Daniau Nombre d Or

8/15/2019 Daniau Nombre d Or

1/76

● Le nombre d'or

● La suite de Fibonacci

● Lien

● Art

● Nature

● Mathématiques

● Bilan


2/76

Le nombre d'or φ Définition dans « Les Éléments d'!uclide "#$%% A& ( )Définition $ du li*re &+ "!,trait d'une traduction im-rimée en ./$0)

a

b=ab

a

a b

a + b


3/76


a

b=ab

a

Dans certains problèmes de Al-Khwarizmi (mathématicien perse du VIIe siècle)

φ est la solution positive de l'équation φ² = φ + 1

a b

a + b


4/76


a

b=ab

a

Dans certains problèmes de Al-Khwarizmi (mathématicien perse du VIIe siècle)

φ est la solution positive de l'équation φ² = φ + 1

a b

a + b

=

1 5

2 ≈1,618


5/76

=

1 5

2

≈1,618

.

φ

1i 2'enl3*e le carré inscrit dans lerectan4le d'or alors 2'obtiens unrectan4le d'or -lus -etit5

Le rectangle d'or :Rectangle dont le quotient de la longueur par la largeur est égal au nombre d'or.


6/76

=

1 5

2

≈1,618

.

φ

1i 2'enl3*e le carré inscrit dans lerectan4le d'or alors 2'obtiens unrectan4le d'or -lus -etit5

La spirale dorée

Le rectangle d'or :Rectangle dont le quotient de la longueur par la largeur est égal au nombre d'or.

Les dia4onales des rectan4lesd'or se cou-ent au -oint limitede la s-irale5


7/76

=

1 5

2

≈1,618

.

φ

Le triangle d'or :Triangle isocèle dont le quotient d'un côté et de la base est égal au nombre d'or.

φφφφ

φ.

.


8/76

=

1 5

2

≈1,618

.

φ

Le triangle d'or :Triangle isocèle dont le quotient d'un côté et de la base est égal au nombre d'or.

φφφφ

φ.

.

Le pentagone et le pentagramme :

6ous les trian4les dans cettefi4ure sont des trian4les d'or5


9/76

La suite de Fibonacci

% . . 0 $ 7 8 .$ 0. $9 77 8: .99 555

Notation en terme de suite ; F"n


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>robl3me récréatif -osé dans le Liber Abaci de Léonardo Pisano "..?7#.07%) ; Possédant initialement un couple de lapins, combien de couples obtienton en dou!e

mois si cha"ue couple en#endre tous les mois un nou$eau couple % compter du secondmois de son e&istence '

% . . 0 $ 7 8 .$ 0. $9 77 8: .99 555



11/76




% . . 0 $ 7 8 .$ 0. $9 77 8: .99 555

>robl3me -osé -ar Pingala mathématicien indien " #9%% A& 2()(En Sanskrit, les voyelles peuvent être longues (L) ou courtes (C) )

combien -eut#on former de cadences différentes d'une lon4ueur donnée si la*o@elle lon4ue "L) est deu, fois -lus lon4ue que la courte "()



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% . 1 0 $ 7 8 .$ 0. $9 77 8: .99 555


combien -eut#on former de cadences différentes d'une lon4ueur donnée si la*o@elle lon4ue "L) est deu, fois -lus lon4ue que la courte "() lon4ueur . ; ( .



13/76




% . 1 2 $ 7 8 .$ 0. $9 77 8: .99 555


combien -eut#on former de cadences différentes d'une lon4ueur donnée si la*o@elle lon4ue "L) est deu, fois -lus lon4ue que la courte "() lon4ueur . ; ( .lon4ueur 0 ; ((C L 0



14/76




% . 1 2 3 7 8 .$ 0. $9 77 8: .99 555


combien -eut#on former de cadences différentes d'une lon4ueur donnée si la*o@elle lon4ue "L) est deu, fois -lus lon4ue que la courte "() lon4ueur . ; ( .lon4ueur 0 ; ((C L 0lon4ueur $ ; (((C (LC L( $



