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Le equazioni di Maxwell forniscono una spiegazione completa dei fenomeni elettromagnetici e ottici:
La luce è un’onda elettromagnetica e tutte le onde elettromagnetiche si propagano nel vuoto alla velocità della
luce
Il concetto centrale della spiegazione è quello di campo
Maxwell pensava ancora che le onde elettromagnetiche si propagassero in un mezzo
meccanico, l’etere
Lentamente si affermò la visione che l’elettromagnetismo fosse completamente descritto dalle equazioni di Maxwell
senza la necessità di introdurre modelli meccanici per spiegare la propagazione della onde elettromagnetiche
Da Maxwell a Einstein
Contraddizioni apparenti tra meccanica ed elettromagnetismo
Nella meccanica galileiana e newtoniana non esistono velocità assolute, ma solamente velocità relative a un particolare sistema di riferimento
PROBLEMA: Relativamente a quale sistema di riferimento la velocità della luce ha il valore costante di 𝟑 ∙ 𝟏𝟎𝟖 𝒎
𝒔 ?
Sappiamo che , in base alle trasformazioni di Galileo, abbiamo
Legge classica di composizione delle velocità
Nel sistema di riferimento solidale con la bicicletta, la pallina lanciata in avanti dalla ragazza ha velocità u′ = 5 m/s. Rispetto al suolo, la bicicletta viaggia con velocità v = 7 m/s e quindi in questo sistema di riferimento la velocità della pallina è u = u′ + v = 5 m/s + 7 m/s = 12 m/s: le velocità della bicicletta e della pallina si sommano relativamente a un osservatore in quiete.
La legge classica di composizione delle velocità è basata a sua volta sulle trasformazioni di Galileo, definite dal sistema di equazioni:
Trasformazioni di Galileo
Permettono di calcolare le coordinate spaziali e temporali di un corpo in un sistema di riferimento 𝑆’ conoscendo le coordinate del corpo in un altro sistema 𝑆 in moto rettilineo uniforme con velocità 𝑣 rispetto al primo
Altri interrogativi – l’esistenza del campo magnetico dipende dal sistema di
riferimento inerziale scelto? – il campo elettrico e quello magnetico sono invarianti?
Per conciliare le contraddizioni tra elettromagnetismo e principio di relatività si posero due alternative:
1) Assumere che la velocità della luce non sia una costante • È necessario trovare il sistema di riferimento relativamente al
quale la velocità della luce è effettivamente uguale a 𝒄 e quindi rinunciare al principio di relatività che afferma che le leggi della fisica ( e quindi anche la costanti in esse presenti come la velocità della luce 𝑐 =
1
𝜀0𝜇0) devono avere la stessa
forma in tutti i sistemi di riferimento inerziali 2) Rinunciare alla legge di composizione delle velocità e alle trasformazioni di Galileo
• Determinare nuove trasformazioni
L’esperimento di Michelson e Morley (tra il 1881 e il 1887) mostrò che la velocità della luce risultava indipendente dal moto della Terra e sempre uguale a c, in contrasto con la prima alternativa
La teoria della relatività ristretta di Einstein si basa su due principi
Postulati della relatività ristretta
1. È impossibile distinguere con esperimenti fisici due sistemi di riferimento in moto rettilineo uniforme l’uno rispetto all’altro; in altri termini, le leggi della fisica hanno la stessa forma in tutti i sistemi inerziali
2. La velocità della luce nel vuoto è la stessa in tutti i sistemi inerziali, indipendentemente dallo stato di moto del sistema e della sorgente luminosa
Esistono grandezze invarianti il cui valore non dipende dal sistema inerziale di riferimento. La legge fondamentale della dinamica, e in generale le leggi della meccanica, sono valide in tutti i sistemi di riferimento inerziali e hanno in tutti la stessa forma.
