Sveuciliste u ZagrebuPrirodoslovno-matematicki fakultet

Fizicki odsjek

Smjer: Istrazivacki studij fizike

Danijel Cmrk

Diplomski rad

HALLOV EFEKT MONOKRISTALAKOMPLEKSNIH METALNIH SLITINA

Voditelj diplomskog rada: dr. sc. Ana Smontara, znanstvenasavjetnica

Suvoditelj diplomskog rada: prof. dr. sc. Ivan Kokanovic

Ocjena diplomskog rada:

Povjerenstvo 1.

2.

3.

Datum polaganja:

Zagreb, 2011.

Sadržaj

Predgovor 3

1 Kompleksne metalne slitine, dekagonalni (d)-AlCoNi kvazikristal kaopredstavnik 51.1 Kompleksne metalne slitine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Kvazikristali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Opis strukture kvazikristala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.1 Popunjavanje geometrijskim oblicima . . . . . . . . . . . 91.3.2 Projekcijska metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4 Sinteza i metode dobivanja kvazikristala . . . . . . . . . . . . . . 121.5 Svojstva kvazikristala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.6 Dekagonalni kvazikristali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.6.1 d-AlCoNi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 Teorijska pozadina 242.1 Hall efekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.1.1 Normalni Hallov efekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.1.2 Normalni Hallov efekt u kristalnim materijalima . . . . . 27

2.2 Elektricna otpornost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3 Metode mjerenja 333.1 Priprema uzorka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2 Mjerenje Hallovog efekta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.3 Mjerenje elektricnog otpora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2

4 Rezultati mjerenja 414.1 Elektricna otpornost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.2 Hallov efekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5 Zakljucak 46

3

Predgovor

Pojavom modernih metoda za modeliranje kristalografskih struktura potkreplje-nih napretkom u racunalnoj tehnologiji moguce je rješavati kristalografske struk-ture kompleksnih metalnih slitina u razumnom vremenu. To je utjecalo na pojavuvelikog zanimanja za istraživanja slitina na bazi veceg broja konstituenata. Istra-živanja kompleksnih metalnih slitina pokazuju da one zbog kompleksnosti struk-ture (veliki broj atoma unutar jedinicne celije) imaju izuzetno zanimljiva fizikalnasvojstava (velika cvrstoca, niski koeficijent trenja, niske vrijednosti toplinske ielektricne vodljivosti. . . ).Unutar ovog diplomskog rada usredotociti cu se na proucavanje transportnih svoj-stava posebice Hallovog efekta i elektricne otpornosti dekagonalnog kvazikristalad-Al70Ni10Co20 kao reprezentativnog primjera kvazikristala i kompleksnih metal-nih slitina opcenito.U uvodnom poglavlju dati cu opis kompleksnih metalnih slitina prilikom cegacu posebnu pažnju posvetiti kvazikristalima. Navesti cu istraživanja koja su bilavažna prilikom otkrica kompleksnih metalnih slitina i kvazikristala te sistematskiopisati strukturu i podjelu kvazikristala na temelju osnovnih svojstava. Na krajusamog poglavlja osvrnuti cu se na metodu dobivanja kvazikristala, posebice nadobivanje monokristala dekagonalnih d−AlCoNi kvazikristala.U drugom poglavlju dan je pregledan prikaz osnovnih teorijskih razmatranja ve-zanih uz elektricnu otpornost i Hallov efekt.Unutar treceg poglavlja opisati cu u osnovi pripremu uzoraka te mjerne postavekoji su korišteni prilikom mjerenja Hallovog efekta i elektricnog otpora.Na samom kraju ovog rada prikazati cu rezultate dobivene mjerenjem kao i za-kljucke koje možemo izvesti na temelju tih rezultata.

4

Poglavlje 1

Kompleksne metalne slitine,dekagonalni (d)-AlCoNi kvazikristalkao predstavnik

1.1 Kompleksne metalne slitine

Materijali na bazi metala koji se danas koriste najcešce se sastoje od elementarnihmetala ili jednostavnih binarnih slitina. Cesto, zbog poboljšanja odredenih svoj-stava, u te materijale dodaje se mala kolicina drugih elemenata. Zajednicko svimanjima je da imaju kristalne strukture koje se mogu opisati s jedinicnim celijamakoje sadržavaju nekoliko atoma. Suprotno navedenim, jedinicna celija komplek-snih metalnih slitina može sadržavati od nekoliko desetaka pa da nekoliko tisucaatoma.Sama proucavanja kompleksnih metalnih slitina pocinju 1932. godine proucava-njem raspršenja X-zraka na intermetalnom spoju spoja NaCd2 [1]. Nakon rješava-nja strukture uz pomoc dobivenih difraktograma, koje je trajalo tridesetak godina,pokazano je da se jedinicna celija sastoji od 1152 atoma. Bez obzira na ranootkrice kompleksnih metalnih spojeva sistematska istraživanja istih pocinju tek70-tih godina dvadesetog stoljeca, jer tehnologija proizvodnje kvalitetnih uzorakakao i analiticke metode potrebne za brze i efikasne proracune struktura (racunala)nisu bile dovoljno razvijene.

5

Pojacani interes za istraživanje kompleksnih metalnih slitina javlja se drugom po-lovicom 80-tih godina dvadesetog stoljeca nakon otkrica prvih kvazikristala [2].Do nedavno, vecina znanstvenih istraživanja bila je usmjerena na razumijevanjekristalografske strukture kvazikristala. Struktura kvazikristala pokazuje postoja-nje dvije skale dužina: kratkodosežnu složenu strukturu bez periodicnosti te du-godosežnu skalu na kojoj imamo pojavu samoslicnosti. Zbog svoje jedinstvenekristalne strukture kvazikristali posjeduju zanimljiva fizikalna svojstva (velika kr-tost, niski koeficijent trenja, niske vrijednosti elektricne i toplinske vodljivosti, ...)koja ne možemo naci u konvencionalnim metalnim slitinama te danas predstav-ljaju predmet intenzivnog istraživanja.

1.2 Kvazikristali

U kristalografiji, do 1984. godine, kristali su bili definirani kao periodicke struk-ture s ocuvanom translacionom simetrijom duž kristalografskih smjerova. Da bibolje shvatili ovu definiciju najprije moramo uvesti i objasniti neke pojmove ve-zane uz klasicne kristale.Kristale možemo opisati uz pomoc primitivne celije i primitivnih vektora. Primi-tivna celija je osnovna strukturna jedinica kristalne rešetke. Primitivni vektori de-finiraju periodicnost unutar same kristalne rešetke. Translacijom primitivne celijeza neku kombinaciju primitivnih vektora s cjelobrojnim koeficijentima možemorekonstruirati cijeli kristal. Opceniti oblik takve translacije dan je s:

~R = n1 ~a1 + n2 ~a2 + n3 ~a3 (1.2.1)

ovdje ni predstavljaju cjelobrojne koeficijente dok ai predstavljaju primitivne vek-tore. Ovim postupkom opisali smo kristalnu rešetku. Stavimo li u vrhove kristalnerešetke neki strukturni motiv, atom, skupinu atoma, molekulu..., dobivamo kristal.Sve trodimenzionalne kristale, ovisno o njihovoj simetriji, možemo svrstati ujednu od cetrnaest kristalnih rešetki koje su opisane sa sedam kristalnih sustava.Kristalni sustavi definirani na ovaj nacin mogu imati rotacijske simetrije prvog,drugog, treceg, cetvrtog i šestog reda. Rotacijsku simetriju definiramo preko iz-bora rotacijske osi te kuta zakretanja. Red rotacijske simetrije odreden je kutom

6

zakretanja, manjim od 2π, sa svojstvom da kada zarotiramo objekt oko osi rota-cije, on se preslika sam u sebe.Medutim, godine 1984. prilikom proucavanja slitine Al86Mn14 dobiven je difrak-togram koji je osim dozvoljenih osi simetrije, sadržavao i šest osi petog reda si-metrije, slika 1.1. Objašnjenje ovog otkrica uz pomoc kvazikristalne (aperiodicneuredene strukture) naišla je na veliki otpor unutar akademske zajednice te je zanjegovo objavljivanje trebalo dvije godine.

Slika 1.1: Prikaz difraktograma dobivenog Al86Mn14 ultra brzim hladenjem [2]

To otkrice dovelo je do postavljanja nove definicije kristala gdje se kristalom sma-tra svako cvrsto tijelo koje ima diskretni difraktogram no nužno ne posjeduje iperiodicko uredenje.Proucavanjem difraktograma kvazikristala vidimo da dolazi do pojave zabranjenihsimetrija. Tako u ikozaedarskim kvazikristalima nailazimo na pojavu osi rotacijepetog reda, u oktogonalnim kvazikristalima pojavljuje se os rotacije osmog reda,kod dekagonalnih kvazikristala javlja se os rotacije desetog reda, a kod dodeka-gonalnih kvazikristala os rotacije dvanaestog reda.

