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Darstellung, Verarbeitung und Erwerb von Wissen
Gabriele Kern-IsbernerLS 1 – Information Engineering
TU DortmundWintersemester 2015/16
WS 2015/16
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 1 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Ubersicht Kapitel 4
4.1 Wahrscheinlichkeiten und probabilistische Netzwerke
4.2 Dempster-Shafer/Evidenz-Theorie
4.3 Fuzzy-Logik
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 216 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Kapitel 4
4. Quantitative Unsicherheit –Wahrscheinlichkeiten & Co.
4.3 Fuzzy-Logik
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 217 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Literatur
R. Kruse, J. Gebhardt, and F. Klawonn.Fuzzy-Systeme. Teubner, Stuttgart, 1995, 2. Auflage.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 218 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Ubersicht Kapitel 4.3
• Vage Pradikate
• Fuzzy-Mengenlehre
• Epistemische Fuzzy-Mengen → Possibilitatstheorie
• Inferenz mit Fuzzy-Regeln
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 219 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Ubersicht Kapitel 4.3
• Vage Pradikate
• Fuzzy-Mengenlehre
• Epistemische Fuzzy-Mengen → Possibilitatstheorie
• Inferenz mit Fuzzy-Regeln
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 219 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Ubersicht Kapitel 4.3
• Vage Pradikate
• Fuzzy-Mengenlehre
• Epistemische Fuzzy-Mengen → Possibilitatstheorie
• Inferenz mit Fuzzy-Regeln
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 219 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Ubersicht Kapitel 4.3
• Vage Pradikate
• Fuzzy-Mengenlehre
• Epistemische Fuzzy-Mengen → Possibilitatstheorie
• Inferenz mit Fuzzy-Regeln
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 219 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Vage Pradikate
(Einstellige) Pradikate beschreiben Eigenschaften und werden durch(Teil)Mengen (des Universums) interpretiert.
Manche Eigenschaften lassensich aber schlecht durch klassisch-logische Pradikate beschreiben, da mankaum die Menge der Objekte, die diese Eigenschaft haben, scharfabgrenzen kann.
Beispiel: Wann ist eine Person “groß”? Wenn man z.B. Personen ab einerKorpergroße von 185 cm als “groß” bezeichnen wurde, ist dann jemandmit einer Große von 184.5 cm “klein”? ♣
Solche Pradikate bezeichnet man als unscharfe oder vage Pradikate.
Probleme:
• Wie lassen sich vage Pradikate reprasentieren ?
• Wie lasst sich vages Wissen verarbeiten ?
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 220 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Vage Pradikate
(Einstellige) Pradikate beschreiben Eigenschaften und werden durch(Teil)Mengen (des Universums) interpretiert. Manche Eigenschaften lassensich aber schlecht durch klassisch-logische Pradikate beschreiben, da mankaum die Menge der Objekte, die diese Eigenschaft haben, scharfabgrenzen kann.
Beispiel: Wann ist eine Person “groß”? Wenn man z.B. Personen ab einerKorpergroße von 185 cm als “groß” bezeichnen wurde, ist dann jemandmit einer Große von 184.5 cm “klein”? ♣
Solche Pradikate bezeichnet man als unscharfe oder vage Pradikate.
Probleme:
• Wie lassen sich vage Pradikate reprasentieren ?
• Wie lasst sich vages Wissen verarbeiten ?
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 220 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Vage Pradikate
(Einstellige) Pradikate beschreiben Eigenschaften und werden durch(Teil)Mengen (des Universums) interpretiert. Manche Eigenschaften lassensich aber schlecht durch klassisch-logische Pradikate beschreiben, da mankaum die Menge der Objekte, die diese Eigenschaft haben, scharfabgrenzen kann.
Beispiel: Wann ist eine Person “groß”? Wenn man z.B. Personen ab einerKorpergroße von 185 cm als “groß” bezeichnen wurde, ist dann jemandmit einer Große von 184.5 cm “klein”? ♣
Solche Pradikate bezeichnet man als unscharfe oder vage Pradikate.
Probleme:
• Wie lassen sich vage Pradikate reprasentieren ?
• Wie lasst sich vages Wissen verarbeiten ?
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 220 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Vage Pradikate
(Einstellige) Pradikate beschreiben Eigenschaften und werden durch(Teil)Mengen (des Universums) interpretiert. Manche Eigenschaften lassensich aber schlecht durch klassisch-logische Pradikate beschreiben, da mankaum die Menge der Objekte, die diese Eigenschaft haben, scharfabgrenzen kann.
Beispiel: Wann ist eine Person “groß”? Wenn man z.B. Personen ab einerKorpergroße von 185 cm als “groß” bezeichnen wurde, ist dann jemandmit einer Große von 184.5 cm “klein”? ♣
Solche Pradikate bezeichnet man als unscharfe oder vage Pradikate.
Probleme:
• Wie lassen sich vage Pradikate reprasentieren ?
• Wie lasst sich vages Wissen verarbeiten ?
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 220 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Vage Pradikate
(Einstellige) Pradikate beschreiben Eigenschaften und werden durch(Teil)Mengen (des Universums) interpretiert. Manche Eigenschaften lassensich aber schlecht durch klassisch-logische Pradikate beschreiben, da mankaum die Menge der Objekte, die diese Eigenschaft haben, scharfabgrenzen kann.
Beispiel: Wann ist eine Person “groß”? Wenn man z.B. Personen ab einerKorpergroße von 185 cm als “groß” bezeichnen wurde, ist dann jemandmit einer Große von 184.5 cm “klein”? ♣
Solche Pradikate bezeichnet man als unscharfe oder vage Pradikate.
Probleme:
• Wie lassen sich vage Pradikate reprasentieren ?
• Wie lasst sich vages Wissen verarbeiten ?
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 220 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Vage Pradikate
(Einstellige) Pradikate beschreiben Eigenschaften und werden durch(Teil)Mengen (des Universums) interpretiert. Manche Eigenschaften lassensich aber schlecht durch klassisch-logische Pradikate beschreiben, da mankaum die Menge der Objekte, die diese Eigenschaft haben, scharfabgrenzen kann.
Beispiel: Wann ist eine Person “groß”? Wenn man z.B. Personen ab einerKorpergroße von 185 cm als “groß” bezeichnen wurde, ist dann jemandmit einer Große von 184.5 cm “klein”? ♣
Solche Pradikate bezeichnet man als unscharfe oder vage Pradikate.
Probleme:
• Wie lassen sich vage Pradikate reprasentieren ?
• Wie lasst sich vages Wissen verarbeiten ?
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 220 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Fuzzy-Mengen
Teilmengen A einer Menge X lassen sich auch durch ihre charakteristischeFunktion 1A : X → 0, 1 beschreiben:
1A(x) =
1, wenn x ∈ A0, sonst
Sei X eine Menge (Grundmenge). Eine Fuzzy-Menge µ von X ist eineAbbildung
µ : X → [0, 1]
µ heißt normiert, wenn es ein x ∈ X mit µ(x) = 1 gibt. Die Menge allerFuzzy-Mengen einer Menge X wird mit F(X) bezeichnet.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 221 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Fuzzy-Mengen
Teilmengen A einer Menge X lassen sich auch durch ihre charakteristischeFunktion 1A : X → 0, 1 beschreiben:
1A(x) =
1, wenn x ∈ A0, sonst
Sei X eine Menge (Grundmenge).
Eine Fuzzy-Menge µ von X ist eineAbbildung
µ : X → [0, 1]
µ heißt normiert, wenn es ein x ∈ X mit µ(x) = 1 gibt. Die Menge allerFuzzy-Mengen einer Menge X wird mit F(X) bezeichnet.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 221 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Fuzzy-Mengen
Teilmengen A einer Menge X lassen sich auch durch ihre charakteristischeFunktion 1A : X → 0, 1 beschreiben:
1A(x) =
1, wenn x ∈ A0, sonst
Sei X eine Menge (Grundmenge). Eine Fuzzy-Menge µ von X ist eineAbbildung
µ : X → [0, 1]
µ heißt normiert, wenn es ein x ∈ X mit µ(x) = 1 gibt. Die Menge allerFuzzy-Mengen einer Menge X wird mit F(X) bezeichnet.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 221 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Fuzzy-Mengen
Teilmengen A einer Menge X lassen sich auch durch ihre charakteristischeFunktion 1A : X → 0, 1 beschreiben:
1A(x) =
1, wenn x ∈ A0, sonst
Sei X eine Menge (Grundmenge). Eine Fuzzy-Menge µ von X ist eineAbbildung
µ : X → [0, 1]
µ heißt normiert, wenn es ein x ∈ X mit µ(x) = 1 gibt.
Die Menge allerFuzzy-Mengen einer Menge X wird mit F(X) bezeichnet.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 221 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Fuzzy-Mengen
Teilmengen A einer Menge X lassen sich auch durch ihre charakteristischeFunktion 1A : X → 0, 1 beschreiben:
1A(x) =
1, wenn x ∈ A0, sonst
Sei X eine Menge (Grundmenge). Eine Fuzzy-Menge µ von X ist eineAbbildung
µ : X → [0, 1]
µ heißt normiert, wenn es ein x ∈ X mit µ(x) = 1 gibt. Die Menge allerFuzzy-Mengen einer Menge X wird mit F(X) bezeichnet.G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 221 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Fuzzy-Mengen – Beispiel 1/2
-
6
100 185200 cm
1
Die scharfe Menge µ≥185
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 222 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Fuzzy-Mengen – Beispiel 2/2
-
6
100 160 180 200 cm
1
1
Die Fuzzy-Menge µgroß
♣
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 223 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Fuzzy-Mengen und Kapazitaten
Ist µ eine normierte Fuzzy-Menge, so definiert Fµ : 2X → [0, 1],
Fµ(A) := supx∈A µ(x) (A ⊆ X)
eine Kapazitat.
Umgekehrt induziert jede Kapazitat F : 2X → [0, 1] mittels
µF (x) := F (x)
(trivialerweise) eine Fuzzy-Menge.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 224 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Fuzzy-Mengen und Kapazitaten
Ist µ eine normierte Fuzzy-Menge, so definiert Fµ : 2X → [0, 1],
Fµ(A) := supx∈A µ(x) (A ⊆ X)
eine Kapazitat.
