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DATA PROCESSING. Dott. Ing. VINCENZO SURACI ANNO ACCADEMICO 2012-2013 Corso di AUTOMAZIONE 1. STRUTTURA DEL NUCLEO TEMATICO: INTRODUZIONE AL DATA PROCESSING STIMA DEL VALORE MEDIO. INTRODUZIONE AL DATA PROCESSING. AUTOMAZIONE 1. SCHEDA INPUT. BANDA PASSANTE ACCORDATA - PowerPoint PPT Presentation
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DATA PROCESSINGSlide n. 1
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
DATA PROCESSING
Dott. Ing. VINCENZO SURACIANNO ACCADEMICO 2012-2013
Corso di AUTOMAZIONE 1
DATA PROCESSINGSlide n. 2
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
STRUTTURA DEL NUCLEO TEMATICO:1. INTRODUZIONE AL DATA PROCESSING2. STIMA DEL VALORE MEDIO
DATA PROCESSINGSlide n. 3
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
INTRODUZIONEAL DATA PROCESSING
DATA PROCESSING 4
SEGNALEANALOGICO
SEGNALEDIGITALE
SCHEDAINPUT
DISPOSITIVO DI ELABORAZIONE
DATAPROCESSING
OSCILLATOREA FREQUENZA
COSTANTE
CONVERTITOREANALOGICO
DIGITALE
SCHEMA COSTRUTTIVOSCHEMA COSTRUTTIVO
ACQUISIZIONE DATI
BANDA PASSANTE ACCORDATAAL PASSO DI
CAMPIONAMENTO
AUTOMAZIONE 1
DATA PROCESSING 5
SEGNALEANALOGICO
SEGNALEDIGITALE
SCHEDAINPUT
DISPOSITIVO DI ELABORAZIONE
DATAPROCESSING
OSCILLATOREA FREQUENZA
COSTANTE
FILTROPASSA BASSO
CONVERTITOREANALOGICO
DIGITALE
SCHEMA COSTRUTTIVOSCHEMA FUNZIONALE
ACQUISIZIONE DATIAUTOMAZIONE 1
DATA PROCESSING 6
tempo
tempo
tempo
tempo
SEGNALE UTILE
DISTURBO
RUMORE
VARIABILEMISURATA
CONTIENE INFORMAZIONIUTILI PER VALUTAREL’AZIONE DI CONTROLLO O L’EFFETTO DELL’AZIONE DI CONTROLLO
POTREBBE CONTENERE INFORMAZIONI UTILIZZABILI PER LA GESTIONE O PER LA DIAGNOSTICA
IN GENERE NON CONTIENEINFORMAZIONI UTILI
tempo
UTILE AL FINE DELLACARATTERIZZAZIONEDEL FUNZIONAMENTO
ANDAMENTO DEL VALORE MEDIO
AUTOMAZIONE 1
DATA PROCESSING 7
tempo
tempo
tempo
tempo
SEGNALE UTILE
DISTURBO
RUMORE
VARIABILEMISURATA
CONTIENE INFORMAZIONIUTILI PER VALUTAREL’AZIONE DI CONTROLLO O L’EFFETTO DELL’AZIONE DI CONTROLLO
POTREBBE CONTENERE INFORMAZIONI UTILIZZABILI PER LA GESTIONE O PER LA DIAGNOSTICA
IN GENERE NON CONTIENEINFORMAZIONI UTILI
tempo
UTILE AL FINE DELLACARATTERIZZAZIONEDEL FUNZIONAMENTO
ANDAMENTO DEL VALORE MEDIO
AD ESEMPIO
APPROSSIMAZIONE DOVUTA ALLA DIGITALIZZAZIONE DI UN SEGNALE ANALOGICO
VARIAZIONE DELLA PRES-SIONE O DELLA PORTATA DOVUTA ALLE OSCILLA-ZIONI DELL’OTTURATORE DI UNA SERVOVALVOLA
ANDAMENTO DELLA VARIA-BILE DI COMANDO ELABO-RATA DA UN REGOLATORE NEL CONTROLLO A LIVELLO DI CAMPO
AUTOMAZIONE 1
DATA PROCESSING 8
CAMPIONAMENTOE QUANTIZZAZIONE
STIMA DELVALORE MEDIO
SEGNALE UTILE
RUMORE E/ODISTURBO
STIMA DELLADERIVATA PRIMA
SCELTA DEL PASSO DI ACQUISIZIONESE TROPPO FITTO VIENE ESALTATOIL RUMORE DI DIGITALIZZAZIONE
PASSO DI ACQUISIZIONE
SE TROPPO RADO VENGONO PERSE LE INFOMAZIONI CONTENUTE NEL SEGNALE UTILE
ELABORAZIONION-LINE
SEGNALE ANALOGICO
DATIACQUISITI
AUTOMAZIONE 1
STIMA DELLADERIVATA SECONDA
DATA PROCESSINGSlide n. 9
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
CALCOLO DEL VALORE MEDIOMETODO OFF-LINE
