vil

Una revoluclón en la matemátlca

A finales de 1963 y principios de 1964 se produjoun acontecimiento de importancia fundarnental y quetendrá alcances enorrnes en el desarrollo de la ma-temática y la lógica, con la publicación del trabajo dePaul J. Cohen acerca de la independencia lógica de lahipótesis del continuo, respecto a los otros axiomas dela teoría de los conjuntos.l En dicho trabajo, el jovenmatemático de la Universidad de Stanford, California,ha realizado la hazaña extraordinaria de dividir la teoríade los conjuntos en dos sistemas diferentes, según quese admita el continuo cantoriano o que se niegue, pre-cisamente de la misma manera como k-rbachevski con-siguió establecer en 1826 la división de la geometría en

euclidiana y no-euclidiana. Solo que, corno desde hacetiempo se ha puesto al descubierto que ia teoría de los

conjuntos constituye la estructura básica en la cual se

apoyan los otros desarrollos de la matemática, hasta elpunto de que, como dice Bourbaki, "todas las teorías ma-temáticas pueden ser consideradas como extensicrtes de

la teoría general de los conjuntos", resulta entonces que

el trabajo de Cohen significa la iniciación de una revo-

lución en la matemática entera. Al misnro tiempo, debido

a que la teoría de los conjuntos re¡-rresenta la estructura

matemática fundamental de la lógica, es claro que el des-

t "The Independence of üe Continuum H]4¡oüesis", Pro-

eeeding oÍ the Nationnl Academy of Seiences, lVashingt'on, 50,

i963, pás-. ü4!ii48; 5i, i964, páe-s' iü5-ii0. {IIr29

56.-9

cubrimiento de Cohen producirá también una transforma-ción profunda y de graves consecuencias en el seno de lalógica. En particular, la prueba encontrad¿ por Cohen vie-ne a ser la culminación de ia crisis desencadenada por lostrabajos de Kurt Goedel, en relación con la formalizaciónaxiomática de la ciencia y, a la vez, con ella se orienta eldesenlace de esa crisis en un sentido definicio.

La primera exposición axiomática de una disciplinacientifica se encuentra en la conocida rlisposición utili-zada por Euclides, en sus Elementos, para exponer de-mostrativamente la geometría. En esa exposición se enun-cian 23 definici<¡nes, 5 postuiados y 9 nociones conlunes,cuya validez se admite como evidente, para probar despuéslos teoremas geométricos por medio de inferencias correc-tas basadas en ellos. Por consiguiente, en la exposición eu-clidiana, todos los teoremas son implicados por o deduci-dos del grupo de axiomas constituido por las nocionescomunes, los postulados y las definiciones. Con seguridad,el métocio empleado por Euclides fue el proceciimientoconcreto consistente en tomar el cuerpo de conocimientosestablecidos en su época y formularlos sistemáticamente,para 1o cual iclealizó los conceptos impiicados y selet--cionó entre las relaciones conocidas las elementales, paraluego derivar las otras relaciones por medio de ia deduc-ción. A partir de entonces, la estructura axiomática clela geometría euclidiana ha sido considerada como un mo-delo de rigor y simplicidad para las disciplinas cientí-ficas. Ese mismo procedimiento fue utilizadi¡ por New-ton para sistemati::lr la mecánica. Dicho método axiorná-tico concreto es t n poderoso instrumento racional que esaplicable en el mcmento en que una ciencia está tomandoforma, o sea, cuando ya son discernibles las leyes gene-rales que gobiernan los procesos que estudia. Itn tal caso,la tarea consiste simplemente en hacer una colocación corn-

130

pleta de los conceptos básicos o categorías de una cien-cia y de sus relaciones fundamentales, de las cuales sepuedan derivar por definición los otros conceptos y, pordeducción, los teoremas. De esa

-ane.a, el método axio-

mático permite comprender mejor ia ciencia en su con-junto al separar claramente las deducciones lógicas rigu-rosas, de las consecuencias concretas que de ellas sedesprenden y las cuales se apoyan en una determinadainterpretación concreta de ese esquema axiomático.

Por otra parte, durante varios sigios se hicieron es-fuerzos consiclerables para encontrar la demostración clelos axiomas euclidianos y, en particular, del quinto pos-tuiado relativo a las paralelas. Como es sabido, tales es-fuerzos culminaron en un resultado justarnente opuesto albuscado, como fue la prueba encontrada por Lobachevskide la imposibilidad de demosrrar dicho postuiado o. loque es lo mismo, de su independencia respecto a losotros axiomas. Debido a su inciependencia, el postuladode las paralelas pudo ser sustituicio por su negación con-tradictoria, tanto en el sentido cie postular que por unpunto exterior a una recta pasan dos o más paralelas, envez de una sola, como en el de postuiar que no pasa nin-guna paralela. Entonces, introciuciendo ese nuevo pos-tulado, se construveron las geometrías no-euclidianas vse puso en claro que la demostracién formal tiene quedetenerse en ciertas proposiciones admiticlas sin prueba,que son los axiomas, para no proseguir el procedimien-to demostrativo hasta el infinito. Con base en lo anterior,se fortalecieron los propósitos cle formalización y se in-

crementaron los esfuerzos para lograrla, meriiante un aná-

lisis lógico penetrante y riguroso cie los fundamentos dela geonretría v la aritmética. Así fue como Peano esta-bleció un sistema formado por 5 axiomas para inferir, apartir de ellos, todos los teoremas de la aritrnética. Igual-

131

mente, Hilbert estableció un sistema constituido por 20

axiomas, para derivar de él todos los teoremas de la geo-

metría elemental. Por su parte, Zermelo formuló la axio-

matización de la teoría de los conjuntos. Y finalmente,

en esa etapa inicial de la axiomática, Whitehead y Rus-

sell establecieron la formalización de los fundamentos

cle la matemática. Al propio tiempo, se pudo advertir que

las relaciones lógicas expresadas por los axiomas tam-

bién se cumplen para otros muchos conceptos diferentes,

o sea, que la validez de las demostraciones se funda en

la estructura lógica de los axiomas, más que en algún

contenido particular que pueda atribuirse a los concep-

tos relacionados por ellos. De esa manera, se acabó por

considerar que los términos que figuran en los axiomas

son "conceptos vacíos", que carecen de sigrrificado pro-

pio y únicamente adquieren el significado que les impar-

ten las relaciones enunciadas en los axiomas primero y,

luego, en las definiciones y los teoremas. Entonces, re-

sulta posible sustituir esos términos por cualesquiera

otros, con tal que se conserve la misma relación lógica.

