· Da je to i rješenje zadane iracionalne jednadžbe uvjeravamo se uvrštavanjem: 3 1 3 512 1 3 8 1 3 9 3 3 3, 512 x x + ⇒ + = ⇒ + = ⇒ = ⇒ = = a to je istinita jednakost

1

Zadatak 021 (Anamarija, hotelijerska škola)

Riješi jednadžbu 2.x x= −

Rješenje 021 Ponovimo!

Jednadžba ( ) ( )f x g x= ekvivalentna je sustavu ( ) ( )

( )

2

0.

f x g x

g x

=

≥

Zadana je jednadžba ekvivalentna sustavu:

( )

( )

( )22 identitet

2 2 22 2.

000

/

10 /

x x x xx x x x

xxx x

= − = = − = −⇒ ⇒ ⇒ ≤− ≥ − ≥ − ≥ ⋅ −

Budući sa smo dobili identitet rješenje jednadžbe je skup realnih brojeva, a nejednadžba je ekvivalentna sa

x ≤ 0 pa je rješenje početne jednadžbe ], 0 .− ∞

Vježba 021

Riješi jednadžbu 20.x x+ =

Rezultat: ], 0 .− ∞

Zadatak 022 (Anamarija, hotelijerska škola)

Riješi jednadžbu 31 3.x + =

Rješenje 022

Budući da je na lijevoj strani član s drugim korijenom, kvadrirat ćemo lijevu i desnu stranu zadane

jednadžbe:

23 3 3 3 32

1 3 1 3 1 32

/ 1 9 8.x x x x x

+ = ⇒ + = ⇒ + = ⇒ + = ⇒ =

Još jedno kubiranje i sreñivanje dovodi nas konačno do rješenja:

( )3

3 3 3 38 8 8 5

3/ 12.x x x x= ⇒ = ⇒ = ⇒ =

Da je to i rješenje zadane iracionalne jednadžbe uvjeravamo se uvrštavanjem:

331

512 1 3 8 1 3 9 3 3 3,

512

x

x

+⇒ + = ⇒ + = ⇒ = ⇒ =

=

a to je istinita jednakost.

Vježba 022

Riješi jednadžbu 32 2.x + =

Rezultat: 8.

Zadatak 023 (Vedrana, gimnazija)

Riješi jednadžbu 3 2 1

6.4 5 1

nx

nx

+ ⋅ −=

+ ⋅ −

Rješenje 023

( ) ( )3 2 1 3 2 1

6 6 3 2 1 6 4 5/ 4 5 1 14 5 1 4 5 1

n nx x n n

x xn nx

n

xx

+ ⋅ − + ⋅ −= ⇒ = ⇒ + ⋅ − = ⋅ + ⋅ − ⇒

+ ⋅+ −

− + ⋅⋅

−⋅

3 2 1 24 30 1 2 1 30 1 24 3 28 1 211

/28

n n n n nx x x x x⇒ + ⋅ − = + ⋅ − ⇒ ⋅ − − ⋅ − = − ⇒ − ⋅ − =

⋅ −

⇒

2

( )21 3 3 3 3

1 1 1 1 128 4 4 4 4

/

n nnn n n nx x x x x

n ⇒ − = − ⇒ − = − ⇒ − = − ⇒ − = − ⇒ − = − ⇒

31 .

4

n

x

⇒ = + −

Vježba 023

Riješi jednadžbu 1 2 1

1.4 5 1

nx

nx

+ ⋅ −=

+ ⋅ −

Rezultat: ( )1 1 .n

+ −

Zadatak 024 (Ivan, gimnazija)

Riješite iracionalnu jednadžbu .a

a x b xa x

− + − =−


a b a b⋅ = ⋅

( )/2a a

a x b x a x b x a x a x b x aa x a x

a x− + − = ⇒ − + − = ⇒ − + − ⋅ − = ⇒− −

⋅ −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2/a ax a x b x a x b x x a x b x x⇒ − + − ⋅ − = ⇒ − ⋅ − = ⇒ − ⋅ − = ⇒

( ) ( )( ) ( ) ( )2 2 22 2

a x b x x a x b x x a b a x b x xx⇒ − ⋅ − = ⇒ − ⋅ − = ⇒ ⋅ +− ⋅ − ⋅ = ⇒

( ) ( )1 ./0a b

a b a x b x a x b x a b a x b x a b x a b a b xa b

⋅⇒ ⋅ − ⋅ − ⋅ = ⇒ − ⋅ − ⋅ = − ⋅ ⇒ ⋅ + ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ + = ⋅ ⇒ =

+⋅ −

Vježba 024

Riješite iracionalnu jednadžbu .a

a xa x

− =−

Rezultat: x = 0.

Zadatak 025 (Cure iz hotelijerske škole, TUPŠ) Za koju je vrijednost parametra m zbroj rješenja kvadratne jednadžbe m · x2

– 2 · (m – 1) · x + 5 = 0

jednak 1?


a b a b⋅ = ⋅

( )/2a a

a x b x a x b x a x a x b x aa x a x

a x− + − = ⇒ − + − = ⇒ − + − ⋅ − = ⇒− −

⋅ −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2/a ax a x b x a x b x x a x b x x⇒ − + − ⋅ − = ⇒ − ⋅ − = ⇒ − ⋅ − = ⇒

( ) ( )( ) ( ) ( )2 2 22 2

a x b x x a x b x x a b a x b x xx⇒ − ⋅ − = ⇒ − ⋅ − = ⇒ ⋅ +− ⋅ − ⋅ = ⇒

( ) ( )1 ./0a b

a b a x b x a x b x a b a x b x a b x a b a b xa b

⋅⇒ ⋅ − ⋅ − ⋅ = ⇒ − ⋅ − ⋅ = − ⋅ ⇒ ⋅ + ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ + = ⋅ ⇒ =

+⋅ −

Vježba 025 Za koju je vrijednost parametra m zbroj rješenja kvadratne jednadžbe m · x2

– 2 · (m – 1) · x + 5 = 0

jednak 0?

Rezultat: x = 0.

3

Zadatak 026 (Emy, gimnazija)

Riješi iracionalnu jednadžbu: 3 4 1 8 6 1 1.x x x x+ − ⋅ − + + − ⋅ − =


( )2 2 2

2 .a b a a b b− = − ⋅ ⋅ +

Za realni broj x njegova je apsolutna vrijednost (modul) broj │x│ koji odreñujemo na ovaj način:

, .

, 0

0

x xx

x x

≥=

− <

Ako je broj x pozitivan ili nula, tada je on jednak svojoj apsolutnoj vrijednosti. Za svaki x, x ≥ 0, vrijedi

│x│= x.

Ako je x negativan broj, njegova apsolutna vrijednost je suprotan broj – x koji je pozitivan. Za svaki x, x < 0,

je │x│= – x.