7

Kvazikristale možemo podijeliti na dva nacina. Prva podjela je podjela premastrukturi dok je druga podjela prema sastavu.Prema strukturi razlikujemo slijedece tipove kvazikristala:

• Ikozaedarski kvazikristali, posjeduju kvazikristalno uredenje u sve tri di-menzije te imaju ikozaedarsku strukturu. Ovi kvazikristali u difraktogra-mima imaju dvanaest osi simetrije petog reda, dvadeset osi simetrije trecegreda te trideset osi simetrija drugog reda.

• Poligonalni kvazikristali (oktogonalni, dekagonalni i dodekagonalni), po-sjeduju kvazikristalno uredenje u dvije prostorne dimenzije dok u trecojdimenziju imaju periodicko uredenje. Ovakva strukturna anizotropija uzro-kuje anizotropiju u svojstvima kvazikristala. U difraktogramima ovog tipakvazikristala nailazimo na osi simetrije osmog, desetog ili dvanaestog reda.

• Jednodimenzionalni kvazikristali, posjeduju kvazikristalno uredenje samou jednoj prostornoj dimenziji dok u druge dvije imaju periodicno uredenje.Zbog ovakvog uredenja ponekada se smatraju modifikacijom poligonalnihkvazikristala.

Prema sastavu :

• Kvazikristali na bazi aluminija s prijelaznim metalima. U ovu skupinu spa-daju kvazikristali poput Al-Mn, Al-Mn-Si, Al-Pd-Mn...

• Slitine bez prijelaznih metala s tetragonskim blisko pakiranim strukturama.Ovdje možemo navesti kvazikristale poput Al-Cu-Li, Zn-Mg-RZ, (RZ =

rijetka zemlja; La, Ce, Nd, Sm, Gd, Dy, Ho, Y).

• Binarne slitine. U ovoj skupini najzatupljenije su slitine na bazi Cd poputCd-Yb

Problemu rješavanja strukture kvazikristala može se pristupiti na više nacina. Dvanajviše korištena nacina su ispunjavanje prostora geometrijskim oblicima i pro-jekcijska metoda. Zbog lakšeg opisa, obje metode cemo ilustrirati na dvodimen-zionalnim kvazikristalima.

8

1.3 Opis strukture kvazikristala

1.3.1 Popunjavanje geometrijskim oblicima

Sama ideja pristupa popunjavanja prostora geometrijskim oblicima ne dolazi odfizicara nego od matematicara. Naime u matematici se javilo pitanje popunjavanjaprostora pravilnim geometrijskim oblicima, ali uz uvjet da to popunjavanje pros-tora, odnosno poplocavanje, nije periodicno. Godine 1961. Hao Wang pokazuje,u sklopu ideje wangovih plocica, da postoji aperiodicno poplocavanje beskonacneravnine s konacnim brojem plocica [3]. Pet godina kasnije Robert Berger poka-zuje da postoji beskonacno aperiodicko poplocavanje s konacnim brojem eleme-nata [4]. Prvo takvo poplocavanje napravljeno je sa 20426 „Wangovih“ plocica.Tokom vremena smanjivao se broj plocica koji je potreban za beskonacno aperi-odicko poplocavanje sve do 1974. godine kada je Roger Penrose otkrio poploca-vanje s dva elementa [5]. Ovo poplocavanje nazivamo Penrosovim te je prikazanona slici 1.2.

Slika 1.2: Prikaz Penroseovog poplocavanja ravnine s dva romba ukupne rotacij-ske simetrije petog reda [5].

9

Da bi dobili Penroseovo poplocavanje moramo se držati strogo definiranih pravilaprilikom ispunjavanja prostora. Poplocavanje se vrši s dvije plocice koje su šiljastirombovi s kutovima od 36 odnosno 72 stupnja. Na rombove su ucrtani struk-turni elementi u obliku boja. Prilikom slaganja elemenata mora se voditi obzirao tome da se boje na elementima ne miješaju te da omjer izmedu pojedine vrsteelemenata bude jednak zlatnom rezu. Prikaz plocica sa strukturnim elementimakao i samo poplocavanje dano je na slikama 1.3a i 1.3b.

(a) osnovni elementi (b) Konacno poplocavanje

Slika 1.3: Prikaz rezultantnog Penroseovog poplocavanja s ucrtanim pravilma sla-ganja.

Vezu izmedu poplocavanja prostora i strukture kristala moguce je naci na slije-deci nacin. Na osnovu rezultata eksperimenta dobivenih raspršenjem neutrona iX-zraka na uzorku može se izracunati raspodjela funkcija gustoce. Ta funkcijagustoce pokazuje nam raspored atoma u prostoru. Dobiveni raspored tada se po-kušava smjestiti unutar nekog tipa poplocavanja [6, 7].

10

1.3.2 Projekcijska metoda

Na difraktogramima, difrakcijski maksimumi opisani su linearnom kombinaci-jom nezavisnih vektora. U slucaju difraktograma klasicnih kristala potrebna su trinezavisna vektora, dok u slucaju dekagonalnih kvazikristala potrebno je pet neza-visnih vektora [8]. Ta cinjenica navodi na zakljucak da je dimenzija reciprocnogprostora dekagonalnog kvazikristala promatranog difraktograma peterodimenzi-onalna, a analogno tome realni prostor u kojem se nalazi periodican kvazikristaltakoder je peterodimenzionalan.Pretpostavimo da imamo prostor od n dimenzija. Taj n-dimenzionalni prostor oz-nacimo sa Vn. Prostor Vn se može razdvojiti u dva podprostora te to možemozapisati kao:

Vn = X‖ + X⊥ (1.3.1)

u ovom izrazu X‖ predstavlja p-dimenzionalni fizikalni prostor (realni prostor) dokX⊥ predstavlja prostor okomit na realan prostor. Neka je ~P projekcija iz prostoraVn na X‖. Ovu projekciju nazivamo prozor. Za bilo koji vektor ~x koji je iz X‖

možemo napisati vektor ~P0 = ~P + ~x. U slucaju kada se cvor rešetke Vn nadena ~P0 njegova projekcija na X‖ ima hvatišnu tocku u realnom prostoru. Ako jenagib prostora X‖ prema hiperrešetci (rešetci u 4 ili više dimenzija) racionalanbroj tada je projicirana rešetka periodicna. Ako je nagib iracionalan broja tadaje projicirana rešetka kvaziperiodicna. Tu valja napomenuti da hiperatomi unu-tar hiperrešetke predstavljaju okupacijske domene ta da prilikom projiciranja izokupacijske domene na realan prostor, ovisno o kojem dijelu okupacijske domenese radi te nacinu projekcije, možemo dobiti razlicite atome. Da bi bolje shvatiliovaj postupak promotrimo sljedeci primjer koji je prikazan na slici 1.4. Na slicije prikazana jednostavna kubicna rešetka. U cvorove rešetke stavljamo hipera-tome, odnosno okupacijske domene, koje su na slici prikazane kao ispunjene crnetocke. Ovakvim postupkom izgradili smo naš hiperprostor. Realni prostor prika-zan je pravcem koji je oznacen crnom bojom. Pravac i jedinicni vektori zatvarajumedusobno kut θ. Prilikom projekcije hiperrešetke na realni pravac, ovisno o tan-gesnu kuta, dobivamo periodicnu odnosno apreriodicnu strukturu. Aperiodicnastruktura dobiva se kada je tan θ iracionalan broj. Posebno zanimljiv slucaj pred-stavlja kada je tan θ jednak zlatnome rezu, jer se tada dobivena struktura ponaša

11

kao Fibonacciev niz.

Slika 1.4: Prikaz metode redukcije broja dimenzija i konstrukcije jednodimenzi-onalnog kvazikristala [9].

1.4 Sinteza i metode dobivanja kvazikristala

Prvi sintetizirani kvazikristali bili su metastabilni i otkriveni su sasvim slucajno.Dobiveni su prilikom pripreme amorfnih slitina metodom brzog kaljenja, a po-nekad naknadnim aneliranjem amorfnih slitina [10]. Dvije godine nakon otkricaprvih kvazikristala dobiveni su kvazikristali s ravnotežnim fazama na odredenimtemperaturama. Elementi koji tvore kvazikristalnu strukturu prikazani su na slici1.5. Najveci broj kvazikristala sastoji se od Al-PM gdje je PM neki od prijelaznihmetala (Cu, NI, Co, Zn,...) iako mogu biti gradeni i na nekoj od drugih baza.Standardne metode koje se koriste za dobivanje kvazikristala možemo podijelitina metode za dobivanje metastabilnih kvazikristala gdje spadaju [11]:

• Kuglicni mlin

• Ultrabrzo kaljenje

12

Slika 1.5: Prikaz elemenata (oznacenih žutom bojom) koje nalazimo u stabilnimi metastabilnim kvazikristalima [7].

