dad I FUNDAMENTACIÓN DE LA MECÁNICA · 37º y 53º 45º 30º y 60º ... Tg = ab Tg = ba Ctg = ba Ctg = ab Sec = hb ... Para calcular la dirección del vector en el plano se usa

Física para las ciencias de la vida

183

Vista panorámica del moderno edificio de las escuelas y aulas de Ingenierías de la USS

(Foto tomada de Imagen Institucional – USS)

FUNDAMENTACIÓN DE LA

MECÁNICA U

nid

ad I

“El azar no existe; Dios no juega a

los dados”.

Albert Einstein (1879-1955)

Científico alemán.

Capacidades

- Compara la diferencia entre magnitudes escalares y vectoriales, haciendo

uso adecuado de las reglas de operación en concordancia con lo que ocurre

en nuestro entorno.

- Comprende la clasificación de las magnitudes físicas, según su naturaleza, y

su uso en el estudio de los fenómenos naturales, reconociendo la importancia

del SI como una forma de desarrollar armónicamente la ciencia.

- Aplica los principios fundamentales del movimiento rectilíneo uniforme y

variado en la solución de problemas relacionados al movimiento de un

cuerpo.

- Explica la aceleración de la gravedad como vector a favor y en contra del

movimiento vertical.

- Resuelve situaciones problemáticas aplicando las diferentes leyes del

movimiento en dos dimensiones.


184


185

Tema: 1

INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA

La Física y sus aplicaciones en el quehacer cotidiano

http://www.escueladeverano.cl/contenido/cursos/area1/imagen.jpg

Podemos decir, que la Física es una ciencia natural y experimental que estudia la

estructura, las propiedades de la materia (mientras no cambie su composición) y todas la

leyes que gobiernan sus interacciones con agentes externos, para lo cual usa el método

experimental, elaborando modelos matemáticos que permitan su descripción, y así tratar

de explicar el ¿Por qué de las cosas sobre la materia?

Como es lógico, para comprender la naturaleza del por qué de las cosas es

imprescindible tener un conocimiento básico de matemática, siendo una valiosa

herramienta de trabajo de la Física.

1.1. Nociones de matemática elemental aplicadas a la física

Antes del siglo XVI la ciencia giraba en torno a lo que habían desarrollado en gran

parte los filósofos griegos y no había progresado tanto como lo es en nuestros días. En

gran parte se debe al desarrollo de la matemática, sobre todo cuando se descubrió que

era posible analizar y describir la naturaleza por medio de ella. Cuando, expresamos las

ideas de la ciencia en términos matemáticos no hay antigüedad. No tienen esos “dobles

sentidos” que con tanta frecuencia confunden las discusiones de ideas expresadas en el

Los conceptos y principios

fundamentales de la ciencia son

invenciones libres del espíritu

humano.

Albert Einstein Científico alemán.

La física se está volviendo tan

increíblemente compleja que

cada vez lleva más tiempo

preparar a un físico. De hecho

lleva tanto tiempo preparar a un

físico para que llegue al punto

en que entienda la naturaleza de

los problemas físicos, que

cuando llega ya es demasiado

viejo para resolverlos.

Eugene Wigner.

Físico húngaro-estadounidense.


186

lenguaje común. Cuando los descubrimientos acerca de la naturaleza se expresan

matemáticamente es más fácil verificarlos y refutarlos por medio del experimento. Los

métodos de la matemática y de la experimentación condujeron a enorme éxito de la

ciencia.

1.1.1. Notación científica

Se utiliza para expresar cantidades astronómicas o diminutas, como potencias de diez,

siendo más fácil trabajar de esta manera en el intercambio de información científica.

A) 3800 = 3,8 x 103 D) 13 500 = ………………..

B) 0,0125 = 1,25 x 10-2 E) 0,000478 = ………………..

C) 0,00000569 = …………….. F) 270, 6 = ………………..

1.1.2. Despejando fórmulas

En las siguientes ecuaciones despejar “x”

A) 4x = 8 x = 2 B) x T2 = a x = ……….

C) xm + n = m x = ………. D) x b

m2

x = ………

E) y2 b = a y = ……… F) z2a + b = a z = ……...

1.1.3. Algunos triángulos rectángulos notables

37º y 53º 45º 30º y 60º

16º y 74º 15º y 75º 21º y 69º


187

1.1.4. Tabla de funciones trigonométricas

30º 60º 45º 37º 53º 0º 90º 180º 16º 74º

sen 2

1

2

3

2

2

5

3

5

4 0 1 0

25

7

25

24

cos 2

3

2

1

2

2

5

4

5

3 1 0 -1

25

24

25

7

tg 3

3 3 1

3

4

4

3 0 0

24

7

7

24

ctg 3 3

3 1

4

3

3

4 0

7

24

24

7

sec 2 3

3 2 2

5

4

5

3 1 -1

25

24

25

7

csc 2 2 3

3 2

5

3

5

4 0 1

25

7

25

24

1.1.5. Trigonometría elemental

Razones trigonométricas:

Con respecto a Con respecto a

Sen α = ha Sen β = hb

Cos α = hb Cos β = ha

Tg α = ba Tg β = ab

Ctg α = ab Ctg β = ba

Sec α = bh Sec β = ah

Csc α = ah Csc β = bh

Ley de Cosenos: Ley de senos:

2 2x a b 2abcos

a b c

sen sen sen


188

1.2. Análisis Vectorial

Aunque nos suene redundante, pero

esta es otra rama de la Matemática aplicada

a la Física cuyo propósito es estudiar las

distintas formas en que se pueden operar

aquellos fenómenos físicos en donde se

presentan las magnitudes vectoriales.

Localización de un sismo utilizando mecanismos vectoriales

(Imagen tomada de exposición de clase CEPRE – USS)

1.2.1. Magnitud

Es todo aquello que admite

comparación con otra de su misma

especie y es susceptible a ser medido

cuantitativamente.

A) Magnitudes Escalares:

Son aquellas que se expresan a través de dos elementos.

Valor Numérico Unidad de medida

Ejemplos: longitud, masa, tiempo, trabajo, energía, etc.

B) Magnitudes Vectoriales:

Son aquellos que se expresan a través de tres elementos.

Valor Numérico Unidad de medida Dirección

Ejemplos: desplazamiento, velocidad, aceleración, fuerza, empuje, etc.

1.2.2. Vector

Ente matemático que gráficamente se representa por un segmento de recta orientado

(flecha) y que en Física utilizamos para representar a las magnitudes físicas

vectoriales.

Ejemplo:

Estoy satisfecho con el misterio de la eternidad de la

vida y con el conocimiento, el sentido, de la

maravillosa estructura de la existencia. Con el

humilde intento de comprender aunque más no sea una

porción diminuta de la Razón que se manifiesta en la

naturaleza.

Albert Einstein.


189

A

línea de acción

y

x

A) Notación

Se representa con cualquier letra del

alfabeto con una pequeña flecha

( ) en la parte superior de la letra.

B) Elementos

Módulo Intensidad o Magnitud: Es la longitud del vector. Si el vector esta

representando una magnitud física vectorial, el módulo indicará el valor de la

magnitud vectorial.

Dirección: Está dada por la línea de acción del vector.

Sentido: Es la orientación del vector.

Observación:

A : Se lee, Vector A. y | A | : Se lee, módulo del vector A.

1.2.3. Clasificación de los vectores

A) Vectores Colineales 1: son aquellos vectores que están contenidos en una

misma línea de acción o paralelas.

B) Vectores Concurrentes 1: son aquellos vectores cuyas líneas de acción, se

cortan en un solo punto.

C) Vectores Coplanares 1: son aquellos vectores que están contenidos en un

mismo plano.

D) Vectores Paralelos o Codirigidos: Aquellos vectores con igual dirección y

sentido.

E) Vectores Antiparalelos o Contradirigidos: Aquellos vectores con igual

dirección y diferente sentido.

F) Vectores Iguales1: Aquellos que tienen el mismo módulo, dirección y sentido.

G) Vectores Opuestos 1: Aquellos que tienen el mismo módulo y dirección pero

sentido opuesto.


190

1.2.4. Aplicaciones

Para indicar fuerzas aplicadas a un cuerpo

Para indicar la velocidad de un cuerpo o su aceleración:

1.2.5. Operaciones con vectores

A) Suma de vectores colineales y paralelos.

Cuando la línea de acción de los vectores es la misma o paralelas. El

Módulo de la resultante se obtiene de la suma algebraica de los módulos de

los vectores, teniendo en consideración los sentidos.

Ejemplos:

a) Resultante máxima:

b) Resultante mínima:

A B Rmáx = A + B

A B

R min = A - B


191

B) Suma de vectores cuando forman un ángulo entre si.

a) Método del Paralelogramo.

Para hallar el vector resultante se une a los vectores por el origen para

luego formar un paralelogramo, donde la diagonal que parte del origen de

los vectores dados indica el vector resultante y para calcular su modulo

se.usa la formula.

2 2R A B 2ABCos

CASOS ESPECIALES PARA EL MÉTODO DEL PARALELOGRAMO

A

A B

B

BAR

3

A

R

120º

A R=A

1

A

60º A

R

R= A 3

2

A R

A

R= A 2

4

A R

B

R= A22 BA

5

An

R

R= n cos222 ABBA

Bn

6 A

R

A

R= 2 A cos


192

C) Suma de vectores por el método del polígono

Se unen los vectores uno a continuación del otro manteniendo constante sus

tres elementos (modulo, dirección y sentido) luego se une el origen del

primero con el extremo del último y éste será el vector resultante.

D) Suma de vectores por descomposición rectangular.

Dado un vector se puede descomponer en dos vectores llamados

componentes rectangulares donde:

xV Componente de V en el eje x.

yV Componente de V en el eje y.

Siendo:

Vx = V Cos θ Vy = VSen θ

Para calcular el modulo del vector dado. Conociendo sus componentes se

debe usar la siguiente relación:

V = 2 2x yV V

Para calcular la dirección del vector en el plano se usa la siguiente relación:

y

x

Vtgθ

V

Cuando en el plano actúan dos o más vectores, se descomponen, luego se

suman los vectores “x” e “y” respectivamente, para finalmente usar la

siguiente relación:

2 2x yR V V


193

Orientaciones:

1. A continuación se le presenta una lista de ejercicios, en la cual el docente va a guiar el adecuado desarrollo aplicando el criterio teórico antes visto.

2. De acuerdo a lo estudiado realizar un informe de los ejercicios no desarrollados. La presentación depende de tu creatividad.

1. Expresar en notación científica:

a) 0,00021500 b) 40000

0,00002

a) 2,15 x 104 ; 5 x 10

-10

b) 2,5 x 10-4

; 5 x 10-8

c) 2,15 x 10-4

; 5 x 10-10

d) 1 ; 5 x 10-10

e) 2,5 x 10-6

; 1

2. Ronald un asesor de finanzas muy eficiente

gana, 0,144 mega dólares durante 10 años. ¿Cuánto gana al mes? (en dólares). a) 2000 b) 1200 c) 4410 d) 1440 e) 4400

3. Expresar en notación científica la masa de un átomo de carbono si este equivale aproximadamente a 20 000 electrones. Masa

de un electrón = 9 x 10 – 31

kg.

a) 2 x 10 – 26

kg b) 2 x 10 – 13

kg

c) 2 x 10 – 10

kg d) 2 x 10 – 40

kg e) 2 x 10

– 36 kg

4. Determinar los valores de x e y de la siguiente

ecuación exponencial:

ax.b

-y = (a

-3.b

-2)4. (a

-2.b

5)-2

a) -8; 10 b) 8; -18 c) -8; 18 d) 10; 18 e) 5; 12

5. Determinar los valores de “t” que satisfacen la siguiente ecuación:

21 7t t 5 0

2 2

a) 5; 4 b) -5; -2 c) 5; 2 d) 6; 3 e) 7; 4

6. Determinar la longitud de la altura del triangulo ABC, isósceles relativa a AC, si se sabe que:

AB = BC = 26m y AC = 20m a) 25m b) 24m c) 23m d) 22m e) 21m

7. Hallar el modulo del vector resultante: a) 2 m

b) 3 m

c) 4 m

d) 5 m

e) 7 m

8. La máxima resultante de dos cuerpos vectoriales es 21 y su mínima resultante es 3. ¿Cuál será la resultante de los cuerpos cuando formen 90º? a) 10 b) 12 c) 14 d) 15 e) 18