13 4 1 8 6 1 1 4 1 14 1 9 6 1x x x x x x x x+ − ⋅ − + + − ⋅ − = ⇒ − ⋅ − + − ⋅ −+ − + =− ⇒

( ) ( )supstitucija

21

1 4 1 4 1 6 1 9 11

x x x xx t x t

⇒ − − ⋅ − + + −

− =− ⋅ − + = ⇒ ⇒

⇒ − =

( ) ( )2 22 2

4 4 6 9 1 2 3 1 2 3 1.t t t t t t t t⇒ − ⋅ + + − ⋅ + = ⇒ − + − = ⇒ − + − =

Iz t – 2 = 0 nalazimo karakterističnu točku (KT) modula:

2 2 .T0 Kt t− = ⇒ =

Iz t – 3 = 0 nalazimo karakterističnu točku (KT) modula:

3 3 .T0 Kt t− = ⇒ =

Karakteristične točke t = 2, t = 3 dijele brojevni pravac na tri dijela:

2 , 2 3 , 3.t t t< ≤ ≤ >

+ ∞∞∞∞- ∞∞∞∞ 2 3

Je li izraz pod znakom modula pozitivan ili negativan, provjeravamo uvrštavanjem jednog broja manjeg od

KT i jednog većeg od KT, a zatim primijenimo definiciju modula (apsolutne vrijednosti).

Prvi slučaj

Za t < 2 izrazi t – 2 i t – 3 su negativni pa vrijedi:

( ) ( )2 2 2 , 3 3 3.t t t t t t− = − − = − + − = − − = − +

Zato je:

( )2 3 1 2 3 1 1 2 3 2 4 /: 2 2.t t t t t t t t− + − = ⇒ − + − + = ⇒ − − = − − ⇒ −− ⋅ = − ⇒ =

To je suprotno pretpostavci t < 2.

Drugi slučaj

Za 2 ≤ t ≤ 3 izraz t – 2 je pozitivan, a izraz t – 3 je negativan pa vrijedi:

( )2 2 , 3 3 3.t t t t t− = − − = − − = − +

Zato je:

2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 1 1.tt t t tt− + − = ⇒ − − + = ⇒ − + = ⇒ − + = ⇒ =−

Ako u nekom intervalu (segmentu) dobijemo identičku jednakost, onda su svi brojevi iz tog intervala

(segmenta) rješenja jednadžbe. Znači da je rješenje:

[ ]2, 3 .t ∈

Treći slučaj

Za t > 3 izrazi t – 2 i t – 3 su pozitivni pa vrijedi:

2 2 , 3 3.t t t t− = − − = −

Zato je:

4

2 3 1 2 3 1 /1 2 2 23 6 3: .t t t t t t t t− + − = ⇒ − + − = ⇒ + = + + ⇒ ⋅ = ⇒ =

To je suprotno pretpostavci t > 3.

Vraćamo se supstituciji:

[ ]

1 kvadriramo 2/

nejednakost

12 1 3 2 1

2, 3 i3

2 3

x tx x

t

x t

t

− = ⇒ ⇒ ≤ − ≤ ⇒ ⇒ ≤ − ≤ ⇒

∈ ≤ ≤

− =

nejednakostima/ 1

pribrojimo bro4 1 9 4 1 9 4 1 1 1 9

j1

1x x x

⇒ ≤ − ≤ ⇒ ⇒ ≤ − ≤ ⇒ + ≤ − + ≤ + ⇒

+

[ ]5 10 5, 10 .x x⇒ ≤ ≤ ⇒ ∈

Vježba 026

Riješi iracionalnu jednadžbu: 1 1 1.x+ + =

Rezultat: x = – 1.

Zadatak 027 (Andrijana, gimnazija)

Nañi zbroj rješenja jednadžbe: 4 5 3.x x− + + =


( ) ( )22 2 2

, ,2 .a b a a b b a a a b a b+ = + ⋅ ⋅ + = ⋅ = ⋅

Vièteove formule

Rješenja x1, x2 kvadratne jednadžbe a · x2 + b · x + c = 0 zadovoljavaju Vièteove formule:

,2

.1 2 1

b cx x x x

a a+ = − ⋅ =

Dvostrukim kvadriranjem zadane iracionalne jednadžbe dobije se kvadratna jednadžba:

( )2 2 24 5 3 4 5 3/5 3 4x x x x x x− + + = ⇒ − + + = ⇒ − + + = ⇒

( ) ( ) ( ) ( )2 2

4 2 4 5 5 9 4 2 4 5 5 9x x x x x x x x⇒ − + ⋅ − ⋅ + + + = ⇒ − + ⋅ − ⋅ + + + = ⇒

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 4 5 2 44 5 9 / : 25 0 4 5 0x x xx xx x x⇒ + ⋅ − ⋅ + = ⇒ ⋅ − ⋅ + = ⇒ − ⋅ +− + =+ ⇒

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2

4 5 0 4 5 0 4 5 02

/x x x x x x⇒ − ⋅ + = ⇒ − ⋅ + = ⇒ − ⋅ + = ⇒

( )2 2 2

20 4 5 0 20 0 20 0/ 1x x x x x x x⇒ + ⋅ − ⋅ − = ⇒ − − + = ⇒ + −− =⋅ ⇒

2120 0 1 2 1.

1 2 1 211 , 1 , 20 1 , 1

bx xx x

x x x xaa b c a b

+ = −+ − =⇒ ⇒ ⇒ + = − ⇒ + = −

= = = −= =

Vježba 027

Nañi umnožak rješenja jednadžbe: 4 5 3.x x− + + =

Rezultat: – 20.

Zadatak 028 (Dario, tehnička škola)

Riješi iracionalnu jednadžbu: 3 3

2 5 1.x x+ − − =


( ) ( )3 3

, ,2

3 .2 3

3nn n n n

a b a a b a b b a a a b a b− = − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − = ⋅ = ⋅

5

Iracionalna jednadžba je jednadžba u kojoj se nepoznanica pojavljuje pod znakom korijena (odnosno

s nekim racionalnim eksponentom).

Uobičajna metoda rješavanja:

Kubiramo jednadžbu kako bismo je sveli na jednadžbu bez korijena. Često je potrebno i više puta kubirati.

