Das Plancksche Wirkungsquantum h- experimentelle Bestimmung einer atomphysikalischen

Fundamentalkonstanten

Joleik Nordmann, Frederick Groth, Eleonore Dann, Maximilian Mattern, Max Pritzkuleit

27.02.2017 - 03.03.2017

Inhaltsverzeichnis

1 Aufgabenstellung 2

2 Theoretische Hintergrunde fur die Planung der experimentellen h Bestimmung 22.1 h Bestimmung mit Gegenfeldmethode beim Photoeffekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2 h Bestimmung uber die experimentelle Bestimmung der Rydberg Konstanten aus dem Wasserstoff

Spektrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3 h Bestimmung aus der Franck - Hertz - Kennlinie bei Quecksilber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.4 h Bestimmung mit Hilfe der kurzwelligen Einsatzgrenze des Rontgenbremsspektrums . . . . . . . . 8

3 Die experimentelle Umsetzung der theoretisch gefundenen Moglichkeiten der h Bestimmung 103.1 Methode des Photoeffekts zur Bestimmung von h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.1.1 Aufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.1.2 Durchfuhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.1.3 Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.1.4 Fehlerbetrachtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.2 Wasserstoffspektrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.2.1 Material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.2.2 Versuchsaufbau und Durchfuhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.2.3 Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.2.4 Fehlerbetrachtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.3 Frank-Hertz-Versuch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.3.1 Aufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.3.2 Durchfuhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.3.3 Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.3.4 Fehlerbetrachtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.4 h Bestimmung mit Hilfe der kurzwelligen Einsatzgrenze des Rontgenbremsspektrums . . . . . . . . 173.4.1 Aufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.4.2 Durchfuhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.4.3 Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.4.4 Fehlerbetrachtung und Beurteilung der Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4 Ubersicht der Ergebnisse 21

5 Quellen 21

1

1 Aufgabenstellung

Im Rahmen unseres Praktikums zur Atomphysik in der Woche vom 27.02.2017 − 03.03.2017 unter Betreuungvon Herrn Dr. Harry Weigt haben wir uns mit verschiedenen experimentellen Methoden zur Bestimmung desPlanckschen Wirkungsquantums h auseinandergesetzt.

2 Theoretische Hintergrunde fur die Planung der experimentellen h Bestim-mung

2.1 h Bestimmung mit Gegenfeldmethode beim Photoeffekt

Das Plancksche Wirkungsquantum h kann experimentell mit Hilfe der Gegenfeldmethode beim Photoeffekt er-mittelt werden. Fur unseren Aufbau benutzen wir eine Vakuumphotozelle, die aus einer Fotokathode und einemAnodenring aufgebaut ist. Wenn Photonen auf die Fotokathode auftreffen und genugend Energie besitzen, um

Abbildung 1: Schaltskizze Photozelle

Quelle : Grundpraktikumsanleitung Versuch A3 Universitat Potsdam

die Auslosearbeit der Elektronen fur das Kathodenmaterial zu uberwinden, dann werden Elektronen aus demKathodenmaterial herausgelost. Wie in Abbildung 1 dargestellt, bewegen sich die Elektronen zum Anodenringhin. Mit einem empfindlichen Amperemeter kann nun ein Photostrom gemessen werden. Durch Anlegen einerGegenspannung zwischen Fotokathode und Anodenring wird ein elektrisches Feld erzeugt, dass die Elektronenabbremst. Mit dem Amperemeter werden dann nur die Elektronen gemessen, deren Geschwindigkeit (und somitderen Energie) gerade noch groß genug ist, um die Anode zu erreichen. Ab einer gewissen Gegenspannung U0 istdas elektrische Feld gerade groß genug, sodass keine Elektronen mehr den Anodenring erreichen und kein Strommehr gemessen wird. Deswegen verwenden wir ein empfindliches Amperemeter, um diesen Punkt moglichstgenau bestimmen zu konnen. An diesem Punkt sind kinetische Energie der Elektronen und die potentielle Energiedes elektrischen Feldes gerade gleich groß. Somit gilt:

E =12

mv2max = eU0

Dies konnen wir nun in die Einsteinsche Gleichung

12

mv2 = h f −WA

einsetzen. m ist hierbei die Masse des Elektrons, f die Frequenz des einstrahlenden Lichts, WA die Austrittsarbeitund e ist die Elementarladung. Das Ergebnis konnen wir dann nach U0 umstellen, sodass wir eine Geradengleichungerhalten, die wir dann grafisch auswerten konnen.

U0 =he

f −WA

e(1)

2

Die Steigung der Geraden ist he . Wenn diese dann mit e multipliziert wird, erhalten wir als Ergebnis das Plancksche

Wirkungsquantum, unsere gesuchte Große.

