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DC, Linear AC and Nonlinear AC Stability Analysis Using Bifurcation and Nyquist Theory

Jake Goldstein and Mehdi Soltan

현대의 통신시스템에서 파워 앰프 , LNA,

gain blocks, 체배기, 발진기를 설계하는데는

선형성, 전력효율, 채널간의 간섭(crosstalk),

넓은 영역의 입력 전력과 임피던스에 대한

안정적인 동작 등을 포함하는 여러 가지 설

계기준들간에 세심한 선택을 필요로 한다.

파워앰프의 선형화나 채널간 crosstalk 를 최

소화시키기 위해서나 Noise Figure(이하 NF)

에 사용되는 대부분의 기술 때문에 회로는

결국 여러 개의 비선형 능동소자를 가지는

복잡한 구조가 된다. 성공적인 증폭기 , 체배

기, 발진기 설계의 중요한 기준 중의 하나

는 DC 입력과 입출력단자의 여러 가지 출

력 변화 형태, 종단 임피던스에 대한 안정

성이다.

Classical Stability Analysis And Its Limitations

RF/microwave 회로의 안정성 분석은 회로가

지속적으로 작동하는지(예를 들어 증폭기에

서 발진은 없는지, 발진기가 지속적인 발진

을 하는지)를 가늠하는 좋은 척도이다 . 회로

안정성은 능동소자, 입출력 정합회로 , 터미

네이션들의 S-parameter 에 의해서 결정된다.

2 단자 회로망은 주어진 주파수에서 모든

수동소스와 부하가 진동에 대해 안정하면

무조건부로 안정한(unconditionally stable)이라

고 한다. 2 단자 회로망이 무조건부 안정성

을 가지고 있지 않으면 잠재적으로 불안정

하거나 조건적으로 안정하다(conditionally

stable). 두 번째의 경우, 임의의 수동 소스와

부하의 조합에 의해서 2 단자 회로망은 발

진할 수 있다.

2 단자 회로망에 대해, 무조건부 안정성의

필요충분조건은 안정 팩터(stability factor)

K(Rollet ’s factor)가 1보다 크고, 입력 임미턴

스 패러미터 11γ , 22γ 가 0 보다 커야한다.

또한 이때 이상적인 터미네이션을 갖는 2

단자 네트웍의 폴은 왼쪽 평면에 있어야한

다. 이 원리는 K 와 ∆ (산란 행렬식) 그리고

회로망의 특성 진동수들의 영점들(zeros)에

의해 표현된다 . 즉 1>Κ 이고 1<∆ , 회로

망의 특성 진동수들의 영점들(zeros)이 왼쪽

평면에 있으면 무조건부 안정성을 갖는다.

2 단자 회로망의 반사계수와 S-parameter 로

주어진 주파수에서 무조건부 안정성의 조건

은 1<Γs , 1<Γl 그리고 1<Γout 이다.

여기에서

l

lin S

SSS

Γ−Γ

+=Γ22

211211 1

s

sout S

SSS

Γ−Γ

+=Γ11

211222 1

1<Γs , 1<Γl 일 때, 무조건부 안정성의

필요충분조건은

12

1

2112

22221111 >∆∆+−−

=ΚSS

SSSS

121122211 <−=∆ SSSS

조건부 안정의 경우( 1<Κ ), Figure 1 은 스

미스 차트에서 SΓ 와 lΓ 의 궤적을 나타낸

2

다. 여기에서 1=Γout , 1=Γin 을 만들어내

는 SΓ 와 lΓ 의 값은 각각 입력과 출력 안

정원(stability circle)이라고 부른다. SΓ 와

lΓ 평면에서 안정원의 반지름 r 과 중심 c

는 각각 다음과 같이 주어진다.

입력 안정원 :

∆∆−=

1111

2112

SS

SSrs

( )∆∆−

∆−=1111

**2211

SSSS

cs

출력 안정원 :

∆∆−=

2222

2112

SS

SSrL

( )∆∆−

∆−=

2222

*1122

SSSS

c L

111 <S 이면, 출력안정원의 바깥쪽에 있는

스미스 차트의 내부가 안정영역이다. 반대

로 111 >S 인 경우에는 스미스 차트와 출

력안정원의 공통 영역이 안정영역이다. 그

림자진 부분은 lΓ 평면에서 안정영역을 나

타낸다.

