O PROFESSOR PDE E OS DESAFIOSDA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE

2009

Versão Online ISBN 978-85-8015-054-4Cadernos PDE

VOLU

ME I

1 Graduação em Ciências/Matemática, pós-graduação em Planejamento Educacional e Informática

Educativa. Professora de Matemática do Colégio Estadual Malba Tahan Ensino Médio – Altônia/PR. e-mail ellipizzi@seed.pr.gov.br 2 Graduação em Bacharelado e Licenciatura em Matemática pela Universidade Estadual Paulista

Julio Mesquita Filho e Doutorado em Matemática pela Universidade de São Paulo. Professor Associado da Universidade Estadual de Maringá. e-mail mrtprimo@uem.br

CONTRIBUIÇÕES DO SOFTWARE GEOGEBRA NO ENSINO DE GEOMETRIA

ANALÍTICA: estudo da circunferência.

Eliana Peres Amador 1

Marcos Roberto Teixeira Primo 2

Resumo

O presente artigo relata a prática pedagógica realizada com os alunos do 3º ano do Ensino Médio do Colégio Estadual Malba Tahan de Altônia PR. Na realização desse trabalho foram abordados conteúdos relacionados à Geometria Analítica e desenvolvido em duas turmas. Em uma primeira turma foi feito o uso de computadores com a utilização de “softwares” para auxiliar o processo ensino-aprendizagem sobre o estudo da circunferência, no caso aqui utilizamos o “software” livre Geogebra. Enquanto que em uma segunda turma foi utilizada apenas a metodologia tradicional. O espaço de tempo utilizado no desenvolvimento das atividades nas duas turmas foi o mesmo e, aqui apresentamos um comparativo entre os resultados obtidos com essas duas metodologias de ensino-aprendizagem.

Palavras-chave: Geometria Analítica - Estudo da Circunferência; Software

Geogebra.

1 Introdução

A informática, grande aliada nos dias atuais, vem sendo analisada por

estudiosos e aponta caminhos favoráveis para auxiliar as aulas de matemática,

proporcionando um estímulo para a aprendizagem. É conhecido que pessoas

aprendem melhor com aquilo que elas podem manipular e experimentar, usando

seus próprios meios e iniciativas. Podemos programar aulas utilizando softwares

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educativos voltados para a Matemática, já que nossas escolas estão ficando cada

vez mais preparadas, contando com equipamentos modernos para este fim.

Este tema se justifica a partir da necessidade de inserção social e de

produção do conhecimento por meio da utilização de tecnologias que auxiliem a

aprendizagem de Matemática. Muitos alunos apresentam-se desmotivados para

aprender e, a utilização de tecnologias pode se mostrar uma ótima ferramenta na

mediação entre alunos e professores, uma vez que através dela pode-se promover

interação com outros ambientes, tornando assim uma aprendizagem de forma

inclusiva.

Este artigo tem por objetivo relatar a prática pedagógica realizada numa

escola da rede estadual de Altônia/PR, com uma turma do 3º ano do Colégio

Estadual Malba Tahan Ensino Médio. As atividades ocorreram no espaço

determinados para as aulas e também no contra turno. Foi abordado o conteúdo

programado no bimestre e desenvolvido na sala de aula e no laboratório de

informática.

Na implementação dos planos de aula foram utilizadas duas metodologias: o

uso de computadores e o tradicional. O processo ensino-aprendizagem se deu

através de monitoria, os estudantes tiveram contato com o programa em diferentes

situações: alunos que participaram do contra turno e também das aulas regulares e

outros somente das aulas regulares. Para que isso ocorresse, quinze alunos se

inscreveram para conhecer o software Geogebra através de um curso que

aconteceu em contra turno. Durante esse curso, os alunos passaram a conhecer o

software Geogebra e depois puderam com o auxilio dele desenvolver conteúdos

relacionados à Geometria Analítica, dando maior ênfase no Estudo da

Circunferência.

A escolha do software Geogebra como ferramenta didática se deu porque é

um software gratuito de Matemática Dinâmica que reúne recursos de Geometria,

Álgebra e Cálculo. E também, possui todas as ferramentas tradicionais de um

software de Geometria Dinâmica: pontos, retas, segmentos, seções cônicas e ainda

equações e coordenadas que podem ser inseridas diretamente. Apresentando

assim, ao mesmo tempo, duas representações diferentes de um mesmo objeto que

se interagem entre si: a representação geométrica e a representação algébrica,

facilitando ainda mais o aluno na sua descoberta.