Umgekehrt induziert jede Kapazitat F : 2X → [0, 1] mittels
µF (x) := F (x)
(trivialerweise) eine Fuzzy-Menge.G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 224 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Beispiel – Fuzzy-Zahlen / Intervalle 1/2
Ungenauigkeiten bei Messergebnissen und subjektive Schatzwerte kannman durch Fuzzy-Zahlen und Fuzzy-Intervalle berucksichtigen.
Fuzzy-Zahlen “ungefahr a” werden ublicherweise durch (symmetrische)Dreiecksfunktionen dargestellt:
µa(x) :=
1− |a−xd |, a− d ≤ x ≤ a+ d,0 , x < a− d oder x > a+ d
- Ra− d a a+ d
6
1
BBBBBBBB
µa
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 225 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Beispiel – Fuzzy-Zahlen / Intervalle 1/2
Ungenauigkeiten bei Messergebnissen und subjektive Schatzwerte kannman durch Fuzzy-Zahlen und Fuzzy-Intervalle berucksichtigen.
Fuzzy-Zahlen “ungefahr a” werden ublicherweise durch (symmetrische)Dreiecksfunktionen dargestellt:
µa(x) :=
1− |a−xd |, a− d ≤ x ≤ a+ d,0 , x < a− d oder x > a+ d
- Ra− d a a+ d
6
1
BBBBBBBB
µa
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 225 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Beispiel – Fuzzy-Zahlen / Intervalle 2/2Fuzzy-Intervalle “ungefahr zwischen a und b” werden durchTrapezfunktionen dargestellt:
µ[a,b](x) :=
x−a+dd , a− d ≤ x ≤ a,
1 , a ≤ x ≤ b,b+e−xe , b ≤ x ≤ b+ e,
0 , x ≤ a− d oder x ≥ b+ e
- Ra− d a b b+ e
6
1
T
TTTTTTT
♣G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 226 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Vertikale und horizontale Reprasentation
Sei µ : X → [0, 1] eine Fuzzy-Menge.
• Unter der vertikalen Reprasentation von µ versteht man dieanschauliche Darstellung einer Fuzzy-Menge als Graph einer Funktion,bei der jedem x der Grundmenge der Zugehorigkeitsgrad µ(x)zugeordnet wird.
• Fur die maschinelle Reprasentation von µ ist haufig die horizontaleReprasentation wichtiger, bei der fur (endlich viele) α ∈ [0, 1] dieMenge aller Elemente angegeben wird, deren Zugehorigkeitsgradmindestens α ist.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 227 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Vertikale und horizontale Reprasentation
Sei µ : X → [0, 1] eine Fuzzy-Menge.
• Unter der vertikalen Reprasentation von µ versteht man dieanschauliche Darstellung einer Fuzzy-Menge als Graph einer Funktion,bei der jedem x der Grundmenge der Zugehorigkeitsgrad µ(x)zugeordnet wird.
• Fur die maschinelle Reprasentation von µ ist haufig die horizontaleReprasentation wichtiger, bei der fur (endlich viele) α ∈ [0, 1] dieMenge aller Elemente angegeben wird, deren Zugehorigkeitsgradmindestens α ist.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 227 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Vertikale und horizontale Reprasentation
Sei µ : X → [0, 1] eine Fuzzy-Menge.
• Unter der vertikalen Reprasentation von µ versteht man dieanschauliche Darstellung einer Fuzzy-Menge als Graph einer Funktion,bei der jedem x der Grundmenge der Zugehorigkeitsgrad µ(x)zugeordnet wird.
• Fur die maschinelle Reprasentation von µ ist haufig die horizontaleReprasentation wichtiger, bei der fur (endlich viele) α ∈ [0, 1] dieMenge aller Elemente angegeben wird, deren Zugehorigkeitsgradmindestens α ist.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 227 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
α-Schnitte 1/2
Fur µ ∈ F(X) und α ∈ [0, 1] heißt die Menge
[µ]α := x ∈ X | µ(x) ≥ α
der α-Schnitt von µ.
α-Schnitte sind ineinandergeschachtelte Mengen:
• Gilt 0 ≤ α ≤ β ≤ 1, so ist [µ]α ⊇ [µ]β.
• Somit ist jeder α-Schnitt die untere Grenze aller großeren α-Schnitte:
⋂
α:α<β
[µ]α = [µ]β
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 228 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
α-Schnitte 1/2
Fur µ ∈ F(X) und α ∈ [0, 1] heißt die Menge
[µ]α := x ∈ X | µ(x) ≥ α
der α-Schnitt von µ.
α-Schnitte sind ineinandergeschachtelte Mengen:
• Gilt 0 ≤ α ≤ β ≤ 1, so ist [µ]α ⊇ [µ]β.
• Somit ist jeder α-Schnitt die untere Grenze aller großeren α-Schnitte:
⋂
α:α<β
[µ]α = [µ]β
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 228 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
α-Schnitte 1/2
Fur µ ∈ F(X) und α ∈ [0, 1] heißt die Menge
[µ]α := x ∈ X | µ(x) ≥ α
der α-Schnitt von µ.
α-Schnitte sind ineinandergeschachtelte Mengen:
• Gilt 0 ≤ α ≤ β ≤ 1, so ist [µ]α ⊇ [µ]β.
• Somit ist jeder α-Schnitt die untere Grenze aller großeren α-Schnitte:
⋂
α:α<β
[µ]α = [µ]β
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 228 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
α-Schnitt – Beispiele
• α = 0: Trivialerweise ist [µ]0 = X fur alle µ ∈ F(X).
• Sei µa eine Fuzzy-Zahl, sei α ∈ [0, 1]. Der α-Schnitt von µa ist dieMenge
[µa]α = [a− d(1− α), a+ d(1− α)]
- Ra− d a a+ d
6
1
BBBBBBBB
µa
α
︸ ︷︷ ︸[µa]α
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 229 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
α-Schnitt – Beispiele
• α = 0: Trivialerweise ist [µ]0 = X fur alle µ ∈ F(X).
• Sei µa eine Fuzzy-Zahl, sei α ∈ [0, 1]. Der α-Schnitt von µa ist dieMenge
[µa]α = [a− d(1− α), a+ d(1− α)]
- Ra− d a a+ d
6
1
BBBBBBBB
µa
α
︸ ︷︷ ︸[µa]α
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 229 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
α-Schnitt – Beispiele
• α = 0: Trivialerweise ist [µ]0 = X fur alle µ ∈ F(X).
• Sei µa eine Fuzzy-Zahl, sei α ∈ [0, 1]. Der α-Schnitt von µa ist dieMenge
[µa]α = [a− d(1− α), a+ d(1− α)]
- Ra− d a a+ d
6
1
BBBBBBBB
µa
α
︸ ︷︷ ︸[µa]α
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 229 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Notizen
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 229 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
α-Schnitte 2/2
Jede Fuzzy-Menge lasst sich durch ihre α-Schnitte charakterisieren:
Sei µ ∈ F(X) eine Fuzzy-Menge. Dann ist fur jedes x ∈ X
µ(x) = supα∈[0,1]min(α,1[µ]α(x))
(denn es ist
min(α,1[µ]α(x)) =
α, wenn µ(x) ≥ α0, wenn µ(x) < α
also supα∈[0,1]min(α,1[µ]α(x)) = supα | α ≤ µ(x) = µ(x).)
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 230 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
α-Schnitte 2/2
Jede Fuzzy-Menge lasst sich durch ihre α-Schnitte charakterisieren:
Sei µ ∈ F(X) eine Fuzzy-Menge. Dann ist fur jedes x ∈ X
µ(x) = supα∈[0,1]min(α,1[µ]α(x))
(denn es ist
min(α,1[µ]α(x)) =
α, wenn µ(x) ≥ α0, wenn µ(x) < α
also supα∈[0,1]min(α,1[µ]α(x)) = supα | α ≤ µ(x) = µ(x).)
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 230 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
α-Schnitte 2/2
Jede Fuzzy-Menge lasst sich durch ihre α-Schnitte charakterisieren:
Sei µ ∈ F(X) eine Fuzzy-Menge. Dann ist fur jedes x ∈ X
µ(x) = supα∈[0,1]min(α,1[µ]α(x))
(denn es ist
min(α,1[µ]α(x)) =
α, wenn µ(x) ≥ α0, wenn µ(x) < α
also supα∈[0,1]min(α,1[µ]α(x)) = supα | α ≤ µ(x) = µ(x).)
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 230 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Notizen
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 230 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Fuzzy-Teilmengen 1/2
Seien µ, µ′ ∈ F(X) zwei Fuzzy-Mengen von X. µ′ heißt Teilmenge von µ,wenn fur alle α ∈ [0, 1] gilt:
[µ′]α ⊆ [µ]α
Die Teilmengenbeziehung zwischen Fuzzy-Mengen lasst sich leichtuberprufen:
Seien µ, µ′ ∈ F(X) zwei Fuzzy-Mengen. Dann ist µ′ genau danneine Teilmenge von µ, wenn fur alle x ∈ X gilt:
µ′(x) ≤ µ(x)
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 231 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Fuzzy-Teilmengen 1/2
Seien µ, µ′ ∈ F(X) zwei Fuzzy-Mengen von X. µ′ heißt Teilmenge von µ,wenn fur alle α ∈ [0, 1] gilt:
[µ′]α ⊆ [µ]α
Die Teilmengenbeziehung zwischen Fuzzy-Mengen lasst sich leichtuberprufen:
Seien µ, µ′ ∈ F(X) zwei Fuzzy-Mengen. Dann ist µ′ genau danneine Teilmenge von µ, wenn fur alle x ∈ X gilt:
µ′(x) ≤ µ(x)
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 231 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Fuzzy-Teilmengen 2/2
Beweis:
⇒ Sei µ′ ⊆ µ, also [µ′]α ⊆ [µ]α fur alle α ∈ [0, 1]. Sei x ∈ X, und setzeα := µ′(x). Dann ist µ′(x) ≥ α, folglich x ∈ [µ′]α und daher auchx ∈ [µ]α, d.h. µ(x) ≥ α = µ′(x).