Figure 1. The output stability circle in the lΓ

그러나 널리 쓰이는 이 방식에는 중요한 한

계가 있다. K 팩터에 기반한 안정성 조건

은 엄격히 하나의 트랜지스터로 만들어진

앰프에서만 타당하다. 앰프에 하나 이상의

능동소자가 있을 때에는 K 팩터가 잘못된

결론에 이르게 할 수도 있다. 이런 각본은

설계자가 주로 직면하는 문제이다. 또한 앞

에서 언급된 방법은 비선형 RF/microwave

회로에서의 안정성 분석에 불충분하며 부정

확하다. 일반적으로 설계자가 실험해보거나

많은 교과서와 상업적으로 판매되는 소프트

3

웨어에 제시되는 2 단자 RF/microwave 회로

망에 대한 무조건부 안정성 분석은 단지

Κ 와 ∆ 패러미터만을 이용한다 . 이 접근

방식은 다단 앰프나 복잡한 회로망과 같은

많은 경우에서 틀린 결과를 낳는다. 한편

실제적인 경우, 능동소자의 S 패러미터는

모든 주파수에 대한 Κ 와 ∆ 의 무조건부

안정성을 만족하지 않는다. 이 때 설계자는

회로망의 조건부 안정성을 증명해야만 한다.

어떤 경우에는 불안정성에 대해 분석하는

것이 더 좋다. 즉 회로가 발진기라고 가정

하는 것이다. 발진 조건에서 능동소자와 수

동부하의 반사계수의 합은 0 이다.

0=+ ld φφ

회로가 발진하기 전까지는 신호가 증폭되고

있다는 것이 직관적으로 명백하다 . 그럼에

도 불구하고 이 접근방식이 항상 정확하지

는 않다. 조건부 안정성을 판단하기 위해서

는 회로의 반응(공진 주파수에서만 아니라

어느 주파수에 대해서도 )를 알아야하기 때

문이다. 또한 이 방식의 결과는 반사계수의

정규화된 임피던스의 선택에 따라 달라진다.

회로의 안정성을 판단하는 정확한 방법은

Nyquist 판별법이다 . 이것은 위에서 설명된

방식들의 한계를 극복한다 . Nyquist 판별법은

개루프 전달함수에서 시작하여 폐루프 전달

함수의 안정성을 그래프로 결정하는 방법이

다. 그러나 Nyquist 판별법을 적용하는데에

는 복잡한 회로분석과 시스템의 개루프 전

달함수에 대한 정확한 지식이 필요하다.

Stability Analysis Using

Nyquist And Bifurcation Analysis

Nyquist 판별법은 소신호 회로에 이용된다.

그러나, 대신호 RF 로 작동되는 회로(파워앰

프나 발진기와 같은)의 등장으로, 소자의 비

선형성, 예를 들어 스푸리어스 발진이나 하

모닉스의 발생 때문에 안정성 형태는 상당

히 변형되었다 . 이들 형태는 Nyquist 판별법

으로는 검증되지 않는다 . Bifurcation 이론에

기반한 좀 더 복잡한 기술이 필요하기 때문

이다.

Figure 2. An active RF/microwave network

representation

Figure 2에 보여진 능동 RF, 마이크로웨이브

회로에 Nyquist 판별법을 적용시켜보자. dΓ

는 능동소자쪽의 반사계수이고 ( )flΓ 는 수

동부하에서 보는 반사계수라면 폐루프계의

것과 비슷한 전달함수를 정의할 수 있다.

사실, ( )fa l 와 ( )fad 의 비는 다음과 같

이 계산할 수 있다.

( )( )

( )( ) ( )ff

ffafa

ld

d

d

l

ΓΓ−Γ

=1

Nyquist 판별법은 주파수를 0 부터 무한대까

지 변화시켜 가면서 개루프 전달함수에서

시작하여 폐루프 전달함수의 안정성을 그림

으로 결정하는 방법이다 . clP ( 0 과 같거나

큰)을 폐루프 전달함수의 오른쪽 반평면의

폴수, opP (0 과 같거나 큰)를 개루프 전달함

수의 오른쪽 반평면의 폴수라고 하고, iN를 임계점 (1, j0)(반시계방향에서는 음수)을

4

시계방향으로 감싸는 원의 수라고 하면, 폐

루프계에서의 안정성의 필요충분조건은

0=+= iopcl NPP

이고 개루프 전달함수가 임계점을 가로지르

지 않아야 한다. 개루프계가 안정하려면

( 0=opP ), 0=iN 이면 충분하다.

