David Hilbert, Varios Textos

5/10/2018 David Hilbert, Varios Textos

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Acerca del infinito

Sin Iugar a dudas, el analisis matematico debe a la profunda criticade WeierstraB. su fundamento definitivo. Con sus precisas definicionesde nociones como minirno, funci6n y derivada, WeierstraG ha COD-tribuido de manera fundamental a subsanar las defic iencias que perrnea-ban hasta entonces eI cilculo infinitesimal, al eliminar ideas poco clarasy abstrusas ace rca de 1 0 infinitamente pequefio y al superar, de una vezpor todas, las dificultades que surgen en relacion a este concepto.

El acuerdo total y l a seguridad completa que en nuestros dias reinanen el analisis en 1 0 relativo a las arg umen tacio nes que involucran elconcepto de n umero irracio nal y, en general, de limite, se deben en granmedida a 1 trabajo cientifico de We ierstraB~ Y alga parecido puedeafirmarse acerca de la teoria de las ecuaciones d ife re ncia le s e in te gra le s,A pesar de las aplicaciones verdaderamente audaces que en ella se hacende una gran gama de combinaciones de superposicion, yuxtaposici6n yencaje de Iimites, e s posib le constatar la existencia de una unanimidadesencial al respecto, y el logro de esta se debe fundamentalmente aWeierstraB~

Sin embargo, la fundamentaci6n weie rstra ssia na d el calculo infini-tesimal se encuentra todavia lejos de representar el punta final de ladiscusion acerca de los fundamentos del analisis,

La raz6n de ella reside en el hecho de que el significado del infinitopara las maternaticas aun no ha side elucidado de una manera plenamentesatisfactoria ..Por supuesto, al transformar los enunciados que involucran1 0 infinitamente pequefio y 1 0 infinitamente grande en afirmaciones quese refieren a relaciones entre magnitudes f in itas, W eiers traE se encuentraen condiciones de desterrar esos conceptos del analisis. Sin em bargo, elinfinito continua estando presente cuando hablamos de las sucesiones


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nurnericas infinitas que definen a los num eros reales, al igual que en lanoci6n misma de un sistem a de tales numeros, al que normalmente seconsidera como una totalidad acabada y completa,

Las formas de la inferencia logica en las que esta concepcion delinfinito se pone de manifiesto (por ejem plo, cuando se habla de lotios losnumeros reales que poseen una cierta propiedad, 0de que edsten numerosreales con tales y cuales caracteristicas) son requeridas y utilizadas demanera irrestricta en el analisis de WeierstraB.

Debido a esta circunstancia, e I in fin ito ha podido deslizarse, demanera disim ulada, en la teoria de WeierstraE sin ser afectado en 1 0esencial por su critica.

De todo ella se sigue la imperio sa necesidad de elucidar finalmente,de m anera definitiva y en el sentido que acabam os de indicar, el problemadel infinite. Ahara bien) asi como en lo s procesos de pa so a l l lmite delcilculo infinitesim al se demuestra que el infinito en el sentido de 1 0infinitamente pequefio y 1 0 infinitam ente grande no es sino una simpleforma de hablar, tarnbien debemos mostrar que el infinite, en tanto quetotalidad infinita, ta l y como esta se pone de manifiesto en los principiosde in fe re nc ia u su ale s, es algo meramente aparente.

De manera analoga a como las operaciones con 1 0 infinitamentepequefio fueron sustitu idas por procesos en el ambito de 10 finito conlos que podernos llegar exactamente a los mismos resultados y a lasmismas y elegantes relaciones formales, debemos ahara reemplazar lasargumentaciones con 10 infinito par procesos finitos que nos conduzcana 1 0 misrno, es decir, que hagan posibles las rnismas demostraciones y losmismos rnetodos de obtenci6n de formulas y teorernas.

Es esta precisam ente la intenci6n principal de mi teo ria. Es decir, miteoria se propone como objetivo central conferir una seguridad definitivaal m etodo m atem atico, una seguridad a la que el periodo critico del cilculoinfinitesim al no pudo llegar .. En otras palabras, nuestra meta es concluir latarea que We ierstraB intentaba 1 1 evar a cabo con la fundam entaci6n delanalisis y para la cual dio un paso absolutamente necesario y fundamental.

Si querem os Ilevar a cab-o u na verdad era elucidaci6n del conceptode infinite es necesario adoptar una perspectiva m a s general. La Iiteraturamaternatica esta plagada de absurdos y errores debidos, en gran medida,al infinito. Esto es 1 0 que ocurre, por ejem plo, cuando a manera decondicion restrictiva se afirma que en la maternatica rigurosa, unademostraci6n es aceptable unicarnente cuando consta de un numero


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Ace rca del in finito 85

finito de inferencias. iC6mo si en alguna ocasi6n alguien hubiera sidocapaz de llevar a cabo un numero infinito de inferencias!Pero tam bien las viejas objeciones que habiam os considerado como

alga y a superado se presentan nuevamente, ahora bajo una nueva vesti ..menta. Asi, por ejemplo, se argumenta que aunque es posible la introduc-cion de un concepto sin que ello represente peligro alguno, esto es, sinque de lugar a contradicciones -yaun pudiendo probarlo-- esto no bastacomo justificaci6n. Pero, {no es esta precisam ente la rnisma objccion quese hacia no h ace rnuch o a los nurneros com plejos cuando se decia queaunque era claro que tenerlos no podia ser la causa de contradicciones,su introducci6n no era algo ju stific ado porque , en realidad, las cantidadesim aginarias no existen?

Ahora bien, si aparte de una prueba de consis tencia ha de tener algunsentido el problema de Ia justi ficacion de un procedimiento, 1 0 unicoque esto puede significar es que ese procedimiento sea fecundo enresultados. De hecho, el e x ito resuIta en este contexto algo necesario, lainstancia suprema a la que todo el mundo se somete.

Otto autor parece ver contradicciones, ella] fantasmas, inclusivecuando nadie ha hecho ningun tipo de afirmaciones, esto es, en el mundoconcreto de 1 0 sensible, cuyo "funcionamiento consistente' se consideracomo una hipotesis especial.

Siempre he creido que lo unico que puede dar lugar a contradiccionesson las afirmaciones y la s hipotesis, en tanto que conduzcan, por mediade inferencias, a otras afirmaciones, por 1 0 que la idea misma de unacontradicci6n entre los hechos me parece un ejernplo paradigmatico dedescuido conceptual )~absurdo.. ~

Todas estas observaciones tienen como sola intenci6n hacer claroque la elucidaci6n definitiva de la na tura leza del infinite es alga que vamucho mas alla del ambito de los intereses cientificos particulares, algaque, en realidad, se ha convertido en una cu es tion de honor para elen tendim i en to b umano.

Como ningun otro problema, el del infinito ha inquietado des de lost iempos mas remotos el animo de los hombres. N inguna otra idea ha sidotan estimuIante j T fructifera para el entendimiento. Pero, como ningun ottoamapto, requiere de precision)' esdareamiento satisfactorios,Es necesario tener presente, ahora que nos abocamos a esta tarea declarificaci6n del infinito, el significado concreto que este posee en larealidad.


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Exam inem os, en prim er lugar, 1 0 que la flsica nos dice al respecto ..La prirnera y m a s intuitiva impresion que tenemos de la naturalezay la materia es la de algo continuo. As1,par ejemplo, si tenemos un trozo

de metal 0 un cierto volumen de algun llquido, la idea que inme-diatamente se nos impone es la de que se trata de alga que puede sersu bdiv idid o ilim itad amente y que cualquier porci6n del mismo porpequefia que sea posee tam bien la s mi smas caracte ristic as,

S in emb argo , en todos lo s terrenos en los que la flsica de la materiaha logrado refinar adecuadamente sus metodos de investigacion se hatopado con limites a esa divisibilidad y h a h allado que esos lirnites noresiden en la insuficiencia de nuestros intentos, sino en la naturalezamisma de los objetos.

Podriamos entonces describir la tendencia dominante en la cienciamoderna como una especie de emancipaci6n de 1 0 infinitamentepequefio, de tal manera que en lugar del viejo principio de que naturanon facit saltus, podriamos afirmar ahara precisamente 1 0 contrario, estoes} q ue "la natu raleza s 1 da saltos",

Com o se sabe, toda la ma te ria se compone de pequefios bloques, lo sa tom os , cuy a comb in ac i6 n y union da origen a Ia m ultiplicidad de losobjetos macrosc6picos. Sin embargo, la fisica no se ha detenido en lateoria at6mica de la materia. A finales del siglo pasado aparece allado deesta una teoria a primera vista extrafia, la teoria at6mica de la electricidad.Hasta entonces se h abia pensado en la electricidad como en un fluido,teniendosela, adernas, como el modelo de un agente de acci6n continua.La nueva concepcion atomista la concibe en oposicion a ella como algoconformado por electrones positivos y negativos.

Existe otra realidad, aparte de la materia y la electricidad, que la fisicaconsidera y para la eual e s tambien valida la ley de la conservacion, asaber, la energia. P ero como ahora sabemos, ni siquiera esta es susceptible,sin mas, de una division infinita e irrestricta: P lan ck d escub ri6 que la,energla se presenta en quanta .

Podemos entonces concluir que en ninguna parte de la realidadexiste un continuo homogeneo que pueda ser ilimitadamente divisible yque constituyera de algun modo una realizacion del infinite en la esferade 1 0 pequefio.

La divisibilidad infinita de un continuo es "cxclusivam ente" unaoperaci6n del pensamiento, una idea que la observaci6n de la natu ra lezay la experimentaci6n en la flsica y la quim ica refutan.


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L a observacion del universo como un todo constituye un segundositio en el que nos enfrentamos al problema del infinito en la naturaleza.La dificultad que aqui se nos plantea es la de examinar la extension delmundo y determinar si en ella existe a lga in fin itamen te grande.

Durante mucho tiempo se pens6 que el universo era infinito. HastaKant --e inclusive despues de el- el cara cte r in fin ito d el e sp ac io se tuvocomo alga indubitable. La ciencia contemporanea, en especial la astro-nornia, ha planteado de nueva cuenta e l p roblema , abordandolo esta vezno con lo s inadecuados recursos de 1 a especulacion metafisica, sinoapoyandose en la experiencia y recurrriendo a las leyes de la naturaleza.Como resultado de este proceso se han hecho objeciones fundamentalesen relaci6n a la existencia del infinito.

La suposicicn de un espacio infinito es u na con secu en cia directa,necesaria, de la geometria eudidiana. Por si misma, esta representa unsistema conceptual consistente, Sin embargo, de ella no se sigue que estesistema sea de alguna manera aplicable a l a realidad. M a s bien, estacuesti6n unicamente puede ser decidida por media de la observaci6n yla experiencia.