⇐ Sei umgekehrt µ′(x) ≤ µ(x) fur alle x ∈ X. Sei α ∈ [0, 1], und seix ∈ [µ′]α. Dann ist µ′(x) ≥ α, und wegen µ(x) ≥ µ′(x) auchµ(x) ≥ α, d.h. x ∈ [µ]α. Folglich gilt [µ′]α ⊆ [µ]α fur alle α ∈ [0, 1],also µ′ ⊆ µ. 2
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 232 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Fuzzy-Teilmengen 2/2
Beweis:
⇒ Sei µ′ ⊆ µ, also [µ′]α ⊆ [µ]α fur alle α ∈ [0, 1]. Sei x ∈ X, und setzeα := µ′(x). Dann ist µ′(x) ≥ α, folglich x ∈ [µ′]α und daher auchx ∈ [µ]α, d.h. µ(x) ≥ α = µ′(x).
⇐ Sei umgekehrt µ′(x) ≤ µ(x) fur alle x ∈ X. Sei α ∈ [0, 1], und seix ∈ [µ′]α. Dann ist µ′(x) ≥ α, und wegen µ(x) ≥ µ′(x) auchµ(x) ≥ α, d.h. x ∈ [µ]α. Folglich gilt [µ′]α ⊆ [µ]α fur alle α ∈ [0, 1],also µ′ ⊆ µ. 2
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 232 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Mengenoperationen fur Fuzzy-Mengen
Die Teilmengenbeziehung lasst sich also auch fur Fuzzy-Mengen definieren.
Was ist mit Mengenoperationen:
• Schnitt?
• Vereinigung?
• Komplement?
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 233 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Mengenoperationen fur Fuzzy-Mengen
Die Teilmengenbeziehung lasst sich also auch fur Fuzzy-Mengen definieren.
Was ist mit Mengenoperationen:
• Schnitt?
• Vereinigung?
• Komplement?
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 233 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Mengenoperationen fur Fuzzy-Mengen
Die Teilmengenbeziehung lasst sich also auch fur Fuzzy-Mengen definieren.
Was ist mit Mengenoperationen:
• Schnitt?
• Vereinigung?
• Komplement?
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 233 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Mengenoperationen fur Fuzzy-Mengen
Die Teilmengenbeziehung lasst sich also auch fur Fuzzy-Mengen definieren.
Was ist mit Mengenoperationen:
• Schnitt?
• Vereinigung?
• Komplement?
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 233 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Notizen
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 233 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
t-Normen
Eine Abbildung T : [0, 1]× [0, 1]→ [0, 1] heißt t-Norm, wenn gilt:
• Assoziativitat: T (a, T (b, c)) = T (T (a, b), c).
• Kommutativitat: T (a, b) = T (b, a).
• Monotonie: Aus a ≤ b folgt T (a, c) ≤ T (b, c) fur c ∈ [0, 1].
• Neutrales Element: T (a, 1) = a fur alle a ∈ [0, 1].
Beispiele: fur t-Normen:
Tmin(a, b) := mina, bTLuka(a, b) := max0, a+ b− 1 (benannt nach J. Lukasiewicz)Tprod(a, b) := a · b
♣
t-Norm ≈ triangular norm(beschreibt dreiecksahnliche Flachen im R3)
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 234 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
t-Normen
Eine Abbildung T : [0, 1]× [0, 1]→ [0, 1] heißt t-Norm, wenn gilt:
• Assoziativitat: T (a, T (b, c)) = T (T (a, b), c).
• Kommutativitat: T (a, b) = T (b, a).
• Monotonie: Aus a ≤ b folgt T (a, c) ≤ T (b, c) fur c ∈ [0, 1].
• Neutrales Element: T (a, 1) = a fur alle a ∈ [0, 1].
Beispiele: fur t-Normen:
Tmin(a, b) := mina, bTLuka(a, b) := max0, a+ b− 1 (benannt nach J. Lukasiewicz)Tprod(a, b) := a · b
♣
t-Norm ≈ triangular norm(beschreibt dreiecksahnliche Flachen im R3)
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 234 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
t-Normen
Eine Abbildung T : [0, 1]× [0, 1]→ [0, 1] heißt t-Norm, wenn gilt:
• Assoziativitat: T (a, T (b, c)) = T (T (a, b), c).
• Kommutativitat: T (a, b) = T (b, a).
• Monotonie: Aus a ≤ b folgt T (a, c) ≤ T (b, c) fur c ∈ [0, 1].
• Neutrales Element: T (a, 1) = a fur alle a ∈ [0, 1].
Beispiele: fur t-Normen:
Tmin(a, b) := mina, bTLuka(a, b) := max0, a+ b− 1 (benannt nach J. Lukasiewicz)Tprod(a, b) := a · b
♣
t-Norm ≈ triangular norm(beschreibt dreiecksahnliche Flachen im R3)
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Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
t-Normen
Eine Abbildung T : [0, 1]× [0, 1]→ [0, 1] heißt t-Norm, wenn gilt:
• Assoziativitat: T (a, T (b, c)) = T (T (a, b), c).
• Kommutativitat: T (a, b) = T (b, a).
• Monotonie: Aus a ≤ b folgt T (a, c) ≤ T (b, c) fur c ∈ [0, 1].
• Neutrales Element: T (a, 1) = a fur alle a ∈ [0, 1].
Beispiele: fur t-Normen:
Tmin(a, b) := mina, bTLuka(a, b) := max0, a+ b− 1 (benannt nach J. Lukasiewicz)Tprod(a, b) := a · b
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t-Norm ≈ triangular norm(beschreibt dreiecksahnliche Flachen im R3)
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Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
t-Normen
Eine Abbildung T : [0, 1]× [0, 1]→ [0, 1] heißt t-Norm, wenn gilt:
• Assoziativitat: T (a, T (b, c)) = T (T (a, b), c).
• Kommutativitat: T (a, b) = T (b, a).
• Monotonie: Aus a ≤ b folgt T (a, c) ≤ T (b, c) fur c ∈ [0, 1].
• Neutrales Element: T (a, 1) = a fur alle a ∈ [0, 1].
Beispiele: fur t-Normen:
Tmin(a, b) := mina, b
TLuka(a, b) := max0, a+ b− 1 (benannt nach J. Lukasiewicz)Tprod(a, b) := a · b
♣
t-Norm ≈ triangular norm(beschreibt dreiecksahnliche Flachen im R3)
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Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
t-Normen
Eine Abbildung T : [0, 1]× [0, 1]→ [0, 1] heißt t-Norm, wenn gilt:
• Assoziativitat: T (a, T (b, c)) = T (T (a, b), c).
• Kommutativitat: T (a, b) = T (b, a).
• Monotonie: Aus a ≤ b folgt T (a, c) ≤ T (b, c) fur c ∈ [0, 1].
• Neutrales Element: T (a, 1) = a fur alle a ∈ [0, 1].
Beispiele: fur t-Normen:
Tmin(a, b) := mina, bTLuka(a, b) := max0, a+ b− 1 (benannt nach J. Lukasiewicz)
Tprod(a, b) := a · b
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t-Norm ≈ triangular norm(beschreibt dreiecksahnliche Flachen im R3)
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Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
t-Normen
Eine Abbildung T : [0, 1]× [0, 1]→ [0, 1] heißt t-Norm, wenn gilt:
• Assoziativitat: T (a, T (b, c)) = T (T (a, b), c).
• Kommutativitat: T (a, b) = T (b, a).
• Monotonie: Aus a ≤ b folgt T (a, c) ≤ T (b, c) fur c ∈ [0, 1].
• Neutrales Element: T (a, 1) = a fur alle a ∈ [0, 1].
Beispiele: fur t-Normen:
Tmin(a, b) := mina, bTLuka(a, b) := max0, a+ b− 1 (benannt nach J. Lukasiewicz)Tprod(a, b) := a · b
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t-Norm ≈ triangular norm(beschreibt dreiecksahnliche Flachen im R3)
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Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
t-Normen
Eine Abbildung T : [0, 1]× [0, 1]→ [0, 1] heißt t-Norm, wenn gilt:
• Assoziativitat: T (a, T (b, c)) = T (T (a, b), c).
• Kommutativitat: T (a, b) = T (b, a).
• Monotonie: Aus a ≤ b folgt T (a, c) ≤ T (b, c) fur c ∈ [0, 1].
• Neutrales Element: T (a, 1) = a fur alle a ∈ [0, 1].