Linear Stability Analysis

일반화된 Nyquist 안정성 분석법을 설명하기

위해 Figure 3에 귀환(feedback)이 있는 앰프

의 전형을 나타냈다. 이 분석을 위해 회로

소자는 두 부분으로 분류되었다. 모든 능동

소자를 앰프 등가 회로로, 귀환에 관여된

모든 수동소자를 또 다른 부분으로 구분했

다. 귀환이 더해지는(비반전 귀환) 것이라면

회로는 불안정하다고 알려져 있다. 좀더 명

확하게, 회로는 평형 방정식의 행렬식 실수

부가 0 이 되면 불안정하다.

( ) ( ) gdg VjIjV ωραωρβ +++=

( )[ ] ( ) gggd VjVAjAVI ωραωρβ +=+−= 1

( ) ( )[ ]Ajωβωδ −= 1det

실제로 행렬식의 영점들을 계산하는 것은

가능하지 않다. 안정성을 진단하기 위해서

이 글에서 분석을 위해 사용된 GoldenGate

simulator는 Nyquist 판별법을 이용하고 있다.

즉, 주파수를 변화시켜가면서 복소평면에

행렬식의 궤적을 찍어가는 것이다 . 행렬식

궤적이 시계방향으로 원점을 감싸면 회로는

불안정한 것이다. 감싸는 회수가 불안정 주

파수의 개수와 같다. 음의 실수축과 궤적의

교점에서 불안정한 주파수(발진하기 시작하

는 주파수)를 계산할 수 있다.

Nyquist 선도를 좀더 간단히 해석하기 위해,

시뮬레이터는 궤적을 위상 평면에 사상시킨

다(이를 unwrapped locus 라고 한다). 사용자

는 원점을 감싸는 궤적을 쉽게 확인할 수

있다. 또한 궤적에 따른 주파수 간격은 궤

적을 빠르거나 느리게 변화시키는 시뮬레이

터에 의해 자동적으로 관찰된다 . 이 분석은

Q 값이 높은 회로에서 매우 중요하다.

Figure 3. The circuit representation in active

and passive segments.

Figure 4. A nonlinear circuit

Nonlinear AC Stability Analysis

Harmonic balance(이하 HB)를 이용한 안정성

분석의 원리는 이미 선형분석기(DC 바이어

스 안정성)에서 보여진 Nyquist 원리의 일반

화이다. 회로의 능동 노드에 작은 섭동

(perturbation) )( ωωρ ++ kj 을 주고 시간이

지남에 따라 출력이 사라져가는가를 관찰하

는 것이다 . 섭동방정식은 평형상태 부근에

서 HB 방정식을 선형화시키면 얻을 수 있다.

결과 방정식은 귀환이 있는 앰프 이득의 형

태일 수도 있다. Figure4 에서 앰프의 개루프

이득은 비선형 소스의 미분으로 표현되며

귀환 이득은 수동 하부회로의 임미턴스(im-

5

mittance)로 표현된다. 섭동 평형 방정식은

( )[ ] =−+ ρωω jI k

( ) ( ) +−+−+ ][][1 ρωωρωω jVjY kk

( ) ( )][][2 ρωωρωω jEjY kk −+−+

여기에서

( )∑ =Ω=i

ik NHkIk ,,1 Lω

( )[ ] ( )[ ]ρωωδδ

ρωω jVVI

jI kk −+

=−+

( ) ( )[ ]Ajωβωδ −= 1det

Nyquist 판별법에 따라, 섭동 주파수가 0 부

터 무한대까지 변할 때, 특성방정식의 행렬

식 궤적이 시계방향으로 원점을 감싸면 회

로는 불안정한 것이다. 실제로는 섭동주파

수를 0 부터 능동소자의 최대 발진 주파수

까지만 살펴본다 . 시뮬레이터를 사용하는

동안, 사용자는 주파수 간격(step)과 최대 주

파수(DC 는 제외)를 결정할 필요는 없다. 이

변수들은 시뮬레이터에 의해 자동적으로 결

정된다. 시뮬레이터는 원점을 감싸는지 아

닌지도 감지한다 . 안정성 표식(flag)은 회로

가 안정하면 1, 불안정하면 0 으로 출력된다.

