečnom presjeku. Veličina koeficijenta oblika obično ide od 1.1 do 3.0 a u nekim slučajevima i do 10. Na njegovu veličinu utječe način opterećenja, dubina zareza i naročito radijus tjemena zareza. Određuje se uglavnom pokusima. U tablicama 8.2.1-1, 8.2.1-2 i 8.2.1-3 dane su vrijednosti koeficijenta oblika pruzete iz [7]. Nominalna naprezanja za štap kružnog poprečnog presjeka, slika 8.1.2-2, računaju se po izrazima:

- za vlačno naprezanje:

( )

2

4

2n

F

D hσ

π=

− (8.2.1-2)

- za savojno naprezanje:

( )

3

32

2n

M

D hσ

π=

− (8.2.1-3)

Tablica 8.2.1-1 Vrijednosti koeficijenta oblika za štap kružnog poprečnog presjeka s utorom dubine h i radijusom r

Slika 8.2.1-2

Vrsta naprezanja

r/D

Koeficijent oblika za h/D 0.025 0.050 0.100 0.200

vlačno

0.01 2.10 2.40 2.60 2.64 0.05 1.55 1.85 1.95 1.90 0.10 1.38 1.55 1.70 1.58 0.20 1.26 1.35 1.45 1.40

savijanje

0.01 2.00 2.22 2.30 2.20 0.05 1.50 1.70 1.78 1.65 0.10 1.32 1.43 1.48 1.42 0.20 1.23 1.25 1.30 1.30

Tablica 8.2.1-2 Vrijednosti koeficijenta oblika za traku pravokutnog

poprečnog presjeka sa zarezima dubine h i radijusom r

Slika 8.2.1-3

Vrsta naprezanja

r/a

Koeficijent oblika za h/a 0.025 0.050 0.100 0.200

vlačno

0.01 2.20 2.50 2.80 2.90 0.05 1.65 1.95 2.10 2.15 0.10 1.45 1.60 1.80 1.70 0.20 1.35 1.45 1.55 1.50

savijanje

0.01 2.05 2.30 2.50 2.30 0.05 1.55 1.80 1.85 1.80 0.10 1.40 1.50 1.50 1.45 0.20 1.25 1.30 1.30 1.28


CK-POD-02

Nominalna naprezanja za traku pravokutnog poprečnog presjeka, slika 8.1.2-3, širine a i debljine b računaju se po izrazima:

- za vlačno naprezanje:

( )2n

F

b a hσ =

− (8.2.1-4)


( )

2

6

2n

M

b a hσ =

− (8.2.1-5)

Nominalna naprezanja za traku pravokutnog poprečnog presjeka, slika 8.1.2-4, širine a i debljine b

Slika 8.2.1-4

s rupom radijusa r računaju se po izrazima: - za vlačno naprezanje:

( )2n

F

b a rσ =

− (8.2.1-6)


3

3

3

22

n

Mr

ab r

σ =

−

(8.2.1-7)

Tablica 8.2.1-3 Vrijednosti koeficijenta oblika za traku pravokutnog

poprečnog presjeka s rupom radijusa r

Vrsta naprezanja

Koeficijent oblika za r/a 0.050 0.100 0.200

vlačno 2.15 2.10 2.03 savijanje 1.58 1.62 1.64

8.2.2 Površinski pritisci Površinski pritisci između dva tijela mogu dovesti do trajnih deformacija na dodirnim površinama. Prema rješenju Hertza daju se izrazi za određivanje najvećih vrijednosti pritisaka u dodiru kugle i valjka s ravnom površinom. Raspored pritisaka u ravnini okomitoj na ravnu površinu prikazan je na slici 8.2.2-1. U slučaju djelovanja kugle na ravnu površinu pritisak djeluje na krugu radijusa a :

Slika 8.2.2-1

3 23 (1 )

2

F ra

Eν= − (8.2.2-1)

Najveći pritisak između kugle i ravne površine je:

max 2

1.5Fp

a π= (8.2.2-2)

Središte kugle približilo se ravnoj podlozi za δ koji se može odrediti iz donjeg izraza:

23 2 2

2

2.25(1 )

F

rEδ ν= − (8.2.2-3)

U slučaju djelovanja valjka na ravnu površinu pritisak djeluje po pravokutniku prikazanom na slici 8.2.2-2. Najveći pritisak između valjka i ravne površine određen je izrazom:

Slika 8.2.2-2

max

2

Fp

b lπ= (8.3.2-4)

u kojem se širina traga b određuje:

( )2

28 1Fr

bEl

ν

π

−= (8.3.2-5)

Ako se materijali kugle, valjka i podloge razlikuju modul E se računa pomoću izraza:

1 2

1 1 1 1

2E E E

= +

(8.3.2-6)


CK-POD-02

9. DODACI

9.1 ZNAČAJKE NEKIH MATERIJALA U tablici 9.1-1 dane su vrijednosti gustoće, modula elastičnosti, modula klizanja i koeficijenta toplinskog širenja za neke materijale. Podaci su preuzeti iz literature navedene pod [5], [6] i [7]. Vrijednosti koeficijena linearnog toplinskog širenja alfa vrijede za područje od 00 do 1000 Celsiusa. Tablica 9.1-1 Vrijednosti nekih značajki tehničkih materijala Materijal