1.inačica

( )3 33 3 3 3 3 3

2 5 1 2 5 1 2 5 1kubiramo 3

/jednadžbu

x x x x x x+ − − = ⇒ ⇒ + − − = ⇒ + − − = ⇒

( ) ( ) ( ) ( )3 2 2 3

3 3 3 3 3 32 3 2 5 3 2 5 5 1x x x x x x⇒ + − ⋅ + ⋅ − + ⋅ + ⋅ − − − = ⇒

( ) ( ) ( )2 2

3 3 3 32 3 2 5 3 2 5 5 1x x x x x x⇒ + − ⋅ + ⋅ − + ⋅ + ⋅ − − − = ⇒

( ) ( )2 2

3 3 3 32 3 2 5 3 2 5 5 1x x x x x x⇒ + − ⋅ + ⋅ − + ⋅ + ⋅ − − + = ⇒

( ) ( )2 2

3 3 3 32 3 2 5 3 2 5 5 1x x x xx x⇒ + − ⋅ + ⋅ − + ⋅ + ⋅ +−− = ⇒

( ) ( )2 2

3 3 3 32 3 2 5 3 2 5 5 1x x x x⇒ − ⋅ + ⋅ − + ⋅ + ⋅ − + = ⇒

( ) ( )2 2

3 3 3 33 2 5 3 2 5 1 2 5x x x x⇒ − ⋅ + ⋅ − + ⋅ + ⋅ − = − − ⇒

( ) ( )2 2

3 3 3 33 2 5 3 2 5 6x x x x⇒ − ⋅ + ⋅ − + ⋅ + ⋅ − = − ⇒

( ) ( ) ( )2 2

3 3 3 33 2 5 3 2 5 6 / : 3x x x x⇒ − ⋅ + ⋅ − + ⋅ + ⋅ − = −− ⇒

( ) ( ) [ ]izlučivan2 2

3 3 3 32 5 2 5 2 jex x x x⇒ + ⋅ − − + ⋅ − = ⇒ ⇒

( )supstituci

3 3ja

3 32 5 2 3 3

25 2

5 1x xx x x x

+ − − =⇒ + ⋅ − ⋅ + − − = ⇒ ⇒

( ) ( )kubiramo 3

/jedna

3

dž

3 3 3 32 5 1 2 2 5 2 2

b5 2

ux x x x x x⇒ + ⋅ − ⋅ = ⇒ + ⋅ − = ⇒ ⇒ + ⋅ − = ⇒

( ) ( )( ) ( ) ( )3 3 23

2 5 2 2 5 8 5 2 10 8x x x x x x x⇒ + ⋅ − = ⇒ + ⋅ − = ⇒ − ⋅ + ⋅ − = ⇒

22 2 3 18 0

3 10 8 0 3 18 01 , 3 , 18

x xx x x x

a b c

− ⋅ − =⇒ − ⋅ − − = ⇒ − ⋅ − = ⇒ ⇒

= = − = −

( )1 , 3 , 18

3 9 4 1 18 3 9 722

4 1,2 1,22 1 21,2 2

a b c

x xb b a c

xa

= = − = −± − ⋅ ⋅ − ± +

⇒ ⇒ = ⇒ = ⇒− ± − ⋅ ⋅ ⋅=

⋅

3 9 1261 13 81 3 9 2 2 1

.1,2 1,2 3 9 6 32 2

22 22 2

x x xx x

xx x

+= = =± ±

⇒ = ⇒ = ⇒ ⇒ ⇒− = −

= = −

Provjera!

Ovi rezultati moraju se uvrstiti u početnu jednadžbu da bi se provjerilo jesu li oni njezina rješenja.

6

3 32 5 1x x+ − − =

3 3

2 5 1x x+ − − =

x1 = 6

3 3

2 5 1x x+ − − =

x2 = – 3

3 36 2 6 5 1+ − − =

3 38 1 1− =

2 1 1− =

1 1=

x1 jest rješenje

3 33 2 3 5 1− + − − − =

3 31 8 1− − − =

( )1 2 1− − − =

1 2 1− + =

1 1=

x2 jest rješenje

2.inačica

kubiramo 3/

jednadžbu

3 3 3 3 3 32 5 1 2 1 5 2 1 5x x x x x x+ − − = ⇒ + = + − ⇒ ⇒ + = + − ⇒

( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 2 3

3 23 3 3 3 3 32 1 5 2 1 3 1 5 3 1 5 5x x x x x x⇒ + = + − ⇒ + = + ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ − + − ⇒

( ) ( )2 2

3 3 3 32 1 3 5 3 5 5 2 1 3 5 3 5 5x x x x x xx x⇒ + = + ⋅ − + ⋅ − + − ⇒ + = + ⋅ − ⋅ ++ − − ⇒

( ) ( )2 2

3 3 3 32 1 3 5 3 5 5 2 1 5 3 5 3 5x x x x⇒ = + ⋅ − + ⋅ − − ⇒ − + = ⋅ − + ⋅ − ⇒

( ) ( )2 2

3 3 3 36 3 5 3 5 3 5 3 5 6x x x x⇒ = ⋅ − + ⋅ − ⇒ ⋅ − + ⋅ − = ⇒

( ) ( )/2 2

3 3 3 33 5 3 5 6 0 5 5: 2 0.3x x x x⇒ ⋅ − + ⋅ − − = ⇒ − + − − =

Uvodimo zamjenu (supstituciju):

35.t x= −

Dobije se kvadratna jednadžba koju lako riješimo:

( )

22 2 0

2 023 3 1

35

, 1 , 25 5 2 0

t tt t

a b cx

x

x

t+ − =

⇒ + − = ⇒ ⇒= = = −− + − −

=

=

−

( )1 , 1 , 2

1 1 4 1 2 1 1 8 1 92

4 1,2 1,2 1,22 1 2 21,2 2

a b c

t t tb b a c

ta

= = = −− ± − ⋅ ⋅ − − ± + − ±

⇒ ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒− ± − ⋅ ⋅ ⋅=

⋅

1 3 211 11 3 2 2 1

.1,2 1 3 4 22

22 22 2

t t tt

tt t

− += = =− ±

⇒ = ⇒ ⇒ ⇒− − = −

= = −

Vraćamo se na supstituciju.

• metoda kubiramo 3

/komparacije jed

35 3 3

5 1 5 1na ž1 d bu

t xx x

t

= −⇒ ⇒ − = ⇒ ⇒ − = ⇒

=

7

( )3

335 1 5 1 1 5 6.

1x x x x⇒ − = ⇒ − = ⇒ = + ⇒ =

• metoda kubiramo 3

/komparacije jed

35 3 3

5 2nadžbu

5 22

t xx x

t

= −⇒ ⇒ − = − ⇒ ⇒ − = − ⇒

= −

( ) ( )3 33

5 2 5 8 8 5 3.2

x x x x⇒ − = − ⇒ − = − ⇒ = − + ⇒ = −

Provjera!


3 32 5 1x x+ − − =

3 3

2 5 1x x+ − − =

x1 = 6

3 3

2 5 1x x+ − − =

x2 = – 3

3 36 2 6 5 1+ − − =

3 38 1 1− =

2 1 1− =

1 1=

x1 jest rješenje

3 33 2 3 5 1− + − − − =

3 31 8 1− − − =

( )1 2 1− − − =

1 2 1− + =

1 1=

x2 jest rješenje

Vježba 028

Riješi iracionalnu jednadžbu: 1 3 2x x+ + − =

Rezultat: 3.

Zadatak 029 (Mirza, elektrotehnička škola)

Riješi iracionalnu nejednadžbu: 2

3 3 2 1.x x x+ ⋅ + < ⋅ +


( ) ( )2 2 2

2 , .nn

a b a a b b a a+ = + ⋅ ⋅ + =

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )( )

0

Iracionalna nejednadžba 0 sustav nejednadžbi

2

f x

f x g x g x

f x g x

≥

< ⇔ >

<

Općenito:

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )( )

0

2Iracionalna nejednadžba 0 sustav nejednadžbi

2

f x

nf x g x g x

nf x g x

≥

⋅< ⇔ >

⋅<

Iracionalna nejednadžba je nejednadžba u kojoj se nepoznanica x pojavljuje pod znakom korijena

(odnosno s nekim racionalnim eksponentom).