El intento de demostrar especulativamente el caracter infinite delespacio presenta igualmente una serie de evidentes errores. En efecto, apartir del hecho de que fuera de cualquier porci6n del espacio existasiempre otra, solamente se sigue que este es ilimitado [unbegrenzt], percde ninguna manera que sea infinite. Ilimitado y finito no son necesaria-mente incompatibles. Con la geometria el lpt ica, la s matematicas nosofrecen eI modelo natural de un mundo finite, Por 1 0 dernas, elabandono en Ia actualidad de la geometria euclidiana ha dejado de seruna especulaci6n puramente matematica 0filosofica, pues h em os llegadoa esa decisi6n a partir de otto tipo de consideraciones que no tienen, enSll origen, absolutamente ninguna conexi6n con el problema de si elmundo es 0 no finite.

Einstein ha hecho ver la necesidad de apartarse de la geometriaeuclidiana ) T ha abordado los problem as cosm ologicos con base en suteoria de la gravitaci6n. Con ella ha demostrado la posibilidad de unmundo finito, estableciendo tambien la esencial com patibilidad de losresultados de la astronomia con la suposici6n de un mundo eliptico,Podemos entonces decir que hemos constatado el caracter finito dela realidad en dos direcciones, en la esfera de 1 0 infinitamente pequefioy en la de 1 0 infinitamente grande, Podria ocurrir, no obstante, que el


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lugar propio y justificado del infinito no sea la realidad, sino nuestropensamiento. Y podria m uy bien resultar que en este el inf in ito asuma unafunci6n conceptual absolutamente imprescindible.

Nuestro objetivo en 1 0 que sigue es ex am in ar 1 0 que ocurre en la sm aternaticas con este concepto. Plantearem os para ello el problem a, enprimer lugar, en la esfera de 1 0 que puede considerarse la criatura maspura e ingenua del espiritu hum ano, la teoria de los numeros.

Consideremos una cualquiera de entre la rica multitud de lasformulas elementales. Por e je rn plo ,

n puede ser reemplazado en ella por cualquier numero entero (porejernplo por el2 a por e1 5), por 1 0 que esta formula contiene, en realidad,una infinidad de proposiciones, Es esto precisamente 1 0 esencial de lamisrna, y es gracias a ello que puede representar la solucion de unproblema aritmetico y requerir de un genuine argumento para su prueba,mientras que cada una de las ecuaciones nurnericas especificas

puede ser verificada directam ente eiecutando las operacioncs apropiadas,por 1 0 que ninguna de ellas tiene, por si m ism a, un interes esencial.

El util e importante metodo de lo s elementos ideales nos ofrece unainterpretacion y una concepcion enteramente distintas del concepto deinfinito. Este metoda ha sido ya obieto de aplicaciones en la geornetriaplana elem ental ..En e sta , lo s puntas y las rectas del plano constituyen losunicos objetos rea les or ig ina les y con una existencia verdadera, P ara estosobjetos resulta valido el axiom a de conexion: a traves de dos puntascualesquiera pasa una y solam ente una linea recta.

De esto ultimo se obtiene como consecuencia que dos reetas sein tersectan a 1 0 m a s en un punto, S in embargo, la proposicion de quedos rectas se intersectan siernpre en un punto no es verdadera, puespueden muy bien ser paralelas.


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Como sabemos, es precisamente gracias ala introducci6n de elemen-tos ideales, esto es, a la introduccion de puntas a l infinito y de una rectaal infinito que se logra que la proposici6n de que dos rectas se intersectansiernpre en un solo punta resulte universalmente valid a ..

L os elementos ideales "al infinite" poseen la ventaja de simplificarconsiderablemente el sistema de las leyes de conexion, permitiendo almismo tiempo una vision global del mismo. Por otra parte, es bien sabidoque la simetria entre punto y recta hace posible obtener en la geometriaun principia tan util y fructifero como el de dualidad.Otro ejernplo de la utilidad de los elementos ideales 1 0 encontramosen las magnitudes complejas ordinarias del algebra. Con ellas podemossimplificar los teorernas relativos a la ex is tencia y el numero de raices de.,una ecuaClon ..

Por 1 0 dernas y de igual manera que en la geometria se utiliza unainfinidad de lineas paralelas entre si para la definicion de un punto ideal,tambien en la aritmetica superior confluyen en un n ione ro idea l ciertossistemas acerca de un infinito de numeros, Posiblernente esta es laaplicaci6n mas genial que se ha dado al principio de lo s elementos idealesen las maternaticas. Cuando algo como 1 0 que acabamos de describir haocurrido en general dentro de un campo algebraico es facil recuperar enel las sen cillas y conocidas leyes de la divisibilidad para los enteros1, 2, 3, 4, ... ,con 10 eual nos hallariamos ya en el terreno de la aritrnetica.superIor.

Ocupernonos ahora del analisis, que bien podria ser consideradocomo Ia rama mas ingeniosa y mas refinadamente elaborada de lasmaternaticas. No es necesario sefialar aqui el papel absolutamente funda-mental que en e J desernpefia el infinite .. En cierto sentido, el analisismatematico no es sino una sinfonia del infinito.

Los enormes e impresionantes avances llevados a cabo en el calculoinfinitesimal descansan en gran m edida en la operacion de sistemasmatematicos con una infinidad de elementos. Ahara bien, parecia bas-tante natural identificar infinito con "muy grande", por 1 0 que notardaron en aparecer las primeras contradicciones, las llamadas paradojasdel calculo infinitesimal} en parte ya conocidas POf los sofistas desde laAn tigiiedad.

Un lagro de suma importancia en este sentido fue el reconocimientodel hecho de que muchos principios validos para la esfera de 1 0 finite,v.gr. que la parte es siempre menor que el todo, la existencia de un minimo


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y un maximo, la posibilidad de cambiar eI orden de los sumandos 0delos factores, etc., no pueden trasladarse sin mas al ambito de 1 0 infinito.

La elucidaci6n completa de todas estas cuestiones se debe, como yahe mencionado al inicio de m i exposicion, a Weierstrag. En nuestrosdias, el analisis representa, para el campo de estudio del que se ocupa,una guia imprescindible, al mismo tiempo que una herramienta deinmenso valor practice para el manejo del infinite,

Sin embargo, por si solo eI an alisis resu lta insuficiente para propor-cionarnos una vision de la mas profunda esencia del infinito. Esta visionla encontrarnos m a s bien en la teoria de conjuntos de Georg Cantor, unadisciplina mas cercana a un enfoque fi16sofico general que ubica todo elcomplejo de problemas relativo al infinito en una nueva perspectiva ..L oque aqui nos importa de ella es precisamente aquello que en verdadconstituye su nucleo fundamental) esto es, la teorla d e los nkmeros transfi-nitos. En m i opinion, el sistema de Cantor constituye no s6lo la flor m asadmirable que el espiritu maternatico ha producido, sino igualmente unode los logros mas elevados de la actividad intelectual humana en general.

Si quisieramos dar expresi6n en poe as palabras a la nueva concepciondel infinito introducida por Cantor, podriamos decir 10 siguiente. En elanalisis enfrentamos 1 0 infinitamente pequefio y 1 0 infinitamente grandesolamente como un concepto limite [LimesbegriffJ- alga que se encuen-tra en devenir, en surgimiento, alga que se esta generando-. En otraspalabras, en el analisis hablamos del infinito como de un infini te potencial .Pero el infinite verdadero, el infinito propiamente dicho es algo distinto.Es precisamente este al que nos enfrentamos cuando, por ejernplo,consideramos la totalidad de los numeros enteros positives1, 2, 3, 4,... como una unidad acabada, 0 cuando pensamos en lospuntas de un segmento como una totalidad de objetos que tenemos antenosotros como alga terrninado. A esta forma del infinite se Ie conocecomo el infinite ac tua l ..Frege y Dedekind, am bos grandes investigadores de los fundamentosde las matematicas, recurren, cada uno por su partet al infinite actual conel objeto de dar a Ia aritmetica una base puramente 1 6gica independientede toda intuici6n y toda experiencia y de deducirla exclusivamente apartir de esta,

De heche, en la teoria de Dedekind, los numeros finitos no sederivan de L a intuici6n, sino q u e se obtienen purarnente a partir de lalogical hacienda usa esencial del concepto de conjunto infinite, El


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desarrollo sistematico del concepto del infinito actual se debe, sinembargo, a Cantor.

Examinemos con cuidado los dos ejernplos que hemos presentado ..1~1"2, 3, 4J ~.t2..los puntas del intervalo 0,1, 0, 1 0 que es 1 0 mismo, la totalidad de

los numeros reales entre 0 y 1~L a m a s natural pareceria considerarlos unicamente desde el punto

de vista de la cantidad de elementos que contienen [Vielheitsstandpunkt],Sin embargo, si 1 0 hacemos asi, podremos constatar los sorprendentesresultados que hoy en dia todo matematico corioce ..

Considerernos, por ejemplo, el conjunto de todos los numerus~ I Ld d I fracci 1121 3raciona es, esto es, e e to as as racciones 2'"3' 3 " J 4 ' ... , 7 '

Desde el punta de vista de la cantidad de elementos que contienen esclaro que este conjunto no es mayor que el de los numeros enteros.Decimos entonces que lo s racionales pueden enumerarse, esto es, que. elconjunto es numerable. Esto mismo es tarnbien valido para eI conjuntode los numeros que resultan de extraer raices y , en general) para el detodos los numeros algebraicos ..

Alga similar ocurre con el segundo de nuestros ejemplos, En contrade 1 0 que podrian ser nuestras expectativas, el conjunto de todos lospuntas en un cuadrado 0 en un cubo tampoco es mayor, desde el puntode vista de la cantidad de elementos que contienen, que el conjunto delos puntas en el segmento de la recta que va de 0 a 1. Y exactamente 1 0mismo pasa con el conjunto de las funciones continuas.

Alguien que se ve confrontado por primera ocasi6n con todos estoshechos bien podrla pensar que" en realidad, desde el punto de vista de lacantidad de elementos, no existe sino un unico infinite, Sin embargo, no,es asi, De heche, ya los conjuntos de nuestros ejemplos 1 y 2 no tienen,como ahara se dice, "la misma potencia" [gleich rnach tig ] ..El segundoconjunto no es numerable y es mayor que el primer conjunto. Es esteprecisamente el punto en el que Cantor da inicio al vuelco caracteristicoen la formaci6n de sus ideas. Los puntas de la recta no pueden serenumerados a la manera usual, esto es,.usando 1, 2~3" . . . .

No obstante, una vez que hernos aceptado la existencia del infinitoactual, nuestra enumeraci6n no tiene por que restringirse a esta forma decontar; no hay razon alguna para terminar en ella. Despues de haber


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contado 1, 2, 3, ..... podemos considerar los objetos as! enumerados comoun conjunto terminado infinito ordenado de esa manera. Designemosahora este orden, de acuerdo con su tipo y siguiendo a Cantor, con c o .

Nuestra enumeraci6n puede ah ora continuar de manera natural conr o + I, (0 + 2 ..... hasta O J + c o (esto es, hasta O J 2) Y seguir luego con0) ..2 + 1, r o 2 + 2, C O ~ 2 + 3 ~I I " C O . . 2 + C O = = r o 3" Tendriamos m a sadelante r o 2, c o . . 3, Q). 4" ... J 0). 0) = r o 2, 0)2 + 1.... Podriamos con-signar nuestros resultados en la siguiente tabla.