Gustoća

kg/m3

E, modul

elastičnosti N/mm2

G, modul klizanja N/mm2

Koeficijent linearnog toplinskog širenja, α

Aluminij 2700 72000 26000 - 27000 0.0000238 Aluminijske slitine 2600-2900 65000 - 75000 26000 - 27000 0.00002 - 0.000027 Duraluminij 2800 69000 27000 0.0000235 Silumin 2500-2650 76000 30000 0.0000220 Bakar 8930 115000 40000 - 49000 0.0000181 Bronca kositrena 8730-8800 120000 40000 - 42000 0.0000180 Bronca aluminijska 7400-8200 120000 40000 - 42000 0.000016 - 0.000020 Mesing 8400-8800 90000 - 130000 35000 - 37000 0.0000184 Željezo 7876 210700 0.0000123 Čelik, ugljični 7850 200000 - 215000 80000 - 81000 0.0000120 Čelik, legirani 210000 - 20000 80000 - 81000 0.000013 Čelik, nehrđajući 210000 - 220000 0.000017 Sivi ljev 7250 75000 - 100000 45000 0.0000104 Borovina 600-700 12000 0.0000037 Bukovina 700-800 13000 0.0000035 Hrastovina 800-900 13000 0.0000049 Smrekovina 550-600 11000 0.0000054 Kamen, vapnenac 2200-2600 1000 - 5000 Granit 2600 4000 - 6000 0.000006 Beton od šljunka 2200 20000 - 24000 0.000012


CK-POD-02

9.2 AKSIJALNI MOMENTI INERCIJE I MOMENTI OTPORA Izrazi za računanje aksijalnih momenata inercije i momenata otpora geometrijskih likova, koji se sreću kao poprečni presjeci nosača opterećenih na savijane, dani su u tablici 9.2-1. Ovi su izrazi, uz manje preinake, uzeti iz [5]. Os x prolazi kroz težište površine lika. Momenti otpora 1W i 2W izvode se iz aksijalnih momenata inercije po donjim izrazima:

11

xIW

h=

22

xIW

h=

Tablica 9.2-1 Aksijalni momenti inercije i momenti otpora

Geometrijski

lik

Aksijalni moment

inercije IX

h1 i h2: udaljenosti krajnjih točaka lika od osi kroz težište

Momenti otpora

W1 i W2 1. 2. 3. 4.

1. Pravokutnik

12

3bhI X =

h1 = h / 2

h2 = h1

6

2

1

bhW =

W2 = W1

2. Kvadrat

12

4aI X =

h1 = a / 2

h2 = h1

6

3

1

aW =

W2 = W1

3. Kvadrat

12

4aI X =

2

21

ah =

h2 = h1

12

23

1

aW =

W2 = W1

4. Istokračni trokut

36

3bhI X =

h1 = h / 3

h2 = 2 h / 3

W1 = b h2 / 12

W2 = b h2 / 24


CK-POD-02

Nastavak tablice 9.2-1

Geometrijski

lik

Aksijalni moment

inercije IX


Momenti otpora

W1 i W2 5. Pravokutni vijenac

12

33 bhBHI X

−=

h1 = H / 2

h2 = h1

H

bhBHW

6

33

1

−=

W2 = W1

6. Dvopojasni profil

( )12

33 hHbI X

−=

h1 = H / 2

h2 = h1

( )H

hHbW

6

33

1

−=

W2 = W1

7. Trapez

362

66 3

1

211

2 h

bb

bbbbI X

+

++=

h1 = h –h2

32

23

1

12

h

bb

bbh

+

+=

W1 = 1h

I X

W2 = 2h

I X

8. T profil

3

32

331 ahbhBh

I X

+−=

( )bdaH

bdaHh

+

+=

2

22

1

h2 =H – h1

W1 = 1h

I X

W2 = 2h

I X

9. I profil

12

33 bhBHI X

−=

h1 = H / 2

h2 = h1

H

bhBHW

6

33

1

−=

W2 = W1


CK-POD-02


Geometrijski

lik

Aksijalni moment

inercije IX


Momenti otpora

W1 i W2 10. Nesimetrični I profil

3

322

32

311

31 HBbhHBBh

I X

−+−=

( )

( )121

1122

12

1 2

2

dBdBaH

dHdBdBaHh

++

−++=

h2 = H – h1

W1 = 1h

I X

W2 = 2h

I X

11. Krug

=XI π d4 / 64

h1 = d / 2

h2 = h1

W1 = π d3 / 32

W2 = W1

12. Kružni vijenac

=XI π64

42

41 dd −

h1 =

h2 = h1

W1 = π1

42

41

32d

dd −

W2 = W1


CK-POD-02

9.3 KARAKTERISTIKE NEKIH STANDARDNIH PROFILA

9.3.1 Čelični istokračni L-profili

Slika 9.3-1 Istokračni L-profil

Podaci u tablici 9.3-1 su dio podataka o istokračnim L profilima definiranim standardom DIN 1028. Simboli u zaglavju tablice 9.3-1, koji nisu definirani slikom 9.3-1 znače: A – površina poprečnog presjeka profila, m1 – masa jednog metra profila, IX – moment inercije za os x, WX – minimalni moment otpora za os x, Iξ – moment inercije za os ξ, Iη – moment inercije za os η. Masa profila računata je s gustoćom 7850 kg/m3. Momenti inercije Iξ i Iη su glavni momenti inercije.