또한 시뮬레이터는 회로한 불안정한 경우

발진 주파수를 표시하는 기능이 있다.

Nyquist 판별법을 사용한 안정성 분석의 가

장 약한 점은 계산적으로 의도할 수 있다는

점이다. 특히 고안된 매개변수에 관한 안정

성 계산 여유가 요구될 때 그렇다. 그러나,

바이어스 점이 이미 안정하다고 판단된 때,

대신호 작동 상태에서 불안정성의 주 위험

은 주파수가 둘로 나눠지는데 있다. 이러한

두개의 불안정 형태는 정상상태 시뮬레이션

동안 지불된 타당한 계산에 의해 확인할 수

있다. Bifurcation 분석은 아날로그 주파수 디

바이더와 잠금(locked) 발진기의 잠금 영역

을 계산하는데 매우 유용하다.

Step-by-step DC, Linear AC And Nonlinear

AC Stability Analysis

DC Operating Point Stability

DC 안정성 분석은 회로의 바이어스 점이

안정한지 아닌지를 확인하는데 사용된다.

자동작동하지 않는 회로 (증폭기, 믹서, 능동

소자와 같이)에 대해서, DC 안정성 분석은

전원이 들어갈 때 회로가 발진기로 바뀌지

않는지를 결정한다. 즉, DC 동작점은 안정되

어야 한다. 유사하게 자동작동 회로(발진기

와 같이)에 대해서는 DC 안정성 분석은 전

원이 들어갈 때 회로가 충분하게 발진하는

가를 증명한다. 따라서 이 경우 DC 동작점

은 불안정하여야 한다.

DC Stability Analysis

자동작동하지 않는 회로(증폭기)에 대해서,

DC 분석은 바이어스의 위치를 바꾸면서 실

행되며 DC 안정성 분석은 바이어스 점이

안정한지를 결정하는데 사용된다. 바이어스

점이 안정하면, 분석은 회로의 공진 주파수

특성(stopband or passband frequencies)을 결정

한다. 바이어스 점이 불안정하면 잠재적인

발진 주파수를 결정한다.

자동작동 회로(발진기)에 대해서는, 유사하

게 DC 분석은 바이어스 점을 바꾸면서 실

행한다. DC 안정성 분석은 발진이 발생할

만큼 바이어스 점이 충분히 불안정한지를

결정하는데 사용된다. 바이어스 점이 불안

정하면 시뮬레이터는 잠재적 발진 주파수를

6

표시하고 , 안정하면 회로의 공진 주파수 특

성(stopband or passband frequencies)에 대한 정

보를 제공한다.

Q 값이 높은 회로의 경우 Nyquist 선도 분해

능이 너무 작으면, 안정성 분석의 결과가

잘못 나올 수 있음에 주의해야 한다. 시뮬

레이션 결과는 조심스럽게 분석해야 한다.

예를 들어 시뮬레이션 결과는 안정되지 않

은 회로를 안정하게 보이게도 한다. 의심나

는 부분이 있다면 Nyquist 선도 분해능을 최

대로 해서 분석하는 것이 안전하다. 또한

발진이 시작되는 주파수를 결정하는 믿을

만한 방법은 DC 안정성 분석뿐이다. 비선형

AC 안정성 분석이 이 목적으로 사용되어서

는 안 된다.

Harmonic Balance Analysis

자동작동하지 않는 회로(증폭기와 같은)의

경우 DC 바이어스가 안정하다면 증폭기의

AC 분석(즉, 선형 AC, S parameter 또는 HB)

이 실행되어야 한다. DC 바이어스가 불안정

할 때 AC 분석이 행해지면 잘못된 결과가

발생하고 대부분 HB 분석은 overflow 메시

지로 끝이 난다. 자동작동 회로 (발진기와 같

은)의 경우에는 DC 바이어스 점이 불안정

할 때 발진기의 AC 분석(즉 , HB)이 실행된

다. 안정성 분석을 통해 우리는 발진 주파

수를 정확하게 계산할 수 있다.

회로가 불안정하고 DC 안정성이 바이어스

가 불안정하다고 나타낼 때, 심지어 가장

높은 분해능을 적용했을 때 조차도 , HB 발

진기 분석은 안정성 분석에서 제공된 공진

주파수들 중 하나에 여전히 실행할 수 있다.

