Dadas las siguientes funciones y gráficas, asocia cada ... · Funciones. 63 Ejercicios para practicar con soluciones 1 Dadas las siguientes funciones y gráficas, asocia cada función

Funciones. 63 Ejercicios para practicar con soluciones

1 Dadas las siguientes funciones y gráficas, asocia cada función con su gráfica:a) f(x) = 2x b) g(x) = -2x c) h(x) = 2x

1 y

x

2 y

x

3 y

x

Solución:a) La 3; b) La 2; c) La 1

2 De las siguientes funciones decir cuál de ellas son funciones, y en ese caso indica el dominio y elrecorrido.

a) b) c)

Solución:Aplicando el test de la línea vertical se observa que en a) y en c) se puede cortar la gráfica en más de un punto.Sólo es una función la correspondiente apartado b).Dominio (-∞,0)Recorrido (-∞,0)

1

33437

3 Dadas las siguientes funciones y gráficas, asocia cada función con su gráfica:a) f(x) = x b) g(x) = - x c) h(x) = x2

1 y x

2 y x

3 y x

Solución:a) La 3; b) La 2; c) La 1

4 Indica el dominio y el recorrido de las siguientes funciones:

a) 1x1f(x) −= b) 2xf(x) += c) f(x) = -x + 1

Solución:a) Dom(f) = R - {0}; Rec(f) = R - {1}b) Dom(f) = R +; Rec(f) = [2, 4)c) Dom(f) = Rec(f) = R


a) 4xf(x) −= b) 13x

2f(x) −+

= c) f(x) = x2 +4

Solución:a) Dom(f) = [-4, 4); Rec(f) = (0, 4)b) Dom(f) = R - {3}; Rec(f) = R - {-1}c) Dom(f) = R ; Rec(f) = [4, 4)

6 De las siguientes funciones decir cuál de ellas son funciones, y en ese caso indica el dominio y elrecorrido.

a)

b)

c)

2

Solución:Aplicando el test de la línea vertical se observa que en a) y en c) se puede cortar la gráfica en dos puntos. Sólo esuna función la correspondiente apartado b).Dominio (0,∞)Recorrido (-∞,0)


a) y = 14x + 2 b) 1x

1y−

= c) x2y +=

Solución:a) Dom(f) = Rec(f) = Rb) Dom(f) = R - {1}; Rec(f) = R - {0}c) Dom(f) = [- 2, 4); Rec(f) = [0, 4)

8 Representa las siguientes funciones e indica su dominio y recorrido:

a) ( )[ ]⎪⎩

⎪⎨⎧

∈∞−∈=0,2x si 2x,

,0x si ,xf(x)2

b) [ ]( )⎩

⎨⎧

∈∈

=1,2x si 2,2,1-x si 3,

g(x)

Solución:a) y

x …

b) y

x …

a) Dom(f) = ( ],2- ∞ , Rec(f) = [ )+∞0,b) Dom(g) = [ )2,2− , Rec(g) = {2,3}

9 A partir de la gráfica dada, escribe la función que la representa y di su dominio y su recorrido. (Cadacuadrado de la gráfica representa una unidad) y

x

3

4


a) [ )[ ]⎩

⎨⎧

∈∈

=0,2x si x,4,-1-x si 2x,

f(x) b) [ ]( )⎩

⎨⎧

∞∈∈

=1,x si 3,

1,1-x si ,xg(x)

Solución:a) y

x …

b) y

x …

a) Dom(f) = [ ) [ ]0,24,-1- ∪ , Rec(f) = [ ) [ ]0,228, ∪−−b) Dom(g) = [ )+∞1,- , Rec(g) = [ ] {3}0,1 ∪

11 La siguiente tabla indica la variación del consumo de helados por día en función de la temperatura. Escribela función que representa el número de helados en función de T y dibújala.