I postulati della relatività ristretta e le trasformazioni di Lorentz
La seconda delle alternative porta alla teoria della relatività ristretta di Einstein
Le trasformazioni di Lorentz
Affinché due osservatori inerziali misurano la stessa velocità della luce indipendentemente dal moto relativo dei loro sistemi di riferimento, è necessario modificare le trasformazioni di Galileo e determinare nuove trasformazioni. Un evento è definito dalla quaterna di valori (x; y; z; t) che rappresentano, in un determinato sistema di riferimento
le tre coordinate spaziali del punto in cui l’evento si è verificato l’istante t in cui è avvenuto
Consideriamo due sistemi di riferimento inerziali S e S′ supponendo che
S′ si muova in moto rettilineo uniforme con velocità v rispetto a S il moto avvenga lungo l’asse x del sistema S all’istante t = 0 i due sistemi di riferimento coincidano (x, y, t) siano le coordinate di un evento nel sistema S (x ′, y′, t ′) siano le coordinate dell’evento nel sistema S′
𝑆 ed 𝑆′ sono due sistemi di riferimento inerziali le cui origini coincidono all’istante t = t′ = 0; successivamente S′ trasla con velocità costante v lungo la direzione delle ascisse.
OSS: Il sistema 𝑆’ è in moto rettilineo uniforme con velocità 𝑣 rispetto a 𝑆 mentre 𝑆 è in moto rettilineo
uniforme con velocità di – 𝑣 rispetto ad 𝑆’
Le trasformazioni che mantengono costante il valore della velocità della luce in entrambi i sistemi di riferimento sono note come trasformazioni di Lorentz
per v << c le equazioni sono riconducibili alle trasformazioni di Galileo
la velocità della luce c è una velocità limite che non è possibile raggiungere
La legge relativistica di composizione delle velocità
Dalle trasformazioni di Lorentz possiamo ricavare la nuova legge relativistica di composizione delle velocità Per un punto materiale P in moto rettilineo uniforme con velocità u′ relativamente al sistema S′ e con velocità u relativamente al sistema S abbiamo Se i valori di v e u sono molto minori di c la legge relativistica si riduce all’equazione classica OSS: Nelle trasformazioni di Lorentz il tempo non è più un
invariante come lo era in quelle di Galileo.
Le trasformazioni di Lorentz e la legge di composizione delle velocità costituiscono la struttura matematica della
RELATIVITA’ RISTRETTA
La nuova definizione operativa di simultaneità
Nelle trasformazioni di Lorentz il tempo non è più un invariante
La simultaneità di due eventi è un problema centrale nella relatività ristretta
Eventi simultanei: Due eventi nei punti A e B si dicono simultanei se un osservatore, posto nel punto medio M del segmento AB, riceve i segnali luminosi provenienti dai due punti A e B nello stesso istante
Critica al concetto di simultaneità
L’osservatore posto nel punto medio M del segmento AB può affermare che i due fulmini sono caduti simultaneamente nei punti A e B se con un orologio verifica che tA = tB.
La simultaneità di eventi
DOMANDA:
Due eventi simultanei per un osservatore 0, sono simultanei per un altro osservatore 0’, in moto rettilineo uniforme rispetto a 0?
RISPOSTA:
No, la simultaneità è relativa a un preciso sistema di riferimento e non ha senso parlare di simultaneità assoluta di due eventi
– non esiste il tempo assoluto newtoniano, ma tanti tempi relativi ai particolari sistemi di riferimento
a) L’osservatore a terra sulla banchina rappresenta il riferimento O, quello sul treno il riferimento O′.
O e O′ sono equidistanti da A e B, punti in cui cadono i fulmini.
b) Poiché il treno si muove verso destra, l’osservatore O′ riceve prima la luce proveniente da B, poi quella da A.
I DUE EVENTI, SIMULTANEI RISPETTO ALL’OSSERVATORE O, NON LO SONO RISPETTO ALL’OSSERVATORE O’ IN MOTO RETTILINEO UNIFORME RISPETTO A O
La sincronizzazione degli orologi
La nuova definizione di simultaneità ci permette di sincronizzare orologi posti in punti diversi di uno stesso sistema di riferimento.