Funkcija ( )f x x= definirana je na skupu nenegativnih realnih brojeva, { }0 .R+∪ To znači da negativni

realni brojevi ne mogu biti rješenja iracionalne jednadžbe .x a= To vrijedi za sve korijene parnog

8

eksponenta.

Postavimo uvjete zadane iracionalne nejednadžbe:

( )

23 3 0

23 3 2 1 2 1 0

1. uvjet

2. uvje .

223 3 2 1

t

3. uvjet

x x

x x x x

x x x

+ ⋅ + ≥

+ ⋅ + < ⋅ + ⇔ ⋅ + >

+ ⋅ + < ⋅ +

1.uvjet

23 3 .0x x + ≥+ ⋅

Najprije riješimo kvadratnu jednadžbu:

1 , 3 , 32

2 3 3 023 3 0

41 , 3 , 3

1,2 2

a b c

x xx x

b b a ca b c x

a

= = =

+ ⋅ + =+ ⋅ + = ⇒ ⇒ ⇒

− ± − ⋅ ⋅= = = =

⋅

23 3 4 1 3 3 9 12 3 n3

.1,2 1,2 1,

ema realnih rješenja

n22 1 2 ema nultočak2 ax x x

− ± − ⋅ ⋅ − ± − − ± −⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒

⋅

Odaberemo bilo koji realan broj x, na primjer x = 0 i uvrstimo ga u x2 + 3 · x + 3:

20 3 0 3 0 0 03 3 .+ ⋅ + = + + >=

Rezultat je pozitivan, što znači da je x2 + 3 · x + 3 pozitivan na cijelom intervalu , .x ∈ − ∞ + ∞

2.uvjet

0 / : 21 1

2 1 2 1 , .2 2

x x x x⋅ + ⇒ ⋅ > − ⇒ > − ⇒ ∈ − + ∞>

3.uvjet

( )22 2 2 2 2

3 3 2 1 3 3 4 4 1 3 3 4 4 1 0x x x x x x x x x x x+ ⋅ + < ⋅ + ⇒ + ⋅ + < ⋅ + ⋅ + ⇒ + ⋅ + − ⋅ − ⋅ − < ⇒

( )2 2 2

3 2 0 3 2 0 31 2/ 0.x x x x x x⇒ − ⋅ − + < ⇒ − ⋅ − + ⇒ ⋅ + −⋅ − ><

Najprije riješimo kvadratnu jednadžbu:

3 , 1 , 22

2 3 2 023 2 0

43 , 1 , 2

1,2 2

a b c

x xx x

b b a ca b c x

a

= = = −

⋅ + − =⋅ + − = ⇒ ⇒ ⇒

− ± − ⋅ ⋅= = = − =

⋅

( )2

1 1 4 3 2 1 1 24 1 25 1 5

1,2 1,2 1,2 1,22 3 6 6 6x x x x

− ± − ⋅ ⋅ − − ± + − ± − ±⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒

⋅

1 5 42

1 16 6 1 3 .1 5 6

122 26 6

x xx

xx x

− += =

=⇒ ⇒ ⇒

− −= −= = −

Nultočke – 1 i 2

3 ucrtamo na x osi. U točkama – 1 i

2

3 vrijedi jednakost = pa one nisu rješenje naše stroge

nejednakosti >. Zato ih nismo popunili (kružići su prazni).

2

3

- 1

+ ∞∞∞∞- ∞∞∞∞

• Odaberemo x izmeñu – ∞ i – 1, na primjer, x = – 2 i uvrstimo ga u 3 · x

2 + x – 2:

9

( ) ( )2

3 2 2 2 3 4 2 2 12 2 2 8 0.⋅ − + − − = − = − − = >⋅ −

Rezultat je pozitivan, što znači da je 3 · x2 + x – 2 pozitivan na cijelom intervalu , 1 .− ∞ −

Upišimo simbol + iznad tog intervala.

+- ∞∞∞∞ + ∞∞∞∞

- 1 2

3

• Odaberemo x veći od – 1, a manji od 2

,3

na primjer, x = 0 i uvrstimo ga u 3 · x2 + x – 2:

23 0 0 2 3 0 0 2 0 0 2 2 .0⋅ + − = ⋅ + − − = − <= +

Rezultat je negativan, što znači da je 3 · x2 + x – 2 negativan na cijelom intervalu

21, .

3−

Upišimo simbol - iznad tog intervala.

-- ∞∞∞∞ + ∞∞∞∞

- 1 2

3

• Odaberemo x veći od 2

,3

na primjer x = 1 i uvrstimo ga u 3 · x2 + x – 2:

23 1 1 2 3 1 1 2 3 1 2 2 .0⋅ + − = ⋅ + − = + >− =

Rezultat je pozitivan, što znači da je 3 · x2 + x – 2 pozitivan na cijelom intervalu

2, .

3+ ∞

Upišimo simbol + iznad tog intervala.

+- ∞∞∞∞ + ∞∞∞∞

- 1 2

3

Dakle, nejednadžba 3 · x2 + x – 2 > 0 vrijedi za

2, 1 , .

3x ∈ − ∞ − + ∞∪

++

2

3

- 1

+ ∞∞∞∞- ∞∞∞∞

Rješenje zadane iracionalne nejednadžbe 2

3 3 2 1x x x+ ⋅ + < ⋅ + mora ispuniti sva tri uvjeta:

1. uvjet

presjek sva tri rješenja,2. uvjet

zajednički dio sva tri uvjeta

3. u

,

1 2, , .

2

vje2

, ,t

3

13

x

x x

x

∈ − ∞ + ∞

∈ − + ∞ ⇒ ⇒ ∈ + ∞

∈ − ∞ − + ∞

∪

10

4

3,5

3

2,5

2

1,5

1

0,5

-0,5

-1

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

y

x

+ ∞∞∞∞

2

3

Vježba 029

Riješi iracionalnu nejednadžbu: 2

3 3 2 1.x x x+ ⋅ + > ⋅ +

Rezultat: 2

, .3

x ∈ − ∞

Zadatak 030 (Ana, gimnazija)


3 6 3.x x− + + =


( ) ,3

3.

n n na a a b a b= ⋅ = ⋅

( ) ( )3 3 2 2 3 3 3

3 3 3 .a b a a b a b b a a b a b b+ = + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + = + ⋅ ⋅ ⋅ + +

Iracionalna jednadžba je jednadžba u kojoj se nepoznanica pojavljuje pod znakom korijena (odnosno s nekim

racionalnim eksponentom).