DATA PROCESSINGSlide n. 10
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
MEDIA ARITMETICA• Il calcolo della MEDIA ARTIMETICA di un insieme di dati è una operazione
a posteriori, ossia che può venire effettuata solo dopo che sono disponibili tutti i dati di cui si vuole calcolare il valore medio;
• L’espressione analitica risulta:
𝑋 (𝑛 )= 1𝑛∑𝑖=1𝑛
𝑥 𝑖 MEDIAARITMETICA
DATA PROCESSINGSlide n. 11
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
MEDIA ARITMETICA• Se per il calcolo della media aritmetica si usa un dispositivo di calcolo
numerico bisogna tenere conto della lunghezza di parola finita (8-64 bit);• Il valore della sommatoria può assumere valori troppo elevati (overflow)
per essere rappresentato con la lunghezza di parola del dispositivo di calcolo.
• Il valore del termine 1/n può assumere valori troppo piccoli (underflow) per essere compatibile con la lunghezza di parola.
𝑋 (𝑛 )= 1𝑛∑𝑖=1𝑛
𝑥 𝑖OVER-FLOW
UNDER-FLOW
ESEMPIO HALF 16-bit
Underflow = 5.96 × 10−8
Overflow = 65504
DATA PROCESSINGSlide n. 12
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
CALCOLO DEL VALORE MEDIOMETODO ON-LINE
DATA PROCESSING 13
COME CALCOLARE L’ANDAMENTO DEL VALORE MEDIO ?
la media aritmetica può essere calcolata solo per un numero limitato (n) di valori campionati.
Interessa allora effettuare una stima ricorsiva calcolando la media:
• minimizzando ad ogni passo la varianza dell’errore di stima, media adattativa
media aritmetica
tempo
ampi
ezza
• su un numero prefissato di valori digitalizzati, media mobile • aggiornandone il valore ad ogni passo, media pesata
AUTOMAZIONE 1
DATA PROCESSINGSlide n. 14
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
MEDIA MOBILE• Il metodo più semplice e intuitivo per risolvere il problema dell’overflow
e dell’underflow consiste nel limitare a k il numero degli elementi utilizzati per il calcolo del valore medio. In questo modo n può essere grande a piacere.
• L’espressione analitica della media mobile al passo j risulta:
MEDIA MOBILE𝑋 ( 𝑗 )= 1𝑘 ∑
𝑖= 𝑗
𝑗+𝑘−1
𝑥 𝑖1≤ j ≤𝑛−𝑘+1
DATA PROCESSINGSlide n. 15
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
MEDIA MOBILE• Il valore di k dati e la durata del transitorio di algoritmo dipendono dalle
caratteristiche statistiche dei dati. In particolare dipendono dalla varianza.• A regime la media mobile presenta una dispersione di ampiezza limitata
e con andamento di tipo periodico.• Tale approccio richiede una occupazione di memoria di k dati su cui
viene calcolata in forma ricorsiva la media mobile.
𝒙𝒌𝒙𝒌−𝟏 …𝒙𝟏
𝒙𝒌+𝟏𝒙𝒌…𝒙𝟐
𝒙𝒏𝒙𝒏−𝟏 … 𝒙𝒏−𝒌+𝟏
PASSO 1
PASSO 2
PASSO n-k+1
REGISTRO DI MEMORIA DI k VALORI
…………………………….
DATA PROCESSINGSlide n. 16
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
STIMA DEL VALORE MEDIOMETODO ON-LINE
RICORSIVO
DATA PROCESSINGSlide n. 17
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
MEDIA PESATA• Per risolvere il problema dell’occupazione di memoria si può stimare la
media al passo attuale j conoscendo il valore della media stimato al passo precedente (j-1).
