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JJSEGURA Página 1
De Números, Dioses,
Héroes y Fantasmas
JJSegura
JJSEGURA Página 2
Í N D I C E
Pág.
Introducción. …………………………………………………………. 3
Capítulo I
Génesis. ………………………………………………………………. 7
JJSEGURA Página 3
Introducción
En las clases de Matemáticas se menciona insistentemente que éstas se
encuentran en todo lo que vemos, en todo lo que hacemos; que los números
aparecen en nuestra vida, sin que lo notemos, en todas nuestras actividades
y que pareciera que nuestro mundo se rige por esos objetos abstractos
llamados números. Es mi intención ir recorriendo y descubriendo, junto con el
lector, ese maravilloso – y, a la vez, tan misterioso - mundo matemático.
En este recorrido panorámico del número y la forma, hablaremos de
diversos conjuntos numéricos:
Los números naturales, que son los enteros positivos:
N= { 1, 2, 3, … } (los … indican la sucesión sigue infinitamente)
Los números enteros: positivos, negativos y el cero.
Z = { …, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, … }
Los números racionales, que son los que se pueden expresar en
forma de cociente entre dos enteros: números enteros, fracciones, decimales
finitos, decimales infinitos periódicos.
Q = { …, – 50, – 2.36, 0, ⅓, 4, 7.09, 21.6ˉ, … }
Los números irracionales, que no se pueden expresar como el
cociente de dos enteros: decimales infinitos no periódicos.
I = { …, – √7, π, е, √2, … }
La unión ( U ) de los números racionales con los números irracionales,
forma el conjunto de los números reales:
R = Q U I
La barra en el 6 indica
que 21.6666666666…
6 es su periodo.
√2 = 1.414213562… la parte decimal no termina
y no tiene números que ya se repitan (periodo).
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Más tarde (siglo XVIII), aparecerán los números complejos:
C = { a + bi , con a, b reales y donde i2 = – 1 }
Estos números complejos se crearon para poder efectuar raíces pares de
números negativos, como: √−9 que no tiene solución en los números
reales (ningún número real elevado al cuadrado da – 9), pero sí hay dos
soluciones en los números complejos: 3i , – 3i . Porque (- 3i)2 = -3i (-3i) =
9i2 = 9 (– 1) = – 9 . La misma prueba sería para la solución positiva.
Actualmente, tienen mucha aplicación en matemática superior y en
diversas disciplinas.
Actualmente, se establece que el objeto material de la Ciencia
Matemática (de mathema, ciencia) son los números y las cantidades; su
objeto formal son las relaciones, propiedades y operaciones de estos
números y cantidades. Un cuerpo es todo lo que ocupa un lugar en el
espacio, su volumen es el lugar que ocupa en un momento determinado y
su superficie es el límite que lo separa de otros cuerpos y que da forma al
cuerpo. Varios cuerpos integran un conjunto o colectivo. Un conjunto está
integrado por objetos, que pueden ser personas, animales o cosas
(tornillos, barcos, lanzas, libros, ideas, pensamientos, etc.). La magnitud es
una característica o propiedad de un cuerpo o colectivo susceptible de
medida: volumen, superficie, longitud, peso, altura, temperatura, velocidad,
fuerza, población de un país, dinero de una persona, edad, estatura, etc.
Utilizamos un número para expresar la cantidad que mide una magnitud y
poder diferenciarla y compararla con otra.
Un número expresa la cantidad que mide una magnitud.
¿Cómo contamos? Poniendo en relación uno a uno (biunívoca) cada
objeto con la serie de los números naturales: 1, 2, 3, … , hasta llegar a un
número final, que será el total de objetos contados (número cardinal). Si
nos interesa la posición que ocupa un objeto en un conjunto, empleamos
los números ordinales: primero, segundo, tercero, etc.
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¿Cómo medimos? Tomando una unidad de medida (metro, litro, kilogramo,
hora, etc.) y contando cuántas unidades se requieren para medir la magnitud.
Se obtiene una cantidad que se expresa mediante números.
Hoy se acepta la siguiente clasificación de las matemáticas:
Hacer matemáticas de las matemáticas, es investigar y descubrir
nuevos resultados y relaciones entre los números y los objetos matemáticos.