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Através desse estudo fizemos uma comparação no processo de ensino-

aprendizagem utilizando o software Geogebra, com o método tradicional de ensino

aprendizagem, contando com uma participação mais efetiva do professor,

levantando informações junto aos alunos e fazendo um paralelo entre os processos.

As atividades desenvolvidas no decorrer do projeto tinham como objetivo buscar um

aprendizado em matemática que permitia ao aluno a interação entre a informática e

o ensino da matemática.

2 Fundamentação Teórica

René Descartes nasceu em La Haye, França, formou-se em Direito, mas seu

grande interesse foi sempre a Filosofia e a Matemática. Descartes ficou conhecido

como o “Pai da Filosofia Moderna”, por seu tratado: Discurso do Método, escrito em

1637, em que pregava a universalidade da razão.

Na Matemática, Descartes criou a Geometria Cartesiana, que pode ser vista

como a aplicação da Geometria à Álgebra e da Álgebra à Geometria, teoria que deu

origem ao que conhecemos hoje por Geometria Analítica.

Desde suas origens, a geometria analítica é um campo privilegiado para as conexões entre a álgebra e a geometria. É sabido que a escolha de um sistema de coordenadas permite que se estabeleça uma estreita relação entre, de um lado, figuras geométricas e, do outro, equações (ou inequações) envolvendo as coordenadas dos pontos. Na geometria analítica, tanto resolvemos problemas geométricos recorrendo a métodos algébricos, quanto atribuímos significado geométrico a fatos algébricos. (PNLD, 2012, p. 33)

A Geometria Analítica pode ser também atribuída a Pierre Fermat,

contemporâneo de Descartes. Em uma carta, escrita em setembro de 1636, ele

afirma que suas idéias sobre Geometria Analítica já tinham, a essa altura, sete anos.

De qualquer forma, para que a Geometria Analítica pudesse assumir sua

apresentação atual, altamente prática, teve de aguardar o desenvolvimento do

simbolismo algébrico. Portanto, seria mais correto concordar com a maioria dos

historiadores, que consideravam as decisivas contribuições do matemático

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Descartes e Fermat, no século XVII, como a origem essencial da matéria, pelo

menos em seu espírito moderno. Só depois do impulso desses dois matemáticos

encontramos a Geometria Analítica sob a forma como a conhecemos e como vamos

estudá-la.

“No entanto, a Geometria Analítica proporciona aos alunos do Ensino Médio a oportunidade de tratar algebricamente as propriedades e os elementos geométricos, conhecendo uma forma de pensar que transforma problemas geométricos na resolução de equações, sistemas ou inequações.”

(BRASIL, 2002)

Dentro do conteúdo de Geometria Analítica trabalhamos especificamente com

o Estudo da Circunferência. Sabemos que a circunferência possui características

não comumente encontradas em outras figuras planas, como o fato de ser a única

figura plana que pode ser girada em torno de um ponto sem modificar sua posição

aparente. É também a única figura plana simétrica em relação a um número infinito

de eixos, denominados eixos de simetria. A circunferência é importante em

praticamente todas as áreas do conhecimento como nas Engenharias, Matemática,

Física, Química, Biologia, Arquitetura, Astronomia, Artes entre outras e também é

muito utilizada na Indústria e no cotidiano das pessoas.

Tudo em nossa volta é movido por alguma tecnologia, em casa, no comércio

e agora com mais freqüência na sala de aula. Muitas vezes queremos ficar alheio a

tudo isso, mas as transformações que vão ocorrendo nos apontam esse caminho.

Seguirmos ao lado dos nossos alunos rumo ao novo, ao encantamento de

descobrirmos juntos caminhos menos dolorosos e muito, muito mais atraentes para

o processo ensino- aprendizagem da Matemática.

Precisamos nos apropriar de algo interessante e estimulante, que certamente

nos trará um grande benefício. Segundo Borba,

Muitos advogam o uso do computador devido à motivação que ele traria à sala de aula. Devido às cores, ao dinamismo e à importância dada aos computadores do ponto de vista social, o seu uso na educação poderia ser

a solução para a falta de motivação dos alunos. (BORBA, 2007, p.15)

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A Matemática vista pelos nossos alunos como um bicho de “sete cabeças” e a

falta de estímulo, muitas vezes, nos desanima a procurar novos métodos e

inovarmos o processo ensino-aprendizagem com a utilização das novas tecnologias

que vem surgindo. Ficamos sem atitude frente a qualquer obstáculo que

encontramos, mas sabemos muito bem que quando utilizamos tecnologias em

nossas aulas vemos de imediato o resultado positivo que ela nos proporciona.

