Datenstrukturen, Algorithmen und Programmierung 2 (DAP2)

LS 2 / Informatik

Datenstrukturen, Algorithmen und Programmierung 2 (DAP2)

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2

Organisatorisches

Heimübungsblatt 4 Aufgabe 1 wurde ausgetauscht Falls Sie die alte 1 bereits gemacht haben, geben Sie sie mit ab

Praktikum Ab dem nächsten Blatt (Blatt 9) fließt nur noch eine Aufgabe der

Präsenzübung in die Wertung ein Weitere Aufgaben sind optional

LS 2 / Informatik

3

Stand der Dinge

Gierige Algorithmen Konstruiere Lösung Schritt für Schritt In jedem Schritt: Optimiere ein einfaches, lokales Kriterium

Beobachtung Man kann viele unterschiedliche gierige Algorithmen für ein Problem

entwickeln Nicht jeder dieser Algorithmen löst das Problem korrekt

LS 2 / Informatik

4

Gierige Algorithmen

Scheduling mit Deadlines• Resource (Hörsaal, Parallelrechner, Elektronenmikroskop,..)

• Anfragen: Aufgabe, die Zeit t benötigt und bis Zeitpunkt d bearbeitet sein soll

Deadline 6

Länge 1

Länge 2

Länge 3

Deadline 2

Deadline 41

2

3

Aufgabe 1

Aufgabe 2

Aufgabe 3

LS 2 / Informatik

5

Gierige Algorithmen



Deadline 6

Länge 1

Länge 2

Länge 3

Deadline 2

Deadline 41

2

3

Aufgabe 1

Aufgabe 2

Aufgabe 3

O.b.d.A. Resource steht ab Zeitpunkt 0 zur Verfügung

O.b.d.A. Resource steht ab Zeitpunkt 0 zur Verfügung

LS 2 / Informatik

6

Gierige Algorithmen



Deadline 6

Länge 1

Länge 2

Länge 3

Deadline 2

Deadline 41

2

3

Aufgabe 1

Aufgabe 2

Aufgabe 3

Aufgabe 1: Fertig zu Zeitpunkt 1


1

LS 2 / Informatik

7

Gierige Algorithmen



Deadline 6

Länge 1

Länge 2

Länge 3

Deadline 2

Deadline 41

2

3

Aufgabe 1

Aufgabe 2

Aufgabe 3





1 2

LS 2 / Informatik

8

Gierige Algorithmen



Deadline 6

Länge 1

Länge 2

Länge 3

Deadline 2

Deadline 41

2

3

Aufgabe 1

Aufgabe 2

Aufgabe 3





1 2



3

LS 2 / Informatik

9

Gierige Algorithmen



Deadline 6

Länge 1

Länge 2

Länge 3

Deadline 2

Deadline 41

2

3

Aufgabe 1

Aufgabe 2

Aufgabe 3





1 2



3

Alle Aufgaben sind rechtzeitig fertig!Alle Aufgaben sind rechtzeitig fertig!

LS 2 / Informatik

10

Gierige Algorithmen



Deadline 6

Länge 1

Länge 2

Länge 3

Deadline 4

Deadline 4

2

3

Aufgabe 1

Aufgabe 2

Aufgabe 3

1

LS 2 / Informatik

11

Gierige Algorithmen



Deadline 6

Länge 1

Länge 2

Länge 3

Deadline 4

Deadline 4

2

3

Aufgabe 1

Aufgabe 2

Aufgabe 3

1

1

LS 2 / Informatik

12

Stand der Dinge



Deadline 6

Länge 1

Länge 2

Länge 3

Deadline 4

Deadline 4

2

3

Aufgabe 1

Aufgabe 2

Aufgabe 3

1

1 2

LS 2 / Informatik

13

Stand der Dinge



Deadline 6

Länge 1

Länge 2

Länge 3

Deadline 4

Deadline 4

2

3

Aufgabe 1

Aufgabe 2

Aufgabe 3

1

1 2

Aufgabe 2 wird zu spät

beendet


beendet

LS 2 / Informatik

14

Gierige Algorithmen



Deadline 6

Länge 1

Länge 2

Länge 3

Deadline 4

Deadline 4

2

3

Aufgabe 1

Aufgabe 2

Aufgabe 3

1

2

LS 2 / Informatik

15

Gierige Algorithmen



Deadline 6

Länge 1

Länge 2

Länge 3

Deadline 4

Deadline 4

2

3

Aufgabe 1

Aufgabe 2

Aufgabe 3

1

2 1


beendet


beendet

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16

Gierige Algorithmen



Deadline 6

Länge 1

Länge 2

Länge 3

Deadline 4

Deadline 4

2

3

Aufgabe 1

Aufgabe 2

Aufgabe 3

1

Wir können nicht alle Aufgaben bearbeiten und gleichzeitig die

Deadlines einhalten!