1,2;3, .. ~(i) , 00+ 1,00+2, ...0) 6 2 , O J . . 2 + 1 ,0). 2 + 2, " 6 ~ro .. 3,00" 3+ 1 ,0}. 3+2,,, ..2 2c o ,


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Cantor ha logrado desarrollar con exito estas ideas, dan do form a auna teoria de los numeros transfinitos y a un calculo completo para losmismos. De este modo ) T como culminaci6n del trabajo conjunto deF reg e, D edek ind y Cantor, el in fin ito alcanzaria vertiginosamente elpinaculo del exito en las maternaticas,

Sin embargo; la reacci6n a todo ella no tarde en hacerse sentir yasumio formas en extremo dramaticas. En realidad, todo ocurri6 demanera exactamente analoga a como habia sucedido en el caso del cilculoinfinitesimal. E1 entusiasmo que los nuevos y fructuosos resultadossuscitaron entre los matematicos dio lugar a una actitud muypoco criticaen relaci6n a la validez de lo s modos de inferencia que los sustentaban.L os principios y metodos utilizados para la forrnacion de conceptospermitian el surgimiento de contradicciones. L as primeras inconsisten-cias se presentaron de manera aislada, pero adquirieron gradualmentemayor gravedad al surgir las llamadas paradojas de la teoria de conjuntos,Fue, en especial, la contradicci6n descubierta por Zermelo Y"R ussell laque, al ser dada a conocer a 1 mundo maternatico, tuvo practicamente elefecto de una catastrofe en nuestra disciplina, r:

A causa de estas paradojas, tanto Dedekind como Frege abandonanla posicion que habian sustentado hasta entonces e inclusive la ramamisma de la investigacion que los habia ocupado por tanto tiempo. Deheche, durante afios Dedekind se mostro renuente a autorizar una nuevaedici6n de su fundam ental tratado W as sind und wa s sollcn die Zahlen?l[1888], mientras que Frege se via obligado, como el mismo reconoce enuna nota al final de los Grundgesetze der Ar ithmetik2 [1893, 19031~a admitircomo err6nea la tendencia general de esta, su obra mas importante.

A consecuencia de todo esto, tambien la teoria de los nurnerostransfinitos de Cantor es objeto deseveros y apasionados ataques prove-nientes de los mas diversos ambitos. La reacci6n es tan radical y enocasiones tan desrnesurada que pone en tela de juicio muchos de losconceptos fundamentales y muchas de las argumentaciones y los metodosmas importantes de las matematicas, llegandose al grado de sugerir unaproh ib icion to tal de sus aplicac iones,

Ciertamente no faltaron los defensores de 1 0 que parecia derrum-barse, pero las medidas de protecci6n y las soluciones que sugieren son

1~()yison y qui significan lo s l1umeros? [N . de T .)2 La s 0ysfundam~nt.ahs d e la aritmitica: [N . de T 4 ]


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mas bien debiles, adernas de que se trata, en general, de llevarlos a lapractica en puntas que no siernpre son los mas apropiados ..Se ofrecend emasiad os remedios para las paradojas; pero los metodos de clarifica ..ci6n propuestos d is tan de tener homogeneidad ..

La primero que tenemos que hacer es percatarnos con toda claridadque, a la larga, la s parado ja s nos colocan en una situacion absolutamenteintolerable ..Imaginemos simplemente 1 0 que sucederia si en el paradigmade verdad y confiabilidad cientificas que las matematicas representan, lasconstrucciones conceptuales y las inferencias que nos son familiares noscondujeran a absurdos, (E n d6nde podriamos buscar la certeza y la verdadsi el pensamiento maternatico m ism o falIa?

Por fortuna, exis te una via enteramente satisfactoria que con absolutoapego al espiritu de nuestra d iscip lin a nos perrnite escapar d e las paradojas,L as consideraciones y las m etas que orientan este cam ino son las siguientes,

1. Queremos examinar con todo cuidado aquellas construccionesconcepruales y aquellos metodos de investigacion que enriquezcan anuestra d iscip lin a, q uerern os cultivarlcs, apoyarlos y servirnos de ellossiem pre que se presente la m a s Iigera posibilidad de obtener un resultado ..Nadie podra expulsarnos del paraiso que Cantor creo para nosotros,

2. Es absolutamente necesario alcanzar en los modos de inferenciael mismo grado de seguridad que Ia que existe en la teoria ordinariaelem ental de los numeros, en la que todo eI mundo confla plenarnentey en Ia que una paradoja 0 una contradicci6n s61 0 pueden surgir pornuestra falta de atenci6n.

Es evidente que la realizacion cabal de estos fines sera posible solosi sornos capaces de clarificar por completo la esenaa del infinite.

Como anteriormente hemos visto, podemos recurrir a la c ienc ia quequeramos y llevar a cabo el tipo de observaciones y las exp eriencias q uedeseemos sin encontrar nada a 1 0 que podamos l lamar infinito. En otraspalabras, en ninguna parte de la realidad existe el infinite. Pero, les eIpensam iento de las casas algo tan diverse de los eventos en lo s que estascasas intervienen? (Se aleja el pensamiento tanto de la realidad? {Noocurre mas bien que cuando creemos conocer eI infinito como algo enalgun sentido real s610 nos dejamos engaiiar por el hecho de que en larealidad ciertamente nos topamos con frecuencia tanto en la esfera de 1 0grande como en la de 1 0 pequefio con dimensiones tan inmensas? Y in aestara fallando en alguna parte la inferencia 16gica concreta [das in-haltliche logische Schliessen] y dejando de sati sfacer nuestras expectativascuando la aplicamos a objetos 0 sucesos reales?


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La respuesta a esto ultimo es definitivamente negativa. La deducci6n16gica concreta es absolutamente indispensable, S610 puede conducirnosa errores cuando aceptamos construcciones conceptuales arbitrarias, enparticular aquellas que se aplican a una infinidad de objetos.

La que en tales casos sucede es que hemos usado de manera ilicitala inferencia 16gica concreta, es decir, hemos hecho caso omiso decondiciones previas y necesarias para su aplicacion,

Por 1 0 dernas, en esta observacion relativa a la existencia de condi-ciones de aplicabilidad de tales deducciones e inferencias yde la necesidadde su cumplimiento satisfactorio coincidirnos plenamente con la f ilo so -fia, en particular con Kant.

Kant nos cnsefia, en efecto, en una de las partes centrales de sufilosofia, que las rnatematicas poseen un contenido {Inhalt] propio eindependiente de la 16gica, y que, en consecuencia, esta no puede nuncaconstituir por si sola un fundarnento para aquellas.

Se sigue de esto que lo s intentos de Frege y Dedekind estaban desdeun principia condenados al fracaso. L a existencia de algo dado en larepresentacion, de ciertos objetos extral6gicos concretes, presentes intui-tivamente como, vivencia inrnediata, previa a todo pensamiento, es unacondici6n necesaria para la aplicaci6n de las inferencias 16gicas y elfuncionamiento de las operaciones de este tipo.

Es necesario entonces, si es que hemos de tener a nuestra disposici6ndeducciones e inferencias logic as con fiable s, que los objetos sean suscep-tibles de una vision g loba l comple ta de todas sus partes y que su presencia,sus diferencias mutuas, su ordenacion, su sucesi6n 0su concatenaci6nacornpafie a los objetos, al rnismo t iempo, como algo dado de manerainrnediata en la intuicion, como algo irreductible a cualquier otra cosa,como alga que ya no requiere de ninguna reducci6n.

Esta es la concepcion filos6fica fundamental que_ , en m i opinion,resulta necesaria no s610 para las maternaticas, sino tambien para todopensarniento, toda comprensi6n y toda comunicaci6n cientificos.

En el caso particular de las rnaternaticas, el objeto preciso de nuestroexamen 1 0 constituyen los signos concretos mismos, cuya forma es, enconsonancia con el punta de vista que hemos adoptado, inmediatamenteclara )T reconoci ble.

Recordemos nuevamente en que consiste la teoria finitista usual delos numeros jr cuales son sus metodos. Es claro que esta puede obtenersepor medio de una serie de consideraciones concretas intuitivas, recurrien-


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do exclusivamente a construcciones numericas, Pero es tam bien evidenteque las maternaticas no se agotan en forma alguna en las ecuacionesnurnericas y que tampoco pueden reducirse a estas,

Sin embargo, podemos perfectamente defender la idea de que, enrealidad, las matematicas no son sino una especie de aparato que al seraplicado a numeros enteros debe proporcionarnos siempre igualdadesnumericas verdaderas .. El problema que en ese caso se plantea es el deinvestigar la construccion de ese aparato hasta el punto en el que todaduda al respecto haya desaparecido,Ahora bien, para llevar a cabo esta tarea no tenemos a nuestradisposicion otros medios que el misrno enfoque concreto [konkretinhaltliche Betrachtungsweise] y el mismo enfoque finitista del pen-samiento que ya habiamos utilizado en la construcci6n de la teoria delos numeros para obtener las igualdades numericas,

Es un hecho que tenemos la capac idad de s atis face r e sta exigencia dela ciencia, es decir, es posible obtener de manera puramente intuitiva yfinitista, tal y como ocurre con las verdades de la teoria de los nurneros,aquellas ideas y aquellos resultados que garantizan la plena confiabilidaddel aparato matematico.

Ocupemonos ahora con mayor detalle de la teoria de los numerosEn esta teoria tenemos los nurnera les [Zah lzeichen ]

1 , 1 1 , I l l , 1 1 1 1 1 tA cada uno de estos numerales 1 0 podernos reconocer por el hecho

de que al 1 siempre le sigue el I .. Estos numerales que estamos consi ..derando carecen de todo significado,

Pero ya en 1 a teoria elemental de lo s numeros necesitamos, ademasde estos signos, de otros con los que podamos expresar significados y quenos sean utiles para la comunicaci6n (por ejernplo, del signa 2 comoabreviatura de II, de 3 como abreviatura de Ill, etc.). Nos servirernos,adernas, de los signos +, =, >~y de otros para comunicar informacion.Asi , v.gr. 2+ 3 = 3 + 2 nos hace saber que 2 + 3 Y 3 + 2 son, en rea lid ad ,tomando en cuenta las abreviaturas que estamos usando, el mismon u m e r a l , esto es, 1 1 1 1 1 .De manera analoga, podemos expresar c o n 3 > 2eI hecho de que el signa 3t es decir, III se extiende mas alla del signo 2~esto es, que 1 1 ;0equivalenternente, que este ultimo es un segmento propiodel primero,


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A cerca del in fin ito 97

Para expresar y comunicar nos servirem os tam bien de las letrasg6ticas B, b, t para referirnos a num erales. De acuerdo con ella,

nos dice que el numeral b tiene mayor extension que el n ume ral 8. Demanera similar,

solamente estaria expresando que it + b es el m ismo numeral que h + R .La correccion concreta de esta afirmaci6n puede ser demostrada mediantein fe renc ia s ma te ria le s.