Tablica 9.3-1 Karakteristike istokračnih L-profila

axbxd mm

A cm2

m1 kg/m

e cm

IX cm4

WX cm3

Iξ cm4

Iη cm4

20x20x3 1,12 0,88 0,60 0,39 0,28 0,62 0,15 20x20x4 1,45 1,14 0,64 0,48 0,35 0,77 0,19 25x25x3 1,42 1,12 0,73 0,79 0,45 1,27 0,31 25x25x4 1,85 1,45 0,76 1,01 0,58 1,61 0,40 30x30x3 1,74 1,36 0,84 1,41 0,65 2,24 0,57 30x30x4 2,27 1,78 0,89 1,81 0,86 2,85 0,76 35x35x4 2,67 2,10 1,00 2,96 1,18 4,68 1,24 35x35x6 3,87 3,04 1,08 4,14 1,71 6,50 1,77 40x40x4 3,08 2,42 1,12 4,48 1,56 7,09 1,86 40x40x5 3,79 2,97 1,16 5,43 1,91 8,64 2,22 45x45x5 4,30 3,38 1,28 7,83 2,43 12,4 3,25 45x45x7 5,86 4,60 1,36 10,4 3,31 16,4 4,39 50x50x5 4,80 3,77 1,40 11,0 3,05 17,4 4,59 50x50x6 5,69 4,47 1,45 12,8 3,61 20,4 5,24 55x55x6 6,31 4,95 1,56 17,3 4,40 27,4 7,24 55x55x8 8,23 6,46 1,64 22,1 5,72 34,8 9,35 60x60x6 6,91 5,42 1,69 22,8 5,29 36,1 9,43 60x60x8 9,03 7,09 1,77 29,1 6,88 46,1 12,1 65x65x7 8,70 6,83 1,85 33,4 7,18 53,0 13,8 65x65x9 11,0 8,62 1,93 41,3 9,04 65,4 17,2 70x70x7 9,40 7,38 1,97 42,4 8,43 67,1 17,6 70x70x9 11,9 9,34 2,05 52,6 10,6 83,1 22,0 75x75x8 11,5 9,03 2,13 58,9 11,0 93,3 24,4

75x75x10 14,1 11,1 2,21 71,4 13,5 113 29,8 80x80x8 12,3 9,66 2,26 72,3 12,6 115 29,6

80x80x10 15,1 11,9 2,34 87,5 15,5 139 35,9 90x90x9 15,5 12,2 2,54 116 18,0 184 47,8

90x90x11 18,7 14,7 2,62 138 21,6 218 57,1 100x100x10 19,2 15,1 2,82 177 24,7 280 73,3 100x100x12 22,7 17,8 2,90 207 29,2 328 86,2 110x110x10 21,2 16,6 3,07 239 30,1 379 98,6


CK-POD-02

110x110x12 25,1 19,7 3,15 280 35,7 444 116 120x120x11 25,4 19,9 3,36 341 39,5 541 140 120x120x13 29,7 23,3 3,44 394 46,0 625 162 130x130x12 30,0 23,6 3,64 472 50,4 750 194 130x130x14 34,7 27,2 3,72 540 58,2 857 223 140x140x13 35,0 27,5 3,92 638 63,3 1010 262 140x140x15 40,0 31,4 4,00 723 72,3 1150 298 150x150x14 40,3 31,6 4,21 845 78,2 1340 347 150x150x16 45,7 35,9 4,29 949 88,7 1510 391 160x160x15 46,1 36,2 4,49 1100 95,6 1750 453 160x160x17 51,8 40,7 4,57 1230 108 1950 506 180x180x16 55,4 43,5 5,02 1680 130 2690 679 180x180x18 61,9 48,6 5,10 1870 145 2970 757 200x200x16 61,8 48,5 5,52 2340 162 3740 943 200x200x18 69,1 54,3 5,60 2600 181 4150 1050

9.3.2 Čelični raznokračni L-profili

Slika 9.3-2 Raznokračni L-profil

Podaci u tablici 9.3-2 su dio podataka o raznokračnim L-profilima definiranim standardom DIN 1029. Simboli u zaglavju tablice 9.3-2, koji nisu definirani Slikom 9.3-2 znače: A – površina poprečnog presjeka profila, m1 – masa jednog metra profila, IX ,IY – momenti inercije za os x odnosno os y, WX ,WY – momenti otpora za os x odnosno o y, Iξ – moment inercije za os ξ, Iη – moment inercije za os η. Masa profila računata je s gustoćom 7850 kg/m3. Momenti inercije Iξ i Iη su glavni momenti inercije.