LS 2 / Informatik

17

Gierige Algorithmen



Deadline 6

Länge 1

Länge 2

Länge 3

Deadline 4

Deadline 4

2

3

Aufgabe 1

Aufgabe 2

Aufgabe 3

1





1

LS 2 / Informatik

18

Gierige Algorithmen



Deadline 6

Länge 1

Länge 2

Länge 3

Deadline 4

Deadline 4

2

3

Aufgabe 1

Aufgabe 2

Aufgabe 3

1





1 2

LS 2 / Informatik

19

Gierige Algorithmen



Deadline 6

Länge 1

Länge 2

Länge 3

Deadline 4

Deadline 4

2

3

Aufgabe 1

Aufgabe 2

Aufgabe 3

1





1 2

Aufgabe 2:Verspätung 1

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20

Gierige Algorithmen



Deadline 6

Länge 1

Länge 2

Länge 3

Deadline 4

Deadline 4

2

3

Aufgabe 1

Aufgabe 2

Aufgabe 3

1





1 2


3

LS 2 / Informatik

21

Gierige Algorithmen



Deadline 6

Länge 1

Länge 2

Länge 3

Deadline 4

Deadline 4

2

3

Aufgabe 1

Aufgabe 2

Aufgabe 3

1





1 2


3


LS 2 / Informatik

22

Gierige Algorithmen



Deadline 6

Länge 1

Länge 2

Länge 3

Deadline 4

Deadline 4

2

3

Aufgabe 1

Aufgabe 2

Aufgabe 3

1

1 2


3


Ziel:Minimiere maximale Verspätung

Ziel:Minimiere maximale Verspätung

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23

Gierige Algorithmen

Strategie 1 Bearbeite die Jobs nach ansteigender Länge

2

6

1

5

3

4

Deadline 9

Deadline 4

Deadline 6

Deadline 6

Deadline 3Deadline 9

LS 2 / Informatik

24

Gierige Algorithmen


2

6

1

5

3

4

Deadline 9

Deadline 4

Deadline 6

Deadline 6


Keine Verspätung

Keine Verspätung

1

LS 2 / Informatik

25

Gierige Algorithmen


2

6

1

5

3

4

Deadline 9

Deadline 4

Deadline 6

Deadline 6


Keine Verspätung

Keine Verspätung

1 5

LS 2 / Informatik

26

Gierige Algorithmen


2

6

1

5

3

4

Deadline 9

Deadline 4

Deadline 6

Deadline 6


Keine Verspätung

Keine Verspätung

1 5 3

LS 2 / Informatik

27

Gierige Algorithmen


2

6

1

5

3

4

Deadline 9

Deadline 4

Deadline 6

Deadline 6


Keine Verspätung

Keine Verspätung

1 5 3 4

LS 2 / Informatik

28

Gierige Algorithmen


2

6

1

5

3

4

Deadline 9

Deadline 4

Deadline 6

Deadline 6


1 5 3 4 2

Verspätung 5

LS 2 / Informatik

29

Gierige Algorithmen


2

6

1

5

3

4

Deadline 9

Deadline 4

Deadline 6

Deadline 6


1 5 3 4 2 6

Verspätung 3

LS 2 / Informatik

30

Gierige Algorithmen


2

6

1

5

3

4

Deadline 9

Deadline 4

Deadline 6

Deadline 6


1 5 3 4 2 6

Maximale Verspätung durch Aufgabe 2 (5 Zeiteinheiten)


LS 2 / Informatik

31

Gierige Algorithmen

Strategie 1 Bearbeite die Jobs nach ansteigender Länge Optimalität?