Kubiramo jednadžbu kako bismo je sveli na jednadžbu bez korijena. Često je potrebno i više puta kubirati. Pozor! Vrijednost izraza (radikanda) pod trećim korijenom može biti bilo koji realan broj. Dobivene rezultate uvijek moramo uvrstiti u početnu jednadžbu kako bismo provjerili zadovoljavaju

li oni zadanu jednadžbu. Ako ne zadovoljavaju, odbacuju se.

kubiramo 3/

jednad

3 3 3 33

žbu6 3 3 6 3x x x x− + + = ⇒ ⇒ − + + = ⇒

( ) ( ) ( ) ( )3 3 3

33 3 3 3 3 3 3 33 6 3 3 3 3 6 3 6 6 27x x x x x x x x⇒ − + + = ⇒ − + ⋅ − ⋅ + ⋅ − + + + + = ⇒

( )3 33 6

3 33 3 3 6 6

3

27x xx x x x− + +

=

⇒ − + ⋅ − ⋅ + ⋅ + + = ⇒��

3 33 3 3 6 3 6 27x x x x⇒ − + ⋅ − ⋅ + ⋅ + + = ⇒

3 3 3 33 9 3 6 6 27 3 9 3 6 6 27x x x x xx x x⇒ − + ⋅ − ⋅ + + + = ⇒ + ⋅ − + +⋅ + =− ⇒

11

( ) ( ) ( ) ( )3 33 9 3 6 6 27 9 3 6 27 3 6x x x x⇒ + ⋅ − ⋅ + + = ⇒ ⋅ − ⋅ + = − − ⇒

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 39 3 6 18 9 3 6 18 / : 9 3 6 2x x x x x x⇒ ⋅ − ⋅ + = ⇒ ⋅ − ⋅ + = ⇒ − ⋅ + = ⇒

( ) ( ) ( ) ( )( )3 33 3

3kubiramo 3

6 2 3 6/jednadžbu

2x x x x⇒ ⇒ − ⋅ + = ⇒ − ⋅ + = ⇒

( ) ( )2 2

3 6 8 18 3 6 8 3 18 8 0x x x x x x x⇒ − ⋅ + = ⇒ + ⋅ − ⋅ − = ⇒ − − ⋅ + − = ⇒

( )2 2 2

3 10 0 3 10 0 3 0/ 1 10x x x x x x⇒ − − ⋅ + = ⇒ − − ⋅ + ⋅ −= ⇒ + ⋅ − = ⇒

( )1 , 3 , 10

2 3 9 4 1 103 10 02

4 1,2 2 11 , 3 , 101,2 2

a b c

x xx

b b a ca b c x

a

= = = −− ± − ⋅ ⋅ −+ ⋅ − =

⇒ ⇒ ⇒ = ⇒− ± − ⋅ ⋅ ⋅= = = − =

⋅

3 7

13 9 40 3 49 3 7 21,2 1,2 1,2 3 72 2 2

2 2

x

x x x

x

− +=

− ± + − ± − ±⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ ⇒

− −=

421 2 1

.10 5

22 2

x x

xx

= =⇒ ⇒

− = −=

Provjera!


3 33 6 3x x− + + =

3 3

3 6 3x x− + + =

x1 = 2

3 3

3 6 3x x− + + =

x2 = – 5

3 33 2 6 2 3− + + =

3 31 8 3+ =

1 2 3+ =

3 3=

x1 jest rješenje

( ) ( )3 33 5 6 5 3− − + + − =

3 33 5 6 5 3+ + − =

3 38 1 3+ =

2 1 3+ =

3 3=

x2 jest rješenje Vježba 030


24 8 48 8 6.x x− ⋅ + + ⋅ =

Rezultat: x1 = 2 , x2 = – 5.

Zadatak 031 (Mario, gimnazija)

Riješi iracionalnu jednadžbu: 2.x x= −


( ) ( )2 2 2

, .2

2a a a b a a b b= − = − ⋅ ⋅ +

12




Kvadriramo jednadžbu kako bismo je sveli na jednadžbu bez korijena. Često je potrebno i više puta kvadrirati. Pozor! Vrijednost izraza (radikanda) pod drugim korijenom mora biti nenegativan broj (broj veći ili jednak nuli).


( )

2

0.

f x g x

g x

=

≥

Dobivene rezultate uvijek moramo uvrstiti u početnu jednadžbu kako bismo provjerili zadovoljavaju


Zadana je jednadžba

2x x= −

ekvivalentna sustavu:

( ) ( )2kvadriramo /

jednadž

2 2

bu

2 2 2

2 0 2 2

x x x x x x

x x x

= − = − = −⇒ ⇒ ⇒ ⇒

− ≥ ≥ ≥

2 2 24 4 4 4 0 5 4 0

2 2 2

x x x x x x x x

x x x

= − ⋅ + − + ⋅ − = − + ⋅ − =⇒ ⇒ ⇒ ⇒

≥ ≥ ≥

( )

25 4 02 2

5 4 0 5 4 01 , 5 , 4

222

/ 1x x

x x x xa b c

xxx

− ⋅ + =− + ⋅ − = − ⋅ + =

⇒ ⇒ ⇒ = = − = ⇒⋅

≥

−

≥≥

1 , 5 , 4

5 25 4 1 4 5 25 1624

1,2 1,22 1 21,2 22 2

2

a b c

b b a c x xx

ax x

x

= = − =

± − ⋅ ⋅ ± −− ± − ⋅ ⋅ = =

⇒ = ⇒ ⇒ ⇒⋅⋅

≥ ≥≥

5 3 8

1 12 2 45 3 15 95 3 21,21,2 1 4.22 2 2 2

2 22 2

22 2

x xx

xxx x x x

xxx x x

+= =

=±±

= −=⇒ ⇒ ⇒ = ⇒ = ⇒ = =

≥ ≥

⇒

≥≥ ≥

Provjera!


2x x= −

2x x= −

x1 = 4

2x x= −

x2 = 1

13

4 4 2= −

4 22 = −

2 2=

x1 jest rješenje

1 1 2= −

1 1 2= −

1 1= −

x2 nije rješenje

Vježba 031

Riješi iracionalnu jednadžbu: 2 .x x+ =

Rezultat: 4.

Zadatak 032 (Ljilja, gimnazija)

Riješi iracionalnu jednadžbu: 7 1.x x+ = +


( ) ( )2 2 2

, .2

2a a a b a a b b= + = + ⋅ ⋅ +






( )

2

0.

f x g x

g x

=

≥




7 1x x+ = +



jedna

2 27 1 7 1 7 1

1 0 1džb1

u

x x x x x x

x x x

+ = + + = + + = +⇒ ⇒ ⇒ ⇒

+ ≥ ≥ − ≥ −

2 2 27 2 1 7 2 1 0 6 0

1 1 1

x x x x x x x x

x x x

+ = + ⋅ + + − − ⋅ − = − − + =⇒ ⇒ ⇒ ⇒

≥ − ≥ − ≥ −

( )

26 02 2

6 0 6 01 , 1 , 6

111

/ 1x x

x x x xa b c

xxx

+ − =− − + = + − =

⇒ ⇒ ⇒ = = = −⋅ −

⇒≥ −≥ −

≥ −

( )

1 , 1 , 6

1 1 4 1 6 1 1 2424

1,21,2 22 11,2 211

1

a b c

b b a c xxx

axx

x

= = = −

− ± − ⋅ ⋅ − − ± +− ± − ⋅ ⋅ ==

⇒ = ⇒ ⇒ ⇒⋅⋅

≥ −≥ −≥ −

14

1 5 4

1 12 2 21 5 11 251 5 61,21,2 3 2.22 2 2 22 2

111 11

x xx

xxx x x x

xxx x x

− += =

=− ±− ±

= − − −=⇒ ⇒ ⇒ = ⇒ = ⇒ = − ⇒ =

≥ −≥ −≥ − −≥ − ≥

Provjera!