Beispiele: fur t-Normen:
Tmin(a, b) := mina, bTLuka(a, b) := max0, a+ b− 1 (benannt nach J. Lukasiewicz)Tprod(a, b) := a · b
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t-Norm ≈ triangular norm(beschreibt dreiecksahnliche Flachen im R3)
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Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Fuzzy-Schnitt
Eine t-Norm induziert einen Schnittoperator fur Fuzzy-Mengenµ, µ′ ∈ F(X):
(µ ∩ µ′)(x) := T (µ(x), µ′(x))
Eigenschaften der t-Norm induzieren fur den Fuzzy-Schnitt
• Assoziativitat und Kommutativitat;
• Monotonie: monoton wachsende Zugehorigkeitsgrade in den einzelnenFuzzy-Mengen spiegeln sich auch im Schnitt wider;
• 1 als neutrales Element: bei Schnitten von Fuzzy-Mengen mitklassischen Mengen orientiert sich der Zugehorigkeitsgrad zurFuzzy-Schnittmenge an dem Zugehorigkeitsgrad der Fuzzy-Menge.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 235 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Fuzzy-Schnitt
Eine t-Norm induziert einen Schnittoperator fur Fuzzy-Mengenµ, µ′ ∈ F(X):
(µ ∩ µ′)(x) := T (µ(x), µ′(x))
Eigenschaften der t-Norm induzieren fur den Fuzzy-Schnitt
• Assoziativitat und Kommutativitat;
• Monotonie: monoton wachsende Zugehorigkeitsgrade in den einzelnenFuzzy-Mengen spiegeln sich auch im Schnitt wider;
• 1 als neutrales Element: bei Schnitten von Fuzzy-Mengen mitklassischen Mengen orientiert sich der Zugehorigkeitsgrad zurFuzzy-Schnittmenge an dem Zugehorigkeitsgrad der Fuzzy-Menge.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 235 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Fuzzy-Schnitt
Eine t-Norm induziert einen Schnittoperator fur Fuzzy-Mengenµ, µ′ ∈ F(X):
(µ ∩ µ′)(x) := T (µ(x), µ′(x))
Eigenschaften der t-Norm induzieren fur den Fuzzy-Schnitt
• Assoziativitat und Kommutativitat;
• Monotonie: monoton wachsende Zugehorigkeitsgrade in den einzelnenFuzzy-Mengen spiegeln sich auch im Schnitt wider;
• 1 als neutrales Element: bei Schnitten von Fuzzy-Mengen mitklassischen Mengen orientiert sich der Zugehorigkeitsgrad zurFuzzy-Schnittmenge an dem Zugehorigkeitsgrad der Fuzzy-Menge.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 235 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Fuzzy-Schnitt
Eine t-Norm induziert einen Schnittoperator fur Fuzzy-Mengenµ, µ′ ∈ F(X):
(µ ∩ µ′)(x) := T (µ(x), µ′(x))
Eigenschaften der t-Norm induzieren fur den Fuzzy-Schnitt
• Assoziativitat und Kommutativitat;
• Monotonie: monoton wachsende Zugehorigkeitsgrade in den einzelnenFuzzy-Mengen spiegeln sich auch im Schnitt wider;
• 1 als neutrales Element: bei Schnitten von Fuzzy-Mengen mitklassischen Mengen orientiert sich der Zugehorigkeitsgrad zurFuzzy-Schnittmenge an dem Zugehorigkeitsgrad der Fuzzy-Menge.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 235 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Notizen
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 235 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Notizen
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 235 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
t-Conormen
Eine Abbildung T ∗ : [0, 1]× [0, 1]→ [0, 1] heißt t-Conorm, wenn sieassoziativ, kommutativ und monoton nicht-fallend ist und 0 als neutralesElement besitzt, d.h.
T ∗(a, 0) = a
fur alle a ∈ [0, 1] gilt.
Beispiele: fur t-Conormen sind:
T ∗min(a, b) = maxa, bT ∗Luka(a, b) = mina+ b, 1T ∗prod(a, b) = a+ b− ab
♣
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 236 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
t-Conormen
Eine Abbildung T ∗ : [0, 1]× [0, 1]→ [0, 1] heißt t-Conorm, wenn sieassoziativ, kommutativ und monoton nicht-fallend ist und 0 als neutralesElement besitzt, d.h.
T ∗(a, 0) = a
fur alle a ∈ [0, 1] gilt.
Beispiele: fur t-Conormen sind:
T ∗min(a, b) = maxa, b
T ∗Luka(a, b) = mina+ b, 1T ∗prod(a, b) = a+ b− ab
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G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 236 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
t-Conormen
Eine Abbildung T ∗ : [0, 1]× [0, 1]→ [0, 1] heißt t-Conorm, wenn sieassoziativ, kommutativ und monoton nicht-fallend ist und 0 als neutralesElement besitzt, d.h.
T ∗(a, 0) = a
fur alle a ∈ [0, 1] gilt.
Beispiele: fur t-Conormen sind:
T ∗min(a, b) = maxa, bT ∗Luka(a, b) = mina+ b, 1
T ∗prod(a, b) = a+ b− ab
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Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
t-Conormen
Eine Abbildung T ∗ : [0, 1]× [0, 1]→ [0, 1] heißt t-Conorm, wenn sieassoziativ, kommutativ und monoton nicht-fallend ist und 0 als neutralesElement besitzt, d.h.
T ∗(a, 0) = a
fur alle a ∈ [0, 1] gilt.
Beispiele: fur t-Conormen sind:
T ∗min(a, b) = maxa, bT ∗Luka(a, b) = mina+ b, 1T ∗prod(a, b) = a+ b− ab
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Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Fuzzy-Vereinigung und Fuzzy-KomplementDie Vereinigung von Fuzzy-Mengen µ, µ′ ∈ F(X) wird durch einet-Conorm T ∗ definiert:
(µ ∪ µ′)(x) := T ∗(µ(x), µ′(x))
Das Komplement einer Fuzzy-Menge µ ∈ F(x) wird ublicherweise definiertdurch
µ(x) = 1− µ(x)
Es gilt dannµ(x) + µ(x) = 1 fur alle x ∈ X
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 237 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Fuzzy-Vereinigung und Fuzzy-KomplementDie Vereinigung von Fuzzy-Mengen µ, µ′ ∈ F(X) wird durch einet-Conorm T ∗ definiert:
(µ ∪ µ′)(x) := T ∗(µ(x), µ′(x))
Das Komplement einer Fuzzy-Menge µ ∈ F(x) wird ublicherweise definiertdurch
µ(x) = 1− µ(x)
Es gilt dannµ(x) + µ(x) = 1 fur alle x ∈ X
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 237 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Fuzzy-Vereinigung und Fuzzy-KomplementDie Vereinigung von Fuzzy-Mengen µ, µ′ ∈ F(X) wird durch einet-Conorm T ∗ definiert:
(µ ∪ µ′)(x) := T ∗(µ(x), µ′(x))
Das Komplement einer Fuzzy-Menge µ ∈ F(x) wird ublicherweise definiertdurch
µ(x) = 1− µ(x)
Es gilt dannµ(x) + µ(x) = 1 fur alle x ∈ X
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Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Dualitat und de Morgan
t-Normen und t-Conormen sind zueinander dual:
Ist T eine t-Norm, so istT ∗(a, b) = 1− T (1− a, 1− b)
eine t-Conorm und umgekehrt.
Unter Berucksichtigung der Definitionen von Fuzzy-Schnitt und-Vereinigung entspricht dies einer Umsetzung der de Morgan’schenGesetze fur Fuzzy-Mengen:
A ∪B = A ∩BBeispiele: T ∗min, T
∗Luka, T
∗prod sind jeweils dual zu Tmin, TLuka, Tprod. ♣
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 238 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Dualitat und de Morgan
t-Normen und t-Conormen sind zueinander dual:
Ist T eine t-Norm, so istT ∗(a, b) = 1− T (1− a, 1− b)
eine t-Conorm und umgekehrt.
Unter Berucksichtigung der Definitionen von Fuzzy-Schnitt und-Vereinigung entspricht dies einer Umsetzung der de Morgan’schenGesetze fur Fuzzy-Mengen:
A ∪B = A ∩B
Beispiele: T ∗min, T∗Luka, T
∗prod sind jeweils dual zu Tmin, TLuka, Tprod. ♣
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 238 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Dualitat und de Morgan
t-Normen und t-Conormen sind zueinander dual:
Ist T eine t-Norm, so istT ∗(a, b) = 1− T (1− a, 1− b)
eine t-Conorm und umgekehrt.
Unter Berucksichtigung der Definitionen von Fuzzy-Schnitt und-Vereinigung entspricht dies einer Umsetzung der de Morgan’schenGesetze fur Fuzzy-Mengen:
A ∪B = A ∩BBeispiele: T ∗min, T
∗Luka, T
∗prod sind jeweils dual zu Tmin, TLuka, Tprod. ♣
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 238 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Pragmatik 1/2
Die bekannteste t-Norm und t-Conorm in der Fuzzy-Theorie sind dieFunktionen
Tmin(a, b) = mina, bund T ∗min(a, b) = maxa, b
d.h. man definiert also fur zwei Fuzzy-Mengen µ, µ′ : X → [0, 1] ihrenSchnitt und ihre Vereinigung oft durch
(µ ∩ µ′)(x) = minµ(x), µ′(x)(µ ∪ µ′)(x) = maxµ(x), µ′(x)
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 239 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Pragmatik 1/2
Die bekannteste t-Norm und t-Conorm in der Fuzzy-Theorie sind dieFunktionen
Tmin(a, b) = mina, bund T ∗min(a, b) = maxa, b
d.h. man definiert also fur zwei Fuzzy-Mengen µ, µ′ : X → [0, 1] ihrenSchnitt und ihre Vereinigung oft durch
(µ ∩ µ′)(x) = minµ(x), µ′(x)(µ ∪ µ′)(x) = maxµ(x), µ′(x)
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 239 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Pragmatik 2/2
So lassen sich (wie in der Aussagenlogik) komplexere aussagenlogischeFormeln fuzzy-logisch interpretieren, wobei
• die Minimierung der Konjunktion entspricht
und
• die Maximierung der Disjunktion entspricht.
Fur dieses Paar von t-Norm und t-Conorm gelten die Distributivgesetze
µ1 ∩ (µ2 ∪ µ3) = (µ1 ∩ µ2) ∪ (µ1 ∩ µ3)
µ1 ∪ (µ2 ∩ µ3) = (µ1 ∪ µ2) ∩ (µ1 ∪ µ3)
Das gilt nicht allgemein fur Paare von t-Normen und t-Conormen!
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 240 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Pragmatik 2/2
So lassen sich (wie in der Aussagenlogik) komplexere aussagenlogischeFormeln fuzzy-logisch interpretieren, wobei
• die Minimierung der Konjunktion entspricht und
• die Maximierung der Disjunktion entspricht.
Fur dieses Paar von t-Norm und t-Conorm gelten die Distributivgesetze
µ1 ∩ (µ2 ∪ µ3) = (µ1 ∩ µ2) ∪ (µ1 ∩ µ3)
µ1 ∪ (µ2 ∩ µ3) = (µ1 ∪ µ2) ∩ (µ1 ∪ µ3)
Das gilt nicht allgemein fur Paare von t-Normen und t-Conormen!
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Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Pragmatik 2/2
So lassen sich (wie in der Aussagenlogik) komplexere aussagenlogischeFormeln fuzzy-logisch interpretieren, wobei
• die Minimierung der Konjunktion entspricht und
• die Maximierung der Disjunktion entspricht.
Fur dieses Paar von t-Norm und t-Conorm gelten die Distributivgesetze
µ1 ∩ (µ2 ∪ µ3) = (µ1 ∩ µ2) ∪ (µ1 ∩ µ3)
µ1 ∪ (µ2 ∩ µ3) = (µ1 ∪ µ2) ∩ (µ1 ∪ µ3)
Das gilt nicht allgemein fur Paare von t-Normen und t-Conormen!
