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Das Beweisassistenzsystem ΩmegaSerge Autexier122. Juni 20071Joint work with the Ωmega GroupAutexier DFKI GmbH & Saarland UniversityDas Beweisassistenzsystem Ωmega
Zielsetzungen für einBeweisassistenzsystem (BA) Unterstützung fürMathematiker/Wissens haftler/Software-Entwi kler in derTheoriebildung und insbesondere bei der Beweisführung Gründe:
Verizierbare Formalisierungen und Beweise Mehrwerte dur h mas hinelle Unterstützung:
Übernahme von Routineaufgaben bei Beweisen Organisation/Handhabung von groÿen komplexen Beweisen(z.B. Kepler Vermutung dur h T. Hales) Semantik-basierte Su he na h math. Konzepten . . .Autexier DFKI GmbH & Saarland UniversityDas Beweisassistenzsystem Ωmega
HerangehensweisenBottom-up Vorgehen: Logik, Kalkül, und immer neue Komponenten daraufaufbauen Honung, daÿ man irgendwann ein Gesamtsystem hat,dass Benutzer gerne verwenden wollen Klassis he herangehensweise Am Beispiel von ΩmegaTop-down Vorgehen: Beginn mit System, das ein Benutzer verwendet Füge Funktionalitäten eines BAs hinzu Am Beispiel der Integration von Ωmega in denTexteditor TEXma sAutexier DFKI GmbH & Saarland UniversityDas Beweisassistenzsystem Ωmega
1 Bottom-Up Konstruktion eines BALogik & BeweiskalküleBeweiskonstruktionKomponenten des Ωmega SystemsAutexier DFKI GmbH & Saarland UniversityDas Beweisassistenzsystem Ωmega
Formelsyntax undBeweiskonstruktionsvors hirftenFrege, Russell, Hilbert Prädikatenkalkül und Typentheorie alsformale Basis für die Mathematik: + : N × N → N
∀x , y , z : N.(x + (y + z)) = ((x + y) + z)Gentzen Kalkül des Natürli hen S hlieÿens (ND)ND-Regeln (Bsp.) ND-Beweis für (A ∧ B) ⇒ (B ∧ (C ∨ A))A BA ∧ B ∧IA ∧ BA ∧ElA ∧ BB ∧ErA⇒ B AB mp[A]1....BA⇒ B ⇒I 1. . . usw. . . .
[A ∧ B]1B ∧Er [A ∧B]1A ∧ElC ∨ A ∨IrB ∧ (C ∨A)∧I
(A ∧ B) ⇒ (B ∧ (C ∨ A))⇒ I 1Autexier DFKI GmbH & Saarland UniversityDas Beweisassistenzsystem Ωmega
Mas hinennahe KalküleRobinson (1965): Resolutionskalkül Grundlage für Automatisierung Nur zwei S hlussregeln Formeln müssen erst in Normalform transformiert werden
Bild: Jörg SiekmannAutexier DFKI GmbH & Saarland UniversityDas Beweisassistenzsystem Ωmega
Mas hinennahe KalküleProblemeingabe Beweisausgabe
Autexier DFKI GmbH & Saarland UniversityDas Beweisassistenzsystem Ωmega
Faktenebenen Beweise in ΩmegaFakten Axiome Denitionen Theoreme/Korollare/LemmataFakten als InferenzregelnTransitivität von ⊆:A ⊆ B ∧ B ⊆ C ⇒ A ⊆ C ⇒
A ⊆ B B ⊆ CA ⊆ C Trans. ⊆Anwendung auf TeilformelnAnwendung von Inferenzre-geln auf Teilformeln P ⇒ (A ⊆ B) ⊢ Q ⇒ (A ⊆ C )P ⇒ (A ⊆ B) ⊢ Q ⇒ (P ∧ (B ⊆ C ))Autexier DFKI GmbH & Saarland UniversityDas Beweisassistenzsystem Ωmega
Beweiskonstruktion IAutomatis he Beweissu he Beweissu he auf Ebene der Inferenzen (Ordnungen,Heuristiken) Verwendung externer Systeme und Transformation der Beweise(i. A. s hwierig) Beweisplanung: Domänenspezis hes S hlieÿen aufabstrakterer Ebene
Methode1 Methode2 Methode3
Beispielbeweismethoden: Diagonalisierungsprinzip,Induktionsbeweis + heuristis he SteuerungAutexier DFKI GmbH & Saarland UniversityDas Beweisassistenzsystem Ωmega