9. Hallar el módulo de la resultante en la figura:

5

4º37cos

a) 23 km

b) 53 km c) 7 km d) 3 km

e) 54 km

10. Hallar el módulo de la resultante en la figura a) 4

b) 34

c) 32 d) 8

e) 38

11. Hallar el módulo de la resultante en la figura a) 15 b) 5

c) 35

d) 34

e) 32

2m

1m

2m

6m 4m

60º

4 m

4 m

60º

2

35

235

ACTIVIDAD Nº 1

37º

2 km

5 km


194

12. En la figura hallar el módulo del vector resultante, si la figura mostrada es un trapecio

a) 2

b) 4

c) 6

d) 8

e) 10

13. Las bases del trapecio son 2 y 6. Hallar el módulo del vector resultante. a) 2

b) 4

c) 6

d) 8

e) 10

14. Determinar la suma de todos los vectores que se muestran en la figura:

a) D b) 2 D c) 3 D

d) 4 D e) 5 D

15. Los puntos A, B y C determinan un triángulo equilátero de lado 4 m. Hallar el módulo del vector resultante. a) 2 m

b) 4 m

c) 6 m

d) 8 m

e) 0

16. Determinar el módulo del vector resultante de los vectores mostrados en la figura: a) 13m b) 18m c) 26m d) 30m e) 45m

17. En el siguiente sistema de vectores hallar el módulo del vector resultante, si el lado de cada cuadrado mide “1m” a) 0 b) 4 m c) 5 m d) 8 m e) 10 m

18. El módulo del vector V es 100N. Hallar el módulo de su componente en el eje de las ordenadas. a) 50N

b) 350 c) 60 d) 80 e) 90

19. Calcular el módulo de la resultante. a) 4 cm b) 5

c) 24 d) 8

e) 23

20. Hallar el módulo de la resultante: a) 10 N b) 11 N c) 12 N d) 13 N e) 14 N

x

y

10N

37º

6N

3N

x

y

1 cm 7 cm

5 cm

3 cm

A

B

A

B

3

5

V

30º O x

y

A

B C

7m 12m

5m


195

Tema: 2

ANÁLISIS DIMENSIONAL

Alumnos CEPRE – Laboratorio de mecánica de suelos mostrándose instrumentos de medición


2.1 Medición

Es la operación que realiza el hombre para determinar cuantas veces una

determinada “unidad de medida” está contenida en una cantidad de su misma especie,

Ejemplo: 3 Kelvin.

2.2 Clases de medición

El proceso de medición se puede realizar de dos maneras:

Vale más saber alguna cosa de todo, que

saberlo todo de una sola cosa.

Blaise Pascal (1623-1662)

Matemático, físico, filósofo y escritor francés.

Quien nunca ha cometido un error nunca ha

probado algo nuevo.

Albert Einstein (1879-1955)



196

2.2.1 Medición Directa

Cuando se compara una unidad física (material) con una magnitud de su misma

especie.

2.2.2 Medición Indirecta

Cuando el valor de una cantidad se halla por medio de ecuaciones físicas o

matemáticas, no por comparación directa.

2.3 Unidad de medida

Es una cantidad fija de una magnitud elegida como patrón de comparación,

Ejemplo: el metro lineal (m)

2.4 Cantidad

Es una porción de una magnitud, Ejemplo: Cantidad (2 Kelvin); Magnitud

(Temperatura Termodinámica)

2.5 Magnitud

Es todo aquello que se puede medir, Las magnitudes son inmateriales, sin

embargo caracterizan a los objetos materiales y a los fenómenos físicos, químicos,

biológicos, etc.

2.5.1 Magnitudes fundamentales

Son propiedades de la materia que no se pueden expresar en función de otras

magnitudes.

2.5.2 Magnitudes derivadas

Son propiedades de la materia que pueden ser expresadas en función de las

magnitudes fundamentales.

2.5.3 Magnitudes auxiliares

Son propiedades que no pueden ser expresadas en función de otras magnitudes, no

pueden ser fundamentales porque participan más como herramientas de cálculo que

como características de la materia, estas son: el ángulo sólido y el ángulo plano.


197

2.6 Sistema de unidades

Está conformado por el conjunto de unidades de medida y sus correspondientes

sub unidades, empleadas por diferentes sociedades a través del tiempo.

Entre los sistemas más conocidos tenemos el Sistema Absoluto (con sus sub

sistemas: CGS, MKS, FPS), el Sistema Técnico y el Sistema Internacional, usado

actualmente por todos los países

Tabla 2.1. Principales equivalencias entre unidades

Tabla 2.2. Sistema Internacional de Unidades (S. I.)

MAGNITUD FUNDAMENTAL UNIDAD BÁSICA

NOMBRE SÍMBOLO NOMBRE SÍMBOLO

Longitud

Masa

Tiempo

Temperatura termodinámica

Intensidad de corriente eléctrica

Intensidad luminosa

Cantidad de sustancia

L

M

T

θ

I

J

N

metro

kilogramo

segundo

kelvin

ampere

candela

mol

m

kg

s

k

A

cd

mol

MAGNITUD AUXILIAR UNIDAD BÁSICA ABREVIATURA

Ángulo Plano

Angulo Sólido

Radián

estereorradián

rad

sr

LONGITUD MASA FUERZA VOLUMEN

1 m = 100 cm 1 kg = 1000 g 1 N = 105 dinas 1 l = 1 dm3

1 km = 1000 m 1 kg = 2,2 lb 1 kgf = 2,2 lbf 1 ml = 1 cm3

1 pulg = 2,54 cm 1 utm = 9,8 kg 1 kgf = 9,8 N 1 m3 =1000 dm3

1 pie = 12 pulg 1 slug = 1,49 utm 1 N = 1,49 P 1 m3 = 106 cm3

1 pie = 0,305 m 1 slug = 32,12 lb 1 lbf = 32,12 P

AREA CARGA ELECT. TRABAJO TIEMPO

1 m2 = 104 cm2 1 C = 3 x 109 stc 1 kgm = 9,8 J 1 h = 60 min

1 Hectárea= 104 m2 1J = 107 ergios 1 h = 3600 s

1 km2 = 106 m2 1 día = 86400 s


198

Tabla 2.3. Prefijos usados en el sistema internacional (S. I.)

Prefijo Símbolo Factor por el que se

multiplica las unidades Nombre del valor numérico

MÚ

LT

IPL

OS

Yotta Y 1024 Cuatrillón

Zetta Z 1021 Mil trillones

Exa E 1018 Trillón

Peta P 1015 Mil billones

Tera T 1012 Billones

Giga G 109 Mil millones

Mega M 106 Millón

Kilo k 103 Mil

Hecto h 102 Cien

Deca da 101 Diez

SU

BM

UL

TIP

LO

S

Deci d 10-1 Décima

centi c 10-2 Centésima

mili m 10-3 Milésima

micro u 10-6 Millonésima

nano n 10-9 Mil millonésima

pico p 10-12 Billonésima

femto f 10-15 Mil billonésima

atto a 10-18 Trillonésima

zepto z 10-21 Mil trillonésima

yocto y 10-24 Cuatrillonésima

2.6.1 Análisis Dimensional

Teniendo como criterio de clasificación SU ORIGEN, pueden ser:

Magnitudes Fundamentales

Magnitudes Derivadas.

Teniendo como criterio de clasificación SU NATURALEZA, pueden ser:

A. Magnitudes Escalares

Son aquellas que se determinan solamente con una cantidad (de unidades) y

la unidad (patrón); ejemplo: el tiempo (3 horas), la temperatura (18 ºC), el

área (16 m2), el volumen (2 m3), etc. Este tipo de magnitudes se pueden


199

sumar algebraicamente y son considerados “tensores de orden cero” es decir

sin dirección y sin un sentido.

B. Magnitudes Vectoriales

Son aquellas que se manifiestan en una sola dirección y se determinan

indicando: la cantidad (de unidades), la unidad (patrón), la dirección y el

sentido; ejemplo: la fuerza (50 N, dirección N-S, hacia el Sur). Estas

magnitudes no se pueden sumar algebraicamente, para determinar el vector

suma de varios vectores sumandos existen métodos apropiados que los

estudiaremos posteriormente, los vectores son considerados como “tensores

de primer orden” porque poseen una dirección y un sentido.

C. Magnitudes Tensoriales

Son aquellas que se manifiestan en muchas direcciones, siempre

perpendiculares a las superficies afectadas; dentro de las magnitudes

tensoriales de segundo orden empleadas en Física e Ingeniería tenemos la

presión (Presión atmosférica y Presión Hidrostática) y los esfuerzos axiales y

tangenciales.

2.7 Ecuación Dimensional

Es aquella que mediante una igualdad relaciona a las magnitudes derivadas con

las fundamentales que la conforman.

En el siguiente cuadro veremos la fórmula dimensional de las principales

magnitudes derivadas. ( El símbolo [A] se lee “ecuación dimensional de A”)

Tabla 2.4. Magnitudes fundamentales

MAGNITUD UNIDAD DE MEDIDA ECUACIÓN DIMENSIONAL

- Longitud

- Masa

- Tiempo

- Temperatura termodinámica

- Intensidad de corriente eléctrica

- Intensidad luminosa

- Cantidad de sustancia

metro (m)

kilogramo (kg)

segundo (s)

kelvin (K)

Amperio (A)

candela (cd)

mol (mol)

L

M

T

θ

I

J

N


200

Tabla 2.5. Magnitudes auxiliares

MAGNITUD UNIDAD DE MEDIDA ECUACIÓN DIMENSIONAL

-Ángulo plano

-Ángulo sólido

radián (rad)

estereorradián (sr)

1

1

Tabla 2.6. Algunas magnitudes derivadas

MAGNITUD UNIDAD DE MEDIDA ECUACIÓN

DIMENSIONAL

- Área

- Volumen

- Densidad

- Caudal

- Periodo

- Frecuencia

- Velocidad angular

- Velocidad lineal

- Aceleración lineal

- Fuerza

- Cantidad de movimiento

- Impulso

- Trabajo y/o Energía

- Potencia

- Presión

- Cantidad de calor

- Capacidad eléctrica

- Voltaje

- Campo eléctrico

metro cuadrado (m2)

metro cúbico (m3)

kilogramo / metro cúbico (kg/m3)

metro cúbico / segundo (m3/s)

segundo (s)

hertz (s–1)

radian / segundo (rad/s)

metro /segundo (m/s)

metro / segundo al cuadrado (m/s2)

newton (N)

kilogramo – metro/ segundo (kg - m/s)

newton segundo (N.s)

joule (J)

watts (W)

pascal (Pa)

joule (J)

Faradios (F)

voltio (V)

Newton / Coulomb (o V/m)

L2

L3

L-3M

L3T-1

T

T-1

T-1

LT-1

LT-2

LMT-2

LMT-1

LMT-1

L2MT-2

L2MT-3

L-1MT-2

L2MT-2

L-2M-1T4I2

L2MT-3I-1

LMT-3I-1

Para determinar la fórmula dimensional de la magnitud desconocida, es decir, para

resolver la ecuación dimensional debemos tener en cuenta las siguientes reglas:

o Las magnitudes físicas NO CUMPLEN con las reglas de la suma ni de la resta.