2

6

1

5

3

4

Deadline 9

Deadline 4

Deadline 6

Deadline 6


1 5 3 4 2 6



LS 2 / Informatik

32

Gierige Algorithmen


2

6

1

5

3

4

Deadline 9

Deadline 4

Deadline 6

Deadline 6


5

Keine Verspätung

Keine Verspätung

LS 2 / Informatik

33

Gierige Algorithmen


2

6

1

5

3

4

Deadline 9

Deadline 4

Deadline 6

Deadline 6


5

Keine Verspätung

Keine Verspätung

2

LS 2 / Informatik

34

Gierige Algorithmen


2

6

1

5

3

4

Deadline 9

Deadline 4

Deadline 6

Deadline 6


5

Keine Verspätung

Keine Verspätung

2 3

LS 2 / Informatik

35

Gierige Algorithmen


2

6

1

5

3

4

Deadline 9

Deadline 4

Deadline 6

Deadline 6


5 2 3 4

Verspätung 2

LS 2 / Informatik

36

Gierige Algorithmen


2

6

1

5

3

4

Deadline 9

Deadline 4

Deadline 6

Deadline 6


5 2 3 4 1

Keine Verspätung

Keine Verspätung

LS 2 / Informatik

37

Gierige Algorithmen


2

6

1

5

3

4

Deadline 9

Deadline 4

Deadline 6

Deadline 6


5 2 3 4 1 6



LS 2 / Informatik

38

Gierige Algorithmen

Strategie 1 Bearbeite die Jobs nach ansteigender Länge Optimalität? Problem: Ignoriert Deadlines völlig

2

6

1

5

3

4

Deadline 9

Deadline 4

Deadline 6

Deadline 6


5 2 3 4 1 6



LS 2 / Informatik

39

Gierige Algorithmen

Strategie 2 Bearbeite zunächst die Aufgaben mit geringstem Spielraum d-t

2

6

1

5

3

Deadline 9

Deadline 4

Deadline 6

Deadline 6


4

LS 2 / Informatik

40

Gierige Algorithmen


2

6

1

5

3

Deadline 9

Deadline 4

Deadline 6

Deadline 6


4

Spielraum 8

LS 2 / Informatik

41

Gierige Algorithmen


2

6

1

5

3

Deadline 9

Deadline 4

Deadline 6

Deadline 6


4

Spielraum 4

LS 2 / Informatik

42

Gierige Algorithmen


2

6

1

5

3

Deadline 9

Deadline 4

Deadline 6

Deadline 6


4

Spielraum 1

2

LS 2 / Informatik

43

Gierige Algorithmen


2

6

1

5

3

Deadline 9

Deadline 4

Deadline 6

Deadline 6


4Spielraum 2

52

LS 2 / Informatik

44

Gierige Algorithmen


2

6

1

5

3

Deadline 9

Deadline 4

Deadline 6

Deadline 6


4

52

Spielraum 4

3

LS 2 / Informatik

45

Gierige Algorithmen


2

6

1

5

3

Deadline 9

Deadline 4

Deadline 6

Deadline 6


4

52 3

Spielraum 4

4

LS 2 / Informatik

46

Gierige Algorithmen


2

6

1

5

3

Deadline 9

Deadline 4

Deadline 6

Deadline 6


4

52 3 4

Spielraum 6

6

LS 2 / Informatik

47

Gierige Algorithmen


2

6

1

5

3

Deadline 9

Deadline 4

Deadline 6

Deadline 6


4

52 3 4 6 1

Spielraum 8

LS 2 / Informatik

48

Gierige Algorithmen


2

6

1

5

3

Deadline 9

Deadline 4

Deadline 6

Deadline 6


4

52 3 4 6 1

Verspätung 3

LS 2 / Informatik

49

Gierige Algorithmen


2

6

1

5

3

Deadline 9

Deadline 4

Deadline 6

Deadline 6


4

52 3 4 6 1

Verspätung 3

Optimal für unsere Eingabe

Optimal für unsere Eingabe

LS 2 / Informatik

50

Gierige Algorithmen

Strategie 2 Bearbeite zunächst die Aufgaben mit geringstem Spielraum d-t Optimalität?