Por ejemplo, se investigó y se obtuvo la fórmula general para resolver una
ecuación de segundo grado en una variable. En esta misma ecuación, ya los
antiguos se habían encontrado con soluciones negativas y soluciones con
raíces cuadradas de números negativos; estas soluciones se aceptaron hasta
que se desarrollaron las operaciones con signo y se inventaron los números
complejos.
A las ramas tradicionales (matemáticas puras) de Aritmética,
Geometría, Álgebra, Trigonometría, Geometría Analítica, Cálculo Diferencial
e Integral, se han ido incorporando nuevos campos de estudio como
Geometría proyectiva, Geometría Diferencial, Geometrías no euclidianas,
Teoría de Números, Topología, etc.
Hacer matemáticas de la naturaleza, es investigar y descubrir
patrones, reglas o leyes que gobiernan los objetos o fenómenos naturales
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que puedan ser estudiados mediante modelos matemáticos. Por ejemplo,
se sabe que las órbitas de los planetas siguen trayectorias elípticas; se han
descubierto galaxias con formas espirales; se ha descubierto que la
distribución de hojas en los tallos de algunas plantas sigue patrones
numéricos; actualmente se investiga el establecer una ecuación o sistema
de ecuaciones que modele el desarrollo de un cáncer; etc.
Hacer matemáticas de la cultura, es investigar, descubrir y aplicar
modelos matemáticos para resolver problemas y situaciones que aparecen
en las diversas disciplinas. En Administración, por ejemplo, cómo
maximizar las utilidades y cómo minimizar los costos; en Finanzas, cómo
evaluar proyectos de inversión; en Medicina, qué porcentaje de pacientes
se curará con una nueva medicina; en Mercadotecnia, qué probabilidad de
éxito tendrá un nuevo producto; en Seguros, cuál es la probabilidad de
robo de un automóvil determinado o de un accidente de avión; etc.
Las matemáticas aplicadas también se han desarrollado y
diversificado: Probabilidad y Estadística, Matemáticas financieras,
Demografía, Investigación de Operaciones, Optometría, Econometría,
Ingenierías, Cálculo Actuarial, etc.
A lo largo del texto, iremos mencionando cómo surge la Ciencia
Matemática y su relación con la Naturaleza y la Cultura.
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Capítulo I
Génesis
Hagamos un recorrido por el origen de las matemáticas.
Para darnos una primera visión, retrocedamos en el tiempo a una
época de 30,000 años a.C. Edad de la Piedra Tallada (Paleolítico), donde
por la Historia sabemos que los primeros grupos humanos eran nómadas:
Fig.1 No vivían en un sitio fijo, se
trasladaban de un lugar a otro de
acuerdo a las condiciones del clima y
de la alimentación.
Cazaban, pescaban y
recolectaban para su alimentación.
Conocían el fuego, vestían
pieles, decoraban sus cuevas o
cavernas con pinturas (hoy llamadas
rupestres).
Quizás, su noción de número
o cantidad era uno, dos, tres, pocos,
muchos.
La Historia también nos dice que al irse desarrollando estos primeros
grupos humanos, en una época de 10,000 años a.C. Edad de la Piedra
Pulimentada (Neolítico), se empiezan a asentar en lugares fijos, se hicieron
sedentarios.
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Fig.2 Surgen las aldeas y
pequeñas comunidades.
Aparece, aunque de
manera rudimentaria, la
agricultura, el pastoreo y la
ganadería.
Se inventa la rueda y se
inician los cultos y ritos
ceremoniales.
Surge la necesidad de
contar y medir. Distinguir
diferentes cantidades de
objetos; distinguir
diferentes medidas de
cosas.
Número y Forma, son los orígenes de nuestras matemáticas.
