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O PROFESSOR PDE E OS DESAFIOSDA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE
2009
Produção Didático-Pedagógica
Versão Online ISBN 978-85-8015-053-7Cadernos PDE
VOLU
ME I
I
MATERIAL DE APOIO PARA O USO DO
SOFTWARE GEOGEBRA NA INVESTIGAÇÃO DE FUNÇÕES DE 1º E 2º GRAUS
Profa. Marilda Schmeisch – PDE 2009
Orientadora – Profa. Dra. Sandra Malta Barbosa – UE L
PROJETO DE INTERVENÇÃO PEDAGÓGICA NA ESCOLA
FUNÇÕES E GEOMETRIA, UTILIZANDO SOFTWARE
GEOGEBRA NO ENSINO E NA APRENDIZAGEM DA
MATEMÁTICA
UNIDADE DIDÁTICA
1.1 Professor PDE: Marilda Schmeisch.
1.2 Área: Matemática.
1.3 NRE: Núcleo Regional de Educação de Londrina.
1.4 IES vinculada: Universidade Estadual de Londrina (UEL).
1.5 Professor Orientador IES: Profa. Dra. Sandra Malta Barbosa.
1.6 Escola de Implementação: Escola Estadual Jardim Eldorado –
Ensino Fundamental – Londrina (PR).
1.7 Público Objeto de Intervenção: 8ª série.
PDE 2009
SUMÁRIO
1 - INTRODUÇÃO.......................................................................................................4
2 - ESTRATÉGIA DE AÇÃO.......................................................................................4
3 – AVALIAÇÃO..........................................................................................................5
4 - OBJETIVO.............................................................................................................6
5 - GEOMETRIA DINÂMICA.......................................................................................7
6 - INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA............................................................................8
7 - FUNÇÕES E GEOGEBRA.....................................................................................9
1ª PARTE
O GEOGEBRA...........................................................................................................10
2ª PARTE
APRESENTAÇÃO DO GEOGEBRA..........................................................................11
Atividades de Ambientação ao GeoGebra: Plano cartesiano, ponto, reta.................12
3ª PARTE
ESTUDO DE FUNÇÕES DE 1º E 2º GRAUS COM GEOGEBRA.............................19
I MÓDULO: FUNÇÃO DE 1º GRAU...........................................................................22
Gráfico da Função Afim..............................................................................................23
II MÓDULO: FUNÇÃO DE 2º GRAU..........................................................................30
Gráfico da função Quadrática.....................................................................................32
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.................................................................................39
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1- INTRODUÇÃO
Os computadores estão presente na vida dos alunos da Escola Estadual
Jardim Eldorado em Londrina (PR), seja em suas casas, nas lan houses, e também
na escola. Isso requer dos mediadores da educação refletir “como as novas práticas
matemáticas e da Educação Matemática podem a vir a ocorrer. E [...] como o
pensamento humano é reorganizado quando uma nova mídia, como as mídias
informáticas, é incorporada ao cotidiano de estudantes” (BORBA, 1999, p.294).
No atual momento da Educação Matemática é imprescindível desenvolver
novas práticas pedagógicas que permitam que estudantes tenham acesso a estudar
matemática e resolver problemas que sejam relevantes para a produção do
conhecimento no sistema seres-humanos-mídias, proposto por Lévy (1993).
Será apresentado a utilização do software GeoGebra, que reúne recursos de
álgebra, cálculo e, especificamente, de geometria dinâmica e funções, como
procedimento metodológico mediador e investigativo do ensino de Matemática para
alunos da 8ª Série do Ensino Fundamental, no laboratório de informática (Paraná
Digital) da escola.
O software GeoGebra possui um ambiente que permite simular construções
geométricas no computador propiciando um ambiente rico de imagens, movimento e
animações, favorecendo assim, um estudo dinâmico e permitindo que o aluno
visualize, interaja com o computador, investigue, construa e experimente.
O GeoGebra recebeu muitos prêmios internacionais, incluindo o prêmio
software educacional Alemão e Europeu.
2- ESTRATÉGIA DE AÇÃO
Ao retornar à escola a partir de agosto de 2010, 3º período do PDE, será
apresentada a proposta de intervenção pedagógica à Direção e Equipe Pedagógica,
Professores e Administrativos, para então iniciar a intervenção com os alunos.
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O referido projeto de intervenção será implementado na Escola Estadual
Jardim Eldorado na cidade de Londrina, na 8ª série do Ensino Fundamental. A
participação do aluno neste processo dar-se-á pela utilização do software
GeoGebra, no laboratório de informática do colégio, em atividades propostas a partir
da Unidade Didática, com abordagem metodológica investigativa.
Para que possa haver aprendizagem é necessário que o aluno reflita durante a
execução das atividades, ou seja, que ele busque experimentar de diferentes
maneiras, percebendo as propriedades, conjecturando e justificando. No decorrer
das atividades, serão colocadas diversas questões e justificativas que auxiliem os
alunos nessas reflexões. O papel do professor é de fundamental importância nesse
processo. Ele precisa criar novos mecanismos para fazer com que os alunos reflitam
e percebam o que de fato está por trás das construções que eles estão fazendo,
além de auxiliá-los nas justificativas das construções.