15/76




% . 1 2 3 5 8 .$ 0. $9 77 8: .99 555



lon4ueur 9 ; ((((C ((LC (L(C CL((C LL 7



16/76




% . 1 2 3 5 8 .$ 0. $9 77 8: .99 555



lon4ueur 9 ; ((((C ((LC (L(C CL((C LL 7lon4ueur 7 ; (((((C (((LC ((L(C (L((C L(((C (LLC L(LC LL( 8



17/76

F"n) et φ

% 1 1 0 $ 7 8 .$ 0. $9 77 8: .99 555 =1 5

2

≈1,618

11=1


18/76

F"n) et φ

% . 1 2 $ 7 8 .$ 0. $9 77 8: .99 555 =1 5

2

≈1,618

11=1

2

1=2


19/76

F"n) et φ

% . . 2 3 7 8 .$ 0. $9 77 8: .99 555 =1 5

2

≈1,618

11=1

2

1=2

2=

1,5


20/76

F"n) et φ

% . . 0 3 5 8 .$ 0. $9 77 8: .99 555 =1 5

2

≈1,618

11=1

2

1=2

2=

1,5

5

≈1,6


21/76

F"n) et φ

% . . 0 $ 5 8 .$ 0. $9 77 8: .99 555 =1 5

2

≈1,618

11=1

2

1=2

2=

1,5

5

≈1,6

8

5=1,6


22/76

F"n) et φ

% . . 0 $ 7 8 13 0. $9 77 8: .99 555 =1 5

2

≈1,618

11=1

2

1=2

2=

1,5

5

≈1,6

8

5=1,6

18 =1,625


23/76

F"n) et φ

% . . 0 $ 7 8 13 21 34 55 8: .99 555 =1 5

2

≈1,618

1

1=1

2

1=2

2=1,5

5

≈1,6

8

5=1,6

18 =1,625

21

1≈1,615

*

21≈1,61+

55*≈1,618


24/76

F"n) et φ

% . . 0 $ 7 8 .$ 0. $9 55 89 144 ... =1 5

2

≈1,618

1

1=1

2

1=2

2=1,5

5

≈1,6

8

5=1,6

18 =1,625

21

1≈1,615

*

21≈1,61+

55*≈1,618

8+

55≈1,618

1**

8+ ≈1,618

F n1 F n


25/76

F"n) et φ

% . . 0 $ 7 8 .$ 0. $9 77 8: .99 555 =1 5

2

≈1,618

F n1

F n


26/76

F"n) et φ

% . . 0 $ 7 8 .$ 0. $9 77 8: .99 555 =1 5

2

≈1,618

F n1

F n

ormulede -inet

F n=1

5 n−1− n


27/76

>etit historique

% . . 0 $ 7 8 .$ 0. $9 77 8: .99 555 =1 5

2

≈1,618

●!uclide ; *ision 4éométrique et irrationalité de la -ro-ortion5

●Fibonacci ; -as de ra--ort entre -hi et la suite5

●Lucas >acioli ; De di*ina -ro-ortione ".7%:) illustré -ar Léonard de *inci5

●Lien entre -hi et la suite démontré -ar e-ler ".7?.#./$%)La géométrie contient deux grands trésors : l’un est le téor!me de"ytagore # l’autre est la division d’une ligne en moyenne et extrêmeraison$ Le premier peut être comparé % une r!gle d’or # le second % un &oyau précieux$

●Le -hiloso-he allemand Adolf Eeisin4 ".8.%# .8?/) dé*elo--e une théoriesur l'e,istence d'une loi uni*erselle basée sur le nombre d'or5

●Le -rince roumain "di-lomate) Matila h@Ga ".88.#.:/7) -ublie en .:$.« Le 'omre dor$ *ites et rytmes pytagoriciens dans le développementde la civilisation occidentale


28/76

>etit historique

% . . 0 $ 7 8 .$ 0. $9 77 8: .99 555 =1 5

2 ≈1,618



29/76

>etit historique

% . . 0 $ 7 8 .$ 0. $9 77 8: .99 555 =1 5

2 ≈1,618




30/76

>etit historique

% . . 0 $ 7 8 .$ 0. $9 77 8: .99 555 =1 5

2 ≈1,618





31/76

>etit historique

% . . 0 $ 7 8 .$ 0. $9 77 8: .99 555 =1 5

2 ≈1,618




●Lien entre -hi et la suite démontré -ar e-ler ".7?.#./$%)

