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Das Rechnen frühzeitig fördern
Annemarie Fritz-Stratmann
Rechenschwäche/-störungDiskussion jeweiliger subjektiver
Theorien Was “fasziniert” Sie an dem Thema? Welche Erfahrungen haben Sie mit
Rechenstörungen? Anhand welcher Kriterien vermuten Sie
Rechenstörungen?
Plan für die drei Tage
Vorkenntnisse für´sRechnen lernen
Entwicklung
mathematischer Kompetenzen
2. Tag diagnostische
Konzepte
3. Tag Was fördern? Wie fördern?
Stand der ForschungStand der Forschung
Beschäftigung mit LRS - lange Forschungstradition (Ranschburg, 1916)
Forschung zum Rechnenlernen „hinkt hinterher“
VorkommenshäufigkeitVorkommenshäufigkeit
Prävalenz von Rechenschwächen (ICD): 3 - 6%
Aber:
Diskrepanz zwischen Intelligenz und Leistung im Rechnen wird zunehmend in Zweifel gezogen
Grund: LRS- mit Diskrepanzkriterium und LRS mit niedriger Intelligenz kein Unterschied in kognitiven Merkmalen und in
Sensitivität auf Fördermaßnahmen (Marx et al., 2001)
Iglu: LeistungsschwacheIglu: Leistungsschwache
STARK GEFÄHRDETE RISIKOGRUPPE Wissen entspricht etwa dem 2. Schuljahr! Mathematik: 20% der Schüler auf
Kompetenzstufe I oder II Lesen: 25 % auf Kompetenzstufe I und II
Orthographische Kompetenzen: 28.8% auf Stufe I und II
Vergleich: Iglu - PisaVergleich: Iglu - Pisa
„Was auf der Ebene der Grundschule nicht gelingt, lässt sich auf der Ebene der Sekundarstufe I nicht mehr kompensieren. Die auf der Ebene der Grundschule nicht befriedigend gelösten Probleme werden auf der Ebene der Sekundarstufe weiter verschärft" (S.300, Iglu).
Iglu: andere Länder Bis zu 80 PunkteSchlechtere Leistungen
Pisa: Ende der Sek. IFast alle Länder besser
Was können Schüler zum Schuleingang?
Studie zu Vorkenntnissen von Schulanfängern
Ziffernkenntnis 91%
Menge zu einer vorgegebenen Anzahl angeben 77%
Vorwärtszählen im Zehnerraum 80%
Rückwärtszählen 59%
Anzahl bestimmen und angeben 91%
Addition 80% (bzw. 64% mit Zählmöglichkeit, 55% ohne)
Subtraktion 92% (mit Z., 55% ohne)
Halbieren 65% Verdoppeln 33%
Anzahlen schätzen 31%
Schulanfang - keine Stunde Null
Schulanfänger verfügen bereits über beachtliche arithmetische Kenntnisse
ein Mythos?
Große Leistungsheterogenität
Vorkenntnisse von Schulanfängern
Untersuchungsbefunde:Schulanfänger verfügen über umfangreiche arithmetische Kenntnisse
Die mathematischen Kompetenzen von Schulanfängern werden in der Regel von Experten unterschätzt
Mythos!
Studien geben nur Auskunft über die Prozentsätzerichtiger Lösungen, über die Streuung der Leistungen dagegen nicht
Interpretation der Untersuchungsergebnisse nur hinsichtlich möglicher Unterforderung
Filmausschnitt Mathias
Stabilität von Rechenleistungen Stabilität von Rechenleistungen
Numerische Kompetenzen am Ende der Vorschulzeit
Vorhersage
Für Rechenleistung bis Ende vierte Klasse (Längsschnittstudie Krajewski, 2003; Stern, 1995)
Zählstrategien werden beibehalten von „schlechten“ Erst-, Dritt-, Fünft- und Siebtklässlern (Ostad, 1997)Schwache Rechner weisen Defizite in den Grundkenntnissen auf
Prädiktoren für Mathematik
•Scholastik-Studie: (Längsschnitt über 14 Jahre)
• Textaufgabe in Klasse 2
Sagt vorher
• Matheleistungen im 11. Schuljahr
Stabilität der Matheleistungen
Wann beginnt das Rechnen lernen
in der Entwicklung?
Was sind die einzelnen Komponenten?