Tablica 9.3-2 Karakteristike raznokračnih L-profila

axbxd mm

A cm2

m1 kg/m

ex cm

ey cm

tg α

IX cm4

WX cm3

IY cm4

WY cm3

Iξ cm4

Iη cm4

20x30x3 1,42 1,11 0,99 0,50 0,431 1,25 0,62 0,44 0,29 1,43 0,25 20x30x4 1,85 1,45 1,03 0,54 0,423 1,59 0,81 0,55 0,38 1,81 0,33 20x40x3 1,72 1,35 1,43 0,44 0,259 2,79 1,08 0,47 0,30 2,96 0,30 20x40x4 2,25 1,77 1,47 0,48 0,252 3,59 1,42 0,60 0,39 3,79 0,39 30x45x3 2,19 1,72 1,43 0,70 0,441 4,48 1,46 1,60 0,70 5,17 0,91 30x45x4 2,87 2,25 1,48 0,74 0,436 5,78 1,91 2,05 0,91 6,65 1,18 30x60x5 4,29 3,37 2,15 0,68 0,256 15,6 4,04 2,60 1,12 16,5 1,69 30x60x7 5,85 4,59 2,24 0,76 0,248 20,7 5,50 3,41 1,52 21,8 2,28 40x50x4 3,46 2,71 1,52 1,03 0,629 8,54 2,47 4,86 1,64 10,9 2,46 40x50x5 4,27 3,35 1,56 1,07 0,625 10,4 3,02 5,89 2,01 13,3 3,02 40x60x5 4,79 3,76 1,96 0,97 0,437 17,2 4,25 6,11 2,02 19,8 3,50 40x80x6 5,68 4,46 2,00 1,01 0,433 20,1 5,03 7,12 2,38 23,1 4,12 40x80x4 4,69 3,68 2,76 0,80 0,265 31,1 5,93 5,32 1,66 33,0 3,38 40x80x6 6,89 5,41 2,85 0,88 0,259 44,9 8,73 7,59 2,44 47,6 4,90 50x65x5 5,54 4,35 1,99 1,25 0,583 23,1 5,11 11,9 3,18 28,8 6,21 50x65x7 7,60 5,97 2,07 1,33 0,574 31,0 6,99 15,8 4,31 38,4 8,37

50x100x6 8,73 6,85 3,49 1,04 0,263 89,7 13,8 15,3 3,86 95,2 9,78 50x100x8 11,5 8,99 3,59 1,13 0,258 116 18,0 19,5 5,04 123 12,6 55x75x5 6,30 4,95 2,31 1,33 0,530 35,5 6,84 16,2 3,89 43,1 8,68 55x75x7 8,66 6,80 2,40 1,41 0,525 47,9 9,39 21,8 5,32 57,9 11,8 60x90x6 8,69 6,82 2,89 1,41 0,442 71,7 11,7 25,8 5,61 82,8 14,6


CK-POD-02

60x90x8 11,4 8,96 2,97 1,49 0,437 92,5 15,4 33,0 7,31 107 19,0 65x75x6 8,11 6,37 2,19 1,70 0,740 44,0 8,30 30,7 6,39 60,2 14,4 65x75x8 10,6 8,34 2,28 1,78 0,736 56,7 10,9 39,4 8,34 77,3 18,8 65x80x6 8,41 6,60 2,39 1,65 0,649 52,8 9,41 31,2 6,44 68,5 15,6 65x80x8 11,0 8,66 2,47 1,73 0,645 68,1 12,3 40,1 8,41 88,0 20,3

65x100x7 11,2 8,77 3,23 1,51 0,419 113 16,6 37,6 7,54 128 21,6 65x100x9 14,2 11,1 3,32 1,59 0,415 141 21,0 46,7 9,52 160 27,2 65x115x6 10,5 8,25 3,85 1,38 0,327 145 18,9 34,4 6,71 158 21,1 65x115x8 13,8 10,9 3,94 1,46 0,324 188 24,8 44,2 8,78 205 27,4 65x130x8 15,1 11,9 4,56 1,37 0,263 263 31,1 44,8 8,72 230 28,6 65x130x10 18,6 14,6 4,65 1,45 0,259 321 38,4 54,2 10,7 340 35,0 75x90x7 11,1 8,74 2,67 1,93 0,683 88,1 13,9 55,5 9,98 117 27,1 75x90x9 14,1 11,1 2,76 2,01 0,679 110 17,6 69,1 12,6 145 34,1

75x100x7 11,9 9,32 3,06 1,88 0,553 118 17,0 56,9 10,0 145 30,1 75x100x9 15,1 11,8 3,15 1,91 0,549 148 21,5 71,0 12,7 181 37,8 75x130x8 15,9 12,5 4,36 1,65 0,339 276 31,9 68,3 11,7 303 41,3 75x130x10 19,6 15,4 4,45 1,73 0,336 337 39,4 82,9 14,4 369 50,6 75x150x9 19,5 15,3 5,28 1,57 0,265 455 46,8 78,3 13,2 484 50,0 75x150x11 23,6 18,6 5,37 1,65 0,261 545 56,6 93,0 15,9 578 59,8 75x170x10 23,7 18,6 6,21 1,52 0,214 709 65,7 88,2 14,8 739 58,5 75x170x12 28,1 22,1 6,30 1,60 0,210 834 78,0 103 17,4 868 68,9 80x120x8 15,5 12,2 3,83 1,87 0,441 226 27,6 80,8 13,2 261 45,8 80x120x10 19,1 15,0 3,92 1,95 0,438 276 34,1 98,1 16,2 318 56,1 90x110x9 17,3 13,6 3,30 2,32 0,652 204 26,5 122 18,3 264 62,2 90x110x11 20,9 16,4 3,38 2,40 0,650 243 31,9 146 22,1 315 74,3