3

2.2 h Bestimmung uber die experimentelle Bestimmung der Rydberg Konstanten aus demWasserstoff Spektrum

Auch aus der spektrografischen Vermessung des Wasserstoff Spektrums kann das Plancksche Wirkungsquantumbestimmt werden. Die notwendigen Zusammenhange ergeben sich aus dem Bohrschen Atommodell, welches in([1, S.100-102]) beschrieben wird. Dieses Modell beschreibt in der Realitat Atome und Ionen mit einem Elektron,wozu auch Atomarer Wasserstoff zahlt. Fur diesen sagt es die Existenz diskreter Energieniveaus voraus. Sie lassensich beschreiben durch

En = −me4

8ε0h2

Z2

n2 (2)

=R∗Z2

n2 (3)

Mit n als naturliche Zahl. e ist die Elementarladung, ε0 die Permittivitat des Vakuums und Z die Kernladungszahl,bei Wasserstoff also 1. m gibt die reduzierte Masse des Elektrons an, d.h.

m =memK

me + mK

h ist das von uns zu bestimmende Plancksche Wirkungsquantum.Zwischen diesen Energieniveaus sind Ubergange moglich. Wird das Atom angeregt und Energie in Form einesPhotons abgestrahlt, so sind nur bestimmte Frequenzen moglich. Es folgen fur die Wellenlangen des emittiertenLichts

1λnm

=RZ2

(1n2 −

1m2

)(4)

mit m > n naturliche Zahlen. Diese Frequenzen konnen wir messen. Wir definieren Ry als Rydbergkonstante. DieseFormel wird nach ihrem experimentellen Entdecker auch Balmerformel genannt.Man erkennt sowohl uber die Berechnung der verschiedenen moglichen Ubergange, als auch uber deren Beobach-tung die Existenz verschiedener Serien.In unserem Fall betrachten wir das Wasserstoffatom. Dessen Atomkern besteht aus einem Proton, welches voneinem Elektron umgeben ist. Dieses Atom lasst sich also durch das Bohr’sche Atommodell beschreiben mit Z = 1als Kernladungszahl.Von den moglichen Ubergangen interessiert uns hier vor allem die so genannte Balmer-Serie mit n = 2. Diese liegtim optischen Bereich, welchen wir mit dem uns zur Verfugung stehenden Spektrometer vermessen konnen.

Abbildung 2: Einige der moglichen Ubergange am Wasserstoff-Atom, entnommen aus [3, S.373]

4

In Abbildung (2) sind die verschiedenen Serien eingezeichnet, die Balmer-Serie in rot. Neben den Linien, welche dieUbergange markieren, sind die zugehorigen Wellenlangen eingezeichnet. Fur die von uns untersuchten Ubergangegilt also der Zusammenhang

1λ2m

=Ry

(122 −

1m2

)(5)

Hier wurde bereits n = 2 gesetzt. Ry ist die Rydberkonstante. Neben anderen Naturkonstanten enthalt sie auch dasPlancksche Wirkungsquantum, welches wir bestimmen wollen.

Ry =me4

8cε20h3

(6)

c ist hierbei die Vakuum-Lichtgeschwindigkeit, die anderen Konstanten wie oben. Durch die experimentelle Be-stimmung der emittierten Wellenlangen von Wasserstoff-Atomen in einer Wasserstoff-Gas-Lampe lasst sich alsodie Rydbergkonstante und daraus wiederum unter Verwendung der anderen Konstanten das Plancksche Wir-kungsquantum bestimmen.

5

2.3 h Bestimmung aus der Franck - Hertz - Kennlinie bei Quecksilber

Der Franck - Hertz Versuch ist ein Elektronenstoßversuch mit einer Triode, wobei es zur Stoßanregung von Queck-silberatomen durch Elektronen kommt und mit dem das Plancksche Wirkungsquantum h bestimmt werden kann.

Zu Beginn des Experiments werden wie bei jeder Triode Elektronen aus der Kathode aufgrund des gluhelektrischenEffekts herausgelost und zum positiv geladenen Gitter hin beschleunigt. Dabei betragt deren kinetische Energie:

EKin = Eel = UB · e

Da die Elementarladung e eine Naturkonstante ist, hangt die Energie der Elektronen rein von der variablen Be-schleunigungsspannung UB ab. Bei kleiner Beschleunigungsspannung ist die kinetische Energie vieler Elektronenzu gering, als dass sie das elektrische Feld des Gitters uberwinden konnen und werden vom Gitter abgesaugt. MitErhohung der Beschleunigungsspannung steigt dann aber auch der gemessene Auffangstrom IA an der Anode. DasBesondere und Erstaunliche an dem Versuch ist 1913 aber nun gewesen, dass der Auffangstrom zwar insgesamtansteigt, aber nicht monoton wachsend - sondern die Kennlinie (Abbildung (3)) zwischendrin absinkt.

Abbildung 3: Franck - Hertz - Kennlinie

Auf dem Weg zum Gitter stoßen die Elektronen mit den Quecksilberatomen des sich in der Triode befindlichenQuecksilberdampfes zusammen. Bei kleinen Beschleunigungsspannungen stoßen die Elektronen nur elastisch mitden Quecksilberatomen zusammen, d.h. es findet kein Energieaustausch statt. Ab einer bestimmten Beschleuni-gungsspannung, bei der der Auffangstrom absackt, kommt es dann aber zu unelastischen Stoßen. Die Elektronenbesitzen genug Energie, um ein Elektron im Quecksilberatom anzuregen und auf ein hoheres Energieniveau an-zuheben. Das angeregte Quecksilberelektron springt nach kurzer Zeit wieder zuruck in den Grundzustand, wobeies ein Photon derselben Energie, die zum Anregen benotigt wurde, emittiert. Diese Wellenlange des ausgesandtenLichts kann durch Experimentatoren mittels Spektroskopie ermittelt werden und der Literaturwert [2, Kap. 10, S.42 - 44] betragt λ = 253 nm. Fur die Energie des Photons gilt:

EPh = h · f = e ·UB = Eel

Das Elektron aus der Kathode kann das Gitter nicht mehr uberwinden und der Strom IA sinkt. Jedoch sinkt aberder Strom nicht wieder ganz auf null, da nicht jedes Elektron mit einem Quecksilberatom zusammenstoßt.