¿Qué contar? Cuántas personas integran la tribu, cuántos hombres,
cuántas mujeres, cuántos niños, cuántos ancianos; la cantidad de animales
que sale a pastar, debe ser la misma cantidad que regrese; cuántas lanzas,
cuántos cuchillos; cuántos animales se deben cazar para alimentar a toda la
tribu; cuántas lunas o cuántos soles deben pasar para llegar a otra aldea o
lugar; etc. Para cantidades pequeñas, pudieron utilizarse los dedos de las
manos y de los pies. Se han hallado restos prehistóricos de piedras, huesos y
ramas de árboles con marcas secuenciales a manera de un conteo. Un
hueso de un primate de 35,000 años de antigüedad en Suazilandia, África,
tiene 29 marcas que se cree contaba las fases lunares o seguía el ciclo
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menstrual. Otro hueso de lobo de 30,000 años de antigüedad, encontrado en
Vestonice, República Checa, tiene 55 marcas agrupadas de 5 en 5 y una
marca adicional después de la 25. Otro hueso con marcas llamado “Hueso de
Ishango” hallado en el Congo, África, tiene 20,000 años de antigüedad.
¿Qué medir? El lugar de las habitaciones para vivir; las pieles usadas
para la ropa de hombres y mujeres; el largo de las lanzas y de los cuchillos;
el lugar y los centros y pirámides ceremoniales; etc.
Surge la idea de Número (Fig.3).
Del conteo surge la Aritmética; de la medida surge la Geometría. Por
la época de 6,000 años a.C. los egipcios realizaban censos de población; así
como los romanos, hacia el 2,000 a.C., también realizaban censos y
recopilación de datos estadísticos (esta palabra proviene de Estado, que es
el que ordenaba recopilar los datos). Los romanos contaban con piedras
llamadas “calculi”, de ahí se derivó nuestra palabra calcular.
Los pueblos sedentarios han evolucionado y se han convertido en
grandes centros de población. La base de su economía es la agricultura y
las observaciones de la relación que existe entre la periodicidad de las
estaciones y el aspecto del cielo generó la Astronomía (también aparece la
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astrología –correlación de los astros con el destino humano- y la
numerología – misticismo numérico -, confundiéndose en sus inicios). Por
la época de 5,700 años a.C. los sumerios, antecesores de los babilonios
semíticos, empezaron a contar su año a partir del equinoccio de primavera
(cuando el día y la noche tienen la misma duración, corresponde a nuestro
21 de marzo). Hacia el año 4,241 a.C. los egipcios adoptaron su calendario
de 12 meses de 30 días y añadían 5 días de festividades para completar
los 365. Y para ello se requería, además de observaciones de muchos
años, utilizar algunas técnicas aritméticas elementales.
Herodoto (Halicarnaso, 484 a.C.) señala que la Geometría, como tal,
surgió en Egipto ya que como consecuencia de las inundaciones del río
Nilo, había que volver a medir las tierras para efecto de deslindar
propiedades y aplicar impuestos. De ahí el origen de la palabra: Geo: tierra
y métrica: medida. “Medida de la tierra”. (Los Nueve Libros de la Historia,
Porrúa).
Los más antiguos datos escritos que se conocen, corresponden a las
culturas de Mesopotamia (Babilonia, Sumerios, Acadios) y de Egipto. Se
han encontrado tablillas cuneiformes con escritura jeroglífica egipcia que
datan del 3,400 al 3,200 a.C. De la misma época, pertenecen tablillas
cuneiformes de Mesopotamia donde para los números se maneja un
sistema de numeración sexagesimal (de base 60).
Los escribas sacerdotales utilizaron las tablillas cuneiformes para
asentar la información que ha llegado hasta nosotros y era un secreto
guardado celosamente entre ellos. Hacia la época de 2,500 a.C. los
sumerios comerciantes trabajaban ya con pesos y medidas y negociaban
con lo que hoy llamaríamos títulos de crédito comerciales, es decir,
manejaban interés simple y compuesto. Utilizaban un sistema de
numeración sexagesimal, que transmitieron a los babilonios: base 60
posicional, que aún perdura actualmente en la medida del tiempo: 1 hora =
60 minutos, 1 minuto = 60 segundos; asimismo, en la división del giro
completo de un ángulo en 360° (6 x 60). Para esta división, quizás se
basaron en el año de 360 días.