Nesta Unidade Didática serão trabalhadas as possibilidades para o ensino e a
aprendizagem da Matemática: Geometria Dinâmica e Funções de 1º e 2º graus,
orientando o aluno para:
• Interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando coletivamente
na busca de soluções para os problemas propostos;
• Registrar as conclusões dos trabalhos desenvolvidos;
• Desenvolver atividades de resolução de situações problemas em
geometria, onde a construção com GeoGebra seja um meio privilegiado de solução.
3- AVALIAÇÃO
• A partir das atividades, observar os alunos na formulação de conjecturas,
conclusões e justificativas.
• Analisar até que ponto os alunos estão conseguindo perceber e entender
o que está por trás das construções.
• Observar a transferência do conhecimento produzido com o computador
para outros contextos, como lápis e papel.
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4- OBJETIVO
Este Material de Apoio apresentará algumas das muitas utilizações do software
GeoGebra, afim de oportunizar múltiplas representações ao mesmo tempo,
favorecendo a compreensão de conceitos e construção de conhecimentos.
O material tem por objetivo apresentar o software GeoGebra, com sua origem,
criadores, disponibilidade de download, ambientação ao programa e suas
ferramentas. Propor atividades tendo a investigação como procedimento
metodológico para:
• Explorar, geometria plana: ponto, reta e plano cartesiano;
• Conceituar e construir o gráfico da função de 1º grau, estabelecendo
relações entre as funções crescentes e decrescentes;
• Identificar as Raízes ou Zeros da Função Afim;
• Conceituar e construir o gráfico da função quadrática, estabelecendo uma
relação entre a concavidade de uma parábola e seus coeficientes;
• Estabelecer a relação entre o sinal de ∆ e o número de raízes da Função
Quadrática;
• Identificar o vértice da parábola e seu valor máximo ou mínimo na
Função;
• Identificar as principais propriedades inerentes à geometria dinâmica.
Com o uso desse material pretende-se que o aluno tenha oportunidade de
vivenciar um ambiente rico de imagens, movimento e animações, favorecendo
assim, um estudo dinâmico e permitindo que o aluno visualize, interaja com o
computador, investigue, construa e experimente, tornando o ensino mais significativo
para alunos e professores.
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5- GEOMETRIA DINÂMICA
Geometria Dinâmica é assim denominada pela possibilidade de passar de um
desenho a outro pelo deslocamento quase contínuo de objetos livres. A percepção
age sobre as características dinâmicas dos desenhos geométricos, que atualizam
automaticamente as construções sempre que o usuário alterar um dos objetos do
desenho.
Braviano e Rodrigues destacam que,
geometria dinâmica não se trata de uma nova geometria. [...] Trata-se da possibilidade de fazer construções eletrônicas como aquelas com régua e compasso e outras mais. Além disso, elementos básicos podem ser manipulados através do teclado ou do mouse, deslocando-se na tela e trazendo atrelados a si os elementos construídos a partir deles, ou seja, não alterando a posição relativa entre eles. Nessa mudança automática de posição está o dinamismo, cuja grande vantagem é preservar relações entre os elementos da figura. (BRAVIANO; RODRIGUES, 2002, p.22-23).
Um software de Geometria Dinâmica é um ambiente que permite simular
construções geométricas no computador. Diferentemente do que ocorre com a régua
e o compasso tradicional, a construção feita com este tipo de software é dinâmica e
interativa, o que faz do programa um excelente laboratório de aprendizagem da
geometria. Esses softwares possuem um recurso que possibilita a transformação
contínua, em tempo real. “O despertar para o desenvolvimento de algo útil coloca o
aprendiz em contato com novos conceitos. O domínio destes conceitos traz uma
sensação de praticidade e poder, incentivando cada vez mais a busca pelo saber”
(MALTEMPI, 2004, p.267).
O aluno (ou o professor) pode testar suas suposições através de exemplos e
contra-exemplos gerados pelo software. Uma vez feita a construção: os pontos, as
retas podem ser deslocados na tela mantendo-se as relações geométricas
previamente estabelecidas, permitindo assim que o aluno, ao invés de gastar o seu
tempo com detalhes de construção repetitivos, se concentre na associação existente
entre os objetos.
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6- INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA
No Dicionário Aurélio, investigar significa fazer diligências para achar,
pesquisar, indagar, inquirir, examinar com atenção, esquadrinhar.
Em contextos de ensino e aprendizagem, investigar não significa
necessariamente lidar com problemas muito sofisticados na fronteira do
conhecimento. Significa, tão só, que formulamos questões que nos interessam para
as quais não temos resposta pronta, e procuramos essa resposta de modo tanto
quanto possível fundamentado e rigoroso (PONTE; BROCARDO; OLIVEIRA, 2009).
Nesta Proposta de Intervenção Pedagógica o objeto a ser investigado não será
explicitado pelo professor, porém o método de investigação deverá ser indicado
através, por exemplo, de uma introdução oral, de maneira que o aluno compreenda
o significado de investigar. Assim, uma mesma situação apresentada poderá ter
objetos de investigação distintos por diferentes grupos de alunos. E mais, se os
grupos partirem de pontos de investigação diferentes, com certeza obterão
resultados também diferentes.
Na investigação matemática, o aluno é chamado a agir como um matemático,
não apenas porque é solicitado a propor questões, mas, principalmente, porque
formula conjecturas a respeito do que está investigando. Assim, “as investigações
matemáticas envolvem, naturalmente, conceitos, procedimentos e representações
matemáticas, mas o que mais fortemente as caracteriza é este estilo de conjectura-
teste-demonstração” (PONTE; BROCARDO; OLIVEIRA, 2009, p.10).