7 1x x+ = +

7 1x x+ = +

x1 = 2

7 1x x+ = +

x2 = – 3

2 7 2 1+ = +

9 2 1= +

3 2 1= +

3 3=

x1 jest rješenje

3 7 3 1− + = − +

4 3 1= − +

3 12 = − +

2 2≠ −

x2 nije rješenje Vježba 032

Riješi iracionalnu jednadžbu: 7 1 .x x+ − =

Rezultat: 2.

Zadatak 033 (Ljilja, gimnazija)

Riješi iracionalnu jednadžbu: 1 5 .x x− = +


( ) ( )2 2 2

, .2

2a a a b a a b b= + = + ⋅ ⋅ +






( )

2

0.

f x g x

g x

=

≥




1 5x x− = +



jedna

2 21 5 1 5 1 5

5 0 5d bu5

ž

x x x x x x

x x x

− = + − = + − = +⇒ ⇒ ⇒ ⇒

+ ≥ ≥ − ≥ −

15

2 2 21 25 10 1 25 10 0 11 24 0

5 5 5

x x x x x x x x

x x x

− = + ⋅ + − − − ⋅ − = − − ⋅ − =⇒ ⇒ ⇒ ⇒

≥ − ≥ − ≥ −

( )

211 24 02 2

11 24 0 11 24 01 , 11 , 24

555

/ 1x x

x x x xa b c

xxx

⋅+ ⋅ + =

− − ⋅ − = + ⋅ + =⇒ ⇒ ⇒ = = = ⇒

≥ −≥ −≥ −

−

1 , 11 , 24

11 121 4 1 24 11 121 9624

1,2 1,22 1 21,2 25 5

5

a b c

b b a c x xx

ax x

x

= = =

− ± − ⋅ ⋅ − ± −− ± − ⋅ ⋅ = =

⇒ = ⇒ ⇒ ⇒⋅⋅

≥ − ≥ −≥ −

11 5 6

1 12 2 311 5 111 2511 5 161,21,2 8 3.22 2 2 22 2

5 555 5

x xx

xxx x x x

xx xx

x

− + −= =

= −− ±− ±

= − − −=⇒ ⇒ ⇒ = ⇒ = ⇒ = − ⇒ = −

≥ −≥ −≥ − −≥ ≥−

Provjera!


1 5x x− = +

1 5x x− = +

x1 = – 3

1 5x x− = +

x2 = – 8

( ) ( )1 3 5 3− − = + −

1 3 5 3+ = −

4 5 3= −

5 32 = −

2 2=

x1 jest rješenje

( ) ( )1 8 5 8− − = + −

1 8 5 8+ = −

9 5 8= −

3 5 8= −

3 3= −

x2 nije rješenje

Vježba 033

Riješi iracionalnu jednadžbu: 1 5 .x x− − =

Rezultat: – 3.

Zadatak 034 (Ivan, tehnička škola)

Riješi jednadžbu 30 29 12 3 10 5.x− − + ⋅ + =


( ) .2

a a=



16


Kvadriramo jednadžbu kako bismo je sveli na jednadžbu bez korijena. Često je potrebno i više puta kvadrirati. Pozor! Vrijednost izraza (radikanda) pod drugim korijenom mora biti nenegativan broj (broj veći ili jednak nuli). Dobivene rezultate uvijek moramo uvrstiti u početnu jednadžbu kako bismo provjerili zadovoljavaju li oni

zadanu jednadžbu. Ako ne zadovoljavaju, odbacuju se.

30 29 12 3 10 5 30 29 12 32

/10 5x x− − + ⋅ + = ⇒ − − + ⋅ + = ⇒

22

30 29 12 3 10 5 30 29 12 3 10 25x x⇒ − − + ⋅ + = ⇒ − − + ⋅ + = ⇒

( )29 12 3 10 25 3 /0 29 12 3 1 5 10x x⇒ − − + ⋅ + = − ⇒ − − + ⋅ + − ⋅ −= ⇒

29 12 3 10 5 29 12 3 10 52

/x x⇒ − + ⋅ + = ⇒ − + ⋅ + = ⇒

22

29 12 3 10 5 29 12 3 10 25x x⇒ − + ⋅ + = ⇒ − + ⋅ + = ⇒

12 3 10 25 29 12 3 10 4x x⇒ − + ⋅ + = − ⇒ − + ⋅ + = − ⇒

( )12 3 10 4 12 3 10 4 12 3 10 42

/ 1 /x x x⇒ − + ⋅ + = − ⇒ + ⋅ + = ⇒ + ⋅ + =⋅ − ⇒

( )2

212 3 10 4 12 3 10 16 3 10 16 12x x x⇒ + ⋅ + = ⇒ + ⋅ + = ⇒ ⋅ + = − ⇒

( )2 2

3 10 4 3 10 4 3 10 4 10 162

/ 3x x x x⇒ ⋅ + = ⇒ ⋅ + = ⇒ ⋅ + = ⇒ ⋅ + = ⇒

3 16 10 3 6 3 6 ./ : 2 2x x x x⇒ ⋅ = − ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =

Provjera!

Ovaj rezultat mora se uvrstiti u početnu jednadžbu da bi se provjerilo je li on njezino rješenje.

30 29 12 3 10 5x− − + ⋅ + =

30 29 12 3 2 10 5− − + ⋅ + =

30 29 12 6 10 5− − + + =

30 29 12 16 5− − + =

30 29 12 4 5− − + =

30 29 16 5− − =

30 29 4 5− − =

30 25 5− =

30 5 5− =

25 5=

5 5=

x = 2 je rješenje

17

Vježba 034

Riješi jednadžbu 29 12 3 10 5.x− + ⋅ + =

Rezultat: x = 2.

Zadatak 035 (Malena, gimnazija)

Riješi jednadžbu 2 4 0.x x⋅ − + =


( ) ( )2 2 2

, .2

2a a a b a a b b= − = − ⋅ ⋅ +






( ) ( )2 2

2 4 0 2 4 2 4/42

2x x x x x x x x⋅ − + = ⇒ ⋅ = − ⇒ ⋅ = − ⇒ ⋅ = − ⇒

2 2 22 8 16 2 8 16 0 10 16 0x x x x x x x x⇒ ⋅ = − ⋅ + ⇒ ⋅ − + ⋅ − = ⇒ − + ⋅ − = ⇒

( )2

2 2 10 16 010 16 0 10 16 0

1 , 10 , 16/ 1

x xx x x x

a b c

− ⋅ + =⇒ − + ⋅ − = ⇒ − ⋅ + = ⇒ ⇒

= = − =⋅ −

1 , 10 , 1610 100 4 1 16 10 100 64

24 1,2 1,22 1 2

1,2 2

a b c

x xb b a c

xa

= = − =

± − ⋅ ⋅ ± −⇒ ⇒ = ⇒ = ⇒

− ± − ⋅ ⋅ ⋅=⋅

10 6 1681 110 36 10 6 2 2 1

.1,2 1,2 10 6 4 22 2

22 22 2

x x xx x

xx x

+= = =± ±

⇒ = ⇒ = ⇒ ⇒ ⇒− =

= =

Provjera!