Asi, por ejernplo, consideremos los axiomas de Peano:

I. Cero es un número.II. Todo número tiene su sucesor, qtle es otro nú-

mero.III. No hay dos números que tengan el mismo su-

cesor.IV.V.

Cero no es sucesor de ningún número.Cualquier propiedad que pertenezca a cero y alsucesor de cualquiera otro nirrnero que tengatambién esa misma propiedad, pertenece a to-dos los números.

Y sustituir sus "conceptos vacíos" por otros, confor-me al siguiente código:

cero - bobo;

132

numero .- tonto;sucesor - tarugo;propiedad : necedad.Con lo cual obtenemos los siguientes enunciados:

I*. El bobo es un tonto.II*. Todo tonto tiene su tarugo, que es otro tonto,

III*. No hay dos tontos otle tengan el mismo tarugo.IV*. El bobo no es tarugo de ningún tonto,V*. Cualquier necedad que pertenezca al bobo y al

tarugo de cualquiera otro tonto que tenga tam-bién esa necedad, pertenece a todos los tontos.

Como se puede advertir, estos enunciados son ec¡ui-valentes lógicamente a los primeros, ya que solamente he-mos empleado palabras distintas para representar los"conceptos vacíos". Desde luego, con ellos podríamos es-tablecer las definiciones y deducir los teoremas de la arit-mética, en un lenguaje pintoresco. Por ejemplo, la defi-nición de la suma de un número cualquiera y cero, sería:

Entre un tonto cualquiera o el bobo, nos quedamoscon ei tonto. Y la definición del producto de un númerocualquiera por cero, sería:

Iintre un tonto cualquiera y el bobo, nos quedamos conel bobo. Por supuesto, lo anterior significa sencillamenteque un mismo sistema de axiomas tiene una multitud deinterpretaciones o modelos específicos diferentes.

Con los resultados anteriores se desarrolló amplia-mente la axiomatización de varias disciplinas matemáti-cas, formalizándolas en sistemas compuestos de cuatro t i-pos de proposiciones: axiomas, def iniciones, reglas deoperaci<in v teoremas. Los axiomas son proposiciones

elementales en las cuales se postulan relaciones primiti-

vas entre conceptos no-definidos. O sea, que los axio-

mas son definiciones inrplícitas en las que simplemente

se declaran los conceptos no-definiclos, mediante su inclu-

133

sión en la relación primitiva que enuncian. Las definicio-nes introducen nuevos conceptos, que se formulan en fun-

ción rle los conceptos no-definidos que figuran en los

axiomas. Es decir, que las definiciones declaran explíci-tamente los nuevos conceptos que introducen, refiriénclosea los conceptos no-definidos y sus relaciones primitivas.

Por su parte, las reglas de operación permiten constrttirnuevas proposiciones a partir de los axiomas y las defini-ciones, para lo cual se utilizan los preceptos canónicosde la identidad, la no-contradicción y la exclusión de ter-cero, junto con las reglas de inferencia de la deducciónformal. Por último, los teoremas son las proposicionesobtenidas directamente a partir de los axiomas y las de-finiciones o, indirectamente, con base en otros teoremaspreviamente demostrados, aplicando siempre las reglas cleoperación.

De esa manera quedó constituido el método axiomáti-co como instrumento formal para construir la estructuraabstracta de las disciplinas científicas, empezanclo con losconceptos y relaciones primitivas de los axiomas, v cles-arrollando entonces sus consecuencias formales sin hacerreferencia a ningún significado concreto ni específico. Loque es más, se llegó a considerar que los axiomas sonestablecidos arbitrariamente a priori, sin tener que recu-rrir para nada a las nociones intuitivas, la observación,la experimentación 1', en general, la realidad objetiva.Inclusive se hicieron intentos de establecer nuevas clisci-plinas científ icas formulando arbitrariamente sistemasde axiomas y tlefiniciones. Pero, corno no tenía menos quesucetler, tales intentos resultaron infructuosos, porque so-larnente en el caso de .'ln edificio es (lue se cónstrul'enprimero los funclamentos o cimientos, aunque en el ¡ircl-yecto es lo que el ingeniero tiene que calcular hasta loúlt imo. Y. en lo que respecta a las discipl inas científ i-

134

cas, los fundame¡rtos solamente se pueden conocer etl una

etapa relativamente avanzada de su desarrollo. Pues bien,

una vez establecido el grupo de axiomas correspondientes

a una disciplina, de ellos se deben poder derivar deduc-

tivamente todas las otras propiedades que la integran,

expresándolas como teoremas. En todo caso, la demostra-

ción formal de cada teorcma tiene que establecerse Pormedio de una secuencia finita de inferencias, cada una

de las cuales tiene conro premisas a los axiomas, o bien,

a otros teoremas ya demostrados. En esas condiciones,

el método axiomático suministra explicaciones lógicas so-

bre una disciplina, en tanto que retrocede a sus relaciones

primitivas y, luego, asciende de nuevo a las proposicio-

nes derivaclas, a través de una rigurosa consecuencia' De

este modo se han podido descubrir graves incorrecciones

lógicas que habían pasado inadvertidas 1', también, se

han podido introducir explícitamente las relaciones nece-

sarias y excluir aqueilas que eran redundantes' Por otra

parte, el propio método axiomático permite determinar

cuáles son los axiornas que se pueden eliminar sucesiva-

mente para llegar a teorías cada vez rnás generales; o'

por lo contrario, cuáles axiomas han de agregarse sucesi-

vamente para obtener teoremas más numerosos y precisos'

El métotlo axiornátic<.¡ ha encontrado su campo cle in-

vestigacilrn rnás fecundo ert Ia matemática. En su formali-

zación abstracta, la ttratemática es tratada como una

rliscipiina c¡ue tleriva las conclusiones que se encuentran

irnplicatJas lógicarnente ett cualquier grupt-r de axionras da-

<1o, sin preocuparse por decitlir acerca de la validez de su

contenitlo. Lc¡ cual significa que, respecto a los axiomas,

lo único importante es que en ellos se basen las inferen-

cias que cotrclucen a los teorenlas. Por enr-le, no scrlamente

se consideran lacíos los conceptos que f iguran en las pro-

posiciones prirnitivas, siuo rlue los axiomas mist¡os

135

resultan también carentes cle conteniclo, puesto que unr-camente representan la estructura de la relación que enun-cian. En tales condiciones, los axiomas no son verdaderosni falsos. En rigor, para que un axioma llene su función,

no se requiere que cumpla singularmente más condiciónque la de no ser una proposición auto-contradictoria. Encambio, en su conjunto, el grupo de axiomas tiene que

satisfacer tres condiciones ineludibles, eü€ son la consis-tencia, la completud y la independencia del sistema qtle

constituyen. De esa manera, la formalización axiomáticaimplica la certeza de que la matemática se funda en laposibilidad de demostrar que el grupo de axiomas estabie-cido forma un sistema tal que no conduce a contradic-

ciones y gue, a la vez, es completo y no admite ningttna

secuencia lógica que lleve cle un axioma a otro. En otras

palabras, lo que se exige de un sistema. de axiomas es,

al contrario de lo expresado por el conocido proverbio,

que en el sistema estén todos los axiomas que son 1', a la

vez, que sean efectivamente axiomas todos los qtte estánasí considerados. Solo que, como ya lo advertía Wevl, estoresulta mucho más fácil decirlo que hacerlo.