Consideriamo due orologi identici posti in punti diversi (A e B) di uno stesso sistema di riferimento
– gli orologi sono sincronizzati se un osservatore O, in quiete rispetto a essi e posto nel punto medio M del segmento AB, osserva i segnali emessi dai due orologi giungere contemporaneamente
Un esperimento ideale
La dilatazione dei tempi
a) L’osservatore O nel sistema di riferimento S è in quiete. In rosso è indicato il raggio partito da O e in verde quello che vi ritorna; b) lo stesso fenomeno rispetto al sistema di riferimento S′. Nel sistema S′ tutto l’apparato sperimentale è in moto verso destra con velocità v.
Analizziamo se la durata di un fenomeno sia costante o dipenda dal sistema di riferimento come ci aspettiamo dalla relatività ristretta.
Un osservatore 0 posto nel sistema S misura l’intervallo di tempo ∆𝑡 che la luce impiega a percorrere, andata e ritorno, una certa distanza L
Il tempo Dt′ misurato da un osservatore nel sistema S′ è uguale a
Dilatazione dei tempi
∆t’ =g ∆ t
Poiché g > 1, allora ∆t′ > ∆t
La durata di un fenomeno non è più un invariante ma dipende dal sistema di riferimento
Definiamo tempo proprio t l’intervallo di tempo misurato da un osservatore per il quale gli eventi avvengono nello stesso punto dello spazio
Tempo proprio = Durata minima del fenomeno
Il tempo proprio t rappresenta la durata minima del fenomeno
– in tutti gli altri sistemi di riferimento la durata del fenomeno è maggiore
Il calcolo della dilatazione dei tempi
Attraverso le trasformazioni di Lorentz è possibile calcolare la dilatazione dei tempi
La contrazione delle lunghezze
La contrazione delle lunghezze nella direzione del moto
Nella meccanica classica la lunghezza di un segmento è invariante
Nell’ambito della relatività ristretta, un corpo che ha lunghezza L in un sistema di riferimento S solidale con il segmento, ha lunghezza L′ nel sistema S′ in moto rispetto a S con velocità in modulo uguale a v e direzione parallela al segmento
La relazione tra L’ ed L è
Poiché g > 1, allora L′ < L
Contrazione delle lunghezze
La contrazione delle lunghezze
Nei due sistemi di riferimento, gli assi x e x′ coincidono.
La lunghezza di un corpo non è più un invariante ma dipende dal sistema di riferimento
La lunghezza della sbarra misurata nel sistema di riferimento in cui la sbarra è in quiete è detta lunghezza propria. In conclusione:
La contrazione delle lunghezze
Né la durata di un fenomeno né la lunghezza di un corpo sono invarianti relativistici
Invarianza delle dimensioni trasversali
Dalle trasformazioni di Lorentz si ricava che
Le dimensioni di un corpo perpendicolari alla direzione del moto relativo di due sistemi inerziali sono invarianti nei due sistemi
Se così non fosse si creerebbero situazioni paradossali
Se le dimensioni di un corpo si contraessero anche in direzione perpendicolare rispetto al suo moto, il corpo A potrebbe passare o meno dall’anello B, a seconda del sistema di riferimento: sarebbe un paradosso.
L’invariante spazio-temporale e il principio di causalità
Lunghezza propria, tempo proprio e velocità della luce sono gli invarianti relativistici che sostituiscono lo spazio e il tempo assoluto newtoniano
Esiste un altro invariante legato al problema del rapporto di causalità tra due eventi
Eventi causalmente connessi: Dati due eventi caratterizzati da due coppie di valori x e t misurati nel sistema S, A(x1; t1) e B(x2; t2), essi si dicono causalmente connessi se la distanza Dx = |x2 - x1|che li separa è minore o uguale allo spazio percorso dalla luce nell’intervallo di tempo Dt = |t2 - t1|
Dx ≤ cDt
Se viceversa Dx > cDt, allora i due eventi A e B sono causalmente non connessi
Passato, presente e futuro nella relatività
Rappresentazione grafica degli eventi causalmente connessi
L’invariante spazio-temporale e il principio di causalità
Per semplicità ci limitiamo a rappresentare uno spazio a due sole dimensioni, una spaziale, sull’asse x, e una temporale, sull’asse y. Sempre per rendere il diagramma più semplice, poniamo la velocità della luce c = 1.