Vem os entonces que con este tipo de tratarniento intuitivo y concretoes posible llegar bastante lejos.

Deseo presentar a continuacion un primer ejemplo en el que esteenfoque intuitivo se ve rebasado, Hasta ah ora, eI mayor numero primoconocido esp = 170 141 183 460 469 231 731 687 30 3 715 884 1 0 5 727

que consta de 39 digitos.Si utilizam os eI conocido procedimiento de Euclides, podemos

establecer con facilidad, y enteramente de conformidad con el enfoquefinitista que hemos adoptado, que entre p + 1 Y P ~+ 1existe un nuevo

r numero primo.Esta ultim a afirm aci6n es tarnbien acorde a nuestro punto de vista

finitista, pues, la exp resi6 n "ex iste" no es aqui otra cosa que unaabreviatura del siguiente enunciado:

p+ 1es prirno, 0p + 2 es primo,3 , 1 ~o P + es primo, 0. ,0 P 4' + es prImo.

Ahora bien, es evidente que esta afirmaci6n resulta equivalente a : I existe un numero pnrno que es:

1~ > py

2. $p !+ 1 ~


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98 David Hilbert

A partir de esta formulaci6n podemos pasar a una proposici6n queexpresa unicamente una parte de la afirmaci6n euclidiana, esto es,. ; .existe un numero primo > p "

Sin embargo, aunque desde el punta de vista concreto este enunciadoafirma mucho menos que el anterior, y aunque el paso de la afirmaci6neuclidiana a este enunciado parcial de la misma parezca tan inocuo, suafirmaci6n independiente del contexto anterior significa un saIto a laesfera de 1 0 transfinite. {Como puede ser esto?Lo que tenemos frente a nosotros es un enunciado existencial [de laforma] "existe", En la proposici6n euclidiana tarnbien apareceria unaafirrnacion de esta indole. Pero aqui, la expresi6n "existe" no es otra cosaque una abreviatura de

p + 1 es prirno, 0p + 2 es prime,3 t ..o p + es pnrno, 0 ... ,0P I + 1es pnrno.

del mismo modo que decimos: entre estos trozos de gis existe uno quees raja, en Iugar de decir: este trozo de gis es rojo a ese trozo de gis esrojo 0......aquel trozo de gis es rojo. Un enunciado de este tipo, en eI quese afirma que en una totalidad finita "existe" un obieto con una ciertapropiedad, se encuentra en completa conformidad con la concepciongeneral finitista que hemos aceptado.

La expresi6np + 1 es primo, 0 p + 2 es primo, 0 p + 3 es primo, 0... a d in!

seria una especie de producto 16gico infinito. Pero at igual que ocurreen el analisis, una transicion de este tipo de lo finito a 1 0 infinite nopuede aceptarse en general, esto es, sin una d iscu sio n esp ecial previa -y,en este caso, sin una observaci6n rigurosa de ciertas precauciones=; deotro modo carece, en principio, de sentido.

Podemos generalizar 10 anterior diciendo que un enunciado existen-cial de la forma "existe un numero con tales y cuales propiedades"unicarnente tiene sentido como enunaado parcia l, es decir, como parte deun enunciado determinado con mayor particularidad y cuyo contenidoexacto carece, sin embargo, de importancia para muchas aplicaciones,

3 M a 5 bien d isyunc ic n, [N . de T .]


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Acerca del in fin i to 9 9

De esta manera, nos topamos con el transfinite a t analizar unenunciado existencial que no puede interpretarse como una disyuncion",Obtenemos igualmente enunciados transfinitos cuando par ejernplonegamos una proposicion universal, esto es, una proposicion que serefiere a numerales indeterminados. Asi, por ejemplo, desde el punta devista finitista, el enunciado de que, para cualquier numeral 8,

a+l=l+&no es susceptib le d e negaci6n~

Podemos explicarnos esta situaci6n si tenemos presente que elenunciado no puede ser interpretado como una expresion compuesta deun numero infinito de igualdades numericas conectadas por la palabra"y", sino que debe serlo como [uicio hipotetico que afirma alga con ta lde que dispongamos ya de un numeral.

Una consecuencia importante de esto es que, de acuerdo con laperspectiva finitista que estamos discutiendo, nos encontramos imposi-bilitados para utilizar el principia segun el cual una ecuaci6n como laanterior, en la que aparece un numeral no especificado es, 0 biensatisfecha por todos y cada uno de los numerales, 0bien refutada par uncontraejernplo. En efecto, esta alternativa descansa esencialmente, entanto que aplicacion del principio del tercero excluido, en la suposici6nde que la validez general de esa igualdad puede sec negada.

Podemos concluir entonces que cuando permanecemos,. tal y comoestamos obligados a hacerlo, en la esfera de los enunciados finites,dependemos de relaciones 16gicas poco claras, y esta ausencia de claridadse convierte en algo intolerable cuando el "todos" y el "existe" secombinan en enunciados subordinados .. Como sea, las leyes logicasutilizadas por el ser humano desde que este tiene la capacidad de pensar)r que Arist6teles nos ha ensefiado no tienen aqui validez.

Asi las cosas, podriamos proponernos como tarea inicialla determi-nacion explicita de las leyes logicas que son validas para la esfera de las4 EI texto aleman dice Vir stofsen also hier auf das Transfinite durch Zerlegung einerexistentialen Aussage, die sich nicht als eine Oder ..Verknupfung deuten I~tlf. En la ver sionde 1930 publicada en los Grund lag rn tier Geo~lr ie ) Hilbert corrige la frase: ~r stoBen alsohier auf das Transfinite durch Zerlegung einer existentialen Aussage inTeile, deren keinersich als nicht eine Oder-Verkntipfung deuten lllit"r Es decir: "nos topamos con el transfinitoa 1 analiza! un enunciado existencial, ninguna de cuyas partes puede interpretarse como unadisyuncion", [N. de T.]


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100 David Hilbert

proposiciones finitarias. Sin embargo, esto no bastaria, pues, en realidad,1 0 que no queremos es precisamente renunciar al usa de las sencillas leyesde la logica aristotelica, y nadie, no importa que tan persuasivamenteargumente, podra impedir que los hombres continuen negando afirmacio-nes de todo tipo, haciendo ju ic io s parc ia le s y aplicando el principio deltercero excluido. Pero entonces ~cual debe ser nuestra actitud?

Recordemos, en primer lugar, que somas matemdticos y que, en cuantotales, nos hemos encontrado ya, con frecuencia, en situaciones igualmentedificiles, Recordemos, adernas, que ha side el genial metoda de loselementos ideales el que en tales circunstancias nos ha saIvado. Hemencionado y~ al comienzo de mi exposici6n, algunos ejemplos notablesde su aplicacion.

De manera exactamente analcga a como i= - J = i ha sido introclucidocon el objeto de mantener en su form a m as sencilla posible las leyes delalgebra, por ejernplo, las relativas a I a existencia y al n umero de raices deuna ecuacion, asi como introducimos factores ideales con el fin depreservar la sencillez de la s leyes de la divisibilidad entre los numerosalgebraicos (por ejemJ1o, hemos introducido un divisor cornun ideal paralo s numeros 2)r 1 + -5 al no existir uno real), tenemos ahora que aiiadira I n s enundados finitos los enunaados i d e a l e s ; conservando de este modo la sreglas de la logica aristotelica en su simplicidad original.

En realidad, no deja de ser extrafio que los principios deductivos queKronecker ataca con tanta pasion sean precisarnente la contrapane de 1 0que despues el misrno, en la teoria de los numeros, encuentra tanadm irable en la obra de Kummer, y que califica con tanto entusiasmocomo el lagro mas elevado de la activ idad maternatica ..

Pero ~c6mo podemos llegar a los enunciados idea les i Una indicacionnotable de la esencial correccion de nuestro procedimiento es el hechode que la via para llegar a esos enunciados consista sirnple y sencillamenteen continuar de manera natural y consecuente el desarrollo seguido parIa teoria de los fundamentos de las matematicas ..

Es fa cil constatar que la maternatica elemental va mas alla de laperspectiva que adopta la teoria intuitiva de lo s numeros. Es decir, elmetodo de calcular algebraicamente con letras no es, en la forma en laque hasta ahara 10 hemos interpretado, algo que forme parte de Ia teoriaconcreta intuitiva de los numeros [inhaltlich-anschauliche Zahlentheo-fie]. En esta, las formulas se uti lizan siempre unica y exclusivamente con


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Acerca del in finite 101

fines de comunicaci6n; las letras se refieren a numerales ) T una igualdadno expresa sino Ia iden tidad de dos signos.

Por el contrario, en el algebra, consideramos a las expresionesformadas por letras como alga aut6nomo, al tiempo que los enunciadosconcretos de la teoria de los numeros son formalizados precisarnente por.esas expreSl0nes.

Asi, en lugar de enunciados acerca de numerales, tenemos formulas,presentandose estas ahora como objetos concretos de nuestra intuici6n;)r, en lugar de las demostraciones concretas de la teoria de los nurneros[inhaltlich zahlentheoretische Beweise] tenemos ahara la derivacion deuna formula a partir de otra de acuerdo con ciertas reglas ..

La que obtenemos entonces es, como 1 0 rnuestra ya el algebra, unamultiplicacion de los objetos finitos. Hasta ahora, estos objetos no eranotros que numerales como 1 , 11 , ... , 1 1 1 1 1 .Estos signos eran, a d e r n a s , losunicos que habian sido objeto de una consideracion concreta, Pero ya enel algebra la praxis maternatica va mucho mas Iejos de eso. A s 1 , auncuando un enunciado resulte perrnisible de acuerdo con nuestro enfoquefinitista en conjuncion con las indicaciones concretas, como, par ejern-pia, I a proposici6n

a+b=b+a.,donde a y b son numerales especificos, la forma de comuriicaci6n queutilizaremos no sera esta, sino

a + h = b+ a.Esta formula no es ya I a comunicacion inmediata de un contenido

[Inhalt], sino tan s610 una construcci6n formal cuya reIaci6n con losenunciados finitistas originales

2+3=3+25+7=7+5

consiste en que en la primera formula los numerales 2} 3, 5, 7 reemplazana a y b , estableciendose con ella, por medic de este sencillo procedirnientodemostrativo, tales enunciados finitistas particulares,

De este modo. entonces, podemos concluir que ni a, ni b , ni =. ni+, ni siquiera la formula


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102 David Hilbert

a+b=b+aposeen, por si m ismos, ningun significado, que ocurre con ellos a esterespecto 1 0 mismo que con los numerales, S in embargo} a partir de esa f6r~mula es po sible derivar otras form ulas a las que si podem os asignar un sig-nificado) considerandolas como comunicaciones de enunciados finitistas,

La generalizaci6n de esta idea nos lleva a una concepcion de la smaternaticas que considera a estas como un inventario de formulas a lasque corresponden, en primer lugar, expresiones concretas de enunciadosfinitistas y a las que se afiaden, en segundo, otras formulas que carecende todo significado y que constituyen los ob jetos idea le s de nues_tra teoria.