Erste Vorstellungen von Mengen und Zahlen: intuitive MathematikErste Vorstellungen von Mengen und Zahlen: intuitive Mathematik
Säuglinge (3 Wochen) können Mengen von 2 - 3 Objekten voneinander unterscheiden
Säuglinge (6 Monate) zeigten Sinn für Additions- und Subtraktionsaufgaben (Wynn, 1992)
Zahlwortreihe
Lu - la - ba - by - lol - li- pop- ta - boo
Aufgaben
- Zählen Sie in 2er-Schritten vorwärts- welche Zahl ist größer: pop oder lol- Zählen Sie von by an um ba-Schritte weiter- Zählen Sie von lol an rückwärts
Lol Mäuse haben sich in der Burg versteckt. Auf der FluchtVor der Katze kommen noch by Mäuse hereingestürzt. Wie viele Mäuse befinden sich jetzt in der Burg?
Li Mäuse sind in der Burg versteckt. La Mäuse beschließen, sichrauszuschleichen und nachzusehen, ob die Katze noch da ist.Wie viele Mäuse bleiben in der Burg zurück?
Wie sind Sie vorgegangen?Welche Probleme hatten Sie?
Kennen Sie ähnliche Probleme bei den Kindern?
-Welche Teilfertigkeiten gehören also zum Rechnen lernen?
(Gruppenarbeit)
Kenntnis derZahlwortreihe
Verständnis mehr/wenigergrößer/kleiner
VerständnisVermehren/vermindern
Wissen, dass Zahlen in Zahl-wortreihe immer größer
werden
Wissen, dass Zahl in Zahlwortreiheauch die Menge der vorhergehenden
Zahlen umfasst
Wissen, dass Mengen zerlegbar sind
Frühindikatoren
Rechnen
SchulalterVorschulalter
Als Voraussetzungen für das Rechnen bzw. Indikatoren für Störungen kommen infrage?
SpezifischeFertigkeiten
Grundlegende (kognitive) Fähigkeiten
Grundlegende kognitive Fähigkeiten Intelligenz visuelle Wahrnehmung Auditive Wahrnehmung Arbeitsgedächtnisleistungen: Wie viel Information
kann für kurze Zeit bereitgehalten werden? Präzise Speicherung, schneller Abruf
weitere: Konzentration, Arbeitsweisen, Sprache, Motive, metakognitive, selbstregulative, emotionale
Prozesse, Begriffsbildung
Lorenz
Bedeutung der unspezifischen Voraussetzungen Argumente: unspezifische Voraussetzungen
sind begleitende Bedingungen für verschiedene Störungen
Unspezifische Bedingungen
Wirkung spezifischer Voraussetzungen Befund mathematische Leistungen (Krajewski, 2003, auch Lorenz, 2005)
p = .09
52%
Mathe4. Klasse
Intelligenz
letztes Kindergartenjahr
Mengen-Vorwissen
.69
Arbeits-speicher
.80
Zahlen-speed
.47 .49 Zahlen-Vorwissen
.59
.72
Spezifische Voraussetzungen im mathematischen Bereich
Zahlenkenntnis Mengenkenntnis
Rechnen
Erworbenes Wissen imVorschulalter
Wie verknüpfen sich die Teilleistungen?
Entwicklung des Rechnen lernens
Anders als beim Schriftspracherwerb existiert kein Entwicklungsmodell über die Stufen der Aneignung beim Rechnen und über die zugrunde liegenden Prozesse
1.EntwicklungsstufeEntwicklung der Zahlwortreihe
Erwerb der Zahlwortreihe (noch kein Zählen)Lulababylolipoptaboo
Aufsagen der Zahlwortreihe zum Auszählen von Objekten
Lu - la - ba - by - lol - li - pop - ta - boo
Rechnen ein Umgang mit MengenRechnen ein Umgang mit Mengen
Aussagen über Mengenoperationen werden vorgenommen, ohne dass Kinder die Mengen exakt benennen können (=Protoquantitative Schemata) (Resnick & Greeno (1990)
Protoquantitative SchemataProtoquantitative Schemata
... des Vergleichs Viel, wenig, mehr, größer kleiner
... des Vermehrens / Verminderns Dazukommen, wegnehmen, größer/kleiner werden
... der Teil-Ganzes-Relation Gehört zu ..., ist Teil von
Ausgangspunkt: 2 grundlegende, voneinander unabhängige Schemata
Ausgangspunkt: 2 grundlegende, voneinander unabhängige Schemata
Verbal-sequentielles Schema
Zählen 1234567
Auszählen 1-2-3-4-5-6
Räumlich-analoge oder protoquantitative Schemata:
Vergleichen viel, wenig, größer, kleiner, höher...