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 240 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Das Extensionsprinzip 1/2
. . . lost das Problem:
Wie “fuzzifiziert” man eine “normale” Abbildung φ : Xn → Y ?
D.h. wie gewinnt man ausφ : Xn → Y
eine Abbildung
φ : (F(X))n → F(Y ) ?
Beispiel: Wie definiert man eine Fuzzy-Arithmetik (Fuzzy-Addition undFuzzy-Multiplikation) ?
(ungefahr 3) (+) (ungefahr 5) = ? ♣
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 241 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Das Extensionsprinzip 1/2
. . . lost das Problem:
Wie “fuzzifiziert” man eine “normale” Abbildung φ : Xn → Y ?
D.h. wie gewinnt man ausφ : Xn → Y
eine Abbildung
φ : (F(X))n → F(Y ) ?
Beispiel: Wie definiert man eine Fuzzy-Arithmetik (Fuzzy-Addition undFuzzy-Multiplikation) ?
(ungefahr 3) (+) (ungefahr 5) = ? ♣
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 241 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Das Extensionsprinzip 1/2
. . . lost das Problem:
Wie “fuzzifiziert” man eine “normale” Abbildung φ : Xn → Y ?
D.h. wie gewinnt man ausφ : Xn → Y
eine Abbildung
φ : (F(X))n → F(Y ) ?
Beispiel: Wie definiert man eine Fuzzy-Arithmetik (Fuzzy-Addition undFuzzy-Multiplikation) ?
(ungefahr 3) (+) (ungefahr 5) = ? ♣G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 241 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Das Extensionsprinzip 2/2
Die Extension von φ wird definiert durch
φ(µ1, . . . , µn)(y) := supminµ1(x1), . . . , µn(xn) |(x1, . . . , xn) ∈ Xn und y = φ(x1, . . . , xn)
φ modelliert die vage Aussage “y gehort zum Bild von (µ1, . . . , µn)”.Dabei entspricht
• minµ1(x1), . . . , µn(xn) der Konjunktion der Aussagen “xi gehortzu µi”,
• und sup. . . der Disjunktion uber alle passenden (x1, . . . , xn) mity = φ(x1, . . . , xn).
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 242 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Das Extensionsprinzip 2/2
Die Extension von φ wird definiert durch
φ(µ1, . . . , µn)(y) := supminµ1(x1), . . . , µn(xn) |(x1, . . . , xn) ∈ Xn und y = φ(x1, . . . , xn)
φ modelliert die vage Aussage “y gehort zum Bild von (µ1, . . . , µn)”.Dabei entspricht
• minµ1(x1), . . . , µn(xn) der Konjunktion der Aussagen “xi gehortzu µi”,
• und sup. . . der Disjunktion uber alle passenden (x1, . . . , xn) mity = φ(x1, . . . , xn).
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 242 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Das Extensionsprinzip 2/2
Die Extension von φ wird definiert durch
φ(µ1, . . . , µn)(y) := supminµ1(x1), . . . , µn(xn) |(x1, . . . , xn) ∈ Xn und y = φ(x1, . . . , xn)
φ modelliert die vage Aussage “y gehort zum Bild von (µ1, . . . , µn)”.Dabei entspricht
• minµ1(x1), . . . , µn(xn) der Konjunktion der Aussagen “xi gehortzu µi”,
• und sup. . . der Disjunktion uber alle passenden (x1, . . . , xn) mity = φ(x1, . . . , xn).
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 242 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Extension und α-Schnitte
Auch fur einfache Funktionen kann die Anwendung des Extensionsprinzipsrecht muhsam sein. Oft ist es einfacher, mit α-Schnitten zu rechnen. Hierbesteht der folgende Zusammenhang:
φ(µ1, . . . , µn)(t) = supα ∈ (0, 1) | t ∈ φ([µ1]α, . . . , [µn]α)
(mit sup ∅ := 0)
Beispiel [Fuzzy-Addition]:Addition zweier Fuzzy-Zahlen µ1, µ2
(µ1+µ2)(t) = supminµ1(x1), µ2(x2) | x1, x2 ∈ R, x1 + x2 = t= supα ∈ (0, 1) | t ∈ [µ1]α + [µ2]α
♣
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 243 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Extension und α-Schnitte
Auch fur einfache Funktionen kann die Anwendung des Extensionsprinzipsrecht muhsam sein. Oft ist es einfacher, mit α-Schnitten zu rechnen. Hierbesteht der folgende Zusammenhang:
φ(µ1, . . . , µn)(t) = supα ∈ (0, 1) | t ∈ φ([µ1]α, . . . , [µn]α)
(mit sup ∅ := 0)
Beispiel [Fuzzy-Addition]:Addition zweier Fuzzy-Zahlen µ1, µ2
(µ1+µ2)(t) = supminµ1(x1), µ2(x2) | x1, x2 ∈ R, x1 + x2 = t= supα ∈ (0, 1) | t ∈ [µ1]α + [µ2]α
♣
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 243 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Extension und α-Schnitte
Auch fur einfache Funktionen kann die Anwendung des Extensionsprinzipsrecht muhsam sein. Oft ist es einfacher, mit α-Schnitten zu rechnen. Hierbesteht der folgende Zusammenhang:
φ(µ1, . . . , µn)(t) = supα ∈ (0, 1) | t ∈ φ([µ1]α, . . . , [µn]α)
(mit sup ∅ := 0)
Beispiel [Fuzzy-Addition]:Addition zweier Fuzzy-Zahlen µ1, µ2
(µ1+µ2)(t) = supminµ1(x1), µ2(x2) | x1, x2 ∈ R, x1 + x2 = t
= supα ∈ (0, 1) | t ∈ [µ1]α + [µ2]α
♣
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 243 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Extension und α-Schnitte
Auch fur einfache Funktionen kann die Anwendung des Extensionsprinzipsrecht muhsam sein. Oft ist es einfacher, mit α-Schnitten zu rechnen. Hierbesteht der folgende Zusammenhang:
φ(µ1, . . . , µn)(t) = supα ∈ (0, 1) | t ∈ φ([µ1]α, . . . , [µn]α)
(mit sup ∅ := 0)
Beispiel [Fuzzy-Addition]:Addition zweier Fuzzy-Zahlen µ1, µ2
(µ1+µ2)(t) = supminµ1(x1), µ2(x2) | x1, x2 ∈ R, x1 + x2 = t= supα ∈ (0, 1) | t ∈ [µ1]α + [µ2]α
♣G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 243 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Notizen
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 243 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Beispiel – Fuzzy-Addition 1/4
µ1 und µ2 seien die Fuzzy-Zahlen “ungefahr 1” und “ungefahr 4 oder 6”:
-R-1 1 2
61
CCCCCC
µ1
-R3 4 5 6 7
61
CCCCCCCCCCCC
µ2
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Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Beispiel – Fuzzy-Addition 2/4
µ1 und µ2 werden (z.B.) durch die folgenden Funktionen dargestellt
µ1(x) =
x+12 , −1 ≤ x ≤ 1
2− x, 1 ≤ x ≤ 20, sonst
µ2(x) =
x− 3, 3 ≤ x ≤ 45− x, 4 ≤ x ≤ 5x− 5, 5 ≤ x ≤ 67− x, 6 ≤ x ≤ 70, sonst
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 245 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Beispiel – Fuzzy-Addition 3/4
Die α-Schnitte berechnen sich zu
[µ1]α = [2α− 1, 2− α]
und [µ2]α = [α+ 3, 5− α] ∪ [α+ 5, 7− α]
damit ist
(µ1+µ2)(t) = supα ∈ (0, 1) | t ∈ [3α+ 2, 7− 2α] ∪ [3α+ 4, 9− 2α]
Insgesamt ergibt sich damit
(µ1+µ2)(t) =
t−23 , falls 2≤ t ≤ 5
7−t2 , falls 5≤ t ≤ 5.8t−4
3 , falls 5.8≤ t ≤ 79−t
2 , falls 7≤ t ≤ 90, sonst
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 246 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Beispiel – Fuzzy-Addition 3/4
Die α-Schnitte berechnen sich zu
[µ1]α = [2α− 1, 2− α]
und [µ2]α = [α+ 3, 5− α] ∪ [α+ 5, 7− α]
damit ist
(µ1+µ2)(t) = supα ∈ (0, 1) | t ∈ [3α+ 2, 7− 2α] ∪ [3α+ 4, 9− 2α]
Insgesamt ergibt sich damit
(µ1+µ2)(t) =
t−23 , falls 2≤ t ≤ 5
7−t2 , falls 5≤ t ≤ 5.8t−4
3 , falls 5.8≤ t ≤ 79−t
2 , falls 7≤ t ≤ 90, sonst
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Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Beispiel – Fuzzy-Addition 3/4
Die α-Schnitte berechnen sich zu
[µ1]α = [2α− 1, 2− α]
und [µ2]α = [α+ 3, 5− α] ∪ [α+ 5, 7− α]
damit ist
(µ1+µ2)(t) = supα ∈ (0, 1) | t ∈ [3α+ 2, 7− 2α] ∪ [3α+ 4, 9− 2α]
Insgesamt ergibt sich damit
(µ1+µ2)(t) =
t−23 , falls 2≤ t ≤ 5
7−t2 , falls 5≤ t ≤ 5.8t−4
3 , falls 5.8≤ t ≤ 79−t
2 , falls 7≤ t ≤ 90, sonst
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Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Notizen
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 246 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Notizen
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 246 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Notizen
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 246 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Beispiel – Fuzzy-Addition 4/4
-
R2 55.8
7 9
6
1
0.6
AAAAAAAAAAAAAA
µ1+µ2
♣
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 247 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Possibilitatstheorie 1/2
Fuzzy-Theorie fur Agentenwissen:
Grundprinzip: Verwendung der Fuzzy-Theorie zur Reprasentation vagenunsicheren Wissens:
µ(x) = Moglichkeitsgrad, mit dem x ∈ X einem tatsachlichexistierenden, aber unbekannten Wert entspricht.