지속적인 그리고 안정된 발진이 나타나면,

발진의 안정성은 여전히 발진기가 DC 에서

시작하지 않고 시작 RF 펄스를 필요로 할

것인지를 점검할 필요가 있다. 이 필요사항

은 발진기를 증폭기처럼 분석함으로써 비선

형 안정성 분석을 통해 확인될 수 있다.

Large-signal Stability Analysis

대신호 동작점 안정성 분석은 증폭기 , 믹서,

발진기에서 얻어지는 정상상태 (steady state)

가 물리적으로 충분히 길게 지속될 수 있는

지를 점검하기 위해 실행된다. 자동작동되

지 않는 회로에 대하여, 비선형 안정성 분

석은 증폭기가 주어진 입력 주파수에 대해

계속 증폭기로 남아있을지를 알아본다. 때

때로 어떤 운전 수준과 입력 주파수에 대해

서는 증폭기가 발진기나 종종 더 많은 경우

는 주파수 디바이더로 변할 수도 있다(자기

발진 믹서). 자동작동 회로에 대해서는, 비

선형 안정성 분석을 통해 발진이 주어진 주

파수와 전원에서 지속될 수 있는지를 알아

볼 수 있다. 안정성 검사가 불안정하다고

나타나면 , 회로는 실질적으로 다른 주파수

에서도 발진할 수 있거나 하나 이상의 발진

주파수를 동시에 갖는다는 것을 의미한다.

실제 발진 주파수는 대개 DC 안정성 분석

결과에서 보여진다.

대신호 동작점 안정성 분석이 이루어지는

동안, 최대 섭동 주파수는 기본 주파수로

맞춰져야 (one-tone 분석의 경우)함에 주의한

다. Nyquist 선도는 거의 기본파와 같은 주기

를 가진다. 분석에 의해 주어진 불안정 주

파수는 하모닉스

( 000 ,,2,, NfffDC ±±± L )

중 하나로부터 파생되는 주파수에 해당한다 .

따라서, 불안정한 진짜 주파수는 실제로

insfkf ±0이다.

7

Figure 5. A 6GHz amplifier design.

A Step-by-step Amplifier And Multiplier

Stability Analysis Example

시뮬레이터가 사용하는 안정성 분석의 단계

적 과정은 회로가 바이어스 점에서 안정한

지를 결정하는 DC 안정성 분석에서 시작한

다. 이 분석에 착수할 때, 안정성 분석은 소

자의 최대 발진 주파수를 포함할 만큼 충분

히 큰 섭동 주파수까지 행해져야 한다. 최

대 주파수는 소자와 기층 기술 또는 회로에

사용된 트랜지스터의 컷오프 주파수에 따라

달라진다.

첫번째 경우, DC 안정성 분석에서 회로가

불안정하다고 나타나면 불안정 주파수들이

제공된다 . 다음 단계로 DC 검사가 안정하게

나올 때까지 회로의 형태를 바꾸거나 회로

에 사용된 능동소자를 바꿔본다. 회로가 여

러 개의 능동소자로 구성되었을 때는 어느

소자 때문에 불안정한 지를 알아보는 것도

흥미롭다 . 시뮬레이터에서는 감지가 쉽고

사용자에게 매우 친숙하게 되어있다. 설계

자는 단지 TURNOFF 표식을 1 로 만들어

각각의 능동소자를 수동상태로 전환하여 불

안정이 사라지는 것을 관찰할 수 있다. 소

자를 끈 상태에서 안정하게 작동하면 이 특

별한 소자로 인해 DC 동작이 불안정하다는

것을 알 수 있다.

두 번째 경우, DC 안정성 분석에 의해 회로

가 안정하다고 나타나면 , 다음 단계로 회로

의 비선형 정상상태를 계산하기 위해 비선

형 HB 분석을 하고, 정상상태가 물리적으로

지속되고 안정할 것인지 또는 단지 회로 방

정식의 인공적인 수학적 해에 지나지 않는

지를 점검하기 위해 비선형 안정성 분석을

실행한다 . 이 단계는 회로설계에서 가장 중

요하고 결정적인 것들 중 하나이며 대부분

의 다른 상업적 RF 시뮬레이션 툴에서 무

8

시되는 것이기도 하다.