Vermehren - Vermindern (bei Veränderungen)
Komponenten des Rechenerwerbs
Kenntnis der Zahlwortreihe
Verständnis der Seriation
Mengenvergleiche zählend möglich Additionen und Subtraktionen
zählend
Verständnis der BegriffeVergleichen
Vermehren/vermindern
Kenntnis der Zahlwort-reiheVerständnis der Seriation
Niveau 2: Auszählen von Mengen
Item 4.5
Lukas hat 2 Bausteine. Paul gibt ihm noch zwei dazu.
Wie viele hat er jetzt?
Mentaler Zahlenstrahl - ordinaler Strahl
Mentaler Zahlenstrahl - ordinaler Strahl
Neue Struktur durch Integration von Zahlwortreihe und protoquantitavem Schema des Vergleichs: Aufbau eines mentales Zahlenstrahls (4 Jahre)
lu la ba by lol
= mentaler Zahlenstrahl(Vergleich von Positionen)
Ordinaler Zahlenstrahl erlaubt
Vorstellung der geordneten Zahlwortfolge Objekte auszählen, 1 zu 1 Zuordnung größer oder kleiner was kommt nach 7 und vor 5
Filmausschnitt D.
Erste Addition und SubtraktionErste Addition und Subtraktion
Integration von Zahlwortreihe und protoquan-titativem Schemata des Verminderns - Vermehrens
Additions- und Subtraktionsaufgaben lösbar,durch Vorwärts- und Rückwärtsgehen auf der verbalen Zahlwortreihe (Fuson 1992, Resnick, 1983).
Auszählen jeweils von 1 an
ba + lol = ? li - la = ?
Aufgabentypen für Sachaufgaben
Anna hat 5 Bausteine. Dann gab ihr Jan noch 2 Bausteine. Wie viele BausteineHat Anna nun?
Anna hat 5 Bausteine. Jan hat 3 Bausteine. Sie möchten zusammen damit spielen. Wie viele Bausteine haben sie zusammen?
Jan hat 7 Bausteine. Er gibt Anna 2 Bausteine ab. Wie viele Bausteine hat Jan dann noch?
Aufbau von Verständnis Aufbau von Verständnis
Zählfertigkeiten und protoquantitative Schemata zunächst voneinander unabhängige Wissenssysteme, die im weiteren Entwicklungsverlauf miteinander verbunden werden müssen (Resnick (1992).
Durch die Verbindung entsteht Verständnis über die Beziehungen zwischen Zahlen
KardinalzahlKardinalzahl
Elaboration der Zählkompetenz geht dem Verfügen über Mengenaspekt vorausMit der Integration von Zahlwort und Teile-Ganzes-Schema wird Kardinalzahl entdecktÜbertragung von der Zähl- zur Kardinalzahl (5 Jahre)
Last-word-rule
Übertragung von der Kardinal- zur Zählzahl Deutlich schwieriger, Übergang setzt das Verstehen voraus, das eine Menge eine bestimmte Mächtigkeit hat, die aus einzelnen Elementen besteht, aus der sie zusammengesetzt ist und in die sie wieder zerlegt werden kann.
Kardinalität - Verstehen der Mächtigkeit
lu la ba by
la enthält luba enthält la, lu.
8 – 4 = ? Antwort: „7“
Begründung:
1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 3 4 5 6 7
Abb. Zu order-irrelevance principle
Fehler durch mangelnde Kardinalität
Kardinalität führt zur Entwicklung eines metrischen Strahls
das erlaubt:
- Weiter- und Rückwärtszählen,
- Welche Zahl ist um 1 größer als 6?
- Zähle bis 4,
- Gib mir 4 Bonbons aus der Tüte
Kardinalität führt zur Entwicklung eines metrischen Strahls
das erlaubt:
- Weiter- und Rückwärtszählen,
- Welche Zahl ist um 1 größer als 6?