• Ionska depozicija

te na metode za dobivanje monokristala [11]:

• "Flux growth" metoda

• Bridgamova tehnika

• Tehnika Czochralskog

1.5 Svojstva kvazikristala

Zbog nedostatka periodicnost unutar kvazikristala na elektronske strukture unutarkvazikristala ne može se primijeniti Blochov teorem. Zbog toga ne postoji do-bar opis valnih funkcija elektrona unutar sistema. S druge strane, kvazikristalise vecinom sastoje od metala, te na temelju toga možemo pretpostaviti da imajusvojstva koja su jako slicna onima u metalima. Proucavanjem stabilnih kvazikris-tala pokazalo se da kvazikristali imaju svojstva koja se uvelike razlikuju od onihkoje nalazimo u metalima ili amorfnim materijalima. Primjer takvog ponašanja

13

možemo vidjeti na slici 1.6 i slici 1.7.

Slika 1.6: Prikaz ponašanja gustoce elektronskih stanja u kvazikristalima [12]

Slika 1.7: Prikaz opcenite temperaturne ovisnosti magnetske susceptibilnosti χ(T )Y-AlCoNi za tri medusobno okomita smjera [13].

14

Takoder postoji velika razlika u svojstvima koja nalazimo unutar odredene sku-pine kvazikristala (ikozaedarski, poligonalni). Primjerice za ikozaedarske kva-zikristale je uoceno da pokazuju veliku otpornost na niskim temperaturama uzmoguce pojavljivanje maksimuma otpornosti na temperaturama nižim od sobne[9, 11, 14], temperaturnu ovisnost Hallovog efekta kao i mogucnost promjenepredznaka koeficijenta s povecanjem temperature [9, 11], smanjenje vodljivosti sporastom uredenosti strukture (smanjenja broja defekata unutar kristala) [11, 15].Poligonalni kvazikristali opcenito iskazuju anizotropiju transportnih svojstava iz-medu periodicnog i kvazikristalnih smjerova [16, 17, 18, 19].

1.6 Dekagonalni kvazikristali

Zbog svojstva da u svojoj strukturi objedinjuju dva razlicita svojstva (periodicnosti kvaziperiodicnost) ovaj tip kristala stavlja dekagonalne kvazikristale na mjestoizmedu periodicnih kristala te ikozaeadrskih kvazikristala. Fizikalno gledano,dekagonalne kvazikristale možemo promatrati kao periodicno naslagane kvazi-periodicne atomske ravnine, slika 1.8. Drugim rijecima dekagonalne kvazikris-tale možemo smatrati dvodimenzionalnim kvazikristalima dok su oni periodicniu smjeru koje je okomit na kvazikristalnu ravninu. Kao posljedicu ovakve struk-turne anizotropije je i anizotropija transportnih svojstava (termostruja, otpornost,toplinska vodljivost, Hallov koeficijent...) izmedu periodicnog i kvaziperiodicnihsmjerova.U slucaju Hallovog koeficijenta anizotropija se ocituje u tome da kada je polje us-mjereno unutar kvaziperiodicne ravnine onda imamo negativnu vrijednost Hallo-vog koeficijenta dok u slucaju kada je magnetsko polje usmjereno duž periodicnogsmjera mjerimo pozitivne vrijednosti Hallovog koeficijenta. Prikaz tog ponašanjaprikazan je na slikama 1.9a i 1.9b.

15

Slika 1.8: Prikaz periodicnog slaganja kvaziperiodicnih ravnina duž smjera oko-mitog na kvazikristalne ravnine [20].

(a) (b)

Slika 1.9: Slika 7: Prikaz jednog od prvih sistematskih mjerenja Hallovog koefi-cijenta RH na dekagonalnim kvazikristalima za magnetsko polje usmjereno dužperiodicnog smjera (a), te za magnetsko polje unutar kvazikristalne ravnine (b)[19]. 16

Promatramo li otpornost dekagonalnih kvazikristala vidimo da u slucaju periodic-nog smjera imamo pozitivnu ovisnost o temperaturi, istovremeno iznosi otpornostikoje dobivamo mjerenjima slicni su iznosima koje mjerimo kod metala. Otpor-nost u kvaziperiodicnoj ravnini je zamjetno veca od one u periodicnom smjeru tepokazuje negativnu ovisnost o temperaturi dok ponekada dolazi i do pojave mak-simuma na sobnoj temperaturi [16]. Prikaz jednog od prvih mjerenja otpornostikvazikristala dana je na slici 1.10a i 1.10b.

(a) (b)

Slika 1.10: Prikaz jednog od prvih mjerenja otpornosti dekagonalnih kvazikris-tala. S lijeve strane (a) prikazano je ponašanje otpornosti u kvazikristalnoj ravninidok na slici (b) prikazano je ponašanje otpornosti u periodicnom smjeru [16].

Stupanj anizotropije kod dekagonalnih kvazikristala ovisi o strukturi pojedinefaze, a dosadašnja istraživanja pokazala su da ovisi i o broju kvaziperiodicnihravnina u jednoj periodicnoj celiji [21, 22]. Anizotropija dolazi najviše do izra-žaja u sustavima koji se sastoje od samo dva sloja unutar pojedine celije te polakoopada kako broj slojeva unutar celija raste. Tako na primjer, najveca anizotropijaje kod d-Al-Co-Ni i d-Al-Cu-Co (dva sloja), malo manja kod d-Al-Ni i d-Al-Co(cetiri sloja) dok je ona još manja kod d-Al-Mn (šest slojeva).Aktualno pitanje u fizici je uzrok ove anizotropije, naime, je li ona uzrokovanakvaziperiodicnošcu kristalne strukture ili složenom lokalnom strukturom ili imamooba doprinosa u stvaranju anizotropije.

17

1.6.1 d-AlCoNi

Otkrice termodinamicki stabilnih kvazikristala u nekolicini ternarnih sustava na-velo je znanstvenike da pokušaju napraviti monokristale makroskopskih dimen-zija pogodne za ispitivanje svih fizikalnih svojstava. Tenarne slitine Al-Ni-Cobogate aluminijem bile su medu prvim stabilnim materijalima s dekagonalnomkvazikristalnom simetrijom. Prikaz faznog dijagrama s istaknutim kvazikrista-lima, slika 1.11a, kao i fazni dijagram Al-Co-Ni dan je na slici 1.12a

(a) (b)

Slika 1.11: (a) prikaz faznog dijagrama nekih kvazikristalnih faza [23], (b) prikazfaznog dijagrama za sustav Al-Ni-Co [24]. Crvenom bojom oznacena je faza kojaje korištena u mjerenjima prilikom izrade ovog rada.

Na Slici 1.11a crtkanom crtom prikazane su granice Hume-Rothery pravila. Zakvazikristale Hume-Rothery pravilo zahtjeva dva valentna elektrona po struktur-nom elementu kvazikristala.Za dobivanje uzoraka koji su korišteni u ovom radu korištena je tehnika Czochral-skog [20, 25, 10] pa cu ju ovdje pobliže objasniti. Tehnika Czochralskog sastojise od slijedecih postupaka: taljevinu, tocno odredene koncentracije, zagrijava sena temperaturu koja je mnogo viša od tališta. Na toj temperaturi uzorak se zadržineko vrijeme tako da se postigne što bolja homogenost unutar taljevine. Tada setaljevina lagano hladi. Na temperaturi koja je malo veca od temperature taljenja u

18

taljevinu se uroni sjeme (jezgra), dobro definiranih kristalografskih smjerova kojisu prethodno odredeni, iz kojeg tada izrasta kristal. Nakon što se sjeme umoci utaljevinu pocinje se rotirati i lagano izvlaciti iz taljevine. Ako je brzina izvlacenjadovoljno malena¸ dobivamo se kristal željenih karakteristika.

(a)

(b) (c)

Slika 1.12: (a)prikaz kristala dobivenog metodom Czochralskog (b) stereogramAl-Co-Ni dekagonalnog kvazikristala sa svim kristalografskim smjerovima dobi-ven na temelju (a), (c) prikaz modela morfologije kristala dobivenog na temelju(b) [11].