Solución:La recta que representa la función se puede calcular a partir de cualquier pareja de puntos es:

Nºh (T) = 8T31

−

Nº h

T 3 6 9 ……………… ….27 30 …

12 Dada la función: 112xf(x) ++= indica su dominio, su recorrido y dibújala.

Solución:La gráfica pertenece a la recta: y = -x + 2Dom(f) = [-2,4)Rec(f) = (0,3]

33º 36ºNº helados 1 2 3 4Temperatura 27º 30º

5

13 Dada la función: 12xf(x) += indica su dominio, su recorrido y dibújala.

Solución:

Dom(f) =[-21 ,4)

Rec(f) = [0, 4)

Tomando algunos valores:

14 Escribe la función que representa la siguiente tabla y dibújala.

Solución:

Dom(f) = [-21 ,4)

Rec(f) = [1,4)


x -1/2 0 1,5 2 3f(x) 0 1 2 2,2 2,6

f(x) 1 2 3 3,2

x 1 -1 2 -2 3 -3y 1 -1 1/2 -1/2 1/3 -1/3

3,6x -1/2 0 1,5 2 3

6

15 Escribe la función que representa la siguiente tabla y dibújala:

Solución:La función es la recta: y =2x +1 y

x

16Dada la función:

63x1f(x)+

= indica su dominio y su recorrido y dibújala.

Solución:

La función es: x1y =

y

x

-2 -1 0 1 2f(x) -3 -1 1 3 5x

7

17 A partir de la gráfica dada, escribe la función que la representa y di su dominio y su recorrido. (Cadacuadrado de la gráfica representa media unidad) y

x

Solución:

La gráfica pertenece a la recta: 1x21y +−=

Dom(f) = [-1,2)

Rec(f) = ⎥⎦

⎤⎜⎝

⎛230,

18Dada la función:

93x2f(x)+

= indica su dominio, su recorrido y dibújala.

Solución:Dom(f) = R - {-2}Rec(f) = R - {0}


f(x) -1/6 -1/3 1/3 1/6 1/9x -4 -3 -1 0 1

8


a) [ )[ ]⎩

⎨⎧

∈∈

=0,2x si 2,3,0-x si x,

f(x) b) [ ]( ]⎩

⎨⎧

∈∈−

=1,2x si x,

2,1-x si x,g(x)

Solución: a) y

x …

b) y

x …

a) Dom(f) = [ ]3,2− , Rec(f) = [ ) {2}3,0 ∪−

b) Dom(g) = [ ]2,2− , Rec(g) = [ ]1,2−

20Dada la función

12x1f(x)+

= indica su dominio y su recorrido y dibújala.

Solución:Dom(f) = R - {-3}Rec(f) = R - {0}


f(x) -1/3 -2/3 2/3 1/3 2/9x -5 -4 -2 -1 0

9

21Calcula f + g y f - g indicando su dominio si

x1f(x) = y

2xx1g(x)

+−

= .

Solución:

2)x(x2x2xg)(x)(f

2

+++−

=+ . Dom(f+g) = { }2,0−−R .

2)x(x2xg)(x)(f

2

++

=− . Dom(f+g) = { }2,0−−R .

22Dadas 1-3xf(x) = y

x1g(x) = , calcula gf o indicando su dominio.

Solución:

1x3g)(x)(f −=o . Dom( gfo ) = { }0−R .

23Sumar las funciones 1

x1f(x) −= y

2x1xg(x)

−+

= y calcula su dominio.

Solución:

x2x2x4g)(x)(f

2

2

−

−=+ . Dom(f+g) = {0,2}−R .

Solución:

Dom(f) = R - {-21 }

Rec(f) = R - {0}

Tomando algunos valores:0 1 2

f(x) -1/3 -1 1 1/3 1/5x -2 -1

24Multiplicar las funciones

1x1xf(x)

−+

= y 1x1xg(x)

2

2

+

−= y calcula su dominio.

Solución:

1xxx1xxx(f·g)(x)

23

23

−+−

−−+= . Dom(f·g) = {1}−R .