Recordemos ahora cual era nuestro objetivo, Por una parte, encon ..tramos en las maternaticas enunciados finitistas que no contienen sinonumerales. Por ejernplo,

3>2,2+3=3+2,2=3, l v l.De acuerdo con nuestro enfoque finitista, estos enunciados s e

presentan como algo inmediatamente intuitive y cornprensible, comoalga susceptible de ser negado, que es verdadero 0 falso, )r en relaci6n aIo cual podemos h acer valer sin ninguna clase de restricciones las reglasde la 16gica aristotelica, EI principio de no contradicci6n -esto es , unenunciado y su negaci6n no pueden ser a la vez verdaderos- y el del"tercero excluido" -es decir, 0 bien un enunciado es verdadero a 1 0 essu negaci6n- son aqu! validos. Asi, si digo que este enunciado es false,esto resulta equivalente a afirm ar que su negacion es verdadera .

Ademas de estes enunciados elementales absolutamente no pro-blematicos, encontramos enunciados finitistas que S 1 10 son, por ejemploaquellos que no se pueden descomponer en enunc iados mas simples ..Porultimo, hemos introducido tarnbien los enunciados ideales, cuya funcionconsiste en presef1lar la validez de las leyes usuales de Ia lcgica,

Ahoran bien, en tanto que no expresan afirmaciones finitistas, losenunciados ideales, esto es, las f6rmulas1 carecen de todo significado, por10 que no podernos aplicarles las operaciones 16gicas de manera concreta[inhaltlich] como a lo s enunciados finitistas. Se hace entonces necesariosometer a un proceso de formalizaci6n tanto a las operaciones logicascomo a las demostraciones m ism as. Pero este proceso requiere, a su vez,de una reformulaci6n de la s relaciones 16gicas en formulas. Por esta razonnecesitamos, aparte de los signos maternaticos, signos lcgicos, v.gr.


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& vo _ _ _ _ ,implica noAdemas de variables maternaticas a, b , c~.... necesitamos de variables

logicas, esto es, de variables enunciativas A,B, C , ~I ~ It~C6mo podemos lograr todo esto? En la h is to ria de la ciencia es

posible observar con frecuencia la existencia de una especie de armoniapreestablecida a la que se debe una serie de desarrollos del conocimientode gran importancia. Es precisamente esa armenia de la que Einstein, porejernplo, saca provecho en su teoria de la gravitaci6n a 1 encontrar comoalga dado en forma ya acabada el calculo general de invariantes .. Porfortuna, esa misma armenia se pone de manifiesto en relacion a nuestraproblernatica, permitiendonos hallar como alga ya elaborado de maneraavanzada el cdlculo logico.Es evidente, por 1 0 dernas, que este calculo Sf crea originalrnente enel marco de una perspectiva completamente diferente a la nuestra. Deacuerdo con ese enfoque, los signos del cllculo logico se introducenexclusivamente como un medio de comunicaci6n. Resulta consecuentecon el curso que hernos seguido despojar ahora a los signos logicos, 1 0mismo que a los signos maternaticos de cualquier tipo de significado ..Segun esto, las formulas del cilculo 16gico no poseen absoIutamenteningun significado; todos ellos son ahora enunciados ideales,

En el calculo 16gico contamos con un lenguaje de signos [Zeichen-sprache] con la capacidad no s610 de dar cuenta en formulas de lasproposiciones de las maternaticas, sino igualmente de expresar por mediode procesos formales las inferencias 16gicas.

Procediendo de manera exactamente analoga al paso de la teoriaconcreta de los numeros al algebra formal, consideraremos ahora a lossignos y a los simbolos de operacion del calculo 16gico como algodesprovisto de su s ignific ado concreto, En Iugar de la ciencia maternaticaconcreta [inhaltliche mathematische Wissenschaft], 1 0 que en ultimotermino obtenernos con todo ello es un inventario de formulas quecontienen signos tanto logicos como maternaticos, y que se ordenansegun reglas definidas, Algunas de estas formulas corresponden a losaxiomas maternaticos, Y ' ciertas reglas (de aci.erdo con las cuales ciertasf6rmulas siguen a otras) corresponden a la inferencia concreta. En otraspalabras, la inferencia concreta es reemplazada por un manejo externo


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104 Dav id H ilb ert

[ausseres Handelnj ' ' segun reglas. Con ella se realiza de manera estrictael transite de un tratamiento intuitive e ingenuo a uno formaL

Por una parte, esta transici6n se lleva a cabo con los axiomas misrnos,considerados ingenuamente en su origen .ccmo verdades basicas y a loscuales la axiom atica m oderna concibe desde hace mucho como merasinterrelaciones de conceptos. Por 1 2 otra, sin embargo, la transici6n tieneIugar tambien en relaci6n al calculo logico, originalmente pensado comoun simple le ngua je d ifere nte ,Como ejemplo, bastara aclarar aqui brevemente la manera en la queha de formalizarse la dem ostr aaon m a temd tic a .

Llamaremos axiomas a ciertas formulas que sirven como punta departida para la construccion del edificio formal de la s matematicas, Unademostraci6n matematica es una figura que se presenta ante nosotroscomo algo intuitive ..Consiste de in fe renc ia s llevadas a cabo de acuerdocon el esquema

en la que cada una de la s prernisas, esto es, de la s formulas quecorresponden a&y a i> --? 1t es0bien un axioma 0resulta de un axiomapor sustituci6n 0coincide con la formula final de una inferencia previao resulta de una formula de ese tipo por sustitucion, Una formula esdemostrable si es la f6rm ula ultim a de alguna demostraci6n.

El programa que hemos enunciado prefigura ya la elecci6n de losaxiomas de nuestra teoria de la demostraci6n ..Y aunque hay algo dearbitrariedad en tal elecci6n, es posible, como en la geometria, distinguirgrupos particulares cualitativamente diversos, de lo s que ahora ofrecere-mos algunos ejern plos,

I. Axiomas de implicaci6n

(introduccion de una suposicion)

5 Esto es, un m anejo form aL [N ~de T .]


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Acerca del infinito 1 0 5

(eliminaci6n de un enunciado)II. Axiomas de la n eg aci6n

(princip io de contradicci6n)A4A

(principio de la dob le n eg acio n).[Del principia de contradicci6n se sigue la formula

(A &A ) ---7 B; } T del p rinc ip ia de la doble negaci6n se sigue el principiodel tercero exduido {(A --) B ) &(A ---)B) } --) B ] 6 ,

Los axiornas de los grupos Iy IIo son, en realidad, otros que losdel calculo de enunciados,III. Axiomas de transfinitud

(a ) A (a ) 4A (b )(inferencia de 1 0 universal a 10 particular, axiama de Arist6teles);

(li) A ~ (Ed)A (a )(si un predicado no se aplica a todos lo s individuos,

hay un contraejernplo);(E a)A ~ (a ) A (a )

(si no hay un individuo al que un enunciado se aplique, entonces elenunciado es falso para toda a ).

En relaci6n a los principios del grupo de axiomas III se pone demanifiesto una situaci6n pDf dernas notable, a saber, que todos losaxiornas transfinitos pueden obtenerse por derivacion a partir de unosolo y que este posee la caracteristica de contener el nucleo fundamental

6 EI texto entre parentesis cuadrados es un aiiadido de la tercera version de 1930. [N. de T .]


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1 06 David Hilbert

del axioma matematico que m a s ha provocado controversias en nuestradisciplina, el axioma de eleccion:A (a) ~ eEA) ,donde g es la funci6n de eleccion transfinita,

A ellos se agregan los axiornas matematicos especiales:N~ A xiom as de la igualdad

a:::: b ~ (A (a) ~A (b)) !y tam bien los

v, Axiomas numericos

' f : l el axiorna de inducci6n completa:{A ( 0 ) & ( x ) (A ( x) ~ A (x' ) ) } ~ A ( a ) 7

Con todos estos axiomas es posible desarrollar una teoria de lademostraci6n que se ajuste a la s ex igenc ias que hemos delineado yerigirun sistema de las formulas demostrables, es decir, la ciencia matematica,

Pero en nuestro entusiasmo por el exito que en general hemosobtenido y) en particular, por contar con una herramienta tan imprescin-dible como e l c i1cu lo Iogico como algo ya dado, no debemos de ningunamanera percler de vista un requisito previa para nuestro proceder yesencial al misrno. Existe una condici6n unica, aunque absolutamentenecesaria, para la aplicaci6n del metoda de los elementos ideales, a saber,fa prueba de am s is tenda :

La extensi6n por medio de la adici6n de id eales es Iicita y permisiblesolamente cuando con ella no se provoca el surgimiento de contradic-ciones en el dominic original, y, en consecuencia, unicamente si alsuprimir lo s elementos ideales, las relaciones que resultan para loselementos originales son validas en la esfe ra origina l.

7 Esta formula no aparece en Ia edici6n de 1925. .Hilbert la afiade, sin embargo, en 1930+{N. de T . l


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Acerca del infinito 107

Es un hecho que en la actualidad estam os en grado de plantearnosy abordar este problema de la consistencia, Es evidente que este se reducea mostrar que con los axiom as y reglas admitidos es imposible obtener"1 7: 1ncomo la formula final, es decir, que la formula "1 * - 1,,.no esdemostrable.

La dificultad a la que aqui nos enfrentamos se ubica fundamental-mente en la esfera de 1 0 intuitive, y ocurre con ella 1 0 mismo que,digamos, en la teoria concreta de los nurneros con el problema del caracterirracional de -fl, esto es, con la demostraci6n de que es imposibleencoritrar dos numerales a y b que se encuentren en la relaci6na 2 = 2b 2; en otras palabras, que es im posible h allar dos numeros con unacierta propiedad, En correspondencia con ello, 1 0 que nosotros tenemosque demostrar ahara es que no puede haber una demostraci6n q ue ex hib a. , ~ciertas caractertsticas,

A l igual que un numeral, una dem ostraci6n form alizada es un objetoconcreto ) 1 ' susceptible de inspeccion, es alga que podemos cornunicarpor completo. Que una formula final tenga 1 a caracteristica en cuestion,esto es, que sea "1 " * 1nconstituye tambien una propiedad concreta yconstatable de una demostraci6n. Ahora bien, la prueba de su imposibili-dad es algo que realmente podernos llevar a cabo y que justifica lain troducci6n que hemos hecho de enunciados ideales ..

A l mismo tiempo, 10 anterior nos ofrece la grata sorpresa deconstituir tambien la soluci6n de un problem a que se habia convertidodesde hace tiempo en algo verdaderamente perentorio, el de la de-mostraci6n de fa cons is tencia de los a xioma s de la arttmitica:

La aplicaci6n del metoda axiomatico plantea de manera natural lacuesti6n de la consistencia, L a eleccion, la interpretacion y el rnanejo delos axiornas no pueden estar basadas simplemente en la buena fe y en 1 0que nuestras creencias nos indiquen. Tanto en la geometria como en lafisica es posible dar pruebas de consistencia relativa, esto es, de reducirel problema de la consistencia en esas esferas a 1 a consistencia de losaxiomas de la aritrnetica. Pero es evidente que no tiene sentido buscaruna demostraci6n de ese _tipo para la aritrnetica rnisma.