Durch weiteres Erhohen der Beschleunigungsspannung steigt der Auffangstrom wieder an. Es finden nun elasti-sche und unelastische Stoße statt, bis der Auffangstrom wiederum bei einer bestimmten Beschleunigungsspannungabsinkt. Nun ist die Beschleunigungsspannung so hoch, dass das Elektron nach dem Stoß wiederum ausreichendbeschleunigt wird, um genug Energie zu besitzen fur die Anregung eines weiteren Quecksilberatoms. Das Elektronhat seine Energie in zwei gleich großen Quanten abgegeben. Wiederum sinkt der Strom nicht auf null, da nichtjedes Elektron mit einem Quecksilberatom zusammenstoßt oder nur einmal. Mit Erhohung von UB wiederholtsich dieses Schema. Auffallig ist, dass die Spannungsdifferenz zwischen zwei Auffangstrommaxima gleich großist. Dies bestatigt die Energieaufnahme der Atome von einem spezifischen Energiepaket, das zur Uberwindungeines atomabhangigen diskreten Energieniveaus benotigt wird.

6

Mittels der gemessenen Beschleunigungsspannungsdifferenz zwischen zwei Strommaxima und mit der bekann-ten Wellenlange λ des ausgesandten Photons kann also auch mit dem Franck – Hertz Versuch das PlanckscheWirkungsquantum h bestimmt werden.

e · ∆U = h ·cλ

(7)

⇔ h =λ · e · ∆U

c(8)

7

2.4 h Bestimmung mit Hilfe der kurzwelligen Einsatzgrenze des Rontgenbremsspektrums

In diesem Experiment werden wir eine Rontgenrohre fur die Erzeugung eines Rontgenspektrums verwenden.Aus der Gluhkathode werden mit Hilfe einer Heizspannung Elektronen herausgelost und durch die anliegendeSpannung zur Anode beschleunigt. Die beschleunigten Elektronen treffen auf die Anode und werden durch dieWechselwirkung mit dem Anodenmaterial abgebremst. Durch das Abbremsen der Elektronen verlieren diese ihrekinetische Energie, diese wird in Form von Photonen frei. Das Elektron wird nicht zwingend in einer einzigenWechselwirkung abgebremst, sodass auch Teilbetrage der kinetischen Energie des Elektrons in Photonen umge-wandelt werden. Jede Wechselwirkung fuhrt auf Grund der Quantelung der Energie zu genau einem Photon derentsprechenden Energie, sodass die maximale Photonenenergie gleich der kinetischen Energie der Elektronen ist.Jedoch entstehen auch Photonen beliebig geringerer Energie. Es ist also abhangig von der Beschleunigungsspan-nung eine kurzwellige Einsatzgrenze des Rontgenbremsspektrums in Abbildung 4 bei circa 12 Grad zu erkennen.Wir wollen nun diese Einsatzgrenze fur die Bestimmung des Planckschen Wirkungsquantums benutzen. Dazumussen wir uns zunachst uber die Energie dieses hochenergetischsten Photons klar werden:Die kinetische Energie des Elektrons vor dem Abbremsen:

Ekin = UB · e

wird fur das hochenergetischste Photon vollstandig zur Photonenenergie:

EPhot = h ·cλ

(9)

sodass die beiden Energien gleichzusetzen sind:

Ekin = EPhot,max

UB · e = h ·cλ0

woraus fur die Bestimmung des Plankschen Wirkungsquantums folgt:

h =UB · e · λ0

c(10)

Abbildung 4: Bei dem Versuch aufgenommenes Rontgenspektrum

Wenn wir nun also die minimale Wellenlange der entstehenden Rontgenstrahlung unseres Versuchsaufbaus er-mitteln konnen, haben wir das Ziel der Bestimmung des Planckschen Wirkungquantums erreicht.Fur die Wellenlangenbestimmung von Rontgenphotonen wenden wir in unserer experimentellen Durchfuhrungdas Verfahren der Bragg-Reflexion an. Bei der Bragg-Reflexion wird der Rontgenstrahl an den Gitternetzebeneneines Kristalls reflektiert, analog zur Optik fungiert der Kristall als ein Reflexionsgitter. Dabei kommt es zu einer

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konstruktiven Interferenz der reflektierten Strahlen an den verschiedenen Gitternetzebenen, wenn der Gangun-terschied genau ein ganzes Vielfaches der Wellenlange ist.Mit der Abbildung 5, welche schematisch den Strahlengang bei der Braggreflexion darstellt, lasst sich der Gang-unterschied feststellen:

∆s = 2d · sin(Φ)

Somit ergibt sich die Bragg-Gleichung fur konstruktive Interferenz:

m · λ = 2d · sin(Φ)

Diese Gleichung wird in unsere bisherige Bestimmungsgleichung fur h (Gleichung 10) eingesetzt und es folgt:

h =UB · e · 2d · sin(Φmin)

c(11)

Abbildung 5: Schematische Darstellung Braggreflexion [6]

Unsere experimentelle Aufgabe fur die Bestimmung des Planckschen Wirkungsquantums ist also den minimalenBragg-Reflexions-Winkel fur entsprechende Beschleunigungsspannungen zu bestimmen, welcher der minimalenWellenlange und damit der hochsten Photonenenergie entspricht.