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Manejaban números enteros positivos y fracciones, los que hoy
conocemos como naturales y racionales. Algunos autores sostienen que los
babilonios inventaron el cero (otros afirman que fueron los hindúes). Los
babilonios emplearon tablas de multiplicar y dividir enteros, fracciones,
cuadrados y cubos. Se ayudaban de las tablas de cuadrados y cubos para
obtener raíces cuadradas y cúbicas, respectivamente.
Hacia la época de 2,000 años a.C. los babilonios resolvían ecuaciones
de primero, segundo y tercer grado con procedimientos rudimentarios de
álgebra, siguiendo reglas específicas para cada ecuación sin ningún
simbolismo o fórmula general. También resolvían sistemas sencillos de estas
ecuaciones. Aparece resuelto un problema en el que se pide encontrar el
tiempo que tarda en duplicarse una cantidad invertida a una tasa de interés
determinada -hoy lo resolvemos con logaritmos, pero ellos no los conocían
aún-; ellos lo resolvieron por tanteo e interpolación.
Los conocimientos geométricos de los babilonios hacia el 2,200 a.C.
pueden resumirse en que calculaban, igualmente sin simbolismos ni fórmula
general, áreas de rectángulos, triángulo recto e isósceles, trapezoide con un
lado perpendicular a la base; tomaron para π el valor de 3. Daban soluciones
correctas a problemas donde aparecían paralelepípedos, cilindros rectos,
prismas rectos con base trapezoidal. Sabían, sin demostración, lo siguiente:
que el ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto (lo demostraría
Thales de Mileto, hacia el 600 a.C.); que en un triángulo rectángulo se
cumple la relación de sus lados a2 + b2 = c2 , para algunos valores
específicos (lo demostraría Pitágoras, hacia el 500 a.C.); que los lados de los
ángulos correspondientes de triángulos semejantes son proporcionales (lo
demostraría Euclides, hacia el 300 a.C.), entre otros resultados.
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Los Jardines Colgantes de Babilonia son una de las siete maravillas
del mundo antiguo. (Fig.4)
Al resolver algunos sistemas de ecuaciones, aparecen soluciones con
números negativos, lo que indica que tenían alguna idea de este concepto.
Asimismo, en cálculos de Astronomía empleaban correctamente lo que hoy
llamamos reglas de los signos para la multiplicación.
Los egipcios, para la época de 3,500 años a.C. manejaban números
como 120,000 prisioneros humanos, 400,000 bueyes y 1’420,000 cabras. Su
sistema de numeración era decimal pero no posicional. En el papiro de Rhind
(nombrado así en honor del arqueólogo que lo compró en Egipto y lo llevó a
Inglaterra y que data del 1,650 a.C., copiado por el escriba Ahmes de un
documento más antiguo) y en el papiro de Moscú (comprado por el
egiptólogo Golenishchev en 1883 y llevado a Moscú), aparecen problemas
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sencillos de Aritmética resueltos con operaciones de sumas, restas,
multiplicaciones y divisiones, involucrando enteros positivos y fracciones.
Resolvían ecuaciones simultáneas como: 1) x2 + y2 = 100, 2) y = ¾ .
También tenían conocimiento de las proporciones, así como de las
progresiones aritmética y geométrica.
Para π tenían el valor aproximado de 256 / 81 = 3.16; conocían el
área de un triángulo y el volumen de un cilindro recto. Aparece resuelto un
problema del volumen de un tronco de pirámide cuadrada, aplicando la
fórmula: (1/3) h (a2 + ab + b2), donde h es la altura y a, b son los lados de las
bases. Esta aplicación ha causado sorpresa por ser exacta y no se sabe
cómo la obtuvieron en una época tan lejana. Las Pirámides de Egipto son
una de las siete maravillas del mundo antiguo. (Fig.5)
Fig.5 La Gran Pirámide (Keops).
