D ID 2012 II - Valorización de Forwards (1)

INSTRUMENTOS DERIVADOSPONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DEL PERU

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Valorización en los Mercados Forwards y Futuros

Instrumentos Derivados

Segundo Semestre 2012


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Agenda

• Valorización de precios forwards - Supuestos

• Principios básicos

• Caso 1: Precio forward sobre un activo no productor de rentas

• Caso 2: Precio forward sobre un activo con costos de mantenimiento y beneficios de mantenimiento

• Caso 3: Precio forward sobre un activo con rendimiento con capitalizacion continua

• Valorización de futuros


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Valorización de Forwards - Supuestos

1. El mercado no permite arbitraje (No pueden existir dos precios diferentes para un mismo activo).

2. No existen costos de transacción.

3. No existen restricciones para realizar “ventas en corto” (Venta de activos que el vendedor no tiene).

4. Las tasas de interés pasivas y activas son las mismas.


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Notaciones

• S: Precio spot del activo subyacente.

• T: Fecha de vencimiento del contrato forward.

• ST: (variable desconocida) Precio spot del activo subyacente en el día T.

• rT: tasa de interés aplicable al periodo T.

• F: Precio forward del contrato (a ser determinado).


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Principios básicos

• La idea central es la replicación: El valor de un derivado proviene del spot (o activo subyacente) por lo que debe ser valorizado en términos relativos al spot.

• La “replicación” es la base de la valorización de TODOS los derivados.

• La replicación consiste en recrear los pagos de un derivado usando un portafolio que contiene al activo subyacente.

• El precio del derivado deberá ser igual al costo de recrear “sintéticamente” los mismos pagos usando el activo subyacente (Caso contrario existiría un arbitraje).

• Debido a que el precio del subyacente es conocido, el precio del derivado es determinado conociendo la estrategia de replicación.

Determinar el diagrama de pagos

del DERIVADO

Pasos:

Establecer elportafolio que REPLICA

este derivado

ValorizarEl portafolio

PrecioForward


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Principios básicos (Cont.)

• A diferencia de las opciones, la estrategia de replicación de los forwards puede establecerse fácilmente.

• Supongamos, un inversionista desea tener una unidad de un activo especifico en el día T.

• Dos posibles estrategias:– Estrategia Forward: Hacer un contrato forward con vencimiento en T.– Estrategia Spot (o de replicación): Comprar una unidad del activo hoy y mantenerlo

hasta el día T.

• Las dos estrategias resultan en las misma posición en el día T (una unidad del activo subyacente).

• Por lo tanto, ambas estrategias deben tener el mismo precio.

NOTA• Valor presente con capitalización continua:

VP (F) = F e –rT

Donde e = 2.71828 (Factor de Logaritmo Neperiano).• Valor futuro con capitalización continua:

VF (S) = S e rT


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• Costo de la Estrategia Forward: VP (F), donde F es el precio de entrega en un contrato de forward.

• Costo de la Estrategia Spot: – Precio Spot S.

– Posibles costos de mantenimiento (almacenaje, seguro, etc.).

– Posibles beneficios de mantenimiento (dividendos, cupones, conveniencia).

• Por lo tanto: VP (F) = S + VP (costos de mantenimiento) – VP (beneficios de mantenimiento).

• Si esta ecuación no se mantiene, se generaría un arbitraje.

F

Hoy T

S

Hoy T

CM1 CM2

BM1 BM2

S

Hoy T

Con cost of carry

Sin costof carry


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• Supongamos que el VP (F) > S + VP (costos de mantenimiento) – VP (beneficios de mantenimiento).– El forward estaría sobrevalorado en relación al precio spot (o

mejor dicho al costo de obtener el mismo resultado usando el activo subyacente).

– Una utilidad sin riesgo podría ser generada vendiendo el forward (activo sobrevalorado) y comprando el spot (activo subvaluado).

• De la misma manera, si el VP (F) < S + VP (costos de mantenimiento) – VP (beneficios de mantenimiento).– El forward estaría subvaluado en relación al precio spot.– Una utilidad sin riesgo podría ser generada comprando el

forward y vendiendo el spot.

• Así, el precio forward es determinado por el costo de comprar y mantener el spot.– Esto se llama: Método de cost-of-carry para valorización de

forwards.