Como são estabelecidas diferentes conjecturas, os alunos precisam verificar
qual é a mais adequada à questão investigada e, para isso, devem realizar provas e
refutações, discutindo e argumentando com seus colegas e com o professor.
Diversos estudos em educação mostram que investigar constitui uma poderosa
forma de construir conhecimento ao trabalhar com questões que no início se
apresentam de modo confuso, mas que podemos esclarecer e estudar de modo
organizado. A prática pedagógica de investigações matemáticas tem sido
recomendada por diversos estudiosos como forma de contribuir para uma melhor
compreensão da disciplina de Matemática. Enfim, investigar significa procurar
conhecer o que não se sabe, que é o objetivo maior de toda ação pedagógica.
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7- FUNÇÕES E GEOGEBRA
O Software Geogebra possibilita traçar e explorar gráficos de funções lineares
e quadráticas e ainda oferece comandos para encontrar raízes e pontos extremos de
uma função do 2º grau, permitindo alterar todos os objetos dinamicamente após a
construção estar finalizada, explorando a parte geométrica do software.
Como afirma Borba e Penteado (2001), as atividades, além de naturalmente
trazer a visualização para o centro da aprendizagem matemática, enfatizam um
aspecto fundamental na proposta pedagógica da disciplina: a experimentação
(BORBA; PENTEADO, 2001, p.37). Além disso,
o importante a destacar, aqui, é que as mídias informáticas associadas a pedagogias que estejam em ressonância com essas novas tecnologias podem transformar o tipo de matemática abordada em sala de aula. Ao utilizar a tecnologia de uma forma que estimule a formação de conjecturas e a coordenação de diversas representações de um conceito, é possível que novos aspectos de um tema tão “estável”, como funções quadráticas, apareçam em sala de aula de não especialistas em matemática (BORBA; PENTEADO, 2001, p.38).
Barbosa (2009) relata que
Muitos conceitos e processos matemáticos podem ser visualizados através de diagramas ou gráficos. A visualização na Matemática é um processo de formação de imagens (mental ou com papel e lápis, material concreto, ou com ajuda das TIC) de conceitos abstratos, para usá-las com o intuito de se obter um melhor entendimento e de estimular a descoberta matemática. [...] É um tipo de raciocínio baseado no uso de elementos visuais e espaciais para resolver problemas ou provar propriedades. É um ato no qual é estabelecida uma conexão entre a construção interna (o que está na mente) e alguma coisa acessada dos sentidos (está fora: papel, computador, etc...) (BARBOSA, 2009, p.60).
Neste sentido, funções podem ganhar uma nova perspectiva tendo o
computador como mais um ator integrante no cenário da sala de aula.
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1ª PARTE
O GEOGEBRA
Criado por Markus Hohenwarter na Universidade de Salzburg, para ser
utilizado em ambiente de sala de aula, é um software gratuito de matemática
dinâmica que reúne recursos de geometria, álgebra e cálculo. O GeoGebra possui
todas as ferramentas tradicionais de um software de geometria dinâmica: pontos,
segmentos, retas, secções cônicas, dentre outras. Permite também que, equações e
coordenadas possam ser inscritas diretamente. Assim, o GeoGebra tem a vantagem
didática de apresentar, ao mesmo tempo, duas representações diferentes do mesmo
objeto que interagem entre si: representação geométrica e representação algébrica.
Por ter sido escrito em Java roda em qualquer plataforma (Microsoft Windows, Linux,
etc.).
O software permite a realização de construções geométricas utilizando régua e
compasso digitais mantendo, porém passos e características fundamentais à
construção convencional.
O termo Geometria Dinâmica é assim denominada pela possibilidade de passar
de um desenho a outro pelo deslocamento quase contínuo de objetos livres. A
percepção age sobre as características dinâmicas dos desenhos geométricos, que
atualizam automaticamente as construções sempre que o usuário alterar um dos
objetos do desenho. Este termo foi originalmente usado por Nick Jackiw e Steve
Rasmussem com a intenção de ressaltar a diferença entre softwares de Geometria
Dinâmica e outros softwares de Geometria.
O Geogebra pode ser baixado através do link: http://www.geogebra.at/.
A versão Web Start for Java 5 ou 6, permite que se obtenha as atualizações do
programa a cada vez que o mesmo é utilizado conectado à internet, oportunizando
ao usuário usufruir de ferramentas novas, correção de problemas internos do
programa, uma vez que o Geogebra é um software livre qualquer programador pode
fazer sua contribuição.
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2ª PARTE
APRESENTAÇÃO DO GEOGEBRA
Vamos conhecer o software GeoGebra, com algumas atividades pretende-se
dar instruções de uso das ferramentas acessadas via botões e comandos,
proporcionando discussão e reflexão sobre o uso dessas ferramentas e auxiliando
na elaboração do conhecimento matemático geométrico.
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"O aluno ouve e esquece, vê e se lembra,
mas só compreende quando faz".
Confúcio
Atividades de Ambientação ao GeoGebra
PLANO CARTESIANO
Plano Cartesiano : É um sistema de coordenadas formado por dois eixos x e y
perpendiculares entre si que dividem o plano em quatro regiões denominadas
quadrantes. (Exemplificado abaixo com a tela inicial do software GeoGebra). O
nome cartesiano refere-se ao matemático francês René Descartes.
