ĆWICZENIE 6

Mimośrodowe rozciąganie

Redukcja do środka ciężkości

N P 0yM Pz 0zM Py

PROJEKT

Zaprojektować parametr a przekroju, wyznaczyć oś obojętną oraz bryłę naprężeń.

Wyznaczyć rdzeń przekroju. Przekrój obciążono siłą N=200 kN przyłożoną w punkcie P.

Dane: oblR =180MPa.

a) Wyznaczenie głównych centralnych osi bezwładności przekroju i głównych momentów

bezwładności

C - środek ciężkości figury

iC - środki ciężkości figur składowych , współrzędne: i ci ciC y ,z

IC 0 ,2

a

2

IA 2 3 6a a a

II

3C ,

2 2

aa

2

IIA 5 5a a a

III

3C ,

2 2

aa

2

IIIA 5 5a a a

IVC 4 ,a a 2

IV

1A 2 3 3

2a a a

VC 4 ,a a 2

V

1A 2 3 3

2a a a

V

i

i=I

A A 2A 22 a

Współrzędne środka całej figury:

Cy 0 ze względu na symetrię figury

V

Ci i

i=IC V

i

i=I

z A

z

A

Cz 0.63 a

Obliczenia: 4

yCJ 29.42 a 4

zCJ 69.33 a

Promienie bezwładności: yC2

yC

Ji =

A 2 zC

zC

Ji =

A

Obliczenia: 2 2

yCi =1.34 a 2 2

zCi =3.15 a

Współrzędne punktu przyłożenia siły w układzie osi głównych centralnych:

0 0P ,y z P 2 , 3 0.63a a a

2. Położenie osi obojętnej:

1y z

y z

a a

gdzie:

2

0

zy

ia

y

2

0

y

z

ia

z

Obliczenia: 1.576ya a 0.566za a

Równanie osi obojętnej:

1

1.576 0.566

y z

a a

3. Projektowanie – wyznaczanie parametru a

Redukcja obciążenia do środka ciężkości przekroju:

200N N kN 0 200 2.36 [ ]yM Nz a kNm 0 200 2 [ ]zM Ny a kNm

Warunek wytrzymałościowy

max x oblR

y zx

y z

M MNz y

A J J

Punkt najbardziej oddalony od osi obojętnej to punkt P, wstawiamy jego współrzędne i

otrzymujemy:

3

2 4 4

200 2.36 200 2200max 2.36 2 180 10 [ ]

22 29.42 69.33x

a aa a kPa

a a a

0.02a m

Podstawiamy teraz wartość obliczonego parametru do kolejnych obliczeń. Liczymy

naprężenia w wierzchołkach konturu przekroju, czyli punktach Pi .

Py z

x i i i

y z

M MNz y

A J J

Dokonanie obliczeń jest możliwe po zestawieniu współrzędnych tych punktów w osiach

głównych, dla przyjętej wartości parametru a.

P ,i i iy z Px i

A 4 , 0.63 0.08, 0.01266a a 54.98x A MPa

B 2 , 0.63 0.04, 0.01266a a 26.09x B MPa

C 2 , 2.63 0.04, 0.05266a a 54.34x B MPa

D , 2.63 0.02, 0.05266a a 68.77x B MPa

E , 1.63 0.02, 0.03266a a 28.54x B MPa

F , 1.63 0.02, 0.03266a a 57.39x B MPa

G , 2.63 0.02, 0.05266a a 97.61x G MPa

H 2 , 2.63 0.04, 0.05266a a 112.04x H MPa

I 2 , 0.63 0.04, 0.01266a a 31.59x I MPa

J 4 , 0.63 0.08, 0.01266a a 60.44x J MPa

K 2 , 3 0.63 0.04, 0.04733a a 89.07x K MPa

L , 3 0.63 0.02, 0.04733a a 103.49x L MPa

M , 2 0.63 0.02, 0.02733a a 63.27x M MPa

N , 2 0.63 0.02, 0.02733a a 92.12x N MPa

, 3 0.63 0.02, 0.04733O a a 132.34x O MPa

P 2 , 3 0.63 0.04, 0.04733a a 146.67x P MPa

Powyżej obliczone naprężenia tworzą tzw. bryłę naprężeń, która powstaje jako rzut

aksonometryczny wyskalowanych naprężeń odniesionych na oś x w punktach Pi i

połączonych odcinkami prostymi pomiędzy kolejnymi wierzchołkami.

Rysunek tej bryły przedstawiono poniżej.

naprężenia rozciągające

naprężenia ściskające

(18.11.2008)

Rdzeń przekroju o jednej osi symetrii –przykład 1

Dla każdej prostej il z obwiedni poszukujemy takiego punktu ,i oi oiR y z , że współrzędne

tego punktu wyznaczone są z zależności:,

2

0z

i

yi

iy

a

2

0

y

i

zi

iz

a

gdzie :

yia , zia są współczynnikami w postaci odcinkowej tej prostej.