Nos acercamos ahora a la época de 600 años a.C. La antigua Persia
es la sucesora imperial del Egipto, Babilonia, Fenicia, Siria y toda el Asia
Menor. Los griegos eruditos viajaron constantemente al Este y se
beneficiaron de su cultura. Las batallas de Maratón (490 a.C.), de las
Termópilas y de Salamina (ambas en 480 a.C.), muestran que griegos y
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persas tuvieron un contacto cercano y esto, aunado al hecho de que los
griegos no se contentaron sólo con conocer aplicaciones prácticas
individuales, dieron origen al gran desarrollo científico y humanista griego;
particularmente, de la filosofía y las matemáticas. Los griegos asimilaron el
cómo y para qué se resuelve un problema; pero avanzaron notablemente
en el por qué, obteniendo demostraciones lógico-matemáticas -muchas
veces rigurosas,- que dieron origen a sistemas y teorías matemáticas que
aún hoy perduran y que son el fundamento de nuestro conocimiento actual.
Nombraremos rápidamente a grandes matemáticos con algunas de
sus aportaciones más importantes. Varios de ellos los volveremos a
mencionar a lo largo del texto. Digamos, de paso, que es el tiempo de los
filósofos Anaximandro (el principio de todas las cosas es el ápeiron, lo
indeterminado, algo anterior a ellas), Anaxímenes (el principio de todas las
cosas es el aire, algo sutil y amorfo), Heráclito (el principio de todas las
cosas es el fuego, todo cambia, nada permanece en reposo), Parménides
(el ser es lo que es, uno, inmutable, inmóvil y eterno), Anaxágoras (la
materia está compuesta por gérmenes –spérmata- cuyo orden está
impuesto por la mente –nous-), Empédocles (las cosas están compuestas
de cuatro elementos: tierra, agua, aire y fuego; la evolución de la materia
está sujeta a dos fuerzas: amor y odio, atracción y repulsión), Demócrito
(las cosas están compuestas de partículas indivisibles: átomos; no admite
un principio espiritual que rija el orden del mundo) y los sofistas Protágoras
(con su relativismo: el hombre es la medida de todas las cosas) y Gorgias
(con su nihilismo: nada existe; si algo existiera, no lo podríamos conocer; si
algo conociéramos, no lo podríamos expresar), entre otros. Los
mencionamos porque la filosofía, en estos tiempos, está íntimamente
ligada a otras ciencias, como las matemáticas.
Indudablemente, Thales de Mileto (640-535 a.C.) abre este recorrido
con sus demostraciones: que el ángulo inscrito en una semicircunferencia
es recto; si varias rectas paralelas cortan a dos rectas transversales,
determinan en ellas segmentos correspondientes proporcionales; los
ángulos opuestos por el vértice son iguales; los ángulos en la base de un
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triángulo isósceles son iguales; todo círculo es bisecado por cualquiera de
sus diámetros; se dice que, estando en Egipto, midió la altura de la Gran
Pirámide (de Keops) empleando el concepto de triángulos semejantes. Es
considerado uno de los siete sabios de Grecia y el primer filósofo al asentar
que el principio que constituye a todas las cosas es el agua; todas las
cosas están llenas de dioses. Es el primero que afirma algo sobre el
principio (arjé) de la naturaleza (fysis).
Pitágoras de Samos (585-500 a.C.) es de los más conocidos por su
teorema: en todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los
catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa; elaboró tablas de operaciones
aritméticas. Viajó a Egipto, Babilonia y Persia, asimilando vastos
conocimientos de geometría y astronomía, así como de religión y misticismo.
Al regresar a Grecia, visita el templo de Delfos dedicado al dios Apolo, donde
a la entrada deben leerse dos sentencias:
“Conócete a ti mismo.
No se aproxime quien no sea puro.”
Todo ello lo motiva a formar una escuela científico- político-religiosa
muy influyente en su época y que al fallecer él, sus discípulos continúan su
obra, denominándoseles pitagóricos. En su escuela se enseñaban las siete
artes liberales: el Trivium (Gramática, Retórica, Lógica) y el Quadrivium (
Aritmética, Geometría, Astronomía, Música); podían ingresar hombres y
mujeres, algo no usual en aquella época, y cuyo fin era una vida sana y
civilizada. Sus descubrimientos se atribuyen a él y a los pitagóricos. En
alguna ocasión le preguntan si es sabio, él contesta que no, que él es
filósofo, “amante de la sabiduría”.