Atividades
Vamos considerar que o plano cartesiano apresentado no GeoGebra seja o
mapa do seu bairro. Consideraremos ainda que a origem (local onde os eixos se
cruzam - figura abaixo) é a sua casa.
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Imagine ainda que uma quadra seja um quadrado de lado igual a 1, conforme
figura abaixo.
Então, podemos dizer que a biblioteca está a 3 quadras ao leste de sua casa
(para direita) e 2 quadras ao sul de sua casa (para baixo). Vamos adotar o norte
sendo para cima, o sul para baixo, o leste para direita e o oeste para esquerda.
Localização de pontos:
Utilizando as informações dadas acima, localize os pontos de referência abaixo
mencionando nas linhas pontilhadas quantas quadras está na direção: Norte, Sul,
Leste e Oeste, marque com pontos no plano cartesiano do GeoGebra, (para chegar
em cada uma das localidades sempre utilize sua casa como início):
1. Escola.→ Está localizada a ....quadras ao ...........e a.....quadras ao ............;
2. Supermercado.→ Está localizado a ....quadras ao ...........e a.....quadras ao .........;
3. Lan House.→ Está localizada a ....quadras ao ...........e a.....quadras ao ............;
4. Praça.→ Está localizada a ....quadras ao ...........e a.....quadras ao ............;
5. Aeroporto.→ Está localizado a ....quadras ao ...........e a.....quadras ao ............;
6. Tiro de Guerra.→ Está localizado a ....quadras ao ...........e a.....quadras ao ..........;
A localização de pontos no plano cartesiano é dada, por suas coordenadas,
chamadas coordenadas cartesianas.
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Coordenadas Cartesianas: São dois números que indicam a localização de um
ponto no plano cartesiano. Na figura a seguir, por exemplo, o ponto P tem
coordenadas 2 e 3. Representamos tais coordenadas da seguinte forma: (2,3),
sempre com a coordenada do eixo x primeiro e a coordenada do eixo y em seguida,
ou seja, ao procurarmos o ponto (2,3) localizamos, no eixo x, o 2 e, no eixo y, o 3.
Dessa forma, traçamos uma reta paralela ao eixo y passando por 2 e uma reta
paralela ao eixo x passando por 3, o ponto aonde essas retas se encontram é o
(2,3).
Noção intuitiva de que a menor distância entre dois pontos é uma reta:
Após marcar todas as localidades, responda às seguintes questões:
1) Quantas quadras temos que caminhar para chegarmos em cada localidade
partindo de sua casa?
2) Qual a localidade que está mais distante de sua casa? Qual está mais perto?
3) Se pudéssemos atravessar "por dentro" das quadras, qual seria a distância de
cada localidade até sua casa?
4) Você caminharia uma menor distância entre sua casa e cada localidade se
fosse pelas ruas ou atravessando "por dentro" das quadras?
5) Como você descreveria o trajeto de sua casa a cada localidade se atravesse
"por dentro" das quadras?
6) Se tivermos duas localidades, a menor distância entre elas é descrita por qual
tipo de trajetória?
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Equações de Funções Lineares do tipo y = x.
Vamos considerar que tenhamos algumas localidades em esquinas opostas
como na figura abaixo.
1) Qual formato de trajetória utiliza a menor distância entre o ponto A e o ponto
D?
2) Qual é a distância entre o ponto A e o ponto D?
3) Quais são as coordenadas de cada ponto?
4) O que você pode observar do tipo de coordenadas que esses pontos
possuem?
5) Ao traçarmos uma reta que passe por esses pontos e marcarmos novos pontos
nesta reta, o que você observa do tipo de coordenadas que cada ponto novo
nesta reta possui?
6) Todos os pontos que estiverem nesta reta vão ter coordenadas de que tipo?
7) Seja P um ponto nesta reta. Se a coordenada x deste ponto é 10, então quanto
vale a coordenada y deste ponto? Se x = -10 quanto vale y?
8) Se quisermos elaborar uma "fórmula" que descreva todos os pontos desta reta,
como seria esta "fórmula"?
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Trabalhando no Plano Cartesiano Quadriculado
Escolha trabalhar com o plano cartesiano "quadriculado". Para tanto, basta ir
na opção exibir e clicar em "selecionar malha".
Para localizar um ponto devemos escrever suas coordenadas na janela de
comandos.
Exemplo: para localizar o ponto onde x=2 e y=3, deve-se escrever (2, 3) na
janela de comandos.
Na janela de álgebra aparecem todas as atividades realizadas no software.
Assim, podemos editar essas atividades clicando com o botão direito do mouse
sobre elas.
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Podemos inserir um novo ponto também através da opção novo ponto, clicando
posteriormente em qualquer lugar do plano cartesiano. Esse ponto também
aparecerá na janela de álgebra.
Podemos modificar o nome do ponto. Assim, por exemplo, se quisermos
chamar o ponto A de "Escola", basta clicar com o botão direito do mouse no ponto A
na janela de álgebra e selecionar a opção renomear. Escreva então o nome que
achar mais apropriado. Para excluir um ponto, selecione-o na janela de álgebra com
o botão direito do mouse e clique em apagar.
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Podemos unir dois pontos através de uma reta, semi-reta ou segmento de reta.
No caso abaixo ligaremos dois pontos através de um segmento de reta. Para isso,
siga o passo mostrado na figura seguinte.
