Dati due insiemi A e B, sottoinsiemi dell’insieme dei numeri reali, si definisceuna FUNZIONE fra i due insiemi una relazione che associa ad ogni elemento uno e un solo elemento

dove:x è detta VARIABILE INDIPENDENTEy è detta VARIABILE DIPENDENTE f è la legge matematica

x y=f(x)

0 3

2 0

4 -3

0 se

0 se ||

xx

xxxy

Funzione definita a trattiEsempio di funzione

CLASSIFICAZIONE DELLE FUNZIONI

Le funzioni possono essere classificate in ALGEBRICHE e TRASCENDENTI

Se l’espressione analitica che descrive una funzione contiene solo addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni, divisioni, elevamento a potenza, estrazione di radice la funzione si dice ALGEBRICA

Tra le funzioni algebriche troviamo:•razionali intere

•razionali fratte

•irrazionali

75 xy 732 xxy

42

73

x

xy

3 1 xy

Le funzioni trigonometriche, esponenziali e logaritmiche sono chiamate

funzioni TRASCENDENTI

FUNZIONE DOMINIO

Razionale intera

Razionale fratta

Irrazionale

Trigonometrica

Logaritmica

Esponenziale

Potenze con esponente irrazionale

DOMINIO DI UNA FUNZIONE

2, nxy n ;0 Dparin

; Ddisparin

senxy xy cos ;D

tgxy ZkkxRxD ,2/12|

)(

)(

xB

xAy 0)( xB

cbxaxy nn ....1 ;D

gxy cot ZkkxRxD ,|

1,con log aRaxy a ;0D

Raay x con ;D

xy ;0D

Data una funzione di equazione y=f(x) si definisce il DOMINIO (campo di esistenza o insieme di definizione) della funzione l’insieme dei valori reali di x per i quali l’espressione f(x) ha significato. Si indica con D o C.E.

SEGNO DI UNA FUNZIONE

Esempio:

Studiare il SEGNO di una funzione vuol dire determinare gli intervalli nei quali la funzione è positiva o negativa

+

-

I GRAFICI DELLE FUNZIONI

Traslo il grafico della funzione y=f(x) a destra di un certo vettore a ottenendo y=f(x-a)

Per disegnare y=f(x+a) traslo il grafico a sinistra di un certo vettore a

Traslo il grafico della funzione y=f(x) in alto di un certo vettore b ottenendo y = f (x)+ bPer disegnare y=f(x)- b traslo il grafico verso il basso di un certo vettore b

LE SIMMETRIE

Grafico di y = - f (x)Simmetria rispetto all’asse x

y = - f (x)

y=f(x)

Grafico di y = f (-x)Simmetria rispetto all’asse y

FUNZIONE PARI

y=f(x)y=f(-x)

Grafico di y = - f (-x)Simmetria rispetto ad O

FUNZIONE DISPARI

y=f(x)

y=-f(-x)

Grafico di y = |f (x)|

Simmetria rispetto all’asse

delle x della parte negativa del

grafico

Grafico di y = f ( |x| )

Per x>0 il grafico rimane

uguale,

per x<0 il grafico è il

simmetrico rispetto all’asse y

LE FUNZIONI INIETTIVE, SURIETTIVE E BIIETTIVE

Una funzione si dice INIETTIVA se due qualunque elementi distinti di

A hanno immagini distinte in B

Una funzione si dice SURIETTIVA se tutti gli elementi di B sono

immagini di almeno un elemento di A

Una funzione si dice BIIETTIVA (o biunivoca) se è iniettiva e suriettiva

y = 2x-1 è sia iniettiva che suriettiva: a ogni valore scelto sull’asse y corrisponde un valore (suriettiva) e un solo (iniettiva) valore sull’asse x. La funzione è quindi biiettiva.

è suriettiva se si considera come insieme B quello degli y tali che y < 4, ma non è iniettiva perché scelto nel codominio un y diverso da 4, esso è immagine di due valori distinti di x.

42 xy

FUNZIONI CRESCENTI e DECRESCENTIData una funzione y=f(x) di dominio D

DI

Crescente in senso lato Decrescente in senso lato

Si dice che f è DECRESCENTE in senso stretto in un intervallo DI

Una funzione sempre crescente o decrescente si dice MONOTONA

Si dice che f è CRESCENTE in senso stretto in un intervallo

FUNZIONI PERIODICHE

f(x)kT)(x , fDxLa funzione f è periodica con periodo T se

Esempi:

T

2T cos

2T

tgxy

xy

senxy

LA FUNZIONE INVERSAABf :1Data una funzione biunivoca, allora si può definire una nuova

funzione

detta funzione INVERSA di f che associa a ogni y di B il valore x di A tale che y = f (x) Se una funzione ammette l’inversa allora è invertibile.

Graficamente la funzione inversa è simmetrica a f rispetto alla bisettrice del

1°/3° quadrante

Esempio:

2)( xxfy definita per x>0 è BIETTIVA

yyfx )(1La sua funzione inversa è:

Per rappresentare la funzione

inversa insieme alla funzione f,

scambiamo le variabili, ottenendo

così:

xy

LA FUNZIONE COMPOSTA

Date due funzioni e

Si indica con o

BAg : CBf :

gf ))(( xgfy

La funzione composta da A a C che si

ottiene associando a ogni x di A

l’immagine mediante f dell’immagine di x

mediante g

Esempio: 2)( xxf 1)( xxg

2)1()1())(( xxfxgfygf

1)())(( 22 xxgxfgyfg