En la música, Pitágoras descubre las razones 2/1, 3/2, 4/3, para las
longitudes de las cuerdas de los instrumentos musicales sometidas a una
misma tensión para dar la octava, la quinta y la cuarta de una nota.
Demostraron que los lados correspondientes de triángulos semejantes, son
proporcionales; sabían que √2 era irracional, no se puede representar
como el cociente de dos números enteros; razonaban que los planetas
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conocidos (Mercurio, Venus, Tierra, Marte, Júpiter y Saturno) se movían
alrededor del sol; que la luna brilla por el reflejo de la luz del sol; que la
estrella más brillante de la tarde es la misma estrella más brillante de la
mañana: Venus; son los primeros en llamar Cosmos al Universo;
consideran que el número es la medida de todas las cosas: los únicos
dioses científicamente comprobables son los números. Con los pitagóricos,
se establece el razonamiento lógico deductivo e inductivo como sistema
para obtener nuevos conocimientos.
Zenón de Elea (hacia 470 a.C.), con ingeniosas paradojas sobre la
divisibilidad infinita, provoca algunas dudas en parte del razonamiento
matemático de la época. Por ejemplo, la carrera de Aquiles y la tortuga:
Aquiles le da a la tortuga cierta ventaja, por decir, 100 m; la velocidad de
Aquiles es de 10 m por segundo y la de la tortuga es de 1 m por segundo.
Aquiles tarda entonces 10 segundos en recorrer los primeros 100 m, pero
la tortuga ha avanzado 10 m; Aquiles tarda un segundo en recorrer esa
distancia, pero la tortuga avanzó 1 m más; Aquiles la recorre en 1
10 de
segundo, pero la tortuga avanzó 1
10 de m más; y así sucesivamente. Por lo
cual, decía Zenón, Aquiles nunca alcanzará a la tortuga.
En su tiempo no se aclaró esta paradoja (se sabía el tiempo en que
Aquiles la alcanzaba, pero no se tenía la respuesta para la serie infinita).
Aristóteles razonaba que había que diferenciar entre infinito en acto (en
este instante) e infinito en potencia (instante por suceder), pero
analíticamente hubo que esperar al siglo XIX. Se demostró que la serie
infinita sí tiene límite y es: 10 + 1 + 1/10 + 1/100 + 1/1000 + … = 11 + 1/9
segundos.
Llegamos a la época de Sócrates (470-400 a.C.), Platón (429-347
a.C.) y Aristóteles (384-322 a.C.). Ninguno es matemático, pero los
mencionamos porque su filosofía influyó en el razonamiento lógico-
matemático de su época y de las siguientes, hasta nuestros días. Sócrates
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rechaza el relativismo y el escepticismo de los sofistas; dialoga en plazas
públicas con sus discípulos y con base en preguntas y respuestas trata de
que reflexionen y extraigan ellos mismos sus propias conclusiones, sobre
todo de temas morales, éticos. Llama a su método “mayéutica”, parto
espiritual. Comenzaba afirmando “Sólo sé que no sé nada” y repetía
constantemente la sentencia del Oráculo de Delfos: Conócete a ti mismo.
Platón, discípulo de Sócrates, realiza diversos viajes: a Megara
invitado por Euclides, a Cirene, Egipto y Sicilia. Mantiene relación con los
pitagóricos y sus ideas matemáticas muestran influencia de ellos. Funda,
hacia el 387 a.C., en su ciudad natal Atenas, en el jardín de Academos, su
célebre escuela llamada Academia, donde se enseña que las Ideas,
verdadero ser captado intelectualmente, son opuestas a las de las cosas del
mundo sensible. Las cosas de este mundo son una participación de las
Ideas, son imperfectas, temporales, mudables, materiales; en contraposición,
las Ideas son subsistentes (existen independientemente de la materia y del
conocimiento), perfectas, eternas, inmutables, espirituales. El alma espiritual
tiene la intuición de las Ideas desde la vida prenatal; cuando nacemos,
nuestra alma es encerrada en un cuerpo material, donde las ideas innatas
permanecen en el fondo de nuestra conciencia. Cuando entramos en
contacto con lo sensible y debido a la semejanza y participación que tienen
los objetos de este mundo respecto a las correspondientes Ideas del
verdadero mundo, empezamos a recordar las ideas almacenadas en nuestra
memoria. Aprender es recordar, dice Platón. La mayor parte de nuestros
conocimientos permanece en este plano sensible, que se llama doxa
(opinión). Cuando saltamos a la captación de la Idea, el verdadero ser,
logramos el conocimiento verdadero, alcanzamos el nivel de la episteme. A
esta ascensión cognoscitiva desde lo sensible hasta lo intelectual, en busca
de las Ideas más perfectas, Platón le llama dialéctica.