• L’espressione analitica della media pesata al passo j risulta:
MEDIA PESATA
�̂� ( 𝑗 )=𝑋 ( 𝑗−1)+𝛼(𝑥 ( 𝑗)− �̂� ( 𝑗−1))
1≤ j ≤𝑛 �̂� (0 )=𝑋 0
DATA PROCESSINGSlide n. 18
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
MEDIA PESATA• Il valore di a va fissato sulla base della varianza dei dati di cui calcolare la
media.
• Da a dipendono sia la durata del transitorio di algoritmo sia l’inevitabile dispersione della stima del valore medio.
• Dopo che è esaurito il transitorio di algoritmo, la media pesata presenta una dispersione di ampiezza limitata con andamento di tipo periodico.
• La media pesata può essere vista come un sistema controllato con modalità di controllo a controreazione.
DATA PROCESSINGSlide n. 19
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
�̂� ( 𝑗−1 )
�̂� ( 𝑗−1 )
�̂� ( 𝑗 )𝑥 ( 𝑗 )𝑥 ( 𝑗+1 ) 𝛼
jj+1 j-1
DATA PROCESSINGSlide n. 20
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
�̂� ( 𝑗−1 )
�̂� ( 𝑗−1 )
�̂� ( 𝑗 )𝑥 ( 𝑗 )𝑥 ( 𝑗+1 ) 𝛼
DATA PROCESSINGSlide n. 21
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
MEDIA PESATA• Il sistema da controllare è caratterizzato da un comportamento dinamico
assimilabile a quello di un integratore, in cui il valore al passo attuale X(j) è ottenuto come somma del valore relativo al passo precedente X(j-1) e dell’incremento al passo attuale, ossia (x(j)-X(j-1)), moltiplicato per il guadagno a.
DATA PROCESSINGSlide n. 22
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
MEDIA PESATA• Per assicurare la stabilità della procedura e per ridurre sia la durata del
transitorio di algoritmo sia l’oscillazione residua, l’unica possibilità è quella di agire sul valore da assegnare al guadagno a.
DATA PROCESSINGSlide n. 23
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
EQUIVALENZA MEDIA PESATA – MEDIA ARITMETICA• Se si fa variare il guadagno a ad ogni passo j, ed in particolare si pone:
=
=
=
𝛼=1/ 𝑗
DATA PROCESSINGSlide n. 24
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
EQUIVALENZA MEDIA PESATA – MEDIA ARTMETICA• Pertanto al passo j=n avremo:
DATA PROCESSINGSlide n. 25
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
EQUIVALENZA MEDIA PESATA – MEDIA ARTMETICA• Notiamo che al passo n-1, si ha:
=
=
DATA PROCESSINGSlide n. 26
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
EQUIVALENZA MEDIA PESATA – MEDIA ARTMETICA
• Sostituendo la seconda nella prima si ha:
�̂� (𝑛 )=[𝑛−2𝑛 ] 𝑋 (𝑛−2 )+ 1𝑛 𝑥 (𝑛−1 )+ 1𝑛 𝑥 (𝑛 )
DATA PROCESSINGSlide n. 27
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
EQUIVALENZA MEDIA PESATA – MEDIA ARTMETICA• Effettuando h sostituzioni si ottiene:
• Effettuando h = n-1 sostituzioni, si ottiene la media aritmetica:
�̂� (𝑛 )=[𝑛−h−1𝑛 ] 𝑋 (𝑛−h−1 )+ 1𝑛∑𝑖=1h+1
𝑥 (𝑛−𝑖+1 )
�̂� (𝑛 )= 0𝑛 𝑋 (0 )+ 1𝑛∑𝑖=1𝑛
𝑥 (𝑛−𝑖+1 )=1𝑛∑𝑖=1𝑛
𝑥 (𝑖 )=𝑋 (𝑛)
DATA PROCESSINGSlide n. 28
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
MEDIA PESATA• Se
all’aumentare di j il valore di 1/j raggiungere valori che non possono essere rappresentati nel dispositivo di calcolo a causa della limitata lunghezza di parola (underflow).
• Occorre allora imporre un minimo al valore che può essere raggiunto dal guadagno a.