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Casos de valorización de forwards

• Caso 1: Precio forward sobre un activo no productor de rentas.

• Caso 2: Precio forward sobre un activo con costos de mantenimiento y beneficios de mantenimiento.

• Caso 3: Precio forward sobre un activo con rendimiento con capitalización continua.

S

Hoy T

S

Hoy T

CM1 CM2

BM1 BM2

S

Hoy Td

r


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Caso 1: Formula General

• Si no existe costos ni beneficios de mantenimiento, la formula se reduce a:

VP (F) = S, ó e-rT F = S

• Así, el precio forward en este caso sería:F = erT S

• Si F > erT S, se generan ganancias por arbitraje al vender el forward, comprar el spot y recurrir a un financiamiento.

• Si F < erT S, se generan ganancias por arbitraje al comprar el forward, vender el spot e invertir el producto de la venta.


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Caso 1: Ejemplo

• Ejemplo: Contrato de forward sobre el oro.– Supongamos que:

• Precio Spot: S = 1,600/oz.

• Plazo del contrato: T = 6 meses.

• Tasa de interés: r = 8% (capitalización continua).

• No existen costos o beneficios de mantenimiento.

– De la la formula VP (F) = S, el precio forward en un escenario sin arbitraje deberá satisfacer:

• VP (F) = 1,600, ó e-(0.08)(1/2) F = 1,600

• Donde e = factor de Logaritmo Neperiano (2.7182).

– Así: F = 1,600 e(0.08)(1/2) = 1,665.30

– Cualquier precio diferente crearía un arbitraje.


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Caso 1: Ejemplo (Cont.)

• Supongamos que, F = 1,700.

• Entonces el precio forward estaría sobrevalorado en relación al spot.

• La estrategia de arbitraje sería:– Vender el forward (realizar una venta en corto del forward).– Comprar una onza de oro al precio spot y mantenerlo por 6

meses.– Financiar la compra del oro con un préstamo de $1,600 por 6

meses a una tasa de 8%.– Después de 6 meses, entregar el oro al que compró el contrato

forward y cobrar $1,700; luego cancelar el préstamo.


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• El flujo de caja de esta estrategia sería.

– Al inicio: +1,600 (del préstamo) – 1,600 (por la compra del oro) = 0.

– Durante el plazo de 6 meses: cero de costos y beneficios de mantenimiento.

– En T:• Del contrato de forward: +1,700

• Para el pago del préstamo: - e(0.08)(1/2) 1,600 = - 1,665.30

• Flujo de caja neto: +34.70

– Debido a que todos los flujos son o cero o positivo, tenemos un arbitraje.


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• Ahora, supongamos que, F = 1,500.

• Entonces el precio forward estaría subvalorado en relación al spot.

• La estrategia de arbitraje sería:– Comprar el forward.– Vender una onza de oro al precio spot (Venta en corto).– Invertir los fondos producto de la venta por 6 meses a una tasa

de 8%.– Después de 6 meses, pagar $1,500 con los fondos invertidos y

recibir el oro del contrato de forward.– Utilizar el oro comprado en el forward para restituir el oro

vendido en corto.


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• El flujo de caja de esta estrategia sería.

– Al inicio: +1,600 (venta de la onza de oro) – 1,600 (inversión) = 0.

– Durante el plazo de 6 meses: cero de costos y beneficios de mantenimiento.

– En T:• Del contrato de forward: -1,500

• De los fondos invertidos: e(0.08)(1/2) 1,600 = 1,665.30

• Flujo de caja neto: +165.30

– Debido a que todos los flujos son o cero o positivo, tenemos un arbitraje.


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Caso 2

• En general, mantener activos por un plazo de T podría implicar costos (almacenaje, seguro, etc.) o beneficios (cupones, dividendos, etc.).

• Estos flujos durante T afectan el costo total de la estrategia de replicación.– Ejemplo: Supongamos que mantener los activos implica

beneficios (Ejm. Cupones), pero no costos.– Este flujo intermedio reduce el costo total de la estrategia de

replicación: Pagamos S hoy pero recibimos un flujo antes que el contrato de forward expire.

– Igualmente, si los activos involucran cierta salida de caja (Ejm. Almacenaje), esto incrementaría la estrategia de replicación.