La géométrie contient deux grands trésors : l’un est le téor!me de

"ytagore # l’autre est la division d’une ligne en moyenne et extrêmeraison$ Le premier peut être comparé % une r!gle d’or # le second % un &oyau précieux$


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>etit historique

% . . 0 $ 7 8 .$ 0. $9 77 8: .99 555 =1 5

2 ≈1,618





●Le -hiloso-he allemand Adolf Eeisin4 ".8.%# .8?/) dé*elo--e une théorie

sur l'e,istence d'une loi uni*erselle basée sur le nombre d'or5

+e olden *atio is a universal la- in -ic is contained te ground. principle o/ all /ormative striving /or eauty and completeness in te realmso/ ot nature and art, and -ic permeates, as a paramount spiritualideal, all structures, /orms and proportions, -eter cosmic or individual,organic or inorganic, acoustic or optical# -ic /inds its /ullest reali0ation,

o-ever, in te uman /orm$


33/76

>etit historique

% . . 0 $ 7 8 .$ 0. $9 77 8: .99 555 =1 5

2 ≈1,618





●Le -hiloso-he allemand Adolf Eeisin4 ".8.%# .8?/) dé*elo--e une théorie

sur l'e,istence d'une loi uni*erselle basée sur le nombre d'or5

●Le -rince roumain "di-lomate) Matila h@Ga ".88.#.:/7) -ublie en .:$. ;« Le 'omre dor$ *ites et rytmes pytagoriciens dans le développementde la civilisation occidentale

A t


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ArtARCHITECTURE●Ls !"ra#ids ég"!$inns●L $%é&$r d'E!ida(r●L Par$%énon ) A$%*ns●Ls a$%édrals●La ,(in●L Corb(sir

-UI/UE●0a##●L R"$%#

PEITURE●Léonard d ini●o$$illi●(ra$●-odrian●andisi●6ali

CULPTURE


35/76

Architecture

% . . 0 $ 7 8 .$ 0. $9 77 8: .99 555 =1 5

2 ≈1,618

●Ls !"ra#ids ég"!$inns

●L $%é&$r d'é!ida(r

●

L Par$%énon ) A$%*ns

●Ls a$%édrals

●La ,(in "r34le articulée des maHtres bItisseurs du mo@en#I4e)

●L Corb(sir

Architecture


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Architecture

% . . 0 $ 7 8 .$ 0. $9 77 8: .99 555 =1 5

2 ≈1,618

Ls !"ra#ids ég"!$inns

!,trait ; 1apr!s 2érodote, des prêtres égyptiens disaient 3ue les dimensionsde la grande pyramide avaient été coisies telles 3ue : 4Le carré construit surla auteur verticale égalait exactement la sur/ace de cacune des /acestriangulaires 6$

Donc les dimensions données seraient dans un ra--ort é4al J KK

Première apparition de cette citation apocryphe en 1859. (John Taylor, TheGreat Pyramid, Why Was It Bilt and Who Bilt It!"

Architecture


37/76

Architecture

% . . 0 $ 7 8 .$ 21 34 55 8: .99 555 =1 5

2 ≈1,618

L $%é&$r d'E!ida(r

Les 77 4radins sont dis-osés en deu, séries ; $9 -uis 0.5

>ourquoi si cela re-résente un idéal ne retrou*e t#on ces nombresque dans ce théItre 4rec

Architecture


38/76

Architecture

% . . 0 $ 7 8 .$ 0. $9 77 8: .99 555 =1 5

2 ≈1,618

L Par$%énon ) A$%*ns

>our que le >arthénon rentre dans un rectan4le d'orC il faut -rendre les $derni3res marchesC étonnante erreur de la -art des architectes du >arthénon5

= -hi *ient de -hidias5>hidias a scul-té de nombreuses frises -our le >arthénon5('est aussi le créateur de la statue chr@sélé-hantine de Eeus5(.ette /u$re est la troisième des Merveilles du monde)