En rigor, las condiciones exigidas a los sistemas deaxiomas constituyen un campo de investigación cuvo pro-grama fue delineado con precisión por Davici Hilbert. Así,Hilbert dice g.ue su formalizaciln de los funclamentos dela geometría "es un ensayo para construir la geometríasobre un sistema cornpleto de axiomaS, io más sencilloposible". Además, considera que sus "cinco grupos c1eaxiomas. . . no están en contradicción unos con otrcls.esto es, que no es posible, mediante procedimientos ló-gicos, deducir de eilos hechos que contradigan a los axio-mas establecidos". Y que, "después de haber reconocidr-rla no-contradicción de los axiomas, interesa investigarsi todos el los son independientes entre sí.. . (esto es)

136

que no es posible derivar, mediante procedimientos 1ó-

gicos, ningutra parte esencial cle un cleterminado grtlpo

cle axiomas, cle los grupos cle axiomas prececlentes"' La

exigencia cie que el sistema sea completo, significa que

se cleben formular expresamente toclos los axiomas, de

tal rnanera que nunca haga falta introducir algún nuevo

axioma para la construcción de teoremas. La consisten-

cia clel sistenra cle axiomas impone la condición de que no

sea posible establecer por medio de inferencias válidas,

alguna proposición que rSe €rCü€fltra en contradicción con

otra proposición Ya ilemostrada -v, Por supuesto, menos

tcclavía con alguno cie los axiomas mismos. L.a otra exi-

gencia es la c1e que tros axiomas sean iógicamente inde-

penclientes, esto es, que no sea posible obtener ninguno

<le ellos como conciusión de una serie de lnferencias, par-

tienclo de alguno c aigunos cle los otros axiomas'

Como puerle aclvertirse, en un sistema. consistente,

inclepenciiente 1' contpleto, quecla excluida formalmerrte

la posibiiidad r-le resolver un problema de dos maneras

opuestas. Y también, en tal caso, ante cualquier proble-

ma que se plantee, siempre resulta posible llegar a una

clecisión cieterminacla. tn cambio, mientras no Se pruebe

\a inclepenclencia, la cornpletucl 1' la consistencia de un

sistema <le axiomas claclo, seguirá existiendo la posibili-

clacl de llegar a descubrir (ltle un axioma no es tal, o en-

contrar algún teorema que contradiga a otro, o bien, que

para la clemostracicin cle un teorema se haga imprescin-

clible el agregar un nue'-¡o ¡rxioma. Por lo tanto, la prueba

clel cumplimiento cle esas tres condiciones viene a ser el

problema meclular cle la axiornática' Al propio tiempo'

es pertinente señalar que rlicho problerna atañe igualmen-

te a la lógica, )'a que ésta también ha sido axiomat\zacla

] ' , a la vez, los prece¡'tc's canónicos v las reglas t le infe-

rencia cie la lógica formal son parte integrante de totitr

r37

sistema axiomático. En consecuencia, la propia lógica tie-

ne que cumplir la exigencia formal de ser un sistemaconsistente, independiente y completo.

LTn sistema <le axiomas es consistente cuanclo no con-tiene axiomas que se contradigan mutuamente, ni tampocose pueden deducir de él proposiciones contradictorias y, porende, en el caso de que se propongan dos teoremas con-tradictorios, siempre resulte que por 1o menos uno de ellosno se pueda demostrar. Así, cuando un sistema de axio-mas es consistente, la aplicación rlel precepto canónicode no-contradicción lleva a establecer que, entre dos pro-posiciones contradictorias, una cle ellas debe ser falsa.En suma, un sistema es consistente cuando, y sólo cuan-do. no implica proposiciones contradictorias. En cambio,en el caso de que un sistema de axiomas admita la demos-tración de dos proposiciones contradictorias, entoncesdicho sistema es inconsistente. Además, si tanto una Dro-posición como su contradictoria son declucibles de un sis-tema de axiomas, resulta que de tlicho sistema tambiénes deducible cualquiera otra proposición. Por lo tanto,cuando un sistema de axiomas es inconsistente, entoncestodas las proposiciones que se puedan postular son de-mostrables y, por ello, resultan ser teoremas de la clisci-plina fundada en ese sistema de axionras. Por consiguientetenemos, recíprocamente, que un sistema de axiomas esconsistente cuando no toda proposición es un teorema,o sea, cuando existe por lo menos una proposici<in que nosea deducible de los axiomas. De aquí que una prueba clela consistencia de un sistema de axiornas sea la clemostra-ción de que existe al menos una proposición que no sepuede derivar de los axiomas de ese sistema.

En realidad, cuantas veces se emplea el método axio-mático, se plantea el problema de encontrar la prueba clesu consistencia; ya que la conjunción de proposiciones

r38

inconsistentes implica que de ese mismb sistema es posi-ble obtener cualquier proposición y, por consiguiente, nosolamente hace que se derrumbe el sistema, sino que lodisuelve por entero. En el caso de las teorías axiomatiza-das de la fisica, la prueba de su consistencia se ha con-

seguido mediante su interpretación o representación enun modelo objetivo concreto; en cuvo caso es posible in-vestigar si los teoremas son verdaderos en relación con losprocesos reales a los cuales se refiere. Pero, en un sentidoestrictamente fornral, se trata de una prueba relativa, ya

que el problerra no queda resuelto por el hecho de que losteoremas ya deducidos no se contradigan unos con otros,puesto que siempre queda abierta la posibilidad de que unnuevo teorema viniera a poner al descubierto la incon-sistencia del sistema. Por eso se ha buscado como mediode probar la consistencia de los sistemas axiomáticos,el reducirlos a los axiomas de una teoría matemática.Ahora bien, para ios propósitos de la geometría, es su-ficiente con el hecho de que las condiciones estabiecidaspor los axiomas de la geometría euclidiana sean consisten-tes. Y, en efecto, el mismo procedimiento de representa-

ción ha mostrado que no puede haber inconsistencia en

los axiomas cle la geometría elíptica o hiperbólica,,a rne-nos que también la haya en los axiomas de la geometría

euclidiana que constituven su modelo. De esta manera, se

recurre a la consistencia del sistema euclidiano, como prue-

ba de la consistencia de los sistemas que no son consis-

tentes con la geometría euclidiana. También se puede re-

currir a la representación en el sistema de axiomas de la

aritmética. Pero, en cualquier caso, siempre vuelve a sur-

gir ei problema de probar la consistencia de otro sistema

de axiomas. Y, 1o que es más, no sólo se recluiere pro-

bar la consistencia de un conjunto de axiomas, sino del

sistema formado por ese conjunto y ios preceptos y reglas

139

de la lógica formal. Es decir, debido a que cualquier sis-tema de axiomas es una transcripción de los teoremas dela lógica, resulta que el problema de probar que dichosistema es consistente, es equivalente al probiema de en-contrar la prueba de la consistencia del sistema de axio-mas de la lógica formal.