9

3 Die experimentelle Umsetzung der theoretisch gefundenen Moglichkeitender h Bestimmung

3.1 Methode des Photoeffekts zur Bestimmung von h

3.1.1 Aufbau

Abbildung 6: Versuchsaufbau

Quelle: Lehrmittelfirma LEYBOLD

3.1.2 Durchfuhrung

Zuerst wird die Quecksilberhochdrucklampe angeschaltet. Nachdem diese aufgewarmt ist, wird der justierbareSpiegel so gedreht, dass eine durch das Prisma erzeugte Spektrallinie direkt auf die Photozelle trifft. Jetzt wird dieGegenspannung langsam erhoht, wobei man sich den gemessenen Photostrom und die eingestellte Gegenspannungnotiert. Die Spannung wird solange erhoht bis der Photostrom minimal ist. Dieser wird mit einem empfindlichenAmperemeter gemessen, um eine moglichst hohe Genauigkeit zu erreichen.Diesen Vorgang fuhrt man nun fur jede gut sichtbare Spektrallinie des Quecksilbers durch.

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3.1.3 Auswertung

In unserem Versuchsaufbau waren funf verschiedene Spektrallinien des Quecksilbers gut zu erkennen. Zu jedemdieser Wellenlangen haben wir die angelegte Gegenspannung gemessen, bei der der Photostrom minimal wurde.Anschließend haben wir

√I uber U in einem Diagramm dargestellt. Der empirsch gefundene Zusammenhang√

I(U) lasst sich auf die gewolbte Form der Kathode zuruckfuhren und dient dem Zweck den Graphen zu linea-risieren. Aus den Diagrammen konnen wir nun die Gegenspannungen U0 der einzelnen Frequenzen bestimmen.Die Werte fur die Frequenzen der Spektrallinien sind aus [7, S. 365] entnommen.Nun konnen wir die Bremsspannungen uber ihre Frequenzen auftragen und aus der Steigung des Graphen dasPlancksche Wirkungsquantum bestimmen mit Hilfe von Gleichung 1. Wir erhalten folgenden Graphen:

Abbildung 7: Auftragung der Gegenspannung uber der Frequenz

Die Steigung he unseres Graphen betragt−4, 580·10−15 Js

C Diesen Wert mussen wir nun noch mit der Elementarladunge multiplizieren und erhalten somit einen Wert fur das Plancksche Wirkungsquantum. Es ergibt sich fur unsergemessenes Wirkungsquantum:

h = −4, 580 · 10−15 JsC· (−1, 602) · 10−19C = 7, 34 · 10−34Js ± 1, 1 · 10−34Js

In der Literatur wird der Wert des Planckschen Wirkungsquantums mit 6, 626 · 10−34Js [1, S. 75] angegeben. Somithaben wir mit dieser Messmethode eine Abweichung von ungefahr 11% zum Literaturwert.

3.1.4 Fehlerbetrachtung

Wahrend wir das Experiment durchgefuhrt haben, ist uns aufgefallen, dass das Experiment sehr empfindlichauf außere Lichteinflusse reagierte, da wir den Strom im Nano- oder sogar Picoamperebereich gemessen haben.Die Quecksilberlampe war relativ hell und sie war nicht perfekt lichtdicht abgeschlossen, sodass auch immer einwenig Licht mit allen Spektralbereichen in den Versuchsaufbau gelangen konnte. Dadurch wurden die Ergebnisseein wenig abgefalscht. Zwar wurde der Versuchsaufbau mit einer Platte abgedeckt, aber das Licht konnte durchkleine Schlitze oder durch Reflexion am Boden immer noch ein wenig eindringen. Des Weiteren war der Nullpunktdes Phasenstroms schwer zu erkennen. Dieses Problem ruhrt daher, dass die anderen Kabel einen kleinen Strominduziert haben, welcher unsere Messung verfalscht hat.

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3.2 Wasserstoffspektrum

3.2.1 Material

• Hand-Prismenspektrograph• computergestutztes Gitterspektrometer (GETSPEC 2048-SPU)• Gaslampen

– Hg-Ne– Hg-Cd– Ne– H

3.2.2 Versuchsaufbau und Durchfuhrung

Bei ersten Beobachtungen stellten wir fest, dass das Spektrometer noch nicht kalibriert ist. Wir nahmen alsozusatzlich zu dem des Wasserstoffs verschiedene Spektren zur Kalibration auf.Zunachst wird die Hg-Ne Lampe eingeschaltet. Nachdem dieses aufgewarmt ist, wird der Lichteinlass des Spek-trometers moglichst nah an die Lampe gebracht, um storendes Streulicht zu minimieren. Das Spektrum wird mitdem entsprechenden Programm aufgenommen und die Erkennbarkeit der Linien durch Anpassung der Integrati-onszeit sowie der Mittelungen optimiert.Dieser Vorgang wird fur die anderen Lampen wiederholt, um moglichst viele Vergleichswerte zu haben und damiteine genaue Kalibration zu erreichen.Das von uns zu untersuchende Wasserstoffspektrum wird auf die gleiche Weise aufgenommen.