Oś z jest osią symetrii. Tworzymy obwiednię przekroju prostymi stycznymi do jego konturu.

Obwiednia ta jest również symetryczna, stąd wystarczająca jest analiza połówki przekroju do

osi symetrii.

Prosta 1l

1ya , 1 2.63za a

punkt 1R o współrzędnych 01 0y 01 0.507z

Prosta 2l

2 4.65ya a , 2 4.63za a

punkt 2R o współrzędnych 02 0.677y a 02 0.288z

Prosta 3l

3 3.55ya a , 3 3 0.63za a

punkt 3R o współrzędnych 03 0.887y 03 0.249z

Prosta 4l

4ya , 4 3 0.63za a

punkt 4R o współrzędnych 04 0y 04 0.56z

Punkty 2R 3R są odbiciem symetrycznym punktów 2R 3R .

Rdzeń przekroju o jednej osi symetrii –przykład 2

Zadanie pomocnicze: dane dwa punkty , ,A A B BA y z B y z wyznaczyć równanie

odcinkowe prostej przechodzącej przez te dwa punkty.

A B

A B

z ztg

y y

A Az z tg y y to równanie kierunkowe tej prostej , które

należy przekształcić do postaci odcinkowej

3 3 3

2 2 2

y

15 5 3 30 20 5J 15 5 19.2 3 30 1.65 20 5 15.85

12 12 12

3 3 3

z

5 15 30 3 5 20J

12 12 12

A 15 5 20 5 30 3

Obliczenia: 4

yJ 60129.0 cm 4

zJ 4807.1 cm

2A 265 cm

2 2226.9yi cm 2 218.1zi cm

Prosta 1l

1ya , 1 21.65za

punkt 1P o współrzędnych 01 0y 01

226.910.5

21.65z

Prosta 2l

2 9.0ya , 2 126.65za

punkt 2P o współrzędnych

02

18.12.1

9y

02

226.91.8

126.65z

Prosta 3l

3 10.0ya , 3za

punkt 3P o współrzędnych 03

18.11.81

10y

03 0z

Prosta 4l

4ya , 4 18.35za

punkt 4P o współrzędnych 04 0y 04

226.9

18.35z

Punkty 2 'P 3 'P są odbiciem symetrycznym punktów 2P , 3P .

PROJEKT 6

Rdzeń przekroju nie posiadającego osi symetrii

Algorytm

1. wyznaczenie centrum figury

wyznaczenie głównych osi i obliczenie: A, yJ , zJ

promienie bezwładności: 2

yi , 2

zi

2. wykreślenie obwiedni przekroju prostymi il stycznymi do konturu

3. wyznaczenie równań kierunkowych tych prostych na podstawie znajomości

współrzędnych dwóch punktów, przez które ta prosta przechodzi

4. przekształcenie równań do postaci odcinkowych i wyznaczenie punktów rdzenia

214 2 8 2 44 [ ]F cm

4

1 8 2 1 14 2 9 268 [ ]yS cm 4

1 14 2 1 8 2 4 92 [ ]zS cm

1

922.1 [ ]

44Cy cm 1

2686.1 [ ]

44Cz cm

3 3

2 2 4

yC

8 2 2 14J 8 2 5.1 14 2 2.9 1114.3 [ ]

12 12cm

3 3

2 2 4

zC

2 8 14 2J 8 2 1.9 14 2 1.1 186.2 [ ]

12 12cm

4

yC zCJ 0 8 2 5.1 1.9 14 2 2.9 1.1 244.4 [ ]cm

2yC zCyC zC 4

y max yCzC

J JJ JJ =J J 1174.6 [ ]

2 2cm

2yC zCyC zC 4

z min yCzC

J JJ JJ =J J 126.0 [ ]

2 2cm

yC

yC zC

2J 2 1114.32 2.4

J J 1114.3 186.2tg

2 2.4arctg 33.7

Promienie bezwładności: y2 2

yC

Ji = 25.3 [ ]

Acm 2 2z

z

Ji = 4.2 [ ]

Acm

Transformacja współrzędnych kolejnych punktów z układu współrzędnych centralnych do osi

głównych (transformacja przez obrót).

cos 33.7 0.83 sin 33.7 0.55

cos sin 0.83 0.55

sin cos 0.55 0.83Q

cos sin

sin cos

i Ci

i Ci

y y

z z

Wyniki obliczeń:

P ,i Ci Ciy z P ,i i iy z

A 2.1, 9.9 A 7.1, 7.0

B 0.1, 9.9 B 5.5, 8.1

C 5.9, 4.1 C 7.2, 0.2

D 5.9, 6.1 D 8.3, 1.9

E 2.1, 6.1 E 1.7, 6.3

Do dalszych obliczeń wykorzystuje się współrzędne w głównych osiach (prawa kolumna

tabeli)

Prosta il przechodząca przez punkty Pk , Pl

współczynnik kierunkowy k li

k l

z ztg

y y

równanie prostej k i kz z tg y y

postać odcinkowa 1yi zi

y z

a a

punkt rdzenia 0 0R ,i i iy z gdzie:

2

0z

i

yi

iy

a

2

0

y

i

zi

iz

a

punkt rdzenia 0 0R ,i i iy z współrzędne punktu rdzeniowego są głównych osiach

centralnych

Prosta 1l przechodząca przez punkty A , B

współczynnik kierunkowy 1 0.69tg

równanie prostej 8.1 0.69 5.5z y

postać odcinkowa 117.2 11.88

y z

punkt rdzenia 1 01 01R , 0.24, 2.13y z

Prosta 2l przechodząca przez punkty B, C

współczynnik kierunkowy 2 0.65tg

równanie prostej 0.2 0.65 7.2z y

postać odcinkowa 16.92 4.5

y z

punkt rdzenia 2 02 02R , 0.61, 5.62y z

Prosta 3l przechodząca przez punkty C, D

współczynnik kierunkowy 3 1.54tg

równanie prostej 1.9 1.54 8.3z y

postać odcinkowa 17.07 10.89

y z

punkt rdzenia 3 03 03R , 0.59, 2.32y z

Prosta 4l przechodząca przez punkty D, E

współczynnik kierunkowy 4 0.66tg

równanie prostej 6.3 0.66 1.7z y

postać odcinkowa 111.26 7.43

y z

punkt rdzenia 4 04 04R , 0.37, 3.41y z

Prosta 5l przechodząca przez punkty E, A

współczynnik kierunkowy 5 1.5tg

równanie prostej 7 0.65 7.1z y

postać odcinkowa 124.8 3.7

y z

punkt rdzenia 5 05 05R , 0.15, 6.84y z

ĆWICZENIA: Przyjąć wymiary przekrojów i wyznaczyć ich rdzenie

STOPA FUNDAMENTOWA

Mimośrodowe ściskanie

Norma: wymiary podstawy fundamentu należy ustalać z zachowaniem następujących

warunków:

a) rozkład obliczeniowego obciążenia jednostkowego w podstawie fundamentu należy

przyjmować liniowy w/g rys.b. Nie wolno uwzględniać sił rozciągających między

podłożem i podstawą fundamentu

b) wypadkowa sił od obliczeniowego obciążenia nie powinna wychodzić poza rdzeń

podstawy fundamentu

c) przy uwzględnieniu wszystkich obciążeń obliczeniowych dopuszcza się powstanie

szczeliny między podłożem i podstawą fundamentu w/g rys c, której zasięg c nie może

być większy od połowy odległości c′ między prostą przechodzącą równolegle do osi

obojętnej przez środek ciężkości całej podstawy a prostą przechodzącą przez skrajny

punkt podstawy leżący po stronie osi obojętnej.

PROJEKT

300,~: 500N kN 400 ~: 800yM kNm 400 ~: 800zM kNm

1.2,~:1.4posh m 0.6sth m

318 ~: 21 /gr kN m 325 /bet kN m

PRZYKŁAD

Dane:

400N kN 500yM kNm 600zM kNm

1.1posh m 0.6sth m

318 /gr kN m 325 /bet kN m

Szukane: wymiary fundamentu B,H

przyjęto wstępne wymiary stopy: 4B m 3H m

Obliczenie całkowitej siły działającej na stopę

x gr bet gr pos st bet stN N G G N B H h h B H h

400 18 1.1 0.6 3 4 25 3 4 0.6 688xN kN

Obliczenie charakterystyk geometrycznych przekroju stopy:

F B H 3

12y

BHJ

3

12z

B HJ

Położenie osi obojętnej

yx zx

y z

MN Mz y

F J J

3 3

668 500 600

4 3 3 41212 12

x z y

688 500 6000

12 9 16z y

0.654 1.032z y

Równanie prostej równoległej do osi obojętnej przechodzącej przez wierzchołek (B/2, H/2)

Po wrysowaniu zobaczyć który to wierzchołek czy ma dodatnie współrzędne czy ujemne

Wyraz wolny w postaci kierunkowej c rzutowany na prostą prostopadła do osi obojętnej daje

d

Oraz wyraz wolny rzutowany tak samo daje d1

d1-d< (1/2 )d1 ???? jeśli nie to powiększyć fundament

Wrysować i sprawdzić warunek

*******************************