Das Geheimnis der Zahl 5

Ingo Blechschmidtiblech@speicherleck.de

Pizzaseminar in MathematikUniversität Augsburg

21. Oktober 2016

Gewidmet an Prof. Dr. Jost-Hinrich Eschenburg.

Pizzaseminar in Mathematik Das Geheimnis der Zahl 5 1 / 18

Gliederung

1 Ein Entwurfsmuster der Natur

2 KettenbrücheBeispieleBerechnung der KettenbruchentwicklungBestapproximationen durch die Kettenbruchentwicklung

3 Approximationen von π

4 Das Mandelbrot-Fraktal

5 Spiralen in der Natur

6 Die Ananas aus SpongeBob Schwammkopf

Pizzaseminar in Mathematik Das Geheimnis der Zahl 5 3 / 18

Ein Entwurfsmuster der Natur

Pizzaseminar in Mathematik Das Geheimnis der Zahl 5 4 / 18

Ein Entwurfsmuster der Natur

Fibonaccizahlen:1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, . . .

Pizzaseminar in Mathematik Das Geheimnis der Zahl 5 4 / 18

Ein merkwürdiger Bruch

1 +1

2 +1

2 +1

2 + . . .

= ?

Entscheidende Beobachtung:Wenn wir

x := ?− 1 =1

2 +1

2 +1

2 + . . .setzen, gilt

12 + x

= x.

Multiplizieren mit dem Nennerliefert also müssen wir nur diequadratische Gleichung0 = x2 + 2x− 1 lösen, somit

x =−2 +

√8

2= −1+

√2 oder x =

−2−√8

2= −1−

√2.

Es ist die positive Möglichkeit.

Pizzaseminar in Mathematik Das Geheimnis der Zahl 5 5 / 18

Ein merkwürdiger Bruch

1 +1

2 +1

2 +1

2 +. . .

= ?

Entscheidende Beobachtung: Wenn wir

x := ?− 1 =1

2 +1

2 +1

2 +. . .

setzen, gilt1

2 + x= x.

Multiplizieren mit dem Nenner liefert also müssen wir nur diequadratische Gleichung 0 = x2 + 2x− 1 lösen, somit

x =−2 +

√8

2= −1 +

√2 oder x =

−2−√8

2= −1−

√2.

Es ist die positive Möglichkeit.

Pizzaseminar in Mathematik Das Geheimnis der Zahl 5 5 / 18

Ein merkwürdiger Bruch

1 +1

2 +1

2 +1

2 +. . .

= ?

Entscheidende Beobachtung: Wenn wir

x := ?− 1 =1

2 +1

2 +1

2 +. . .

setzen, gilt1

2 + x= x.

Multiplizieren mit dem Nenner liefert also müssen wir nur diequadratische Gleichung 0 = x2 + 2x− 1 lösen, somit

x =−2 +

√8

2= −1 +

√2 oder x =

−2−√8

2= −1−

√2.

Es ist die positive Möglichkeit.

Pizzaseminar in Mathematik Das Geheimnis der Zahl 5 5 / 18

Ein merkwürdiger Bruch

Entscheidende Beobachtung: Wenn wir

x := ?− 1 =1

2 +1

2 +. . .

setzen, gilt1

2 + x= x.

Multiplizieren mit dem Nenner liefert also müssen wir nur diequadratische Gleichung 0 = x2 + 2x− 1 lösen, somit

x =−2 +

√8

2= −1 +

√2 oder x =

−2−√8

2= −1−

√2.

Es ist die positive Möglichkeit.

Pizzaseminar in Mathematik Das Geheimnis der Zahl 5 5 / 18

Ein merkwürdiger Bruch

Entscheidende Beobachtung: Wenn wir

x := ?− 1 =1

2 +1

2 +. . .

setzen, gilt1

2 + x= x.

Multiplizieren mit dem Nenner liefert 1 = x · (2+ x),

also müssenwir nur die quadratische Gleichung 0 = x2 + 2x− 1 lösen, somit

x =−2 +

√8

2= −1 +

√2 oder x =

−2−√8

2= −1−

√2.

Es ist die positive Möglichkeit.

Pizzaseminar in Mathematik Das Geheimnis der Zahl 5 5 / 18

Ein merkwürdiger Bruch

Entscheidende Beobachtung: Wenn wir

x := ?− 1 =1

2 +1

2 +. . .

setzen, gilt1

2 + x= x.