2 4 0x x⋅ − + =

2 4 0x x⋅ − + =

x1 = 8

2 4 0x x⋅ − + =

x2 = 2

2 8 8 4 0⋅ − + =

16 8 4 0− + =

8 4 04 − + =

8 08 − =

0 0=

x1 jest rješenje

2 2 2 4 0⋅ − + =

4 2 4 0− + =

2 4 02 − + =

4 022 − + =

4 0≠

x2 nije rješenje

18

Vježba 035

Riješi jednadžbu 2 4 .x x⋅ + =

Rezultat: x = 8.


Riješi jednadžbu 4 2.x x+ − =


( ) ( )2 2 2

, .2

2a a a b a a b b= − = − ⋅ ⋅ +






( )2

24 2 4 2 4 2

24/ 4x x x x x x x x+ − = ⇒ + − = ⇒ + − = ⇒ + − = ⇒

( ) ( )2 2 2

4 4 4 4 42

/ 4 4 16 8x x x x x x x x x⇒ − = − ⇒ − = − ⇒ − = − ⇒ − = − ⋅ + ⇒

( )2 2

4 16 8 0 9 2 /0 0 9 20 0 1x x x x x x⇒ − − + ⋅ = ⇒ − + ⋅ − = ⇒ + ⋅ − = ⋅ −− ⇒

1 , 9 , 202

2 9 20 029 20 0

41 , 9 , 20

1,2 2

a b c

x xx x

b b a ca b c x

a

= = − =

− ⋅ + =⇒ − ⋅ + = ⇒ ⇒ ⇒

− ± − ⋅ ⋅= = − = =

⋅

9 81 4 1 20 9 81 80 9 1 9 1

1,2 1,2 1,2 1,22 1 2 2 2x x x x

± − ⋅ ⋅ ± − ± ±⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒

⋅

9 1 1051 12 2 1

.9 1 8 4

22 22 2

x x x

xx x

+= = =

⇒ ⇒ ⇒− =

= =

Provjera!


4 2x x+ − =

4 2x x+ − =

x1 = 5

4 2x x+ − =

x2 = 4

19

5 5 4 2+ − =

5 1 2+ =

5 21+ =

6 2≠

x1 nije rješenje

4 4 4 2+ − =

4 0 2+ =

4 20+ =

4 2=

2 2=

x2 jest rješenje Vježba 036

Riješi jednadžbu 4 2 0.x x− + − =

Rezultat: x = 4.


4

Riješi jednadžbu 2 3.x x+ ⋅ =


( ) ( ) ( ), , .2 mn n n mn

a a a a a a⋅

= = =






24 42 3 2

supstitucija

3 0 2 04

2

3tx x

t x

x x x t t+ ⋅ = ⇒ + ⋅ − = ⇒ ⇒ + ⋅ − = ⇒=

=

2 , 1 , 32

2 2 3 022 3 0

42 , 1 , 3

1,2 2

a b c

t tt t

b b a ca b c t

a

= = = −

⋅ + − =⇒ ⋅ + − = ⇒ ⇒ ⇒

− ± − ⋅ ⋅= = = − =

⋅

( )1 1 4 2 3 1 1 24 1 25 1 5

1,2 1,2 1,2 1,22 2 4 4 4t t t t

− ± − ⋅ ⋅ − − ± + − ± − ±⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒

⋅

1 5 41

11 14 41.

nema smisla3

1 5 62 22 24 4

tt t

tt

t x

− +== =

⇒ ⇒ ⇒ ⇒ =− − = −

= = −

Vraćamo se supstituciji.

( )4 4 44 4 44

/1 1 1 1.1

t xx x x x

t

=⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =

=

20

Provjera!


42 3x x+ ⋅ =

x = 1

41 2 1 3+ ⋅ =

2 1 31+ ⋅ =

2 31+ =

3 3=

x = 1 je rješenje

Vježba 037

4

Riješi jednadžbu 3 4 0.x x+ ⋅ − =

Rezultat: 1.

Zadatak 038 (Amazonka, gimnazija)

Riješi jednadžbu: 2 7 4 11 2 7 4 11 3 3.x x x x⋅ + + ⋅ + + ⋅ + − ⋅ + = +


( ) ( ) ( ) ( )22 2 2 2

, , , .2

2a b a a b b a a a b a b a b a b a b+ = + ⋅ ⋅ + = − = − ⋅ + ⋅ = ⋅

( ) ( )2 2 2 2

2 2, .2n n n

a b a b a b c a b c a b a c b c⋅ = ⋅ + + = + + + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅






2 7 4 11 2 7 4 11 3 3x x x x⋅ + + ⋅ + + ⋅ + − ⋅ + = + ⇒

2 7 4 11 2 7 4 112

3 3 /x x x x⋅ + + ⋅ + + ⋅ + − ⋅ + = + ⇒

( ) ( )2 2

2 7 4 11 2 7 4 11 3 3x x x x⋅ + + ⋅ + + ⋅ + − ⋅ + = + ⇒

( ) ( )2 2

2 7 4 11 2 2 7 4 11 2 7 4 11 2 7 4 11x x x x x x x x⇒ ⋅ + + ⋅ + + ⋅ ⋅ + + ⋅ + ⋅ ⋅ + − ⋅ + + ⋅ + − ⋅ + =

9 6 3 3= + ⋅ + ⇒

( ) ( )2 7 4 11 2 2 7 4 11 2 7 4 11 2 7 4 11 12 6 3x x x x x x x x⇒ ⋅ + + ⋅ + + ⋅ ⋅ + + ⋅ + ⋅ ⋅ + − ⋅ + + ⋅ + − ⋅ + = + ⋅ ⇒

( ) ( )4 11 422

2 7 2 2 7 4 11 2 7 12 6 311x x x xx x+ ⋅ + − ⋅⇒ ⋅ + + ⋅ ⋅ + − ⋅ + + ⋅ + = + ⋅+ ⇒

( )2

2 7 2 4 28 49 4 11 2 7 12 6 3x x x x x⇒ ⋅ + + ⋅ ⋅ + ⋅ + − ⋅ + + ⋅ + = + ⋅ ⇒

24 14 2 4 28 49 4 11 12 6 3x x x x⇒ ⋅ + + ⋅ ⋅ + ⋅ + − ⋅ − = + ⋅ ⇒

21

/2 2

4 14 2 4 24 38 12 6 3 2 7 4 24 38 6 3: 32x x x x x x⇒ ⋅ + + ⋅ ⋅ + ⋅ + = + ⋅ ⇒ ⋅ + + ⋅ + ⋅ + = + ⋅ ⇒

