Τι δεν ισχύει στις φθίνουσες και στις εξαναγκασμένες ταλαντώσεις Νίκος Σταματόπουλος

Α. Φθίνουσες Μηχανικές ταλαντώσεις α) Το πλάτος Α και η μέγιστη ταχύτητα υmax δεν είναι σταθερά. β) Κατά τη διάρκεια μιας “πλήρους ταλάντωσης” η ενέργεια ταλάντωσης δεν είναι σταθερή.

γ) ∆εν ισχύει η σχέση: 2a xω= − αλλά ισχύει : D ba xm m

υ= − − (1)

που προκύπτει από το 2ο νόμο του Νεύτωνα . Από τη σχέση αυτή προκύπτουν τα εξής συμπεράσματα:

i) Όταν το σώμα περνά από τη θέση x = 0 η επιτάχυνση δεν είναι μηδέν.

ii) Μόνο στις ακραίες θέσεις ισχύει Da xm

= − αλλά η επιτάχυνση δεν είναι τότε μέγιστη.

[Απόδειξη: Η παραγώγιση της (1) δίνει : 2

2

(1)d D b D b D b b D b Da a x xdt m m m m m m m m m

υ υ υ υ⎡ ⎤⋅⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − − − − − = + −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦=

Τότε στην ακραία θέση (υ = 0) η παράγωγος της επιτάχυνσης δεν μηδενίζεται.]

iii) Η ταχύτητα δεν είναι μέγιστη στη θέση x = 0 [Απόδειξη: Από την (1) στη θέση x = 0 προκύπτει α ≠ 0, άρα η ταχύτητα δεν είναι η μέγιστη.]

iv) Η ταχύτητα στη θέση x = 0 δεν είναι kAω [Απόδειξη: Έστω κάποια στιγμή το σώμα βρίσκεται στην ακραία θέση x = kA

Τότε η ενέργεια ταλάντωσης είναι 212 kDA . Όταν θα φθάσει στη θέση x = 0 , θα έχει ελαττωθεί

η ενέργειά του λόγω απωλειών , δηλαδή 2 20 0

1 12 2 k km DA Aου υ ω< ⇒ < ]

v) Η μέγιστη ταχύτητα δεν είναι kAω . (βλ. «Αποδείξεις για καθηγητές»)

vi) Η ταχύτητα και η απομάκρυνση δεν έχουν διαφορά φάσης π/2. (βλ. «Αποδείξεις για καθηγητές»)

vii) Το χρονικό διάστημα κίνησης από την ακραία θέση στην x = 0 δεν είναι Τ/4. (βλ. «Αποδείξεις για καθηγητές»)

viii) Αν τη χρονική στιγμή t = 0 το σώμα αφήνεται από τη θέση x = Ao , τότε δεν ισχύει: ( / 2)t

ox A e tημ ω π−Λ= ⋅ + ή ισοδύναμα tox A e tσυνω−Λ= ⋅

(βλ. «Αποδείξεις για καθηγητές»)

δ) ∆εν ισχύει dK Dxdt

υ= − αφού δεν ισχύει 0dK dUdt dt

+ =

αλλά ισχύουν:

i) dU Dxdt

υ= (διότι ( )F F dxdU dW F Dx Dxdt dt dt

επανεπανυ υ υ⋅

= − = − = − = − − = )

ii) ( )dK F Dx bdt

υ υ υ= Σ ⋅ = − + ⋅ (η σχέση: dK Fdt

υ= Σ ⋅ προκύπτει από το Θεώρημα

Μεταβολής της Κινητικής Ενέργειας «ΘΜΚΕ» )

iii) 0dEdK dU

dt dt dtαποσβ+ + = όπου 2dE

bdtαποσβ υ= ο ρυθμός απώλειας ενέργειας .

Νίκος Σταματόπουλος Σελίδα 2

Β. Φθίνουσες Ηλεκτρικές ταλαντώσεις α) Το μέγιστο φορτίο Q και το πλάτος της έντασης του ρεύματος Ι δεν είναι σταθερά.

β) Κατά τη διάρκεια μιας πλήρους ταλάντωσης η ενέργεια ταλάντωσης δεν είναι σταθερή.