Para precisar el problema, se ha establecido una dis-tinción entre la consistencia formal y la consistencia in-trínseca. De acuerdo con ella, un sistema cle axiomas parael cual existe una interpretación, es un sistema interpre-table o formalmente consistente. Y, recíprocanrente, unsistenra de axiomas que no admite ninguna interpretación,es un sistema no-interpretable o formalmente inconsis-tente. Por otra parte, un sistema de axiomas es intrínse-camente consistente si, después de haber obtenido de éltodas sus consecuencias lógicas, jamás se liega a una con-tradición, en el sentido de que nunca se pueda deducirsimultáneamente la verdad y la falsedad de la misma pro-posición. Por consiguiente, si un sistema de axiomas esinterpretable, entonces es intrínsecamente consistente; pe-ro la inversa no se cumple siempre. En todo caso, parapoder utilizar un sistema de axiomas es ineludible que seaintrínsecamente consistente. Porque, si el sistema es in-trínsecamente inconsistente, entonces se puede demostrarcon base en él una proposición conjuntamente con su ne-gación contradictoria; ya que se pierde de esa manera l¡rdiferencia entre la verdad y ia falsedacl, cle io cual resul-ta que se puede probar la verdad de cualciuier proposición.Entonces, el problema de la prueba de la consistenciaintrírrseca de un sistema de axiomas, es equivalente alproblema de obtener ia prueba de que dicho sistema es in-terpretable, o sea, formalntente consistente.

Un sistema de axiomas es conrpleto cuando contienetodas las proposiciones necesarias y suficientes para dedu-

r40

cir de ellas la totalidad de los teoremas expresables den-

tro de la disciplina fundada en dicho sistema. Así, cuando

Euclides formalizó la geometría, indudablemente selec'

cionó los axiomas de tal manera que fuera posible dedu-

cir de ellos todos los teoremas conocidos y, también, aque-

llos otros que se pudieran establecer después. Además,

antes de que se profundizara en el problema, se consi-

deraba que tanto el sistema axiomático de la geometría

como el de la aritmética, eran completos o que, en caso

de no serlo, por lo menos eran completables agregándoies

un número finito y reducido de axiomas. En rigor, la

completud significa que toda proposición perteneciente

a una disciplina se ha de pocler derivar, lógicamente, de

su respectivo sistema de axiomas. Por lo tanto, cuando

un sistema de axiomas, es completo, entc,,nces, aplicando

el precepto canónico de la exclusión de tercero, resulta

que entre dos proposiciones corrtradictorias siempre será

posible demostrar que una de ellas es verdadera. En su-

ma, un grupo de axiomas constituye un sisterna cuando

no falta ninguna de las proposiciones que son axiomas.

Sin embargo, en la teoría de los números, por ejemplo,

se tienen varias conjeturas famosas que no han poclido ser

demostradas ni tampoco refutadas. Una de ellas es la hi-

pótesis de Fermat acerca de que no exister¡ cuaternas de

números naturales, r, !, z, n, mayores que cero y tale.;

que con ellos se cumpla la relación:

Xn+2+\,n+2-Zn+:. |

Otra es la conjetura de Goldbach acerca de que todo nú-

mero entero mayor que dos, si es par, es igual a la su-

ma de dos números primos Y, cuando es impar, entonces

es un número primo o es igual a la suma de tres núrne-

ros primos. Y asi hay otras más, tanto en ia ieoría ¡le los

I ' l l

números como en otras disciplinas matemáticas. Pues bien,

esas proposiciones tal vez son verdaderas, pero tam-

bién es posible que sean falsas. El hecho es que ni una

cosa ni la otra puede ser probada en ninguno de los sis-

temas de axiomas establecidos hasta ahora. En consecuen-

cia, dichas proposiciones son indeciclibles, y3 que no se

pueden demostrar ni refutar, ni tampoco se puecle probar

que sean indemostrables o irrefutables.

Con vistas a precisar el sigrificado que tiene la corn-pletud de un sistema de axiomas, se distingue entre strconsideración en sentido amplio y en sentido estrecho.Asi, en sentido amplio, un sisterna de axiomas es com-pleto cuando toda proposición tautológica perteneciente ala disciplina respectiva e\ deducible de dicho sistema. Enotras palabras, un sistema de axiomas es completo en sen-tido amplio, cuando contiene los axiomas y reglas sufi-cientes para deducir una proposición arbitraria cualquieraque, en la interpretación formal del propio sistema, seauna tautologia, esto es, una proposición cuyo valor deverdad es siempre el de verr.lad. En caso contrario, el sis-tema de axiomas es incompleto. Por otra parte, un siste-ma de axiomas es completo en sentido estrecho cuanclo,al agregarlo en calidad de axioma cualquier proposiciónque no sea deducible del sistema original, se cbtiene co-mo resultado una contradicción. A la vez, un sistema deaxiomas es formalmente completo cuando todas sus in-terpretaciones son isomórficas, o sea, cuando entre loselementos de dos cualeso.uiera de esas interpretacionesexiste una correspondencia biunívoca y la ejecución de lamisma operación, o de operaciones equi',.alentes, produceresultados equi'r'alentes en las dos inferpretaciones. En fin,un sistema de axiomas es intrínsecamente completo cuan-do todas las proposiciones que son verdaderas, para cual-quiera de sus interpretaciones arbitrarias. son proposicio-

142

nes deducibles del mismo sistema. Por consiguiente, si un

sistema de axiomas es formalmente completo, entonces

también es intrínsecamente cornpleto; pero la recíproca

no siempre es cierta. Ahora bien, 1o que quedaba plan-

teado era el problema de probar que un sistema de axio-

mas establecido fuese completo o que resultara completa-

ble con un número reducido de nuevos axiomas.

