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Fundamentos de Física Moderna
Modelos Atómico de Bohrpara el átomo de hidrógeno
Daniel Mateo Aguirre BG2E03Daniel
2/06/2015
Bohr tomó como punto de partida el segundo
postulado de Planck , el cual dice que un oscilador sólo emite energía cuando pasa de un estado de mayor energía a otro de menor energía.
El modelo surgió de un movimiento científico que intentaba explicar la radiación de cuerpo negro y de ahí surgieron los tres postulados que dieron forma al modelo atómico de Bohr.
Postulados y modelo de Bohr
El átomo de Hidrógeno está constituido por un
núcleo con carga + 2e y un electrón ligado a el mediante fuerzas electroestáticas.
Postulado 1
imagen tomada de es.wikipedia.org
Existe un conjunto discreto de estados
energéticos en los cuales el electrón puede moverse sin emitir radiación electromagnética. Estos estados se denominan estados estacionarios y el ellos la energía es constante.
Postulado 2
Imagen tomada de www.scielo.org.pe
En los estados estacionarios el momento
angular del electrón (L) es igual a un múltiplo entero n de la constante de Planck h dividida por 2π.
Por lo que el electrón solo puede ubicar en ciertas posiciones determinadas por:
Postulado 3
La fuerza de atracción entre núcleo y electrón en el
más simple de los átomos , aquél con un solo electrón sería la de Coulomb. La situación es similar a la que existe en nuestro sistema solar: el Sol con una masa mayor a la de los planetas , los atrae con una fuerza proporcional a 1/r^2. Sabiendo que el electrón tiene una masa m, cuya carga es de Ze. En ese caso el núcleo permanece en reposo y el electrón gira alrededor de él en una órbita de radio r y velocidad v. Por ende la energía cinética está dada por :
Deducción
Deducción
Tambíen se sabe que la energía potencial eléctrica está dada por:
(1)
La energía total está dada por:
(2)
Debido a que el electrón gira alrededor del núcleo, existe una aceleración que lo hace cambiar de trayectoria. Y se tiene:
(3)
La aceleración es una aceleración centrípeta ,
la cual se expresa por: (4)
Sustituyendo y usando la ley de Coulomb se tiene:
(5)Sustituyendo en la ecuación de la energía total , se observa que :
(6)
Deducción
Ahora , si nos preguntamos . ¡Cuál es la frecuencia a la que gira el electrón , debemos pensar en la frecuencia o velocidad angular dada por ω y despejando para la frecuencia se tiene:
(7)
(8)Sustituyendo en la ecuación 5 y dividiendo por r^2 se tiene:
(9)Expresando en términos de la velocidad angular y luego en términos de la frecuencia f se tiene:
(10)
Deducción
Partiendo de 6 se sabe que la energía
expresada en términos de la energía eléctrica esta dada por:
(11)Y sustituyendo en 10 se sabe:
(12)
Deducción
Como se dijo anteriormente ,
Bohr partió de la teoría dada por Planck sobre la cuantización de la energía radiada en una emisión en donde :
(13) Bohr consideró un proceso en el
que el núcleo y electrón se encontraban infinitamente separados y en reposo , hasta alcanzar finalmente un estado estacionario de energía
Deducción
En este proceso la energía del átomo disminuiría
desde una Energía inicial Ei=0 hasta E , dando como balance en luz irradiada :
(14) Bohr supuso una sola frecuencia promedio entre los
valores iniciales y finales dada como : (15)
Usando la ecuación de Planck y sustituyendo la frecuencia con (12) , se tiene que la energía es:
(16)
Deducción
Analizando la ecuación 16 se ve
que la energía no puede tomar cualquier valor , ya que n es un número entero . Lo que demuestra la cuantización de la energía
Analizando la figura del espectro de emisión del hidrógeno y calculando los niveles de energía del mismo se puede ver que esto se relaciona bastante con la espectroscopia
Conclusiones
Conclusiones