De Mozart a Einstein

Mozart Chopin Debussy Schöenberg Newton/Leibniz Gauss Poincaré Einstein/Hausdorff

De la caja a la red en mátemáticas y música Capi Corrales Rodrigáñez1

1 Publicado en “El Adelantado de Indiana” nº 4, Noviembre 2006, www.adelantadodeindiana.co.nr

Introducción Si salimos a la calle, y pedimos a las personas que nos vayamos encontrando, los nombres de un científico y un músico, probablemente todas mencionarán el nombre de Einstein y casi todas el de Mozart. Con un año de diferencia (Einstein murió en 1955 y Mozart nació en 1756), hemos celebrado el cincuenta aniversario de la muerte del primero y el doscientos cincuenta del nacimiento del segundo. Albert Einstein fue, entre otras cosas, el descubridor de la teoría de la relatividad. Las teorías científicas se basan en el conocimiento de los hechos que se tiene en cada momento, y según vamos sabiendo más, vamos completando nuesstras teorías. Por eso, ninguna teoría científica es la última y definitiva explicación de algo, ni invalida a las anteriores, sino que las completa. La teoría de la gravedad de Newton —que murió veintitantos años antes de que naciese Mozart—, explica con mucha precisión qué ocurre cuando una manzana cae de un árbol, o cuando tenemos en cuenta el campo de gravedad de tan sólo dos cuerpos celestes. Pero en cuanto consideramos tres o más cuerpos celestes moviéndose por el espacio, la teoría de la gravedad de Newton se nos queda corta para explicar lo que ocurre. A principios del siglo XX, Einstein encontró un modelo más completo que explica cómo funciona la gravedad: la teoría general de la relatividad. El modelo de Einstein no invalida el de Newton: allá donde el de Newton es adecuado, ambos coinciden. Pero la teoría de Einstein permite explicar fenómenos para los que la de Newton resulta insuficiente. La teoría de la relatividad de Einstein, además de ser una pieza fascinante y de enorme bellaza, tiene el atractivo añadido de haber puesto en tela de juicio las concepciones de espaciales que la cultura occidental ha sostenido desde los inicios de la revolución científica del siglo diecisiete. Las implicaciones que para los conceptos de espacio y tiempo tiene la teoría de la relatividad, contribuyeron de manera esencial a que cambiase radicalmente el imaginario de nuestra cultura a principios del siglo XX. “Espacio y tiempo. Términos usados en filosofía para describir la estructura de la naturaleza. A veces son descritos como contenedores en los que ocurren todos los sucesos y procesos naturales, y a veces como relaciones que conectan tales sucesos.” (Enciclopedia Collier's, 1968). Curiosamente, las dos palabras, contenedor y relación describen, respectivamente, la idea de espacio que encontramos en época del nacimiento de Mozart, cuando la noción de espacio se menciona explícitamente por primera vez en matemáticas (en cartas de Newton) y se describe por primera vez con precisión (en el apéndice a Introductio de Euler, en 1748, [Eu]), y la idea de espacio en las matemáticas contemporáneas a Einstein (definido con precisión por Hausdorff en 1914, [Ha]). Reflexionando sobre estas cuestiones con el compositor Juan Manuel Artero, caimos en la cuenta de que la relación entre música y matemáticas está muy aceptada, pero más allá de los pitagóricos y sus trabajos con la escala musical —interesantísimos, pero con más de dos mil quinientos años de antigüedad— las referencias a esta relación suelen ser muy vagas. De hecho, en su formación como compositor nunca le enseñaron nada sobre matemáticas, y en la mía como matemática nunca me enseñaron nada sobre composición musical. Puesto que a él le encantaría saber matemáticas y a mí me

encantaría saber música, como homenaje a Mozart y a Einstein, y como regalo mutuo, se nos ocurrió llevar a cabo un experimento (juego) teórico.