• Se tale valore viene fissato fin dal primo passo della procedura ricorsiva, l’andamento della media pesata presenta, oltre al transitorio di algoritmo, anche una oscillazione di tipo periodico.
𝛼=1/ 𝑗
DATA PROCESSINGSlide n. 29
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
STIMA DEL VALORE MEDIOMETODO ON-LINE
RICORSIVOMINIMIZZAZIONE ERRORE STIMA
DATA PROCESSINGSlide n. 30
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
MEDIA ADATTATIVA• Per ridurre gli effetti del transitorio di algoritmo si applica una
procedura di stima ricorsiva del valore medio basata sulla minimizzazione ad ogni passo dell’errore di stima, chiamata media adattativa..
• L’espressione analitica della media adattativa al passo n risulta:
𝑄𝑛=𝑄𝑛− 1+𝛼 (𝑥𝑛2−𝑄𝑛− 1 )
𝐾 (𝑛)=𝑃𝑛−1
𝑄𝑛+𝑃𝑛−1
𝑋𝑛=𝑋𝑛−1+𝐾 (𝑛) (𝑥𝑛−𝑋𝑛−1 )𝑃𝑛=𝐾 (𝑛 )𝑄𝑛
DATA PROCESSINGSlide n. 31
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
MEDIA ADATTATIVA• Il valore della media calcolato ad ogni passo n è influenzato da un errore di
misura e da un errore di stima:
• Conviene allora ricavare ad ogni passo quel valore che rende minima la varianza dell’errore di stima.
• Ciò è ottenuto applicando al calcolo ricorsivo della stima del valore medio la metodologia su cui si basa il filtro di Kalman.
𝑥𝑛=𝑋∗+𝜀𝑛�̂� (𝑛 )=𝑋∗+𝜃𝑛
VALORE MISURATO AL PASSO n
STIMA DELLA MEDIA AL PASSO n
MEDIA ESATTA (INCOGNITA)
ERRORE DI MISURA AL PASSO n
ERRORE DI STIMA AL PASSO n
DATA PROCESSINGSlide n. 32
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
MEDIA ADATTATIVA - ASSUNZIONI• L’errore di misura e l’errore di stima sono variabili aleatorie assimilabili a
rumore bianco a media nulla, ovvero:• non presentano periodicità; • non introducono un errore costante (bias).
• L’errore di misura e l’errore di stima non sono correlati, pertanto il valore atteso del loro prodotto ha valore nullo.
𝜀𝑛𝜃𝑛
ERRORE DI MISURA AL PASSO n
ERRORE DI STIMA AL PASSO n
DATA PROCESSINGSlide n. 33
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
MEDIA PESATA ADATTATIVA• Riprendendo la relazione della media pesata, con peso adattativo,
otteniamo:
• Sostituendo nella formula l’errore di stima e di misura, si ottiene:
• Semplificando, si ottiene:
�̂� (𝑛)=𝑋 (𝑛−1)+𝐾 (𝑛)(𝑥 (𝑛)− �̂� (𝑛−1))
𝑋∗+𝜃𝑛=𝑋∗+𝜃𝑛−1+𝐾 (𝑛 ) ( (𝑋∗+𝜀𝑛 )− ( 𝑋∗+𝜃𝑛− 1) )
𝜃𝑛=𝜃𝑛−1+𝐾 (𝑛 ) (𝜀𝑛−𝜃𝑛− 1 )
DATA PROCESSINGSlide n. 34
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
MEDIA PESATA ADATTATIVA• Ricordando che errore di misura e di stima sono variabili aleatorie a valor
medio nullo, la loro varianza è il valore atteso del loro quadrato.
• Il quadrato dell’errore di stima è
DATA PROCESSINGSlide n. 35
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
MEDIA PESATA ADATTATIVA• Ricordando che errore di misura e di stima sono variabili aleatore
indipendenti, il valore atteso del prodotto è nullo.