90x130x10 21,2 16,6 4,15 2,18 0,472 358 40,5 141 20,6 420 78,5 90x130x12 25,1 19,7 4,24 2,26 0,468 420 48,0 165 24,4 492 92,6 90x150x10 23,2 18,2 4,99 2,03 0,363 532 53,1 146 21,0 591 87,3 90x150x12 27,5 21,6 5,08 2,11 0,360 626 63,1 170 24,7 694 102 90x250x10 33,2 26,0 9,49 1,57 0,156 2170 140 163 22,0 2220 113 90x250x12 39,5 31,0 9,59 1,65 0,154 2570 167 191 26,0 2630 133

100x150x10 24,2 19,0 4,80 2,34 0,442 552 54,1 198 25,8 637 112 100x150x12 28,7 22,6 4,89 2,42 0,439 650 64,2 232 30,6 749 132 100x200x10 29,2 23,0 6,93 2,01 0,266 1220 93,2 210 26,3 1300 133 100x200x12 34,8 27,3 7,03 2,10 0,264 1440 111 247 31,3 1530 158

9.3.3 Čelični U-profili

Slika 9.3-3 Standardni U-profil

Podaci u tablici 9.3-3 su dio podataka o standardnim U profilima definiranim standardom DIN 1026. Simboli u zaglavju tablice 9.3-3, koji nisu definirani slikom 9.3-3 znače: A – površina poprečnog presjeka profila, m1 – masa jednog metra profila, IX ,IY – momenti inercije za os x odnosno os y, WX ,WY – momenti otpora za os x odnosno o y, SX – statički moment polovine površine A za os x. Masa profila računata je s gustoćom 7850 kg/m3. Debljina t se mjeri na b/2.


CK-POD-02

Tablica 9.3-3 Karakteristike standardnih U-profila Oznaka

U h

mm b

mm d

mm t

mm A

cm2 m1

kg / m IX

cm4 WX cm3

IY cm4

WY cm3

SX cm3

e cm

3 30 33 5 7 5,44 4,27 6,39 4,26 5,33 2,68 1,31 4 40 35 5 7 6,21 4,87 14,1 7,05 6,68 3,08 1,33 5 50 38 5 7 7,12 5,59 26,4 10,6 9,12 3,75 1,37 8 80 45 6 8 11,0 8,64 106 26,5 19,4 6,36 15,9 1,45 10 100 50 6 8,5 13,5 10,6 206 41,2 29,3 8,49 24,5 1,55 12 120 55 7 9 17,0 13,4 364 60,7 43,2 11,1 36,3 1,60 14 140 60 7 10 20,4 16,0 605 86,4 62,7 14,8 51,4 1,75 16 160 65 7,5 10,5 24,0 18,8 925 116 85,3 18,3 68,8 1,84 18 180 70 8 11 28,0 22,0 1350 150 114 22,4 89,6 1,92 20 200 75 8,5 11,5 32,2 25,3 1910 191 148 27,0 114 2,01 22 220 80 9 12,5 37,4 29,4 2690 245 197 33,6 146 2,14 24 240 85 9,5 13 42,3 33,2 3600 300 248 39,6 179 2,23 26 260 90 10 14 48,3 37,9 4820 371 317 47,7 221 2,36 28 280 95 10 15 53,3 41,8 6280 448 399 57,2 266 2,53 30 300 100 10 16 58,8 46,2 8030 535 495 67,8 316 2,70 32 320 100 14 17,5 75,8 59,5 10870 679 597 80,6 413 2,60 35 350 100 14 16 77,3 60,6 12840 734 570 75,0 459 2,40 38 381 102 13,34 16 79,7 62,6 15730 826 613 78,4 505 2,35 40 400 110 14 18 91,5 71,8 20350 1020 846 102 618 2.65

9.3.4 Čelični I-profili

Slika 9.3-4 Standardni I-profil

Podaci u tablici 9.3-4 su dio podataka o standardnim I-profilima definiranim standardom DIN 1025. Simboli u zaglavju tablice 9.3-4, koji nisu definirani Slikom 9.3-4 znače: A – površina poprečnog presjeka profila, m1 – masa jednog metra profila IX ,IY – momenti inercije za os x odnosno os y, WX ,WY – momenti otpora za os x odnosno o y, SX – statički moment polovine površine A za os x. Masa profila računata je s gustoćom 7850 kg/m3. Debljina t se mjeri na b/4.