En un sistema de axiomas no deben figurar proposi-

ciones innecesarias que puecian deciucirse de l6s restantes

axiomas, ya que entonces deben estar inciuidas entre los

teoremas. Cuando'se tiene un sistema de axiomas en el

cual todos ellos son efectivamente proposiciones primiti-

vas no deducibles recíprocamente, se tiene un sistema in-

clepencliente o un sistema <ie axiomas mutuamente inde-

pendientes. Por lo tanto, de la misma manera en que un

sistema es completo cuando no le faita nrngún axioma,

así también, dicho sistema es independiente cuando no le

sobra ningún axioma. Un axioma es independiente dentro

de un sisterna, cuando no se puede deducir de los otros

axiomas mecliante las reglas c1e operación admitidas. De

no ser así, dicho axioma es dependiente. Por su parte, un

sistema cle axiomas en el cual ninguno de ellos es deduci-

ble de los otros, es un sistema de axiomas independien-

te. En caso contrario, el sisterna de axiomas es depen-

diente, E,n todo caso, para probar la independencia cle un

axioma respecto a ios demás dei sistema, se requiere de-

mostrar clue ni tal axioma, ni su opuesto contradictorio,

ni todas las proposiciones derivadas de eilos, se encuen-

tran en contradicción con los otros axiomas del sistema.

Los axiomas depenclientes pueden ser elimi¡lados del sis-

tema, sin que se altere el conjunto de teoremas de la dis-

ciplina rle tlue se trate; ya que, en último término, si un

axioma no es independiente, entonces realmente no es

un axi,¡nra sino un teorema. Pclr otro lado, cuan{o la con-

143

sistencia interna de un sisterna de axiomas solamente sepuede probar recurriendo a otro sistema de axiomas, en-tonces tenemos que, en rigor, el primer sistema es depen-riiente del segundo. Aparentemente, un sistema de axiomasno deja de ser válido cuando se descubre que uno desus axiomas se puede deducir de los otros; y, €n tal caso,io que debe hacerse obviarnente es excluirlo del grupocle axiomas y pasarlo al grupo cle teoremas, que es lacalidad que tiene. Sin embargo, simplemente para com-prender la estructura de cualquier sistema de axiomas,es indispensable probar su independencia. Y, lo que esmás importante aún, la falta de independencia de losaxiomas de un sistema significa, estrictamente, que to-das las proposiciones de la disciplina en cuestión son teo-remas. En tal caso, se disuelve lógicamente el sistema deaxiomas establecido y, al propio tiempo, resulta posibleseleccionar arbitrariamente cliversos grupos de teoremas,para habilitarlos como axiomas, aunque a sabiendas deque ninguno de esos grupos constituye realmente un sis-tema de axiomas.

Con objeto de precisar el significado que tiene la in-dependencia de los axiomas, se puede distinguir entre laindependencia formal y la independencia intrínseca. f)eesa manera, un axioma es formalmente independiente delos otros axiomas de un sistema, cuando existe un con-junto de teoremas que satisface ei sistema de axiomasformado por esos otros axiomas sin el primero, pero queno satisface el sistema de axiomas original, o sea, el siste-ma en el cual figura además el axioma en cuestión. E,ncambio, un axioma es intrínsecamente independiente de losotros axiomas de un sistema, cuando no se puecle deducirde esos otros axiomas. Entonces, si un sistema de axiomases formalmente independiente, también es intrínsecamenteindependiente; pero la recíproca no siempre es válida. Por

r44

otra parte, un axioma es dependiente de los otros axio-mas de un sistema, cuando una interpretación arbitrariadel sisterna formado exclusivamente por esos otros axio-mas, satisface igualmente al sistema original, en el cual

está incluido el axicma en cuestión. Desde luego, la in-

dependencia intrínseca es necesaria para evitar que en

el sistema se consideren axiomas superfluos. Y la inde-

pendencia formal es indispensable para que el grupo de

axiomas constituya efectivamente un sistema. Pues bien,

como lo veremos después, lo que Cohen acaba de dernos-

trar es justamente que no se puede probar la indepen-

dencia de ningún sistema de axiomas.El problema de la independencia de un axioma perte-

neciente a un sistema, respecto a los otros axiomas, con-duce a otro problema de primordial importancia, como esla posibilidad de sustituir dicho axioma por su negación,sin causa¡ una contraclicción interna en el sistema en cues-tión. Como prirner ejemplo de este problema, tenernos elde la independencia del qr:into postulado cle Euclides enel sistema de axiomas de la geometría. Como ya lo hemosdicho, ese descubrirniento condujo a la formulación de lasgeometrías no-euclidianas, cuvos axiomas son los mismo-'de la geometría euclidiana, con excepción del relativo alas paralelas, que se sustituye por la negación contradic-toria del postulado dc Euclides. Por lo tanto, de esa ma-

nera se puso en claro que si un sistema de axiomas esconsistente, y sus axiomas son independientes, entoncesel sistema sigue siendo consistente cuando se sustituye uno

de los axiomas por su contradictorio. Más adelante, Hil-

bert, en su empeño por realizar el programa que se había

trazado, intentó demostrar la independencia de los 20

axiomas de su sistema de geometría "por medio de cier-

tas geometrías enteramente peculiares, construidas adhoc",

Para ello, intentó demostrar que cada axioma era incle-

I

56.-10 145

pendiente de los otros, valiéndose de la construcción de

un modelo en el cual se satisfacen todos 10s axiomas <lel

sistema, con excepción del axioma en cuestión' Así, em-

pezó por inferir la independencia del axioma de las pa-

ralelas, por medio de un modelo conocido de la geometría

no-euclidiana; luego siguió con e1 axiorna sobre el trans-

porte de segmentos de recta, introduciendo una nueva de-

finición de la congruencia, y así sucesivamente' Pronto

haremos ver que tales pruebas no son suficientes, de acuer-

do con la demostración de cohen. Mientras tanto, preci-

saremos el significado que tiene la independencia de un

axioma, en relación con el problema de la posibilidad de

sustituirlo por su opuesto. De esa manera' tenemos que un

axioma perteneciente a un sistema de axiomas eS dialéc-

ticamente intlepencliente sóio cuando, además de ser sa-

tisfactorio el sistema de axiomas original, también resul-

ta satisfactorio el sistema ile axiornas formado por los

otros axiomas más el opuesto al axioma en cuestión'

En 1904, Hilbert señaló que la lógica simbólica podía

ser tratacla como una rama de la teoría de los nitmeros.