γ) ∆εν ισχύει η σχέση: 2di qdt

ω= − αλλά ισχύει : 1di Rq i

dt LC L= − −

που προκύπτει από τον 2ο κανόνα του Kirchhoff :

C Rdi qE V V L i Rdt Cαυτ = + ⇒ − = + ⋅

Από τη σχέση αυτή προκύπτουν τα εξής συμπεράσματα:

i) Όταν ο πυκνωτής είναι αφόρτιστος ( q = 0 → VC = 0 ) ο ρυθμός μεταβολής του ρεύματος didt

(άρα

και η VL ) δεν είναι μηδέν.

ii) Μόνο όταν ο πυκνωτής είναι πλήρως φορτισμένος ισχύει 2max

di qdt

ω= − αλλά το didt

δεν είναι

τότε το μέγιστο

iii) Η ένταση του ρεύματος δεν είναι μέγιστη όταν ο πυκνωτής είναι αφόρτιστος, δεν είναι kQω ούτε η μέγιστη ένταση είναι kQω .

iv) Η ένταση του ρεύματος και το φορτίο δεν έχουν διαφορά φάσης π/2.

v) Αν τη χρονική στιγμή t = 0 ο πυκνωτής έχει φορτίο Qo και το πηνίο δεν διαρρέεται από ρεύμα, τότε δεν ισχύει: t

oq Q e tσυνω−Λ= ⋅

δ) ∆εν ισχύει 1BdU q idt C

= − ⋅ , αφού δεν ισχύει 0E BdU dUdt dt

+ =

αλλά ισχύουν:

i) 1EdU q idt C

= ⋅

(προκύπτει ή από την παραγώγιση της 21

2EqUC

= είτε από Eή C

dU qP V i idt Cπυκνωτ= = ⋅ = )

)

ii) ( )BdU di qL i iR idt dt C

= = − + ⋅ (η σχέση BdU diL idt dt

= προκύπτει ή από την παραγώγιση

της

212BU L i= ⋅ , είτε από B

ί LdU diP V i L idt dtπην ο= = ⋅ = )

iii) 0E B RdU dU dQdt dt dt

+ + = , όπου 2RdQ i Rdt

= ο ρυθμός κατανάλωσης της ηλεκτρικής ενέργειας

στον αντιστάτη R, λόγω φαινομένου Joule .

Νίκος Σταματόπουλος Σελίδα 3

Γ. Εξαναγκασμένες Μηχανικές ταλαντώσεις (με απόσβεση, στη μόνιμη κατάσταση)

α) Το πλάτος είναι σταθερό αλλά δεν ισχύει 212

K U DA+ =

[Απόδειξη: ( )x A tημ ω ϕ= + τότε ( )A tυ ωσυν ω ϕ= + όπου ω η συχνότητα του διεγέρτη 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1( ) ( )

2 2 2 2K U m Dx mA t DA tυ ω συν ω ϕ ημ ω ϕ+ = + = + + +

22

2 2 21 ( ) ( )2

oD mmDA t tD

ωω συν ω ϕ ημ ω ϕ=⎛ ⎞

= + + +⎜ ⎟⎝ ⎠

=2

2 2 22

1 ( ) ( )2

DA t tο

ω συν ω ϕ ημ ω ϕω⎛ ⎞

= + + +⎜ ⎟⎝ ⎠

]

β) Κατά τη διάρκεια μιας πλήρους ταλάντωσης δεν ισχύει η διατήρηση της K U+ αλλά ισχύει:

2 2

2 2 2 1xA A

υω

+ =

[Απόδειξη: Από το (α) φαίνεται ότι δεν ισχύει η διατήρηση της K U+ . Από τις σχέσεις ( )x A tημ ω ϕ= + και ( )A tυ ωσυν ω ϕ= + και την τριγωνομετρική ταυτότητα:

2 2( ) ( ) 1t tημ ω ϕ συν ω ϕ+ + + = προκύπτει η παραπάνω σχέση.]

γ) Ισχύει η σχέση: 2a xω= − όπου ω η συχνότητα του διεγέρτη , αλλά και

20

( ) ( )F t F tD b ba x a xm m m m mεξ εξυ ω υ= − − ⇔ = − − (από το 2ο νόμο του Νεύτωνα)

δ) ∆εν ισχύει max maxK U= (παρά μόνο στον συντονισμό).