Tablica 9.3-4 Karakteristike standardnih I-profila Oznaka

I h

mm b

mm d

mm t

mm A

cm2 m1

kg / m IX

cm4 WX cm3

IY cm4

WY cm3

SX cm3

8 80 42 3,9 5,9 7,58 5,95 77,8 19,5 6,29 3,00 11,4 10 100 50 4,5 6,8 10,6 8,32 171 34,2 12,2 4,88 19,9 12 120 58 5,1 7,7 14,2 11,2 328 54,7 21,5 7,41 31,8 14 140 66 5,7 8,6 18,3 14,4 573 81,9 35,2 10,7 47,7 16 160 74 6,3 9,5 22,8 17,9 935 117 54,7 14,8 68,0 18 180 82 6,9 10,4 27,9 21,9 1450 161 81,3 19,8 93,4 20 200 90 7,5 11,3 33,5 26,3 2140 214 117 26,0 125 22 220 98 8,1 12,2 39,6 31,1 3060 278 162 33,1 162 24 240 106 8,7 13,1 46,1 36,2 4250 354 221 41,7 206 26 260 113 9,4 14,1 53,4 41,9 5740 442 288 51,0 257 28 280 119 10,1 15,2 61,1 48,0 7590 542 364 61,2 316 30 300 125 10,8 16,2 69,1 54,2 9800 653 451 72,2 381


CK-POD-02

Oznaka

I h

mm b

mm d

mm t

mm A

cm2 m1

kg / m IX

cm4 WX cm3

IY cm4

WY cm3

SX cm3

32 320 131 11,5 17,3 77,8 61,1 12510 782 555 84,7 457 34 340 137 12,2 18,3 86,8 68,1 15700 923 674 98,4 540 36 360 143 13,0 19,5 97,1 76,2 19610 1090 818 114 638 38 380 149 13,7 20,5 107 84,0 24010 1260 975 131 741 40 400 155 14,4 21,6 118 92,6 29210 1460 1160 149 857 45 450 170 16,2 24,3 147 115 45850 2040 1730 203 1200 50 500 185 18,0 27,0 180 141 68740 2750 2480 268 1620 55 550 200 19,0 30,0 213 167 99180 3610 3490 349 2120 60 600 215 21,6 32,4 254 199 139000 4630 4670 434 2730

9.4 REAKCIJE, POPREČNE SILE , MOMENTI SAVIJANJA I PROGIBI GREDA U tablici 9.4-1 za petnaest slučajeva opterećenja grede i konzole dano je sljedeće: a) U stupcu 1. prikazane su grede odnosno konzole s opterećenjem i osloncima. Prvih devet slučajeva je statički određeno dok su ostali statički neodređeni slučajevi. Dijagrami poprečnih sila i momenata savijanja prikazani su kvalitativno. b) Reakcije oslonaca, najveće vrijednosti poprečnih sila Qmax i momenata savijanja Mmax te poprečni presjeci u kojima djeluju Qmax i Mmax dani su u stupcu 2. c) Najveći progib ymax i kutovi tangente na elastičnu liniju αA i αB u ležajima A i B dani su u stupcu 3. Značenje ovih veličina pokazano je na slici 9.4-1. Formule u tablici 9.4-1 preuzete su, uz manje izmjene, iz literature navedene pod [8].

Slika 9.4-1 Najveći progib i kutovi tangente na elastičnu liniju u ležajima A i B


CK-POD-02

Tablica 9.4-1 Reakcije, poprečne sile, momenti savijanja, progibi i kutovi αA i αB u A i B

Nosač, opterećenje, dijagram poprečnih sila Q i momenata

savijanja M

Reakcije oslonaca RA i RB, najveća poprečna sila Qmax i najveći moment savijanja

Mmax

Najveći progib ymax i

kutovi tangente na elastičnu liniju αA i αB u A i B

1. 2. 3. 1. Greda, zglobno oslonjena u A i B, opterećena silom F u sredini raspona

RA = 2

F

RB = 2

F

Qmax = RA za x od A do C Qmax = - RB za x od C do B

Mmax = 4

Fl u C

ymax = EI

Fl

48

3

u C

αA = EI

Fl

16

2

za x = 0

αB = - EI

Fl

16

2

za x = l

2. Greda, zglobno oslonjena u A i B, opterećena silom F u rasponu

RA = l

Fb

RB = l

Fa

Qmax = l

Fb za x od A do C

Qmax = - l

Fa za x od C do B

Mmax = l

Fab u C

Za a>b

ymax = ( ) ( )baa

EIl

baFab23

27

2+

+

za x = ( )

3

2baa +

αA =

−

3

32

6 l

b

l

b

EI

Fl za x = 0

αB = -

−+

2

2

3

32 32

6 l

b

l

b

l

b

EI

Fl

za x = l 3. Greda, zglobno oslonjena u A i B, opterećena kontinuiranim konstantnim opterećenjem q

F = ql

RA = 2

F

RB = 2

F

Qmax = RA za x = 0

Qmax = - RB za x = l

Mmax = 8

2ql za x =

2

l=

ymax = EI

ql

384

5 4

za 2

lx =

αA = EI

ql

24

3

za x = 0

αB = - EI

ql

24

3

za x = l


CK-POD-02



savijanja M


Mmax



1. 2. 3. 4. Greda, zglobno oslonjena u A i B, opterećena kontinuiranim opterećenjem linearno rastućim od 0 u A do q u B