Es geht um die vage Beschreibung eines bestimmten Weltzustandes, uberden wir keine vollstandige Information besitzen.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 248 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Possibilitatstheorie 1/2
Fuzzy-Theorie fur Agentenwissen:
Grundprinzip: Verwendung der Fuzzy-Theorie zur Reprasentation vagenunsicheren Wissens:
µ(x) = Moglichkeitsgrad, mit dem x ∈ X einem tatsachlichexistierenden, aber unbekannten Wert entspricht.
Es geht um die vage Beschreibung eines bestimmten Weltzustandes, uberden wir keine vollstandige Information besitzen.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 248 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Possibilitatstheorie 2/2
Passende Grundmenge (Universum): Menge Ω moglicher Zustande odermoglicher Welten
Eine Possibilitatsverteilung uber dem Universum Ω ist eine Fuzzy-Menge
π : Ω→ [0, 1]
mit π(ω) = 1 fur mindestens ein ω ∈ Ω (Konsistenzbedingung).
Die Menge aller Possibilitatsverteilungen auf Ω wird mit Poss(Ω)bezeichnet.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 249 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Possibilitatstheorie 2/2
Passende Grundmenge (Universum): Menge Ω moglicher Zustande odermoglicher Welten
Eine Possibilitatsverteilung uber dem Universum Ω ist eine Fuzzy-Menge
π : Ω→ [0, 1]
mit π(ω) = 1 fur mindestens ein ω ∈ Ω (Konsistenzbedingung).
Die Menge aller Possibilitatsverteilungen auf Ω wird mit Poss(Ω)bezeichnet.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 249 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Possibilitatstheorie 2/2
Passende Grundmenge (Universum): Menge Ω moglicher Zustande odermoglicher Welten
Eine Possibilitatsverteilung uber dem Universum Ω ist eine Fuzzy-Menge
π : Ω→ [0, 1]
mit π(ω) = 1 fur mindestens ein ω ∈ Ω (Konsistenzbedingung).
Die Menge aller Possibilitatsverteilungen auf Ω wird mit Poss(Ω)bezeichnet.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 249 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Spezifizitat 1/2
π1, π2 Possibilitatsverteilungen uber Ω.
π1 ist mindestens so spezifisch wie π2
π1 v π2,
wenn π1(ω) ≤ π2(ω) fur alle ω ∈ Ω gilt.
Je spezifischer eine Possibilitatsverteilung ist, desto scharfer ist das durchsie reprasentierte Wissen.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 250 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Spezifizitat 1/2
π1, π2 Possibilitatsverteilungen uber Ω.
π1 ist mindestens so spezifisch wie π2
π1 v π2,
wenn π1(ω) ≤ π2(ω) fur alle ω ∈ Ω gilt.
Je spezifischer eine Possibilitatsverteilung ist, desto scharfer ist das durchsie reprasentierte Wissen.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 250 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Spezifizitat 1/2
π1, π2 Possibilitatsverteilungen uber Ω.
π1 ist mindestens so spezifisch wie π2
π1 v π2,
wenn π1(ω) ≤ π2(ω) fur alle ω ∈ Ω gilt.
Je spezifischer eine Possibilitatsverteilung ist, desto scharfer ist das durchsie reprasentierte Wissen.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 250 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Spezifizitat 2/2
So ist die Verteilung π mit π(ω) = 1 fur alle ω ∈ Ω am wenigstenspezifisch (“alles ist moglich”)
, wahrend die einelementigen, scharfenMengen
πω0(ω) =
1, falls ω = ω0,0, sonst
maximal spezifisch sind.
Fehlende Spezifizitat wird oft im Sinne fehlender Informativitat verstanden.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 251 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Spezifizitat 2/2
So ist die Verteilung π mit π(ω) = 1 fur alle ω ∈ Ω am wenigstenspezifisch (“alles ist moglich”), wahrend die einelementigen, scharfenMengen
πω0(ω) =
1, falls ω = ω0,0, sonst
maximal spezifisch sind.
Fehlende Spezifizitat wird oft im Sinne fehlender Informativitat verstanden.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 251 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Spezifizitat 2/2
So ist die Verteilung π mit π(ω) = 1 fur alle ω ∈ Ω am wenigstenspezifisch (“alles ist moglich”), wahrend die einelementigen, scharfenMengen
πω0(ω) =
1, falls ω = ω0,0, sonst
maximal spezifisch sind.
Fehlende Spezifizitat wird oft im Sinne fehlender Informativitat verstanden.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 251 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Possibilitats- und Notwendigkeitsmaße 1/2
Jede Possibilitatsverteilung π induziert ein Possibilitatsmaß
Π : 2Ω → [0, 1]
mit Π(A) := supω∈A
π(ω)
Π(A) ist der Grad der Moglichkeit, mit der der wahre Weltzustand in Aliegt.
Der zu einem Possibilitatsmaß duale Begriff ist das Notwendigkeitsmaß:
Nπ : 2Ω → [0, 1]
mit Nπ(A) := infω∈(Ω−A)
(1− π(ω)) = 1−Π(Ω−A)
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 252 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Possibilitats- und Notwendigkeitsmaße 1/2
Jede Possibilitatsverteilung π induziert ein Possibilitatsmaß
Π : 2Ω → [0, 1]
mit Π(A) := supω∈A
π(ω)
Π(A) ist der Grad der Moglichkeit, mit der der wahre Weltzustand in Aliegt.
Der zu einem Possibilitatsmaß duale Begriff ist das Notwendigkeitsmaß:
Nπ : 2Ω → [0, 1]
mit Nπ(A) := infω∈(Ω−A)
(1− π(ω)) = 1−Π(Ω−A)
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Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Possibilitats- und Notwendigkeitsmaße 2/2
Possibilitats- und Notwendigkeitsmaße haben folgendeEigenschaften:
• Π(∅) = Nπ(∅) = 0.
• Π(Ω) = Nπ(Ω) = 1.
• Π(A ∪B) = maxΠ(A),Π(B).• Nπ(A ∩B) = minNπ(A), Nπ(B).• Π(A ∩B) ≤ minΠ(A),Π(B).• Nπ(A ∪B) ≥ maxNπ(A), Nπ(B).• Nπ(A) ≤ Π(A).
Possibilitats- und Notwendigkeitsmaße sind Plausibilitats- undGlaubensfunktionen ahnlich.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 253 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Possibilitats- und Notwendigkeitsmaße 2/2
Possibilitats- und Notwendigkeitsmaße haben folgendeEigenschaften:
• Π(∅) = Nπ(∅) = 0.
• Π(Ω) = Nπ(Ω) = 1.
• Π(A ∪B) = maxΠ(A),Π(B).• Nπ(A ∩B) = minNπ(A), Nπ(B).
• Π(A ∩B) ≤ minΠ(A),Π(B).• Nπ(A ∪B) ≥ maxNπ(A), Nπ(B).• Nπ(A) ≤ Π(A).
Possibilitats- und Notwendigkeitsmaße sind Plausibilitats- undGlaubensfunktionen ahnlich.
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Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Possibilitats- und Notwendigkeitsmaße 2/2
Possibilitats- und Notwendigkeitsmaße haben folgendeEigenschaften:
• Π(∅) = Nπ(∅) = 0.
• Π(Ω) = Nπ(Ω) = 1.
• Π(A ∪B) = maxΠ(A),Π(B).• Nπ(A ∩B) = minNπ(A), Nπ(B).• Π(A ∩B) ≤ minΠ(A),Π(B).• Nπ(A ∪B) ≥ maxNπ(A), Nπ(B).
• Nπ(A) ≤ Π(A).
Possibilitats- und Notwendigkeitsmaße sind Plausibilitats- undGlaubensfunktionen ahnlich.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 253 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Possibilitats- und Notwendigkeitsmaße 2/2
Possibilitats- und Notwendigkeitsmaße haben folgendeEigenschaften:
• Π(∅) = Nπ(∅) = 0.
• Π(Ω) = Nπ(Ω) = 1.
• Π(A ∪B) = maxΠ(A),Π(B).• Nπ(A ∩B) = minNπ(A), Nπ(B).• Π(A ∩B) ≤ minΠ(A),Π(B).• Nπ(A ∪B) ≥ maxNπ(A), Nπ(B).• Nπ(A) ≤ Π(A).
Possibilitats- und Notwendigkeitsmaße sind Plausibilitats- undGlaubensfunktionen ahnlich.
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Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Possibilitats- und Notwendigkeitsmaße 2/2
Possibilitats- und Notwendigkeitsmaße haben folgendeEigenschaften:
• Π(∅) = Nπ(∅) = 0.
• Π(Ω) = Nπ(Ω) = 1.
• Π(A ∪B) = maxΠ(A),Π(B).• Nπ(A ∩B) = minNπ(A), Nπ(B).• Π(A ∩B) ≤ minΠ(A),Π(B).• Nπ(A ∪B) ≥ maxNπ(A), Nπ(B).• Nπ(A) ≤ Π(A).
Possibilitats- und Notwendigkeitsmaße sind Plausibilitats- undGlaubensfunktionen ahnlich.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 253 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Fuzzy-Regeln
Eine Fuzzy-Regel ist von der Form
R : Wenn µ dann ν
und druckt einen Zusammhang zwischen zwei vagen Konzepten aus.