Ejemplo: si sumamos 3 m de alambre (L) + 2 m de alambre (L) = 5 m de alambre

(L); es decir L + L = L


201

o Todos los números reales en sus diferentes formas, son adimensionales (no

tienen dimensiones) por lo que se le asigna una fórmula dimensional igual a la

unidad; ejemplos: [Log 5] = 1, [sen 30] = 1, [3/4] = 1

o Si en una ecuación dimensional aparecen magnitudes físicas en el exponente, se

debe entender que la ecuación dimensional de dichas magnitudes es la unidad;

esto se debe a que por ejemplo, es posible elevar 23 , pero si quisiéramos elevar

23 kg esto sería imposible, carece de significado físico: sin embargo cabe señalar

que: pero

2.8. Principio de Homogeneidad

Afirma que: “Toda ecuación será dimensionalmente homogénea cuando todos los

términos que la conforman presentan las mismas magnitudes afectadas exactamente de

los mismos exponentes” así tenemos que:

Si [A] + [X] – [C] = [D] + [E] es dimensionalmente correcta, se cumple que:

[A] = [X] = [C] = [D] = [E]

1.8-1


202

Orientaciones:



1. No es una unidad de base del Sistema

Internacional: a) Kelvin b) ampere c) metro d) candela e) newton

2. La aceleración, el volumen, la densidad y la presión entre otros, están comprendidos entre las denominaciones: a) Magnitudes fundamentales b) Magnitudes ecuacionales c) Magnitudes derivadas d) Magnitudes escalares e) Magnitudes vectoriales

3. Señale con V (Verdadero) o F(falso) I. El trabajo y la velocidad angular tienen la

misma ecuación dimensional II. La velocidad angular y la frecuencia tiene

la misma ecuación dimensional III. El impulso y la cantidad de movimiento

tienen la misma ecuación dimensional a) FVV b) FFV c) FVF d) VFF e) FFF

4. Las afirmaciones correctas son: I. Las ecuaciones dimensionales se expresa

solamente en función de L, M y T. II. El peso y la masa tienen la misma

ecuación dimensional III. El trabajo y la energía tienen la misma

ecuación dimensional a) Sólo II b) I y II c) II y III d) Todas e) Sólo III

5. Si se cumple: A + B = 1/A; entonces podemos afirmar que: I. A y B son funciones trigonométricas II. A y B son magnitudes adimensionales III. No se sabe que tipos de magnitudes son A

y B a) Sólo I es verdadero b) Sólo II es cierto c) Sólo III es cierto d) I y II son verdaderos e) II y III son ciertos

6. En la relación de operaciones dadas cuál (es) no es procedente realizar dimensionalmente. I. 20 kg – 60 g + 800mg = II. 20 ºC + 60ºF – 60 K = III. 6 m – 60 cm + 44 mm = IV. 20 ºC + 60 cm

3 + 8 g/cm

3

V. 6 joule – 4 Kwh + 0, 24 calorías = a) Sólo V b) I, II c) I, IV d) Sólo IV e) IV; V

7. Si efectuamos la siguiente operación (sustracción) en el análisis dimensional, el resultado será:

0,2 -

1a

a

Donde: a, a1 = aceleración a) LT

-2 b) LT

-1 c) 1

d) LT e) L

8. Calcular la dimensión de “G” sabiendo que la ecuación es homogénea

2BC3G8

Donde: B: trabajo; C: velocidad de la luz a) ML

2T

-2 b) ML

4T

-2 c)

ML

4T

-4

c) ML-4

T-4

e) ML3T

-3

9. En la siguiente expresión homogénea

determinar las dimensiones de “d”

A + BN2 = Fd

Donde: B: masa; N: longitud; F: fuerza a) LT

-2 b) LT

2 c) L

2T

-2

d) L2T

2 e)

LT

10. Hallar [ P ]. Si, T: longitud

a) Θ b) T c) LT d) L e) M

P = TU

C U + cos 60

+

ACTIVIDAD Nº 2


203

11. Si: M2L

2T

-2 = [A] + MLT [B] – [C], indicar

verdadero o falso ( ) [A] = M

2L

2T

-2

( ) [C] = M2L

2T

-2

( ) [B] = MLT-3

a) VVV b) VFF c) VFV d) FFF e) FFV

12. Si la ecuación indicada es correcta, hallar [ TIO ]

AMOR + ODIO = TODO Donde: A: longitud R = T: tiempo M: masa D: altura a) TM b) MT

2 c) MT

-1

d) M2T e) MT

-2

13. Indicar verdadero (V) o falso (F) según

corresponda: ( ) La dimensión de la energía calorífica es

ML2T

-2

( ) La dimensión del peso MLT-2

( ) La dimensión de la aceleración de la

gravedad (g = 9,8m/s2) es LT

-2

( ) La dimensión de la velocidad del sonido es LT

-1

a) VVVV b) VFFV c) VVFV d) VVFF e) VFFF

14. Si la siguiente expresión es homogénea:

Chg2

V

a2

P 2

Calcular la dimensión de “a” si: P: presión h: altura a) ML

-2T

-2 b) ML

2T

-2 c) ML

-4T

-2

d) ML-3

T-2

e) ML-2

T2

15. Si A = Área, B=volumen, C=velocidad, hallar

[z], de:

Z = C)CosSen(

SenBA2

a) LT b) L

6T c) L

2T

-2

d) L-1

T2 e) LT

5

16. La presión que se obtiene en una máquina

industrial es:

P = Qa.

b. T

c

Q: Calor

: densidad T: Tiempo Halle: a + b + c a) 1/5 b) 1 c) –1/5 d) 5 e) -5

17. Determinar , si:

FvE

2

Donde: E = trabajo, v = velocidad, F = fuerza a) ML b) M

-1 L

-1 c) LT

-2

d) LT e) ML-1

18. En la ecuación dimensionalmente correcta

determine [ z ] si: GV = X

ZV

Donde: V = Volumen a) L b) L

2 c) L

-2

d) L3 e) L

-3

19. Si: V = A + BT + CT

2

Donde: V = Velocidad; T = Tiempo

Hallar:

AC

B a) LT

-1 b) LT

-2 c) LT

d) L e) T

20. Si en un sistema de unidades CEPRE, se consideran como unidades fundamentales de masa (M), velocidad (V) y el tiempo (T); calcular la ecuación dimensional de la presión en dicho sistema. a) MVT

– 3 b) MVT

3 c) M

2V

2T

d) MV – 1

T – 3

e) M3VT

– 3


204


205

Tema: 3

CINEMÁTICA

Estudiantes de la USS participando de una bicicleteada por el día mundial del

medio ambiente


La cinemática, es una parte de la mecánica que estudia única y exclusivamente el

movimiento de los cuerpos sin considerar las causas que lo originan.

Proviene del vocablo griego que significa KINEMA que significa MOVIMIENTO, y

estudia el movimiento de los cuerpos con respecto a un sistema de referencia.

3.1. Sistema de referencia.

Es aquel lugar del espacio en donde se ubica un observador en forma real o

imaginaria para analizar y describir el movimiento en el tiempo.

B

A A A

El observador A

dentro del avión

ve que la

bomba cae

verticalmente.

Para el

observador B,

su trayectoria es

curvilínea.

B

A

La campana

esta inmóvil en

relación con el

observador A,

pero se

encuentra en

movimiento

con respecto a

B.

Nuestra naturaleza

está en movimiento.

El reposo absoluto es

la muerte. Blaise

Pascal (1623-1662) Matemático, físico,

filósofo y escritor

francés.


206

3.2. Movimiento.

Es aquel fenómeno físico en el cual un cuerpo cambia de posición respecto a un

sistema de referencia elegido como fijo.

3.3. Elementos del movimiento.

A) Móvil: Es el cuerpo o partícula que experimenta el fenómeno de

movimiento.

B) Vector posición ( r ): Si hemos acordado en llamar movimiento al cambio

de posición respecto al tiempo, será necesario establecer un criterio para

determinar que posición ocupo un cuerpo en un instante.

Una dimensión (x)

Ejemplo: La posición del deportista en A es: AX 4m i

La posición de B es BX = ...............................

La posición de C es CX = ...............................

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 . . . x-x

B AC

En dos dimensiones (x ; y)

Ejemplo: Indicar el vector posición del móvil cuando pasa por los puntos A,

B, C y D en el siguiente circuito automovilístico.

-4

-7

-2

1

5

4

-7C

D

AB

r = ....................A

r = ....................B

r = ....................C

r = ....................D


207

A

B

C) Trayectoria: Es la línea formada por las sucesivas posiciones por las que

pasa un móvil.

Trayectoria rectilínea Trayectoria curvilínea

Circulares

Tierra

SolElípticos

Parabólico

D) Distancia y desplazamiento: En el lenguaje ordinario los términos distancia

y desplazamiento se utilizan como sinónimos, aunque en realidad tienen un

significado diferente.

La distancia recorrida por un móvil es la longitud

de su trayectoria y se trata de una magnitud

escalar.

En cambio el desplazamiento efectuado es una

magnitud vectorial. El vector que representa al

desplazamiento tiene su origen en la posición inicial

y su extremo en la posición final y su módulo es la

distancia mínima entre la posición inicial y final.

f ir r r

Para movimientos unidimensionales (en el eje x.)

f iX X X

E) Rapidez media: Es una magnitud escalar que relaciona la distancia

recorrida con el tiempo.


208

(A)

tA

tB

(B)

t = t - tB A

V =Sdistancia

t. . . m

s

F) Velocidad media: Es una magnitud vectorial que relaciona el cambio de

posición (desplazamiento) con el tiempo.

Vm =r

t. . . m

s

Tabla 3.1. Algunas velocidades promedio referenciales

Móvil Velocidad

(m/s)

Móvil Velocidad

(m/s)

Tortuga 0,02 Sonido en el aire (0ºC) 331,6

Peatón 1,6 Sonido en el agua (0ºC) 1390

Velocista de 100 m planos 10 Bala de fúsil 715

Caballo de carrera 16 Luna alrededor de la tierra 1000

Liebre 18 Satélite artificial 8 000

Avestruz 23 Tierra alrededor del sol 30 000

Águila 24 Luz en el vacío 300 000 000

G) Aceleración: Magnitud física vectorial que mide los cambios de velocidades

en módulo (rapidez) con respecto a cada unidad de tiempo.

La unidad de la aceleración en el S.I. es m/s2; físicamente significa que por

cada segundo la velocidad varía en 1 m/s.

Donde:

0V = velocidad inicial (m/s)

fV = velocidad final (m/s)

t = intervalo de tiempo (s)

a = aceleración (m/s2)

Observación:

Movimiento acelerado, rapidez

aumenta

Movimiento desacelerado, rapidez

disminuye


209

3.4. Movimientos básicos

MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (MRU)

MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO (MRUV)

Característica: Su velocidad es constante, por tanto, “el móvil recorre espacios iguales en tiempos iguales”

Característica: Su aceleración es constante, por tanto, “la velocidad aumenta o disminuye la misma cantidad en cada unidad de tiempo”.

Leyes

d v.t

Para dos móviles

EA B

dt

v v

AB A

dt

v v

Variables (unidad) d= distancia recorrida

(m) v = velocidad (m/s) t = tiempo (s) tE = tiempo de

encuentro (s) tA = tiempo de alcance

(s). vA= velocidad del móvil

A vB= velocidad del móvil

B, donde: VB > VA

d= desplazamiento (m)

Leyes

f ov v at

2 2f ov v 2ad

2

oat

d v t2

o fv vd t

2

n oa

d v 2n 12

Variables

o

f

2

n

mv velocidad...inicial...

s

mv velocidad...final...

s

ma aceleración...

s

t tiempo... s

d longitud recorrida... m

n segundo enésimo...(s)

d longitud recorrido en

el enésimo segundo... m

¡Recuerda!

En el M.R.U. para convertir de:

x 5

18

Km/h m/s ejemplos:

x 18

5

En el M.R.U.V. para dos móviles que parten del reposo uno al encuentro o alcance

del otro con aceleraciones a1 y a2 , se aplican las siguientes ecuaciones:

E1 2

2dt

a a A

1 2

2dt

a a

ms

Km

h

x 518

x18 5

i) Convertir de Km a m:

h s

18 Km = 18 x 5 m

= 5 m

h 18

s

s

72 Km

= 72 x 5 m = 20 m

h 18 s

s

ii) Convertir de m

a Km

:

s

h

10

m = 10 x

18 Km

= 36 Km

s

5

h

h

30

m = 30 x

18 Km

= 108 Km

s

5

h

h


210

Orientaciones:



1. De la figura, hallar la distancia recorrida y el

desplazamiento por el estudiante.. a) 6 m y 3 m

b) 3 m y 9 m

c) 9 m y 3 m

d) 9 m y 6 m

e) 3 m y 3 m

2. Indicar la alternativa correcta: a) A = B = C (velocidades)

b) rA = rB = rC (rapidez)

c) Es un MRU

d) La trayectoria es elíptica

e) La trayectoria es rectilínea

3. Hallar el tiempo transcurrido de “A” hacia “D”. a) 10 s

b) 11 s

c) 12 s

d) 13 s

e) 14 s

4. Dos móviles con velocidades de “V” y “3V” va uno al encuentro del otro, si la separación inicial es de 100 m y el segundo móvil alcanza al primero en 20 segundos. Hallar la velocidad menor.

a) 1,5 m/s b) 2,5 m/s c) 3,5 m/s d) 2 m/s e) 3 m/s

5. Dos móviles “A” y “B” van al encuentra uno del otro. Luego de qué tiempo se encuentran a partir del instante mostrado

a) 5 s b) 1 s c) 25 s d) 10 s e) 20 s

6. Entre Chiclayo y Pimentel hay una distancia de 12 km. ¿Qué tiempo empleará un taxi que se mueve con la velocidad uniforme de 60km/h?

a) 12 min b) 10 min c) 15 min d) 18 min e) 20 min

7. Un tren de 120 m de largo, se desplaza con una velocidad constante de 200 m/s. Entonces podrá cruzar totalmente un túnel de 180 m en :

a) 1 s b) 1,5 s c) 2 s d) 3 s e) 3,5 s

8. Dos estudiantes separados por una distancia de 180 m inicialmente se encuentran después de 2 s. Si la velocidad de uno de ellos es 60m/s. Hallar la velocidad del otro estudiante.