ε) ∆εν ισχύει dK Dxdt

υ= − αφού δεν ισχύει 0dK dUdt dt

+ =

αλλά ισχύουν:

i) dU Dxdt

υ= (διότι ( )F F dxdU dW F Dx Dxdt dt dt

επανεπανυ υ υ⋅

= − = − = − = − − = )

ii) [ ( ) ( )]dK F F t Dx bdt εξυ υ υ= Σ ⋅ = − + ⋅ (η σχέση: dK F

dtυ= Σ ⋅ προκύπτει από το Θεώρημα

Μεταβολής της Κινητικής Ενέργειας «ΘΜΚΕ» )

iii) oF

dEdK dUPdt dt dtεξ

απ σβ= + + όπου FPεξη ισχύς της εξωτερικής δύναμης του διεγέρτη

και 2dEb

dtαποσβ υ= ο ρυθμός απώλειας ενέργειας

στ) Μόνο στο συντονισμό ισχύουν:

i) η διατήρηση της K U+ κατά τη διάρκεια μιας πλήρους ταλάντωσης

ii) 212

K U DA+ =

iii) max maxK U=

iv) ( ) 0F t Fεξ αποσβ+ = ή ισοδύναμα ( )F t bεξ υ= (Επομένως η ταχύτητα έχει την ίδια φάση με

τη διεγείρουσα δύναμη).

v) oF

dEP

dtεξ

απ σβ= δηλαδή FP Pεξ απωλειων=

Νίκος Σταματόπουλος Σελίδα 4

∆. Εξαναγκασμένες Ηλεκτρικές ταλαντώσεις (με αντίσταση, στη μόνιμη κατάσταση)

α) Το μέγιστο φορτίο Q είναι σταθερό αλλά δεν ισχύει 2

21 12 2E B

QU U ή LIC

+ =

β) Κατά τη διάρκεια μιας πλήρους ταλάντωσης δεν ισχύει η διατήρηση της E BU U+ αλλά ισχύει: 2 2

2 2 2 1q iQ Qω

+ = γιατί : ( )q Q tημ ω ϕ= + και ( )i Q tωσυν ω ϕ= +

γ) Ισχύει η σχέση: 2di qdt

ω= − όπου ω η συχνότητα του διεγέρτη αλλά και

20

( ) 1 ( )di V t R di V t Rq i q idt L LC L dt L L

ω= − − ⇔ = − − (από τον 2ο κανόνα του Kirchhoff)

δ) ∆εν ισχύει max max( ) ( )E BU U= (παρά μόνο στον συντονισμό).

ε) ∆εν ισχύει 1BdU q idt C

= − ⋅ αφού δεν ισχύει 0E BdU dUdt dt

+ =

αλλά ισχύουν :

i) 1EdU q idt C

= ⋅

(προκύπτει ή από την παραγώγιση της 21

2EqUC

= είτε Eή C

dU qP V i idt Cπυκνωτ= = ⋅ = )

ii) [ ( ) ( )]BdU di qL i V t iR idt dt C

= = − + ⋅ (η σχέση BdU diL idt dt

= προκύπτει ή από την παραγώγιση

της 212BU L i= ⋅ , είτε από B

ί LdU diP V i L idt dtπην ο= = ⋅ = )

iii) B Rή

dU dU dQPdt dt dtπηγ ς

Ε= + + ,

όπου: ( )ήP V t iπηγ ς = ⋅ η ισχύς της πηγής (του διεγέρτη)

2RdQ i Rdt

= ο ρυθμός κατανάλωσης της ηλεκτρικής ενέργειας στον αντιστάτη R,

λόγω φαινομένου Joule . στ) Μόνο στο συντονισμό ισχύουν:

i) η διατήρηση της E BU U+ κατά τη διάρκεια μιας πλήρους ταλάντωσης

ii) 2

21 12 2E B

QU U ή LIC

+ =

iii) max max( ) ( )E BU U=

iv) ( )V t i R= ⋅ (επομένως η ένταση έχει την ίδια φάση με την εφαρμοζόμενη τάση)

v) Rή

dQPdtπηγ ς = δηλαδή ή RP Pπηγ ς =

Νίκος Σταματόπουλος Σελίδα 5

«Αποδείξεις για καθηγητές» Εξίσωση κίνησης:

Η λύση της διαφορικής εξίσωσης: D ba xm m

υ= − − (1)

όταν 2b D m< ⋅ με αρχικές συνθήκες : για t=0 : x= Ao και υ =0 , είναι:

to t tx A e ημω συνω

ω−Λ +

Λ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

(2)

όπου 2bm

Λ = , 2 2οω ω= −Λ και D

mοω =

Η (2) όμως μπορεί να πάρει ισοδύναμα και τη μορφή:

( )t

o tAx e ο ημ ω ϕ

ωω

−Λ

+= (3)

Όπου ο

ωημϕω

= (4α) , ο

συνϕωΛ

= (4β) και άρα ωεϕϕ =Λ

(4γ)

∆ηλαδή 02πϕ< < (όταν 2b D m→ ⋅ τότε οωΛ → 0ω⇒ → ⇒ 0ϕ → )

Οι σχέσεις (2) και (3) δείχνουν ότι δεν ισχύει: ( / 2)tox A e tημ ω π−Λ= ⋅ + ή ισοδύναμα

tox A e tσυνω−Λ= ⋅

∆ιαφορά φάσης: Από τη (2) με παραγώγιση προκύπτει:

20t

o tA e ημωωυω

−Λ= − (5)

Από τις (3) και (5) φαίνεται ότι η ταχύτητα και η θέση έχουν διαφορά φάσης : π - φ

Όταν 0 0 ( )2

2

tob x A e t

ο

ο

ω ωπημ ωπεϕϕ ϕ

−Λ→⎧ ⎫

⎪ ⎪→ ⇒Λ→ ⇒ ⇒ → +⎨ ⎬→ +∞⇒ →⎪ ⎪⎩ ⎭

Μέγιστη ταχύτητα: Όταν αφήσουμε το σώμα τη χρονική στιγμή t = 0 από τη θέση x= Ao , θα αποκτήσει μέγιστη ταχύτητα πριν φθάσει στη θέση x = 0, όπως φαίνεται από την (1) θέτοντας α=0. Αν ονομάσουμε t1 τη χρονική αυτή στιγμή, τότε αντικαθιστώντας τις (2) και (5) στην (1) (με α = 0) προκύπτει:

1tωεϕω =Λ

Όμως λόγω της (4γ) έχουμε τελικά ότι

1 2

t Tϕ ϕω π

= = (6)

Επομένως, από την (5), η μέγιστη ταχύτητα είναι (κατ’ απόλυτη τιμή):

1 120

0

(4 )

m o o

at tA Ae eημϕωυ ωω

− −Λ Λ= =

Επειδή 1 1te−Λ < , είναι προφανές ότι 0m oAυ ω< .

Νίκος Σταματόπουλος Σελίδα 6

Όμως η ανίσωση m oAυ ω< που ισοδύναμα γράφεται τελικά :

1eϕεϕϕημϕ ⋅ >

ικανοποιείται όταν 2οπϕ ϕ< < , όπου το φο είναι κοντά στο π/8 (όπως προκύπτει γραφικά).

Συμπέρασμα:

Στην «πρώτη» ταλάντωση, η μέγιστη ταχύτητα δεν είναι ωοΑο ούτε (εν γένει) ωΑο. Άρα, και κατά την εκτέλεση της ν-οστής ταλάντωσής του δεν θα ισχύει ωοΑν ούτε (εν γένει) ωΑν

Ο χρόνος από την ακραία θέση προς τη x= 0 δεν είναι Τ/4 Αν ονομάσουμε t2 τη χρονική στιγμή που για πρώτη φορά περνά το σώμα από την x =0 , τότε από την (3) προκύπτει ότι : ωt2+φ = π ή ισοδύναμα:

2 12Tt ϕ

π⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

(7)

και αφού 02πϕ< < έπεται ότι Τ/4 < t2 < Τ/2.

Τέλος, το χρονικό διάστημα που μεσολαβεί από τη μεγιστοποίηση της ταχύτητας μέχρι το σώμα να βρεθεί στη θέση x=0, είναι:

2 1

(6)

(7)1 2

t t t T ϕπ

⎛ ⎞Δ = − −⎜ ⎟⎝ ⎠

= ,

δηλαδή 0 < ∆t < Τ/2