19

Veliki problem prilikom ovakvog izrastanja monokristala kvazikristala predstavljato da se prilikom izvlacenja monokristala iz taljevine izvlace razlicite koncentra-cije elemenata koje se nalaze u njoj. Tim postupkom mijenja se kompozicija ta-ljevine te je potrebno mijenjati i uvijete pri kojima se izvlaci kristal. Monokristaldobiven ovim postupkom prikazan je na slici 1.12a. Da bi bolje predocili problemvezan uz promjenu uvijeta promotrimo shemu faznog dijagrama danog na slici1.13.

Slika 1.13: Shema faznog dijagrama ovisnosti koncentracije o temperaturi.

Pretpostavimo da se unutar faznog dijagrama nalazimo na koncentraciji cm. Pro-matranjem faznog dijagrama vidimo da ovisno o temperaturi sistema možemo senalaziti u više faza (L, L +β, L + I, I). Na temperaturama višim od Tα imamo fazuL, na temperaturi izmedu Tα i Tl imamo pojavu faza L + β, u temperaturnom ras-ponu izmedu Tm i Tl imamo pojavu faze L+I dok na temperaturama koje su manjeod Tm imamo fazu I. Želimo li dobiti fazu I moramo, dakle, krenuti iz podrucjau faznome dijagramu s fazom L + I. Da bi to mogli napraviti moram najprije oda-brati neku koncentraciju, neka to za ovaj primjer bude upravo koncentracija cm.Naš sustav zagrijemo na temperaturu koja je veca od Tm istovremeno manja od Tl,jer bi nam se u suprotnom stvorila faza L + β. Smanjivanjem temperature sustava

20

u jednom trenutku cemo doci do linije solidifikacije te se naci u tocki ravnotežeizmedu faza L+ I i I. U tom trenutku pocinje izvlacenje kristala iz taljevine. Da biostali na liniji solidifikacije, zbog promjene koncentracije, potrebno je mijenjatiostale parametre sustava poput temperature. Ovaj postupak možemo raditi takodugo dok smo na zadanim fazama unutar faznog dijagrama. U trenutku kada sepojavi nova faza ovaj postupak ne vrijedi više.Izvedbom difrakcijskih eksperimenata na uzorcima Al-Ni-Co dobije se difrakto-gram koji je prikazan na slici 1.14.

Slika 1.14: Prikaz difrakcijskog uzorka dekagonalnog kvazikristala Al-Ni-Cokvazikristalne ravnine duž periodicnog smjera [9].

Na podatke dobivene raspršenjem primjenjuju se numericki modeli pomocu kojihse dobivaju mape gustoca projekcija okupacijskih domena, slika 1.15a. Dobivenemape gustoce koriste se kao polazna tocka procesa pronalaženja poplocavanjaravnina (Slika 1.15b). Kod dekalgonalnih Al-Co-Ni kvazikristala radi se dekom-pozicija na osnovne peterokute slika 1.15b.

21

(a) (b)

Slika 1.15: Prikaz mapa gustoce kvazikristalne ravnine Al-Co-Ni sa (a) i bez (b)dekompozicije na peterokute [26]

Penroseovo poplocavanje koje dobivamo ovom dekompozicijom prikazano je naSlici ??

Slika 1.16: Prikaz Penroseovog poplocavanja koje je dobiveno dekompozicijommape gustoce prikazane na Slici 1.15a.

Veza izmedu dekompozicije u peterokute i Penroseovog poplocavanja ravninedana je na slici 1.17. Ovim postupkom dobivamo vezu izmedu funkcija gustocestanja koju je moguce racunati na temelju difraktograma dobivenih mjerenjemte poplocavanja ravnine elementima kao teorijskog modela pojave atoma unutarkristalne rešetke.

22

Slika 1.17: Prikaz dva razlicita Penroseova poplocavanja ravnine

23

Poglavlje 2

Teorijska pozadina

U velikom broju metoda koje primjenjujemo u istraživanjima cvrstih tijela metodamjerenja Hallovog efekta je od velike važnosti. Hallov efekt otkriven je 1879. go-dine. Nakon otkrica, dugo vremena nije bio od velikog znacaja u istraživanjima ufizici. Naglim razvojem fizike poluvodica Hallov efekt pocinje se sve intenzivnijekoristiti u proucavanjima svojstava materijala. Mjerenjem Hallovog efekta dobijese informacija vezana uz vrstu i broj naboja unutar materijala.

2.1 Hall efekt

Postavimo uzorak kako je to prikazano na slici 2.1:

Slika 2.1: Shematski prikaz Hallovog efekta

Uzorak postavimo u xy ravninu. Okomito na uzorak, na smjeru z osi, postav-ljamo magnetsko polje Bz. Kada kroz uzorak prolazi elektricna struja gustoce

24

jx u x smjeru, zbog djelovanja magnetskog polja, javlja se transverzalna struja uy smjeru. Ta transverzalna struja na rubovima uzrokuje pojavu naboja koji tadastvara poprecno elektricno polje Ey. To polje nazivamo Hallovim poljem EH, avelicinu VH Hallovim naponom.Velicina koju mjerimo u ovakvoj konfiguraciji je Hallova otpornost ρH a defini-ramo ju kao:

ρH =Ey

jx(2.1.1)

U eksperimentima, Hallovu otpornost nismo u mogucnosti direktno mjeriti. Prekodirektno mjerljivih velicina Hallova otpornost je definirana kao:

ρH =VHd

I(2.1.2)

ovdje je I jakost struje koja tece kroz uzorak u x smjeru. Ako se ρH ponaša kaolinearna funkcija odgovora magnetskog polja, definiramo Hallov koeficijent RH

kao:RH =

ρH

B(2.1.3)

U teorijskim proracunima obicno se radi s vodljivostima pa je na ovom mjestu po-godno iskazati vezu pojedine komponente gustoce struje i elektricnog polja prekokomponenta tenzora magnetovodljivosti σi j. Ova veza dana je s:

jx = σxx(B)Ex + σxy(B)Ey

jy = σyy(B)Ey + σyx(B)Ex (2.1.4)

Uz pretpostavku da imamo dovoljno vremena da se uspostavi stacionarno stanjetada izraz 2.1.4 možemo zapisati kao:

Ey = jxσxy

σxxσyy − σxyσyx(2.1.5)

Pretpostavimo li da se struje u transverzalnom smjeru izjednace i da nam je ma-terijal izotropan σxx = σyy i σxy = σyx, te korištenjem izraza 2.1.5 dobivamorelaciju:

Ey = jxσxy(B)

σ2xx(B) + σ2

xy(B)(2.1.6)

25

U izrazu 2.1.6 možemo napraviti nekoliko aproksimacija. Relativna promjena σxx

s magnetskim poljem je reda velicine τ2ω2c gdje je τ vrijeme relaksacije elektrona,

a ωc ciklotronska frekvencija, takoder clan σ2xy možemo zanemariti. Ovdje se

koristimo cinjenicom da su struje aditivne velicine. Ovim aproksimacijama izraza2.1.6 uz korištenje izraza 2.1.1 dobivamo:

ρH =σxy(B)σ2

xx(B)(2.1.7)

U nekim materijalima transverzalna struja može imati i doprinos koji nastaje zbogasimetricnog raspršenja elektrona uzrokovanog spin - orbitalnom interakcijom.Kao posljedica ovog raspršenja σxy(B) sadrži clan koji je proporcionalan magne-tizaciji sistema. Zbog toga Hallov efekt u tim materijalima ima dva doprinosa,normalni i anomalni, dok Hallovu otpornost prikazujemo kao:

ρH = R0B + Rsµ0M (2.1.8)

U izrazu 2.1.8 R0 je normalni Hallov koeficijent, RS je anomalni Hallov koefi-cijent, a M je magnetizacija sistema. Izrazi 2.1.7 i 2.1.8 vrijede samo u granicislabih polja τωc << 1, odnosno kada vrijedi linearna veza izmedu Hallovog efektai magnetskog polja. Takoder u izrazu 2.1.8 pretpostavili smo da je magnetizacijahomogena u prostoru.

2.1.1 Normalni Hallov efekt

Normalni Hallov efekt je posljedica djelovanja Lorentzove sile na elektrone kojivode elektricnu struju. U modelu slobodnih elektrona normalni Hallov koeficijentdan je izrazom:

R0 =1ne

(2.1.9)

gdje je n gustoca nosioca naboja, a e naboj nosioca. Ovaj jednostavni model seslaže s podacima dobivenim eksperimentom u velikom broju slucajeva (alkalijskimetali, poluvodici, plemeniti metali, amorfni metali i slitine). Medutim, postojeslucajevi gdje model slobodnih elektrona nije u mogucnosti objasniti predznaki iznos Hallovog efekta. Za objašnjavanje opcenitih slucajeva bitna je detaljna

26

analiza Hallovog efekta gdje se polazi od cinjenice da je odziv elektrona odredenokolinom u kojoj se oni nalaze.