a) 30 m/s b) 60 m/s c) 90 m/s d) 120 m/s e) 150 m/s

9. Dos estudiantes CEPRE “A” y “B” pasan simultáneamente por el punto “P” de una pista recta con velocidad de 8 m/s y 15 m/s y en la misma dirección. ¿Qué distancia los separa al cabo de dos minutos?

a) 420 m b) 1260 m c) 630 m d) 14 m e) 840 m

10. Miguel viaja con MRU y debe llegar a su destino a las 7:00 p.m. Si viajará a 40 km/h llegaría una hora después y si viajará a 60km/h llegaría una hora antes. ¿Qué velocidad debió llevar para llegar a su destino la hora fijada?

a) 40 km/h b) 42 km/h c) 48 km/h d) 36 km/h e) 32 km/h

C

B

A

3 m/s

3 m/s

3 m/s

2m/s

4m/s

8m/s

16m

16m

16m

A

B C

D

VA = 72km/h VB = 30m/s

500 m

60º

120º

3m

3m

3m

ACTIVIDAD Nº 3


211

11. Hallar la velocidad del móvil luego de 2 s. a) 2 m/s b) 3 m/s c) 4 m/s d) 5 m/s e) 6 m/s

12. Hallar la velocidad del móvil en “B” y “D”. a) 5 y 10 m/s b) 5 y 9 m/s c) 3 y 9 m/s d) 6 y 10 m/s e) 9 y 12 m/s

13. En la figura halle la distancia “d”. a) 10 m b) 15 m c) 20 m d) 23 m e) 24 m

14. En la figura, hallar “V”. a) 10 m/s b) 16 m/s c) 18 m/s d) 24 m/s e) 32 m/s

15. Del ejercicio anterior, halle la distancia AC .

a) 10 m b) 50 m c) 35 m d) 24 m e) 40 m

16. Hallar la distancia que recorre una moto que parte del reposo al cabo de 3s si acelera a razón de 2 m/s

2.

a) 6 m b) 7 m c) 8 m d) 9 m e) 12 m

17. Ronald y David que parten del reposo con aceleraciones de 5 m/s

2 y 3m/s

2 se

encuentran distanciados 64 m. Si viajan en la misma dirección, halle el tiempo de alcance.

a) 6 s b) 3 s c) 4 s d) 7 s e) 8 s

18. Del ejercicio anterior hallar a qué distancia del móvil de menor aceleración se produjo el alcance.

a) 96m b) 32 m c) 64 m d) 160 m e) 180 m

19. En la figura determine el tiempo de choque; si ambos parten del reposo.

a) 4 s b) 6 s c) 8 s d) 7 s e) 5 s

20. Del ejercicio anterior, determine la velocidad del móvil de mayor aceleración cuando se produce el impacto.

a) 40 m/s b) 20 m/s c) 32 m/s d) 36 m/s e) 45 m/s

3m/s

A B C D

t = 1s t = 1s t = 1s

2m/s2

3m/s

1s

5m/s

3s

d 4m

8m/s

3s

V

5s

A

2m/s

B C

8 m/s

t = 2s

3m/s2

a1 = 2m/s2 a2 = 4m/s

2

d = 192 m


212


213

Tema: 4

MOVIMIENTO VERTICAL DE CAÍDA LIBRE

Paracaidista experimentando la atracción gravitatoria

http://ve.kalipedia.com/fisica-quimica/tema/caida-libre.html?x=20070924klpcnafyq_182.Kes&ap=0

4.1 Caída libre de los cuerpos

En mecánica, se le llama caída libre de los cuerpos al movimiento de estos bajo la

acción exclusiva de un campo gravitatacional.

4.1.1 Atracción gravitacional de la Tierra

La masa de la Tierra tiene la cualidad de atraer hacia su centro a todas las masas que

están cerca de su superficie mediante un una fuerza gravitacional llamada PESO del

cuerpo

Si he conseguido ver más lejos, es porque me he aupado en hombros de gigantes.

Isaac Newton (1642-1727) Físico y matemático inglés.

El movimiento en el cual solamente actúa el pesodel cuerpo se llama

CAIDA LIBREm

peso

La Fuerza con que la tierra atrae a los cuerpos se denomina PESO, esta fuerza apunta hacia el

centro de la Tierra.

http://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica

http://es.wikipedia.org/wiki/Campo_gravitatorio


214

4.1.2 Aceleración de la gravedad (g)

Sin considerar la fricción del aire, cuando un cuerpo es soltado el peso de este cuerpo

produce en él una aceleración conocida como: aceleración de la gravedad (g),

observándose que todos los cuerpos caen hacia la tierra con la misma aceleración,

independiente de su masa, esta aceleración es aproximadamente g=9.8 m/s2 en la

superficie terrestre.

Resumen 1. Los cuerpos caen

2. Caen porque la Tierra los atrae

3. Las fuerzas de atracción (pesos) son diferentes

4. En el vacío, todos los cuerpos caen con la misma aceleración a pesar de que sus

masas sean diferentes

2s/m8.9g

4.1.3 Variación de la aceleración de la gravedad

La aceleración de la gravedad no es la misma en todos los lugares de la Tierra,

depende de la latitud y de la altura sobre el nivel del mar, mediaciones cuidadosas

muestran que:

g = 9.79E

g = 9.83P

g = 9.81N

A. En los polos alcanza su mayor valor

2P s/m83.9g

B. En el ecuador alcanza su menor valor

2E s/m79.9g

C. A la latitud 45° Norte y al nivel del mar se llama aceleración normal y vale :

2N s/m81.9g


215

4.1.4 Semejanza entre: MRUV y MVCL

Galileo Galilei fue el primero en demostrar que en ausencia de la fricción del aire,

todos los cuerpos, grandes o pequeños, pesados o ligeros, caen a la tierra con la

misma aceleración y mientras que la altura de caída se pequeña comparada con el

radio de la Tierra (6400 km) esta aceleración permanece prácticamente constante,

luego:

Tabla 4.1. Ecuaciones utilizadas en el MRUV y MVCL

N° MRUV N° MVCL

1 atVV oF 1 gtVV oF

2 t2

)VV(d oF 2 t

2

)VV(h oF

3 2

o at2

1tVd 3

2o gt

2

1tVh

4 ad2VV 2o

2F 4 gh2VV 2

o2F

* El signo (+) se emplea cuando el cuerpo es lanzado hacia abajo.

* El signo (-) se emplea cuando el cuerpo es lanzado hacia arriba.

. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .. . . .

AIRE

Vacio

(A) (B) Figura A:

La fricción del aire retarda la caída de la hoja

Figura B:

En el vacío la piedra y la hoja caen juntas.

4.1.5 Propiedades de la caída libre

El diagrama muestra un movimiento completo de caída libre(subida y bajada) en

donde se cumple:


216

La caída libre vertical (CLV) para alturas pequeñas con respecto al radio

terrestre viene a ser un movimiento rectilíneo uniformemente variado (MRUV),

entonces cumplen las mismas leyes.

El diagrama muestra un movimiento completo de caída

libre(subida y bajada) en donde se cumple:

A. En la altura máxima la velocidad es cero:

0VC

B. A un mismo nivel la velocidad de subida mide igual

que la velocidad de bajada:

EA VV DB VV

C. Entre dos niveles el tiempo de subida es igual al tiempo de bajada:

CEAC tt CDBC tt

DEAB tt

En la luna la aceleración de la gravedad es la sexta parte que la de la Tierra.

2L s/m7.1g

A

B

C

D

E

VE

VD

VA

VB


217

4.2 Movimiento parabólico

Deportistas describiendo movimiento compuesto

http://wwwtiroparabolicoo.blogspot.com/2010/05/tiro-parabolico-el-tiro-parabolico-es_9294.html 4.2.1 Movimiento de los proyectiles

El diagrama muestra la trayectoria de una bala de cañón después del disparo, si

despreciamos la resistencia del aire, esta trayectoria curvilínea será llamada

PARABOLA, observemos que debido al peso de la bala la única aceleración que actúa

sobre ésta es la aceleración de gravedad (g).

PARABOLA

V g

El movimiento parabólico se presenta cuando la velocidad de lanzamiento (V) no es

vertical y la aceleración (g) permanece constante.

Descomponiendo la velocidad del proyectil observamos que se mueve al mismo

tiempo, tanto en la dirección vertical como en la dirección horizontal.

1


218

Vy

gVy

Vx

x

Recordemos que debido al peso en el eje vertical actúa la aceleración de la gravedad

(g) mientras que en el eje horizontal no existe ningún tipo de aceleración, luego:

El movimiento parabólico está

compuesto por un movimiento

vertical de caída libre y un

movimiento horizontal uniforme

(MRU).

4.2.2. Características del movimiento parabólico

A) La velocidad vertical ( yV ) es variable, mientras que la velocidad horizontal ( xV )

permanece constante.

gVx

Vx

Vx

Vy

Vx

B) En la altura máxima (H) del movimiento parabólico solamente existe velocidad

horizontal ( xV ).

Vx

P


219

C) En el eje vertical se emplea las leyes de la caída libre vertical (CLV) y en el eje

horizontal las leyes del movimiento rectilíneo uniforme (MRU)

D) La velocidad neta de un proyectil en cualquier punto siempre es tangente a la

parábola.

V : Velocidad Neta

yV : Velocidad Horizontal

xV : Velocidad Vertical

Vy

Vx

V

tangente

E) Bajo la misma rapidez (V) de lanzamiento, dos proyectiles logran al mismo

alcance (x) cuando los ángulos de lanzamiento son complementarios:

90

VV

x

F) Bajo la misma rapidez (V) de lanzamiento, un proyectil logra un alcance

horizontal máximo ( mX ) cuando el ángulo de lanzamiento es de 45°

VV

45°

X

V

m


220

4.3. Movimiento semiparabólico

Este movimiento se cumple al lanzar horizontalmente un cuerpo abandonando la

superficie de lanzamiento.

¡recuerda!

Para cualquier instante de tiempo:

2

2gtH

Y en la horizontal:

tVX X .

Vx V

Vy = 0

H

x


221

Orientaciones:


1. Señale verdadero (V) ó falso (F):

I. La aceleración de la gravedad en el interior

de la Tierra es mayor que en la superficie. II. Una persona cualquiera pesa más en los

polos que en el Ecuador. III. En la luna un astronauta no es atraído por

la Tierra. a) VFF b) FVF c) VVF d) VFV e) VVV

En todos los casos considere: g = 10m/s2

2. Se lanza un balón verticalmente hacia arriba

con una velocidad de 35 m/s. Luego de 2s, su velocidad será : a) 10 m/s b) 20 c) 35 d) 55 e) 15

3. Hallar el tiempo que permanece en el aire el balón. a) 4 s b) 8 c) 10 d) 6 e) 12

4. Hallar “V” : a) 10 m/s b) 40 c) 30 d) 20 e) 60

5. Caen gotas de lluvia desde una nube situada a 1620 m sobre la superficie del suelo. Si no fueran retenidas por la resistencia del aire. ¿A qué velocidad descenderían las gotas cuando llegan al suelo? a) 180 m/s b) 90 c) 324 d) 30 e) 120

6. La moneda es lanzada en A con rapidez de 40 m/s, y llega a C después de 12 s. Hallar la altura “h” (g=10m/s

2)

a) 120 m b) 180 m c) 240 m d) 320 m e) 400 m

7. Se lanza una piedra como se muestra en la figura. Calcular el tiempo total que estuvo en movimiento (g=10m/s

2)

a) 6 s b) 8 s c) 9 s d) 10 s e) 12 s

8. El tiempo de “A” hacia “B” es 6 s. Hallar “H” a) 80 m b) 40 m c) 120 m d) 60 m e) 20 m

9. En la figura, halle “t” a) 5 s b) 7 s c) 2 s d) 3 s e) 6 s

10. En la figura, A se deja en libertad y B se lanza hacia arriba. Determine la velocidad de B en el momento del encuentro. a) 70 m/s b) 50 m/s c) 60 m/s d) 30 m/s e) 10 m/s

h

A

C

200m

V=30m/s

40m/s

120m

B

A

A

V

B

20m/s H

t

50m/s

2s

V0 = 60 m/s

70m/s

V

3s

ACTIVIDAD Nº 4


222

11. En la figura qué tiempo emplean en cruzarse los cuerpos por primera vez. a) 4 s b) 6 s c) 7 s d) 5 s e) 8 s

12. En la figura luego de que tiempo se cruzaran los cuerpos por primera vez. a) 2 s b) 3 s c) 4 s d) 5 s e) 6 s

13. Vargas lanza horizontalmente un balón con una velocidad de 30 m/s, tal como se muestra. Hallar “H”. a) 300 m b) 200 m c) 125 m d) 80 m e) 30 m