3.2.3 Auswertung

Die Spektrallinien der Hg-Ne, Hg-Cd und Ne Lampen nutzen wir zur Kalibrierung. Aus der Intensitat und Lageim gemessenen Spektrum wird zunachst den Hg Linien die tatsachliche Wellenlange zugeordnet. Angefangenwird mit den Doppellinien, um anschließend die ”Zwischenraume“ zu fullen.Es folgt die Zuordnung der Cd Linien, wobei hier die nun bekannten Wertepaare genutzt wurden. Abschließendwird versucht die Ne Linien zuzuordnen. Dazu wird mit aus den erhaltenen Wertepaaren eine Regressionsge-rade ermittelt und die naherungsweise korrekte Wellenlange errechnet. Mit diesem Wissen und dem Vergleichder Intensitaten werden die kraftigsten Neon-Linien zugeordnet. Somit kommen weitere Punkte hinzu und dieKalibration wird verfeinert.Es wurde ermittelt, dass etwa ein linearer Zusammenhang zwischen der vom Spektrometer ausgegebenen Wel-lenlange λS und der realen Wellenlange λ besteht. Die Regressionsgerade ist

λ =0.7λs + 143nm

fur den ersten Messplatz und

λ =0.7λs + 144nm

fur den zweiten. Sie sind in Abbildung 8 zu erkennen.Dieser wurde nun genutzt, um aus den Messwerten der Wasserstoff-Lampe die Rydberg Konstante und daraus

wiederum das Plancksche Wirkungsquantum h zu ermitteln. Die Messwerte des Wasserstoffspektrums mit ange-passter λAchse sind in Abbildung (9) dargestellt. Nach Ablesen der Maxima lassen sich die inversen Wellenlangengegen ihre inverse quadratische Nummer m nach der Gleichung (4) linearisiert auftragen. Dies ist in Abbildung (10)zu erkennen. Die entsprechende Regressionsgerade 12 gibt uns also die Rydbergkonstante uber deren Anstiegund uber den y-Achsenabschnitt.

1mλ

= − 8, 27E + 61n

+ 2, 49E + 6 (12)

Ry,1 =8, 27 · 106m−1 (13)

Ry,2 =2, 49 · 106· 4m−1 (14)

=9.96E + 6m−1 (15)

12

Abbildung 8: Linienzuordnungen mit Kalibrierungskurve

Abbildung 9: Spektrum der Wasserstofflampe

Abbildung 10: Bestimmung der Rydberkonstante uber Linearisierung

Am zweiten Messplatz folgen auf die gleiche Weise die zwei Werte

Ry,1 =8, 49 · 106m−1

Ry,2 =2, 49 · 106· 4m−1

=9, 96E + 6m−1

Mit bekannten Naturkonstanten, welche von CODATA ([5]) entnommen wurden (siehe Tabelle 2), folgt aus Glei-chung 6 das Plancksche Wirkungsquantum. Die Ergebnisse sind in Tabelle (1) dargestellt.

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Messung Anstieg y-Achsenabschnitt1 7, 28 · 10−34 6, 84 · 10−34

2 7, 21 · 10−34 6, 84 · 10−34

Tabelle 1: Werte fur das Plancksche-Wirkungsquantum in Js

Konstante Wertme 9, 109 · 10−31 kge 1, 602 · 10−19 Cc 3, 000 · 108 m/sε0 8, 854 · 10−12 F/m

Tabelle 2: Verwendete Werte der Naturkonstanten

3.2.4 Fehlerbetrachtung

Man erkennt, dass die Werte, die durch den y-Achsenabschnitt ermittelt wurden, deutlich genauer sind als diedurch den Anstieg bestimmten. Die Abweichung vom Literaturwert [1, S. 75] betragt bei den durch den Anstiegermittelten Werten fur den Messplatz eins 10% und fur den Messplatz zwei 9%. Die anderen Werte haben eineAbweichung von lediglich 3%. Ferner lasst sich in der Kalibration an beiden Messplatzen erkennen. Der Messwertbei etwa 460 nm weicht stark von der linearen Kalibrationskurve ab. Tatsachlich stellt man fest, dass es eine andereLinie gibt, welche in der ursprunglich verwendeten Tabelle nicht auftauchte. Die Anderung hat allerdings keinemerklichen Auswirkungen auf die Kalibration, da genugend andere Messwerte vorliegen.

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3.3 Frank-Hertz-Versuch

3.3.1 Aufbau

Abbildung 11: Versuchsaufbau[4,Abb. 1674 ]

Der Versuchsaufbau des Franck - Hertz Versuches ist in Abbildung (11)schematisch dargestellt. Das Hauptgerat fur den Franck - Hertz Ver-suchs ist eine Triode (Dreielektrodenrohre), in dem sich bei diesem Ex-periment ein Quecksilbertropfen befindet. Das Gitter befindet sich sehrnah an der Anode (man spricht auch von einer Gitteranode) und istpositiv geschalten. Die dort anliegenden Beschleunigungsspannung UBist variabel und wird bei dem Experiment ca. 40V betragen. Die An-ode (Auffangerelektrode) der Triode ist negativ geschalten bei einer fes-ten Spannung von hier 1V, wodurch sich ein kleines Gegenfeld auf-baut.Ebenfalls liegt an der Kathode eine Heizspannung UH an, die dafur sorgt,dass Elektronen aus der Kathode durch den gluhelektrischen Effekt her-ausgelost werden. Die Triode an sich befindet sich in einem Heizkorperund wird auf ca. 140◦C erwarmt. Durch die Erwarmung wird der Queck-silbertropfen gasformig und die Triode ist gleichmaßig mit Quecksilbergasgefullt.

Gemessen wird beim Franck - Hertz Versuch der Auffangstrom IA der Anode(bzw. eine zum Messstrom aquivalente Signalspannung) in Abhangigkeit der Beschleunigungsspannung UB. Dieswurde fur verschiedene Justierungen am Oszillografen und dem Betriebsgerat - ELWE fur die Triode getan undder Oszillograf aufgenommen.