2 24 24 38 6 3 3 2 7 4 24 38 3 3 2 1x x x x x x⇒ ⋅ + ⋅ + = + ⋅ − ⋅ − ⇒ ⋅ + ⋅ + = ⋅ − ⋅ − ⇒

( )2 22 2

4 24 38 3 3 2 1 4 24 38 3 32

2 1/x x x x x x⇒ ⋅ + ⋅ + = ⋅ − ⋅ − ⇒ ⋅ + ⋅ + = ⋅ − ⋅ − ⇒

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 22

4 24 38 3 3 2 1 2 3 3 2 2 3 3 1 2 2 1x x x x x⇒ ⋅ + ⋅ + = ⋅ + − ⋅ + − + ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅ − ⋅ ⋅ − ⇒

2 24 24 38 27 4 1 12 3 6 3 4x x x x x⇒ ⋅ + ⋅ + = + ⋅ + − ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⇒

24 38 27 1 12 32

6 32

4 44 x xx x x⇒ + ⋅ + = + − ⋅ ⋅ − ⋅⋅ +⋅ ⋅+ ⇒

24 38 27 1 12 3 6 3 4x x x⇒ ⋅ + = + − ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⇒

24 38 28 12 3 6 3 4 24 12 3 4 28 6 3 38x x x x x x⇒ ⋅ + = − ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⇒ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ = − ⋅ − ⇒

20 12 3 10 6 3 20 12 / :10 6 3 23x x x x⇒ ⋅ + ⋅ ⋅ = − − ⋅ ⇒ ⋅ + ⋅ ⋅ = − − ⋅ ⇒

( )10 6 3 5 3 3 2 5 3 3 5 3 3x x x⇒ ⋅ + ⋅ ⋅ = − − ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ + ⋅ = − − ⋅ ⇒

( )( ) ( )

1/

2 5 3

5 3 32 5 3 3 5 3 3

2 5 3 33x x

− − ⋅⇒ ⋅ ⋅ + ⋅ = − ⋅

⋅ +− ⋅ ⇒ = ⇒

⋅ + ⋅⋅

( )( )

( )( )

1 5 3 3 1 1.

22 5

5 3 3

5 3 33 3 2x x x

− ⋅ + ⋅ − ⋅⇒ = ⇒ = ⇒ = −

⋅ + ⋅ ⋅

+ ⋅

+ ⋅

Provjera!


2 7 4 11 2 7 4 11 3 3x x x x⋅ + + ⋅ + + ⋅ + − ⋅ + = +

1

2x = −

1 1 1 12 7 4 11 2 7 4 11 3 3

2 2 2 2⋅ − + + ⋅ − + + ⋅ − + − ⋅ − + = +

1 7 2 11 1 7 2 11 3 3− + + − + + − + − − + = +

6 9 6 9 3 3+ + − = +

6 3 6 3 3 3+ + − = +

9 3 3 3+ = +

3 3 3 3+ = +

1

2x = − je rješenje

Vježba 038

Riješi jednadžbu: 2 7 4 11 3 3 2 7 4 11.x x x x⋅ + + ⋅ + − = − ⋅ + − ⋅ +

Rezultat: 1

2x = −

22

Zadatak 039 (Miro, srednja škola)

2 2

Riješi jednadžbu: 9 9 20.x x− + − =


( ) .2

a a=






supstitu

2 2 2 2

cija

9 9 20 20 209

2 2

02

9

t x

t x

x x t t t t= −− + − = ⇒ ⇒ + = ⇒ + − = ⇒

= −

( )1 , 1 , 20

2 1 1 4 1 2020 02

4 1,2 2 11 , 1 , 201,2 2

a b c

t tt

b b a ca b c t

a

= = = −− ± − ⋅ ⋅ −+ − =

⇒ ⇒ ⇒ = ⇒− ± − ⋅ ⋅ ⋅= = = − =

⋅

1 9

11 1 80 1 81 1 9 21,2 1,2 1,2 1 92 2 2

2 2

t

t t t

t

− +=

− ± + − ± − ±⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ ⇒

− −=

841 2 1

.10 5

22 2

t t

tt

= =⇒ ⇒

= −= −

Vraćamo se supstituciji (zamjeni).

•

222 2 2 2 29

9 4 9 42

9 4 9 16

4

/t x

x x x x

t

= −⇒ − = ⇒ − = ⇒ − = ⇒ − = ⇒

=

52 2 2 116 9 25 25 25 .

1,2 52

/x

x x x xx

=⇒ = + ⇒ = ⇒ = ⇒ = ± ⇒

= −

• 2

2nema sm

99 5 .isl

5

at x

x

t

= −⇒ − = −

= −

Provjera!


2 29 9 20x x− + − =

23

2 2

9 9 20x x− + − =

x1 = 5

2 2

9 9 20x x− + − =

x2 = – 5

2 25 9 5 9 20− + − =

25 9 25 9 20− + − =

16 25 9 20+ − =

25 9 204 + − =

20 20=

x1 jest rješenje

( ) ( )2 2

5 9 5 9 20− − + − − =

25 9 25 9 20− + − =

16 25 9 20+ − =

25 9 204 + − =

20 20=

x2 jest rješenje

Vježba 039

2 2

Riješi jednadžbu: 2 2 6 6.x x x x− ⋅ + − ⋅ + =

Rezultat: Naputak: promatraj jednadžbu 2 2

2 6 2 6 12,x x x x− ⋅ + + − ⋅ + =

supstitucija 2

2 6,t x x= − ⋅ + x1 = – 1 , x2 = 3.

Zadatak 040 (Miroslav, srednja škola)

2

Riješi jednadžbu: 1 9 .x x+ − =


( ) ( )22 2 2

2 , .a b a a b b a a− = − ⋅ ⋅ + =






( )2

22 2 2 21 9 9

2/1 9 1 9 1x x x x x x x x+ − = ⇒ − = − ⇒ − = − ⇒ − = − ⇒

2 29 2 1 9 2 1 9 2 1 2

21 9

2x x x xx xx x⇒ − = − ⋅ + ⇒ − = − ⋅ + ⇒ − = − ⋅ + ⇒ ⋅ = + ⇒

2 10 2 10 5/ .: 2x x x⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =

Provjera!


21 9x x+ − =

21 9x x+ − =

x = 5

24

21 5 9 5+ − =

1 25 9 5+ − =

1 16 5+ =

1 4 5+ =

5 5=

x jest rješenje

Vježba 040

2

Riješi jednadžbu: 1 1 .x x+ − =

Rezultat: x = 1.

Documents

· Da je to i rješenje zadane iracionalne jednadžbe uvjeravamo se uvrštavanjem: 3 1 3 512 1 3 8 1 3 9 3 3 3, 512 x x + ⇒ + = ⇒ + = ⇒ = ⇒ = = a to je istinita jednakost