Multiplizieren mit dem Nenner liefert 1 = 2x + x2,

also müssenwir nur die quadratische Gleichung 0 = x2 + 2x− 1 lösen, somit

x =−2 +

√8

2= −1 +

√2 oder x =

−2−√8

2= −1−

√2.

Es ist die positive Möglichkeit.

Pizzaseminar in Mathematik Das Geheimnis der Zahl 5 5 / 18

Ein merkwürdiger Bruch

Entscheidende Beobachtung: Wenn wir

x := ?− 1 =1

2 +1

2 +. . .

setzen, gilt1

2 + x= x.

Multiplizieren mit dem Nenner liefert 1 = 2x + x2, also müssenwir nur die quadratische Gleichung 0 = x2 + 2x− 1 lösen,

somit

x =−2 +

√8

2= −1 +

√2 oder x =

−2−√8

2= −1−

√2.

Es ist die positive Möglichkeit.

Pizzaseminar in Mathematik Das Geheimnis der Zahl 5 5 / 18

Ein merkwürdiger Bruch

Entscheidende Beobachtung: Wenn wir

x := ?− 1 =1

2 +1

2 +. . .

setzen, gilt1

2 + x= x.

Multiplizieren mit dem Nenner liefert 1 = 2x + x2, also müssenwir nur die quadratische Gleichung 0 = x2 + 2x− 1 lösen, somit

x =−2 +

√8

2= −1 +

√2 oder x =

−2−√8

2= −1−

√2.

Es ist die positive Möglichkeit.Pizzaseminar in Mathematik Das Geheimnis der Zahl 5 5 / 18

Weitere Beispiele

[1; 2, 2, 2, . . .] =

1 +1

2 +1

2 +1

2 +. . .

=√2

[2; 4, 4, 4, . . .] =

2 +1

4 +1

4 +1

4 +. . .

=√5

[3; 6, 6, 6, . . .] =

3 +1

6 +1

6 +1

6 +. . .

=√10

1√2 = [1; 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, . . .]

2√5 = [2; 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, . . .]

3√10 = [3; 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, . . .]

4√6 = [2; 2, 4, 2, 4, 2, 4, 2, 4, . . .]

5√14 = [3; 1, 2, 1, 6, 1, 2, 1, 6, . . .]

6 e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, . . .]= 2,718 281 8284 590 452 3536 . . .

Pizzaseminar in Mathematik Das Geheimnis der Zahl 5 6 / 18

Weitere Beispiele

[1; 2, 2, 2, . . .] = 1 +1

2 +1

2 +1

2 +. . .

=√2

[2; 4, 4, 4, . . .] = 2 +1

4 +1

4 +1

4 +. . .

=√5

[3; 6, 6, 6, . . .] = 3 +1

6 +1

6 +1

6 +. . .

=√10

1√2 = [1; 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, . . .]

2√5 = [2; 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, . . .]

3√10 = [3; 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, . . .]

4√6 = [2; 2, 4, 2, 4, 2, 4, 2, 4, . . .]

5√14 = [3; 1, 2, 1, 6, 1, 2, 1, 6, . . .]

6 e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, . . .]= 2,718 281 8284 590 452 3536 . . .

Pizzaseminar in Mathematik Das Geheimnis der Zahl 5 6 / 18

Weitere Beispiele

1√2 = [1; 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, . . .]

2√5 = [2; 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, . . .]

3√10 = [3; 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, . . .]

4√6 = [2; 2, 4, 2, 4, 2, 4, 2, 4, . . .]

5√14 = [3; 1, 2, 1, 6, 1, 2, 1, 6, . . .]

6 e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, . . .]= 2,718 281 8284 590 452 3536 . . .

Pizzaseminar in Mathematik Das Geheimnis der Zahl 5 6 / 18

Der euklidische Algorithmus

Zur Erinnerung:√2 = 1 +

1

2 +1

2 +1

2 +. . .

= 1,41421356 . . .

1,41421356 . . . = 1 · 1,00000000 . . .+ 0,41421356 . . .

1,00000000 . . . = 2 · 0,41421356 . . .+ 0,17157287 . . .

0,41421356 . . . = 2 · 0,17157287 . . .+ 0,07106781 . . .