- Zähle bis 4,
- Gib mir 4 Bonbons aus der Tüte
Ebene 2
Ebene 1
Anwendung der Zahlwortreihe auf Objekte
Übergang von der Zähl- zur Kardinalzahl:
Prozess: Auszählen
Kardinalzahl-Prinzip (meistens mechanische Ebene; 4 getrennte Objekte)
eins zwei drei vier
vier
Zählzahl
Kardinalzahl
Ebene 3
Übergang von der Kardinal- zur Zählzahl
Prozess: Abzählen
Erstes Verständnis von Teilmenge
Menge von 4 ~ 4 beinhaltet 4 einzelne Elemente + Menge mit der Anzahleigenschaft ‚vier’ = 4
„Gib mir vier“
eins zwei drei vier
Mentaler Zahlenstrahl - metrischer Strahl
Mentaler Zahlenstrahl - metrischer Strahl
Neue Struktur durch gleiche Abstände
lu (+1) la (+1) ba (+1) by (+1) lol
= mentaler ZahlenstrahlGleichabständigkeit)
Integration Zählzahl und Kardinalzahl Zahlenstrahl hat gleiche Abstände Zahlangabe sicher als Mengen Info interpretiert Kinder zählen von einer Menge an die nächste dazu,
zählen dies vorwärts und rückwärts Aufgaben: Abzählen – gib mir aus einer Menge 4
Objekte oder auch welche Zahl ist um 1 größer als 4
Filmausschnitt D.
Zahlwortreihe als Anzahl von ZählschrittenZahlwortreihe als Anzahl von Zählschritten
4 5 6
54 6
vermindern vermehren
~ gleichmäßiger Aufbau der Zahlreihe: immer 1 mehr,
Zahlen werden zählbare Einheiten
3 ist 1,2,33 ist auch 4,5,6
Die Affen im Zoo schaukeln.Es gibt 3 Schaukeln und 5 Affen.Wie viele Schaukeln gibt es weniger als Affen?
Relationaler Begriff
3= 1,2,3 auch 4,5,6 auch 7,8,9
Verständnis relationaler ZahlbeziehungenVerständnis relationaler Zahlbeziehungen
Das Verstehen der Zahlwortreihe als Anzahl von Zählschritten ermöglicht das Verständnis relationaler Zahlbeziehungen:
„Hans hat 5 Murmeln mehr als Peter“
5 als Abschnitt auf dem Zahlenstrahl, der die Relation zwischen zwei anderen Zahlen markiert
(zwischen 2 und 7; 4 und 9) (vgl. Stern 1997)
Aufbau weiterführender Strategien: Mengen sind zerlegbar
6 Autos auf 2-3 Flächen aufteilen.
Aufbau weiterführender Strategien durch Teil-Ganzes
Aufbau weiterführender Strategien durch Teil-Ganzes
Protoquantitatives - Schema: Teile-Ganzes
10
9+1 5+3+2 8+2 2+3+2+3 7+3 1+4+2+3 6+4 4+4+1+1
Einsicht, dass Zahlen zerlegbar und aus Teilen zusammensetzbar sind
Zunahme von Verständnis über die Beziehungen zwischen Zahlen
Teil-Teil-Ganzes Konzept
Ganzes
Teil Teil
Vertiefung des Teile-Ganzes-Konzepts Vertiefung des Teile-Ganzes-Konzepts
Verständnis der triadischen Struktur Das Teile-Ganzes-Schema spezifiziert die Beziehung
zwischen "Zahlentripeln“
7
2 5
Diese Beziehung bleibt bestehen, egal ob das Problem als 5 + 2 = ?; 7 - 5 = ?; 7 - 2 = ?; 2 + ? = 7; ? + 5 = 7; gegeben wird (vgl. Resnick, 1983).
BegründungBegründung
Wissen über Zahlstrukturen und -beziehungen entsteht aus der Einsicht, dass Zahlen zerlegbar, bzw. aus Teilen zusammensetzbar sind
Beispiel: 25 x 36 = Wie gehen Sie vor? - Was ist ihre spontane
Zugriffsweise?
Fortschritt im mathematischen VerständnisFortschritt im mathematischen Verständnis
Zahlen nicht nur Zählinstrumente oder Instrumente zur Abbildung konkreter Mengen, sondern als Möglichkeit zur Modellierung von Beziehungen zwischen Zahlen
Sachaufgabe
Auf dem Spielplatz sind 6 Kinder. 4 davon sind Jungen, der Rest Mädchen.
Wie viele Mädchen spielen auf dem Spielplatz?
