Zefry Darmawan, ST, MT

Teknik Industri

Universitas Brawijaya Malang

Definisi vektor

Besaran skalar

Panjang, luas, volume, massa, temperatur, dll

Besaran vektor

Laju angin 20 mil/jam arah tenggara, gaya angkat katrol

Definisi vektor ???

Besaran yang memiliki nilai dan arah satuan

Vektor Secara Geometris

Vektor disajikan dengan bentuk ruas garis berarah

atau panah

Titik pangkal vektor titik awal

Titik ujung vektor titik akhir/ tujuan

Simbol vektor

B

A

Kesamaan vektor

Dua vektor dikatakan sama/ ekuivalen, jika

Panjang dan arah vektor sama

Meski letaknya berbeda

\Vektor yang memiliki titik awal dan akhir yang berimpit mempunyai panjang nol (0) dan disebut vektor nol.

Vektor nol (0) tidak memiliki arah dan dipandang mempunyai arah sembarang

Penjumlahan vektor

Jika v dan w adalah vektor tak-nol, maka jumlah

keduanya adalah:

v +w = w + v

v

w

V+w

Pengurangan vektor

Jika v dan w sebarang vektor maka selisih v dan w

adalah:

v w = v + (-w)

v

w-w

v-w v

w

v-w

Perkalian vektor dengan skalar

Jika v adalah suatu vektor dan k adalah bilangan real

(skalar), maka perkalian kv, didefinisikan sebagai:

Vektor yang mempunyai panjang k kali panjang v dan

arahnya sama dengan arah v, jika k>0 dan

berlawanan arah dengan arah v jika k

Operasi Aritmatika pada vektor

Jika vektor v =(v1,v2) dan vektor w = (w1,w2) vektor

tersebut berada di ruang 2 dimensi dan k adalah

sebarang skalar, maka:

v + w = (v1+w1, v2+w2)

v w = (v1-w1, v2-w2)

kv = (kv1, kv2)

Dan berlaku pula untuk vektor yang berada di ruang

3 dimensi.

Vektor dengan titik awal tidak

dititik asalJika vektor diruang 2 dan 3 dimensi diposisikan dengan titik

awal berada di titik asal, maka koordinat titik akhirnya

merupakan komponen-komponen vektor tersebut.

Jika titik awal tidak berada di titik asal sistem koordinat, maka

teorema berikut akan menunjukkan bahwa komponen dapat

diperoleh dengan mengurangkan koordinat titik awal dengan

koordinat titik akhir.

P1(x1,y1)

P2(x2,y2)P1 P2

Ruang 2 dimensi

P1P2 = (x2-x1, y2-y1)

Ruang 3 dimensi

P1P2 = (x2-x1, y2-y1, z2-z1)

Bukti

P1(x1,y1)

P2(x2,y2)

P1 P2

OP2

OP1

y

x

P1P2 = OP2 OP1= (x2,y2) - (x1,y1)

= (x2-x1, y2-y1)

Aturan aritmatika vektor

Untuk sembarang vektor u, v, dan w, serta sembarang

skalar , dan berlaku hubungan berikut:

1. u+v = v+u

2. (u+v)+w = v+(u+w)

3. u+0 = 0+u = u

4. u+(-u) = 0

5. (u) = ()u

6. (u+v) = (u + v)

7. (+)u = u + u

8. 1u = u

Panjang vektor

Secara geometrik panjang suatu vektor v, juga

disebut norma v. Adalah jarak antara titik awal

vektor dengan titik akhirnya. Panjang norma v

dinotasikan dengan

Untuk ruang 2 dimensi

Untuk ruang 3 dimensi

Contoh soal

Dapatkan norma dari v = (-2,3) dan w = (2,3,6)

Vektor Satuan

Vektor dengan panjang 1 disebut vektor satuan. Vektor-vektor satuan yang berada disumbu-sumbu koordinat positif dari koordinat kartesius mempunyai notasi:

1. Diruang 2 dan 3 dimensi vektor satuan pada sumbu x dinotasikan dengan i.

2. Pada sumbu y dinotasikan j

3. Dan di sumbu z dinotasikan dengan k, sehingga terdapat hubungan

i = (1,0,0) j = (0,1,0) k = (0,0,1)

u = (u1,u2) = (u1,0) + (0,u2) = u1(1,0) + u2(0,1)

= u1 i + u2 j

v = (v1,v2,v3)

v = (v1,0,0) + (0,v2,0) + (0,0,v3) = v1(1,0,0) + v2(0,1,0) + v3(0,0,1)

= v1 i + v2 j + v3 k

Normalisasi vektor

Merupakan proses perkalian vektor tak nol dengan

resiprokal panjangnya yang menghasilkan vektor

satuan.

Contoh:

Vektor v = (3,4) dan panjang

Vektor dengan koordinat sudut

Jika adalah sudut dari sumbu x positif ke-u, maka komponen x dan y dari u berturut-turut adalah cos

dan sin :

u = (cos , sin ) = (cos ) i + (sin ) j

Jadi jika v vsembarang vektor tak nol, maka

x

y

Sin

cos