Estudos baseados no uso de “softwares” educativos em aulas de Matemática

demonstram um aprendizado significativo com muito mais entusiasmo em aprender

sempre mais. Gladcheff, Zuffi & Silva (2001),

a utilização de softwares em aulas de Matemática no ensino fundamental pode atender objetivos diversos: ser fonte de informação, auxiliar o processo de construção de conhecimentos, desenvolver a autonomia do raciocínio, da reflexão e da criação de soluções.

Procuramos muitas vezes utilizar novas tecnologias que vão surgindo, mas

infelizmente nos deparamos com “softwares” caros, que nos desanimam de sair do

livro didático. Hoje podemos contar com um vasto campo de tecnologias gratuitas

que podemos usufruir e fazer grande proveito de tudo isso. Os “softwares” livres

podem ser utilizados em sala de aula e nos proporcionar facilidade no acesso às

informações e servir de grande motivação para nossos alunos. Gravina diz que,

são ferramentas direcionadas para a aprendizagem da Matemática, e que, por conseguinte procuram oferecer recursos que viabilizem as ações mentais; são recursos que podem ajudá-los na superação de obstáculos inerentes ao processo de aprendizagem da Matemática. (GRAVINA, 1998, p. 12)

O “software” livre que utilizamos na execução do projeto foi o Geogebra, por

ser de fácil manipulação e por já se encontrar instalado nos computadores do

laboratório do Paraná Digital de nossas escolas. O Geogebra é um programa livre

de Geometria Dinâmica criado por Markus Hohenwarler para ser utilizado em

ambiente de sala de aula. É um programa bastante intuitivo e auto-explicativo,

adequado a usuários com conhecimento avançados em informática ou para

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iniciantes, sendo que o conhecimento matemático é o ponto fundamental de sua

utilização. Podendo beneficiar todos os usuários na aprendizagem.

O software Geogebra pode substituir satisfatoriamente o caderno de desenho geométrico. Podemos utilizar sua interface gráfica e suas ferramentas para traçar retas, ângulos, circunferências etc. Uma das vantagens do uso do Geogebra é que as construções são dinâmicas, isto é, podem ser modificadas sem a pedra dos vínculos geométricos. Isso permite que o usuário faça grande quantidade de experimentações que lhe possibilite construir proposições geométricas. (GERÔNIMO, 2010, p. 11)

3 Desenvolvimento Do Projeto

Ao elaborar as aulas para a execução do projeto procuramos envolver

atividades que levassem os alunos a interpretar, visualizar, experimentar,

generalizar os conceitos de Geometria Analítica, surgindo naturalmente daí o

processo de normas e regras a serem seguidas. Todos os alunos do 3º ano se

dirigiram para a sala de informática do colégio, primeiramente foi apresentado

através da TV Pendrive o Projeto, a sua importância e alguns conteúdos

fundamentais da Geometria, a partir daí a sala foi dividida em duas turmas.

3.1 1ª turma: uso de computadores

Nesse primeiro momento estavam participando destas atividades os quinze

alunos que optaram em aprender o software GEOGEBRA em contra turno e aplicá-

lo na Matemática estudada em sala de aula. Lembramos ainda que esses alunos no

período da manhã participavam normalmente das aulas tradicionais e no contra

turno utilizam o software para desenvolver as mesmas atividades. As atividades

propostas aos alunos foram fundamentais quanto ao uso do software Geogebra no

fazer matemática, iniciando com um curso sobre o software, podendo assim

familiarizar os alunos com os principais comandos desse software e dar condições

básicas para o trabalho com o computador e enriquecer o ambiente de

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aprendizagem, auxiliando o aluno no processo de construção do seu conhecimento

matemático.

