Daa Pertemuan 12

  • View
    139

  • Download
    5

Embed Size (px)

Text of Daa Pertemuan 12

1

DESAIN & ANALISIS ALGORITMA24 June 2008

PERTEMUAN 12

3. Metode Decrease-and-Conquer2

Teknik ini didasarkan pada ekploitasi hubungan antara solusi dari cuplikan sebuah permasalahan dengan solusi dari cuplikan yang lebih kecil dari permasalahan yang sama. Jika hubungan tersebut telah dibuat, maka dapat dieksploitasi dengan cara top-down (rekursif) atau bottomup (non-rekursif). Ada 3 variasi utama dari teknik ini:

Decrease by a constant (ukuran berkurang dengan konstanta yang sama untuk tiap iterasi, biasanya berkurang 1) Decrease by a constant factor (berkurang dengan faktor konstan yg sama, biasanya 2 sehingga permasalahan mengecil hingga separuhnya) Variable size decrease (berkurang dengan nilai yang bervariasi, tiap iterasinya)

24 June 2008

3.1. Decrease by a Constant3

Ukuran dari cuplikan permasalahan berkurang dengan konstanta yang sama pada tiap iterasi. Biasanya konstanta ini = 1. Contoh: masalah perhitungan eksponensial an untuk n bilangan integer positif. Hubungan antara solusi untuk permasalahan berukuran n dengan yg berukuran n-1 didapat dengan rumus: an = an-1. a Sehingga fungsi f(n)=an dapat dihitung dengan cara top-down rekursif: f(n-1) . a f(n) = a jika n = 1 atau dengan cara bottom-up, yakni dengan mengalikan a dengan dirinya sendiri sebanyak n-1 kali24 June 2008

jika n >1

Decrease by a Constant (lanjutan)4

Problem of size n

Subproblem of size n-1

Solution to the subproblem

Solution to the original problem24 June 2008

3.1.1. Insertion Sort5

Merupakan algoritma sorting yang telah dibahas pada pertemuan ke-6 untuk mengurutkan array A[0n-1]. Teknik ini mengasumsikan bahwa permasalahan yg berukuran lebih kecil (A[0n-2]) sudah terurut, sehingga untuk mengurutkan seluruh elemen (A[0n-1]) dilakukan dengan menyisipkan elemen A[n-1] ke posisi yang benar dengan menggunakan salah satu dari 3 cara berikut: Mencari dari kiri ke kanan sampai ditemukan elemen yg A[n-1] dan memasukkan elemen A[n-1] di sisi kiri elemen tersebut. Mencari dari kanan ke kiri sampai ditemukan elemen yg A[n-1] dan memasukkan elemen A[n-1] di sisi kanan elemen tersebut. Menggunakan teknik binary search untuk mendapatkan posisi yang tepat untuk memasukkan elemen A[n-1].

24 June 2008

Insertion Sort (lanjutan)6

Contoh:

Contoh sorting dengan Insertion Sort. Garis tebal memisahkan bagian yang sudah terurut dari elemen yang lain; elemen yang akan di-insert-kan adalah angka yg ditebalkan (bold)24 June 2008

3.1.2. Depth-First Search (DFS) dan Breadth-First Search (BFS)7

Depth-First Search

Merupakan salah satu metode pencarian buta (blind search) terhadap vertex-vertex pada sebuah graph. DFS dimulai dengan memilih sebuah vertex sembarang dan menandai vertex tersebut sebagai visited vertex (vertex yg sudah dikunjungi). Pada setiap iterasi, DFS akan mengunjungi vertex yg unvisited (blm dikunjungi) yg ber-adjacent dengan vertex yg sekarang sedang dikunjungi. Lanjutkan proses sampai ditemui dead end (vertex dimana tidak ditemui lagi vertex lain yang beradjacent dan unvisited). Saat ini terjadi, maka yg dilakukan adalah mundur ke vertex sebelumnya dan mencoba melanjutkan mengunjungi vertex yg unvisited lain. Algoritma berhenti ketika sudah kembali lagi ke vertex awal setelah sebelumnya menemui dead end. Gunakan stack untuk mempermudah penelusuran operasi DFS. PUSH vertex ketika vertex tersebut pertama kali dikunjungi dan POP vertex ketika pada vertex tersebut menemui dead end.24 June 2008