Primero yo construí para Artero un esquema con las fases por las que ha pasado la noción de espacio en matemáticas desde la época de Mozart hasta Einstein, y se lo ilustré con algunas de las imágenes que lo propios matemáticos habían incluido en sus textos y con algunos de los cuadros que se estaban pintando mientras los distintos conceptos matemáticos se cocinaban. A continuación, Artero se estudió el esquema, eligió partituras compuestas desde visiones espaciales contemporáneas a las matemáticas. y las fue insertando en las correspondientes fases. Finalmente, nos preguntamos y discutimos mutuamente hasta que llegamos a una versión definitiva que, juntos explicamos a la pianista Marta Alfaro. El 26 de junio de 2006, en una velada matemático-musical, presentamos nuestro esquema en el Museo CosmoCaixa de Ciencias de Alcobendas. Artero explicaba las partituras, Marta las interpretaba al piano y yo las enmarcaba en el imaginario espacial matemático de su época. Entre las fases dos y tres hicimos un descanso práctico en el recorrido teórico, presentamos la máquina de calcular de Leibniz y la de componer de Mozart y, con la colaboración entusiasta del público utilizamos la última para componer en vivo piezas cortas que Marta iba interpretando.

De Mozart a Einstein

Mozart Chopin Debussy Schöenberg Newton/Leibniz Gauss Poincaré Einstein/Hausdorff Fase 1: Los precursores Galileo Galilei (1564-1642), Bonaventura Cavalieri (1598-1647) Hasta mediado el siglo XVII, los matemáticos no piensan en el espacio, están dónde están y tiran para adelante como pueden, utilizando una geometría euclídea básica (la geometría de círculos, triángulos y rectas que todos estudiamos en la escuela). Avanzan siempre en horizontal, como las rectas de geometría euclidea, que se pueden prolongar ilimitadamente. En este avance, no les preocupa la precisión. Si las cosas funcionan, funcionan, y no le dan más vueltas.

Johann Sebastian Bach (1685-1750)

Bonaventura Cavalieri (1598-1647) Geometría de los indivisibles, 1635 Fase 2: La caja Isaac Newton (1642-1727) G.W. Leibniz (1646-1716) Leonard Euler (1707-1783) El primer matemático en pensar el espacio como una enorme caja fue Newton. Él y Leibniz inventan el cálculo infinitesimal, poderosísima herramienta con la que Euler puede, entre otras cosas, describir el espacio-contenedor con toda precisión. Utilizan como herramientas la geometría euclídea, las simetrías, las imágenes especulares, y la repetición, y llevan a cabo su trabajo en bloques verticales. Describen el movimiento como en el cine, a base de fotogramas verticales que avanzan horizontalmente en el tiempo. En esta época la geometría euclídea se convierte en una herramienta muy poderosa para describir el mundo tal cual lo ven los ojos. Trabajos como Philosophiae Naturalis Principia Mathematica de Newton (1687) y Las meninas de Velázquez (1657), convirtieron el espacio euclídeo en el modelo científico y artístico para describir el universo, y en las lentes a través de las cuales la cultura occidental lo observaba y definía, En el siglo XVIII es espacio ya se pensaba y representaba en toda la cultura occidental como un contenedor dotado de las propiedades del espacio euclideo (tridimensional, infinito, homogéneo y sin ofrecer resistencia al movimiento de las cosas). Wolfang Amadeus Mozart (1756-1791)

Velázquez, Las meninas (1657) Newton, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (1687)

Fase 3: Coordenadas intrínsecas: las superficies de las cosas Carl Friedrich Gauss (1777-1855), Bernhard Riemann Los matemáticos, conscientes de las limitaciones de sus construcciones y modelos —ya hemos comentado que no funcionaban, por ejemplo, para describir el movimiento relativo de tres cuerpos celestes—, siguieron puliéndolos, intentando extenderlos más allá de sus límites. Hacia 1800, y a través de los trabajos de Gauss, se acercaron a las superficies de las cosas, dejando de mirarlas como fronteras precisas entre la cosas, y empezando a considerarlas como mundos en sí mismas. En 1828 Gauss publicó sus reflexiones en Disquisitiones generales circa superficies curvas, un texto muy famoso que dio origen a la geometría diferencial moderna, en el que Gauss abrió el camino al estudio de las superficies como cuerpos en sí mismas, esto es, desde un punto de vista intrínseco, y en el que demostró que no es necesario describir el espacio ambiente que rodea a una superficie para describirla con toda precisión. En menos de medio siglo, los matemáticos estuvieron preparados para dar el difícil paso de permitirse a sí mismos pensar de otra manera —Riemann, extendiendo en 1854 las nociones espaciales a objetos que no formaban parte de un espacio euclídeo, es un ejemplo excelente de este pensar de otra manera—; las matemáticas modernas habían nacido. Frédéric Chopin (1810-1849)