0,17157287 . . . = 2 · 0,07106781 . . .+ 0,02943725 . . .

0,07106781 . . . = 2 · 0,02943725 . . .+ 0,01219330 . . .

0,02943725 . . . = 2 · 0,01219330 . . .+ 0,00505063 . . ....

Pizzaseminar in Mathematik Das Geheimnis der Zahl 5 7 / 18

Bestapproximationen durch Kettenbrüche

TheoremWenn man die Kettenbruchentwicklung einer Zahl x abschneidet,erhält man einen Bruch a/b, der unter allen Brüchen mitNenner ≤ b der Zahl x am nächsten liegt.

√2 = 1 +

1

2 +1

2 +1

2 +. . .

// 1 +1

2 +1

2 +12

=1712≈ 1,42

Bonus. Je größer der KoeXzient nach der Abschneidestelle ist,desto besser ist die Näherung a/b.

Pizzaseminar in Mathematik Das Geheimnis der Zahl 5 9 / 18

Bestapproximationen durch Kettenbrüche

TheoremWenn man die Kettenbruchentwicklung einer Zahl x abschneidet,erhält man einen Bruch a/b, der unter allen Brüchen mitNenner ≤ b der Zahl x am nächsten liegt.

√2 = 1 +

1

2 +1

2 +1

2 +. . .

// 1 +1

2 +1

2 +12

=1712≈ 1,42

Bonus. Je größer der KoeXzient nach der Abschneidestelle ist,desto besser ist die Näherung a/b.

Pizzaseminar in Mathematik Das Geheimnis der Zahl 5 9 / 18

Liebe istwichtig.

♥

Pi istwichtig.

π

Approximationen von π

π = 3,1415926535 . . . = 3 +1

7 +1

15 +1

1 +1

292 +. . .

1 3

2 [3; 7] = 22/7 = 3,1428571428 . . .

3 [3; 7, 15] = 333/106 = 3,1415094339 . . .

4 [3; 7, 15, 1] = 355/113 = 3,1415929203 . . . (Milü)

Pizzaseminar in Mathematik Das Geheimnis der Zahl 5 12 / 18

Das Mandelbrot-Fraktal

Im Mandelbrot-Fraktal tauchen die Fibonaccizahlen auf.

Pizzaseminar in Mathematik Das Geheimnis der Zahl 5 13 / 18

Das Mandelbrot-Fraktal

Im Mandelbrot-Fraktal tauchen die Fibonaccizahlen auf.

Pizzaseminar in Mathematik Das Geheimnis der Zahl 5 13 / 18

Spiralen in der Natur

Pizzaseminar in Mathematik Das Geheimnis der Zahl 5 14 / 18

Die irrationalste aller Zahlen

Der optimale Winkel für aufeinanderfolgende Samen ist weder

90◦ =14· 360◦ noch 45◦ =

18· 360◦.

Stattdessen ist er der goldene Winkel Φ · 360◦ ≈ 582◦ (äqv.: 138◦):

Φ = goldener Schnitt =1 +√5

2= 1,6180339887 . . .

Theorem

Der goldene Schnitt Φ ist die irrationalste aller Zahlen.

Beweis. Φ = 1 +1

1 +1

1 +1

1 +. . .

.

Pizzaseminar in Mathematik Das Geheimnis der Zahl 5 15 / 18

Die irrationalste aller Zahlen

Der optimale Winkel für aufeinanderfolgende Samen ist weder

90◦ =14· 360◦ noch 45◦ =

18· 360◦.

Stattdessen ist er der goldene Winkel Φ · 360◦ ≈ 582◦ (äqv.: 138◦):

Φ = goldener Schnitt =1 +√5

2= 1,6180339887 . . .

Theorem

Der goldene Schnitt Φ ist die irrationalste aller Zahlen.

Beweis. Φ = 1 +1

1 +1

1 +1

1 +. . .

.

Pizzaseminar in Mathematik Das Geheimnis der Zahl 5 15 / 18

Die irrationalste aller Zahlen

Der optimale Winkel für aufeinanderfolgende Samen ist weder

90◦ =14· 360◦ noch 45◦ =

18· 360◦.

Stattdessen ist er der goldene Winkel Φ · 360◦ ≈ 582◦ (äqv.: 138◦):

Φ = goldener Schnitt =1 +√5

2= 1,6180339887 . . .