Após selecionar a opção desejada, clique em cada ponto que você quer ligar.
Podemos descobrir também a distância entre dois elementos de nossa
construção. Para descobrir a distância entre dois pontos basta seguir o passo
mostrado na opção abaixo.
Após selecionar a opção "distância ou comprimento", clique em cada ponto que
você quer unir.
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Temos então a seguinte figura:
Para construir uma reta, podemos fazê-la de duas maneiras:
1) Descrevendo a equação da reta na janela de comandos;
2) Escolhendo dois pontos do plano cartesiano e traçando uma reta que
passa por eles.
No caso abaixo, temos os pontos A e B no plano cartesiano e queremos definir
uma reta que passa pelos dois pontos.
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Para construir a reta, selecione a opção indicada a seguir:
Agora, clique no ponto A e no ponto B que a sua reta estará desenhada.
Note que a equação desta reta está descrita na janela de álgebra.
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3ª PARTE
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I MÓDULO FUNÇÕES DE 1º GRAU
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GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO
O gráfico de uma função f é um subconjunto do plano cartesiano formado pelos
pares ordenados (x, y) onde y = f(x).
Para esboçarmos o gráfico de uma função no plano cartesiano, devemos
atribuir alguns valores á variável x, determinando valores numéricos de y.
PARTE ALGÉBRICA
Para trabalharmos com funções no software temos na parte inferior da tela uma
linha de comandos que nos permite inserir funções e após inserir basta dar "enter"
que o gráfico da mesma será apresentado na parte geométrica e consequentemente
aparecerão na parte algébrica a função que estamos trabalhando. Testemos:
digitemos na linha de comando f(x) = x; y = 2x; 3x; as três formas são aceitas, porém
para inserir funções como f(x) = a*x+b, sendo a e b dependentes de um seletor,
devemos utilizar o sinal de multiplicação (*).
As entradas algébricas ficam na parte inferior da tela e devem respeitar
algumas notações tais como:
- o sinal de multiplicação é representado por (*).
- para elevar a uma potência, antes do valor da mesma, devo colocar (^).
- o sinal de divisão é (/).
As principais funções que o programa esboça diretamente estão disponíveis ao
lado da entrada algébrica.
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Construção do gráfico da função afim
Uma função afim é aquela que transforma um número real x em outro número
real y onde y = ax + b, para algum a, b є IR e a ≠ 0.
Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente de x e o número
b é chamado termo constante.
Atividades
No CAMPO DE ENTRADA, digite a =2 e aperte
ENTER. Digite b = 3 aperte ENTER. Esses valores
representarão os coeficientes “a” e “b” da função afim
que queremos analisar.
Observe se na JANELA DE ÁLGEBRA aparecem os
valores de “a” e “b”.Clique com o botão direito sobre o
“a” e marque a opção EXIBIR OBJETO, faça o mesmo
com o “b”. Os valores de “a” e “b” aparecerão em
segmentos na área de visualização.
Ative a ferramenta NOVO PONTO (janela 2) e crie um ponto A sobre o Eixo
X. Para ter certeza que o ponto está sobre o Eixo X clique, segure e arraste
o ponto A. Ele deverá ficar sobre o Eixo X.
No CAMPO DE ENTRADA, digite a seguinte
expressão: a*x(A)+b. Depois de digitado, pressione
ENTER.
Observação:
• O símbolo “*” significa “multiplicado por”.
• “x(A)” simboliza a abscissa do ponto A.
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Após esses passos, você observará que aparecerá um
valor “c=...” na JANELA DE ÁLGEBRA. Esse número
corresponde ao valor de h(x) na função h(x) = x + 4,
para x igual ao valor da abscissa do ponto A. Lembre-
se que assumimos inicialmente os valores a=2 e b=3.
Agora vamos transferir o valor de c para o eixo y.
No CAMPO DE ENTRADA, digite (0,c). Observe se
aparece um ponto B no Eixo y. Se não aparecer, talvez
seja porque o valor de “c” é grande ou pequeno
demais. Se isso acontecer, clique na JANELA
ALGÉBRICA, segure e arraste para cima ou para baixo
até que consiga visualizar o ponto B no Eixo y.
Ative a ferramenta RETA PERPENDICULAR (janela 4), a seguir trace uma
perpendicular ao Eixo y, passando pelo ponto B e uma perpendicular ao
Eixo X passando por A.
Lembre-se que para criar uma reta perpendicular à outra reta passando por um
ponto, você deve ativar a ferramenta RETA PERPENDICULAR, clicar no ponto por
onde a reta perpendicular passará e depois na reta que deverá fazer um ângulo de
90º com a que será criada. Se clicar na reta primeiro e depois no ponto, a reta
perpendicular também será construída.
Ative a ferramenta INTERSECÇÃO DE DOIS OBJETOS (janela 2) e marque
a intersecção dessas perpendiculares. Esse ponto será rotulado
automaticamente com a letra C.
Selecione a opção EXIBIR/ESCONDER OBJETO (janela)11 e clique sobre a
reta que passa por A e C e, posteriormente, na reta que passa pó B e C.
Aperte ESC. Os objetos marcados ficarão ocultos.
Ative a ferramenta SEGMENTO DEFINIDO POR DOIS PONTOS (janela 3) e
a seguir crie os segmentos que unem A a C e B a C. Esses segmentos serão
rotulados automaticamente de “g” e “h”.
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Clique com o botão direito sobre o segmento “g”.