25Dadas 2xf(x) += y

x1g(x) = , calcula f + g indicando su dominio.

Solución:

x1x2xg)(x)(f

2 ++=+ . Dom(f+g) = { }0−R .

26Dadas

x11f(x) −= y

1-x3-xg(x) = , calcula f · g indicando su dominio.

Solución:

1)x(x3x4x(f·g)(x)

2

−+−

= . Dom(f·g) = { }0,1−R .

27 Calcula f + g indicando su dominio:a) 4xg(x) 3,x2xxf(x) 223 −=+−+=

b) 2x

1g(x) ,12x

3xf(x)−−

=+

=

Solución:

a) 4x3xx2xg)(x)(f 223 −++−+=+ . Dom(f+g) = ( ] [ )+∞∪−∞− 2,2, .

b) 2)1)(xx(21x8x3g)(x)(f

2

−+−−

=+ . Dom(f+g) = ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−− ,2

21R .

28Divide las funciones x2f(x) −= y

x1g(x) = y calcula su dominio.

Solución:

x2x(x)gf

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛. Dom(f/g) = ( ],2∞− .

29Comprobar si 2xf(x) = y

2xg(x) = son funciones recíprocas entre sí.

Solución:

Como x2x2g)(x)(f ==o es la función identidad, entonces sí son recíprocas.

10

30 Dados 1xf(x) 2 −= , 12xg(x) += , realiza gf o y fg o y calcula el dominio en cada caso.

Solución:x211x2g)(x)(f =−+=o . Dom( gfo ) = R .

1x2x211)2(xf)(x)(g 22 +−=+−=o . Dom( fgo ) = R .

31 Calcula f · g e indica su dominio, para:

a) 1xxxg(x) ,

2x1xf(x)

2

+−

=+

=

b) 6-2x2xg(x) 6,-x-xf(x) 2 −

==

Solución:

a) ( )( )1xx2

1xxx(f·g)(x)2

++−

= . Dom(f·g) = { }1,0−−R .

b) 6x2

36x6x8x2(f·g)(x)23

−+−−

= . Dom(f·g) = { }3−R .

32Calcula, si existe, la función recíproca de

x112xf(x)

−−

= .

Solución:

2x1x(x)f 1

++

=−

33 Calcula g)(x)(f o y su dominio si xf(x) = y 12xg(x) −= .

Solución:

1x2g)(x)(f −=o . Dom( gfo ) = ⎟⎠

⎞⎢⎣

⎡ +∞,21 .

34Simplificando la función

2x4xg(x)

2

−−

= obtenemos la función 2xf(x) += . ¿Eso significa que las funciones

f(x) y g(x) son iguales? Razona tu respuesta.

Solución:Las funciones racionales, al simplificarlas no queda la misma función, porque podemos eliminar algunadiscontinuidad. Por ejemplo, en este caso , f y g son iguales en todos los puntos excepto para x = -2, donde f escontinua y g es discontinua.

35 Calcula la función recíproca de 32xf(x) −= .

Solución:

23x(x)f 1 +

=−

11

36Calcula f + g, f - g y f / g, indicando sus dominios, si

3xxx3f(x)

2 −

+= y

34xx53xg(x)

2 +−

−= .

Solución:

3)1)(xx(x3x3x4g)(x)(f

2

−−−−

=+ . Dom(f·g) = { }0,1,3−R .

3)1)(xx(x3x7x2g)(x)(f

2

−−−+−

=− . Dom(f·g) = { }0,1,3−R .

5)x3)(3x(x3)x4x)(x(3(x)

gf 2

−−+−+

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛. Dom(f·g) =

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧− ,3

350,R .

37 Calcula g)(x)(f o y su dominio si 2xf(x) += y ( )21xg(x) −= .

Solución:( ) 3x2x21xg)(x)(f 22 +−=+−=o . Dom( gfo ) = R .