En la medida en la que nuestra teoria de Ia dernostracion, basada enel metodo de los elementos ideales, hace posible este ultimo y decisivepaso~ constituye una especie de punto final y necesario en la construcci6ndel edificio de la teoria axiomatica, Y 10 que ya hemos tenido que padeceren dos ocasiones, primero con las paradojas del calculo in fin ite sima l y


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108 David Hilbert

luego con las paradojas de la teoria de conjuntos no podra pasarnos unatercera vez, no volvera a pasar nunca.

Podemos decir, entonces, que Ia teoria de la dernostracion, cuyosrasgos principales acabamos de bosquejar, no s610 se encuentra encondiciones de dar una base firme y segura a las matematicas, sino queabre tambien una via novedosa para abordar los problemas generales decaracter fundamental que caen dentro del dominio de nuestra disciplinay a los que antes no podiamos abocarnos.

Las mate mati cas se convierten asi en una especie de tribunal superior,esto es, en un tribunal de suprema instancia para la evaluacion yresoluci6n de cuestiones de principio, siempre sabre una base concretaen relaci6n a la eual es no solo posible un consenso, sino al mismo tiempoun control de cada afirmaci6n.

En m i opinion, inclusive los planteamientos del "intuicionismo",no importa que tan modestos sean, pueden adquirir su justificaci6nunicamente ante este tribunal.A manera de ejernplo del tratamiento de este tipo de cuestionesfundamentales, consideremos la tesis de que todo problema en lasmatematicas posee una solucion, Esta suposicion es compartida portodos los matematicos, De hecho, una parte muy importante delatractivo que puede tener para nosotros la ocupaci6n con un problemaen las matematicas reside precisamente en que de alguna manera es..cuchamos una especie de llamado: "All! tienes el problema .. iBusca lasoluci6n! Puedes hallarla con la sola ayuda del pensamiento; ien lasmaternaticas no hay ignorab imus !JJ8 !

Ciertamente, Ia teoria de la demostraci6n no puede proporcionarun metoda general para resolver todos los problemas maternaticos ..Noexiste algo de este tipo. Sin embargo, 1 0 que sf cae dentro del campo deacci6n de nuestra teoria es la prueba misma de 1 a consistencia de lasuposici6n del caracter resoluble de todo problema matematico,

Pero me gustaria argumentar todavia como sigue ..L a prueba definitivapara la evaluaci6n de cualquier teoria nueva la constituye su capacidad para

8 Hilbert se refiere aq ui a . Ia posicion de Emil duliois-Reymond acerca de la Iirni taci6nesencial de la razon humana en el conocirniento de Ia naturaleza y , particularrnente, a suirn posibilidad para resolver ciertos prob 1emas (rnateria, fue rza, origen del movim ie u to ,conciencia, etc.), Dubois-Reymond resurnia sus ideas en la afirmaci6n Ignoramus et i g -norab imus (ignoramos e ignorarernos]. [N.de T~]


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Acerca del infinite 109

resolver problemas planteados antes de que ella existiera, problem as cuy asoluci6n no formaba parte de las razones especificas para crearla. "Por susfrutos los conocereis" es tarnbien un principio valido para las teorias, Asi,inmediatamente despues de que Cantor descubre los primeros numerostransfinitos, esto es, los numeros de la segunda clase, se plantea el problemade determinar si realmente es posible contar con tales numeros conjuntosya conocidos j" que en un sentido normal no son numerables.

Uno d e e sto s conjuntos es evidentemente el de los puntas de la recta.La cuestion de si los numeros de la tabla que hemos formulado anterior-mente bastan para contar los puntos de la recta, es decir, los numerosreales, constituye el celebre problema del continuo, que Cantor mismoplantea, pero no resuelve, Al principio, algunos maternaticos creyeronpoder desernbarazarse de este problema simplemente negando su existen-cia. Los puntas que a continuaci6n sefialarnos muestran claramente 1 0equivocado de tal actitud.EI problema que el continuo plantea se caracteriza por Sll originalidad'Y 'su belleza in terna ..Pero, ademas , posee en relaci6n a otros p ro blem astam bien celebres en las m atem aticas dos rasgos distin tivos y . preeminentes.POT una parte, su soluci6n requiere de vias alternativas y novedosas, puestoque los metodos conocidos fallan en este caso; por la otra, su soluci6nresulta par si m ism a de mayor interes en vista del resultado a obtener.

La soluci6n del problema del continuo es algo que puede realizarsecon la teoria que hemos desarrollado. De hecho, la prueba de que to doproblema matematico tiene una solucion representa precisamente elprimer paso de importancia en esa direcci6n.

La respuesta al problema del continuo es afirmativa, esto es, los puntasde una recta pueden ser contados por media de numeros de la segundaclase, 0 para decirlo en forma popular, que un simple conteo que seextiende m a s alla del infinito numerable [ein blosses H in iiberzah len iiberdas abzahlbare unendlich] basta para agotar los puntos de Ia recta,L J am arem os a esta afirmaci6n e l teorema del continuo. L a que sigue es unabreve exposici6n de las ideas b asic as d e una demostraci6n del mismo.

En lugar del conjunto de los numeros reales consideraremos algaque es evidentemente equivalente, el conjunto de las funciones numericas,esto es, el de las funciones cuyos argum entos jr valores son siem pre,numeros enteros ..

Si querernos ordenar el conjunto de estas funciones en el sentidorequerido par el problema del continuo, es necesario hacer referencia al


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110 David Hilbert

proceso de generaci6n de una funci6n individual. Sin embargo, unafunci6n de un solo argumento puede estar definida de tal manera quelos valores que tome para algunos argumentos, 0 para todos ellos,dependa en cada caso de la so luci6 n de a lgUn p roblema matematico biendefinido, por ejernplo, de la soluci6n de ciertos problemas diofantinoso de la existencia de numeros primos con determinadas caracteristicas, 0de la cuesti6n de 5 1 un numero dado (digam os 2 ,fI) es irracional,

Precisamente para evitar esta dificultad podemos recurrir a la afir-maci6n mencionada con anterioridad acerca de la soIubilidad de cual-quier problema maternatico bien definido. En realidad, esta afirmaci6nno es otra cosa que un lerna general que se ubica en un ambito al quepodemos l lamar metamatemdtica; e s dec ir J en Ia esfera de la teoria concretade las demostraciones fo rma liz adas [inh aItlic he Theorie der formalisier-ten Beweise].. Podemos formular como sigue la parte de ese lema queresulta de importancia para nosotros.. .

L E1 'v1AI . Supongamos que tenernos una versi6n formalizada de unademostraci6n que contradice el teorema del continuo y que esa formali-zaci6n ha sido llevada a cabo por medic de funciones que requieren parasu definicion del signa transfinito E (grupo III de axiomas). Resultaentonces posib le su stitu ir esas funciones por otras, defin idas ex clusi-vamente par re cu rsio n o rd in aria } T transfinita y sin apelar al signa E, deta l manera que 1 0 transfinito solo aparece en la forma del cuantificadoruniversal, ( ) ,.EI desarrollo cabal de la teoria de la demostraci6n requiere, sinembargo) de ciertas estipulaciones de las que ahora nos ocuparemos.

Para lo s enunaados variables [variable Aussagen] (formulas indetermi-nadas) utilizarernos siernpre letras latinas mayusculas, mientras que paralos enuncia dos con sta ntes [individuelle Aussagen] (f6rmulas especificas),nos serviremos d e letras g riegas may usculas, AsiJ por ejernplo,

Z (a) !"a es un nurnero entero ordinaria";N (a ) : "a es un nurnero de la segunda clase",

Para las v ar ia bles m a temd tica s se utilizaran siempre letras Iatinasm inusculas, m ientras que para los objetos matemdticos constantes (funcionesespecificas) recurriremos a la s le tra s griegas minusculas,

En relaci6n al procedimiento desustitucion seran validas la s siguientesconvenciones generales.L a s v ariab les enu nciativas [Aussagenvariable] deben ser sustituidasunicarnente por otros enunciados (formulas) indeterminados 0constantes.


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Una variable rnaternatica puede ser sustituida por una FIgura [Figur]cualquiera, Sin embargo, cuando una variable maternatica aparece en unaformula, el enunciado constante que caracteriza su tipo debe aparecerantes del signo de implicacion, Por ejemplo,

Z (a ) ~ ( ... a t h ) ,N (a) -) (.u a ...) .

Nuestra convenci6n tiene el efecto de que, por ejernplo, en lugar dea en Z (a) 0en N (a) unicarnente sean perrnisibles las sustituciones deesta variable par numeros ordinarios 0 por nurneros de la segunda clase,..respeen vamen te.

L as letras g6ticas mayusculas y minusculas son siernpre indicadores[Hinweise] y se u tiliz an exc lu sivamente para comunicar informacion ..

Es necesario dejar en claro que por "Figura" estamos entendiendoaqui un objeto compuesto a partir de signos primitives y que se presentaante nosotros como algo intuitive,

Para tener una idea completa de la linea que sigue la demostraci6ndel teorema del continuo es indispensable ante todo una comprensi6nprecisa del concepto de variable maternatica en su acepc i6n m a s general,

Las variables rnatematicas son de dos clases:(1 ) las variab les primltiuas [GrundvariablenJ,(2 ) los tipos variab les [Variablentypen],(1 ) Mientras que en la aritmetica } J F el analisis en su totalidad es

suficiente contar con los numeros enteros ordinarios como unicasvariables primitivas, tenemos ahora que a cada una de las clases numericastransfinitas de Cantor le corresponde una variable primit iva que puedeadoptar la forma de numeros ordinales de esa cIase. En consecuencia, acada una de e sa s variable s se encuentra asociado un enunciado que lacaracteriza. Este enunciado se encuentra a su vez caracterizado de maneraimplicita por los axiornas, Por ejemplo,

Z (0))Z (a ) ~ Z (a + 1) }{ A (0) & (a ) (A (a ) ~ A (a + 1) ) } ~ { Z (a ) ~ A(a) }(formula de la induccion normal)


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112 David Hilbert

N (0) JN (a ) --7 N (a +1) ,(n) { Z (n ) --) N (a) } --) N lim a (n) ;

y ademas la formula de la inducci6n transfinita para los nurneros de lasegunda clase.

A cada clase de variables primitivas corresponde un tipo especificode recursion, Por media de esta pueden definirse funciones Cll)rosargumentos son precisamente las variables primitivas de esa clase. Larecursion asociada a las variables numericas no es otra que la "recursionordinaria", Por medio de ella, una funci6n de una variable numerica nse encuentra definida cuando se da su valor para n = 0 } r se especificac6mo puede obtenerse el valor de la funci6n para n + 1 a partir del valorpara n. La generalizaci6n de la recursion usual es la recursion transfinita,CUjrO principia general consiste en la determ inacion del valor de Iafunci6n para un valor de la variable recurriendo a los valores anterioresde esa misma funci6n.