• Para establecer los costos correctos de la estrategia de replicación, necesitamos el valor presente de estos flujos.


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Caso 2 (Cont.)

• Asumamos que C es el valor presente de los costos y beneficios de mantenimiento (cost of carry).– Si C>0, el cost of carry es positivo: Existe un egreso al mantener

los activos durante T.– Si C<0, el cost of carry es negativo: Existe un ingreso al

mantener los activos durante T.

• Entonces, el costo total de esta estrategia de replicación hoy día (Estrategia Spot) es S + C: pagamos S hoy y pagamos C (en términos de VP) para mantener estos activos durante T.


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Caso 2 (Cont.)

• Igualando lo anterior al costo de la Estrategia Forward tenemos VP (F) = S + C, ó e-rT F = S + C.

• Reescribiendo esta expresión, el precio forward sería:F = erT (S + C)

• Si F > erT (S + C), el forward esta sobrevalorado en relación al spot: se generan ganancias por arbitraje al vender el forward, comprar el spot y recurrir a un financiamiento.

• Si F < erT (S + C), el forward esta subvalorado en relación al spot: se generan ganancias por arbitraje al comprar el forward, vender el spot e invertir el producto de la venta.


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Caso 2: Ejemplo

• Contrato de Forward sobre un bono

• Supongamos:

– Precio spot del bono: S = 95.

– Plazo del contrato: T = 6 meses.

– Tasa de interés: r = 10% (capitalización continua) a lo largo de toda la curva de rendimientos.

– Cupón de $5 será pagada a los bonistas en 3 meses.


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• El cupón es un beneficio de mantenimiento, por lo tanto C es el valor negativo del VP de $5 recibido en 3 meses:

C = -e-(0.10)(1/4) 5

• Por lo tanto, el precio forward deberá satisfacer lo siguiente:

• VP (F) = S + C = 90.123 ó e-(0.10)(1/2) F = 90.123

• Por lo tanto, F = (90.123) e(0.10)(1/2) = 94.74

• Cualquier otro precio, generaría arbitraje.


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• Supongamos que, F = 98.

• Entonces el precio forward estaría sobrevalorado en relación al spot.

• La estrategia de arbitraje sería:– Vender el forward, comprar el spot, y endeudarse para financiar

la compra spot.– Si los 95 iniciales son financiados por 6 meses, entonces al

vencimiento se deberá pagar por este préstamo 99.87 = 95 e(0.10)

(1/2).– Sin embargo, la venta del forward solo me genera 98, por lo que

debería de haber un ingreso de caja antes del vencimiento.– ¿Qué pasos deberíamos ejecutar?


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• Mantener el bono nos genera un ingreso de caja de $5 al final del tercer mes.

• Para tomar ventaja de esto, se estructura el préstamo en dos tramos:– VP (5) = 4.877 por 3 meses, y – El saldo (95 – 4.877) = 90.123 por 6 meses.

• La estrategia final sería:– Vender el forward (Venta en corto del forward).– Comprar un bono por 95 y mantenerla por 6 meses.– Financiar la compra spot (i) tomar prestado 4.877 por 3 meses

al 10%, y (ii) tomar prestado 90.123 por 6 meses al 10%.– En el tercer mes, recibir el cupón de $5; pagar el préstamo a 3

meses.– En el sexto mes, entregar el bono por el contrato de forward y

recibir $98; pagar el préstamo a 6 meses.


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• El flujo de caja de esta estrategia sería:

– Al inicio: • Por el préstamo a 3 meses: + 4.877

• Por el préstamo a 6 meses: + 90.123

• Por la compra del bono: - 95

• Flujo neto = 0

– Al final del tercer mes:• Por el cupón: + 5

• Para repagar el préstamo a 3 meses: e(0.10)(1/4) 4.877 = -5

• Flujo neto = 0


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• Flujos de esta estrategia (Cont.)

– Al final del sexto mes:• Por el contrato de forward: + 98

• Para re pagar el préstamo a 6 meses: - e(0.10)(1/2) 90.123 = -94.74

• Flujo neto = +3.26

– En vista que la suma de los flujos son positivos, existe un arbitraje.


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Caso 3

• Caso en que el retorno de los activos subyacentes tiene la forma de un rendimiento, es decir un flujo continuo en el tiempo a diferencia del Caso General donde se generaba un flujo discreto.