L’osservatore O è collocato nell’origine egli assi, che rappresenta l’evento (0,0) ovvero l’evento (qui, ora)
I segnali possibili devono viaggiare a velocità inferiori a quelle della luce e quindi devono corrispondere a rette che si trovano all’interno delle due regioni ‘passato’ e ‘futuro’.
Poiché non sono possibili segnali più veloci della luce, le regioni laterali denominate ‘presente’, non sono raggiungibili con segnali e quindi corrispondono a eventi non causalmente connessi con 0.
DOMANDA: Che cosa pensa un altro osservatore inerziale O’ della connessione causale stabilita dall’osservatore 0?
EVENTI CAUSALMENTE CONNESSI CON L’OSSERVATORE 0
O
RISPOSTA: Tutti gli osservatori inerziali concordano sul tipo di relazione causale che lega due eventi
L’invariante spazio-temporale
Definiamo intervallo spazio-temporale l’espressione
(Ds)2 = (Dx) 2 - c2 (Dt)2
Si può dimostrare che questa espressione è invariante
Generalizzando :
Eventi causalmente connessi e intervallo spazio-temporale:
Due eventi sono causalmente connessi se l’intervallo spazio-temporale che li separa è minore o uguale a 0
(Ds)2 = (Dx) 2 - c2 (Dt)2 ≤ 0
Se in un sistema di riferimento inerziale S due eventi sono causalmente connessi, lo sono anche in qualunque altro sistema inerziale S’ perché l’intervallo spazio-temporale Ds2 è invariante
L’effetto Doppler relativistico Ricordiamo in cosa consiste l’effetto Doppler per le onde sonore
Effetto Doppler per sorgente in moto e osservatore fermo
Lunghezza d’onda variabile per i punti prima della sorgente e dopo la sorgente lungo la direzione parallela al moto
LA FREQUENZA AUMENTA NEL VERSO DEL MOTO
EFFETTO DOPPLER PER SORGENTE FERMA E OSSERVATORE IN MOTO
L’effetto Doppler riguarda anche le onde elettromagnetiche ma con alcune differenze essenziali
– non esiste un mezzo di propagazione per le onde elettromagnetiche (l’etere non esiste)
– la luce e le onde elettromagnetiche si propagano alla stessa velocità c in tutti i sistemi di riferimento inerziali
– il fenomeno dipende solamente dalla velocità relativa della sorgente e del ricevitore e non vi è alcuna differenza tra il caso in cui a muoversi sia la sorgente e il caso in cui a muoversi sia il ricevitore
EFFETTO DOPPLER PER LE ONDE ELETTROMAGNETICHE
Consideriamo una sorgente di onde elettromagnetiche che emette una radiazione di frequenza f0
Se la sorgente e il ricevitore si allontanano di moto rettilineo uniforme con velocità relativa v
Se invece la sorgente e il ricevitore si avvicinano
f è la frequenza osservata
f0 è la frequenza emessa
Una conseguenza molto importante dell’effetto Doppler della luce è il red shift
– è lo spostamento verso il rosso (diminuzione della frequenza) delle righe spettrali della luce proveniente dalle stelle e dalle galassie più lontane da noi
Questa sistematica diminuzione della frequenza
– è stata interpretata come l’effetto dell’allontanamento delle galassie più lontane
– è alla base del modello cosmologico del Big Bang secondo cui l’universo è nato da una grande esplosione iniziale e da allora si espande indefinitamente
L’effetto Doppler relativistico
Gli spettri di emissione di una determinata sorgente si modificano in funzione del moto rispetto all’osservatore. In riferimento al caso di movimento nullo (a), si ha uno spostamento verso il rosso se la sorgente e l’osservatore si allontanano (b) e uno spostamento verso il blu se si avvicinano (c).