38 Dadas 32xf(x) += y 2xg(x) = , hallar ggg f,g g,f f,f ooooo .

Solución:9x433)x2(2f)(x)(f +=++=o .

3x2g)(x)(f 2 +=o .

( )23x2f)(x)(g +=o .

( ) 8222 xxg)(x)g(g =⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛=oo .

39Calcula la función recíproca de

x2x1f(x) +

= .

Solución:

2x1(x)f 1

−=−

40Dados 1xf(x) += ,

63xx2g(x)

−−

= , realiza f - g, f · g y f / g y calcula el dominio en cada caso.

Solución:

6x38x2x3g)(x)(f

2

−−−

=− . Dom(f -g) = { }2−R .

6x32xx(f·g)(x)

2

−++−

= . Dom(f·g) = { }2−R .

x26x3x3(x)

gf 2

−−−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛. Dom(f/g) = { }2−R .

12

41 Calcula los puntos de corte con los ejes de las siguientes funciones:a) y = 2x + 1; b) y = x2 - 4; c) y = -x + 8

Solución:a) (0,1) y (-1/2,0) b) (-2,0); (2,0) y (0,-4) c) (0,8) y (8,0)

42 Representa e indica si son simétricas y el tipo de simetría de las siguientes funciones:a) y = - x2 b) y = 2x

Solución:a) b)

a) y = -x2. La función es simétrica respecto al eje OYb) y = x2 La funcion es simétrica respecto al eje OY

43 Ponemos en marcha un cronómetro en el mismo instante que empieza una carrera. Los 3 primerossegundos la velocidad de los corredores aumenta a razón de 1 m/s cada segundo. Los siguientes 7segundos se mantiene constante la velocidad en el valor máximo alcanzado en el primer intervalo. En losúltimos 6 segundos, la velocidad decrece hasta que se paran. De las siguientes funciones indica cuál lavelocidad de los atletas en función del tiempo. (Las divisiones son de una unidad)a) b) c) v

t

v

t

v

t

Solución:La gráfica b) se corresponde con los datos del enunciado.

13

44 Estudia la siguiente gráfica, indicando: dominio, recorrido, puntos de corte con los ejes, simetría,periodicidad crecimiento, continuidad, máximos y mínimos.

Solución:Dominio: todos los realesRecorrido: (0,∞)Corte eje OY: (0,1) eje OX: (-1,0)Simetría: Respecto a la recta x = -1Periodicidad: No es periódicaCreciente: x > -1 Decreciente: x < -1Continuidad: la función es continua siempre.Máximos: No tiene Mínimos: (-1,0)

45 Calcula los puntos de corte con los ejes de las siguientes funciones:a) y = x - 3; b) y = x2 - 16; c) y = 2x + 4

Solución:a) (0,-3) y (3,0) b) (-4,0); (4,0) y (0,-16) c) (0,4) y ( -2,0)


Solución:Dominio: R - {0}Recorrido: R - {0}Corte eje OY: No tiene eje OX: No tieneSimetría: Respecto del origenPeriodicidad: NO tieneCreciente: Nunca Decreciente: SiempreContinuidad: la función no es continua en x = 0.Máximos: No tiene Mínimos: No tiene

14


Solución:Dominio: Todos los realesRecorrido: [-4, 4]Corte eje OY: (0,0) eje OX: (-8,0); (-4,0); (0,0); (0,4); (0,8)…Simetría: Respecto del origenPeriodicidad: Es periódica de T = 8Creciente: -9<x<-7; -1<x<1; 7<x<9;…. Decreciente: -7<x<-6; -5<x<-4; -3<x<-2; 1<x<2; 3<x<5….Continuidad: la función es continua siempre.Máximos: (-7,4); (1,4)…. Mínimos: (-1,4); (7,4)….