2.1.2 Normalni Hallov efekt u kristalnim materijalima

Dinamicka svojstva elektrona u kristalu odredena su kristalnom rešetkom. Disper-zijskom relacijom, E = E(~k), gdje ~k valni vektor, a E energija, opisan je utjecajmedudjelovanja elektrona s rešetkom. Gibanje elektrona u vanjskom magnetskomi elektricnom polju možemo opisati s:

~~k = e(~E + ~v × ~B

)(2.1.10)

~v =1~5~k E

(~k)

(2.1.11)

Prilikom gibanja nosioci naboja se raspršuju. Ta se raspršenja mogu opisati razli-citim mehanizmima, koji predstavljaju odstupanje od periodicnosti rešetke. Zavr-šna raspodjela nosioca naboja odredena je uspostavljanjem dinamicke ravnotežeizmedu efekata utjecaja vanjskog polja i efekata raspršenja. Normalni Hallov ko-eficijent, u granici slabih polja, za sistem s kubicnom simetrijom dan je s:

R0 =12π3

e

∫1ρv2τ2dS(∫vτdS

)2 (2.1.12)

u ovom izrazu ρ je radijus zakrivljenosti Fermijeve površine, a 1/ρ je srednjavrijednost na elementu površine dS . Izraz 2.1.12 istovjetan je izrazima koje mo-žemo pronaci u literaturi [27, 28, 29]. Na osnovu izraza 2.1.12 zakljucujemo da jeHallov koeficijent u granici slabih polja ogranicen sumom dinamickih svojstavaelektrona izraženih preko lokalne zakrivljenosti Fermijeve površine i anizotropijevremena relaksacije. Pretpostavimo li da je toplinska ovisnost vremena τ izo-tropna izraz 2.1.12 postaje neovisan o temperaturi te se svodi na izraz 2.1.9 zaslucaj slobodnih elektrona. U izrazu 2.1.12 sadržana je cinjenica da nosioci kojise nalaze na dijelovima Fermijeve površine s negativnim radijusom zakrivljenostidaju pozitivan doprinos Hallovom efektu dok nosioci naboja koji se nalaze naFermijevoj površini s pozitivnim radijusom zakrivljenosti daju negativan dopri-

27

nos Hallovom efektu. Takvo ponašanje je u skladu s izrazima 2.1.10 i 2.1.11.Prilikom djelovanja magnetskog polja vektor brzine na konkavnim dijelovima ro-tira u smjeru koji je suprotan smjeru rotacije valnog vektora što nas vodi na za-kljucak da se nosioci naboja na tim dijelovima Fermijeve površine ponašaju kaopozitivno nabijene cestice. Istovremeno na konveksnim dijelovima Fermijeve po-vršine vektor brzine rotira u istom smjeru kao i valni vektor nosioca naboja te senosioci naboja ponašaju poput negativno nabijenih cestica. Negativna zakrivlje-nost Fermijeve površine i s njom povezan pozitivan doprinos Hallovom efektu suu kristalu posljedica periodicne strukture kristalne rešetke. Iz uvjeta simetrije do-bivamo zahtjev da u pojedinim tockama na rubovima Brillouinove zone pojedinekomponente gradijenta energije išcezavaju. Ako je, na primjer, stranica Brillo-uinove zone paralelna s ravninom zrcaljenja, tada ekvienergetske plohe koje jupresijecaju moraju biti na nju okomite. U tom se slucaju konveksna sferna Fer-mijeva ploha, svojstvena slobodnim elektronima, modificira kao što je shematskiprikazano na slici 2.2. Na temelju ovih razmatranja vidimo kako se Hallov efekt

Slika 2.2: Shematski prikaz promjene oblika Fermijeve površine u blizini rubaBrillouinove zone [30].

može iskoristiti za odredivanje elektronske strukture materijala. Hallov efekt jeod iznimne važnosti u slucajevima kada na promatrani sistem nisu primjenjivemetode direktnog odredivanja elektronske strukture.

28

2.2 Elektricna otpornost

Da bi postojao tok struje, na materijal moramo primjeniti elektricno polje. Pret-postvimo da imamo elektricno polje Ex u x smjeru. U modelu slobodnog plinagibanje slobodnih elektrona tada je opisano jednadžbom gibanja:

dpx

dt=~dkx

dt= qeEx (2.2.1)

gdje je q naboj elektrona. Raspisom izraza 2.2.1 dolazimo do:

kx =qeEx

~t + k0 (2.2.2)

Izraz 2.2.2 opisuje kontinuirano i beskonacno gibanje Fermijeve površine u smjerusuprotnom od smjera elektricnog polja. Do ove pojave ne dolazi u realnim meta-lima što upucuje na postojanje još jednog procesa. Taj proces odgovara rasprše-nju elektrona koji onemogucuju beskonacno ubrzavanje nosioca naboja uz pomocelektricnog polja.Prije nego se rasprše, elektroni su ubrzani elektricnim poljem u vremenskom in-tervalu τ. Stacionarno stanje sustava uspostavlja se nakon što dode do odredenogpomaka Fermijeve površine uzrokovanog elektricnim poljem, slika 2.3.

Slika 2.3: Prikaz pomaka Fermijeve površine u prisustvu elektricnog polja ~E.

Ovim mehanizmom omogucuje se pojava konacnog toka struje zbog raspršenja

29

nosioca naboja. Da bi se uvelo raspršenje najprije moramo definirati driftnu br-zinu ~vD:

~vD =

n∑i=1~vi

n(2.2.3)

gdje se sumira po n nosioca naboja unutar nekog volumena. Driftna brzina prika-zana u izrazu 2.2.3 je usrednjena brzina nosioca naboja preko cijelog ansambla.Nakon vremena τ, od ukljucivanja elektricnog polja, dolazi do uspostave staci-onarnog stanja. Jednadžba gibanja nosioca naboja u tom stanju dana je s:

m(dvD

dt+

vd

τ

)= qe~E (2.2.4)

Rješavanjem jednadžbe gibanja dane izrazom 2.2.4 dobivamo:

~vD =qeτ~E

m(2.2.5)

Zbog toga dolazi do pomaka Fermijeve površine koji je jednak:

4 kx =m~~vD =

qeτ~E~

(2.2.6)

Gustocu elektricne struje možemo definirati kao:

~J = nqe~vD (2.2.7)

Izraz 2.2.5 možemo tada pisati kao:

~J =e2nτ

m~E (2.2.8)

Izraz 2.2.8 predstavlja Ohmov zakon.Veza izmedu elektricnog polja i gustoce struje dana je s ~J = σ~E. Korištenjem ovepretpostavke zajedno s izrazom 2.2.8 dobivamo:

σ =q2nτ

m(2.2.9)

30

Elektricna otpornost ρ definirana je kao reciprocna vrijednost elektricne vodlji-vosti te iz izraza 2.2.9 slijedi da je elektricna otpornost dana s:

ρ =m

q2nτ(2.2.10)

Na sobnoj temperaturi elektricna otpornost vecine metala potjece od medudjelo-vanja elektrona s fononima dok na niskim temperaturama do izražaja dolaze ras-pršenja nosioca naboja na nesavršenostima unutar kristala (necistoce, primjese,defekti, . . . ). Otpornost metala s primjesama možemo prikazati kao:

ρ = ρt + ρi (2.2.11)

gdje je ρt otpornost prouzrokovana toplinskim titranjima rešetke dok je ρi otpor-nost prouzrokovana raspršenjima nosioca naboja na atomima primjesa i nesavr-šenostima rešetke. Ako je koncentracija primjesa unutar kristala mala tada ρi neovisi o temperaturi. Uvedemo li ovu pretpostavku u izraz 2.2.11 vidimo da ulimesu kada T → 0 jedini doprinos elektricnoj otpornosti dolazi od ρi. Ovu otpor-nost nazivamo rezidualna otpornost. Ona se na apsolutnoj nuli mijenja od uzorkado uzorka, a u realnim slucajevima njezina vrijednost dobiva se ekstrapolacijom.Prilikom karakterizacije uzorka, definiramo koeficijent otpornosti uzorka. To jeomjer iznosa elektricne otpornosti na temperatuma od 300 K i 2 K. Vrijednost ko-eficijenta otpornosti mijenja se i u izuzetnim slucajevima može biti reda 105 dokkod nekih slitina on jer reda velicine 2. Komponenta elektrcne otpornosti kojapotjece od fonona pokazuje ponašanje:

ρt ∝

T za T θ

T 5 za T θ

gdje je θ Debyeva temperatura.Proporcionalnost elektricne otpornosti s T na visokim temperaturama uvjetovanaje vjerojatnosti raspršenja nosioca naboja na fononima, dok na niskim tempera-turama broj fonona se ponaša kao T 3, a spektar pobudenih fonona sastoji se oddugovalnih fonona malog impulsa.