Architecture


39/76

Architecture

% . . 0 $ 7 8 .$ 0. $9 77 8: .99 555 =1 5

2 ≈1,618

Ls a$%édrals

Décou-a4e a--ro,imatifC résultats affichés fau,C -enta4ramme non

ré4ulierC a--arition du ra--ort 5

Mal4ré de tr3s nombreuses tentati*esC aucun résultat n'a 2amais étéconcluant555

Architecture


40/76

Architecture

% . . 0 $ 7 8 .$ 0. $9 77 8: .99 555 =1 5

2 ≈1,618

Ls a$%édrals

Le tracé des -enta4onesdans les cathédralesutilisent une techniquea--ro,imati*e5

Architecture


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Architecture

% . . 0 $ 7 8 .$ 0. 4 55 89 144 2 =1 5

2 ≈1,618

La ,(in

● la -aume = $9 li4nes = ?C/9 cm● la -alme = 77 li4nes = .0C$/ cm● l'em-an = 8: li4nes = 0% cm● le -ied = .99 li4nes = $0C$/ cm● la coudée = 0$$ li4nes = 70C$/ cm

A*ec une unité de base ; la li4ne = 0C09? mm

6 coudées = ,1416 mètres

C soit une bonne a--ro,imation de en m3treK

5 empans = 1 mètreC mais le m3tre n'e,iste -as encore KKK

In7n$ion !ar( dans Cahier de Boscodon n°4 $#al%(r(s#n$ r!ris d!(is d no#br(ss ois

sans 7ériia$ion...-nsong basé s(r ds d#i7éri$és.(oudée sous toutInGamon ; 70C$ cm

Architecture


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c tectu e

% . . 0 $ 7 8 .$ 0. $9 77 8: .99 555 =1 5

2 ≈1,618

L Corb(sir

Le (orbusier réin*ente les dimensions dans l'architecture en utilisant

le nombre d'or et la suite de Fibonacci5 +l -ublie « Le Modulor en.:98 et l'utilise dans certaines de ses créations5

M i


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Musique

% . . 0 $ 7 8 .$ 0. $9 77 8: .99 555 =1 5

2 ≈1,618

0a##cta*e 0O.Puinte $O0

Mais J -art ces 0 ra--orts les différentes 4ammes et n'ont -as de ra--orta*ec la suite de Fibonacci ou le nombre d'or5

L r"$%#

Le r@thme est -lus lar4ement associé au nombre d'or5 Debuss@C !riG 1atieou Béla BartoG étaient associés J des re*ues s@mbolistes au,quelles ils-artici-aient et qui anal@saient les -ro-ortions et le nombre d'or5

>our QenaGisC l'usa4e du nombre d'or est e,-licité -ar l'auteur5

>einture


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% . . 0 $ 7 8 .$ 0. $9 77 8: .99 555 =

1 5

2 ≈1,618

la Nature a distribué les mesures du cor-s humain comme ceci5 Puatredoi4ts font une -aumeC et quatre -aumes font un -iedC si, -aumes fontune coudée ; quatre coudées font la hauteur dRun homme5 !t quatrecoudées font un double -asC et *in4t quatre -aumes font un homme S etil a utilisé ces mesures dans ses constructions5 1i *ous ou*reT les

2ambes de faUon J abaisser *otre hauteur dRun ,(a$or:i*#C et si *ousétendeT *os bras de faUon que le bout de *os doi4ts soit au ni*eau dusommet de *otre tVteC *ous de*eT sa*oir que le centre de *os membresétendus sera au nombrilC et que lRes-ace entre *os 2ambes sera untrian4le équilatéral5 La lon4ueur des bras étendus dRun homme est é4ale

J sa hauteur5 De-uis la racine des che*eu, 2usquRau bas du mentonC il @a un di;i*# de la hauteur dRun homme5 De-uis le bas du menton

2usquRau sommet de la tVteC un %(i$i*#5 De-uis le haut de la -oitrine 2usquRau sommet de la tVteC un si;i*# S de-uis le haut de la -oitrine 2usquRJ la racine de che*eu,C un s!$i*#5 De-uis les tétons 2usquRausommet de la tVteC un ,(ar$ de la hauteur de lRhomme5 La -lus 4randelar4eur des é-aules est contenue dans le ,(ar$ dRun homme5 De-uis lecoude 2usquRau bout de la mainC un in,(i*#5 De-uis le coude 2usquRJlRan4le de lRa*ant brasC un %(i$i*#5 La main com-l3te est un di;i*#

de lRhomme5 Le début des -arties 4énitales est au #ili(5 Le -ied est uns!$i*# de lRhomme5 De-uis la -lante du -ied 2usquRen dessous du4enouC un ,(ar$ de lRhomme5 De-uis sous le 4enou 2usquRau début des-arties 4énitalesC un ,(ar$ de lRhomme5 La distance du bas du mentonau neTC et des racines des che*eu, au, sourcils est la mVmeC ainsi quelRoreille ; un $irs du *isa4e5