Y Goeclel fue el prirnero en elaborar en detalle esa corres-

pondencia, utilizánclcila para investigar las propiedades de

los sistemas formalizaclos cle axiomas. En efecto, en 1930,

Goe<lel publicó la primera prueba de la inclependencia del

sistema cle axiomas constituido por ias reglas de la lógica

clecluctiva, clemostrando que no eS completo en sentido am-

plio, pero sí 1o es en el sentido estrecho Y, Por lo tanto,

resulta suficiente para la demostración de los esquemas

formales de la lógica. Al año siguiente, Goedel publicó

su trabajo funclamental y ahr:ra famoso,2 en el cual ofre-

ció las pruebas cle clue ningún sisterna de axiomas puede

2 "l]eber formal unentscheidbare Saetze der Principt'a Md'

thematíca und verrvandter Systeme", Monatshefte tuet Mathe-

matik und, Phank, 33, 1931, págs' 1?3-198.

r46

ser completo, ni tampoco puede ser consistente y, por en-de, puso al descubierto dos de las tres limitaciones insu-perables que son inherentes al método axiomático. Conese trabajo terminó la etapa dei forrnalismo axiomáticodominada por el programa y los resultados de Hilbert,que fue intensamente creadora v bastante fructuosa, ydurante la cual se desarrclilaron muchas concepciones bá-sicas y técnicas nuevas, pero que resultó no ser sufi-cientemente crítica respecto a sus fundamentos v se ca-racterizó por la ignorancia de sus limitaciones. Al propiotiempo, las demostraciones de Goedel desencadenaron unaprofunda crisis en la axiomática, eu€ ahora ha venido aculminar con la prueba de Cohen. En la imposibilidad derealizar el programa trazado por Hilbert, la axiomáticaentró en una fase más reflexiva I, en particular, aguda-mente crítica en relación con el formalisrno.

Para establecer su demostración, Goedel formula enprimer lugar un criterio de consistencia intrínseca másriguroso que el utilizado anteriormente, al que llama con-sistencia-onrcga. Luego adopta un sistema de representa-ción, en el cual a cada símbolo usado en las fónnulasmatemáticas le corresponde biunívocamente un número na-tural. Así, cualquier fórmula, que es sinrplemente una co-lección finita de símbolos, queda representa<la por unacolección de números naturales y, como la correspondenciaes biunívoca, en cualquier momento se puede convertir denuevo la colección de núrneros en la fórmula original. Ade-más, las reglas para la construcción de nuevas fórmulasy la conjugación de éstas, se expresan en función de lasoperaciones aritnréticas elementales ejecutadas con los nú-meros representativos. De esa manera, iodas las proposi-ciones son transformadas uniformerrrente en fórrntrlasaritméticas. Entonces, Goedel corrstruye una fórmula arit-mética tal que solamente es demostrable cuando su nega-

t47

ción también es demostrable. O sea, que se trata de una

fórmúla que, en rigor, no es demostrable ni tampoco es

refutable. En consecuencia, dicha fórrnula es formalmen-

te indecidible y, por lo tanto, el sistema de axiomas de la

aritmética es incompleto. Más todavía, el sistema de la arit-

mética es incompatible, de tal manera que, aun cuando

sea posible seguir agregando nuevos axiomas, subsistirá

la misma situación, ya que siempre se podrá construir

otra fórmula que resulte indecidible. Al propio tiempo,

Goedel demostró que, incluso suponiendo que un sistema

de aritmética formalizada sea consistente, no es posible

dar una prueba de su consistencia que pueda ser fbrma-

lizada dentro del mismo sistema de la aritmética. Enton-

ces, dicha consistencia sólo puede ser demostrada recu-

rriendo a una teoría matemática superior' como lo es la

teoría de los números transfinitos, por ejemplo; cuya

consistencia deberá ser probada, a su vez' refiriéndola

a olra teoría matemática rnás cornpleja, y así sucesiva-

mente. Por lo tanto, la prueba de la consistencia interna

cle la matemática se complica cacia vez más y, finalmen-

te, sigue siendo tan <luclosa como al principio, ya que el

procedimiento de prueba es interrninable.

Después de probar la existencia de proposiciones in-

decidibles, Goedel estableció dos condiciones simples para

ampliar el dominio de aplicación de sus descubrimientos'

las cuales expresó de la siguiente manera: 1) la clase de

los axiomas y las reglas de inferencia deben ser defini-

bles recursivamente; y, 2) cacla relación recursiva debe

ser clefinible dentro del sistema. Entonces, demostró que

cualquier sistema formal que cumpla esas dos condiciones

y sea consistente, en el sentido ontega' contiene propo-

siciones irrdecidibles. Entre esos sistemas se encuentran,

clesde luego, el de la axiomatización formulada por Zer-

melo-Fraenkel para la teoría de los conjuntos, y el siste-

148

ma de la aritmética constituido por los axiomas de peano,las definiciones recursivas y las reglas de la deducciónformal. Además, debido a que la demostración de la con-sistencia interna de cualquier teoría formalizada de unadisciplina científica, se establece mediante su reduccióna los axiomas de la aritmética, entonces resulta que laspruebas de Goedel se refieren a cualquier teoría forma-lizada y, por ende, a todo sistema de axiomas que seprreda formular. En consecuencia, todo sistema de axio-r¡as es necesariamente incompleto e incompletable. y, alpropio tiempo, en el caso de que se suponga que tieneconsistencia interna, ésta es indemostrable dentro del sis-tema mismo. Más todavía, como cualquier teoría forma-lízada incluye a las reglas de la inferencia deductiva, co-mo partes integrantes de su sistema, queda en claro quelas pruebas de Goedel afectan también a la iógica formal.

El cambio de orientación en las investigaciones, comoconsecuencia de los resultados r¡btenidos por Goeclel, lle-r'ó a examinar el problema de la consistencia relativade los sistemas de axiomas. Esto es, en lugar de unaprueba absoluta de la consistencia de un sistema formal,se buscó la manera de probar que, si un sistema de axio-mas se puede considerar como consistente, entonces tam-bién es consistente otro sistema de axiomas que sea unaextensión clel primero. De nuevo fue Goedel quien logróencontrar esa demostraciórr, probando rigurosamente quesi es consistente la formalización de la teoría cle los con-juntos establecida por Zermelo-Fraenkel, pero sin incluirel axioma de selección, entonces sigue siendo consistentela teoría formada cuando se agregan el axioma de selec-ción 1' la hipótesis del continuo de Cantor generalizada.g

z The Consisteney of the Axtom of Choice and" of the Ge_nerc,.l;-zed. Can-tintotm. Hypothesi-s o,;"th the Arion" of Set Thecry.Princetc,n, Princeton University press. 1M0.