Segundo Araújo,

Para que possa haver aprendizagem, é necessário que o aluno reflita durante a execução das atividades, ou seja, que ele busque experimentar de diferentes maneiras, percebendo as propriedades, conjecturando e justificando. (ARAUJO, 2010)

Descrevemos agora algumas dessas atividades:

Atividade 1: Nas primeiras aulas foi utilizado o livro APRENDENDO MATEMÁTICA

COM O GEOGEBRA capítulo 1: conhecendo o Geogebra. O livro é de fácil

compreensão e apresentam os comandos básicos do software, bem como várias

ferramentas que são essenciais no estudo da circunferência podendo auxiliar o

processo de ensino e aprendizagem da matemática. O livro auxiliou os alunos

quando estavam no laboratório de informática, nele continha os passos da

construção que deveria levar o aluno à reflexão, também dispõe de um índice

remissivo que permite fazer busca a partir de palavras chaves, um sumário que

permite buscar por capítulos e um CD onde há, além do software para instalar,

alguns arquivos do Geogebra com algumas construções mais sofisticadas. Os

alunos trabalharam em duplas de forma que um lesse e o outro executasse os

comandos e, posteriormente, refletiam sobre o construído. Lembramos ainda que o

software foi utilizado como um instrumento de grande importância no aprendizado

dos alunos nas aulas de Matemática. Na figura abaixo vemos a página principal do

software Geogebra.

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Figura 1: Janela do software Geogebra

Atividade 2: O aluno deveria nesta atividade identificar qual a figura geométrica ideal

e o seu raio. O aluno com os dados da atividade primeiramente desenhava

manualmente até chegar à resposta correta, logo depois com o auxilio do software

indicava ao computador com precisão a seqüência de ações que este deveria

realizar, a fim de chegar ao resultado correto. Para poder indicar as ações os alunos

eram levados a compreender os processos desta ação e a torná-los explícitos

mediante uma lógica. Além do software Geogebra o aluno possuía em suas mãos o

livro didático, régua e compasso para auxiliá-lo nas construções. Veja na figura

abaixo essa atividade:

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Figura 2: Atividade desenvolvida pelos alunos no software Geogebra.

Atividade 3: Nesta atividade cada aluno estava de posse do livro didático (Dante,

2008, p.413), a figura estudada seria a circunferência. O objetivo dessa atividade era

a construção de algumas circunferências com raio diferentes, primeiramente

construíram manualmente com o auxilio de régua e compasso e depois utilizaram

software para concluírem a atividade. A partir desta atividade foi possível

desenvolver nos alunos as capacidades de investigações matemáticas, veja a figura

abaixo.

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Figura 3: Atividade desenvolvida pelos alunos no software Geogebra.

Atividade 4: Esta atividade tinha como objetivo definir o centro e o raio a partir da

equação da circunferência dada. Cada aluno resolvia manualmente o que foi

estipulado utilizando apenas o livro didático e logo após utilizava o software

Geogebra para resolver e comprovar o que tinha feito anteriormente, nesse

momento os alunos resolvia essas atividades em dupla e trocavam informações e

anotavam no caderno quais as vantagens de utilizar o software. Na figura abaixo

vemos essa atividade.

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Figura 4: Atividade desenvolvida pelos alunos no software Geogebra.

Atividade 5: O objetivo dessa atividade era descobrir quais das equações

representavam circunferências. Sabe-se que para reconhecer uma circunferência é

preciso levar em consideração a definição de uma equação do segundo grau com

duas incógnitas, pois se observarmos uma equação normal ou reduzida da

circunferência perceberemos que são exemplos desse tipo de equação. Cada aluno

primeiramente resolvia no seu caderno as atividades e depois utilizavam o software.

Dessa maneira, o aluno conseguia atribuir significado a este procedimento algébrico.

A rapidez e a visualização motivavam os alunos a resolver todos os exercícios do

livro didático. Veja figura abaixo.

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Figura 5: Atividade desenvolvida pelos alunos no software Geogebra.

Atividade 6: Foi apresentado um jogo que envolvia raciocínio, atenção e

conhecimento do conteúdo do estudo da circunferência.

Jogo no Geogebra - Capturando Pontos adaptado de Smole e Diniz (2005, p.104).

Nº de participantes: 2

Material necessário: uma moeda, software geogebra, lápis e papel.

Regras:

Cada jogador marca na malha de eixo 8 pontos sem que o seu adversário

veja. Os 8 pontos podem ficar em qualquer posição desde que dentro dos limites da

malha, ou seja, pontos (x,y)com -8≤ x ≤ 8 e -8≤ y ≤ 8 , para separar cada participante

coloca os pontos de uma cor.

Decidem-se quem começa e os participantes jogam alternadamente.