31

Ovo ponašanje poluempirijski možemo opisati s:

ρ ∝ TG(θ/T ) (2.2.12)

gdje je G(θ/T ) definirana kao:

G(x) = x−4∫ x

0

s2ds(es − 1)(1 − e−s)

(2.2.13)

Izraz 2.2.13 slaže se s pretpostavljenim kvalitativnim ponašanjima za metale navišim temperaturama.

32

Poglavlje 3

Metode mjerenja

3.1 Priprema uzorka

Nakon prvog otkrica 1984. godine, nije se odmah moglo pristupiti sistematskomistraživanju transportnih svojstava kvazikristala. Naime, ti materijali sadržavali suveliki broj defekata i bili su malih dimenzija što je otežavalo mjerenja te utjecalona kvalitetu dobivenih rezultata. Otkricem stabilnih kvazikristala, boljim poznava-njem faznog dijagrama te usavršavanjem proizvodnje uzoraka uvelike se smanjujebroj defekata unutar uzorka što omogucuje intenzivnije proucavanje kvazikristala[17]. Uzorci koje smo koristili u istraživanju dobiveni su izrastanjem monokristala

Slika 3.1: Shematski prikaz orijentacija uzoraka duž kristalografskih smjerova.

33

pomocu metode Czochralskog [10]. Uzorci su izvlaceni iz taljevine brzinom 0.15mm/h pri temperaturi taljevine Ttal jevine = 1050. Korišteno sjeme bilo je kristalo-grafske orijentacije [00001]. Monokristalni uzorci dimenzija 7 x 2 x 2 mm rezanisu da je dugacka os prvog uzorka orijentirana duž [00001] (periodican smjer), adugacke osi drugih dvaju uzoraka duž medusobno okomitih smjerova u kvazipe-riodicnoj ravnini [01000] i [10100] (QP1 i QP2 smjer). Prikaz uzoraka dan je naslici 3.1.

3.2 Mjerenje Hallovog efekta

Metoda mjerenja Hallovog efekta, koja je primijenjena unutar ovog rada, je stan-dardna metoda koja se koristi za mjerenje Hall efekta na Institutu za fiziku. Idealnioblik uzorka za mjerenje Hallovog efekta je tanka dovoljno duga plocica. Uzorakse postavlja u magnetsko polje kako je to prikazano na slici 2.1 Uzorak postavimou xy ravninu. Okomito na uzorak, na smjeru z osi, postavljamo magnetsko poljeBz. Unutar uzorka dolazi do pojava koje su iznesene unutar teorijskog uvoda.Preko direktno mjerljivih velicina Hallova otpornost je definirana kao:

ρH =

VHwI

wd

=VHd

I(3.2.1)

gdje je VH Hallov napon, I struja, d debljina uzorka, a w širina uzorka Ako ovaotpornost linearno ovisi o polju tada možemo definirati Hallov koeficijent kako jeto dano u izrazu 2.1.1, a dodatnim raspisom 2.1.3 dobivamo:

RH =ρH

B=

Ex

jyB(3.2.2)

Za mjerenje Hallovog efekta koristimo metodu kompenzacije s pet kontakata (dvastrujna i tri naponska). Ovu metodu koristimo zbog toga jer je dva naponska kon-takta izrazito teško postaviti jedan nasuprot drugog što dovodi do pojave ohmskogpada napona izmedu njih te je tada teško razluciti malu promjenu koja se nalaziunutar velikog signala. Kontakti na uzorku su napravljeni uz pomoc sreberne pasteprilikom cega smo koristili zlatne dovodne žice promjera 25 µm. Uzorak nakon

34

toga stavljamo na nosac gdje ga ucvršcujemo uz pomoc GE (General electric)laka i vakuumske masti. Žice se takoder dodatno ucvršcuju na nosac uz pomocGE laka. Ovim postupkom smanjuje se naprezanje žica prilikom mjerenja kaoi pogreške koju dobivamo u mjerenju zbog indukcije od polja vibrirajucih struj-nih žica. Prikaz montiranog uzorka nalazi se na slici 3.2 Na nosacu se nalaze tri

Slika 3.2: Uzorak pripremljen za mjerenje Hallovog efekta

naponska i dva strujna sidra na koje spajamo naše strujne i naponske žice. Zaspajanje žica koristimo srebernu pastu. Na drugoj strani sidra su spojena s ba-krenim žicama koje su provucene kroz cijev nosaca sve do konektora za mjerneinstrumente. Žice unutar nosaca namotane su bifilarno da bi se smanjila pojavaparazitskih signala. Nosac je napravljen od nehrdajuceg celika na cijem vrhu senalazi termoclanak (CuNi-NiCr) i elektricni kontakti za spajanje s ostatkom mjer-nog postava. S doljne strane nosaca nalazi se grijac, spojište termoclanka te sidraza žice. Donji dio nosaca stavlja se u kalorimetar a kao brtvu izmedu kalorimetrai poklopca (koji se nalazi na nosacu) koristimo indijev prsten. Zatezanjem vijakakoji se nalaze na poklopcu kalorimetra vršimo pritisak na indijev prsten te tako br-tvimo kalorimetar. Unutrašnjost kalorimetra ispumpava se rotacionom pumpomdo vakuuma 10−6 bar. Prikaz nosaca uzorka dan je na slici 3.3Kalorimetar spuštamo u Dewar posudu dvostrukih stijenki, a prostor izmedu sti-jenki ispumpavamo do tlaka reda velicine 10−6 bar. Dewar posudu ispunjavamotekucim dušikom u koji postavljamo kaloriometar. Centralni dio eksperimental-nog postava je fazno osjetljivo pojacalo (Lock-in SR530). Lock-in posjeduje izvorsignala od 1V s unutrašnjim otporom 600Ω, i rasponom frekvencija od 0.1 do 104

35

Slika 3.3: Shematski prikaz nosaca za mjerenje Hallovog efekta

Hz. Frekvencija pri kojoj se mjerilo bilo je 33,3Hz. Razlog tome je to što je tafrekvencija „daleko“ od frekvencije na kojoj se nalazi elektricna mreža, a s drugestrane dovoljno je niska da nemamo kapacitivnih doprinosa dovodnih žica te sma-njuje efekt parazitskih signala, a koji mogu imati komponente koje su u fazi samjerenim signalom. Shema cijelog sustava dana je na slici 3.4. Mjerenje tece takoda izmjenicnu struju, iz Lock-ina, željene frekvencije šaljemo na strujno pojacalo.Strujno pojacalo šalje struju kroz uzorak. Iznos struje koja prolazi uzorkom odre-dujemo citajuci pad napona na standardnom otporniku R0=1Ω. Citanje Hallovognapona vršimo preko transformatora (PAR 190) koji pojacava napon sto puta bezpomaka u fazi i kompenzacijskog kruga. Napon koji citamo na ulazu povecan jesto puta. Kompenzacijski krug se sastoji od otpornika R1 =100Ω, R2=100Ω i RD

(diferencijalni otpornik) te oni moraju biti puno veci od otpora uzorka tako da kroznjih ne prolazi struja. Napon na termoclanku ocitavamo sa Keithley 2700 multi-metrom. Ocitani napon preko dobivenih baždarnih krivulja pretvaramo u tempe-raturu. Željena temperatura se postiže uravnoteženjem hladenja kriogene tekucine(tekuceg dušika) te grijanjem pomocu grijaca. Zbog vodenja topline kondukcijomkroz žice temperaturu unutar kriostata nismo u mogucnosti smanjiti na niže od 90K. Grijac napajamo stabilnim strujnim izvorom, dok struju grijanja citamo preko

36

Slika 3.4: Shematski prikaz uredaja za mjerenje Hallovog efekta

otpornika od 1Ω. Magnetom sa željeznom jezgrom upravljamo preko strujnog iz-vora Keithley 220. Magnetsko polje može se birati u rasponu od 0T do 0.8T. Poljekoje zaostaje zbog remanencije željezne jezgre zanemarujemo, jer ono ne dajedoprinos šumu. Proces mjerenja je automatiziran i svi dijelovi aparature povezanisu na racunalo preko IEEE 488 komunikacijske kartice. Primjenom AC tehnike,prilikom mjerenja Hall efekta, eliminiramo termalne i kontaktne napone. Naponkoji mjerimo sastoji se od tri doprinosa. To su:

• pad ohmskog napona na nekompenziranom dijelu

• magnetootpor

• Hallov napon

Za mjerenje je od izuzetne važnosti to da se predznak pada omskog napona nanekompenziranom dijelu i magnetootpori ne mijenja dok istovremeno predznakHallovog napona ovisi o smjeru magnetskog polja. Ukupni napon možemo prika-

37

zati kao:Vtot = Vohm + Vmr + VH (3.2.3)

gdje je Vtot ukupni napon koji mjerimo, Vohm ukupni pad ohmskog napona, a Vmr

pad napona prouzrocen magnetootporom.Uvedemo li zamjenu u izraz 3.2.3 tadau najopcenitijem slucaju dobivamo:

Vtot1,2 = V0 ± VH (3.2.4)

gdje je V0 = Vohm ∗ Vmr, a predznak unutar izraza 3.2.4 ovisi o smjeru polja. Natemelju izraza 3.2.4 dobivamo da je Hallov napon definiran kao:

VH =Vtot1 − Vtot2

2(3.2.5)

Mjerenje vršimo tako da najprije stabiliziramo temperaturu. Na danoj temperaturiizmjerimo odgovarajuce napone Vtot1(B), prilikom cega napone mjerimo pri pro-mjeni polja za 0.1T. Nakon toga okrenemo smjer polja i ponovimo postupak uzmjerenje Vtot2(B). Na temelju tih podataka izracunamo Hallovo polje i otpornostte ako je ρH(B) linearna funkcija magnetskog polja možemo izracunati RH(B).

38

3.3 Mjerenje elektricnog otpora

Elektricni otpor mjerimo metodom cetiri kontakta DC (direct current) tehnikom.Na uzorak pomocu srebrene paste lijepimo zlatne žice promjera 25 µm Kao kodmjerenja Hallovog efekta. Dva dobivena kontakta koristimo kao naponske kon-takte dok dva kontakta koristimo kao strujne kontakte. Prikaz sheme metode danje na slici 3.5.

Slika 3.5: Shematski prikaz metode mjerenja elektricnog otpora

Elektricni otpor R racunamo iz Ohmovog zakona

R =VI

(3.3.1)

gdje je I struja koja prelazi presjekom uzorka, a V pad napona na uzorku. Tokommjerenja DC tehnikom napon odredujemo za dva smjera struje. Ovim postupkomponištavamo parazitske termalne i kontaktne napone koji se javljaju na spojištimazlatnih žica i uzoraka kao i na svim drugim spojistima u sklopu za mjerenje.Elektricnu otpornost ρ racunamo prema izrazu:

ρ = RAl

(3.3.2)

39

gdje je A presjek uzorka, a l udaljenost izmedu dva naponska kontakta. Mjerenjapresjeka uzorka i udaljenosti izmedu dva kontakata provode se pomocu mjerneskale i mikroskopa za bolje ocitavanje vrijednosti. Prilikom ovog mjerenja dobi-vamo sistematsku pogrešku koja je velicine deset posto, ta pogreška je uzrokovananesigurnošcu u mjerenju.Kod analize obicno se koristimo elektricna vodljivost koja predstavlja reciprocnuvrijednost elektricne otpornosti te se definira kao:

σ =1ρ

(3.3.3)

40

Poglavlje 4

Rezultati mjerenja

4.1 Elektricna otpornost

Mjerenja elektricne otpornosti u ovisnosti o temperaturi, ρ(T ), provedena su kakoje to opisano u poglavlju 3.3. Ovisnost ρ(T ) monokristala d-Al70Ni10Co20, duž trirazlicita kristalografska smjera, periodicnog (P) i dva medusobno okomita smjerau kvaziperiodicnoj ravnini (QP1 i QP2), prikazana je na slici 4.1. U periodicnomsmjeru d-Al70Ni10Co20 pokazuje po vrijednosti najmanju elektricnu otpornost. Nasobnoj temperaturi ona iznosi ρp = 41 µΩcm, dok su otpornosti u kvaziperiodicnojravnini ρQP1 = 270 µΩcm i ρQP2 = 288 µΩcm, a pripadajuce rezidualne otpornostiiznose 30µΩcm, 268µΩcm odnosno 282µΩcm (Tablica 4.1).

krist. smjer ρ2K[µΩcm] ρ300K[µΩcm] ρ300K/ρ2K[µΩcm]P 30m 41 1.36

QP1 268 270 1.02QP2 282 288 1.02

Tablica 4.1: Prikaz mjerenih vrijednosti elektricne otpornosti, ρ(T ), monokristalad-Al70Ni10Co20, za tri medusobno okomita smjera na temperaturi 2K i 300 K tenjihov omjer ρ300K/ρ2K .

S obzirom na iznos elektricne otpornosti, d-Al70Ni10Co20 je relativno dobar vo-dic duž periodicnog smjera. U kvaziperiodicnoj ravnini elektricna otpornost jegotovo red velicine veca od one u periodicnom smjeru, no temperaturna ovisnostelektricne otpornosti duž sva tri smjera ima pozitivan temperaturni koeficijent, s

41

Slika 4.1: Temperaturna ovisnost elektricne otpornosti, ρ(T ), monokristala d-Al70Ni10Co20, za tri medusobno okomita smjera.

porastom temperature otpornost raste. Omjeri otpornosti duž razlicitih kristalo-grafskih smjerova na sobnoj temperaturi iznose ρQP1/ρP = 6.6, ρp/ρQP2 = 7.0 iρQP2/ρQP1 = 1.05, dok na 2 K njihovi iznosi su 8.9, 9.6 odnosno 1.06. Omjerotpornosti duž dva razlicita kristalografska smjera u kvaziperiodicnoj ravnini jegotovo temperaturno neovisan, dok je omjer otpornosti duž razlicitih kristalograf-skih smjerova u kvaziperiodicnoj ravnini i periodicnom smjeru blago tempera-turno ovisan (Tablica 4.2).Pozitivni temperaturni koeficijent elektricne otpornosti upucuje na raspršenje elek-trona na fononima kao bitnom procesu raspršenja, dok velika rezidualna otpor-nost te omjer otpornosti na sobnoj temperaturi i rezidualne otpornosti (koji za

42

krist. smjer T=2 K T=300 KρQP1/ρP 8.9 6.6ρQP2/ρP 9.6 7.0ρQP2/ρQP1 1.1 1.05

Tablica 4.2: Prikaz omjera mjerenih vrijednosti otpornosti ρ(T ) monokristala d-Al70Ni10Co20, za tri medusobno okomita smjera na temperaturama 2K i 300 K.

periodicki smjer iznosi oko 1.36) znaci da raspršenje elektrona na zamrznutomstrukturnom neredu ima ulogu znacajniju od fononskog raspršenja.

4.2 Hallov efekt

Mjerenja Hallovog efekta u ovisnosti o temperaturi provedena su kako je to opi-sano u poglavlju 3.2. Magnetska polja do 0.8 T dobivena su standardnim elektro-magnetom, a mjerenja su napravljena u temperaturnom podrucju od 90 K do 370K. Jakost struje koja je prolazila kroz uzorak bila je u rasponu od 10 mA do 50mA. Prilikom mjerenja Hallovog napona, postignuta je rezolucija od 1 nV. Hallovkoeficijent (RH) izmjeren je za sve medusobno okomite kombinacije struja i mag-netskih polja.Ovisnost Hallovog koeficijenta o temperaturi, RH(T ), prikazana je na slici 4.2,on je pozitivan (RH > 0) u slucaju kada magnetsko polje ~B leži u kvazikristalnojravnini dok je negativan (RH < 0) za magnetsko polje paralelno s periodicnimsmjerom koji je u smjeru deseterostruke osi dekagonalne faze.Dobiveni rezultati su konzistentni s nedavnim mjerenjima termostruje, S (T ), naistom uzorku u sva tri razlicita kristalografska smjera (POPCEVIC NEOBJAV-LJENI REZ). Termostruja u dva medusobno okomita smjera u kvaziperiodicnojravnini je pozitivna (S (T )>0), pokazuje isto temperturno ponašanje i jednaka poiznosu u cijelom temperaturnom podrucju analogno kao u slucaju Hallovih koefi-cijenta. U periodicnom smjeru, termostruja kao i Hallov koeficijent je negativnai s porastom temperature po apsolutnom iznosu se smanjuje. Rezultati za Hal-love koeficijente se slažu s literaturnim navodima [19] +CLANCI REFERENCE.Prilikom mjerenja za sve kombinacija struja i magnetskih polja, pojavljuju se trinakupine mjerenih rezultata. Grupiranje je takvo da se grupiraju rezultati koji