Depth-First Search (lanjutan)8

Berikut pseudocode untuk DFS:

ALGORITHM DFS(G) //Input: Graph G = (V, E) Vertex dan Edge //Output: Graph G dengan vertex yg sudah dinomori sesuai urutan //penemuannya dengan penelusuran DFS Tandai tiap vertex pada V dengan 0 (berarti unvisited) count 0 for setiap vertex pada V do if v ditandai dengan 0 dfs(v) dfs(v) //mengunjungi scr rekursif semua vertex yg unvisited yg terhubung dgn // vertex v & menomorinya sesuai urutan kunjungan count count + 1; beri nomor vertex v dgn count for tiap vertex w dalam V yg beradjacent dgn v do if w bernomor 0 dfs(w) 24 June 2008

9

PENELUSURAN DENGAN DFS24 June 2008

Breadth-First Search (BFS)10

Jika DFS bisa dianggap sebagai penelusuran bagi si petualang pemberani yang pergi sejauh mungkin dari kampung halamannya, maka BFS dapat dianggap sebagai penelusuran bagi si petualang yang berhati-hati. BFS menelusuri graph dengan cara mengunjungi semua vertex yang beradjacent dengan vertex awal, lalu melanjutkan penelusuran ke vertex unvisited lain yg berjarak 2 edge dari vertex yg sudah dikunjungi, dan seterusnya.24 June 2008

Breadth-First Search (BFS)11

Berikut pseudocode BFS:ALGORITHM BFS(G) //Input: Graph G = (V, E) //Output: Graph G dengan vertex yg sudah dinomori sesuai urutan penemuannya dgn BFS Tandai tiap vertex pada V dengan 0 (berarti unvisited) count 0 for setiap vertex pada V do if v ditandai dengan 0 bfs(v) bfs(v) //mengunjungi semua vertex yg unvisited yg terhubung dgn vertex v & menomorinya sesuai //urutan kunjungan count count + 1; tandai v dengan nilai count dan inisialisasi queue dg v while queue tidak empty do for tiap vertex w dalam V yg beradjacent dg vertex awal do if w bernomor 0 count count + 1; nomori w dengan count tambahkan vertex w ke queue hapus vertex awal dari queue

Penelusuran Graph dengan BFS. Nomor vertex menunjukkan urutan penelusuran graph dimulai dari root (1)12 24 June 2008

Latihan13

Telusuri graph berikut dengan metode DFS dan BFS

24 June 2008

14

3.2. Decrease-by-a-ConstantFactor

Merupakan teknik yang mengurangi permasalahan dengan faktor konstanta yg sama pada tiap iterasi, pada umumnya faktor konstanta ini = 2. BinarySearch juga termasuk dalam algoritma Decrease-by-a-Constant-Factor, karena BinarySearch mengurangi (sekaligus membagi) permasalahan menjadi setengahnya.24 June 2008

Problem

of size n

Subproblem of size n/2

Solution to the subproblem

Solution to the original problem

Decrease-by-a-constant-factor15 24 June 2008

16

3.2.1. Permasalahan Koin Palsu (Fake-Coin Problem)

Terdapat n buah koin, diketahui salah satunya adalah koin palsu. Dengan menggunakan timbangan, dapat dibandingkan berat koin (misal koin yg palsu akan lebih ringan dari koin asli). Bagaimana algoritma untuk menentukan koin yang palsu tersebut? Cara yg paling natural adalah dengan membagi koin menjadi 2 tumpukan, masing2 berisi n / 2 koin, menyisakan 1 koin, jika n ganjil. Timbang kedua tumpukan, perhatikan hasilnya:

Jika seimbang, berarti koin yg blm ditimbang adalah palsu. Jika tidak, lanjutkan penimbangan pada tumpukan yg lebih ringan24 June 2008

Fake-Coin Problem17

Walaupun kita membagi koin dalam 2 bagian, tetapi setelah satu penimbangan, kita dihadapkan pada problem yang berukuran setengah dari ukuran asal, sehingga ini termasuk teknik decrease-and-conquer. Relasi rekurensi untuk jumlah penimbangan yg dibutuhkan pada kasus worst case adalah:W (n) W ( n / 2) 1

untuk n>1, W(1)=024 June 2008

3.2.2. Josephus Problem18

Berasal dari nama sejarawan Yahudi, Flavius Josephus yang terlibat dalam revolusi Yahudi terhadap kerajaan Romawi (66-70). Sebagai jenderal, ia dapat menguasai kota Jotapata selama 47 hari, tetapi setelah kejatuhan kota tersebut, ia lari menyelamatkan diri bersama 40 pengikutnya ke sebuah gua. Disana, mereka bertekad untuk lebih baik mati daripada menyerah. Josephus menyarankan bahwa setiap orang, secara bergantian, harus membunuh rekan disebelahnya dengan menggunakan sebuah kapak dan menyerahkan kapak kepada rekan di sebelahnya lagi yang masih hidup, kemudian orang tsb juga membunuh rekan di sebelahnya, dan begitu seterusnya sampai semua orang terbunuh dan orang terakhir yang masih hidup harus bunuh diri. Josephus mendapat giliran terakhir, dan sebagai salah satu dari dua orang terakhir yang masih hidup, ia membunuh orang tersebut dan kemudian menyerahkan diri kepada bangsa Romawi. Bagaimana strategi Josephus agar ia menjadi orang yg terakhir dan menjadi satu-satunya yg selamat?24 June 2008

Josephus Problem (lanjutan)19

24 June 2008

Josephus Problem (lanjutan)20

Permasalahannya adalah menentukan nomor urut yg aman, yaitu J(n). Misal: Jika n=6, maka yg tereliminasi pada putaran pertama adalah posisi 2, 4, dan 6. Sedangkan posisi 3 dan 1 akan tereliminasi pada putaran kedua, sehingga posisi yg selamat adalah 5, sehingga J(n) = 5. Jika n=7, maka orang pada posisi 2, 4, 6, dan 1 tereliminasi pada putaran pertama. Pada putaran kedua, yg tereliminasi adalah posisi 5 dan 3, sehingga J(7) = 7. Jika n genap (misal n=2k), maka iterasi pertama akan mengurangi ukuran permasalahan menjadi setengahnya. Perbedaannya hanya pada penomoran posisi; misal, orang pada nomor posisi awal 3 akan menjadi nomor 2 pada iterasi kedua, orang pada nomor posisi awal 5 akan menjadi nomor 3, dan seterusnya. (Perhatikan gambar berikut ini).24 June 2008

Josephus Problem (lanjutan)21

12 61 5 41 (a) 21 32 61 52 7

11 21 32 41 (b)

Contoh Josephus problem untuk (a) n=6 dan (b) n=7. Nilai subskrip menunjukkan iterasi dimana orang pada posisi tsb dieliminasi. Solusinya adalah J(6)=5 dan J(7)=7.24 June 2008

Josephus Problem (lanjutan)22

Untuk n genap: Untuk

mendapatkan posisi awal seseorang, kalikan posisi baru dengan 2 dan kurangi dengan 1, sehingga: J(2k) = 2J(k) 1

Untuk n ganjil: Jika

n ganjil, maka n = 2k + 1. Iterasi pertama mengeliminasi semua orang pada posisi genap. Untuk mendapatkan posisi awal seseorang, kalikan posisi baru dengan 2 dan tambahkan dengan 1, sehingga: J(2k+1) = 2J(k) + 1.24 June 2008

Josephus Problem23

Kembali perm