비선형 영역의 작동이 지속될 수 없다면(즉,

불안정), 시뮬레이터는 불안정 주파수를 제

공한다(offset frequency). instf 가 시뮬레이션

결과인 오프셋 불안정 주파수라고 하면, 실

제 불안정 주파수는 insk ff ± 중 하나이다 .

여기에서 kf 는 정상상태 작동에서의 DC 와

하모닉스들이다. 대개 insfDC ± 또는 기본

톤 insf± 이다.

비선형 안정성 분석에서 결정적인 정보는

회로가 안정한가 아닌가(주어진 바이어스와

입력구동에 대하여), 또는 다시 말해 HB 시

뮬레이터에 의해 주어진 파형과 파워가 물

리적인 상황을 실제로 나타내는가 아닌가를

결정할 수 있다는 것이다. 불안정 주파수의

실제값은 단지 차순위 정보일 뿐이고 대개

정보제공정도의 목적을 가질 뿐이다.

Figure 5의 6GHz, GaAs MESFET 기반 MMIC

증폭기는 주파수를 둘로 나누는 동작을 하

도록 제작되었다. 게이트 전압이 –1.8V 일

때, 이 회로는 낮은 입력과 중간 입력에서

두 주파수 체배기로 동작한다. 그러나 , 게이

트 전압이 –1.8V 이고 입력신호가 10dBm 보

다 클 때, 이 증폭기는 불안정해지면서 주

파수가 두개로 나눠지게 된다. 이 특이한

현상은 비선형 안정성 분석에서 예측될 수

있다.

DC Stability Analysis

Figure 6 과 같이, DC 안정성 분석은 최대

20GHz(회로에 사용된 GaAs MESFET 의 컷

오프 주파수가 20GHz 이다), 간격크기 100,

정확도 3 으로 실행되었다 . Figure 7 에서는

Nyquist 선도가 나타나있고 이것은 시뮬레이

터를 이용한 증폭기의 DC 안정성 분석 결

과이다. 분석에 의하면 DC 바이어스점은 안

정되어있으며, 이것은 증폭기가 소신호 동

작에서 잘 작동한다는 것을 의미한다.

Nonlinear Stability Analysis

시뮬레이터의 비선형 HB 를 이용한 비선형

안정성 분석 셋업이 Figure 8 에 나타나있다.

이 분석은 단일 입력파가 4 와 8dBm 의 수

준으로, 다섯 개의 하모닉스를 고려해서 실

행되었다.

Figure 9 에 나타난 것과 같이, 비선형 안정

9

성 분석에 의해 회로가 4dBm 입력시 안정

하게 동작함을 알 수 있고, 파형과 출력파

워에서 이 회로가 multiplier 로 동작함을 알

수 있다.

Figure 10 에는 8dBm 입력시 비선형 안정성

분석에 의한 HB 결과가 나타나있다. 파형과

출력파워 결과에 의해 회로가 여전히 2 배

multiplier 로 동작함을 알 수 있다. 그러나,

이 입력에 대한 비선형 안정성 분석에 의하

며, Figure 11 에 표시된 것과 같이, 이 회로

는 불안정하다. 따라서, HB 시뮬레이션 결과

가 비선형 영역에서 동작하는 회로의 정상

상태가 물리적으로 지속될 수 없음을 보여

준다. 즉, 이 회로는 불안정한 비선형 회로

이다. Figure 12 는 비선형 안정성 분석의 셋

업창이다.

위 분석에서 결정된 것과 같이 회로가 발진

기나 주파수 디바이더로 동작할 때(비선형

안정성 분석에 의해 회로가 불안정한 때),

정확한 시뮬레이션 방법은 비선형 HB 분석

을 이용한 발진기 모드에서 회로를 분석하

10

는 것이다. Figure 13 은 시뮬레이션 출력을

보여주는데, 여기에서 6GHz 입력주파수에

대하여 5dBm(1.2V) 부근에서 시작한 주파수

분열이 17dBm(4.4V) 부근에서 사라짐을 알

수 있다. 입력파워를 15dBm(3.5V)에 고정,

입력 주파수를 5 에서 8GHz 까지 변화시켜

가면서 비슷한 분석을 했다. Figure 14 에 나

타난 결과에서, 15dBm(3.5V)에 고정된 입력

파워에서 회로는 2×2.91=5.82GHz 에서 주파

수 디바이더로 작동하기 시작하여

2×3.259=6.518GHz 에서 더 이상 그와 같이

작동하지 않게 됨을 볼 수 있다.