43

Slika 4.2: Temperaturna ovisnost Hallovog koeficijenta, RH, monokristala d-Al70Ni10Co20, za razlicite kombinacije magnetskog polja ~B i elektricne struje ~jza tri medusobno okomita smjera.

imaju magnetsko polje ~B u istome smjeru. U slucaju prikazanom na slici 4.2dolazi do grupiranja za magnetska polja ~B unutar kvazikristalne ravnine. To upu-cuje na nepostojanje anizotropije Hallovog koeficijenta za dano magnetsko polje~B u kvazikristalnoj ravnini. U slucaju da je magnetsko polje orijentirano u peri-odicnom smjeru, Hallov koeficijent se znacajno mijenja s temperaturom. On jenegativan (RP

H(100K) = −8.5 · 10−9 m3/C) u cijelom istraživanom temperaturnompodrucju i s porastom temperature pada po apsolutnom iznosu te na temperatu-rama iznad sobne temperature postaje gotovo konstantan. U slucaju kad magnet-sko polje ~B leži u kvaziperiodicnoj ravnini Hallov koeficijent je puno manji poiznosu (RQP1

H = RQP2H ≈ 1.3 · 10−9m3/C), te se sporije mijenja s temperaturom,

44

tako da je gotovo konstantan u cijelom temperaturnom podrucju. Jasno je uocenaanizotropija Hallovog koeficijenta ovisno o tome leži li magnetsko polje u kvazi-periodicnoj ravnini ili je u periodicnom smjeru.Temperaturna ovisnost Hallovog koeficijenta za slucaj da magnetsko polje leži uperiodicnom smjeru može biti posljedica nepostojanja vremena raspršenja elek-trona koje je jedinstveno za sve grane Fermijeve površine i/ili anizotropije tempe-raturno ovisnog vremena raspršenja (ovisnog i o prisutnosti zamrznutog nereda usistemu) preko svake pojedine grane.

45

Poglavlje 5

Zakljucak

Prikazani su rezultati mjerenja transportnih koeficijenata (elektricna otpornost (ρ)i Hallov koeficijent (RH)) za tri razlicita smjera na visokokvalitetnom monokris-talu dekagonalnog kvazikristala d-Al70Ni10Co20 kao jednog od predstavnika kom-pleksnih metalnih slitina. Mjerenja su provedena duž tri medusobno okomitasmjera: [00001] smjera (periodican smjer P usmjeren duž deseterostruke osi deka-kagonalne faze) te smjerova [10100] i [10000] (smjerovi QP1 i QP2 unutar kvazi-kristalne ravnine). Elektricna otpornost mjerena je u temperaturnom podrucju od2 K do 300 K dok je Hallov koeficijent mjeren u temperaturnom podrucju od 80K do 370 K. Anizotropija Hallovog koeficijenta za dano magnetsko polje u kva-zikristalnoj ravnini je unutar eksperimentalne pogreške. Istovremeno, izmjerenaje zamjetna anizotropija u iznosima elektricne otpornosti dobivena za periodicansmjer i smjerove unutar kvazikristalne ravnine. U slucaju Hallovog efekta ovaanizotropija odgovara anizotropiji Hallovog koeficijenta RH za polje ~B paralelnos periodicnim smjerom i za polje ~B unutar kvazikristalne ravnine. Dobiveni re-zultati su prvi u smislu da su provedena mjerenja dva transportna koeficijenta (ρH

i RH) na istom visokokvalitetnom monokristalu dobro definiranih smjerova, te sunapravljena i mjerenja za dva razlicita smjera unutar kvazikristalne ravnine. Re-zultati se kvalitativno dobro slažu s rezultatima iz literature za dekagonalne kva-zikristale i njihove aproksimante pripadnike široke obitelji kompleksnih metalnihsistema, te su baza za daljnja sistematska proucavanja raznih fizikalnih svojstavaovisno o sastavu i prisutnosti nereda u pojedinom sistemu.

46

Bibliografija

[1] L. Pauling, J. Am. Chem. Soc., 45, 2777-2780, (1923)

[2] D. Shechtman, I. Blech, D. Gratias, J.W. Cahn, Phys. Rev. Lett., 53, 1951-1953, (1984)

[3] H. Wang, Bell System Tech. Journal, 40, pp. 1-41, (1961)

[4] R. Berger, Memoirs Amer. Math. Soc., 66, pp. 1-72, (1966)

[5] R. Penrose, Bulletin of the Institute od Mathematics and its Applications,10, pp. 266-271, (1974)

[6] S. Deloudi, W. Steurer, Philos. Mag. 87, (18-21) 2727-2732, (2007)

[7] W. Steurer, Z. Kristallogr. 219, 391-446, (2004)

[8] T. Fujuwara, Y. Ishii, Quasicrystals, Elsevier, Amsterdam, (2008)

[9] Yu Kh Vekilov, M. A. Chernikov, Physics – Uspekhi, 53, 537-560, (2010)H. R. Trebin, Quasicrystals: Structure and Physical Properties, Wiley-VCH,Wienheim (2003)

[10] P. Gille, B. Bauer, Cryst. Res. Technol., 43, 1161-1167, (2008)

[11] H. R. Trebin, Quasicrystals: Structure and Physical Properties, Wiley-VCH,Wienheim (2003)

[12] J. Dolinšek, P. Jeglic, M. Komelj, S. Vrtnik, A. Smontara, I. Smiljanic, A.Bilušic, J. Ivkov, D. Stanic, E.S. Zijlstra, B. Bauer, P. Gille, Phys. Rev. B,76, 174207, (2007)

47

[13] A. Smontara, I. Smiljanic, J. Ivkov, D. Stanic, O.S. Barišic, Z. Jaglicic,P. Gille, M. Komelj, P. Jeglic, M. Bobnar, J. Dolinšek, Phys. Rev. B, 78,104804, (2008)

[14] C.A. Swenson, I.R. Fisher, N.E. Anderson, P.C. Canfield, A. Migliori, Phys.Rev. B, 65, 184206, (2002)

[15] G. Trambly de Laissardiere, D. Nguyen-Manh, D. Mayou, Prog. Mater Sci.,50, 679, (2005)

[16] S. Martin, A.F. hebard, A.R. Kortan, F.A. Thiel, Phys. Rev. Lett., 67, 719,(1991)

[17] Z.-L. Zang, S.-C. Cao, Y.-P. Wang, L. Lu, X. L. -Ma, K.H. Kuo, Phys. Rev.Lett. 66, 2778-2781, (1991)

[18] D.-L. Zhang, L. Lu, X. –M. Wang, S.-Y. Lin, L.X. He, K.H. Kuo, Phys. Rev.B, 41, 8557-8559, (1990)

[19] Y.-P. Wang, D.-L. Zhang, L.F. Chen, Phys. Rev. B, 48, 10542-10545, (1993)

[20] G. Meisterernst, Experimente zur wachstumskinetik dekagonaler quasikris-talle, Fakultat fur Geowissenschaften der Ludwig-Maximilians-UniversitatMunchen, (2006)

[21] M. Krajci, J. Hafner, Phys. Rev B, 58, 5378-5383, (1998)

[22] G. Trambly de Laissardiere, T. Fujiwara, Phys. Rev. B, 50, 9843-9850,(1994)

[23] B. Grushko, T. Ya. Velikanova, J. Alloys and Compounds, 367, 58-63,(2004)

[24] M. Yurechko, B. Grushko, T. Ya. Velikanova, K. Urban, J. Alloys and Com-pounds, 367, 20-24, (2004)

[25] P. Gille, P. Dreier, R. –U. Barz, J. Alloys and Compounds, 342, 7-12, (2002)

48

[26] T. Weber, B. Pedersen, P. Gille, F. Frey, W. Steurer, Z. Kristallogr., 223,863-867, (2008)

[27] C. Kittel, Introduction to solid state physics, 7th edition, John Wiley & sons,NY, (1996)

[28] N.W. Ashcroft, N.D. Mermin, Solid state physics, Orlando, Saunders Col-lege Publishing, (1976)

[29] B.R. Coles, A.D. Caplin, The Structures and properties of Solids 4 :TheElectronic Structures of Solids, Edward Arnold, London (1976)

[30] D. Stanic, Transport naboja i topline kompleksnih metalnih spojevaAl73Mn27−x(Pd,Fe)x, Sveucilište u Zagrebu, Zagreb, (2009)

49