3.3.2 Durchfuhrung

Aufnahmen des Oszillogramms der Quecksilber-Rohre

Abbildung 12: Aufnahme einer Quecksilber Kennlinie

Fur die Berechnung des Planckschen Wirkungsquantum nach Formel (8) sind die Spannungsdifferenzen zweierAuffangstrommaxima (z.B. Abbildung (12)) gemessen worden.Der Mittelwert aller Spannungsdifferenzen betragt:

∆U = 4, 94V

3.3.3 Auswertung

Das Plancksche Wirkungsquantum h kann mit diesem gemessenen Wert nun mit der Formel (8) berechnet werden.Die Elementarladung e und die Lichtgeschwindigkeit c sind bekannte Naturkonstanten, die der Literatur[1, S. 75]fur die Berechnung entnommen wurden und der Mittelwert der Spannungsdifferenzen ∆U wurde im vorigenAbschnitt bestimmt.

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h =λ · e · ∆U

c=

253 · 10−9m · 1, 602 · 10−19C · 4, 94V2, 99 · 108m/s

⇔ h = 6, 70 · 10−34± 0, 35 · 10−34Js

Der Literaturwert fur das Plancksche Wirkungsquantum betragt h = 6, 626 · 10−34 Js [1, S. 75]. Somit ergibt sich eineAbweichung von ca. 1%.

3.3.4 Fehlerbetrachtung

Wahrend des Experimentes waren die Gerate sehr lange in Betrieb (mind. 2h), sodass sich die Ohmschen Wi-derstande der Gerate als auch das Kontaktpotential erhoht haben mussen. Dies kann eine Ursachen fur die Ab-weichunge des experimentell ermittelten Wertes vom Literaturwert [1, S. 75] sein. Weitere Ursachen konnten dieAblesegenauigkeit des Experimentators sowie das notwendige Heizen der Triode sein, sodass es zu Temperatur-und Gasdruckschwankungen wahrend des Experimentes gekommen sein konnte.

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3.4 h Bestimmung mit Hilfe der kurzwelligen Einsatzgrenze des Rontgenbremsspektrums

3.4.1 Aufbau

Der Aufbau des Arbeitsplatz, an dem das Experiment durchgefuhrt wurde, ist in Abbildung 13 zu erkennen.

Abbildung 13: Versuchsaufbau

Das Gerat links enthalt eine Rontgenrohre (1), welche die Rontgenstrahlung erzeugt, diese wird in den Messraum(2) geschickt und tritt links unten, aus einer Blende (5) direkt auf den eingesteckten Kristall (6) gerichtet, aus. Hinterdem eingesteckten Kristall, in Ausbreitung der Rontgenphotonen, ist ein Zahlrohr (7), welches an einer Gradskalaentlangfahren kann. Die Glasschiebetur die den Messraum abschließt dient dem Schutz vor den Rontgenstrahlen.Unterhalb des Messraum lasst sich die Geschwindigkeit der Messung, sowie die Beschleunigungsspannung (8)einstellen. Außerdem gibt es einen Knopf zum Zurucksetzen der Stellung des Kristalls und des Zahlrohrs nachder beendeten Messung (9).Das Impulsratenmessgerat (3) dient der korrekten Aufnahme der Intensitaten der Rontgenstrahlung bei denverschiedenen Winkeln durch das Zahlrohr.Der Computer (4) dient der Aufnahme der Messwerte, der Intensitaten bei den verschiedenen Winkeln und einerersten graphischen Darstellung, welche als Verifizierung des korrekten Messens dienen kann.Fur die Berechnung des Planckschen Wirkungsquantums wichtige Werte sind die Gitternetzlinienabstande derbeiden Kristalle: dKBr = 329pm und dLiF = 201pm. Diese Werte sind den Herstellerangaben auf den im Experimentverwendeten Kristallen entnommen.

3.4.2 Durchfuhrung

Wir haben das Experiment mit Beschleunigungsspannungen von 15kV, 20kV und 25kV durchgefuhrt. Nach demEinstellen der Beschleunigungsspannungen an der Rontgenrohre ist die Messung zu starten und der Kristall unddas Zahlrohr fahren entsprechend die Winkel von 0 bis 45 Grad ab. Die gemessenen Impulsraten werden mit Hilfedes Computers gespeichert.Danach werden alle Messungen fur den anderen Kristall wiederholt. Es standen ein Lithium-Fluorid-Kristall undein Kalium-Bromid-Kristall zur Verfugung. Insgesamt wurden also zweimal drei Messungen durchgefuhrt.

3.4.3 Auswertung

Die aus dem Experiment aufgenommenen Messwerte geben uns Aufschluss uber die Rontgenphotonenintensitat,in Form von aufgezeichneten Impulsen, fur die verschiedenen Winkel zwischen 0 und 45 Grad. Aus den Uberlegungenim Abschnitt des theoretischen Hintergrunds, wissen wir, dass fur die Bestimmung des Planckschen Wirkungs-quantums h die Bestimmung des minimalen Reflexionswinkels, bei dem noch Rontgenphotonen detektiert wurden,

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Abbildung 14: Rontgenspektrum KBr-25kV

notig ist. Mit diesem Winkel konnen wir nach der Gleichung 17 das Plancksche Wirkungsquantums bestimmen.Bei der Aufnahme der Messwerte tritt auf Grund des Messaufbaus ein Fehler auf, der es erlaubt, dass ein Großteilder Rontgenintensitat bei kleinen Winkeln unter vier Grad das Zahlrohr trifft. Da dieses Phanomen keinerlei pysi-kalische Bedeutung hat, wurde in allen folgenden Betrachtungen dieser Bereich ignoriert.