A Step-by-step Oscillator Stability

Analysis Example

시뮬레이터를 사용하여 발진기의 안정성을

분석하는 단계적 과정은 발진기의 발진 주

파수를 결정하는 DC 안정성 분석으로 시작

한다. 이는 불안정 주파수(또는 잘못된 발진

주파수)라고 불린다. 안정성 분석은 소자의

최대 발진 주파수를 포함할 만큼 충분히 크

게 섭동 주파수의 최대값을 정하고 실행되

어야 한다. 최대 주파수는 소자에 따라, 적

층 기술에 따라, 회로 설계에 사용된 트랜

지스터의 컷오프 주파수에 따라 다를 수 있

다.

다음으로 , 발진기 분석은 실제 발진 주파수

와 전력을 계산하는 것으로 이어진다. 이

분석은 DC 안정성 분석에 의해 회로가 불

안정하다고 결론이 났을 때 행해진다. 안정

성 분석에 의해 하나 이상의 주파수에서 불

안정하다고 결론이 나면, 발진기 분석은 불

안정한 각각의 주파수에 대해 행해져야 한

다. 그러므로 , 모든 불안정 주파수와 동등하

게 발진 주파수를 계산하는 것으로 발진기

분석이 이루어 진다. 이런 발진 상태에서

오직 하나만이 물리적으로 지속된다.

그런 다음, 비선형 안정성 분석을 하는데,

각각의 발진 상태가 물리적으로 지속될 것

인가를 점검하는 일이 그것이다 . 이들 상태

중 지속되는 것이 아무것도 없다면(즉, 안정

하면), 다른 영역, 아마도 두 개의 톤이거나

카오스 상태에서 찾아야 하는데, 이 경우

HB 방식은 적절한 해를 결정할 수 없다. 실

11

Fig. 15. A 0.87GHz oscillator design.

제로, 이러한 상황에서 설계자는 적절한 발

진을 하도록 회로를 수정해야 한다. 예로

MMIC 발진기 설계에 기반한 0.87GHz, GaAs

MESFET 이 Figure 15에 나타나 있다.

DC Stability Analysis

DC 안정성 분석은 최대 주파수 10GHz 까지

실행되었다. Step size는 1000Hz이고 정확도

수준은 3이었다. 이는 Figure 16에 나와있다

(회로의 GaAs MESFET 은 10GHz 이상의 주

파수에서 안정할 것으로 기대되기 때문에).

안정성 분석에서 이 회로의 DC 상태는 불

안정한 것으로 나타났고 , 이는 회로가 발진

기로 설계되었기 때문에 적절한 결과이다.

해석 결과 Figure 17과 같이 두 개의 불안정

한 주파수(0.87 과 3GHz)가 나타났다 . 또한,

Nyquist 선도에서 원점을 두 번 감싸는 걸

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볼 수 있다. Nyquist 선도 검사는 이 도식의

정의가 충분히 좋은 지 증명할 필요가 있다.

훌륭한 정의는 큰 위상 불연속성이 없는 정

연한 선도를 의미한다. 정의가 훌륭하지 않

으면, 정확도 매개변수를 증가시켜 셋업을

바꾸고 다시 분석해야 한다.

Nominal Oscillator Analysis

안정성 분석에 의하면, DC 상태는 두 개의

불안정한 주파수를 갖는다. 그러므로 , 각각

의 불안정한 주파수에 대하여 두 개의 발진

기 분석이 실행되어야 한다. 이 분석에 대

해 계산된 발진 주파수는 불안정한 주파수

로 맞춰진다.

우선, Figure 18 처럼 발진 주파수를 0.87GHz

의 불안정 주파수로 잡고, 발진기의 비선형

성에 대해 5 개의 하모닉스를 고려한다. 시

뮬레이터는 881MHz 의 실제 발진 주파수를

계산하고 , Figure 19 와 같이 출력 파형과 전

력 스펙트럼을 제공한다. 다음으로, 발진 주

파수를 3GHz 의 불안정 주파수로 잡고, 5 개

의 하모닉스를 고려한다. 시뮬레이터는 3

MHz 의 실제 발진 주파수를 계산하고, Fig-

ure 20 과 같이 출력 파형과 전력 스펙트럼

이 나온다 . 출력 전력은 앞의 발진 주파수

에 대한 것보다 거의 13dB 정도 작다.