• La varianza dell’errore di stima è:
• Posti: si ottiene:
𝐸 [𝜃𝑛2 ]=𝐸 [𝜃𝑛−12 ]+𝐾 (𝑛)2𝐸 [𝜀𝑛2 ]+𝐾 (𝑛)2𝐸 [𝜃𝑛− 12 ]−2𝐾 (𝑛)2𝐸 [𝜀𝑛𝜃𝑛−1 ]+2𝐾 (𝑛 )𝐸 [𝜀𝑛𝜃𝑛−1 ]−2𝐾 (𝑛)𝐸 [𝜃𝑛− 12 ]𝐸 [𝜃𝑛2 ]=𝑃𝑛𝐸 [𝜀𝑛2 ]=𝑄𝑛
𝑃𝑛=𝑃𝑛−1+𝐾 (𝑛 )2𝑄𝑛+𝐾 (𝑛 )2𝑃𝑛− 1−2𝐾 (𝑛)𝑃𝑛− 1
DATA PROCESSINGSlide n. 36
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
MEDIA PESATA ADATTATIVA• Per minimizzare la varianza dell’errore di stima rispetto a K(n) si dovrà
porre:
• Ovvero:
𝜕𝑃𝑛
𝜕𝐾 (𝑛)=0
𝐾 (𝑛 )=𝑃𝑛− 1
𝑄𝑛+𝑃𝑛−1
DATA PROCESSINGSlide n. 37
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
MEDIA PESATA ADATTATIVA• Sostituendo
• Nella equazione:
• Si ottiene:
𝐾 (𝑛 )=𝑃𝑛− 1
𝑄𝑛+𝑃𝑛−1
𝑃𝑛=𝑃𝑛−1+𝐾 (𝑛 )2𝑄𝑛+𝐾 (𝑛 )2𝑃𝑛− 1−2𝐾 (𝑛)𝑃𝑛− 1
𝑃𝑛=𝑃𝑛−1+𝐾 (𝑛 )𝑃𝑛− 1
𝑄𝑛+𝑃𝑛−1(𝑄𝑛+𝑃𝑛− 1 )−2𝐾 (𝑛) 𝑃𝑛−1
DATA PROCESSINGSlide n. 38
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
MEDIA PESATA ADATTATIVA• Continuando:
• Sostituendo nuovamente si ottiene:
𝑃𝑛=𝑃𝑛−1+𝐾 (𝑛 )𝑃𝑛− 1−2𝐾 (𝑛) 𝑃𝑛−1
𝑃𝑛=𝑃𝑛−1−𝐾 (𝑛 )𝑃𝑛− 1=𝑃𝑛−1 (1−𝐾 (𝑛 ) )
𝑃𝑛=𝑃𝑛−1(1− 𝑃𝑛− 1
𝑄𝑛+𝑃𝑛−1)=𝑃𝑛−1(𝑄𝑛+𝑃𝑛−1−𝑃𝑛− 1
𝑄𝑛+𝑃𝑛− 1)
𝑃𝑛=𝑄𝑛 ( 𝑃𝑛−1
𝑄𝑛+𝑃𝑛− 1)=𝐾 (𝑛)𝑄𝑛 𝑃𝑛=𝐾 (𝑛)𝑄𝑛
DATA PROCESSINGSlide n. 39
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
MEDIA PESATA ADATTATIVA• Per determinare la varianza dell’errore di misura viene applicata la
relazione ricorsiva che fornisce la stima del suo valore medio.
𝑄𝑛=𝑄𝑛−1+𝛼 (𝑥𝑛2−𝑄𝑛−1 ) 0.1<𝛼<0.001
DATA PROCESSINGSlide n. 40
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
STIMA DEL VALORE MEDIOESEMPIO COMPARATIVO
DATA PROCESSINGSlide n. 41
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
ESEMPIO COMPARATIVO• Consideriamo un segnale utile COSTANTE (0.5), a cui si aggiunge un
rumore bianco con escursione ±0.5. Il segnale complessivo è rappresentato in figura in blu. In rosso compare la media aritmetica.