Gauss, Disquisitiones generales circa superficies curvas (1828) Goya, Las pinturas negras (1814)

Fase 4: No importa ni el tamaño ni la forma, sino las conexiones entre las cosas. Henri Poincaré (1854-1912) A finales del siglo XX Poincaré desarrolló una nueva forma de geometría llamada topología (que había sido inventada por Euler en el siglo XVIII), en la que el tamaño y la forma no importan, sólo importan las conexiones entre las cosas: todo vale mientras haya continuidad sin roturas o nuevas conexiones. A la topología se la conoce por muchos nombres: las matemáticas de la plastelina, las matemáticas de la goma elástica, las matemáticas de los espejos de feria, etc. Son las matemáticas de la continuidad, las matemáticas que estudian las propiedades de las figuras que permanecen inalterables bajo los cambios graduales, cambios que, como el estirar una superficie elástica sobre la que hemos dibujado el plano de una red de Metro, tienen lugar poco a poco y sin alteraciones dramáticas ni súbitas. A las alteraciones dramáticas y súbitas las llamamos en matemáticas “discontinuidades”, mientras que los cambios pausados y graduales, son “continuos”. Un alfarero, sentado en un torno, va transformando de manera continua una bola de barro en un plato, un vaso o un jarrón. No importa el tamaño ni la forma que tenga el objeto: si se puede producir a partir de una bola de una forma continuada, para la topología se trata de una misma cosa. Un plato, un vaso o un jarrón son objetos topológicamente equivalentes. Para producir una taza con asa a partir de una bola de barro, el alfarero tendrá que producir un agujero, tendrá que romper adherencias. No podrá hacerlo sin cortar, sin discontinuidades, sin cambios abruptos. Pero una vez que tenga hecho el agujero en la bola, una vez que tenga una rosquilla entre las manos, podrá, sin problemas y con suavidad, convertirla en una taza, un cilindro o el marco de un cuadro. Veamos un ejemplo concreto. Tomemos un plano de Madrid y una gráfica de la red del metro, y tracemos sobre el plano una línea recta que una la Puerta del Sol con la Plaza de Antón Martín. Observamos que esa línea no pasa por la Plaza de Tirso de Molina. Sin embargo, en la gráfica del metro, el tramo de la línea 1 que une las paradas Sol y Antón Martín, pasa por Tirso de Molina. En la gráfica del Metro no importan ni la trayectoria real de las vías del tren, ni la distancia exacta entre las paradas; sólo importa cuántas paradas hay y cómo están conectadas unas con otras. Dicho con otras palabras: no importa el tamaño ni la forma, sólo las conexiones. La gráfica del metro es un ejemplo de lo que en matemáticas se conoce como gráfica topológica.

Claude Debussy (1862 -1918) Juan Gris, Guitarra con incrustaciones (1925), La ventana abierta (1921), Guitarra frente al mar (1925) Fase 4: La red de relaciones Felix Hausdorff (1868-1942), Albert Einstein (1879-1955)

El proceso de desarrollo de las nuevas ideas fue largo y difícil, y exigió un grado muy alto de abstracción. Muchos de los conceptos nuevos que fueron surgiendo en el camino, basados en intuiciones espaciales radicalmente nuevas, cambiaron sistemáticamente la visión espacial de los matemáticos. Sin embargo, sus campos de percepción seguían ligados a estructuras euclídeas. El paso definitivo lo tomó Felix Hausdorff en 1914 cuando, utilizando de manera esencial la topología, definió los espacios abstractos en matemáticas. Desde 1914, un espacio en matemáticas (nótese que ya no es el espacio, sino un espacio) consiste en dos cosas, cualquier conjunto de cosas y una red de relaciones entre esas cosas. Arnold Schöenberg (1874-1951) Picasso, Las meninas (1957) Einstein, Teoría de la relatividad (1915)