Beispiel:“Große Leute sind meistens schwer” ≈ Wenn groß, dann schwer ♣Sind µ und ν zwei Fuzzy-Mengen
µ : Ω1 → [0, 1], ν : Ω2 → [0, 1],
so ist das Ziel, das durch eine solche Regel R reprasentierte Wissen in eineunscharfe Relation bzw. Possibilitatsverteilung umzusetzen:
πR : Ω1 × Ω2 → [0, 1]
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 254 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Fuzzy-Regeln
Eine Fuzzy-Regel ist von der Form
R : Wenn µ dann ν
und druckt einen Zusammhang zwischen zwei vagen Konzepten aus.Beispiel:“Große Leute sind meistens schwer” ≈ Wenn groß, dann schwer ♣
Sind µ und ν zwei Fuzzy-Mengen
µ : Ω1 → [0, 1], ν : Ω2 → [0, 1],
so ist das Ziel, das durch eine solche Regel R reprasentierte Wissen in eineunscharfe Relation bzw. Possibilitatsverteilung umzusetzen:
πR : Ω1 × Ω2 → [0, 1]
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 254 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Fuzzy-Regeln
Eine Fuzzy-Regel ist von der Form
R : Wenn µ dann ν
und druckt einen Zusammhang zwischen zwei vagen Konzepten aus.Beispiel:“Große Leute sind meistens schwer” ≈ Wenn groß, dann schwer ♣Sind µ und ν zwei Fuzzy-Mengen
µ : Ω1 → [0, 1], ν : Ω2 → [0, 1],
so ist das Ziel, das durch eine solche Regel R reprasentierte Wissen in eineunscharfe Relation bzw. Possibilitatsverteilung umzusetzen:
πR : Ω1 × Ω2 → [0, 1]
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 254 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Fuzzy-Modus ponens 1/2
Ein Modus ponens fur die Fuzzy-Theorie entspricht einer Ableitung derForm
Fuzzy-Regelunscharfes Wissen uber die Pramisse
unscharfes Wissen uber die Konklusion
Beispiel: Große Leute sind meistens schwerHans ist ziemlich groß
Hans ist ziemlich schwer ♣formal:
πR : Ω1 × Ω2 → [0, 1]π1 : Ω1 → [0, 1]
π2 : Ω2 → [0, 1]
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 255 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Fuzzy-Modus ponens 1/2
Ein Modus ponens fur die Fuzzy-Theorie entspricht einer Ableitung derForm
Fuzzy-Regelunscharfes Wissen uber die Pramisse
unscharfes Wissen uber die Konklusion
Beispiel: Große Leute sind meistens schwerHans ist ziemlich groß
Hans ist ziemlich schwer
♣formal:
πR : Ω1 × Ω2 → [0, 1]π1 : Ω1 → [0, 1]
π2 : Ω2 → [0, 1]
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 255 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Fuzzy-Modus ponens 1/2
Ein Modus ponens fur die Fuzzy-Theorie entspricht einer Ableitung derForm
Fuzzy-Regelunscharfes Wissen uber die Pramisse
unscharfes Wissen uber die Konklusion
Beispiel: Große Leute sind meistens schwerHans ist ziemlich groß
Hans ist ziemlich schwer ♣formal:
πR : Ω1 × Ω2 → [0, 1]π1 : Ω1 → [0, 1]
π2 : Ω2 → [0, 1]
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 255 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Eine fuzzifizierte Inferenz 1/2
Wenn wir regelhafte Beziehungen zwischen Werten aus Ω1 und Wertenaus Ω2 als Relation formalisieren, so konnen wir den (klassischen) Modusponens als Abbildung modellieren:
infer : Ω1 × (Ω1 × Ω2)→ Ω2,
infer (ω1, (ω′1, ω′2)) :=
ω′2 falls ω′1 = ω1,undefiniert sonst.
Die Anwendung des Extensionsprinzips erzeugt eine Possibilitatsverteilunguber Ω2:
infer (π1, πR) = π2
wobei πR gesucht ist.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 256 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Eine fuzzifizierte Inferenz 1/2
Wenn wir regelhafte Beziehungen zwischen Werten aus Ω1 und Wertenaus Ω2 als Relation formalisieren, so konnen wir den (klassischen) Modusponens als Abbildung modellieren:
infer : Ω1 × (Ω1 × Ω2)→ Ω2,
infer (ω1, (ω′1, ω′2)) :=
ω′2 falls ω′1 = ω1,undefiniert sonst.
Die Anwendung des Extensionsprinzips erzeugt eine Possibilitatsverteilunguber Ω2:
infer (π1, πR) = π2
wobei πR gesucht ist.G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 256 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Eine fuzzifizierte Inferenz 2/2
Fur die spezielle Verteilung µ aus unserer Ausgangsregel
R : Wenn µ dann ν
soll gelteninfer (µ, πR) = ν
Kombiniert mit der Forderung nach minimaler Spezifizitat (d.h. das durchπR ausgedruckte Wissen darf moglichst wenig beschrankt werden)bestimmt dies eindeutig die Verteilung πR zu
πR(ω1, ω2) =
ν(ω2) falls µ(ω1) > ν(ω2),1 falls µ(ω1) ≤ ν(ω2)
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 257 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Eine fuzzifizierte Inferenz 2/2
Fur die spezielle Verteilung µ aus unserer Ausgangsregel
R : Wenn µ dann ν
soll gelteninfer (µ, πR) = ν
Kombiniert mit der Forderung nach minimaler Spezifizitat (d.h. das durchπR ausgedruckte Wissen darf moglichst wenig beschrankt werden)bestimmt dies eindeutig die Verteilung πR zu
πR(ω1, ω2) =
ν(ω2) falls µ(ω1) > ν(ω2),1 falls µ(ω1) ≤ ν(ω2)
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 257 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Notizen
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 257 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Fuzzy-Modus ponens 2/2
Ist π1 : Ω1 → [0, 1] eine die vorliegende Evidenz (unscharf) beschreibendePossibilitatsverteilung, so erhalt man mittels
π2 = infer (π1, πR)
Erkenntnisse uber die Konklusion der Regel R.
Mit dem Extensionsprinzip folgt
π2(ω2) = infer (π1, πR)(ω2)
= supminπ1(ω1), πR(ω1, ω2) | ω1 ∈ Ω1
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 258 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Fuzzy-Modus ponens 2/2
Ist π1 : Ω1 → [0, 1] eine die vorliegende Evidenz (unscharf) beschreibendePossibilitatsverteilung, so erhalt man mittels
π2 = infer (π1, πR)
Erkenntnisse uber die Konklusion der Regel R.
Mit dem Extensionsprinzip folgt
π2(ω2) = infer (π1, πR)(ω2)
= supminπ1(ω1), πR(ω1, ω2) | ω1 ∈ Ω1
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 258 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Fuzzy-Regeln – Beispiel
Wir wollen die folgende Regel modellieren:
R : Wenn Entzundung = schwer, dann Fieber = hoch
und benutzen die folgenden Fuzzy-Mengen
µ Schwere der Entzundung (Leukozytenzahl in Tausend pro mm3)ν Hohe des Fiebers (Korpertemperatur in Grad Celsius)
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 259 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Fuzzy-Regeln – Beispiel (Forts.)
µ und ν seien wie folgt angegeben:
µ : Ω1 = [0,∞)→ [0, 1], µ(ω1) =
0, ω1 ≤ 10,110(ω1 − 10), 10 < ω1 < 20,1, ω1 ≥ 20
ν : Ω2 = [36, 42]→ [0, 1], ν(ω2) =
0, ω2 ≤ 37,12(ω2 − 37), 37 < ω2 < 39,1, ω2 ≥ 39
Die zu R gehorige Possibilitatsverteilung ist dann gegeben durch
πR(ω1, ω2) =
ν(ω2) falls µ(ω1) > ν(ω2),1 falls µ(ω1) ≤ ν(ω2)
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 260 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Fuzzy-Regeln – Beispiel (Forts.)
Bei dem Patienten Hans sei die Leukozytenzahl exakt bekannt: 18.000 promm3, d.h. das evidentielle Wissen ergibt die folgende Verteilung:
π1(ω1) =
0 falls ω1 6= 18,1 falls ω1 = 18
Nun kann die Verteilung π2 = infer (π1, πR) abgeleitet werden, dieunscharfes Wissen uber die Hohe des Fiebers von Hans reprasentiert:
π2(ω2) =
0 falls ω2 ≤ 37,12(ω2 − 37) falls 37 < ω2 < 38.6,1 falls ω2 ≥ 38.6
♣
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 261 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Fuzzy-Regeln – Beispiel (Forts.)
Bei dem Patienten Hans sei die Leukozytenzahl exakt bekannt: 18.000 promm3, d.h. das evidentielle Wissen ergibt die folgende Verteilung:
π1(ω1) =
0 falls ω1 6= 18,1 falls ω1 = 18
Nun kann die Verteilung π2 = infer (π1, πR) abgeleitet werden, dieunscharfes Wissen uber die Hohe des Fiebers von Hans reprasentiert:
π2(ω2) =
0 falls ω2 ≤ 37,12(ω2 − 37) falls 37 < ω2 < 38.6,1 falls ω2 ≥ 38.6
♣
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 261 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Notizen
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 261 / 267
Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik
Notizen
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 261 / 267
Quantitative Unsicherheit Resumee
Kapitel 4 – Resumee
• Die Probabilistik ist die alteste und theoretisch fundierteste Methode,um Unsicherheit darzustellen.
• Will man auch Unwissenheit darstellen, so bietet sich dieDempster-Shafer-Theorie mit Glaubens- und Plausibilitatsfunktionenan.
• Generell kann man mit der Dempster-Shafer-Theorie gutInformationsfusion modellieren.
• Fuzzy-Theorie ist bestens geeignet, um vage Aussagen zureprasentieren und verarbeiten.
• Possibilitatstheorie ist die epistemische Variante der Fuzzy-Theorie.
• Generell gilt: Fehlende Struktur auf der Reprasentationsebeneerfordert oft großeren Aufwand auf der Wissenskontrollebene.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 262 / 267
Quantitative Unsicherheit Resumee
Kapitel 4 – Resumee
• Die Probabilistik ist die alteste und theoretisch fundierteste Methode,um Unsicherheit darzustellen.
• Will man auch Unwissenheit darstellen, so bietet sich dieDempster-Shafer-Theorie mit Glaubens- und Plausibilitatsfunktionenan.
• Generell kann man mit der Dempster-Shafer-Theorie gutInformationsfusion modellieren.
• Fuzzy-Theorie ist bestens geeignet, um vage Aussagen zureprasentieren und verarbeiten.
• Possibilitatstheorie ist die epistemische Variante der Fuzzy-Theorie.
• Generell gilt: Fehlende Struktur auf der Reprasentationsebeneerfordert oft großeren Aufwand auf der Wissenskontrollebene.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 262 / 267
Quantitative Unsicherheit Resumee
Kapitel 4 – Resumee
• Die Probabilistik ist die alteste und theoretisch fundierteste Methode,um Unsicherheit darzustellen.
• Will man auch Unwissenheit darstellen, so bietet sich dieDempster-Shafer-Theorie mit Glaubens- und Plausibilitatsfunktionenan.
• Generell kann man mit der Dempster-Shafer-Theorie gutInformationsfusion modellieren.