Léonard d ini

>einture


45/76

% . . 0 $ 7 8 .$ 0. $9 77 8: .99 555 =

1 5

2 ≈1,618

o$$illi

Wne anal@se a -rou*é que que l'on a déo(!é

« La naissance de &énus ".987) au dimension durectan4le d'or5+nitialement il formerait un di-t@que a*ec «Le -rintem-s soit $0C7 cm de -lus en hauteur5

Les Xu*res mVme m@stiquesou reli4ieuses de Botticelli nedoi*ent rien au nombre d'or5

>einture


46/76

% . . 0 $ 7 8 .$ 0. $9 77 8: .99 555 =

1 5

2 ≈1,618

(ra$ $ -odrian

>iet Modriaan « (om-osition A .:0$eor4es 1eurat « La >arade .8::

(es deu, artistes ainsi que d'autres ont utilisé le nombre d'or dans leur com-osition5

>einture


47/76

% . . 0 $ 7 8 .$ 0. $9 77 8: .99 555 =

1 5

2 ≈1,618

andis" $ dali

andisG@Désolé mais non 555

DalilJC c'est sYr 555

>einture


48/76

La s$ion d'or

uteau, est intitulée le 1alon de la 1ection d'r5 Le titre a étéchoisi sur une su44estion de acques *illon -our deu, raisons ;

L'anal@se en .:.% de l'oeu*re de Léonard de &inci faite -arose-hin >éladan "écri*ainC occultiste)5

eu de mot sur le double sens du mot section ; -etit 4rou-e

>AZ6+(+>AN61 A LA 1!(6+N D'Z ; BraqueC (octeauC Le4erCMondriaanC >icassoC 1atieC Les fr3res Ducham-C 555

1cul-ture


49/76

1cul-ture

Aucune étude sérieuseC on fait coller un *isa4e « idéal sur desscul-tures connues -our 2ustifier de l'e,istence du ra--ort doré5Dans la mou*ance '4éométrie du sacré'C sans intérVt5

Art


50/76

ARCHITECTURE●Ls !"ra#ids ég"!$inns >●L $%é&$r d'é!ida(r >UI ? la s(i$ d @ibonai●L Par$%énon ) A$%*ns >●Ls a$%édrals >●La ,(in >●L Corb(sir >UI ? l #od(lor

-UI/UE

●0a## >●L R"$%# >UI ? la s(i$ d @ibonai

PEITURE●Léonard d ini >●o$$illi >●

(ra$ >UI●-odrian >UI●andisi >●6ali >UI

CULPTURE >

n -eut ra2outer la -oésiea*ec >aul &alér@ >UI


51/76

Le cor-s humain


52/76

Le cor-s humain

Ces théories et d'autres ont servis de ase au ra!isme et au se"isme#

$e les !ite pour montrer les dérives de la re!her!he d'un idéal#

Un no#bril $ro! bas !o(r la grand#aori$é ds indi7id(s d la ra (i7


53/76

Le cor-s humain

!t malheureusement l'histoire ne sert -as tou2ours de leUon 555

La >h@llota,ie


54/76

La >h@llota,ie

% . . 0 $ 7 8 13 0. $9 77 8: .99 555 =1 5

2 ≈1,618

(ertaines es-3ces *é4étales res-ectent dans leur or4anisation la suite de FibonacciC de -lusces s-irales sont des s-irales dorées5 8 dans un sens et .$ dans l'autre K


55/76

% . . 0 $ 7 8 .$ 21 34 55 89 .99 555 =1 5

2 ≈1,618

Douad@ et (ouderC -h@siciens J lR!N1 C -ublient en.::/ une série de trois articles sur la -h@llota,ie5

L'arran4ement en s-irales dorées dé-end de la *itessede croissance et cherche J o-timiser la -lace5