(2) A partir de las variables primitivas obtenemos por aplicaci6nde la s operaciones 16gicas a lo s enunciados asociadas con esas variablesotros tipos v a r i a b l e , V . g r r Z y N o . Las variables definidas de esta manerase Ilaman tipos variable, mientras que los enunciados asi definidosreciben el nombre de enuna ados tip o [Typenaussagen]. Para estes ultimosse introducen cada vez nuevos signos constantes. L a formula.

(a ) {Z (a) --7 Z (f(a )) }constituye el ejemplo mas sencillo de un tipo variable. Es decir, estaformula define la variable funcionalJ y~en tanto que enunciado tipo,es denotada por 4 > (f) , "ser una funcion".

Otro ejernplo nos 1 0 ofrece la formula(f) { e l l


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Para la caracterizaci6n de los tipos variables superiores es necesarioproveer de indices a los enunciados tipo, Un enunciado tipo que constaya de un indice se define recursivamente, de ta l modo que en su definicionaparezca ahara en Iugar de la igualdad ( = ) la equivalencia 1 6gica ( ~ ).

Tanto en la a ritme tic a como en el analisis, las unicas variablessuperiores que se utilizan, en interaccion finita son: la s funciones, lasfunciones de funci6n, etc.

Un tipo variable que va mas alla de estos sencillos ejernplos nos 1 0ofrece la variable g que asocia un valor numerico g (In ) a cualquiersucesi6nfn que consista de

una funci6n/t de un nurnero entero: < b (/1);una funci6n de funci6nJ2 : ' (f2 ) ;una funcion f3 de una funci6n de funci6n;etc,

Podemos representar el enunciado tipo correspondiente, < lt r o ( g ) ,por media de la s siguientes equivalencias:

n ( b ) --J. Z (f( b ) ) } ,cp 0 0 ( s )~{ ( n " ) < l > n (fn ) ~ Z ( s (f)) } ;

que constituyen igualmente un ejemplo de la definicion recursiva de unenunciado tipo.Los tipos variable pueden clasificarse de acuerdo con su nivd

[Hohe]10. En el nivel 0 se encuentran todas las .constantes numericas; enel nivel 1, todas las funciones cuyos argumentos y valores poseen en Slltotalidad la propiedad de una variable primitiva, por ejemplo, la pro-piedad Z 0 la propiedad N. Una funci6n cuyo argumento } T CUj,TO valorposeen un nivel determinado es de un nivel superior en 1que el del mayorde esos dos niveles de su argumento y su valor ..Una sucesi6n de funcionesde distintos niveles tiene como nivel eI limite de eSDS niveles . .

Una vez realizados estos preparatives podemos retomar nuestroproblema original. Recordemos que para la prueba del teorema del

1 {1 La traduccion literal de la palabra Hiibe es "altura", Utilizarnos la palabra "nivel" porconsiderarla mas adecuada, [N. de T.]


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continuo resulta e sen cia l estab lec er una correspondencia biunivoca entrelas definiciones de las funciones numericas en las que no aparece elsimbolo E y lo s numeros cantorianos de la segunda clase;0bien estableceruna correspondencia de tal modo que toda funci6n de ese tipo resulteasociada al menos a un numero de la segunda clase ..

Es evidente que los mecanismos elementales para la construcci6n defunciones son, por una parte, la sustitud/m (es decir, el reemplazo de unargumento por una nueva variable 0 una nu eva funci6n) y Ia recursion(segun el esquema de derivar el valor de la funci6n para n + 1 a partir desu valor para n).

Podria pensarse que a estos dos procedimientos, sustituci6n yrecursion, deberlan agregarse otros rnetodos elementales de definicion)por ejemplo, la definici6n de una funci6n explicitando sus valores hastaun cierto punta, a partir del cualla funci6n es constante; tambien ladefinicion por media de procesos elementales obtenidos a partir de lasoperaciones aritrneticas como el residuo en la division, la del maximocornun divisor de dos numeros, y la definici6n de un nurnero como elmenor entre una cierta totalidad finita de numeros dados.

Sin embargo, todas esas definiciones pueden representarse comocasas particulares de la s operaciones de sustituci6n y recursion, Enrealidad, el metodo de buscar las recursiones requeridas equivale, en 1 0esencial, a una argumentaci6n que establece el caracter finitista delprocedimiento de definicion de que se trate,

Es importante ahara tener llna visi6n de con iunto de los resultadosde que esas dos operaciones nos proveen, En relaci6n a las recursionesque pueden utilizarse, Ja existencia de diversas posibilidades en el pasode nan + 1, impide una formulaci6n unitaria, si es que hemos delirnitarnos a la operaci6n con variables numericas ordinarias. Un cjemplobastara para reconocer esta dificultad.Consideremos las funciones

a + b :,a partir de elias se obtiene por iteracion (n veces)

a+a+ .....+a~a n.Asimismo, podemos pasar de a b a

na- a : .1'~ a-=a


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Acerca del in fin ite 1 1 5

y de a b a

De este modo, obtenemos en sucesion las funcionesa + b = < [ > 1 ( a , b ) ,a- b = C P 2 ( a , b ) ,

ba = C P 3 ( a ) b ) .ql4 ( a J b ) seria el b-esim o termino en la sucesion

De manera exactamente analoga, podemos llegar luego ar p 5 ( a ) b ) , < . p 6 ( a , b ) , etc.

Ciertamente podriamos ahora definir por sustituciones y recursionesC P r : ( a , b ) para n v aria ble s" p ero esas recursiones no se obtendrian -derecursiones ordinarias sucesivas, sino que m a s bien nos veriamos con-ducidos a una recursi6n multiple para _varias variables tomadassimultaneamen te. La resoluci6n de esta recursion en sucesiones recursivasordinarias no se logra sino ruanda utilizamos el concepto de variablesfuncionales. La funci6n c p a ( a , a ) seria un ejernplo de una funci6n dela variable numerica a que no puede ser definida solamente por susti-tuciones y recursiones ordinarias sucesivas, si es que solo aceptamosvariables numericas'" ..

L as f6rm ulas1(f~ a ; 1) = a ,1 (f, a , n + 1) = f( a J t < 1 , a J n ) ) ;< p I ( a , b ) ~ a + b J< p n + 1( a t b ) = t ( < p n , a , b ) ,

11 La dernostracion de esta afirmacion se debe a W. Ackermann.


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116 David Hilbert

en las que t es una funci6n especifica de tres argumentos, de los cualesel primero es una funcion de dos variables nurnericas ordinarias, rnues-tran la manera en Ia que podemos definir la funci6n c p n ( a , b) utili-zando variables funcionales.

Un ejemplo de una recursion mas com plicada es el siguiente:,+,o(a)=a(a)

r . p n + 1( a) = ( ( a , n , < i '" ( c p n ( n + a ))) ,donde a y f representan expresiones conocidas de uno y tres argumentosrespectivamente. Lo peculiar de esta recursion consiste en que en ella elvalor numerico de n + 1 no se deriva del valor correspondiente para n,sino que la determinacion de q > n + 1 requiere que se conozca el curso[Verlauf] de la funci6n < P n .

Todas las dificultades que estos ejernplos nos plantean pueden sersuperadas si recurrimos a los tipos variable, EI esquema general derecursion se encuentra caracterizado de Ia siguiente manera

p(U,a)O):: : :a,p ( g , a ~n + 1 ) = g ( p ( g t a , n ) , n ),

donde a es una exp re si6 n dada de un tipo variable arbitario; 1 1 es tambienuna expresi6n dada de dos argumentos, de los cuales el primero es delmismo tipo variable que a, mientras que el segundo es un numero, g debe,ademas, satisfacer la condici6n de que su valor sea del misrno tipo variableque 8. Por ultimo, p es Ia expresion definida por la recursion, dependede tres argurnentos y tiene eI mismo tipo variable que a, una vez que seh an IIevado a cabo las sustituciones correspondientes para g, a y n. Apartede esto, en a, _ g y, en consecuencia, tambien en p pueden aparecerparametres arbitrarios ..

A partir de este esquema general y pDf sustirucion obtenernosrecursiones definidas, As1 v.gr. podemos obtener las recursiones denuestros ejernplos, considerando a f y a a en el prim er caso comoparametres, y represcntando, en el segundo, el paso de < p n ( a) ac p n + 1 ( a ) como un paso mediado par la funci6n de funci6n 1 1 de unafunci6n f . P n a otra 'P n + 1 . , de tal manera que a no se considere nunca unparametro en la re cu rs ion .


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Comparada con la recursion elem ental! la recursion que hernosutilizado en nuestros dos ejernplos tiene una m ayor extension, pues en.un caso hemos introducido un parametro superior que no es un numeroentero ordinario, mien tras que en el otro hem os elegido para a unafunci6n y ~ para g una funci6n de funciones.

L o s tipos variable constituyen un enlace que h ac e posib le estableceruna correspondencia entre las funciones de una variable numerics )r losnurneros de la segunda clase. De hecho, llegam os a una correspondenciaasi entre los numeros de la segunda clase y ciertos tipos de variablescuando comparamos los dos procesos de generaci6n de lo s numeros dela segunda clase, esto es, el p roceso de afiadir una unidad y el del limitede una sucesi6n numerable, con el modo que incrementan los tiposv ariab le su n iv el. E stab lezcamo s una correspondencia entre el proceso deafiadir una unidad Y ' el de tomar una funci6n [Funktionen-Nehmen], esdecir, la formaci6n de una funci6n que tiene como argumento a un tipovariable dado y fa forrnacion de un nuevo tipo variable mediante la unionde una sucesion numerable de tipos variable. Y designemos ahara comotipos Z a aquellos tip os v ariab le que correspondan a los numeros de lasegunda clase.

Tenemos asi que, adernas de las operaciones logicas, en la construe ...ci6n de los tipos Z se utilizan unicamente las recursiones ordinarias (notransfinitas), precisamente aquellas que resultan necesarias para enumeraruna sucesi6n de tipo como paso preparatorio para el proceso del limite.Una vez que hemos ordenado estos tipos Z de acuerdo con su nivel;tenemos una correspondencia biunivoca en la cual a cada numero de lasegunda clase, se le asocian los tipos variable de un n ivel de te rminado .