Selecione PROPRIEDADES e, posteriormente, a
guia ESTILO.
Mude o estilo do segmento para pontilhado,
conforme figura ao lado. Faça o mesmo com o
segmento “h”.
Clique com o botão direito sobre o Ponto C.
Selecione HABILITAR RASTRO. Essa opção fará
com que o ponto C deixe um rastro, quando for
movimentado.
Note que os pontos B e C são classificados como
dependentes e assim, não é possível movimentá-
los. Eles dependem de quem? Pense um pouco...
Selecione o botão MOVER (janela 1) e movimente (devagar) o ponto A
sobre o Eixo X. O que você pode observar?
No CAMPO DE ENTRADA, digite a seguinte
expressão h(x) = a*x + b.
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Clique com o botão direito sobre o ponto C e
desabilite a opção HABILITAR RASTRO.
Depois de digitado, pressione ENTER. O
Geogebra construirá o gráfico da função
h(x)=ax+b. Esse gráfico coincidirá com o rastro
deixado anteriormente. Por que houve essa
coincidência?
Selecione a opção MOVER (janela 1) e movimente (devagar) os pontos “a” e
“b”que estão nos seletores. Lembre-se que eles representam os coeficientes
da nossa função afim definida inicialmente. O que você pode observar?
Momento de Reflexão e Investigação
Altere os valores de “a” e “b” nos seletores. Para isso, basta clicar no ponto
preto sobre o segmento e arrastá-lo para a direita ou para a esquerda.
1) O que acontece com a reta quando mudamos o valor de “a” para 1? E quando
mudamos para –3?
2) O que acontece com a reta quando mudamos o valor de “b” para 2? E quando
mudamos para –4?
3) O que acontece quando “a” é zero?
4) Como se chama a função em que “a” é zero?
5) Com “a” ainda na posição zero, mova o seletor “b” e verifique o gráfico. Em que
circunstâncias a reta f ficará paralela ao eixo x?
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Concluir com os alunos, reforçando o que foi sugerido na construção, que
quando a>o a função é crescente, a<0 a função é decrescente e quando a=0 trata-
se de uma função constante. Que o coeficiente angular a é o responsável pela
inclinação da reta. E que todo gráfico de uma função afim é sempre uma reta.
Selecione no Menu Principal, a opção ARQUIVO,
clique em GRAVAR COMO e salve seu arquivo:
seunome_atividade1.
6) Abra um arquivo novo. Construa no plano cartesiano a função f(x) = -3x - 3.
a) Quem é o coeficiente angular? E o linear?
b) A função é crescente ou decrescente?
c) Em que lugar o gráfico da função corta a ordenada y? Compare esse
número com o coeficiente linear, o que você observou?
d) Em que lugar o gráfico da função corta a abscissa x? Qual o valor de y
nesse ponto? Como é chamado o valor de x nesse lugar geométrico?
Selecione no Menu Principal, a opção
ARQUIVO, clique em GRAVAR COMO e
salve seu arquivo: seunome_atividade2.
7) Abra um arquivo novo. Construa as funções, cada uma de uma cor: f(x)=2x;
g(x)=3x; h(x)=-4x.
a) O que essas funções têm em comum?
b) Compare os gráficos dessas funções, e escreva suas observações.
c) Como se chama a função em que o valor de b=0?
d) Classifique as funções em crescente ou decrescente?
Selecione no Menu Principal, a opção
ARQUIVO, clique em GRAVAR COMO e
salve seu arquivo: seunome_atividade3.
29
8) Abra um arquivo novo. Crie os seletores a e b. Para isso selecione o botão
“seletor”, e clique na área de trabalho em dois lugares. Na caixa de entrada
digite a função f(x)=a*x+b, (lembre-se que no GeoGebra o sinal de
multiplicação é o * ou a tecla de espaço). Selecione a tecla “inserir texto”, clique
sobre a área de trabalho e digite o seguinte texto: “f(x)= +f”.
a) Altere os valores de a (coeficiente angular) no seletor. Classifique a
função de acordo com os valores de a: a>0, a=0 e a<0.
b) Altere os valores de b (coeficiente linear). Observe o gráfico, e faça suas
considerações.
c) Marque a interseção entre o gráfico da função e a abscissa x. Com o
botão esquerdo do mouse selecione propriedades e altere o rótulo para
“Nome & valor”. Qual o valor de y nesse ponto? Como é chamado o valor
de x nesse ponto?
d) O que você conclui que seja o zero ou raiz de uma função?
Selecione no Menu Principal, a opção
ARQUIVO, clique em GRAVAR COMO e
salve seu arquivo: seunome_atividade4.
9) Determine os zeros ou raiz das funções: Crie os seletores a e b. Para isso
selecione o botão “seletor”, e clique na área de trabalho em dois lugares. Na
caixa de entrada digite a função f(x)=a*x+b.
a) f(x)=2x-5
b) f(x)=2x+4
c) f(x)= -5x-5
Selecione no Menu Principal, a opção
ARQUIVO, clique em GRAVAR COMO e
salve seu arquivo: seunome_atividade5.
Zero da Função Afim:
O zero de uma função y = f(x) é um número x 0 que faz com que f(x 0) = 0. Do
ponto de vista gráfico, este ponto (x 0,0) é o local onde o gráfico da função f
intercepta o Eixo X.