Nun mochten wir anhand unserer aufgenommenen Messwerte den minimalen Reflexionswinkel bestimmen. Al-lerdings erweist sich das als schwierig, wie in Abbildung 14 zu erkennen:

Es lasst sich keine klare Abbruchkante im Rontgenspektrum erkennen. Um nun trotzdem den minimalen Refle-xionswinkel und damit das Plancksche Wirkungsquantum bestimmen zu konnen, wird eine lineare Regressionder letzten Messwerte des klaren Abnehmens der Intensitat zu kleinen Winkeln hin vorgenommen, erkennbar inAbbildung 15.

Abbildung 15: Ausschnitt Rontgenspektrum KBr-25kV

Der Schnittpunkt der Ausgleichsgeraden mit der x-Achse auf der die Reflexionswinkel aufgetragen sind liefert dengesuchten minimalen Reflexionswinkel. Dieses Verfahren der linearen Regression wird bei allen aufgenommenenMesswerten durchgefuhrt und wir erhalten folgende minimale Reflexionswinkel in Tabelle 3.Diese experimentell bestimmten Werte fur die minimalen Reflexionswinkel setzen wir in Gleichung 17 zusammenmit allen Konstanten wie Elementarladung und Lichtgeschwindigkeit entnehmbar [1] und Versuchsparametern

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Kristall Beschleunigungspannung UB in kV Φmin in GradLiF 15 12,0LiF 20 8,7LiF 25 6,8KBr 15 7,4KBr 20 5,4KBr 25 4,4

Tabelle 3: Minimale Reflexionswinkel

wie Beschleunigungsspannung und Gitterlinienabstand ein und erhalten fur Lithium-Fluorid mit einer Beschleu-nigungsspannung von 15kV:

h =15kV · 1, 602 · 10−19C · 2 · 201pm · sin(12◦)

2, 99 · 108 ms

(16)

h = 6, 6 · 10−34Js (17)

Bei dieser Rechnung und auch bei der Angabe der minimalen Reflexionswinkel ist bereits mit einbezogen, dass aufGrund der Unsicherheit der linearen Ausgleichgerade nur die erste Stelle nach dem Komma signifikant ist. Wennwir nun den Literaturwert des Planckschen Wirkungsquantums h von 6, 626 · 10−34 Js [1, S. 75] hinzuziehen, lasstsich die prozentuale Abweichung der bestimmten Werte des Planckschen Wirkungsquantums fur jede Messungbestimmen. Diese Werte werden in der folgenden Tabelle 4 dargestellt.

Tabelle 4: experimentelle ErgebnisseKristall Beschleunigungspannung UB in kV Φmin in Grad Planksches Wirkunsquantum h in Js Abweichung in %

LiF 15 12,0 6,7 ·10−34 1,1LiF 20 8,7 6,6 ·10−34 1,2LiF 25 6,8 6,4 ·10−34 3,9KBr 15 7,4 6,8 ·10−34 2,4KBr 20 5,4 6,6 ·10−34 0,4KBr 25 4,4 6,7 ·10−34 0,9

Bestimmt man nun einen durchschnittlichen Wert des bestimmten Planckschen Wirkungsquantums erhalt manden Wert 6, 6 · 10−34 Js was einer Abweichung zum Literaturwert von 0,2% entspricht. Damit lasst sich eine sta-tistische Unsicherheit in Form eines Vertrauensintervalls angeben. Dazu wird zunachst die Standartabweichungberechnet:

σ =

√15

∑5

i=0(hi − x)2

σ =

√15

∑5

i=0(hi − 6, 6 · 10−34Js)2

σ = 0, 17 · 10−34Js

Fur die hi sind dabei die sechs bestimmten Werte fur das Planksche Wirkungsquantum h einzusetzen. Aus derStandartabweichung lasst sich mit dem Studentfaktor t, der fur unsere sechs Messungen bei 2,8 liegt, berechnen:

ε =t · σ√

6

ε =2, 8 · 0, 17 · 10−34Js

√6

= 0, 2 · 10−34Js

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Es ergibt sich fur die experimentellen Bestimmung des Planckschen Wirkungsquantums h das Ergebnis:

h = (6, 6 · 10−34± 0, 2 · 10−34)Js

Der Literaturwert des Planckschen Wirkungsquantums von 6, 626 · 10−34 Js [1, S. 75] liegt bei beiden Messwerteninnerhalb der Vertrauensintervalle um die jeweilig bestimmten Mittelwerte.