2

1

Deadline 9

Deadline 3Spielraum 2

Spielraum 0

LS 2 / Informatik

51

Gierige Algorithmen


2

1

Deadline 9


Spielraum 02

LS 2 / Informatik

52

Gierige Algorithmen


2

1

Deadline 9


Spielraum 02 1

Verspätung 7

LS 2 / Informatik

53

Gierige Algorithmen


2

1

Deadline 9


Spielraum 01 2

Optimale Lösung hat nur Verspätung 1

Optimale Lösung hat nur Verspätung 1

Verspätung 1

LS 2 / Informatik

54

Gierige Algorithmen

Strategie 3 Bearbeite zunächst die Aufgabe mit der frühesten Deadline

2

6

1

5

3

Deadline 9

Deadline 4

Deadline 6

Deadline 6


4

LS 2 / Informatik

55

Gierige Algorithmen


2

6

1

5

3

Deadline 9

Deadline 4

Deadline 6

Deadline 6


4

5

LS 2 / Informatik

56

Gierige Algorithmen


2

6

1

5

3

Deadline 9

Deadline 4

Deadline 6

Deadline 6


4

5 2

LS 2 / Informatik

57

Gierige Algorithmen


2

6

1

5

3

Deadline 9

Deadline 4

Deadline 6

Deadline 6


4

5 2 3

LS 2 / Informatik

58

Gierige Algorithmen


2

6

1

5

3

Deadline 9

Deadline 4

Deadline 6

Deadline 6


4

5 2 3 4

LS 2 / Informatik

59

Gierige Algorithmen


2

6

1

5

3

Deadline 9

Deadline 4

Deadline 6

Deadline 6


4

5 2 3 4 6

LS 2 / Informatik

60

Gierige Algorithmen


2

6

1

5

3

Deadline 9

Deadline 4

Deadline 6

Deadline 6


4

5 2 3 4 6 1

Verspätung 3

LS 2 / Informatik

61

Gierige Algorithmen


2

6

1

5

3

Deadline 9

Deadline 4

Deadline 6

Deadline 6


4

5 2 3 4 6 1

Verspätung 3

Lösung optimal!Lösung optimal!

LS 2 / Informatik

62

Gierige Algorithmen

Strategie 3 Bearbeite zunächst die Aufgabe mit der frühesten Deadline Algorithmus ist optimal!

2

6

1

5

3

Deadline 9

Deadline 4

Deadline 6

Deadline 6


4

5 2 3 4 6 1

Verspätung 3

Lösung optimal!Lösung optimal!

LS 2 / Informatik

63

Gierige Algorithmen

Strategie 3 Bearbeite zunächst die Aufgabe mit der frühesten Deadline Algorithmus ist optimal!

2

6

1

5

3

Deadline 9

Deadline 4

Deadline 6

Deadline 6


4

5 2 3 4 6 1

Verspätung 3

Komisch, da Strategie unabhängig von der Länge

der Aufträge

Komisch, da Strategie unabhängig von der Länge

der Aufträge

LS 2 / Informatik

64

Gierige Algorithmen

Formale Problemformulierung Problem: Scheduling mit Deadline Eingabe: Felder t und d

t[i] enthält Länge des i-ten Intervals d[i] enthält Deadline

Ausgabe: Startzeitpunkte der Intervalle

Wichtige Annahme Eingabe sortiert nach Deadlines d[1]d[2]…d[n]

LS 2 / Informatik

65

Gierige Algorithmen

LatenessScheduling(t,d)

1. n length[t]

2. new array A[1..n]

3. z 0

4. for i 1 to n do

5. A[i] z

6. z z + t[i]

7. return A

1

3

2

t 1 4 2

d 3 4 6

LS 2 / Informatik

66

Gierige Algorithmen


1. n length[t]


3. z 0

4. for i 1 to n do

5. A[i] z

6. z z + t[i]

7. return A

1

3

2

t 1 4 2

d 3 4 6

LS 2 / Informatik

67

Gierige Algorithmen


1. n length[t]


3. z 0

4. for i 1 to n do

5. A[i] z

6. z z + t[i]

7. return A

1

3

2

t 1 4 2

d 3 4 6

LS 2 / Informatik

68

Gierige Algorithmen


1. n length[t]


3. z 0

4. for i 1 to n do

5. A[i] z

6. z z + t[i]

7. return A

1

3

2

t 1 4 2

d 3 4 6

z

LS 2 / Informatik

69


1. n length[t]


3. z 0

4. for i 1 to n do

5. A[i] z

6. z z + t[i]

7. return A

Gierige Algorithmen

1

3

2

t 1 4 2

d 3 4 6

z

i

LS 2 / Informatik

70


1. n length[t]


3. z 0

4. for i 1 to n do

5. A[i] z

6. z z + t[i]

7. return A

Gierige Algorithmen

1

3

2

t 1 4 2

d 3 4 6

z

i

1

LS 2 / Informatik

71


1. n length[t]


3. z 0

4. for i 1 to n do

5. A[i] z

6. z z + t[i]

7. return A

Gierige Algorithmen

1

3

2

t 1 4 2

d 3 4 6

z

i

1

LS 2 / Informatik

72


1. n length[t]


3. z 0

4. for i 1 to n do

5. A[i] z

6. z z + t[i]

7. return A

Gierige Algorithmen

1

3

2

t 1 4 2

d 3 4 6

z

i

1

LS 2 / Informatik

73


1. n length[t]