Los números son conceptos, Ideas. Las relaciones matemáticas no
son dadas en la realidad corpórea; el conocimiento de ellas se origina en el
hombre bajo el estímulo de percepciones, percepciones que solamente
tienen semejanza con los propios principios geométricos. Considera a las
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matemáticas como un arte altamente filosófico, indigno de llevarlo a la vida
común. A la entrada de la escuela se leía un cartel:
“Nadie ingrese aquí si ignora la geometría”.
Escribió más de 25 Diálogos filosóficos: en el Teetetes habla de la
ciencia y en el Timeo habla del origen del universo.
Aristóteles, discípulo de Platón, cierra este apogeo de la filosofía
griega. Fue preceptor de Alejandro Magno. Es considerado el Padre de la
Lógica al escribir el Órganon (significa instrumento), donde establece el
sistema de razonamiento lógico y lo considera el instrumento para entender
la filosofía. Esta Lógica se considera fundamental en su desarrollo posterior
hasta nuestros días. En Matemáticas, el razonamiento lógico inductivo
(partir de proposiciones particulares para concluir una proposición general)
y deductivo (partir de una proposición general para concluir una
proposición particular) son la base sobre la cual descansa la demostración
de los teoremas y todo el desarrollo del aparato matemático hasta nuestros
días.
En 335 a.C., funda en su ciudad natal Estagira, una escuela a las
afueras de la ciudad, cerca de un pequeño santuario dedicado a Apolo
Licio, de donde a su escuela se le llama El Liceo. Era un jardín provisto de
una galería para pasear al aire libre (de aquí el mote de peripatéticos dado
a sus discípulos: peri, alrededor, y pateo, pasear). Su pensamiento realista
se opone al idealismo de Platón. Escribe varios libros y tratados sobre
diversos temas: ética, metafísica, filosofía, historia natural, esboza algo de
psicología, poética, entre otros.
Volviendo al recorrido con los matemáticos, vemos a Eudoxo de Cnido
(408-355 a.C.) discípulo y en un tiempo amigo de Platón. Viajó también al
Este y fundó una escuela propia en Cicicos. Destaca por un trabajo sobre
las proporciones que dio validez indirectamente a la regla empírica de los
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egipcios para el volumen de un tronco de pirámide. Aplicó el método de
exhaución (agotamiento) para calcular áreas de algunas
figuras geométricas. Esencialmente, utilizó áreas de polígonos regulares,
como rectángulos, que son más fáciles de calcular, para ir agotando
(aproximando) el área de la figura construyendo cada vez más y más
polígonos. Esta idea fue retomada por Arquímedes y matemáticos posteriores
para calcular áreas de figuras curvas y es la idea fundamental en el Cálculo
Integral. Ver figura 6 siguiente.
Llegamos a la época de un hecho histórico que marcará un derrotero
en el desarrollo siguiente de la cultura: el rey Filipo II de Macedonia ha
muerto (336 a.C.); su hijo Alejandro, de veinte años, hereda el reino y los
proyectos de conquista de su padre. Por lo que emprende una serie de
conquistas que lo llevarán a formar un gran imperio, llamándolo el mundo
Alejandro Magno. En 331 a.C., al conquistar Egipto, funda la ciudad de
Alejandría, situada en el delta del río Nilo y a la cual la proyecta para ser el
centro cultural del mundo, quizás recordando a su preceptor Aristóteles. Se
hacen célebres su museo (mouseion, nombre que se daba a los templos de
las musas) y biblioteca que durante varios siglos logran reunir documentos y
piezas en copia u originales de todas partes, además de desarrollar (pues a
la par se dan clases al nivel que hoy llamaríamos de universidad),
conocimientos muy especializados y avanzados en diversas ramas de la
ciencia: astronomía, geografía, matemáticas, física, ingeniería, medicina,
entre otras.