3.4.4 Fehlerbetrachtung und Beurteilung der Ergebnisse

Insgesamt wurde mit diesem Experiment sehr genau das Plancksche Wirkungsquantum h bestimmt. Der Litera-turwert liegt im Vertrauensintervall um den bestimmten Mittelwert des Planckschen Wirkungsquantums. Damitwurde im Experiment der anerkannte Literaturwert bestatigt.Die tatsachliche Ungenauigkeit des bestimmten Wertes des Planckschen Wirkungsquantums h ist bei diesem Ver-such in der grafischen Extrapolation des minimalen Reflexionswinkels enthalten. Auf Grund relativ großen Streu-ung der Messwerte und der Abhangigkeit des linearen Fits von der Wahl der Messwerte ist hier eine Ungenauigkeitzu erkennen. Die Auswahl der Messwerte konnte lediglich auf Grundlage eines physikalischen Verstandnis derSituation und des optischen Eindrucks in der grafischen Darstellung erfolgen. Diese Auswahl ist also nicht objektivund somit mit einem Fehler behaftet. Nichtsdestotrotz scheint die Auswahl und insgesamt die Auswertung derexperimentell aufgenommenen Messwerte gelungen, da auf Grund der geringen Abweichung zum Literaturwertgrobe Fehler ausgeschlossen werden konnen.

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4 Ubersicht der Ergebnisse

Zusammenfassend lasst sich sagen, dass die vier von uns im Rahmen des Atomprojektpraktikums durchgefuhrtenund in diesem Bericht vorgestellten und ausgewerteten Versuche die Aufgabenstellung des Praktikums erfullthaben.Mit den vier Versuchen: Photoeffekt, Wasserstoffspektrum, Franck-Hertz-Rohre und Rontgenspektrum, wurdejeweils ein Wert fur das Plancksche Wirkungsquantum h bestimmt. Die bestimmten Werte weichen jeweils nur umwenige Prozent vom Literaturwert von 6, 626 · 10−34 Js [1, S. 75] ab. Der Literaturwert konnte somit durch jedes dervon uns gewahlten Experimente bestatigt werden.Es fallen jedoch Unterschiede in der Genauigkeit der bestimmten Werte fur das Plancksche Wirkungsquan-tum bezuglich des Literaturwertes auf. Die Bestimmung des Planckschen Wirkungsquantums mit Hilfe desRontgenspektums einer Rontgenrohre war dabei besonders genau und lieferte an beiden Messplatzen eine Abwei-chung von weniger als einem Prozent vom Literaturwert. Die Bestimmung des Planckschen Wirkungsquantumsmit dem Franck-Hertz-Versuch lieferte eine Abweichung von rund 1% und ist somit auch sehr genau. Die expe-rimentell bestimmten Werte fur das Plancksche Wirkungsquantum mit dem Wasserstoffspektrum unterscheidensich in der Genauigkeit, die Werte aus dem Y-Achsenabschnitt weichen nur um 3% ab, wahrend die Werte aus derSteigung um 10% abweichen. Die Bestimmung des Planckschen Wirkungsquantums durch das Nutzen des Pho-toeffekts erwies sich als die ungenauste Methode mit einer Abweichung der bestimmten Werte zum Literaturwertvon rund 11%.Allgemein lasst sich aus dem Praktikum die enge fundamentale Verbindung des Planckschen Wirkungsquantumsmit dem Photonenbegriff und der Photonenenergie erkennen. Insbesondere auch mit dem Atommodell und denUbergangen der Elektronen zwischen den verschiedenen Energieniveaus. Alle durchgefuhrten Versuche basierenauf den inelastischen Wechselwirkungen zwischen Elektronen und Photonen. Sei es, dass schnelle ElektronenElektronen in Atomen anregen, welche nach der Anregung Photonen emittiern (Wasserstoffspektrum und Frank-Hertz-Rohre), oder schnelle Elektronen abgebremst werden und ihre Energie in Form eines Photons abgeben(Rontgenspektrum) oder Photonen ihre Energie an Elektronen abgeben und diese herauslosen (Photoeffekt). Imersten Fall wird fur die Bestimmung von h die bekannte Ubergangsenergie der verwendeten Gase herangezo-gen. Im zweiten und dritten Fall wird die Elektronenenergie als Referenz fur die Bestimmung des PlanckschenWirkungsquantums verwendet. Dies zeigt, dass das Plancksche Wirkungsquantum eine fundamentale Naturkon-stante ist, welche sich nur experimentell bestimmen lasst, was uns im Rahmen dieses Projektes gelungen ist.

5 Quellen

Literatur

[1] Demtroder Demtroder. Experimentalphysik 3 - Atome, Molekule und Festkorper. 5. Aufl. Berlin Heidelberg NewYork: Springer-Verlag, 2016. isbn: 978-3-662-49094-5.

[2] W. Haynes. D.Lide. CRC handbook of chemistry and physics. 96. Aufl. m: Boca Raton, 2015. isbn: 978-1-4822-6096-0.

[3] Hans Joachim Eichler, Heinz-Detlef Kronfeldt und Jurgen Sahm. Das neue Physikalische Grundpraktikum -.Berlin Heidelberg New York: Springer-Verlag, 2016. isbn: 978-3-662-49023-5.

[4] Georg - August Universitat Gottingen. Der Franck-Hertz-Versuch. Website. Online erhaltlich unter https://lp.uni-goettingen.de/get/text/1612, besucht am 20. Marz 2017. 2006 - 2014.

[5] Physical Measurement Laboratory of NIST. NIST CODATA. Website. http://physics.nist.gov/cuu/Constants/index.html, besucht am 30. Marz 2017. 2016.

[6] o.A. Atomphysik. Website.http://www.gymbase.de/index/themeng13/ph/bilder/atomphysik/braggreflexion_01.jpg, besucht am 30. Marz 2017. 2007.

[7] Walcher Wilhelm. Praktikum der Physik Teubner Studienbuecher Physik. 6. Aufl. Stuttgart:Teubner: Springer-Verlag, 2013. isbn: 978-3-519-03038-6.

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