30
II MÓDULO FUNÇÃO DO 2º GRAU
31
Assunto: Função Quadrática
Construir e analisar o gráfico da função f(x)=ax²+bx+c onde a, b e c são
números reais e a≠o.
Roteiro da atividade utilizando o programa GEOGEBRA :
No campo de entrada digite: a=2 e aperte ENTER; digite b=3
e aperte ENTER; digite c=4 e aperte ENTER.
Clique na bolinha que antecede o valor de a, para exibir o seletor, faça o
mesmo para b e c conforme figura abaixo.
Ative a ferramenta NOVO PONTO (janela 2) e crie um ponto A (1,0) sobre o
Eixo X. Para ter certeza que o ponto está sobre o Eixo X clique, segure e
arraste o ponto A. Ele deverá ficar sobre o Eixo X.
No campo de entrada digite: a*x(A)^2+b*x(A)+c, pressione
Enter.
Observe que aparece um valor “d” na janela de álgebra. Esse
número corresponde ao valor de p(x) na função p(x) = 2x2 + 3x
+ 4, para x igual ao valor da abscissa do ponto A. Assumimos
inicialmente os valores a = 2, b = 3,e c = 4. Agora vamos
transferir o valor de “d” para o Eixo Y.
32
No campo de entrada, digite (0,d). Observe se aparece um
ponto B no Eixo Y. Se não aparecer, talvez seja porque o
valor de “d” é grande ou pequeno demais. Se isso acontecer, mova a janela até que
o ponto B apareça.
Ative a ferramenta RETA PERPENDICULAR (janela 4), e a seguir trace uma
perpendicular ao Eixo y, passando pelo ponto B e uma perpendicular ao Eixo
X passando por A.
Lembre-se que para criar uma reta perpendicular à outra reta passando por um
ponto, você deve ativar a ferramenta RETA PERPENDICULAR, clicar no ponto por
onde a reta perpendicular passará e depois na reta que deverá fazer um ângulo de
90º com a que será criada. Se clicar na reta primeiro e depois no ponto, a reta
perpendicular também será construída.
Ative a ferramenta INTERSECÇÃO DE DOIS OBJETOS (janela 2) e marque
a intersecção dessas perpendiculares. Esse ponto será rotulado
automaticamente com a letra C.
Selecione a opção EXIBIR/ESCONDER OBJETO (janela)11 e clique sobre a
reta que passa por A e C e, posteriormente, na reta que passa por B e C.
Aperte ESC. Os objetos marcados ficarão ocultos.
Ative a ferramenta SEGMENTO DEFINIDO POR DOIS PONTOS (janela 3) e
a seguir crie os segmentos que unem A a C e B a C. Esses segmentos serão
rotulados automaticamente de “g” e “h”.
Clique com o botão direito sobre o segmento “g”.
Selecione PROPRIEDADES e, posteriormente, a
guia ESTILO.
33
Mude o estilo do segmento para pontilhado,
conforme figura ao lado. Faça o mesmo com o
segmento “h”.
Clique com o botão direito sobre o Ponto C.
Selecione HABILITAR RASTRO. Essa opção
fará com que o ponto C deixe um rastro, quando
for movimentado. Feito isso, aperte a tecla ESC
e movimente devagar o ponto A sobre o Eixo X.
O que você pode observar?
No Campo de Entrada digite a seguinte expressão:
p(x)=a*x^2+b*x+c. Depois de digitado, pressione Enter. O
Geogebra construirá o gráfico p(x) = ax2 + bx + c. Esse gráfico coincidiu com o rastro
deixado anteriormente? Por quê? Você saberia dizer?
Selecione a ferramenta mover (janela1) e movimente devagar os pontos “a”,
“b” e “c“ que estão nos seletores na tela. Vale lembrar que eles são os
coeficientes da função quadrática.
Reflita sobre o motivo pelo qual o rastro deixado pelo Ponto C fica sobre o gráfico de
p(x), relate sua conclusão.
Desabilite a opção Habilitar Rastro, movimente os valores dos seletores:
34
Momento de Reflexão e Investigação
Registre o que você pode observar:
a) O que acontece quando a = 0?
b) Qual é o aspecto da parábola quando a > 0?
c) Se valor de b=0 qual a característica principal da curva?
d) No caso do valor do c = 0 o que acontece?
e) Se b=0 e c=0 o que acontece?
Clique com o botão direito do mouse sobre a parábola e selecione: “habilitar
rastro”, em seguida, clique no ponto a do seletor e mova-o nos dois sentidos, clique
no botão “desfazer” no canto superior direito, faça o mesmo procedimento com os
seletores b e c.
Selecione no Menu Principal, a opção
ARQUIVO, clique em GRAVAR COMO e
salve seu arquivo: seunome_atividade6.
Raízes ou zeros da função quadrática
Vamos continuar usando a construção do gráfico que fizemos anteriormente,
salvo como seunome_atividade6, abra o arquivo novamente.
Ative a ferramenta INTERSECÇÃO DE DOIS OBJETOS (janela 2) e marque
a intersecção da parábola (gráfico da função) com o Eixo X. Clicando sobre
os dois objetos. Os pontos serão rotulados automaticamente de D e E.
Obs: Caso a sua parábola não esteja interceptando o Eixo X, altere o coeficiente “c”
até que a parábola intercepte.
Ative a opção Mover (janela1) e clique com o botão
direito sobre o ponto D. Selecione Propriedades. Abrirá
uma nova janela. No guia básico, mude o estilo do
rótulo, alterando para Nome & Valor. Faça o mesmo
para o ponto E.