DATA PROCESSINGSlide n. 42
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
FINESTRA CON 200 DATI
.6
.3
.4
.5
FINESTRA CON 50 DATI
.7
FINESTRA CON 100 DATI
.6
.3
.4
.5
.7
.6
.3
.4
.5
.7
MEDIA MOBILE
TRANSITORIO DI ALGORITMO
OSCILLAZIONI PERIODICHE
A REGIME
NECESSITÀ FILTROPASSA BASSO
MEDIA ARITMETICA MEDIA MOBILE
MEDIA ARITMETICA MEDIA MOBILE
MEDIA ARITMETICA MEDIA MOBILE
DATA PROCESSINGSlide n. 43
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
.3
.4
.5
.6
.7
.3
.4
.5
.6
.7
.3
.4
.5
.6
.7
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
K= .05
K= .025
K= .01
MEDIA ARITMETICA MEDIA PESATA
MEDIA ARITMETICA MEDIA PESATA
MEDIA ARITMETICA MEDIA PESATA
a=.050
a=.025
a=.010
MEDIA PESATA
TRANSITORIO DI ALGORITMO
OSCILLAZIONI PERIODICHE
A REGIME
NECESSITÀ FILTROPASSA BASSO
DATA PROCESSINGSlide n. 44
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
.3
.4
.5
.6
.7
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000
0.5
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000
.05
.10
VARIANZA DELL’ERRORE DI STIMA
GUADAGNO
MEDIA ARITMETICA MEDIA ADATTATIVA MEDIA ADATTATIVA
PERICOLO DIUNDEFLOW
DATA PROCESSINGSlide n. 45
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
MEDIA ARITMETICA MEDIA ADATTATIVA
MEDIA ADATTATIVACON GUADAGNO LIMITATO INFERIORMENTE
.3
.4
.5
.6
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000
.7
K > .001
DATA PROCESSINGSlide n. 46
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
ESTRAZIONE DEL SEGNALE UTILEAUTOCORRELAZIONE
DATA PROCESSINGSlide n. 47
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
SEGNALE UTILE, DISTURBO E RUMORE
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0.5
1ANDAMENTO DEL SEGNALE UTILE
t (sec)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.5
0
0.5ANDAMENTO DEL DISTURBO
t (sec)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.5
0
0.5ANDAMENTO DEL RUMORE
t (sec)
DATA PROCESSINGSlide n. 48
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
SEGNALE MISURATO
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
ANDAMENTO DEI DATI DI PROVA
t (sec)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0.5
1ANDAMENTO DEL SEGNALE UTILE
t (sec)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.5
0
0.5ANDAMENTO DEL DISTURBO
t (sec)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.5
0
0.5ANDAMENTO DEL RUMORE
t (sec)
DATA PROCESSINGSlide n. 49
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.5
1
1.5ANDAMENTO DEI DATI DI PROVA E DEL LORO VALORE MEDIO
t (sec)
0 5 10 15 20 25 300
0.1
0.2
ARMONICHE DEI DATDI PROVA
ordine della armonica
CONTENUTO ARMONICO DELSEGNALE MISURATO
NON SI CAPISCE QUALE SIALA BANDA DEL SEGNALE !!!
DATA PROCESSINGSlide n. 50
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-0.1
0
0.1
0.2ANDAMENTO DELLA AUTOCORRELAZIONE
t (sec)
0 5 10 15 20 25 30
0
0.02
0.04
0.06ARMONICHE DELLA AUTOCORRELAZIONE
ordine della armonica
CONTENUTO ARMONICODEL SEGNALE UTILE !!!
𝜔=2𝜋 𝑛/𝑇ARMONICA DI ORDINE n
𝑇 TEMPO DIOSSERVAZIONEDEI DATI
SPETTRO DI DENSITÀ DI ENERGIA
CONTENUTO ARMONICO DELLA
AUTOCORRELAZIONEDEL SEGNALE
MISURATO
DATA PROCESSINGSlide n. 51
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0.5
1
RICOSTRUZIONE CON 3 ARMONICHE
t (sec)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0.5
1
RICOSTRUZIONE CON 10 ARMONICHE
t (sec)
VERIFICADEL
CONTENUTO ARMONICO DELLA
AUTOCORRELAZIONEDEL SEGNALE
MISURATO
3 ARMONICHE
10 ARMONICHE
DATA PROCESSINGSlide n. 52
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
ESTRAZIONE DEL SEGNALE UTILEFILTRI PASSA-BASSO
DATA PROCESSINGSlide n. 53
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
FILTRO PASSA BASSO IDEALE• Un filtro passa-basso ideale dovrebbe:
1. LASCIARE INALTERATE LE FREQUENZE (IN MODULO E FASE) ENTRO LA BANDA DEL SEGNALE UTILE (BANDA PASSANTE DEL FILTRO)
2. ATTENUARE MASSIMAMENTE LE FREQUENZE OLTRE LA BANDA DEL SEGNALE UTILE (BANDA PASSANTE DEL FILTRO)
DATA PROCESSINGSlide n. 54
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
FILTRO PASSA-BASSO IDEALE
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
Mag
nitu
de (d
B)
10-3
10-2
10-1
100
101
102
103
-90
-45
0
45
90
Pha
se (d
eg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
BANDA SEGNALE UTILE
FILTRO PASSA BASSO IDEALE
DATA PROCESSINGSlide n. 55
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
INTRODUCERITARDO DI FASE
IN BANDA
FILTRI DI BUTTERWORTH• Esistono vari filtri in grado di fornire ottime prestazioni come filtri passa-
basso. Ad es. il FILTRO DI BUTTERWORTH
DATA PROCESSINGSlide n. 56
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
FILTRI DI BESSEL• Per capire come funzionano i filtri di Bessel, chiediamoci che forma
dovrebbe avere la funzione di trasferimento del filtro passa basso ideale.