14. Un golfista lanza la pelota desde una cima con una rapidez de 15 m/s. Hallar “d”. a) 60 m b) 80 m c) 45 m d) 68 m e) 75 m

15. Un misil a control remoto es disparado con un ángulo de máximo alcance y con una velocidad de 400 m/s ¿Qué velocidad tiene en el instante que llega al piso? a) 100 m/s b) 200 m/s c) 300 m/s d) 400 m/s e) 500 m/s

16. Un futbolista aficionado a la Física dispara una pelota con un ángulo de inclinación de 53º con la horizontal. Calcular que velocidad lleva a los 3s. g = 10 m/s

2

a) 5 m/s

b) 5 m/s

c) 2 m/s

d) 10 m/s

e) 10 m/s

17. Se dispara una pelota desde el piso con una rapidez de 20 m/s y con un ángulo de elevación de 30º. Calcular:

El tiempo que demora en subir

El tiempo que permanece en el aire (g = 10 m/s

2)

a) 1s; 3s b) 2s; 4s c) 1s; 2s d) 3s; 2s e) 4s; 4s

18. Se dispara un proyectil a razón de 20m/s formando un ángulo de 53º con la horizontal. Calcular ¿A qué altura se encuentra después de 1s? g = 10 m/s

2

a) 11 m b) 9 m c) 7 m d) 5 m e) 3 m

19. Un tanque antiaéreo dispara un proyectil a razón de 800 m/s y con un ángulo de 53º ¿A qué altura se encuentra el proyectil a los 4s? a) 2480 m b) 2560 m c) 2780 m d) 2840 m e) 3000 m

20. Indicar verdadero (V) o falso (F) con respecto al movimiento parabólico:

La componente horizontal de la velocidad permanece constante. ( )

La componente vertical de la velocidad puede ser nula en un instante. ( )

La velocidad en todo momento es tangente a la trayectoria. ( )

a) VVV b) VFF c) FFV d) VVF e) FFF

A

B

15m/s

90m

V0 = 0

53º

30m/s

H

150m

d

V = 15m/s

45m

25m/s

160m

15m/s

V = 50m/s

53º

V = 20m/s

30º

53º

FÍSICA PARA LAS CIENCIAS DE LA VIDA

223

Vista panorámica del mejoramiento y ampliación del puente de Reque - Lambayeque

http://4.bp.blogspot.com/_loLhiPrUtWQ/SW5qBgvdn6I/AAAAAAAAB8k/qFR8L6dHbz8/s400/49+188.jpg

ESTÁTICA, DINÁMICA E

HIDROSTÁTICA

Unid

ad

II

Capacidades

Describe las leyes de la mecánica en determinados sistemas

concretos e ilustra apropiadamente los diagramas de cuerpo libre. Diferencia el movimiento de los cuerpos en relación a los agentes que los causan o modifican aplicando la segunda ley de Newton.

Discute la conservación de la energía conociendo la diferencia entre energía renovable y no renovable.

Resuelve situaciones problemáticas aplicando los principios básicos de la hidrostática y las leyes de flotación y entiende su aplicación en la tecnología.

¿Por qué esta magnífica tecnología científica, que ahorra trabajo y nos hace la vida

más fácil, nos aporta tan poca felicidad? La repuesta es está, simplemente: porque aún

no hemos aprendido a usarla con tino.

Albert Einstein (1879-1955) Científico alemán.

http://4.bp.blogspot.com/_loLhiPrUtWQ/SW5qBgvdn6I/AAAAAAAAB8k/qFR8L6dHbz8/s400/49+188.jpg


224


225

Tema: 5

ESTÁTICA

Estructura moderna del museo Tumbas Reales del Señor de Sipán

http://www.vootar.com/imgs/elementos/1242312907_Museo%20Tumbas%20Reales%20de%20Sipan

Cuando hacemos un recorrido por museos de sitios arqueológicos de Lambayeque

vemos algunos con ciertas formas muy caprichosas, por ejemplo se ve un museo que

tiene la forma de una pirámide trunca: el museo Tumbas Reales del Señor de Sipán, o

estructuras de varios metros de altura sostenidos sólo por cuatro columnas y otras obras

en las cuales se han aplicado las leyes del equilibrio para poder levantarlos, bastará un

pequeño error en un cálculo y la construcción se puede venir abajo. En este tema

estudiaremos las leyes de la Estática que hacen posible estas construcciones: las leyes

del equilibrio.

5.1. Estática

Es la parte de la mecánica que estudia las condiciones que un cuerpo debe

satisfacer para encontrarse en equilibrio.

5.2. Equilibrio

Es aquel estado en el cual un cuerpo se halla en reposo o moviéndose con

movimiento rectilíneo uniforme (MRU), con respecto a un observador fijo ubicado en un

sistema de referencia inercial, como por ejemplo la Tierra.

“El amor por la fuerza

nada vale, la fuerza sin

amor es energía

gastada en vano”.

Albert Einstein

(1879-1955)



226

5.3. Fuerza

Su nombre griego original es DINA, y es una magnitud física de tipo vectorial,

porque además de un módulo (valor) posee una dirección y un punto de aplicación, y

surge cada vez que dos cuerpos interactúan, ya sea por contacto o distancia.

Por contacto A distancia

F

F

Luna

Tierra

F

F

Recuerda:

Su unidad de medida en S.I.de la fuerza es: NEWTON (N)

Isaac Newton, matemático y físico británico, nació el 25 de diciembre de 1642, el mismo

año en que murió Galileo, otro de los grandes personajes de la historia de la ciencia.

Newton es considerado uno de los más grandes científicos de la historia. Sus

descubrimientos y teorías sirvieron de base a la mayor parte de los avances científicos

desarrollados desde su época. Newton fue, junto al matemático alemán Gottfried Wilhelm

Leibniz, uno de los inventores de la rama de las matemáticas denominada Cálculo.

También resolvió cuestiones relativas a la luz y la óptica. Pero, probablemente, su

contribución más importante a la Física fue la formulación de las leyes del movimiento y,

a partir de ellas, la ley de la gravitación universal.

Estas leyes tomaron el lugar de las ideas aristotélicas que dominaron el

pensamiento de los hombres durante casi 2 000 años.

5.4. Naturaleza de las fuerzas

5.4.1. Gravitatorias: Aquellas que se originan por causa de la atracción entre dos

masas.

5.4.2. Electromagnéticas: Aquellas que se deben a la presencia de cargas eléctricas o

a su movimiento respecto de otras cargas.

5.4.3. Nucleares débiles: Son aquellas que se originan durante una desintegración

atómica.

5.4.4. Nucleares fuertes: Son de origen nuclear y gracias a ellas se mantienen unidos

los protones.


227

5.5. Tipos de fuerzas más comunes

5.5.1. Fuerza de gravedad o peso: Llamamos así a la fuerza con que la Tierra atrae a

todo cuerpo que se encuentre en su cercanía.

Su valor es directamente proporcional a la masa de los cuerpos y a la

gravedad local.

Su dirección es vertical y dirigida hacia el centro de la Tierra.

Tiene como punto de aplicación el centro de gravedad del cuerpo.

¡Importante!

El valor de la fuerza de gravedad sobre un cuerpo, se encuentra multiplicando la

masa del cuerpo por el valor de la aceleración de la gravedad en dicho lugar del

espacio.

Donde:

m = masa (kg)

g = valor de la gravedad terrestre (m/s2)

5.5.2. Tensión: Es la fuerza electromagnética resultante que se genera en el interior de

una cuerda o un alambre y que se opone a los efectos de estiramiento por parte de las

fuerzas externas.

T T

5.5.3. Compresión: Esta fuerza se presenta en el interior de barras, vigas o puntales

cuando éstos se ven afectados por fuerzas externas que pretendan acortar su

longitud, provocando un mayor acercamiento entre las moléculas, lo que a su vez

genera mayor fuerza electromagnética de repulsión.

Centro de gravedad:

Es el punto de aplicación de la fuerza de gravedad sobre un cuerpo de

dimensiones considerables.

Cuando el cuerpo de forma regular es homogéneo, su centro de

gravedad corresponde a su centro geométrico.

m

g

F = Peso


228

C C

5.5.4. Reacción: Esta fuerza se presenta cuando un cuerpo se encuentra en contacto

con otro. Es la fuerza de reacción de una superficie sobre un cuerpo apoyado sobre

ésta. Posee dos componentes:

Normal: Esta componente de la reacción es perpendicular a las superficies

en contacto.

Fuerza de rozamiento o fricción: Esta componente de la reacción aparece

cuando hay deslizamiento o intento de deslizamiento de un cuerpo en

contacto con otro y se opone a ello.

donde: f = . N

: Coeficiente de rozamiento

N: Normal

¡Importante!

Cuando las superficies de los cuerpos son lisas, no existe fricción y la

reacción sólo tendrá una componente que será la normal.

5.5.5. Fuerza elástica: Es aquella fuerza interna que surge en los cuerpos elásticos y se

manifiesta como una resistencia a que éstos sean deformados. Uno de los casos más

comunes de cuerpo elástico es un «resorte», al cual se le puede comprimir o estirar,

tal como se muestra.

Ley de Hooke: Fe = K . x

Donde:

K: Constante de elasticidad de un resorte (N/m)

x: Deformación o elongación (m)


229

5.6. Leyes de la mecánica

5.6.1. Primera ley de Newton

Llamada también "Principio de Inercia". Fue enunciada por Isaac Newton el año

1687, y establece que:

"Si sobre un cuerpo no actúan fuerzas o si actúan varias fuerzas y su resultante es

nula, entonces dicho cuerpo permanecerá en reposo o moviéndose en línea recta

con velocidad constante".

Ejemplo:

El patinador de la figura, luego de

darse un impulso inicial, continúa en

movimiento debido a la ausencia de

fuerzas que se opongan a él. ¿Qué

lo mantiene en movimiento?... ¡Su

inercia!

5.6.2. Tercera ley de Newton

Llamada también "Principio de Acción y Reacción". Fue descubierta por Newton y

publicada el mismo año que la ley anterior. Establece que:

"Si un cuerpo actúa contra un segundo cuerpo con una fuerza llamada Acción, el

segundo actuará contra el primero con una fuerza de igual intensidad, en la misma

recta de acción pero de dirección opuesta, llamada Reacción".

Ejemplo:

En la figura, la nave expulsa gases

hacia atrás aplicándoles una fuerza Fa y

los gases aplican a la nave una fuerza

de reacción Fr hacia delante, lo que le

permite a la nave el poder impulsarse.

De este modo, Fa y Fr forman una pareja de acción y reacción.

5.7. Primera condición de equilibrio o equilibrio de traslación

Como se puede apreciar, en la naturaleza, todos los cuerpos están afectados por

fuerzas y, en muchos casos, se puede decir que un cuerpo se encuentra en equilibrio.

Para ello, dicho cuerpo debe cumplir ciertas condiciones.

hielo


230

La condición para que un cuerpo se encuentre en equilibrio de traslación es que

todas las fuerzas que actúan sobre dicho cuerpo se cancelen.

Es decir: RF 0

Forma práctica para determinar que RF = 0 en un cuerpo:

F ( ) = )

) = )

5.8. Diagrama de Cuerpo Libre (D.C.L)

Llamado también diagrama de fuerzas. Hacer el D.C.L. de un cuerpo es representar

gráficamente las fuerzas que actúan en él. Para esto se siguen los siguientes pasos:

i. Se aísla el cuerpo, de todo el sistema.

ii. Se representa al peso del cuerpo mediante un vector dirigido siempre hacia el

centro de la Tierra.

iii. Si existen superficies en contacto, se representa a la reacción mediante un vector

perpendicular a dichas superficies y empujando siempre al cuerpo.

iv. Si hubiesen cuerdas o cables, se representa a la tensión mediante un vector que

está siempre jalando al cuerpo, previo corte imaginario.

v. Si existen barras comprimidas, se representa a la comprensión mediante un

vector que está siempre empujando al cuerpo, previo corte imaginario.

Ejemplo: realizar el D.C.L. entre la pared, el piso inclinado y la esfera.

Solución: D.C.L.

P

n1

n2

P = peso de la esfera.

n1 = fuerza de contacto

entre el piso

inclinado y la esfera.

n2 = fuerza de contacto

entre la pared y la

esfera.


231

30°

W

W

Orientaciones:



1. Indicar las proposiciones verdaderas:

I. Si un cuerpo se desplaza con MRU se

dice que se encuentra en equilibrio cinético.