Solución:Dominio: Todos los realesRecorrido: [-2, 2]Corte eje OY: (0,0) eje OX: …(-6,0); (-4,0); (-2,0); (0,0); (2,0); (4,0); (6,0)….periódicaSimetría: Respecto del origenPeriodicidad: Es periódica de T = 4Creciente: …-5<x<3; -1<x<1; 3<x<5…. Decreciente: -7<x<5; -3<x<-1; 1<x<3; 5<x<7….Continuidad: la función es continua siempre.Máximos: (-7,2); (-3,2); (1,2); (5,2)… Mínimos: (-5,-2); (-1,-2); (3,-2); (7,-2)

49 Dibuja e indica las zonas de crecimiento y de decrecimiento de las siguientes funciones:a) y = x2 b) y = 2x - 3 c) y = -x + 1

15

Solución:a) b) c)

a) y = x2

Decreciente: (-∞,0)Creciente: (0, ∞)b) y = 2x -3Esta recta es siempre creciente.c) y = -x + 1Esta recta es siempre decreciente

50 Representa las siguientes funciones a trozos:

a) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

∞<≤<≤

<=

x1 si x,1x0 si ,x

0x si ,xf(x)

2

b) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

∞<≤<≤+

−<−=

x0 si 3,0x3- si 1,x-

3x si 1,xf(x)

Solución:a) y

x …

b) y

x …

16

51 La gráfica que se da a continuación indica la evolución de un valor de la bolsa (en el eje vertical en miles deeuros por acción) durante una jornada. Estudia su dominio, recorrido, puntos de corte, simetría,periodicidad, crecimiento, continuidad, máximos y mínimos.

€/acc t

10 11 12 13 14 15 16

Solución:Dominio: [10,16 )Recorrido: [-2000, 6000)Corte eje OY: No aparece en la gráfica (y = 0) por tanto no se puede decir el punto de corte. eje OX: 12:45 y14:15Simetría: No es simétricaPeriodicidad: No es periódicaCreciente: Intervalos 10:00h a 10:30h; 11:00h a 11:30h; 14:00h a 14:30hDecreciente: Intervalos 11:30h a 12:00h; 12:30h a 13:00h; 14:30h a 16:00hContinuidad: La función es continua en todo su dominioMáximos: (11:30h , 6000), (14:30h , 4000)Mínimos: (13:00h ,-2000)

52 Calcula los puntos de corte con los ejes de las siguientes funciones:

a) y = x2 - 5x + 6 b) 4x

209xxy2

−+−

= c) y = x2 - x + 6

Solución:a) (2,0); (3,0) y (0,6) b) (5,0) y (0, -5) c) (-3,0); (2,0) y (0,6)

53 Dibuja una gráfica con las siguientes características:Dom (-∞,∞ ); Rec[1,4]; Ptos de corte (0,2);Periódica de T = 4Máximos donde quieras con la condición de que entre ellos exista la misma relación que marca el periodo.Mínimos los que se quieran sin condiciones.Sin discontinuidades y no simétrica.

17

Solución: y

x

Esta o cualquier otra que cumpla las condiciones del enunciado.

54 Dibuja las gráficas de tres funciones que corten a los ejes en los siguientes puntos:a) (-7,0); ( -5,0); (-3,0); (-1,0); (1,0); (3,0)b) (-2,0); (0,0) y (2,0)c) (0,2) y (0,4)

Solución:a)

b)

c) No es una función ya que al valor 0 de las x se le asignan dos valores de y.

55 La gráfica que se da a continuación representa el volumen de combustible en el depósito de unagasolinera al cabo de un día. Estudia su dominio, recorrido, puntos de corte, simetría, periodicidad,crecimiento, continuidad, máximos y mínimos.

miles de litros hora 7 13 19

18

Solución:Dominio: [7,19 )Recorrido: [500, 6000)Corte eje OY: No aparece en la gráfica (y = 0) por tanto no se puede decir el punto de corte. eje OX: ningunoSimetría: No es simétricaPeriodicidad: Es periódica en el intervalo que está definidaCreciente: NuncaDecreciente: SiempreContinuidad: La función no es continua en la hora 13.Máximos: (7,6000), (13,6000)Mínimos: (13,500); (19,500)

56 Dibuja una gráfica con las siguientes características:Dom [-5,7] ; Rec(-∞,4]; Ptos de corte (-3,0), (1,0) y (0,2); Discontinuidad en x = 4; Máximo en (6,4);sin mínimos, no periódica y no simétrica.