Beweiskonstruktion IAutomatis he Beweissu he Beweissu he auf Ebene der Inferenzen (Ordnungen,Heuristiken) Verwendung externer Systeme und Transformation der Beweise(i. A. s hwierig) Beweisplanung: Domänenspezis hes S hlieÿen aufabstrakterer Ebene
Methode2 Methode3
Beweisverfeinerung (Expansion) über meherer Ebenen . . .Autexier DFKI GmbH & Saarland UniversityDas Beweisassistenzsystem Ωmega
Beweiskonstruktion IAutomatis he Beweissu he Beweissu he auf Ebene der Inferenzen (Ordnungen,Heuristiken) Verwendung externer Systeme und Transformation der Beweise(i. A. s hwierig) Beweisplanung: Domänenspezis hes S hlieÿen aufabstrakterer Ebene
Methode2 Methode3Abs hliessende Verikationauf unterster Ebene mitBasisinferenzregelnAutexier DFKI GmbH & Saarland UniversityDas Beweisassistenzsystem Ωmega
Beweiskonstruktion IAutomatis he Beweissu he Beweissu he auf Ebene der Inferenzen (Ordnungen,Heuristiken) Verwendung externer Systeme und Transformation der Beweise(i. A. s hwierig) Beweisplanung: Domänenspezis hes S hlieÿen aufabstrakterer Ebene
Exp
ansio
n
Ab
stra
ctio
n
Abstract Proof Plan
Assertion-level Proof
Beweis simultan auf vers hiedenenGranularitätsstufenAutexier DFKI GmbH & Saarland UniversityDas Beweisassistenzsystem Ωmega
Beweiskonstruktion IIInteraktive Beweiskonstruktion Anwendung einzelner S hritte, Verwendung von automatis henProzeduren und externen Beweissystemen BeweisskizzenVerwendung von CAS Bere hnungen werden gebrau ht, aber s hle ht unterstütztdur h Logikkalküle Verwendung von externen CAS Problem: BA brau ht Beweis für die Bere hnungAutexier DFKI GmbH & Saarland UniversityDas Beweisassistenzsystem Ωmega
Komponenten des Ωmega Systems
MathematicalServices
daVinci
V2.
1
inst−54
union−53
TransitiveRelation
inst−32
union−31
Relation
union−25
inst−26
ReflexiveRelation
union−55
inst−56
union−57
PreOrder
union−59
inst−60
PartialOrder
union−82
inst−83
union−84
inst−86
union−85
inst−90
basic−89
SigOrder
basic−51
union−50
basic−49
basic−110
inst−111
inst−108
union−107
BooleanAlgebra
union−104
inst−105
union−106
inst−130
union−129
ExtBooleanAlgebra
basic−112
basic−109
inst−120
union−119
inst−121
inst−116
union−115
inst−118
union−117
RichBooleanAlgebra
ExtPartialOrder
basic−87
inst−100
union−99
inst−101
inst−96
union−95
TotalOrder
inst−63
union−62
union−92
inst−93
union−94
inst−127
union−126
ExtTotalOrder
basic−97
RichTotalOrder
union−75
inst−76
inst−78
union−77
Rat
basic−21
inst−20
union−19
Int
basic−16
inst−15
union−14
Nat
basic−11
union−67
inst−68
inst−66
union−65
union−72
inst−73
inst−71
union−70
inst−124
union−123
RichPartialOrder
union−46
inst−47
EquivalenceRelation
inst−45
union−44
PartialEquivalenceRelation
inst−42
union−41
SymmetricRelation
inst−29
union−28
union−34
inst−35
SimilarityRelation
inst−37
union−36
inst−40
union−39
DevelopmentGraph
Agent−orientedTheoremProving
ComputationTransformation
RetrievalAssertion
Learning
DeveloperGUI
Task Layer
ConstraintSolver
MathematicalRepositoriesProof
Verbalization
LOUI
OANTS
MULTI
LEARNOMATIC
SAPPER
MATHSERV
COSIE
OANTS−R
MBASE
PREX
MAYA
Knowledge−basedProof Planning
CORE
PLATO
MEDIATOR
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Graphis he Benutzers hnittstelle
Autexier DFKI GmbH & Saarland UniversityDas Beweisassistenzsystem Ωmega
Komponenten des Ωmega Systems
MathematicalServices
daVinci
V2.