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Nonlinear Stability Analysis

두 개의 발진 주파수(수학적인 해)로 0.88

GHz 와 3GHz 가 나왔다. 이제 둘 중 어느

것이 물리적으로 지속될 것인지를 결정해야

한다. 주지할 점은 오직 하나의 수학적 발

진 상태가 결정될 때 조차도 그것이 정말로

지속될 것인지를 점검해야 한다는 것이다.

이것이 모든 수치 시뮬레이터의 고유한 한

계 특성이다. 수치 시뮬레이터의 출력은 항

상 수학적 해이고 안정성은 실제 조건에서

확인되어야 한다. 시간 영역 시뮬레이터와

는 대조적으로, HB, DC 그리고 선형 주파수

영역 시뮬레이터들은 실제적이지 않은 해를

제시하는데, 해석 셋업상에 고정 기본파가

선택되어야 하기 때문이다 . 이런 특성은 안

정성 분석이 RF/microwave 설계에 대하여

매우 중요한 특징이 되는 이유가 된다.

발진기와 같이 주기적인 신호의 안정성 분

석에 대하여, 최대 섭동 주파수는 기본파와

같도록 맞춰져야 한다. Figure 21에서와 같이

최대 섭동 주파수는 발진 주파수인 0.88GHz

에 맞춰졌다. 시뮬레이터의 안정성 분석에

의해, 이 발진 영역은 Figure 22 에 나타난

것과 같이 지속될 것임을 알 수 있다. 유사

하게 최대 섭동 주파수를 3GHz 기본파에

맞췄다. 안정성 분석의 결과를 보면, 이 영

역은 불안정하여 물리적으로 지속될 수 없

음을 알 수 있다. 이 분석은 또한 Figure 23

과 같이 불안정 주파수를 제공한다.

비선형의 경우, 시뮬레이터에 의하여 구한

불안정 주파수는 오프셋 주파수임에 주의한

다. instf 가 시뮬레이터에서 얻은 오프셋 주

파수라면 , 실제 불안정 주파수는 instk ff ±이다. 여기에서 kf 는 정상상태 영역에서

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DC 와 하모닉스(또는 인터모쥴레이션 )을 나

타낸다. 시뮬레이터는 비결정 사항을 풀지

는 못한다. 대개 결정 주파수는 instfDC +이거나 기본톤, instf− 이고 회로에 대한 설

계 지식이 있으면 적당한 값을 쉽게 찾을

수 있다.

비선형 안정성 분석에 대하여 요구되는 중

요한 정보는 회로가 안정한가 아닌가 (주어

진 바이어스와 입력 구동에 대하여), 또는

다른 말로 HB 시뮬레이터가 만들어낸 파형

과 출력이 정말로 실제적인가 이다. 불안정

주파수의 실제값은 단지 후순위 정보일 뿐

이다. 시뮬레이터는, 설계자가 필요하다면,

풀리지 않은 비결정 요소를 가진 정보를 제

공한다. 이 예에서 , 시뮬레이터에 의해 구한

불안정 주파수(오프셋)는 0.887 과 2.13GHz

이고, 이것은 앞에서 결정된 물리적 발진

주파수와 일치한다(즉, 0.881GHz ≅ DC+0.887

GHz, 0.881GHz ≅ 3-2.13 GHz).

Conclusion

통상적으로 사용되는 안정성 패러미터(K 와

?)는 거의 대부분 2 단자 능동 초단파 회로

의, 특히 비선형 회로나 피드백 선형회로에

대해서, 안정성 판별에 충분하지 않다. 모

든 능동소자가 각각 무조건부 안정성을 갖

도록 요구하는 것은 너무 엄격한 요구이고,

일반적으로 설계자들은 최적의 성능을 이끌

어낼 수 없다. Nyquist/Bifurcation 원리를 사

용한 안정성 분석은 이러한 한계를 극복하

고 설계자로 하여금 그들이 만드는 회로가

증폭기나 발진기로 안정하게 작동하리라는

한층 높은 확신을 가지고 더 좋은 성능을

가진 회로를 만들 수 있게 한다.

Acknowledgment

이 글에 사용된 시뮬레이터는 Xpedion 의

GoldenGate Simulator 이고, 추가적인 정보는

www.xpedion.com에서 얻을 수 있다.