Perc con ella habremos llegado tambien a una correspondenciabiunivoca entre las funciones definidas por medio de los tipos Z y losnurrieros de la segunda clase, Para percatarse de esto bastara considerarla siguiente argumentaci6n. S i estab lecemo s lo s tipos variable unicamentehasta un cierto nivel, construyendo luego las funciones exclusivamentepar media de sustituc i6n y recursion, 1 0 que obtenemos es siempre unatotalidad num erable de funciones. Podemos tambien formalizar demanera estricta esa enumeracion .. En particular, podemos hacer estogenerando, en primer lugar, una fu nci6 n recu rsiv a p que abarque todaslas recursiones en cuesti6n y que, en consecuencia, contenga un parame-tro que sea m ayor que los tipos variable adm itidos hasta ese momen to .La definicion de p es una aplicacion del esquem a general de recursion,


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de modo tal que eI usa de un tipo de variable superior se convierte enalgo esencial,

to que entonces hacemos es ordenar de acuerdo con su nivel lascspecializaciones im portan tes de los tipos var iable que aparecen en p, con1 0 que obtenemos la s diferentes susti tuciones iniciales. S i colocamosluego a estas en una sucesi6n numerable y tomamos como principio deordenaci6n eI nurnero de las sustituciones a realizar, obtendremosfinalmente las funciones que queriarnos definir.

E1 esquem a de prueba que hemos presentado supone esencialmentela teoria de los numeros de la segunda clase, L o s numeros de esta clasehan sido introducidos simplemente como resultado del proceso con ...tinuado de contar m a s a l t a del infinito numerable, y hemos caracterizadoluego e l e nu nc ia do constante N , "ser numero de la segunda clase" pormedia de axiomas.

Sin em bargo , esos axiornas proporcionan tan s610 el marco generalpara una teoria, Una fu nd amenta ci6 n mas precisa de la misma requierede una investigaci6n del modo en el que debe formalizarse el procesocontinuado de contar mas alla del infinito numerable. Esto se lograaplicando ese proceso a una sucesi6n. La sucesi6n misma no puede darsesino por media de una recursi6n ordinaria y para esta nuevarnente sonnecesarios ciertos tipos.

Aunque esta situacion parece presentar una dificultad irnportante,en realidad resulta que precisamente gracias a una argumentaci6n de estaindole puede obtenerse de manera mucho mas restringida la correspon ...dencia entre los numeros de la segunda clase y la s funciones de unavariable nurnerica.

L os tipos variable que necesitamos para la construcci6n de losnumeros de la segunda clase pueden obtenerse sustituyendo formalmenteen uno 0 varios lugares de lo s enunciados de tipo definitorios quetenernos hasta ese momenta el signa Z por el signa N..Los tip os variablesque resultan de ella se 1 1am an tipos N .. Es evidente que los tipos Z y lo stipos N correspondientes son siempre del mismo nivel,

Por 10 dernas, no es necesario asignar a un numero dado de lasegunda clase la totalidad de las funci6nes del mismo nivel, sino queahora es posible establecer una correspondencia reciproca entre losnumeros de la segunda clase y la s funciones, de acuerdo con el niveI delos tipos variable necesarios para su definicion. En d eta lle , ta l correspon-dencia se podria caracterizar como sigue,


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Acerca del infini to 119

Si en los tipos Z llegamos unicamente hasta un cierto nivel, el nivelde los tipos N correspondientes se ve tambien restringido, A partir delos nurneros de la segunda clase construidos con estos tipos podemosobtener, por medio de una sucesi6n creciente, un numero mayor de lasegunda clase definido con ayuda de un tipo variable de mayor nivel ..

PDf otra parte; si tenemos tipos N de hasta un cierto nivel, entoncestarnbien las funciones definibles por medic de los tipos Z correspon-dientes pueden ser enumeradas, a saber, segun e l n ume ro de las sustitucio-nes, tal y como 10 hemos descrito anteriormente. Como es bien sabido,con una enumeraci6n c p ( a J n ) de este tipo, podemos llegar, utilizandoel metodo de diagonalizacion cantoriano, por ejernplo, construyendo< p ( a , a ) + I,a una funci6n distinta a todas la s funciones enumeradas}r que no puede, en consecuencia, ser definida por medic de los tiposvariable anteriormente aceptados,

Con todo ella habriarnos hecho posible el establecimiento de unacorrespondencia biunivoca entre aquellas funciones definibles en elmismo nivel ( j 1 ' " cuya totalidad es numerable) y lo s n ume ro s de Ia segundaclase definibles en el nivel correspondiente, pero no en un nivel anterior ..De esta manera, toda funci6n re su lta a sociada con al rnenos un num erode la segunda clase.

Sin embargo, la demostraci6n del teorem a del continuo no terminaalli, pues requiere de una complernentacion esencial, Un examen delcurso que ha seguido nuestra investigaci6n hace ver que para construirla correspondencia buscada ha sido necesario hacer ciertas suposiciones;estas tienen un efecto restrictivo en un sentido doble. Por una parte,porque nuestro esquema general de recursion. para p unicarnente repre-senta el caso de la recursion ordinaria, en la que la variable segun la cualla recursion avanza es la variable numerics ..Por la otra, porque hemosrestringido los tipos variable a aquellos que se obtienen por media delp ro ce so con tin uado de contar m a s alla de las sucesiones numeradas ..

Es un hecho que las recursiones transfinitas y , en consecuencia, lo stipos variable de nivel superior, resultan imprescindibles en la investi-gaci6n maternatica, por ejemplo, para la construccion de funciones devariable real con ciertas propiedades. Pero en relaci6n al problema quenos ocupa, esto es, cuando se trata de construir funciones de unavariable numerica, en realidad no necesitamos esas recursiones supe-riores, ni de los tipos variable de esa especie. Podemos mas bien recurriral siguiente lema ..


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L EMA II. Para la obtenci6n de funciones de una variable numericalas recursicnes transfinitas resultan d ispensable s .. E s decir, la recursionordinaria, que opera y avanza segun una variable nurnerica, basta no solopara el proceso de construcci6n real de las funciones, sino que al mismotiempo las sustituciones requieren unicamente de tipos variable para cuyadefinicion es suficiente la recursion ordinaria.

Expresado de m anera mas precisa y acorde a nuestro enfoquefinitista, ellema diria 1 0 siguiente ..S i p ara Ia constru cci6n de una funci6nque tiene como unico argumento una variable nurnerica ordinaria seutiliza una recursion superior 0un tipo variable correspondiente, enton-ces podemos definir siempre a esa funci6n por medio de recursionesordinarias y utilizando exclusivamente tipos Z..

El siguien te ejemplo podra aclararnos el sentido y el alcance denuestro lema.

Supongamos que se ha formalizado la correspondencia de la sfunciones de un argumento numerico y los numeros de la segunda clase.Con ello tendriamos tambien una cierta funci6n S ( a , n ) que asignaun numero ordinario a l par formado por un numero arbitrario a de Iasegunda clase numerica y el numero ordinario n; ~ ( a J n ), con a fija yn variable, representa precisamente la funci6n asociada a a. Sustituyamosahara a por un numero de la seg un da clase nurnerica a n que dependede n, y consideremos que la sucesion ha sido definida por recursionordinaria 0transfinita, por ejemplo,

anUn+l=m .Entonees ~ ( an J n ) es una funcion de una variable nurnerica n y

nuestro lema II afirrnaria que esa funci6n tam bien puede definirse POfrecursion ordinaria por medio de tipos Z ! J mientras que una definicionde ~ ( a J n ) por esos medics es irnpos ib le , puesto que la suposicion de1 0 contrario conduce a una contradiccion,

Es irnportante subrayar nuevamente que la exposici6n que acabamosde presentar no contiene mas que las ideas basicas de una demostraci6ndel teorema del continuo. La realizaci6n completa de las id eas basicas,ademas de la demostraci6n de los dos lernas, requiere de ciertas reformu-Iaciones cuidadosas en el sentido de la s exigencias finitistas.

Intentemos, por ultimo, extraer algunas consecuencias globales denuestras reflexiones en relaci6n a nuestro problema inicial del infinite ..


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El infinito no tiene ningUn tipo de realidad, no existe en lanaturaleza ni es aceptable como fundam ento de nuestro pensamientointelectivo [verstandesmassig]. Es decir, en relacion al infinito se da unanotable y arm6nica coincidencia entre el ser y el pensar ..

En abierta oposici6n a los intentos de Frege y Dedekind, podemosconcluir que existen ciertas representaciones e ideas intuitivas que resul-tan imprescindibles como condici6n de posibilidad de todo cono-cim iento cientifico: la 1 6gica no b asta. L a s o peracio nes con eI infinitenecesitan para ser seguras de una base finita,E l papel que restaal infinito es el de una idea, segun la concepci6nkantiana de esta, como un concepto de la razon que supera todaexperiencia y por medio del cual se complementa 1 0 concreto en el sen tid ode una totalidad, Pero a la vez, el infinito es una idea en la que podemosconfiar sin reservas en el m arco de la teoria que acabo de delinear.

Para finalizar, quiero dejar constancia aqui de mi sincere agradeci-miento a Paul Bernays por su comprensiva colaboraci6n y por suinestimable ayuda, en particular en 1 0 relativo a la demostraci6n delteorema del continuo.


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L a fundamentaci6nde la teoria elemental de numerosCuando en la esfera de las matematicas examinamos las dos fuentes

de nuestro conocimiento, es decir, la experiencia y el pensamiento puros,surge una serie de ideas que podrian tambien resultar de interes para lafilosofia. Todas ellas nos remiten a algo comun a esas dos fuentes, en sitan diversas, del conocirniento. Asi, pOI ejernplo, podemos observar launidad de Ia sustancia en la materia, aunque, por otra parte, la unidadde los fundamentos se presenta igualmente ante nuestro pensamientocomo una exigencia a cumplir y como alga que en muchas ocasionestambien logramos satisfacer ..

La unidad de las Ieyes de la naturaleza, que a veces se nos aparece deforma tan sorprendente, puede ser considerada como un ejernplo deambas fuentes. Sin embargo, un fen6meno aun m a s notorio que el deesta idea de la unidad es el que podriamos llamar la armenia prees-tablecida, que pone claramente de manifiesto Ia existencia de una relaci6nentre la naturaleza y el pensamiento.

"El ejernplo m a s extraordinario y maraviIloso de la rnisma nos 10 ofrecela ahara celebre teo ria de la relatividad de Einstein. En ella, la exigenciageneral de los invariantes determina por si sola, de manera univoca, lascomplicadas ecuaciones d ife renc ia le s paralos potenciales de gravitacion.Perc esa determinaci6n no seria posible sin el profundo trabajo deinvestigacion llevado "a cabo par Riemann c on mucha anterioridad. Enrealidad, el hecho de que un sistema formal particular tan complejo, concoeficientes numericos, tenga su origen en una idea general) constituye uncaso m a s bien aislado, inclusive en el analisis maternitico.

La teoria de la demostracion, que a continuaci6n discutiremos,representa igualmente un ejernplo de armonia prees tablecida ..Esta teoria


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se sirve del llamado cilculo logico, desarrollado con anterioridad confines muy diferentes, es decir, para la sola abreviatura y comunicaci6n deenunciados,

Ahora bien! una observacion cuidadosa nos conduce a la conclusionde que, aparte de la experiencia yel pensamiento, existe una tercera fuentedel conocimiento.. Aunque en la actualidad ya no podemos estar deacuerdo

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