Theorem

Der goldene Schnitt Φ ist die irrationalste aller Zahlen.

Beweis. Φ = 1 +1

1 +1

1 +1

1 +. . .

.

Pizzaseminar in Mathematik Das Geheimnis der Zahl 5 15 / 18

(Nicht-)Verwendung des goldenen Winkels

Pizzaseminar in Mathematik Das Geheimnis der Zahl 5 16 / 18

Wieso die Fibonaccizahlen?

Φ = 1 +1

1 +1

1 +1

1 +. . .

1 1 = 1/12 [1; 1] = 2/13 [1; 1, 1]

= 3/24 [1; 1, 1, 1] = 5/35 [1; 1, 1, 1, 1] = 8/56 [1; 1, 1, 1, 1, 1] = 13/87 [1; 1, 1, 1, 1, 1, 1] = 21/138 [1; 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1] = 34/219 [1; 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1] = 55/34

Pizzaseminar in Mathematik Das Geheimnis der Zahl 5 17 / 18

Wieso die Fibonaccizahlen?

Φ = 1 +1

1 +1

1 +1

1 +. . .

1 1 = 1/12 [1; 1] = 2/13 [1; 1, 1] = 3/24 [1; 1, 1, 1]

= 5/35 [1; 1, 1, 1, 1] = 8/56 [1; 1, 1, 1, 1, 1] = 13/87 [1; 1, 1, 1, 1, 1, 1] = 21/138 [1; 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1] = 34/219 [1; 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1] = 55/34

Pizzaseminar in Mathematik Das Geheimnis der Zahl 5 17 / 18

Wieso die Fibonaccizahlen?

Φ = 1 +1

1 +1

1 +1

1 +. . .

1 1 = 1/12 [1; 1] = 2/13 [1; 1, 1] = 3/24 [1; 1, 1, 1] = 5/35 [1; 1, 1, 1, 1]

= 8/56 [1; 1, 1, 1, 1, 1] = 13/87 [1; 1, 1, 1, 1, 1, 1] = 21/138 [1; 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1] = 34/219 [1; 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1] = 55/34

Pizzaseminar in Mathematik Das Geheimnis der Zahl 5 17 / 18

Wieso die Fibonaccizahlen?

Φ = 1 +1

1 +1

1 +1

1 +. . .

1 1 = 1/12 [1; 1] = 2/13 [1; 1, 1] = 3/24 [1; 1, 1, 1] = 5/35 [1; 1, 1, 1, 1] = 8/5

6 [1; 1, 1, 1, 1, 1] = 13/87 [1; 1, 1, 1, 1, 1, 1] = 21/138 [1; 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1] = 34/219 [1; 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1] = 55/34

Pizzaseminar in Mathematik Das Geheimnis der Zahl 5 17 / 18

Wieso die Fibonaccizahlen?

Φ = 1 +1

1 +1

1 +1

1 +. . .

1 1 = 1/12 [1; 1] = 2/13 [1; 1, 1] = 3/24 [1; 1, 1, 1] = 5/35 [1; 1, 1, 1, 1] = 8/56 [1; 1, 1, 1, 1, 1] = 13/87 [1; 1, 1, 1, 1, 1, 1] = 21/138 [1; 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1] = 34/219 [1; 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1] = 55/34

Pizzaseminar in Mathematik Das Geheimnis der Zahl 5 17 / 18

Die Ananas aus SpongeBob Schwammkopf

Von Vi Hart, Mathemusikerin.Pizzaseminar in Mathematik Das Geheimnis der Zahl 5 18 / 18

Bildquellenhttps://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/99/Vi_Hart.jpghttp://joachim-reichel.org/software/fraktal/mandelbrot_large.pnghttps://commons.wikimedia.org/wiki/File:Bellis_perennis_white_(aka).jpghttp://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/coneflower.jpg (Tim Stone)http://www.bibliotecapleyades.net/imagenes_ciencia2/conscious_universe472_02.jpghttp://www.education.txstate.edu/ci/faculty/dickinson/PBI/PBIFall06/GeoNature/Content/Fibonacci_Lesson_files/image037.gifhttp://www.sciencedump.com/sites/default/files/styles/article_width/public/field/gallery/8247962.jpg

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