II. Las fuerzas de acción y reacción actúan sobre cuerpos diferentes.

III. La oposición al cambio de estado de reposo o de movimiento se denomina inercia.

a) I y II b) Sólo II c) Sólo III d) II y III e) Todas

2. Si un cuerpo está en equilibrio de traslación podemos decir que: a) La velocidad cambia con el tiempo b) El cuerpo está en reposo c) El cuerpo tiene velocidad constante d) b y c son ciertas e) Su aceleración debe ser constante

3. ¿Cuales de las siguientes proposiciones son verdaderas (V) o falsas (F)? I. En la primera Ley de Newton se refieren

a estados de reposo y de MRU respecto de sistemas de referencia inerciales.

II. El estado de reposo referido a la 1era. Ley de Newton puede ser duradero o instantáneo.

III. Sólo una fuerza puede alterar el estado de reposo o de MRU de un cuerpo observado desde tierra.

a) VFF b) FVF c) FFV d) VFV e) VVV

4. Realice el diagrama de cuerpo libre del bloque.

F a) b) c) d) e)

5. Si el sistema se encuentra en equilibrio calcula el valor de la tensión si: m=35kg.

(g=10m/s2)

a) 100N b) 200N c) 350N d) 400N e) 450N

6. Si el sistema está en equilibrio. Hallar " ". a) 75° b) 55° c) 30° d) 80° e) 37°

7. Si la reacción del piso tiene un módulo de 40N, determine la masa del bloque. Considere la esfera de 6kg. (g = 10m/s

2).

a) 1 kg b) 2 kg c) 6,5 kg d) 8 kg e) 10kg

8. ¿Cuál es el valor de la fuerza "F" si el bloque pesa 200 N y se encuentra en equilibrio?

37°

F

a) 150 N b) 200 N c) 250N d) 300 N e) 100 N

ACTIVIDAD Nº 5

F F

F

F


232

9. Hallar el módulo de la tensión en “1”, si: W = 100 N. a) 20 N b) 40 N c) 60 N d) 80 N e) 100 N

10. Para mantener a un cuerpo de 40kg en reposo se construye el siguiente sistema de poleas. Determine el módulo de F si las poleas son ideales. (g = 10m/s

2)

a) 10N b) 20N c) 40N d) 80N e) 100N

11. Hallar la normal de la pared vertical, si el peso de la esfera es 8 N.

45°

a) 2 N b) 4 N c) 6 N d) 8 N e) 10 N

12. Si el sistema está en reposo, determine el módulo de la tensión en A y la masa del bloque (g = 10m/s

2; poleas ideales)

a) 40N; 4kg b) 50N; 4kg c) 50N; 3kg d) 60N; 2kg e) 80N; 4kg

13. Si la esfera es de 8kg, determine el módulo de la fuerza que le ejerce la pared. Superficies lisas. (g = 10m/s

2)

a) 60N b) 20N c) 40N d) 80N e) 100N

14. Si el sistema se encuentra en reposo, determine la masa del bloque. Considere que la esfera de 10kg, la polea de 2kg y las superficies lisas. (g = 10m/s

2)

a) 3kg b) 5kg c) 7,5kg d) 8kg e) 9kg 15. El bloque de 10 kg se encuentra en equilibrio. Determinar el módulo de la diferencia entre las tensiones T1 – T2. (g = 10 m/s

2)

a) 125 N b) 75 N c) 25 N d) 50 N e) 200 N

16. Si el bloque "A" pesa 100 N y el bloque "B" 50N, calcular la fuerza de contacto entre los bloques si existe equilibrio.

A

B a) 25 N b) 100N c) 170N d) 180N e) 190N

W

1 37º

37º


233

17. Un pájaro de masa “m” está posado en el

punto medio de un cable de peso despreciable, halle la tensión en este cable.

a) 2 mg Sen b) 2 mg Cos

c) 0.5 mg Csc d) mg Tag

e) 0.5 mg Sec

18. Si la barra AB mostrada en la figura es de 48N y la tensión en la cuerda CD que la sostiene es de 52N, hallar la fuerza de reacción en el pasador A, sabiendo que esta fuerza es horizontal.

a) 10 N b) 15 N c) 20 N d) 25 N e) 30N

19. Si el bloque es de 192N, hallar la fuerza "F" que mantiene el sistema en equilibrio. a) 12N b) 16N c) 20N d) 24N e) 48N

20. Calcular el mínimo valor del módulo de la fuerza "F" capaz de mantener a la esfera de

10 kg en la posición mostrada. (g = 10m/s2)

F37°

a) 75 N b) 60 N c) 80 N d) 120 N e) 150 N

F


234


235

Tema: 6

DINÁMICA LINEAL

Jinetes contrarrestando la fuerza de resistencia del aire en Carrera de Caballos

http://www.rpp.com.pe/caballo-bradock-gano-el-premio-ciudad-de-lima-y-clasifica-al-latino-imagen-noticia-

8-n-/picsnews/581935.jpg

6.1. Dinámica

Es la parte de la mecánica que estudia el movimiento de los cuerpos considerando

las fuerzas que lo originan.

6.1.1. Masa (M)

Es una magnitud escalar, la masa es la cantidad de materia que posee un cuerpo. La

masa está asociada con la fuerza de la atracción (Gravedad) entre los cuerpos (Masa

gravitacional).

6.1.2. Segunda Ley de Newton

La aceleración que experimenta un cuerpo, es directamente proporcional a la fuerza

resultante e inversamente proporcional a su masa.

La dirección y sentido de la aceleración siempre es igual a la dirección y sentido de la

Si he conseguido ver más lejos, es porque me he aupado en hombros de gigantes. Isaac Newton (1642-1727) Físico y matemático inglés.

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236

fuerza resultante.

Sea:

Esto equivale a:

Donde:

4321R FFFFF

maFm

Fa R

R

Genéricamente:

am.movcontraF.movfavorF

6.1.3. Peso (W)

Es la fuerza que la tierra ejerce sobre los cuerpos que lo rodean.

Su valor es igual a la masa del cuerpo por la aceleración de la gravedad.

W = m g

g Ecuador = 9.79 m/s2

g Polos = 9.83 m/s2

g promedio = 9.81 m/s2

6.1.4. Unidades

Sistema Internacional (S.I.)

F m a

Newton

(N) Kg 2s

m

Otras Unidades

g = gramo – fuerza

m

aF1

F2

F3

F4

m aFR

m

g

w


237

kg = kilogramo – fuerza

6.1.5. Equivalencias

Fuerza Masa

1N = 105 Dinas 1kg = 1000 g

1kg = 9.8N 1UTM = 9.8kg

1g = 980 Dinas 1kg = 0.102UTM

Nota:

Para resolver los problemas de dinámica se recomienda seguir los siguientes pasos:

1º Dibujar todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo mediante un D.C.L.

2º Las fuerzas oblicuas al movimiento (si hubieran) se descomponen.

3º Las fuerzas perpendiculares al movimiento se consideran igual a cero.

(F al mov. = 0)

4º Para las fuerzas en la dirección al movimiento se aplica la segunda Ley de Newton.

6.2. Rozamiento

6.2.1. Concepto

Es la resistencia u oposición que ofrece una superficie al movimiento o posible

movimiento de un cuerpo sobre ella. Esta resistencia se manifiesta mediante una fuerza

llamada “fuerza de rozamiento” o “fuerza de fricción”.

La fuerza de rozamiento va siempre en sentido contrario al movimiento o posible

movimiento de un cuerpo.

6.2.2. Clases de rozamiento

A. Rozamiento Estático (RS ó fS)

Esta fuerza se presenta o actúa cuando un cuerpo tiende a deslizarse sobre

una superficie sin conseguirlo.

Esta fuerza precisamente se opone al deslizamiento, su valor es variables,

desde cero (cuando no hay rozamiento) hasta un valor máximo (fricción


238

máxima, cuando está el cuerpo a punto de moverse).

Fórmula:

f S = S RN

F = fS (máx)

Unidad:

La fuerza de fricción tiene al Newton (N) como unidad en el S.I.

Donde:

fS = fuerza de fricción estática

fS (max) = fuerza de fricción máxima

F = fuerza que trata de mover al bloque

uS = coeficiente de rozamiento estático

RN = reacción normal, es perpendicular al movimiento o posible

movimiento

W = peso

m = masa

g = aceleración de la gravedad

W = mg

B. Rozamiento Cinético (RX ó fX)

Actúa cuando el cuerpo ya está en movimiento; siempre se opone al

movimiento.

fK = fuerza de rozamiento cinético

uK = coeficiente de rozamiento cinético

F = fuerza que mueve al bloque

a = aceleración del bloque

En el gráfico por la Segunda Ley de Newton:

F – fK = ma

FV = 0O

fSS

W RN

m

F

mov.

fkS

m Fk = k RN


239

Orientaciones:



1. Un cuerpo de 15 kg de masa tiene una

aceleración cuyo módulo es 3m/s2. ¿Calcular

el valor de la fuerza resultante que actúa sobre el cuerpo? a) 45 N b) 25 N c) 35 N d) 55 N e) 15 N

2. Un cuerpo de 5 kg de masa varía su rapidez de 5 m/s a 20 m/s en 5s. Hallar el valor de la fuerza resultante que actúa sobre el cuerpo. a) 20 N b) 15 N c) 25 N d) 30 N e) 50 N

3. Hallar el modulo de la aceleración que adquiere el bloque de 3kg

a) 6 m/s2

b) 4 m/s2

c) 7 m/s2

d) 10 m/s2

e) 8 m/s2

4. Hallar el módulo de la aceleración que

adquiere el bloque de 4kg

a) 6 m/s2

b) 5 m/s2

c) 11 m/s2

d) 9 m/s2

e) 8 m/s2

5. Determine el módulo de la aceleración en el

siguiente caso, si: m = 15kg

a) 6 m/s2

b) 4 m/s2

c) 12 m/s2

d) 8 m/s2

e) 3 m/s2

6. Hallar el modulo de la tensión de la cuerda que une los bloques: mA = 9 kg ; mB = 11 kg a) 40 N b) 32 N c) 34 N d) 38 N e) 36 N

7. Dos cuerpos de 3 y 2 kg están unidas por una cuerda que pasa a través de una polea

(ambas de masa despreciable). g=10 m/s2.

Calcular el módulo de la aceleración de los cuerpos y la tensión de la cuerda.

a) 3 m/s2

, 24N

b) 2 m/s2

, 24N

c) 2 m/s2

, 25N

d) 2 m/s2

, 20N

e) 1 m/s2

, 24N

8. Determinar el módulo de la aceleración de los bloques. El coeficiente de rozamiento entre las superficies en contacto es μ = 0.2. La

polea tiene masa despreciable. g = 9.8 m/s2

a) 1,2 m/s2 b) 4 m/s

2 c) 1,5 m/s

2

d) 3 m/s2 e) 0,77 m/s

2

9. Halle el módulo de la fuerza de rozamiento

sobre el bloque “A” de 4 kg. a) 10 N b) 32 N c) 30 N d) 16 N e) 20 N

10. Calcule el módulo de la aceleración de los bloques. No hay rozamiento. mA = mB = mC = mD = 4 kg

a) 4 m/s2 b) 3 m/s

2 c) 6 m/s

2

d) 7 m/s2 e) 12 m/s

2

A B 20N 60N

8N

32N

4N

37º

50N

53º

40N

6N 10N

5N 26N

ACTIVIDAD Nº 6


240

5kg

5kg

37º

40N

40N

10N

80Nx

y

3kg

2kg

11. Calcular la aceleración del sistema mostrado en la figura. Si: mA = 4 kg y mB = 4 kg θ = 30º g = aceleración de la gravedad a) g/5 b) g/6 c) g/7 d) g/4 e) g/9

12. Del gráfico calcular el módulo de la fuerza “F” si el bloque de 5 kg de masa se desplaza hacia la derecha con una aceleración cuyo

valor es 0,8 m/s2.

θ = 60º a) 18 N b) 19 N c) 24 N d) 28 N e) 25 N

13. Hallar el valor de la tensión en la cuerda que

une los bloques (g = 10 m/s2)

a) 10 N b) 18 N c) 24 N d) 36 N e) 16 N

14. En el sistema mostrado, determinar el módulo de la aceleración de las masas y el valor de las tensiones en las cuerdas.

a) 2 m/s2, 48N y 24N

b) 2 m/s2, 30N y 42N

c) 3 m/s2, 20N y 54N

d) 3 m/s2, 24N y 78N

e) 5 m/s2, 30N y 50N

15. Con respecto de la fuerza de rozamiento, marcar falso (F) ó verdadero (V): ( ) La fuerza de rozamiento es una

componente de la fuerza de reacción, con dirección tangencial al punto o superficie en contacto.