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Momento de Reflexão e Investigação.
1) Os pontos D e E têm (cada um) duas coordenadas. Quais são as coordenadas
dos pontos D e E? As abscissas dos pontos são chamadas de zeros da função.
Altere os valores de “a”, “b” e “c” nos seletores. Altere o valor de “a” para 2, “b”
para 4 e “c” para 1. Escreva a equação da nova função. Quais são os zeros da
função?
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----------------------------------------------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
2) Altere o valor de “b” para –4. Escreva a equação da nova função. Quais são os
zeros da função?
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
Observação importante:
O zero de uma função y = f(x) é um número x0 que faz com que f(x0) = 0. Do ponto
de vista gráfico, este ponto (x0,0) é o local onde o gráfico da função f intercepta o
Eixo X.
Relação entre o sinal de ∆ e o número de raízes da função quadrática.
No Campo de Entrada digite: delta=b^2-4*a*c e pressione Enter. Com isso definimos
uma variável “delta” que representa o valor numérico da expressão b2–4ac. Observe
se “delta=....” aparece na janela de Álgebra.
O “delta” que calculamos é chamado de
discriminante da função quadrática e o
representamos com a letra grega ∆.
36
Podemos alterar na janela de Álgebra o “delta” para ∆.
Para isso, clique com o botão direito do mouse sobre o
“delta” que está na janela de Álgebra. Selecione
“Renomear”. Na janela que se abrirá, procure na barra de
rolagem o ∆. Clique OK. Observe se ∆ aparece na janela
de Álgebra.
Vamos criar um texto dinâmico que mostre o valor
de ∆. Para isso, ative a ferramenta Inserir Texto
(janela10) e clique onde quer que o texto
apareça. Na janela que aparecerá,
escreva: “\Delta=”+(b^2-4*a*c). Ative a caixa
Fórmula Látex e clique OK.
Movimente (devagar) os seletores “a”, “b” e “c” que estão na tela. Observe o
valor de ∆. Tente relacionar a existência ou não de raízes com o sinal de ∆.
Momento de Reflexão e Investigação:
1) Altere o valor de “a”, “b” ou “c” de forma que o gráfico intercepte o Eixo X.
Observe o valor de ∆. Qual o sinal dele? Altere o valor de “a”, “b”ou “c” de
forma que o ∆ fique igual a 0 (por exemplo: a = 1 , b = - 2, c=1 ou a = 4, b = -4,
c = 1). O que acontece com o gráfico? E os zeros da função?
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
2) Altere de forma que o ∆ fique negativo ( por exemplo: a = 3, b = -4 e c = 2). O
que acontece com o gráfico? E os zeros da função? Quais são?
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
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3) Altere de forma que o ∆ fique positivo ( por exemplo: a = 1, b = -4, c = 3), o que
acontece com o gráfico? E os zeros da função? Quais são?
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
Observação importante: Guarde o significado do sina l de ∆.
∆ > 0 ( positivo), então o gráfico intercepta o Eixo X em dois lugares.
∆ < 0 (negativo), então o gráfico não intercepta o Eixo X.
∆ = 0, então o gráfico toca o Eixo X uma única vez.
Vértice da Parábola
No Campo de Entrada, digite a seguinte expressão:
Xv=-b/(2*a). Pressione Enter.
No Campo de entrada, digite a seguinte expressão:
Yv=-∆/(4*a). Pressione Enter.
Observe que o símbolo ∆ está na segunda barra de rolagem do
Campo de Entrada ( figura da esquerda).
No Campo de Entrada, digite V=(Xv,Yv). O ponto V que
aparecerá na parábola é chamado de vértice.
No Campo de Entrada digite: x=Xv. Uma reta vertical
aparecerá. Esta reta é chamada de eixo de simetria.
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Ative a opção Mover ( janela1) e clique com o botão direito
sobre o ponto V. Selecione Propriedades, depois Básico e
mude o estilo do rótulo, alterando para Nome & Valor.
Momento de Reflexão
Altere o valor de “a”, “b” e “c”.
O ponto V será ponto mínimo se --------------------- ( a > 0 ou a < 0)?
O ponto V será ponto máximo se --------------------- ( a > 0 ou a < 0)?
Obs: Chamamos de vértice da parábola o ponto (Xv,Yv) onde a função atinge seu
valor máximo ou mínimo se esta for côncova (concavidade voltada para baixo),
teremos um ponto máximo, ou convexa ( concavidade voltada para cima) neste
caso, teremos um ponto mínimo.
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS:
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LÉVY, P. As tecnologias da Inteligência: O futuro do pensamento na era da informática. 13ªed. São Paulo: Editora 34, 1993.
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40
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NÓBRIGA, J. C. C.; ARAÚJO, L. C. L. Aprendendo Matemática com o GeoGebra . São Paulo: Editora Exato, 2010.
PARANÁ, Secretaria de Estado da Educação. Diretrizes curriculares de matemática para as séries finais do Ensino Fundamen tal e para o Ensino Médio . Curitiba: SEED/DEPG, 2008.
PENTEADO, M. G. Novos Atores, Novos Cenários: discutindo a inserção dos computadores na profissão docente. In: BICUDO, M. A. V. Pesquisa em Educação Matemática: concepções e perspectivas. 2ª reimp. São Paulo: Editora UNESP, 1999.
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