1
inst−54
union−53
TransitiveRelation
inst−32
union−31
Relation
union−25
inst−26
ReflexiveRelation
union−55
inst−56
union−57
PreOrder
union−59
inst−60
PartialOrder
union−82
inst−83
union−84
inst−86
union−85
inst−90
basic−89
SigOrder
basic−51
union−50
basic−49
basic−110
inst−111
inst−108
union−107
BooleanAlgebra
union−104
inst−105
union−106
inst−130
union−129
ExtBooleanAlgebra
basic−112
basic−109
inst−120
union−119
inst−121
inst−116
union−115
inst−118
union−117
RichBooleanAlgebra
ExtPartialOrder
basic−87
inst−100
union−99
inst−101
inst−96
union−95
TotalOrder
inst−63
union−62
union−92
inst−93
union−94
inst−127
union−126
ExtTotalOrder
basic−97
RichTotalOrder
union−75
inst−76
inst−78
union−77
Rat
basic−21
inst−20
union−19
Int
basic−16
inst−15
union−14
Nat
basic−11
union−67
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union−72
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inst−71
union−70
inst−124
union−123
RichPartialOrder
union−46
inst−47
EquivalenceRelation
inst−45
union−44
PartialEquivalenceRelation
inst−42
union−41
SymmetricRelation
inst−29
union−28
union−34
inst−35
SimilarityRelation
inst−37
union−36
inst−40
union−39
DevelopmentGraph
Agent−orientedTheoremProving
ComputationTransformation
RetrievalAssertion
Learning
DeveloperGUI
Task Layer
ConstraintSolver
MathematicalRepositoriesProof
Verbalization
LOUI
OANTS
MULTI
LEARNOMATIC
SAPPER
MATHSERV
COSIE
OANTS−R
MBASE
PREX
MAYA
Knowledge−basedProof Planning
CORE
PLATO
MEDIATOR
Autexier DFKI GmbH & Saarland UniversityDas Beweisassistenzsystem Ωmega
Beweispräsentation in natürli herSpra he
Autexier DFKI GmbH & Saarland UniversityDas Beweisassistenzsystem Ωmega
2 Top-down Konstruktion eines BADer wissens haftli he Texteditor TEXma sIntegration von Ωmega und TEXma sVerfügbare und geplante FunktionalitätenAutexier DFKI GmbH & Saarland UniversityDas Beweisassistenzsystem Ωmega
Zielsetzung Die Dienste des BA dort anzubieten, wo sie gebrau ht werden Analogie: Grammatikprüfer, nur interaktiv Autoren von Dokumenten sollten ni ht Eigenheiten des BAlernen müssen, um diese nutzen zu können Das BA soll si h dem Benutzer anpassen, ni ht umgekehrt Leitgedanke für Integration von Ωmega in TEXma s
Autexier DFKI GmbH & Saarland UniversityDas Beweisassistenzsystem Ωmega
TEXma s what-you-see-is-what-you-get Paradigma Struktureditor, gute Unterstützung für math. Formeln Kongurierbar
Autexier DFKI GmbH & Saarland UniversityDas Beweisassistenzsystem Ωmega
TEXma s what-you-see-is-what-you-get Paradigma Struktureditor, gute Unterstützung für math. Formeln Kongurierbar
Autexier DFKI GmbH & Saarland UniversityDas Beweisassistenzsystem Ωmega
TEXma s what-you-see-is-what-you-get Paradigma Struktureditor, gute Unterstützung für math. Formeln Kongurierbar
Autexier DFKI GmbH & Saarland UniversityDas Beweisassistenzsystem Ωmega
TEXma s what-you-see-is-what-you-get Paradigma Struktureditor, gute Unterstützung für math. Formeln Kongurierbar
Autexier DFKI GmbH & Saarland UniversityDas Beweisassistenzsystem Ωmega
TEXma s what-you-see-is-what-you-get Paradigma Struktureditor, gute Unterstützung für math. Formeln Kongurierbar
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TEXma s what-you-see-is-what-you-get Paradigma Struktureditor, gute Unterstützung für math. Formeln Kongurierbar
Autexier DFKI GmbH & Saarland UniversityDas Beweisassistenzsystem Ωmega
Was muÿ der Autor ma hen? Annotationen am Text in Form von Ma rosDenition (Fun tion ∈)The predi ate ∈elem×set→bool takes an individual and a set and tellswhether that individual belongs to this set.\begindefinition[Fun tion $\in$The predi ate \ on ept\inelem \times set \rightarrow booltakes an individual and a set and tells whether thatindividual belongs to this set.\enddefinition Muss für alle Semantik-tragenden Teile angegeben werden:Theorien, Denitionen, Theorem, Beweise, Beweiss hritte, . . . Ausnahme: FormelnAutexier DFKI GmbH & Saarland UniversityDas Beweisassistenzsystem Ωmega