( ) La fuerza de rozamiento se opone siempre al movimiento relativo, del cuerpo respecto de la superficie en contacto.

( ) La fuerza de rozamiento estático es variable, desde cero hasta un valor máximo, cuando el cuerpo está pronto a moverse.

a) VVF b) VFF c) FVV d) VFV e) VVV

16. Hallar el módulo de la aceleración y la tensión en la cuerda. No hay rozamiento. mA = 2 kg mB = 3 kg

a) 5 m/s2 y 84N

b) 7 m/s2 y 64N

c) 6 m/s2 y 48N

d) 6 m/s2 y 32N

e) 5 m/s2 y 16N

17. Hallar a aceleración del sistema

a) 8 m/s2 (→) b) 20 m/s

2 (←) c) 5 m/s

2 ( ↓ ) d) 10 m/s2 (→)

e) 4 m/s2 ( ↑ )

18. Si las superficies son totalmente lisas,

determinar la fuerza de reacción entre las masas “mB” “mC”. (mA = 4kg; mB =6kg; mC

=10kg )

a) 100 N (←) b) 140 N (→) c) 120 N (→) d) 79 N (←) e) 80 N (→)

19. Hallar el módulo de la aceleración del sistema. Si no hay rozamiento (g = 10 m/s

2)

a) 1 m/s

2

b) 2 m/s2

c) 3 m/s2

d) 4 m/s2

e) 5 m/s2

20. Determine la aceleración que adquiere el bloque de 1 kg debido a las fuerzas indicadas.

a) 30 m/s2 ( )

b) 25 m/s2 ( )

c) 10 m/s2 ( )

d) 20 m/s2 ( )

e) 50 m/s2 ( )

A B

C 80N 200N


241

Tema: 7 TRABAJO, POTENCIA ENERGÍA MECÁNICA

TRABAJO, POTENCIA Y ENERGÍA MECÁNICA

Paneles solares transformando la energía solar en energía eléctrica http://mural.uv.es/franaboi/EnergiasRenovables.htm

7.1. Trabajo mecánico (W)

Es una magnitud física escalar que nos indica la capacidad que tiene una fuerza

para trasladar un cuerpo de un punto a otro.

- La unidad de medida del trabajo es el N.m (newton. metro) llamada “Joule”.

- Si la fuerza y el desplazamiento tienen el mismo sentido decimos que el trabajo

realizado es positivo, a este trabajo se le llama “trabajo motriz”

- Si la fuerza tiene sentido contrario al desplazamiento del cuerpo decimos que se

trata de un trabajo negativo, en este caso, recibe el nombre de “trabajo resistente”.

- Un caso particular se presenta cuando la fuerza no realiza ningún trabajo, ya sea

porque la fuerza es cero o la distancia de traslado es cero, en cuyo caso recibe el nombre

de “trabajo cero”.

Trabajo motriz vertical aplicado

para levantamiento de pesas.

http://historiasdelregatecha.blogspot

.com/2008_12_01_archive.html

La energía que produce la desintegración del átomo es muy pobre. Esperar obtener una fuente de

energía de estas transformaciones suena a música celestial.

Ernest Rutherford (1871-1937) Físico Británico.


242

7.1.1. Trabajo neto (WN)

Existe un trabajo que viene a ser la suma de los trabajos individuales realizados por

cada una de las fuerzas actuantes, a este trabajo se le llama “trabajo neto” o

“trabajo resultante ” que no viene a ser sino el trabajo realizado por la fuerza

resultante.

FRFiN WWW

Fuerza aplicada en la dirección

del movimiento

Fuerza aplicada con un ángulo de

desviación respecto a la dirección del

movimiento

7.2. Potencia (P)

Es una magnitud física de tipo escalar que nos indica el trabajo, o transferencia de

energía, realizado por cada unidad de tiempo.

v.Ft

W

t

d.FP

Donde “v” es la velocidad promedio con que la fuerza realiza el trabajo.

- La potencia mide la rapidez con que se realiza ese trabajo. En términos matemáticos,

la potencia es igual al trabajo realizado dividido entre el intervalo de tiempo a lo largo

del cual se efectúa dicho trabajo.

- La potencia siempre se expresa en unidades de energía divididas entre unidades de

tiempo.

- La unidad de potencia en el Sistema Internacional es el watt, que equivale a la

potencia necesaria para efectuar 1 joule de trabajo por segundo.

- Además la unidad de potencia tradicional es el caballo de vapor (CV), que equivale

aproximadamente a 735 watt ó el caballo de fuerza (HP), que equivale

aproximadamente a 746 watt,


243

.( ) 100

.( )

Po útil x

Po sumistrada

7.2.1 Eficiencia ( )

Es un número adimensional que nos indica el porcentaje de potencia suministrada

que se obtiene como potencia útil, considerando a la potencia suministrada como el

100 %. Por la regla de tres simple directa, se obtiene la siguiente relación:

7.3. Energía (E)

Es una magnitud física que nos indica la capacidad que tiene un cuerpo (o sistema

físico) para realizar un trabajo

- la energía de un cuerpo se mide por el trabajo que realiza o es capaz de realizar.

- Cada cuerpo tiene una determinada cantidad de energía mecánica, si pierde

energía significa que ha desarrollado trabajo sobre otro cuerpo que ha ganado

exactamente la misma cantidad de energía que perdió el primero, energía que el

segundo lo gasta en trasladarse de un punto a otro, la cantidad de energía

transferida (que perdió uno y ganó el otro cuerpo) se mide por medio de la magnitud

física llamada trabajo, en conclusión, el trabajo mide la cantidad de energía

transferida de un cuerpo a otro.

- Cualquier tipo de energía se mide en joule (1joule J = 1N.m)

7.3.1 Tipos de energía mecánica

De todos los tipos de energía que existe en la naturaleza (mecánica, eléctrica,

luminosa, calorífica, magnética, nuclear, biológica, etc.) nuestro estudio se limita a la

energía mecánica, la que a su vez puede ser de los siguientes tipos

A. Energía potencial gravitatoria ( Epg)

Es la energía que posee un cuerpo en función a su altura respecto a un nivel

(horizontal) de referencia, su valor depende del peso del cuerpo y de su altura

(distancia vertical medida desde el cuerpo hasta un nivel de referencia)

h.g.mEpg

Donde “m” es masa (kg), “g” es aceleración de la gravedad (m/s2), “h” es

altura (m)

¡Si un cuerpo tiene altura posee energía potencial gravitatoria!


244

B. Energía cinética (Ec)

Es la energía que posibilita el movimiento de un cuerpo de un punto a otro

dentro de un sistema inercial de referencia, su valor está en función de la

masa y la velocidad del cuerpo.

2v.m.2

1Ec

Donde “m” es masa y “v” es velocidad

¡Si un cuerpo tiene velocidad posee energía cinética!

C. Energía potencial elástica (Epe)

Es la energía que adquiere un cuerpo elástico al realizar un trabajo sobre él

que altere sus condiciones naturales de estabilidad (al estirarlo, comprimirlo o

torcerlo), esta energía es liberada cuando suspendemos la acción del agente

que causa la deformación.

21Epe .K.X

2

Dónde:

- “K” es una constante que depende del tipo de material (se mide en N/m,

N/cm,,,)

- “X” es la deformación lineal (se mide en m, cm…)

¡Si un cuerpo elástico ha sido deformado posee energía elástica!

Por lo tanto la energía mecánica es:

M pg c peE E E E

Los cuerpos no necesariamente poseen los tres tipos de energía.

7.3.2 Principio de conservación de la energía

- “La energía total del universo permanece constante”, fue enunciado y

demostrado por el Físico alemán Robert Mayer el año 1842.

- Del principio anterior se deduce que:

“La energía no se crea ni se destruye, solamente se transforma”.


245

f om mE E

pg0 c0 pe0 pgF cF peFE E E E E E

A. Teorema del trabajo y la energía mecánica

EL trabajo realizado por una fuerza exterior no conservativa sobre un cuerpo

es igual a la diferencia que existe entre la energía final e inicial de dicho

cuerpo medidos en un proceso.

om

fm EEW

Recuerda

El espacio, el tiempo, la velocidad y la energía son conceptos que debes

meditarlos con profundidad para encontrar los misterios que encierran y la

satisfacción de engrandecer tu conocimiento del universo.


246

Orientaciones:



1. Indicar las afirmaciones correctas:

I. La fuerza de reacción de una superficie

sobre un bloque no realiza trabajo. II. La fuerza de rozamiento estático siempre

realiza trabajo. III. Las fuerzas de rozamiento siempre

realizan trabajo negativo. a) Sólo II b) Sólo III c) Sólo II y III d) sólo I. e) Todas son correctas

2. Hallar el trabajo realizado por “F”. a) 10 J b) 60 J c) 50 J d) 4 J e) 40 J

3. Calcular el trabajo de la fuerza “F”, el cuerpo se desplaza 5m en la dirección de la fuerza “R” a) 60 J b) -120 J c) 50 J d) 40 J e) -50 J

4. Hallar el trabajo que desarrolla F = 10 N. a) 50 J b) -50 J c) 30 J d) 0 J e) 20 J

5. Hallar el trabajo neto; m = 6 kg a) 240 J b) -240 J c) -192 J d) 192 J e) -32 J

6. Si el bloque es arrastrado con la aceleración que se muestra, hallar el trabajo que realiza “F” sabiendo que el rozamiento vale 14N a) -225 J b) -240 J c) 190 J d) 240 J e) -250 J

7. Si el bloque es llevado gracias a la fuerza de F = 50 N durante 5 s. Hallar la potencia desarrollada por “F”. a) 40 W b) 20 W c) 30 W d) 10 W e) 50 W

8. Si: F = 100N y lleva al bloque una distancia de 20m, hallar la potencia desarrollada por “F”. Considere el tiempo de 4s. a) 200 W b) 400 W c) 100 W d) 350 W e) 450 W

9. Una persona de 60 kg sube 20 m por las escaleras de un edificio en 4 min. ¿Qué potencia en watts desarrolló?( g = 10m/s

2 )

a) 42 W b) 150 W c) 30 W d) 50 W e) 180 W

10. ¿Qué motor es más eficiente: el que pierde la quinta parte de la potencia útil ó el que dá como útil los cuatro quintos de la potencia absorbida? a) El primero b) El segundo c) Los dos son de igual eficiencia d) Faltan datos e) Se necesita saber que tipos de motores

son

ACTIVIDAD Nº 7

d = 12 m


247

11. Un motor consume una potencia de 10 kW y es capaz de elevar cargas de 980 N de peso a 10 m/s. ¿Cuál es la eficiencia del motor? a) 95% b) 69% c) 70% d) 58% e) 98%

12. Una máquina absorbe 96 watts de potencia y realiza un trabajo de 320J en 10s. ¿Cuál es la eficiencia de esta máquina? a) 1/3 b) 2/5 c) ¼ d) 3/8 e) 5/9

13. Indique verdadero (V) ó falso (F): ( ) La energía mecánica, de un cuerpo

móvil, se mantiene constante si no existe rozamiento. El cuerpo se mueve sobre una superficie lisa.

( ) La energía mecánica de un cuerpo aumenta, cuando sobre el cuerpo, la fuerza resultante se diferencia es diferente de cero.

( ) La energía mecánica es:

+ +

a) VVV b) FFF c) VFF d) VFV e) FVV

14. En la figura mostrada, halle la energía cinética del cuerpo de 2 kg. a) 400 J b) 200 J c) 600 J d) 300 J e) 50 J

15. Del ejercicio anterior, determine la energía potencial gravitatoria respecto al suelo. a) 12 J b) 120 J c) 300 J d) 250 J e) 80 J

16. Calcule la EM en (A) y (B) para el bloque de

2kg. a) 50 J y 30J b) 40 J; 20 J c) 60 J; 60 J d) 16 J; 16 J e) 80 J, 16 J

17. Evalúe la energía mecánica del bloque de 2kg cuando pasa por la posición mostrada. a) 44J b) 20 J c) 22 J d) 15 J e) 18 J

18. Si Betito de 20 kg es impulsado en “A” con velocidad inicial de 50m/s, hallar la velocidad final con la que pasará por “B”

a) 3 10 m/s b) 5 10 m/s c) 45 m/s

d) 30 5 m/s e) 50 3 m/s

19. Encontrar la variación de energía potencial

gravitatoria que experimenta el cuerpo de 0,5kg al ir de la posición “A” hasta “B” (g = 10m/s

2).

a) 100J b) 40 J c) 20 J d) 70 J e) 80 J

20. Hallar la energía mecánica del cuerpo de 5kg al pasar por A y B. a) 160 J y 250 J b) 490 J y 200 J c) 250 J y 490 J d) 310 J y 490 J e) 310 J y 20 J

6m

72km/h

N.R

8m/s

4m/s

A

B

37º

N.R

4m 8m


248


249

Tema: 8

HIDROSTÁTICA

Aplicaciones de la Hidrostática en la pesca artesanal marítima en el puerto del Callao

http://www. pescaartesanalenredperu.blogspot.com/mar11_MuelledelCallao-Tsunami-OleajesAnomalos.jpg

En alguna ocasión, habrá la oportunidad de ver a enormes barcos, transportando

una gran carga, o deslizar a veloces lanchas sobre la superficie del agua. Alguna vez se

pregunto:

¿Cómo es posible que ocurra ello, si los barcos están fabricados de acero y otros

materiales de mayor densidad que el agua?, ¿por qué no se hunden dichos cuerpos?