3. z 0

4. for i 1 to n do

5. A[i] z

6. z z + t[i]

7. return A

Gierige Algorithmen

1

3

2

t 1 4 2

d 3 4 6

z

i

1 2

LS 2 / Informatik

74


1. n length[t]


3. z 0

4. for i 1 to n do

5. A[i] z

6. z z + t[i]

7. return A

Gierige Algorithmen

1

3

2

t 1 4 2

d 3 4 6

z

i

1 2

LS 2 / Informatik

75


1. n length[t]


3. z 0

4. for i 1 to n do

5. A[i] z

6. z z + t[i]

7. return A

Gierige Algorithmen

1

3

2

t 1 4 2

d 3 4 6

z

i

1 2

LS 2 / Informatik

76


1. n length[t]


3. z 0

4. for i 1 to n do

5. A[i] z

6. z z + t[i]

7. return A

Gierige Algorithmen

1

3

2

t 1 4 2

d 3 4 6

z

i

1 2 3

LS 2 / Informatik

77


1. n length[t]


3. z 0

4. for i 1 to n do

5. A[i] z

6. z z + t[i]

7. return A

Gierige Algorithmen

1

3

2

t 1 4 2

d 3 4 6

z

i

1 2 3

LS 2 / Informatik

78


1. n length[t]


3. z 0

4. for i 1 to n do

5. A[i] z

6. z z + t[i]

7. return A

Gierige Algorithmen

1

3

2

t 1 4 2

d 3 4 6

z

i

1 2 3

LS 2 / Informatik

79

Gierige Algorithmen

Beobachtung

Es gibt eine optimale Lösung ohne Leerlaufzeit.

1 2 3

Leerlauf

LS 2 / Informatik

80

Gierige Algorithmen

Lemma 34

Alle Lösungen ohne Inversionen und Leerlaufzeit haben dieselbe maximale Verzögerung.

Definition

Lösung hat Inversion, wenn Aufgabe i

Mit Deadline d vor Aufgabe j mit

Deadline d < d bearbeitet wird.

1

3

2

1 23

Inversion

i j

j i

i

LS 2 / Informatik

81

Gierige Algorithmen

Lemma 34


Beweis

• Haben zwei Schedules weder Inversionen noch Leerlaufzeiten, so haben sie zwar nicht notwendigerweise dieselbe Ordnung, aber sie können sich nur in der Ordnung der Aufgaben mit identischer Deadline unterscheiden. Betrachten wir eine solche Deadline d.

LS 2 / Informatik

82

Gierige Algorithmen

Lemma 34


Beweis

• Haben zwei Schedules weder Inversionen noch Leerlaufzeiten, so haben sie zwar nicht notwendigerweise dieselbe Ordnung, aber sie können sich nur in der Ordnung der Aufgaben mit identischer Deadline unterscheiden. Betrachten wir eine solche Deadline d. In beiden Schedules werden alle Aufgaben mit Deadline d nacheinander ausgeführt.

LS 2 / Informatik

83

Gierige Algorithmen

Lemma 34


Beweis

• Haben zwei Schedules weder Inversionen noch Leerlaufzeiten, so haben sie zwar nicht notwendigerweise dieselbe Ordnung, aber sie können sich nur in der Ordnung der Aufgaben mit identischer Deadline unterscheiden. Betrachten wir eine solche Deadline d. In beiden Schedules werden alle Aufgaben mit Deadline d nacheinander ausgeführt. Unter den Aufgaben mit Deadline d hat die letzte die größte Verzögerung und diese hängt nicht von der Reihenfolge der Aufgaben ab.

LS 2 / Informatik

84

Gierige Algorithmen

Lemma 34


Beweis

• Haben zwei Schedules weder Inversionen noch Leerlaufzeiten, so haben sie zwar nicht notwendigerweise dieselbe Ordnung, aber sie können sich nur in der Ordnung der Aufgaben mit identischer Deadline unterscheiden. Betrachten wir eine solche Deadline d. In beiden Schedules werden alle Aufgaben mit Deadline d nacheinander ausgeführt. Unter den Aufgaben mit Deadline d hat die letzte die größte Verzögerung und diese hängt nicht von der Reihenfolge der Aufgaben ab.

LS 2 / Informatik

85

Gierige Algorithmen

Lemma 35

Es gibt eine optimale Lösung ohne Inversionen und Leerlaufzeit.