La dinamica relativistica
Nell’ambito della relatività ristretta
– sono ancora valide la legge di conservazione della quantità di moto classica e la legge fondamentale della dinamica classica?
– sono invarianti per trasformazioni di Lorentz?
La risposta a entrambe le domande è negativa
– è necessaria una revisione dei concetti di massa, forza, quantità di moto ed energia
La massa relativistica di un corpo non è un invariante ma è funzione della sua velocità
dove m0 è la massa del corpo a riposo, ovvero la massa misurata in un sistema in cui il corpo è in quiete
Per velocità v << c la formula relativistica coincide con la previsione classica
Quando la velocità di un corpo si avvicina a quella della luce, la sua massa tende a infinito
Andamento approssimativo del rapporto m/m0 in funzione del rapporto v/c , dove m0 è la massa del corpo a riposo, m la massa alla velocità v e c la velocità della luce. La linea rossa orizzontale corrisponde al valore calcolato in base alla meccanica newtoniana per la quale la massa è un invariante.
Mentre la massa a riposo di un corpo è invariante, non lo è più la sua inerzia
– dipende dalla velocità del corpo e quindi dal sistema di riferimento in cui è misurata
Dall’equazione della massa relativistica discende una nuova definizione relativistica della quantità di moto di un corpo
La quantità di moto relativistica si conserva
Ricaviamo inoltre una nuova legge fondamentale della dinamica che sostituisce quella newtoniana
In conclusione
– né la forza né l’accelerazione sono invarianti relativistici
– è necessaria una forza crescente per accelerare un corpo • questa forza tende a infinito quando la velocità del
corpo si avvicina a quella della luce
Nuova legge fondamentale della dinamica relativistica
L’energia relativistica Energia cinetica, energia a riposo, energia totale
L’energia totale di un corpo di massa a riposo m0 e velocità in modulo uguale a v è uguale a
L’energia a riposo del corpo è l’energia di un corpo in un sistema di riferimento in cui è in quiete ed è uguale a:
– tale energia è dovuta esclusivamente alla massa del corpo
Dato un corpo di massa a riposo uguale a m0 e velocità in modulo uguale a v, l’energia cinetica relativistica è uguale alla differenza tra l’energia totale e l’energia a riposo del corpo
Nella nuova visione relativistica l’energia totale
risulta
L’energia relativistica
Il processo di annichilazione elettrone-positrone è una reazione che avviene quando un elettrone incontra un positrone, cioè una particella identica all’elettrone ma con carica positiva: il processo di collisione genera la produzione di due fotoni, emessi in direzioni opposte. Il processo inverso prende nome di produzione di coppia
Legge di conservazione della massa-energia
«La massa è energia e l’energia possiede massa. Le due leggi della conservazione della massa e dell’energia vengono fuse dalla teoria della relatività in una sola: la legge di conservazione della massa-energia»
In un sistema isolato non si conserva in generale né l’energia cinetica né la massa a riposo
– la grandezza che si conserva è l’energia totale
E = mc2
L’energia relativistica
Una centrale nucleare e il fungo atomico prodotto dalla bomba sganciata su Nagasaki, al termine della Seconda guerra mondiale. In entrambi i casi l’energia nucleare proviene direttamente dalla massa delle particelle coinvolte nelle reazioni: la massa dei prodotti finali è minore della massa del materiale fissile che dà origine alla reazione. Il “difetto di massa”, ovvero la differenza tra la massa dei prodotti e la massa del materiale iniziale, si trasforma in energia secondo la relazione E = mc2
L’invariante energia-quantità di moto
Per un corpo di massa a riposo m0 si definisce una nuova quantità invariante
m02c4 = E2 - q2c2 Invariante energia-quantità di moto
Poiché un’onda elettromagnetica trasporta energia, possiamo associare a un’onda di energia E che viaggia alla velocità c anche una quantità di moto q data dalla relazione
quantità di moto della radiazione
É quindi possibile dare un significato all’energia e alla quantità di moto del fotone, una particella con massa a riposo nulla
Si apre la strada all’interpretazione corpuscolare della radiazione elettromagnetica