• Consideremos replicar un contrato de forward de monedas (Ejm. soles por dólar).

• La estrategia forward: pagar F soles en el día T y recibir $1 en el día T.– Para replicar este resultado usando el activo subyacente, no

podemos simplemente comprar $1 y mantenerlo durante T.– ¿Por que? Los dólares generan intereses (a la tasa aplicable

para un deposito en dólares por T años), por lo que $1 crecería y sería mayor a $1 en el día T.

– Por lo tanto, se deber tomar este rendimiento en consideración para construir el portafolio que replique este pago.


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Caso 3 (Cont.)

• Supongamos que la tasa de interés para un plazo de T en $ es q.

• Entonces, $1 crecerá en $(eqT) durante T.

• Debido a que solo necesitamos $1 al final de T para replicar el resultado de este contrato de forward, la compra inicial consiste en solo $(1/eqT) = $e –qT

• Por lo tanto, el portafolio que replica el forward sería:– Comprar $e -qT – Invertir este monto en un deposito a plazo durante T.


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Caso 3 (Cont.)

• El costo de esta estrategia sería e-qT S.– S es el precio spot del activo subyacente al momento de la

creación del forward.

– Aquí, el subyacente son dólares, por lo tanto S es la tasa de cambio spot (soles por dólar).

– El costo de la estrategia de forward sería VP (F) = e-rT F

– Igualando ambos, tenemos e-qT S = e-rT F ó F = e(r-q)T S

– Este es el precio forward para un activo que paga un rendimiento de q.


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Caso 3: Ejemplo

• Supongamos la siguiente información– Moneda: dólar– Tipo de cambio spot (soles por $): 2.66– Plazo del contrato: 3 meses– Tasa de interés a 3 meses en soles (capitalización continua):

4.5%– Tasa de interés a 3 meses en dólares (capitalización continua):

3.0%

• En nuestra notación: S =2.66, T =1 / 4, r =0.045, q= 0.030.

• Por lo tanto, el precio forward sería:F = e(0.045 – 0.030)(1/4) (2.66) = 2.6700


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Caso 3 Ejemplo (Cont.)

• Supongamos que, F = 2.62.

• Entonces el precio forward estaría subvalorado en relación al spot, por lo que procederíamos a comprar el forward, vender el spot e invertir el producto de la venta.

• La estrategia de arbitraje sería:– Comprar un forward para adquirir $1 por 2.62 en 3 meses– Prestarnos $ e-qT = $0.9925 por 3 meses a una tasa de 3%.– Vender $0.9925 obteniendo soles por (2.66)(0.9925) = S/.

2.6401.– Invertir S/. 2.6401 por 3 meses al 4.5%.– Al final del tercer mes: Pagar S/. 2.62 y recibir $1 por el forward;

pagar el préstamo en dólares.


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• El flujo de caja de esta estrategia sería:– Al inicio:

• Por el préstamo en dólares: + $ 0.9925

• Por la venta de dólares: - $ 0.9925, + S/. 2.6401

• Por invertir los soles: -S/. 2.6401

• Flujo neto = 0

– Al final del tercer mes:• Pago del forward: -S/. 2.62

• Recibido por el forward: $1

• Soles recibidos por la inversión: +S/. (e(0.045)(1/4) (2.6401) = +S/. 2.6700

• Pago del préstamo en dólares: -$(e(0.03)(1/4) (0.9925) = $1

• Flujo de caja neto: +$0.0500 arbitraje


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Caso 3: Otras aplicaciones

• También podemos obtener precios forwards de índices bursátiles usando la formula aplicada en el precio forward de monedas:– Un índice bursátil es en esencia una canasta de acciones.– Si las acciones pagan dividendos en diferentes momentos del

tiempo, podemos aproximar los pagos de dividendos asumiendo que son pagados de manera continua.

– El retorno de los dividendos de un índice es la variable “d” en la fórmula.

• En teoría, la figura de dividendos continuos es inapropiada, pero, en la práctica esto funciona bien.

• Es más simple que calcular el valor efectivo de los pagos de dividendos esperados durante el plazo del contrato de forward, usando la formula para forward de activos con rendimiento continuo conocido.

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