1

3

2

1 2 3

LS 2 / Informatik

86

Gierige Algorithmen

Lemma 35


1

3

2

1 2 3Ohne Inversionen

und Leerlauf: Also optimal!

Ohne Inversionen und Leerlauf: Also optimal!

LS 2 / Informatik

87

Gierige Algorithmen

Lemma 35


Beweis• Sei O ein optimales Schedule ohne Leerlauf. Wir zeigen zunächst

• (a) Wenn O eine Inversion hat, dann gibt es ein Paar Aufgaben i und j, so dass j direkt nach i auftritt und d < d ist. (D.h. eine Inversion von aufeinanderfolgenden Aufgaben)

a b

Deadline 9 Deadline 5

Deadline 9

j i

LS 2 / Informatik

88

Gierige Algorithmen

Lemma 35




a b


Deadline 9

j i

LS 2 / Informatik

89

Gierige Algorithmen

Lemma 35




a b


j i

Spätestens hier Inversion von aufeinander folgenden Aufgaben

LS 2 / Informatik

90

Gierige Algorithmen

Lemma 35




a b


j i

Spätestens hier Inversion von aufeinander folgenden Aufgaben

LS 2 / Informatik

91

Gierige Algorithmen

Lemma 35



• (b) Nach dem Austauschen von einer benachbarten Inversion i und j erhalten wir ein Schedule mit einer Inversion weniger.

• Es wird die Inversion von i und j durch das Vertauschen aufgehoben und es wird keine neue Inversion wird erzeugt.

LS 2 / Informatik

92

Gierige Algorithmen

Lemma 35



• (c) Das Tauschen von i und j erhöht nicht die maximale Verzögerung.

i j

Aufeinander folgende Inversion (i,j)

di

d j

LS 2 / Informatik

93

Gierige Algorithmen

Lemma 35




j i

di

d j

Vertausche i und j

Verzögerung von j wird

kleiner

Verzögerung von j wird

kleiner

LS 2 / Informatik

94

Gierige Algorithmen

Lemma 35




j i

di

d j

Vertausche i und j

Verzögerung von i wird größer!

Verzögerung von i wird größer!

LS 2 / Informatik

95

Gierige Algorithmen

Lemma 35




j i

di

d j

Vertausche i und j

Ist aber kleiner als Verzögerung von j vor Vertauschung!


LS 2 / Informatik

96

Gierige Algorithmen

Lemma 35




j i

di

d j

Vertausche i und j



LS 2 / Informatik

97

Gierige Algorithmen

Formaler Beweis von (c)• Notation für O: Aufgabe r wird im Invervall [s(r),f(r)] ausgeführt und hat

Verzögerung l(r). Sei L = max l(r) die maximale Verzögerung dieses Schedules.

• Notation für das Schedule O* nach Austauschen: s*(r), f*(r), l*(r) und L* mit der entsprechenden Bedeutung wie oben.

• s(r), s*(r) heißt Startzeit

• f(r), f*(r) heißt Abarbeitungszeit

r

dr

s(r) f(r)

l(r)

LS 2 / Informatik

98

Gierige Algorithmen

Formaler Beweis von (c)• Betrachten wir nun die benachbarte Inversion von i und j. Die

Abarbeitungszeit f(j) von j vor dem Austauschen ist gleich der Abarbeitungszeit f*(i) von i nach dem Austauschen. Daher haben alle anderen Aufgaben vor und nach dem Tauschen dieselbe Abarbeitungszeit.

i j


di

d j

f(j)f(i)

LS 2 / Informatik

99

Gierige Algorithmen

Formaler Beweis von (c)• Betrachten wir nun die benachbarte Inversion von i und j. Die

Abarbeitungszeit f(j) von j vor dem Austauschen ist gleich der Abarbeitungszeit f*(i) von i nach dem Austauschen. Daher haben alle anderen Aufgaben vor und nach dem Tauschen dieselbe Abarbeitungszeit.

• Für Aufgabe j ist das neue Schedule besser, d.h. f*(j)<f(j).

ij


di

d j

f(j)f(i)f*(i)f*(j)

LS 2 / Informatik

100

Gierige Algorithmen

Formaler Beweis von (c)• Betrachte nur Aufgabe i: Nach dem Tauschen ist die Verzögerung

l*(i) = f*(i)-d .

ij

di

d j

f(j)f(i)f*(i)f*(j)

i

l*(i)

LS 2 / Informatik

101

Gierige Algorithmen

Formaler Beweis von (c)• Betrachte nur Aufgabe i: Nach dem Tauschen ist die Verzögerung

l*(i) = f*(i)-d .