Solución: y

x


57 Estudia las zonas de crecimiento y de decrecimiento de las siguientes funciones:

a) y = x3 b) y = x5 c) 2x1y =

Solución:a)

b)

c)

a) Siempre crecienteb) Siempre crecientec) Creciente: (-∞,0)decreciente: (0, ∞)

19


Solución:Dominio: R - {0}Recorrido: R - {1}Corte eje OY: No tiene eje OX: (-1,0)Simetría: Es simétrica respecto al punto (0,1)Periodicidad: No es periódicaCreciente: Nunca Decreciente: SiempreContinuidad: la función no es continua en x = 0.Máximos: No tiene Mínimos: No tiene

59 Representa las siguientes funciones:

a) ( )[ ]⎪⎩

⎪⎨⎧

∈∞−∈=0,2x si 2x,

,0x si ,xf(x)2

b) [ ]( ]⎩

⎨⎧

∈∈−

=1,2x si x,

2,1-x si x,g(x)

Solución:a) y

x …

b) y

x …

20


Solución:Dominio: Todos los reales.Recorrido: [-1,3]Corte eje OY: (0,3) eje OX: (-8,0); (-6,0); (-4,0); (-2,0); -1,0); y los puntos simétricos de las x positivas.Simetría: La función es simétrica respecto al eje OYPeriodicidad: La función no es periódicaCreciente: (-5,-3); (-1,0); (1,3); (5,7) …. Decreciente: (-7,-5); (-3,-1); (0,1); (3,5)…Continuidad: la función es continua siempre.Máximos: Absoluto (0,3); relativos (3,1); (-3,1); (5,1); (-5,1)… Mínimos: (1,-1); (-1,-1); (5,-1); (-5,-1)…


Solución:Dominio: R - {…,-8,-6,-4,-2,0,2,4,6,8…}; R - {2n}Recorrido: (-2,2)Corte eje OY: No tiene eje OX x ={-7,-5,-3,-1,1,3,5,7….}Simetría: Es simétrica respecto del origenPeriodicidad: Es periódica con T = 2Creciente: Nunca Decreciente: En tos los trozos de la funciónContinuidad: la función no es continua en: x = {…,-8,-6,-4,-2,0,2,4,6,8…}Máximos: los valores máximos son los del principio del intervalo y los mínimos los del final.

62 Dibuja una gráfica con las siguientes características:Dom [-7,7); Rec[-2,3]; Ptos de corte (0,1), (-2,0) y (3,0); Discontinuidad en x = 4; Un máximo en (5,3);Mínimo en (-3,-2); no periódica y no simétrica.

21

Solución: y

x


63 La gráfica que se da a continuación indica la velocidad de un “yoyo” en su movimiento de subida y bajada.Estudia su dominio, recorrido, puntos de corte, simetría, periodicidad, crecimiento, continuidad, máximos ymínimos. v

t

Solución:Dominio: (-∞,∞ )Recorrido: [0, 4)Corte eje OY: (0,0) eje OX: (0,0); (4,0); (-4,0); (8,0); (-8,0)…Simetría: No presenta simetríaPeriodicidad: Es periódica con T = 4Creciente: En los intervalos (-8,-6); (-4,-2); (0,2); ( 4,6)…Decreciente: En los intervalos (-6,-4); (-2,0); (2,4); (6,8)…Continuidad: la función es continua.Máximos: (-6,4), (-2,4); (2,4); (6,4)…Mínimos: Todos los puntos en que corta al eje OX

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