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Na sua vez, o jogador lança a moeda e diz a equação de uma circunferência

da seguinte forma: (x – a)2 + (y – b)2 = r2, onde r é 1 se a moeda tiver caído em cara

e r é 2 se a moeda tiver caído em coroa”. Os valores do centro (a, b) são escolhidos

pelo jogador.

O adversário traça então a circunferência correspondente no Geogebra e

anuncia quantos de seus pontos o outro jogador capturou.

Os pontos serão capturados quando estiverem no interior da circunferência ou

pertencem a ela.

Vence o jogador que conseguir capturar os primeiros 8 pontos de seu

oponente.

Figura 6: tabuleiro do jogo no software Geogebra

Atividade 7: A atividade a seguir envolvia a equação geral da circunferência, à

primeira vista, essas equações não nos permite identificar nem o centro nem o raio

da circunferência em questão. Foi preciso aprender a obter o raio e o centro

utilizando os métodos convencionais da matemática. Logo após o professor

apresentou algumas equações prontas e pediu aos alunos que apontassem o raio,

as coordenadas do centro e a equação reduzida. Cada aluno desenvolvia sua

atividade no caderno e só depois partia para o computador e resolvia de novo as

atividades propostas. Nesse momento o aluno se sentia protagonista das atividades

e conseguia com apenas um clique achar as respostas procuradas.

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Figura 7: Atividade desenvolvida pelos alunos no software Geogebra.

3.2 2ª turma: aula tradicional

Os alunos do 3º ano freqüentavam normalmente as aulas de matemática no

período em que estavam estudando, nessa turma foi utilizado apenas o livro didático

e o quadro negro como recursos. Todas as atividades já comentadas anteriormente

foram realizadas pelos alunos, mas tudo era resolvido manualmente e a visualização

era somente das atividades e as construções das circunferências que eles faziam

era bem grotesca, não possibilitando ao aluno uma visão correta da sua utilização

no dia a dia.

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4. Análise e Discussão

Os alunos da primeira turma demonstraram bastante interesse, não apenas

quando estavam fazendo investigações no software, mas também quando o mesmo

era manipulado pelo professor, utilizando um dos computadores e projetor de

imagens. O fato de visualizarem objetos e seus comportamentos esclarecia os

conteúdos apresentados, motivando-os a prestar atenção, interagir com

questionamentos, tornando-os mais participativos. Os alunos que tinham maior

dificuldade de aprendizagem em Matemática precisaram de um tempo maior para

entender os conteúdos e as propriedades, o fato de vivenciar o mesmo conceito em

diferentes situações enriquecia bastante o aprendizado proporcionando novas

manipulações.

Percebemos que eles não sabiam associar esse conteúdo as práticas do dia-

a-dia não se interessavam quando esse tema era trabalhado na sala de aula com

eles, mas quando abordei esse conteúdo que eles estavam vendo no caderno e no

livro didático de uma maneira mais acessível aos olhos, já percebi uma diferença

muito grande, pois aí no computador eles tinham interesse e sempre perguntavam o

porquê daquilo. Trabalhamos todos os exercícios que eles já haviam resolvidos em

sala de aula juntamente com os outros colegas.

Os alunos sempre eram questionados e também questionavam podendo

assim entender melhor o uso das ferramentas apresentadas nas aulas. Eles tinham

um feedback imediato de suas atividades, com a possibilidade de prever o

comportamento dos gráficos e de realizar, com o apoio do professor as análises

correspondentes, passando assim de uma forma automática e descontextualizada

para a compreensão, previsão e observação crítica.

Todas as aulas foram produtivas e os alunos já conseguiam fazer um paralelo

do que estavam estudando na sala de aula convencional com as atividades do

projeto e o uso do software.

Os alunos ficaram admirados da rapidez e da visualização do que faziam,

pois até aquele momento eles não conseguiam ver uma circunferência com o dado

raio aí na frente deles. Nas aulas conversavam entre eles e falavam da praticidade

do software, mas também da importância de conhecer bem o conteúdo para

entender o que acontecia na tela. Comentaram que era mais divertido aprender

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matemática e o aprendizado ficava mais fácil. Houve troca de informações, refletiram

durante a execução das atividades, eram sempre colocadas diversas questões e

justificativas apresentadas pelo professor que buscavam auxiliar os alunos nas

reflexões.