• Fuzzy-Theorie ist bestens geeignet, um vage Aussagen zureprasentieren und verarbeiten.
• Possibilitatstheorie ist die epistemische Variante der Fuzzy-Theorie.
• Generell gilt: Fehlende Struktur auf der Reprasentationsebeneerfordert oft großeren Aufwand auf der Wissenskontrollebene.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 262 / 267
Quantitative Unsicherheit Resumee
Kapitel 4 – Resumee
• Die Probabilistik ist die alteste und theoretisch fundierteste Methode,um Unsicherheit darzustellen.
• Will man auch Unwissenheit darstellen, so bietet sich dieDempster-Shafer-Theorie mit Glaubens- und Plausibilitatsfunktionenan.
• Generell kann man mit der Dempster-Shafer-Theorie gutInformationsfusion modellieren.
• Fuzzy-Theorie ist bestens geeignet, um vage Aussagen zureprasentieren und verarbeiten.
• Possibilitatstheorie ist die epistemische Variante der Fuzzy-Theorie.
• Generell gilt: Fehlende Struktur auf der Reprasentationsebeneerfordert oft großeren Aufwand auf der Wissenskontrollebene.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 262 / 267
Quantitative Unsicherheit Resumee
Kapitel 4 – Resumee
• Die Probabilistik ist die alteste und theoretisch fundierteste Methode,um Unsicherheit darzustellen.
• Will man auch Unwissenheit darstellen, so bietet sich dieDempster-Shafer-Theorie mit Glaubens- und Plausibilitatsfunktionenan.
• Generell kann man mit der Dempster-Shafer-Theorie gutInformationsfusion modellieren.
• Fuzzy-Theorie ist bestens geeignet, um vage Aussagen zureprasentieren und verarbeiten.
• Possibilitatstheorie ist die epistemische Variante der Fuzzy-Theorie.
• Generell gilt: Fehlende Struktur auf der Reprasentationsebeneerfordert oft großeren Aufwand auf der Wissenskontrollebene.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 262 / 267
Quantitative Unsicherheit Resumee
Kapitel 4 – Resumee
• Die Probabilistik ist die alteste und theoretisch fundierteste Methode,um Unsicherheit darzustellen.
• Will man auch Unwissenheit darstellen, so bietet sich dieDempster-Shafer-Theorie mit Glaubens- und Plausibilitatsfunktionenan.
• Generell kann man mit der Dempster-Shafer-Theorie gutInformationsfusion modellieren.
• Fuzzy-Theorie ist bestens geeignet, um vage Aussagen zureprasentieren und verarbeiten.
• Possibilitatstheorie ist die epistemische Variante der Fuzzy-Theorie.
• Generell gilt: Fehlende Struktur auf der Reprasentationsebeneerfordert oft großeren Aufwand auf der Wissenskontrollebene.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 262 / 267
Quantitative Unsicherheit Resumee
Das unsichere, unwissende, unscharfe Herzblatt
• Kandidatin #1 – Wahrscheinlichkeitstheorie:Die traditionsbewusste Queen of Uncertainty, die Ahnungslose mitNetzen umgarnt und mit der Bayesschen Regel zu Fall bringt. Furunerschrockene Hardliner, die weder Addition noch Division furchtenund auch bei Unsicherheit prazise Ergebnisse erwarten.
• Kandidatin #2 – Dempster-Shafer-Theorie:Die sympathische Unwissende, die von sich behauptet, nur mitKapazitaten zusammenzuarbeiten. Fur kombinationsfreudigeSpurhunde, die gerne Beweise sammeln und deren Verarbeitung einemSystem uberlassen.
• Kandidat #3 – Fuzzy-Logik:Der Softie unter den numerischen Methoden, fur den alles eine Frageder Norm ist. Fur “vage”mutige Regelliebhaber, die immer schonwussten, dass es mehr als klassische Mengenlehre gibt.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 263 / 267
Quantitative Unsicherheit Resumee
Das unsichere, unwissende, unscharfe Herzblatt
• Kandidatin #1 – Wahrscheinlichkeitstheorie:Die traditionsbewusste Queen of Uncertainty, die Ahnungslose mitNetzen umgarnt und mit der Bayesschen Regel zu Fall bringt. Furunerschrockene Hardliner, die weder Addition noch Division furchtenund auch bei Unsicherheit prazise Ergebnisse erwarten.
• Kandidatin #2 – Dempster-Shafer-Theorie:Die sympathische Unwissende, die von sich behauptet, nur mitKapazitaten zusammenzuarbeiten. Fur kombinationsfreudigeSpurhunde, die gerne Beweise sammeln und deren Verarbeitung einemSystem uberlassen.
• Kandidat #3 – Fuzzy-Logik:Der Softie unter den numerischen Methoden, fur den alles eine Frageder Norm ist. Fur “vage”mutige Regelliebhaber, die immer schonwussten, dass es mehr als klassische Mengenlehre gibt.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 263 / 267
Quantitative Unsicherheit Resumee
Das unsichere, unwissende, unscharfe Herzblatt
• Kandidatin #1 – Wahrscheinlichkeitstheorie:Die traditionsbewusste Queen of Uncertainty, die Ahnungslose mitNetzen umgarnt und mit der Bayesschen Regel zu Fall bringt. Furunerschrockene Hardliner, die weder Addition noch Division furchtenund auch bei Unsicherheit prazise Ergebnisse erwarten.
• Kandidatin #2 – Dempster-Shafer-Theorie:Die sympathische Unwissende, die von sich behauptet, nur mitKapazitaten zusammenzuarbeiten. Fur kombinationsfreudigeSpurhunde, die gerne Beweise sammeln und deren Verarbeitung einemSystem uberlassen.
• Kandidat #3 – Fuzzy-Logik:Der Softie unter den numerischen Methoden, fur den alles eine Frageder Norm ist. Fur “vage”mutige Regelliebhaber, die immer schonwussten, dass es mehr als klassische Mengenlehre gibt.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 263 / 267
Quantitative Unsicherheit iXDHL-Beispiel
iXDHL @ Fuzzy
Wir wahlen die folgenden Aussagen (mit den jeweiligen Auspragungen):
Aufenthalt Mitarbeiter Amit = home, patio, mensa, cafeteriaSchoenes Wetter SW = ja, neinJahreszeit JZ = sommer, herbst, winter, fruehlingPausenzeit PZ = FZ, MZ, KeineAufenthalt Abt.leiter Aleit = patio, patio
Kaum vage Pradikate!
Modellierung mit Possibilitatstheorie moglich.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 264 / 267
Quantitative Unsicherheit iXDHL-Beispiel
iXDHL @ Fuzzy
Wir wahlen die folgenden Aussagen (mit den jeweiligen Auspragungen):
Aufenthalt Mitarbeiter Amit = home, patio, mensa, cafeteriaSchoenes Wetter SW = ja, neinJahreszeit JZ = sommer, herbst, winter, fruehlingPausenzeit PZ = FZ, MZ, KeineAufenthalt Abt.leiter Aleit = patio, patio
Kaum vage Pradikate!
Modellierung mit Possibilitatstheorie moglich.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 264 / 267
Quantitative Unsicherheit iXDHL-Beispiel
iXDHL @ Fuzzy
Wir wahlen die folgenden Aussagen (mit den jeweiligen Auspragungen):
Aufenthalt Mitarbeiter Amit = home, patio, mensa, cafeteriaSchoenes Wetter SW = ja, neinJahreszeit JZ = sommer, herbst, winter, fruehlingPausenzeit PZ = FZ, MZ, KeineAufenthalt Abt.leiter Aleit = patio, patio
Kaum vage Pradikate!
Modellierung mit Possibilitatstheorie moglich.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 264 / 267
Quantitative Unsicherheit iXDHL-Beispiel
Beispiel: iXDHL @ Bayes-Netz
Amit
PZ SW Aleit
JZ
JZ
s 0.25h 0.25w 0.25f 0.25
PZ
FZ 0.06MZ 0.12K 0.82
SW |JZ s h w f
ja 0.8 0.5 0.1 0.6nein 0.2 0.5 0.9 0.4
Aleit |SW ja nein
p 0.2 0.01p 0.8 0.99
Amit PZ ∧ SW ∧Aleit
· · · · · ·
3 · 3 · 2 · 2 = 36 Wahrscheinlichkeiten
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 265 / 267
Quantitative Unsicherheit iXDHL-Beispiel
iXDHL @ Dempster-Shafer 1/2
Hier konnte man die Einflusse der Variablen Schoenes Wetter , Pausenzeitund Aufenthalt Abt.leiter auf die Variable Aufenthalt Mitarbeiter inkonkreten Situationen durch passende Basismaße abbilden, die man danndurch die Kombinationsregel zu einem Gesamtmaß und dann zu einerGlaubensfunktion kombinieren kann,
z.B. (mit Ω = home, patio, mensa, cafeteria)
Wetter : mSW (B) =
0.7 wenn B = home, patio0.3 wenn B = Ω0 sonst
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 266 / 267
Quantitative Unsicherheit iXDHL-Beispiel
iXDHL @ Dempster-Shafer 1/2
Hier konnte man die Einflusse der Variablen Schoenes Wetter , Pausenzeitund Aufenthalt Abt.leiter auf die Variable Aufenthalt Mitarbeiter inkonkreten Situationen durch passende Basismaße abbilden, die man danndurch die Kombinationsregel zu einem Gesamtmaß und dann zu einerGlaubensfunktion kombinieren kann,
z.B. (mit Ω = home, patio, mensa, cafeteria)
Wetter : mSW (B) =
0.7 wenn B = home, patio0.3 wenn B = Ω0 sonst
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 266 / 267
Quantitative Unsicherheit iXDHL-Beispiel
iXDHL @ Dempster-Shafer 2/2
Pausenzeit: mPZ(B) =
0.9 wenn B = home, mensa0.1 wenn B = Ω0 sonst
Aufenthalt Abt.leiter : mAbtl(B) =
0.4 wenn B = home, patio0.6 wenn B = Ω0 sonst
Die Werte hangen stark von der konkreten Situation (hier: schonerFruhlingstag, spater Vormittag, Abteilungsleiter nicht in seinem Buro) ab!
G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 267 / 267