• Il filtro deve avere un guadagno k e una distorsione di fase il più possibile «piatta» al variare delle frequenze nella banda passante.
• Passando nel dominio di Laplace
𝑢 (𝑡 ) FILTRO DIBESSEL
𝑣 (𝑡 ) 𝑣 (𝑡 )=𝑘𝑢 (𝑡− 𝛿)
𝐻 (𝑠 )=𝑉 (𝑠)𝑈 (𝑠 )
=𝑘𝑒− 𝑠 𝛿
DATA PROCESSINGSlide n. 57
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
FILTRI DI BESSEL• Ricordando le espressioni del seno iperbolico e del coseno iperbolico:
• Esplicitiamo l’esponenziale presente nella funzione di trasferimento:
𝐻 (𝑠 )=𝑘𝑒− 𝑠𝛿= 𝑘h𝑠𝑖𝑛 (𝑠 𝛿 )+ h𝑐𝑜𝑠 (𝑠 𝛿 )
h𝑠𝑖𝑛 (𝑠 )=𝑒𝑠−𝑒− 𝑠2
𝑐𝑜𝑠h (𝑠)=𝑒𝑠+𝑒− 𝑠2
DATA PROCESSINGSlide n. 58
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
FILTRI DI BESSEL• Lo sviluppo in serie di Taylor del seno e del coseno iperbolico sono:
• Blocchiamo ad n lo sviluppo in serie.
h𝑠𝑖𝑛 (𝑠 )=𝑠+ 𝑠3
3 !+𝑠55 !
+…+𝑠2h+1
(2h+1 ) !+…
𝑐𝑜𝑠h (𝑠)=1+ 𝑠2
2 !+𝑠44 !
+…+𝑠2h
(2h )!+…
h𝑠𝑖𝑛 (𝑠)≅∑h=0
𝑛 𝑠2h+ 1(2h+1 )!
𝑐𝑜𝑠h (𝑠)≅∑h=0
𝑛 𝑠2h(2h )!
DATA PROCESSINGSlide n. 59
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
FILTRI DI BESSEL• Sostituendo nella funzione di trasferimento:
• Si può dimostrare che:
𝐻 (𝑠 )≅𝐻𝑛 (𝑠 )= 𝑘
∑h=0
𝑛 (𝑠𝛿 )2h+1
(2h+1 ) !+∑h=0
𝑛 (𝑠𝛿 )2h
(2h )!
𝐻𝑛 (𝑠 )=𝐵0 (𝑠 )𝐵𝑛 (𝑠 ) dove
DATA PROCESSINGSlide n. 60
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
FILTRI DI BESSEL• Passando nel dominio della frequenza:
• Questa funzione di trasferimento ha un guadagno costante e una fase che varia linearmente con la pulsazione:
• La velocità di fase è costante e può essere scelta piccola a piacere, per avere una variazione di fase minima all’interno della banda passante:
𝜑 ( 𝑗𝜔 )=𝜔𝛿
𝑑𝜑 ( 𝑗 𝜔 )𝑑𝜔 =𝛿
𝐻 ( 𝑗𝜔 )=𝑘𝑒− 𝑗 𝜔𝛿
DATA PROCESSINGSlide n. 61
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
FILTRI DI BESSELI filtri di Bessel hanno un buon comportamento passa-basso.
I filtri di Bessel hanno la massima linearità nella risposta in fase (nella banda passante).