• Wegen d > d folgt l*(i) = f(j) - d < f(j) - d = l(j).

• Damit wird die maximale Verzögerung nicht erhöht.

ij

di

d j

f(j)f(i)f*(i)f*(j)

i

l*(i)

i j i j

LS 2 / Informatik

102

Gierige Algorithmen

Lemma 35


Beweis• (a) Wenn O eine Inversion hat, dann gibt es ein Paar Aufgaben i und j, so

dass j direkt nach i auftritt und d < d ist.

• (b) Nach dem Austauschen von einer benachbarten Inversion i und j erhalten wir ein Schedule mit einer Inversion weniger.


• Die Anzahl Inversionen ist zu Beginn höchstens ( ).Wir können (a)-(c) solange anwenden, bis keine Inversionen mehr vorhanden sind.

ij

n2

LS 2 / Informatik

103

Gierige Algorithmen

Satz 36

Die Lösung A, die von Algorithmus LatenessScheduling berechnet wird, hat optimale (d.h. minimale) maximale Verzögerung.

Beweis

Aus dem ersten Lemma folgt, dass es ein optimales Schedule ohne Inversionen gibt. Aus dem zweiten Lemma folgt, dass alle Schedules ohne Inversionen dieselbe maximale Verzögerung haben. Damit ist die Lösung des gierigen Algorithmus optimal.

LS 2 / Informatik

104

Gierige Algorithmen

Zusammenfassung Löse globales Optimierungsproblem durch lokale Optimierungsstrategie Liefert häufig recht einfache Algorithmen Funktioniert leider nicht immer und es ist manchmal nicht ganz einfach, die

‚richtige‘ Strategie zu finden

Algorithmische Entwurfsmethoden Teile & Herrsche Dynamische Programmierung Gierige Algorithmen

LS 2 / Informatik

105

Datenstrukturen

Was ist eine Datenstruktur? Eine Datenstruktur ist eine Anordnung von Daten, die effizienten Zugriff auf

die Daten ermöglicht Datenstrukturen für viele unterschiedliche Anfragen vorstellbar

LS 2 / Informatik

106

Datenstrukturen

Ein grundlegendes Datenbank-Problem Speicherung von Datensätzen

Beispiel Kundendaten (Name, Adresse, Wohnort, Kundennummer, offene

Rechnungen, offene Bestellungen,…)

Anforderungen Schneller Zugriff Einfügen neuer Datensätze Löschen bestehender Datensätze

LS 2 / Informatik

107

Datenstrukturen

Zugriff auf Daten Jedes Datum (Objekt) hat einen Schlüssel Eingabe des Schlüssels liefert Datensatz Schlüssel sind vergleichbar (es gibt totale Ordnung der Schlüssel)

Beispiel Kundendaten (Name, Adresse, Kundennummer) Schlüssel: Name Totale Ordnung: Lexikographische Ordnung

LS 2 / Informatik

108

Datenstrukturen

Zugriff auf Daten Jedes Datum (Objekt) hat einen Schlüssel Eingabe des Schlüssels liefert Datensatz Schlüssel sind vergleichbar (es gibt totale Ordnung der Schlüssel)

Beispiel: Kundendaten (Name, Adresse, Kundennummer) Schlüssel: Kundennummer Totale Ordnung: ‚‘

LS 2 / Informatik

109

Datenstrukturen

Problem: Gegeben sind n Objekte O ,.., O mit zugehörigen Schlüsseln s(O )

Operationen: Suche(x); Ausgabe O mit Schlüssel s(O) =x;

nil, falls kein Objekt mit Schlüssel x in Datenbank Einfügen(O); Einfügen von Objekt O in Datenbank Löschen(O); Löschen von Objekt O mit aus der Datenbank

1 n i

LS 2 / Informatik

110

Datenstrukturen

Vereinfachung: Schlüssel sind natürliche Zahlen Eingabe nur aus Schlüsseln

Analyse von Datenstrukturen Platzbedarf in - bzw. O-Notation Laufzeit der Operationen in - bzw. O-Notation

LS 2 / Informatik

111

Datenstrukturen

Einfaches Feld Feld A[1,…,max] Integer n, 1 n max n bezeichnet Anzahl Elemente in Datenstruktur

13 7 11 6 4 nil nil nil nil nil

n

LS 2 / Informatik

112

Datenstrukturen

Einfügen(s)

1. if n=max then Ausgabe „Fehler: Kein Platz in Datenstruktur“

2. else

3. n n+1

4. A[n] s


n

LS 2 / Informatik

113

Datenstrukturen

Einfügen(s)