Was muÿ der Autor ma hen? Annotationen am Text in Form von Ma rosDenition (Fun tion ∈)The predi ate ∈elem×set→bool takes an individual and a set and tellswhether that individual belongs to this set.\begindefinition[Fun tion $\in$The predi ate \ on ept\inelem \times set \rightarrow booltakes an individual and a set and tells whether thatindividual belongs to this set.\enddefinition Muss für alle Semantik-tragenden Teile angegeben werden:Theorien, Denitionen, Theorem, Beweise, Beweiss hritte, . . . Ausnahme: FormelnAutexier DFKI GmbH & Saarland UniversityDas Beweisassistenzsystem Ωmega
Eingabe von FormelnNotation (Fun tion ∈)Let x be an individual and A a set, then we write x ∈ A,x is element of A, x is in A or A ontains x.\beginnotation[Fun tion $\in$Let \de larex be an individual and \de lareA a set,then we write \denotex \in A, \denotex is element of A,\denotex is in A or \denoteA ontains x.\endnotationExampleAllows to write the inline formulas x is element of (A ∪ B) as wellas ∀y .y ∈ (A ∪ B) in formulas.But not: x and y are element of (A ∪ B).Autexier DFKI GmbH & Saarland UniversityDas Beweisassistenzsystem Ωmega
Verfügbare und geplanteFunktionalitäten IAllgemeine Eigens haften Sind alle verwendeten Konzepte deniert? Sind die vereinbarten Notationen eingehalten worde? Verwaltung der Notationen Verwendung von Theorien aus anderen Dokumenten(Semantik + Notation) Semantis hes ZitierenSpeziell für Beweise In einem oenen Teilbeweis: Was sind mögli he nä hsteBeweiss hritte? Aufruf der automatis hen Beweissu hverfahren auf einemoenen BeweiszielAutexier DFKI GmbH & Saarland UniversityDas Beweisassistenzsystem Ωmega
Verfügbare und geplanteFunktionalitäten II Automatis h gefundene (Teil-)Beweise werden
automatis h in das TEXma s-Dokument integriert für Formeln wird die eingeführte Notation verwendet
Ist der Beweis fertig? Ist der Beweis korrekt? Ist der angegebene Beweis ein Beweis für das Theorem? Kollaboratives Arbeiten
Vorauss hau für Eekte von Änderungen Lo king-Me hanismus um semantis he Aspekte zu s hützen
Manuelles annotieren reduzieren dur h Textanalyse-VerfahrenAutexier DFKI GmbH & Saarland UniversityDas Beweisassistenzsystem Ωmega
Zusammenfassung/Ausbli k Ein BA bottom-up zu bauen umfasst vielfältige Aspekte(ähnli h wie ein CAS)
Logik, Kalküle, Repräsentation, Verwendung und Lernen vonBeweissu hwissen, Organisation der automat. Beweissu he Verwaltung von mathematis hen Wissen, . . .
Top-down Vorgehen orientiert si h an Wüns hen des Anwenders bringt zusätzli he Aspekte:
Granularität von Beweisen Textanalyse und Textgenerierung Verwaltung von Abhängigkeiten in Dokumenten Mehrwerte für Autoren da Semantik von Dokumentenmas hinell verarbeitbar(Su he, Extraktion, Reformulierung, . . . )Autexier DFKI GmbH & Saarland UniversityDas Beweisassistenzsystem Ωmega
Die Ωmega Gruppe Serge Autexier Christoph Benzmüller Dominik Dietri h Andreas Franke Henri Lesourd Marvin S hiller Ewaryst S hulz Jörg Siekmann Mar Wagner+ StudentenAutexier DFKI GmbH & Saarland UniversityDas Beweisassistenzsystem Ωmega
In eigener Sa he. . . Top-down Vorgehen orientiertsi h an dem was gebrau ht wird Wir können uns alles mögli hevorstellen, aber . . . . . . was wird tatsä hli hgebrau ht? Hilfrei h typis he Abäufe zukennen
Artikel, (Lehr-)Bü her oder Folien zu erstellen (alleine, zusammen mitanderen, Wiederverwendung von Teilen aus anderen Dokumenten, . . . ) Wir su hen: Leute, die gerne mal ausprobieren ihre Texte damit zus hreiben, um feedba k zu bekommen, was gut ist, was unzumutbar ist,was brau hbar wäre, . . .Autexier DFKI GmbH & Saarland UniversityDas Beweisassistenzsystem Ωmega