F = 2

ql

RA = 3

F

RB =3

2F

Qmax = RA za x = 0

Qmax = - RB za x = l Mmax = Fl128,0 za x = l577,0

ymax = EI

Fl 3

01304,0 za x = l519,0

αA = EI

Fl

180

7 2

za x = 0

αB = - EI

Fl

180

8 2

za x = l

5. Greda, zglobno oslonjena u A i B, opterećena spregom momenta MV nad ležajem A

RA = - l

MV

RB = l

MV

Qmax = - l

MV

Mmax = VM za x = 0

y = 3

23 26

VM xx lx

EI l

− − −

ymax = EI

lM V2

0642,0 za x = l422,0

αA = EI

lMV

3 za x = 0

αB = 6

VM l

EI− za x = l

6. Greda, zglobno oslonjena u A i B, opterećena spregom momenta MV u rasponu

RA = - l

MV

RB =l

MV

Qmax = -l

MV

Mmax = - RA a lijevo od C Mmax = RB b desno od C

Za x od A do C

y =2 3 2

3 2

6 32

6VM l x a a x

EI l l l l

− − − −

αA =

+−

2

2362

6 l

a

l

a

EI

lMV za x = 0

αB =

−

2

231

6 l

a

EI

lMV za x = l


CK-POD-02



savijanja M


Mmax



1. 2. 3.

7. Konzola opterećena silom F

RB = F Qmax = F

Mmax = Fl za x = l

ymax = EI

Fl

3

3

za x = 0

αA = - EI

Fl

2

2

za x = 0

αB = 0 za x = l

8. Konzola opterećena kontinuiranim konstantnim opterećenjem q

F = ql

RB = F


Mmax = - 2

Fl za x = l

ymax = EI

Fl

8

3

za x = 0

αA = - EI

Fl

6

2

za x = 0

αB = 0 za x = l

9. Konzola opterećena kontinuiranim opterećenjem linearno rastućim od 0 u A do q u B

F = 2

ql

RB = F


Mmax = - 3

Fl za x = l

ymax = EI

Fl

15

3

za x = 0

αA = - EI

Fl

12

2

za x = 0

αB = 0 za x = l


CK-POD-02



savijanja M


Mmax



1. 2. 3.

10. Greda, zglobno oslonjena u A i upeta u B, opterećena silom F na sredini raspona

RA = F16

5

RB = F16

11

Qmax = F16

5 od A do C

Qmax = - F16

11 od C do B

Mmax = Fl32

5 u C

Mmax = - Fl16

3 u B

ymax = EI

Fl 3

0093,0 za x = l447,0

αA = EI

Fl

32

2

za x = 0

αB = 0 za x = l

11. Greda, zglobno oslonjena u A i upeta u B, opterećena kontinuiranim konstantnim opterećenjem q

F = ql

RA = F8

3, RB = F

8

5

Qmax = F8

3 u A

Qmax = - F8

5 u B

Mmax = Fl128

9 u rasponu

Mmax = - Fl8

1 u B

ymax = EI

Fl 3

0054,0 za x = l421,0

αA = EI

Fl

48

2

za x = 0

αB = 0 za x = l

12. Greda, zglobno oslonjena u A i upeta u B, opterećena spreg

RA = - l

MV

2

3

RB = l

MV

2

3

Qmax = - l

MV

2

3

Mmax = VM u A

Mmax = - VM2

1 u B

ymax = EI

lM V

27

2

za x = l3

1

αA = EI

lMV

4 za x = 0

αB = 0 za x = l


CK-POD-02



savijanja M


Mmax



1. 2. 3.

13. Greda, upeta na krajevima, opterećena silom F na sredini raspona

RA = F2

1= RB

Qmax = F2

1 od A do C

Qmax = - F2

1 od C do B

Mmax = Fl8

1 u rasponu

Mmax = - Fl8

1 u A i B

ymax = EI

Fl

192

3

u C

αA = 0 za x = 0

αB = 0 za x = l

14. Greda, upeta na krajevima, opterećena silom F u rasponu

RA = ( )bal

Fb+3

3

2

RB = ( )abl

Fa+3

3

2

Qmax = RA od A do C Qmax = RA – F od C do B

MA = 2

2

l

Fab−

MB = 2

2

l

bFa−

Mmax = aRl

FabA+−

2

2

u C

Ako je a>b

ymax = ( )2

23

33

2

baEI

bFa

+

za x = ba

al

+3

2

Ako je a<b

ymax = ( )2

32

33

2

baEI

bFa

+

za x = ab

bll

+−

3

2

αA = 0 za x = 0

αB = 0 za x = l

15. Greda, upeta na krajevima, opterećena kontinuiranim konstantnim opterećenjem q

F = ql

RA = RB = F2

1

Qmax = RA u A Qmax = - RB u B

MA = MB = -12

Fl

Mmax = Fl24

1 u rasponu

ymax = EI

Fl

384

3

za x = l2

1

αA = 0 za x = 0

αB = 0 za x = l


CK-POD-02

9.5 VRIJEDNOSTI ω ZA ČELIKE Č.0361 I Č.0545 U tablici 9.5-1 dane su vrijednosti ω za različite vrijednosti vitkosti štapa λ izračunate po formulama:

ωČ.0361 = 1.0084 + 4.590x10-4 λ + 3.4122x10-5 λ2 + 1.0815x10-6 λ3

ωČ.0561 = 0.986 + 1.0976x10-2 λ – 5.6773x10-4 λ2 + 1.0536x10-5 λ3 – 3.4209x10-8 λ4 Gornje formule dobijene su na osnovu podataka iz [5]. Vrijednosti izračunate po prvoj formuli vrijede za čelik Č.0361 a one izračunate po drugoj formuli vrijede za čelik Č.0561. Tablica 9.5-1 Vrijednosti ω za različite vrijednosti vitkosti štapa λ

Vitkost λ ω za Č.0361 ω za Č.0561 Vitkost λ ω za Č.0361 ω za Č.0561 5. 1.012 1.028 105. 2.685 3.918 10. 1.017 1.049 106. 2.729 4.000 15. 1.027 1.057 107. 2.773 4.083 20. 1.040 1.057 108. 2.818 4.168 25. 1.058 1.057 109. 2.864 4.253 30. 1.082 1.061 110. 2.911 4.339 35. 1.113 1.075 111. 2.959 4.426 40. 1.151 1.103 112. 3.007 4.513 45. 1.197 1.150 113. 3.056 4.602 50. 1.252 1.219 114. 3.106 4.691 55. 1.317 1.312 115. 3.157 4.781 60. 1.392 1.433 116. 3.209 4.871 61. 1.409 1.461 117. 3.261 4.963 62. 1.426 1.490 118. 3.315 5.055 63. 1.443 1.520 119. 3.369 5.147 64. 1.461 1.551 120. 3.424 5.240 65. 1.479 1.584 121. 3.479 5.334 66. 1.498 1.617 122. 3.536 5.428 67. 1.518 1.652 123. 3.594 5.523 68. 1.537 1.689 124. 3.652 5.618 69. 1.558 1.726 125. 3.711 5.714 70. 1.579 1.765 126. 3.771 5.809 71. 1.600 1.805 127. 3.832 5.906 72. 1.622 1.846 128. 3.894 6.002 73. 1.644 1.889 129. 3.957 6.099 74. 1.667 1.933 130. 4.021 6.195 75. 1.691 1.978 131. 4.085 6.292 76. 1.715 2.025 132. 4.151 6.389 77. 1.740 2.073 133. 4.217 6.487 78. 1.765 2.122 134. 4.285 6.584 79. 1.791 2.172 135. 4.353 6.681 80. 1.817 2.224 136. 4.422 6.778 81. 1.844 2.277 137. 4.493 6.875 82. 1.872 2.331 138. 4.564 6.971 83. 1.900 2.387 139. 4.636 7.068 84. 1.929 2.444 140. 4.709 7.164 85. 1.958 2.502 141. 4.783 7.260 86. 1.988 2.561 142. 4.858 7.356


CK-POD-02


Vitkost λ ω za Č.0361 ω za Č.0561 Vitkost λ ω za Č.0361 ω za Č.0561 87. 2.019 2.622 143. 4.934 7.451 88. 2.050 2.684 144. 5.011 7.545 89. 2.082 2.747 145. 5.089 7.639 90. 2.115 2.812 146. 5.169 7.733 91. 2.148 2.877 147. 5.249 7.825 92. 2.182 2.944 148. 5.330 7.917 93. 2.216 3.012 149. 5.412 8.009 94. 2.251 3.081 150. 5.495 8.099 95. 2.287 3.152 155. 5.927 8.537 96. 2.324 3.224 160. 6.385 8.945 97. 2.361 3.296 165. 6.871 9.314 98. 2.399 3.370 170. 7.386 9.636 99. 2.438 3.445 175. 7.930 9.902 100. 2.477 3.521 180. 8.504 10.102 101. 2.517 3.599 185. 9.109 10.225 102. 2.558 3.677 190. 9.745 10.261 103. 2.599 3.756 195. 10.415 10.199 104. 2.642 3.837 200. 11.117 10.026


CK-POD-02

10. LITERATURA [1] Alfirević, I.: Nauka o čvrstoći I, Tehnička knjiga, Zagreb, 1989. [2] Štulhofer, D.: Čvrstoća konstrukcija, Zagreb, 1988. [3] Šomođi, Ž.: Zbirka zadataka iz nauke o čvrstoći, Zagreb, 1981. [4] Timošenko, S.: Otpornost materijala, I deo, Građevinska knjiga, Beograd, 1956. [5] * * * HÜTTE - Inženjerski priručnik I, 2 deo, Građevinska knjiga, Beograd, 1956. [6] Alfirević, I.

i suradnici: Inženjerski priručnik, Temelji inženjerskih znanja, Školska knjiga, Zagreb, 1996.

[7] Kraut, B.: Strojarski priručnik, Tehnička knjiga, Zagreb, 1988.

Documents

Čvrstoća Konstrukcija