SachaufgabenAuf Teile-Ganzes-Schema aufbauend Vorgabe anspruchsvoller TA, die Relationen zwischen Mengen abbilden:
Michel und sein Freund Alfred spielen Murmeln. Alfred hat 2 Murmeln mehr als Michel. Zusammen haben sie 10 Murmeln. Wie viele Murmeln hat Michel?
In Evas Regal stehen 168 Bücher. Das Regal hat 3 Fächer. In jedem Fach stehen 10 Bücher mehr als im darunter liegenden. Wie viele Bücher stehen in jedem Fach?
Spezifische Voraussetzungen im mathematischen Bereich
Suche nach Nadelöhren
Rechnen
Zahlenkenntnis Mengenkenntnis
Integration von Zählzahlund Menge
Zerlegbarkeit von Mengen
Hypothesen:
Entwicklungsprobleme beginnen auf Stufe 3: Kinder verknüpfen Mengen und Zahlwortwissen nicht, zählen von 1 an
Auffällig rechenschwache Kinder haben noch in der 2. Klasse Stufe 5 nicht erreicht, also nur unzureichendes Wissen über Zerlegung von Mengen
Arbeitsauftrag
Wählen Sie ein Kind in der Klasse aus, von dem Sie annehmen, dass es SchwierigkeitenBeim Rechnen lernen hat.
Versuchen Sie so genau wie möglich zu beschreiben
-was das Kind kann-- was es noch nicht kann.
Was ist mathematische Grundbildung?
Zur mathematischen Grundbildung gehört nicht nur das Beherrschen von Rechenroutinen. Es geht auch um mathematische Kompetenzen wie:
• mathematisieren und modellieren
• Probleme erkennen und lösen
• Mathematische Darstellungen verstehen
• über den Einsatz von Mathematik reflektieren
Wissenserwerb als Konstruktionsprozeß
Wissenserwerb als Konstruktionsprozeß
Rechnen lernen nicht sukzessiver Erwerb allgemein gültigen Regelwissens;
Sondern allmähliche Zunahme von Verständnis über die Beziehungen, die zwischen Zahlen bestehen als aktives Konstruieren von Sinnzusammenhängen durch das jeweilige individuelle menschliche Subjekt (konstruktivistisch-individuelle Rahmung)
Fortschritt im mathematischen VerständnisFortschritt im mathematischen Verständnis
Zahlen nicht nur Zählinstrumente oder Instrumente zur Abbildung konkreter Mengen, sondern als Möglichkeit zur Modellierung von Beziehungen zwischen Zahlen
Inhalte - Formate - Größe des Zahlen-raums (Anforderungen von Aufgaben)
Format: a + b = cZerlegen von MengenBeziehungen zwischen Zahlen verstehen
Inhalte: AlgorithmusSachaufgaben (z.B. mit lebensweltlichem Bezug)
Aufgabenbeispiel aus VERA
Eine Tüte mit Sammelkarten kostet 2.50 Euro. In einer Tüte sind 6 Karten. Tom hat sich schon 30 Karten gekauft.Er kauft noch 8 Tüten.
A) Wie viele Tüten hat Tom insgesamt gekauft?
B) Wie viel Geld hat Tom für die Sammelkarten ausgegeben?
Aufgabenbeispiel aus PISA
Wie kannst Du einen Geldbetrag von genau 31 Cent hinlegen,Wenn Du nur 10 Cent, 5 Cent und 2 Cent Münzen zur Verfügung hast?
Schreibe alle Möglichkeiten auf.
7 Brötchen kosten 3.15 Euro. Was kosten 11 Brötchen?
Welche Anforderungen enthält die nachfolgende Aufgabe?
Auf einer kleinen Malediveninsel reicht derFrischwasservorrat für 150 Personen 21 Tage. Wie langereicht der Vorrat, wenn 450 Personen auf der Insel leben?
Auf einer Strecke von 900 km verbraucht Herr Fröhlichsneues Auto 54 l Benzin. Wieviel Benzin verbraucht es beigleichem Verbrauch auf einer Strecke von 300 km?
Welche Anforderungen enthält die nachfolgende Aufgabe?
Lukas und seine Schwester Anna sammeln Mangas. Zusammen haben sie 136 Bände. Lukas hat 12 weniger als Anna. Wie viele Mangas hat Lukas, wie viele Anna?