149

rnedios con que se intentaban. Solo que, como lo señala

acertadamente Hilbert, en la ciencia "continúa clesem-

peñando un papel preponderante la imposibilídod de cier-

tas soluciones o problemas, y ei esfuerzo realizaclo para

responder a una cuestión de tal ín<lole, ha sido con fre-

cuencia la causa del descubrirniento de un nuevo y fruc-

tífero campo de investigación".La primera consecuencia que se desprende inn-rediata-

mente de la prueba de Cohen es que jamás se lograráconstruir deductivamente una disciplina científica comple-ta, consistente e independiente. Porque se ha puesto demanifiesto que las ciencias, y en particulár la matemáti-ca, tienen la propiedad intrinseca cle no poder ser for-malizadas por entero. Por 1o tanro, el propio conoci-

miento científico se niega a quedar aprisionado en ese

mundo de abstracción total, constituido exclusivamentepor sisternas de axiomas y reglas interdepenclientes, en

doncle cualquier teoría que se estableciera arbitrariamen-te; resultaba ser tan buena y aceptabie como otra cual-

quiera. Al propio tiempo, de la misma manera en qttelas pruebas cle Goedel señalan destacadamente el incum-plimiento de los preceptos de no-contradicción y de ex-clusión de tercero, así también la clemostración de Cohensignifica el derrumbe de la lógica formal, en cuanto asu carácter absoluto, precisamente clentro del irltimo re-ducto en clonde era cultivacla en ese sentido. Pcr consi-guiente, tenernos clue ias concepciones v los más refina-dos medios cle investigación basaclos en la lógica icrmal,no pudieron satisfacer las severas exigencias que pianteala teoría de los conjuntos 1', juntc a ella, las otras ciisci-plinas maternáticas. Ciertamente, la lógica cle la mate-

mática supera a la lógica forrnal 1', especialmente en los

momentos críticos de stl clesarroilo, exhibe conspicua-

mente su carácter dialéctico. jln rigor, las pruebas cle

152

Goedel y Cohen son un resultado cle la dialéctica de lamatemática y abren nuevos cauces para el clesenvolvi-miento cle la lógica dialéctica.

Por otra parte, de la prueba de Cohen se desprendeigualmente que los procedimientos matemáticos demostra-tivos no coinciden, ni menos se agotan, con el método axio-mático. Lo cual quiere decir que los recursos de la razónno pueden ser formalizados por completo y que tampocoes posible fijar ninguna limitación a la capacidad crea-dora de los matemáticos y los lógicos para inventar, des-cubrir y desarrollar nuevos procedimientos de demostra-ción. A ese problema se encuentra ligada ia cuestiónde que existe un gran núnrero de proposiciones matemá-ticas verdaderas que, sin embai'go, no se pueden deducirformalmente de ningún grupo de axiomas, mediante elempleo del grupo cerrado de reglas de la inferencia deduc-tiva. Por la imposibilidad de probar la consistencia, re-sulta la existencia de esas proposiciones indecidibles, queno se pueden demostrar ni refutar. Del hecho de que nin-gún grupo de axiomas sea un sistema completo, y ademásno sea completable, proviene la dificultad insuperableque se presenta para la demostración de todas las propo-siciones pertenecientes a una teoría. Y, la falta de inde-pendencia de los axiomas, significa que no es posible dis-tinguir entre conceptos básicos y conceptos derivados, nientre relaciones fundamentales y relaciones secundarias;por lo cual, tampoco es posible distinguir realmente unaxioma de un teorema. N[ás aún, la imposibilidad de pro-bar la independencia de los axiornas lleva a la situaciónde que, en rigor, todas las proposiciones son teoremas

Y, entonces, se puede escoger con libertacl entre unainfinidad de grupos de proposiciones, para otorgarlas ar-bitrariamente el rango de axiomas. Esta situación se ex-tiende hasta los misrnos preceptos canónicos o "princi-

153

Pues bien, esta demostración constituye la base utiliza-da por Cohen para clar el siguiente paso, que ha sidodefinitivo. En efecto, la prueba de Cohen consiste jus-

tamente en demostrar que: "La hipótesis del continuono prrede ser derivada de los otros axiomas de la teoríade los conjuntos, incluyendo entre ellos el axioma de se-lección. Y, como Goedel ha clemostrado ya que la hipó-tesis del continuo es consistente con dichos axiontas,entonces queda establecida así la independencia de la hipó-tesis del continuo." Entonces, como va lo habíamos apun-tado al principio, la prueba de Cohen muestra que se puedesustituir la hipótesis del cgntinuo por su negación con-tradictoria, sin causar una inconsistencia en el sistema deaxiomas de la teoría de los conjuntos, porque se tratade un axioma que es dialécticamente independiente. Porlo tanto, se han reunido los elementos fundamentalesnecesarios para formular una nue\¡a teoría de los conjun-tos y, en realidad, nuevas teorías de las otras ramasde la matemática, a las cuales podemos denominar pro-visionalmente como no-cantorianas, en un sentido ente-ramente análogo al que tiene la geometría no-euclidiana

en relación con la eucludiana. A la vez, debido a que elfundamento mismo de la prueba es la consistencia rela-tiva del sistema. de axiomas, resuita que Cohen ha venidoa probar igualmente que es imposible demostrar la in-dependencia de los axiomas integrantes de cuakluier sis-tema formalizado. Por consiguiente, la prueba de Cohensignif ica que tampoco es dernostrable estrictamente elcumplimiento de la tercera y última condición, que seplanteaba como exigencia ineludible para que un siste-ma de axiomas sea enteramente riguroso.

La dernostración de que no es posible probar la con-sistencia, ni la completud, ni tampoco la independencia deun sistema de axiomas, pone claramente cie manifiesto

150

que los axiornas son insuficientes para caracterizar las

teorías de la matemática v, en general, de cualquiera otra

disciplina científica. Como lo dice el propio Goedel, "exis-

te, en algún sentido, una realiclad objetiva que los mate-

máticos tratan cle expresar en los axiomas cie la teoría delos conjuntos, pero los axiomas formulados hasta ahorasólo representan esa realidad de un modo incompleto",Antes del clescubrimiento de Cohen, todavía era posible

considerar que esta situación se podría superar mediante

la introducción de otros axiomas, tal vez rluv diferentes

de los actuales, que sirvieran para representar la reali-

tlad objetiva de una manera más aproximada v menos

incompleta. Pero, ahora sabemos bien que cualquier inter-pretación axionrática que se inteute, será siernpre una

representación insuficiente y limitada de la realiilad. Más

todavía, ha quedado refutacla la afirnación que se hacía

con frecuencia, acerca cle que la fornlalización axiomáti-

ca de las discipl inas científ icas era lógicamente inevita-

ble, apodícticamente verdadera y cornpletamente indepen-

diente de la experiencia. De esta manera se ha consumado

definitivamente v sin remedio el derrumbe cle la axionra-tización, en el sentido apriorístico y absolutizante con qtte