2. else

3. n n+1

4. A[n] s


n

Einfügen(2)

LS 2 / Informatik

114

Datenstrukturen

Einfügen(s)


2. else

3. n n+1

4. A[n] s

13 7 11 6 4 2 nil nil nil nil

n

Einfügen(2)

LS 2 / Informatik

115

Datenstrukturen

Suche(x)1. for i 1 to n do

2. if A[i] = x then return i

3. return nil


n

LS 2 / Informatik

116

Datenstrukturen

Löschen(i)1. A[i] A[n]

2. A[n] nil

3. n n-1


n

Annahme:Wir bekommen Index i des zu löschenden Objekts

Annahme:Wir bekommen Index i des zu löschenden Objekts

LS 2 / Informatik

117

Datenstrukturen


2. A[n] nil

3. n n-1


n

Löschen(2)

LS 2 / Informatik

118

Datenstrukturen


2. A[n] nil

3. n n-1


n

Löschen(2)

LS 2 / Informatik

119

Datenstrukturen

Datenstruktur Feld Platzbedarf (max) Laufzeit Suche: (n) Laufzeit Einfügen/Löschen: (1)

Vorteile Schnelles Einfügen und Löschen

Nachteile Speicherbedarf abhängig von max (nicht vorhersagbar) Hohe Laufzeit für Suche

LS 2 / Informatik

120

Datenstrukturen

Datenstruktur „sortiertes Feld“ Sortiertes Feld A[1,…,max] Integer n, 1 n max n bezeichnet Anzahl Elemente in Datenstruktur


A n

LS 2 / Informatik

121

Datenstrukturen

Einfügen(s)1. n n+1

2. i n

3. while s < A[i-1] do

4. A[i] A[i-1]

5. i i -1

6. A[i] s


n

Einfügen(10)

LS 2 / Informatik

122

Datenstrukturen


2. i n


4. A[i] A[i-1]

5. i i -1

6. A[i] s


n

Einfügen(10)

LS 2 / Informatik

123


2. i n


4. A[i] A[i-1]

5. i i -1

6. A[i] s

Datenstrukturen


n

Einfügen(10)

LS 2 / Informatik

124


2. i n


4. A[i] A[i-1]

5. i i -1

6. A[i] s

Datenstrukturen

2 4 6 7 11 11 13 nil nil nil

n

Einfügen(10)

LS 2 / Informatik

125


2. i n


4. A[i] A[i-1]

5. i i -1

6. A[i] s

Datenstrukturen

2 4 6 7 10 11 13 nil nil nil

n

Einfügen(10)

Laufzeit O(n)Laufzeit O(n)

LS 2 / Informatik

126

Datenstrukturen

Löschen(i)1. for j i to n-1 do

2. A[j] A[j+1]

3. A[n] nil

4. n n-1


n

Parameter ist der Index des zu löschenden Objekts


LS 2 / Informatik

127

Datenstrukturen


2. A[j] A[j+1]

3. A[n] nil

4. n n-1


n



Löschen(2)

LS 2 / Informatik

128

Datenstrukturen


2. A[j] A[j+1]

3. A[n] nil

4. n n-1


n



Löschen(2)

i

LS 2 / Informatik

129

Datenstrukturen


2. A[j] A[j+1]

3. A[n] nil

4. n n-1


n

Löschen(2)

i

LS 2 / Informatik

130

Datenstrukturen


2. A[j] A[j+1]

3. A[n] nil

4. n n-1


n

Löschen(2)

i

LS 2 / Informatik

131


2. A[j] A[j+1]

3. A[n] nil

4. n n-1

Datenstrukturen


n

Löschen(2)

i

LS 2 / Informatik

132


2. A[j] A[j+1]

3. A[n] nil

4. n n-1

Datenstrukturen


n

Löschen(2)

i

LS 2 / Informatik

133

Suchen(x) Binäre Suche Laufzeit O(log n)

Datenstrukturen


n

Löschen(2)

i

LS 2 / Informatik

134

Datenstrukturen

Datenstruktur sortiertes Feld Platzbedarf (max) Laufzeit Suche: (log n) Laufzeit Einfügen/Löschen: (n)

Vorteile Schnelles Suchen

Nachteile Speicherbedarf abhängig von max (nicht vorhersagbar) Hohe Laufzeit für Einfügen/Löschen

Documents

Datenstrukturen, Algorithmen und Programmierung 2 (DAP2)