Estos y otros fenómenos pueden ser explicados si tenemos conocimientos sobre

hidrostática.

8.1. Hidrostática

Estudia el comportamiento de los cuerpos líquidos y gases (fluidos) de viscosidad

despreciable y en estado de EQUILIBRIO.

8.2. Presión

Es una magnitud física que mide la acción distribuida de una fuerza normal (FN)

sobre una superficie de área “A”.

Lo que sabemos es una gota de agua, lo que ignoramos es el océano. Isaac Newton

(1642-1727) Físico, matemático y astrónomo inglés.


250

NFP

A 2

N;

m Unidad (S.I.)

Pascal (Pa)

FN: Fuerza Normal (N)

A: Área (m2)

8.3. Presión atmosférica

Presión que soporta un cuerpo por el peso de la atmósfera. A nivel del mar esta

presión es:

Po = 1 atm

Relación con otras unidades:

1 bar = 105 Pa

1 atm = 1,013 x 105 Pa = 1,013 bar

1 atm = 76 cm Hg

8.4. Presión hidrostática

En la figura se ve la acción de una

columna líquida sobre cualquier punto de su

interior. Depende de la densidad del líquido ( ),

de la profundidad (H) a la cual se encuentra el

punto y del valor (g) donde se encuentre el

líquido.

L: densidad del líquido (kg/m3)

H: profundidad (m)

¡Recuerda!

Magnitud física escalar que es característica de cualquier sustancia pura. Se define

como la masa de la sustancia por unidad de volumen, es decir:

Unidad (S.I.): Kg /m3

FN

(II)

FN

(I)

10cm

10cm

A A

PHidrostática = L.g.h

D = m

V


251

1

2

3

Observación:

Si hacemos tres agujeros a diferente nivel de la parte lateral de un recipiente,

comprobamos que la presión hidrostática depende de la naturaleza del líquido y de la

profundidad como se observa en la figura anterior.

Consideramos a dos puntos dentro de un líquido de densidad L.

La diferencia de presiones es: B A B ALP P g (h h )

8.5. Ley fundamental de la hidrostática

Todos los puntos pertenecientes a un mismo líquido en reposo, que se encuentren

al mismo nivel soportan igual presión hidrostática.

Aplicación: vasos comunicantes 1:

La presión hidrostática no depende de

la forma del recipiente.

Debido al hecho de que la presión en

un fluido solo depende de la profundidad,

cualquier aumento de la presión en la

superficie se debe transmitir a cualquier punto

en el fluido. Esto lo observo por primera vez

el científico francés Blaise Pascal (1623-

1662) y se conoce como la Ley de Pascal.

La presión hidrostática se

incrementa con la profundidad

P3 > P2 > P1

P = Lg h

LB B

LA A

P gh

P gh

B

hB

hA

A

1 http://3.bp.blogspot.com/_BRAI6B-AEsU/SGev0GXNCQI/AAAAAAAAA2Q/L06ROUduUVE/s400/vasos_comunicantes.jpg


252

8.6. Principio de Pascal (transmisión de la presión por los líquidos y gases)

“Un gas o líquido transmite sin

alteración y en todas las direcciones la

presión ejercida sobre el”.

Aplicación: prensa hidráulica

Una fuerza F1 al actuar sobre el

pistón de área A1 comunica al líquido

una presión; esta presión se transmite a

través del líquido hasta un pistón de

área A2 (A2 > A1). Como la presión

comunicada es la misma.

P1 = P2

1 2

1 2

F F

A A

22 1

1

AF F

A

Los frenos hidráulicos en los automóviles, rampas, gatos hidráulicos, entre otros

utilizan este principio.

8.7. Principio de Arquímedes

“Todo cuerpo total o parcialmente sumergido en un fluido desaloja una cantidad de

él, cuyo “peso” es numéricamente igual al valor de la fuerza que ejerce dicho fluido

sobre el cuerpo, denominado fuerza de empuje (e)”.


253

8.8. Fuerza de empuje:

A) El valor de la fuerza de Empuje (e), es numéricamente igual al producto del

peso específico del líquido ( ), por el volumen de la parte sumergida (VP.S.)

ELIQ.

L

LIQ Lg

• = densidad del líquido

• g = aceleración de la gravedadL

B) El valor de la fuerza de empuje es numéricamente igual a la diferencia entre el

“peso” real del cuerpo en el aire, menos el “peso” aparente del cuerpo en un

líquido cualquiera.

A la fuerza de empuje también le conoce como:

Arquímedes 1

(Siracusa, actual Italia, h. 287 a.C.-

id., 212 a.C.) Matemático griego. Hijo de

un astrónomo, quien probablemente le

introdujo en las matemáticas.

Sólo se conocen una serie de

anécdotas. La más divulgada la relata

Vitruvio y se refiere al método que utilizó

para comprobar si existió fraude en la

confección de una corona de oro

encargada por Hierón II, tirano de

Siracusa y protector de Arquímedes,

quizás incluso pariente suyo. Hallándose en un establecimiento de baños, advirtió que el

agua desbordaba de la bañera a medida que se iba introduciendo en ella; esta

observación le inspiró la idea que le permitió resolver la cuestión que le planteó el tirano.

Se cuenta que, impulsado por la alegría, corrió desnudo por las calles de Siracusa hacia

su casa gritando «Eureka! Eureka!», es decir, «¡Lo encontré! ¡Lo encontré!».


254

Orientaciones:


1. El principio de la física que explica la razón

por la que un barco flota en el mar, es: a) Principio de acción y reacción b) Principio de Arquímedes c) Principio de Pascal d) Principio de conservación de la energía e) Principio de incertidumbre

2. La punta de un lapicero se clava en un cuaderno que tiene una superficie de 6cm

2.

Calcular la presión ejercida sobre ella al aplicar una fuerza de 36N. a) 12,5 KPa b) 24,9 KPa c) 40 KPa d) 45,5 KPa e) 60 KPa

3. En un tubo en donde la presión del agua vale 1000 Pa existe una abertura de 65x10

-3 m

2

¿con qué fuerza en Newton, debe aplicarse un tampón para detener la salida del agua? a) 35 N b) 45 N c) 65 N d) 85 N e) 90 N

4. Un buzo se encuentra a 50 m de profundidad y además PATM = 100 kPa. Determine la presión que actúa sobre dicho buzo, en N/cm

2. (considere la densidad de agua de

mar 1,2g/cm3 y g=10m/s

2).

a) 50 N/cm

2 b) 70 N/cm

2 c) 80 N/cm

2

d) 90 N/cm2 e) 100 N/cm

2

5. En la siguiente figura. La presión hidrostática

en el punto A es: (considere g= 10 m/s2)

a) 10

4 Pa

b) 105 Pa

c) 103 Pa

d) 102 Pa

e) 10 Pa

6. El recipiente muestra un líquido de densidad igual a 800 kg/m

3. Calcular la diferencia de

presión entre los puntos “A” y “B”. a) 19.4 KPa b) 12.3 KPa c) 23.52 KPa d) 10 KPa e) 32.1 KPa

7. En la figura mostrada, determinar la presión en el punto “A”. La densidad de los líquidos no miscibles son: D1 = 800Kg/m

3 D2 = 1000Kg/m

3

g = 10m/s2

a) 12 KPa b) 16 KPa c) 27 KPa d) 28 KPa e) 34 KPa

8. En el tubo en U de la figura, se ha llenado la rama de la derecha con mercurio y la de la izquierda con un líquido de densidad desconocida. Los niveles definitivos son los indicados en el esquema. Hallar la densidad del líquido desconocido. a) 1.94 kg/m

3

b) 1.2 kg/m3

c) 7.3 kg/m3

d) 0.4 kg/m3

e) 5.0 kg/m3

9. En un tubo en U, se tiene tres líquidos no miscibles, calcular “h” DA = 3 000 kg/m

3, DB = 2 000 kg/m

3,

DC = 4 000 kg/m3

a) 1.3 m b) 1.5 m c) 2.0 m d) 2.5 m e) 3.0 m

10. En el sistema mostrado calcular la relación en la que se encuentra FA y FB para que el sistema se encuentre en equilibrio. A2 = 6A1. a) 1/3 b) 1,2 c) 1/5 d) 1/6 e) 1/4

A

10 magua

ACTIVIDAD Nº 8


255

11. Calcular el peso (en N) de la persona, si se sabe que el sistema se encuentra en equilibrio. Despreciar el peso de los émbolos. A1= 10

-2m

2, A2=0,15 m

2 y F=80N

a) 1200 N b) 600 N c) 424 N d) 1360 N e) 400 N

12. Determinar la masa de “2” (en kg) si: m1=4kg y A1= 8cm

2 y A2=100 cm

2, sabiendo además

que el sistema está en equilibrio. a) 20 kg b) 80 kg c) 50 kg d) 30 kg e) 40 kg

13. Del gráfico calcular el peso del auto F = 600N si A1=20cm

2, A2=300cm

2 el sistema está en

equilibrio a) 10 KN b) 8 KN c) 9 KN d) 6 KN e) 50 KN

14. Si el sistema se mantiene en equilibrio y los émbolos son de masa despreciable. Determine la masa del bloque “P” para mantener en equilibrio al auto de 800kg. (A = área) a) 20 kg b) 40 kg c) 60 kg d) 80 kg e) 100 kg

15. En el sistema mostrado se ha colocado un bloque de 700 N sobre el embolo “B”. ¿En cuánto se incrementa la presión en el fondo del recipiente? (A1 =2m

2; A2 = 10m

2)

a) 50 Pa b) 60 Pa c) 70 Pa d) 80 Pa e) 90 Pa

16. Un cuerpo de 0,3 m3 de volumen se introduce

completamente en agua. ¿Qué empuje recibiría por parte del agua? (g = 10 m/s

2)

a) 2 KN b) 1 KN c) 3 KN d) 1,5 KN e) 2,5 KN

17. Del problema anterior, se pide averiguar la fuerza que es necesario aplicar contra dicho cuerpo para mantenerlo sumergido, si se sabe que su peso es de 2000 N. a) 1 KN b) 2 KN c) 0,5 KN d) 1,5 KN e) 0,7 KN

18. Un cuerpo cilíndrico de 2m3 está sumergido

hasta sus 3/4 partes. Determine el empuje que experimenta de parte del agua. (g=10m/s

2).

a) 10 KN b) 15 KN c) 20 KN d) 25 KN e) 30 KN

19. ¿Qué empuje experimentará un cuerpo de 60dm

3 de volumen, si se sumerge totalmente

en agua? (1dm

3 = 10

–6 m

3)

a) 0,5 N b) 0,4 N c) 0,2 N d) 0,7 N e) 0,6 N

20. Sabiendo que el bloque mostrado está en equilibrio, y que su volumen es V = 5.10

-4m

3,

se pide: el peso del bloque: a) 3 N b) 4 N c) 5 N d) 6 N e) 7 N

v5

1

H2O

(P)

A

10A

F

A1 A2


256


257

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Aucallanchi, F. (2006). Problemas de Física y cómo resolverlos. Lima: RACSO editores.

Carreño, F. (2001). Óptica Física: Problemas y Ejercicios Resueltos. España: Prentice

Hall.

Ribeiro, L., y Alvarenga, A. (2002). Física. México: Oxford.

Sears, F., Zemansky, M., Young, F., y Roger, A. (1999). Física Universitaria. México:

Pearson Education.

Silva, D. (2003). Física. Barcelona: Reverté.

Vásquez, J. (2001). Física Teórica y Problemas. Perú: San Marcos

Wilson, J. (1996). Física. México: Prentice Hall.

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dad I FUNDAMENTACIÓN DE LA MECÁNICA · 37º y 53º 45º 30º y 60º ... Tg = ab Tg = ba Ctg = ba Ctg = ab Sec = hb ... Para calcular la dirección del vector en el plano se usa