1-irales


56/76

1-irales

% . . 0 $ 7 8 .$ 0. $9 77 8: .99 555 =1 5

2 ≈1,618

De tr3s 2olies s-irales lo4arithmiques mais il ne s'a4it -as ici de s-irales dorées5

Nature


57/76

Nature

% . . 0 $ 7 8 .$ 0. $9 77 8: .99 555 =1 5

2 ≈1,618

●L or!s %(#ain >

La P%"llo$a;i >UI

●!irals >

●Ps"%ologi ; dans unchoi, entre -lusieurs rectan4lesnous sommes -lus sensibles Jla taille ou J la dis-osition

relati*e qu'J la ressemblancea*ec un rectan4le d'or5 >

●Cris$a(; ; Les cristau, dequartT ont une structure-enta4onaleC donc lié au nombre

d'or5>UI

Mathématiques


58/76

Mathématiques

% . . 0 $ 7 8 .$ 0. $9 77 8: .99 555 =1 5

2 ≈1,618

L no#br d'or $ la s(i$ d @ibonai !oss*dn$ d

$r*s no#br(ss !ro!rié$és #a$%é#a$i,(s.

Mathématiques 2=1


59/76

% . . 0 $ 7 8 .$ 0. $9 77 8: .99 555

2=1

=21*=2

5=5

6=85

=18

8=211

=1

=

1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1000

=11

11

11

11

11

11

11

000

¿

Mathématiques 2=1


60/76

% . . 0 $ 7 8 .$ 0. $9 77 8: .99 555

=1

= 1 et à partir de là on remplace par 1

Mathématiques 2=1


61/76

% . . 0 $ 7 8 .$ 0. $9 77 8: .99 555

=1

= 1 1

Mathématiques 2=1


62/76

% . . 0 $ 7 8 .$ 0. $9 77 8: .99 555

=1

= 1 1 1

Mathématiques 2=1


63/76

% . . 0 $ 7 8 .$ 0. $9 77 8: .99 555

=1

=

1 1 1 1 1 et donc en réitérant 000

Mathématiques 2=1


64/76

% . . 0 $ 7 8 .$ 0. $9 77 8: .99 555

1

=

1

1 1

1 1 1 1 1 1 1 1000

Mathématiques 2=1


65/76

% . . 0 $ 7 8 .$ 0. $9 77 8: .99 555

1

=11

et à partir de là ,

on remplace par 1 1

Mathématiques 2=1


66/76

% . . 0 $ 7 8 .$ 0. $9 77 8: .99 555

1

=11

1

1

Mathématiques 2=1


67/76

% . . 0 $ 7 8 .$ 0. $9 77 8: .99 555

=11

1

1

11

Mathématiques 2=1


68/76

% . . 0 $ 7 8 .$ 0. $9 77 8: .99 555

=11

1

1

11

11

et donc en réitérant 000

Mathématiques 2=1


69/76

% . . 0 $ 7 8 .$ 0. $9 77 8: .99 555

=11

1

1

11

11

11

11

11

000

¿

Mathématiques 2=1


70/76

% . . 0 $ 7 8 .$ 0. $9 77 8: .99 555

2=1

=×1= 2=1=21

Mathématiques 2=1


71/76

% . . 0 $ 7 8 .$ 0. $9 77 8: .99 555

2=1

=21

*=×

=21=2

2=21=2

Mathématiques 2=1


72/76

% . . 0 $ 7 8 .$ 0. $9 77 8: .99 555

2=1

=21

*=2

5=×

*=2=

22=12=5

en réitérant on obtient 000


73/76

Mathématiques 2=1


74/76

% . . 0 $ 7 8 .$ 0. $9 77 8: .99 555

2=1

=21

*=2

5=5

6=85

=188=211

=

1

1

1

1 1 1 1 1 1 1 1000

=11

1

1

11

11

11

1

1

11

000

¿

Mathématiques et

* =arctan

5

−arctan

2

8


75/76

% . . 0 $ 7 8 .$ 0. $9 77 8: .99 555

* 8

000

* =arctan 8+

55 −arctan *

1**

n notant n les termesdela suite ibonacci

* =arctan

F n

F n−1−arctan

F n−2

F n1

n passant % la limite000

*=arctan −arctan

1

=1 5

2 ≈1,618


76/76

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