era considerada, Por lo tanto, debemos concluir que, res-pecto al problerna de la axiomatización ha sucediclo lo

mistno clue antes ocurrió con otros prciblemas matemáti-

cos, como el de encontrar la cua<lratura clel círculo tt l¿t

trisección de lrn ángulo empleando exclusiva.mente regla

v conlpás, el r le resoiver la ecuación t le quinto gra<lo por

medio de radicales, el r ie la construcción t le números tras-

cendentes por rledios algebraicos, y .1 rle la tlenrostra-

bi l idacl del postula,Jo de ias paralelas. I lsto es, que la

axiomatización es un problenra irrrposible <le resc¡h'er uti l i -

zando únicanrente la lógica forrnal, al igr"ral tlue arluellos

otros prciblenr¿¡,s tanipcicu puiiiei-i.rir :;ei rcsueltt;s i;c;r los

I .51

pios suprernos" de la lógica formal, puesto que también

constitul,en un sistema de axiomas )', por ende, resulta

que dichos "principios" tienen que ser considerados, en

principio, como inconsistentes, incompletos 1' tlepentlien-

tes. A \a vez, debido a que las reglas formales de infe-

rencia son parte integrante de tocios y cada uno de los

sistemas axiomáticos establecidos hasta ahora, quedan

igualmente incluidas en la falta de consistencia, de com-

pletud y de independencia. Por lo tanto, se impone de

manera imperiosa la necesiCad de emplear otras reglas

de transformación, diferentes y más poderosas que las

reglas de la deducción fc¡rmal. A este respecto, las de-

mostraciones de Goedel y Cohen constituyen el fundamen-

to teórico necesario para la fonnulación de la teoría ma-

temática de la ]ógica <iialéctica, cuyo desarrolio permitirá

seguramente hacer más rigurosas y eficaces las cperacio-

nes ya conocidas Y, a la vez, descubrir nuevas formas dia-

lécticas de razonamiento.En lo que respecta a la matemática, la prueba de

Cohen abre un campo de investigación inmenso y pro-

misorio, a la vez que obliga a cambiar decididanente la

orientación seguida dentro cle una de las tendencias

tlominantes de la matemática contemporánea y viene a des-

encaclenar una revolución en tocias sus ramas. Desde lue-

go, con ia relativización clel forrllalisnro se destaca la im-

p<lsibilirlad 11e separar la forrna dei ccnteniclo, )¡a que

éste gobierna el progreso de la forma )' decide su itnpor-

tancia I ' las modaiidades que arlt¡uiere. Al propio t iernpo,

se IX)ne en eviclencia córno la acción de clescubrir sobre

el papel, con lápiz o pluma ) por medio del razonamien-

tr-¡, las relaciones nrateliráticas que constituyen una repre-

sentación apr.ximada de las relaciones objetivas, sola-

rnente resulta posible cuando el conjunto de axiomas del

cual se parte es también una irnagen de la realidad ob-

154

jetiva. El método axiornático es únicamente una formade representación que requiere, de manera indispensa-ble, una fundanrentación objetiva. En todo caso, la axio-matización ha queclaclo reducida a sus justos términos, osea, que es una actividad secundaria y subsecuente aldescubrimiento de las relaciones fundamentales estudia-das dentro de cada disciplina, y por medio de la cual seexpresan dichas relaciones en una forma precisa. La ta-rea de la axiomatización es relativa y sus criterios derigor se encuentran sujetos a cambios, de acuerdo conel desen.¿olvimiento del conocimiento científico. Enton-ces, se puede seguir considerando que la formalizaciónaxiomática de una disciplina constituye la formulación másrigurosa que puerie hacerse de eila en un momerrtodetermlnado, con tal que se tenga siempre en cuentaque se trata simplemente de una forma de expresiónde los conocimientos logrados )' que las exigencias lógi-cas que deben cumpiir las ccnexiones entre sus axiomasv sus teorernas, tarnbién se encuentran sujetas a evolu-ción. Y, por cierto, lo que en este momento se planteacon una necesidad iniperiosa e inaplazable, es la elabo-ración rle los nuevos criterios cle rigor que deban sus-titr:ir a las frustraclas exigencias de la formalización axio-mática.

En lo que se refiere a la lógica, se podrá desenvol-ver la teoría nlatemática de la dialéctica, cuyo fundamen-to queda establecido con las implicaciones (lue tienen losresultados de Goedel y Cohen. Este rlesarrollo podrá con-ducir después a la invención 1' la construcción de nuevas

computadoras electrónicas, que serán superiores a las

actuales. En ef ecto, las cornputadoras funcionan hasta

ahora conforme a las reglas fijas de las operaciones axio-

máticas forrnalizatlas, mientras que la lógica dialéctica

les podrá impartir una estructura operativa mucho más

155

rica, fina y penetrante. Más todavía, la misma asociacronentre la lógica dialéctica y las computadoras permitirá,por vez primera, un desenvolvimiento amplio de la ló-gica experimental. Por lo tanto, el derrumbe definitivodel apriorismo, provocado por la revolucióii científica quese ha suscitado, conduce directamente a la experiencia,tanto en la matemática como en la lógica. En este sentidoya se vienen realizando algunos trabajos de gran im-portancia. Entre ellos, podemos mencionar las investi-gaciones de Church sobre las funciones que son compu-tables sistemáticamente, mismas que lo llevaron primeroa establecer que toda función ef ectivamente calculablees recursiva y, luego, a descubrir que la definibilidadIambda es equivalente a la recursiviclad. Por su parte, Tu-ring ha confirmado esa demostración, precisando el con-cepto de computabilidad e inventando la máquina que lle-va su nombre para probar la computabilidad de lasfunciones. Al propio tiempo, se vienen desarrollando al-gunos lenguajes para las computadoras electrónicas, que

se encuentran basaclos por completo en la recursividad.Incidentalmente, tenemos que ya ha sido posible forrnu-lar un algorirmo que permite decidir si una fórmula es

o no es un teorema; y su expresión en el lenguaje Lispha servido para demostrar en una computadora, en 8 mi-nutos, todos los teoremas que figuran en los Princi|riaX[athematica de Whitehead y Russell. De esta manera,se vienen creando los elementos teóricos 1', simultánea-mente, los instrumentos matemáticos de aplicación, queson necesarios para el establecimiento y el desarrollo prác-

tico de la teoría rnatemática de la lógica clialéctica. Por

eso es que podemos concluir, insist iendo vigorosamenteen la afirmación de que las consecuencias de las pruebas

de Goedel y Cohen inauguran una etapa revolucionaria

en la matemática, la légica y la cibernética.

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