Com relação aos alunos da segunda turma, ficou bem claro no decorrer do

projeto que essa turma apenas repetia os exercícios mecanicamente, muitas vezes

sem entender o significado. Reclamavam e a aula parecia interminável. Não tinha a

troca de informações entre os alunos, quando o professor questionava alguma

situação não obtinha o que esperava.

Fica evidente uma diferenciação significativa do nível de desempenho

alcançado pela turma que utilizou o software GEOGEBRA, sobre a turma que não

utilizou este recurso tecnológico. A turma que utilizou o computador como recurso

pedagógico, apresentou um índice de desempenho superior à turma que não utilizou

este recurso com fins educacionais.

Na tabela abaixo colocamos o resultado obtido após avaliação do projeto.

Tabela 1. Média de desempenho dos alunos que participaram do projeto.

Turma Aprendizagem – rendimento em %

I – uso de computadores (15 alunos) 93%

II – tradicional (15 alunos) 68%

5. Conclusão e Considerações Finais

A experiência vivenciada durante a prática pedagógica nos permitiu refletir

sobre a importância do planejamento quando os recursos a serem utilizados forem

às novas tecnologias. Verificamos que o software GEOGEBRA permite despertar

nos alunos a curiosidade e o interesse para aprender conteúdos matemáticos, em

especial a Geometria Analítica. A exploração, manipulação e visualização realmente

proporcionam uma aprendizagem significativa. O ambiente colaborativo

proporcionado pelo software torna as aulas mais prazerosas, tanto para os

estudantes, como para o professor. A necessidade de se aprofundar no conteúdo

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também é percebida por ambos. O programa por si só não é suficiente para

estimular todos os alunos. É necessário envolvê-los, mostrar as possibilidades que

se abrem com a utilização do programa.

Seja qual for à ferramenta, o domínio dela só virá na medida em que for

sendo usada. Um aprender constante, onde não existe nada pronto e acabado.

Referências

ARAÚJO, L. C. L. de; NÓBRIGA, J. C. C. Aprendendo matemática com o geogebra – São Paulo: Editora Exato, 2010.

BORBA, M. C.; PENTEADO, M. G. Informática e Educação Matemática. Belo Horizonte: Autêntica, 2007.

BRASIL, Ministério da Educação. Secretaria da Educação Média e Tecnológica. PCN+Ensino Médio: orientações educacionais complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais. Brasília: MEC/Semtec, 2002.

DANTE, Luiz Roberto. Matemática, volume único. São Paulo – SP: ed. Ática,2008.

GERÔNIMO, J. R.; BARROS, R. M. de O.; FRANCO V. S. Geometria Euclidiana plana: um estudo com o software Geogebra. Maringá: Eduem, 2010.

GLADCHEFF, A. P. ZUFFI, E. M. & SILVA, M. da (2001). Um Instrumento para Avaliação da Qualidade de Softwares Educacionais de Matemática para o Ensino Fundamental. Anais do XXI Congresso da Sociedade Brasileira de Computação (CDROM).

GRAVINA, M. A. SANTAROSA, L. M. A aprendizagem da matemática em ambientes informatizados. IN: Anais do IV Congresso RIBIE, 1998.

PNLD 2012: Matemática / Brasília: Ministério da Educação, Secretaria de Educação

Básica, 2011.

SMOLE, K. C. S; DINIZ, M. I. de S. V. Matemática– ensino médio – volume 3- 3ª série. 5. Ed. São Paulo: Saraiva, 2005.

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Documentos consultados

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nopalharini.files.wordpress.com /2009/11/ aplicacoes-do-geogebra-aoensino-de-matematica.pdf. Acesso em 11/06/2010.

Geogebra. Aplicações ao Ensino da Matemática. Disponível em:http://www.scribd.

com/doc/17380953/GeoGebra- Aplicacoes- ao- Ensino- da- Matematica. Acesso em 10/06/2010.

GeoGebra 3.0 - Dynamic Mathematics for Schools: Markus Hohenwarter, 2001-2007. Disponível em: http://www.geogebra.org. Acesso em 18 de janeiro de 201. LLANO, J. G. de; ADRIÀN, M. A informática educativa na escola. Edições Loyola,

Sâo Paulo, 2006.

Software GeoGebra. Disponível em: http://www.es.cefetcampos.br/softmat/projeto_TIC / Softmatoa/Apostilas_de_ativida- des/Apostilageogebra.pdf . Acesso em 12/06/2010.