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Pasaron por ella notables directores y docentes, y era visitada por
notables eruditos de todo el mundo culto. Años después, entre 300 y 280
a.C., quedaba construido en su puerto el gran Faro, que tomó su nombre de
la isla de Pharos, situada en la bahía de Alejandría. (Fig.7)
Enseguida aparece Euclides (Alejandría, 365-275 a.C.), que por el año
300 a.C. escribe su libro Elementos donde reúne el saber geométrico de su
época, por lo que es considerado el “Padre de la Geometría”. Es el libro
más editado sólo después de la Biblia. Su método consiste en partir de
axiomas y postulados que acepta como verdaderos, y definiciones
apropiadas, para ir demostrando, con razonamiento lógico-deductivo,
resultados importantes llamados teoremas. Un teorema demostrado le
sirve de base, también, para demostrar otros. Sus resultados geométricos
es lo que aprendemos actualmente en primaria, secundaria y bachillerato
(¡desde entonces!), por lo que en su honor se denomina “Geometría
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Euclidiana”. Y su método de demostración se ha tomado como paradigma
hasta nuestros días. En una ocasión, al dar la explicación geométrica de un
problema, el rey Ptolomeo I le pregunta si no hay un camino más sencillo;
Euclides le contesta que “no hay un camino real para la geometría”.
Su tratado se compone de 13 libros que por su importancia vamos a
describir brevemente. Los primeros cuatro libros tratan de la geometría plana,
donde se establecen los términos o definiciones, los postulados y las
nociones comunes: punto, línea, recta, plano, ángulo, propiedades de la
igualdad, solución de triángulos rectángulos y oblicuángulos, la
circunferencia, polígonos inscritos y circunscritos a una circunferencia.
Los libros V y VI presentan la teoría general de proporciones a partir
de un punto de vista geométrico y su aplicación a la semejanza de figuras
planas. En el libro VI aparece un teorema que se considera preámbulo a lo
que hoy llamaríamos de optimización: Dada una longitud, encontrar el
rectángulo de área máxima cuyo perímetro es la longitud dada. Euclides
demostró que el cuadrado es la respuesta.
Los libros VII, VIII y IX abordan lo que hoy conocemos como teoría de
números: divisibilidad de los enteros, algoritmo para encontrar el máximo
común divisor de varios números (algoritmo de Euclides), proporciones
continuas, progresiones geométricas, fórmula para calcular números
perfectos (aquellos que son iguales a la suma de sus divisores), y un teorema
importante para la Aritmética: los números primos son ilimitados (infinitos).
En el libro X, se tratan geométricamente los números irracionales y se
obtienen métodos geométricos para resolver ciertas ecuaciones de segundo
grado y bicuadradas (como x4).
Los libros XI, XII y XIII, abordan temas de los sólidos: esfera, cilindro,
cono, pirámides, prismas, cubos y poliedros regulares. Demuestra que sólo
pueden existir cinco poliedros regulares: tetraedro, hexaedro, octaedro,
dodecaedro e icosaedro.
Euclides propuso cinco postulados que consideró verdaderos sin
demostración:
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1. Se pueden unir dos puntos con una misma recta.
2. Cualquier parte de una línea recta puede ser prolongada,
obteniéndose una nueva parte de la misma recta.
3. Dado un punto y una distancia, se puede trazar un círculo.
4. Todos los ángulos rectos son iguales.
5. Si una recta al incidir (cortar) sobre dos rectas hace los ángulos
internos del mismo lado menores que dos rectos, las dos rectas
prolongadas indefinidamente se encontrarán en el lado en el que están los
ángulos menores que dos rectos. Ver figura 8 siguiente.
Este quinto postulado ha tenido diversas versiones equivalentes;
la más usual es: Por un punto fuera de una línea recta, pasa exactamente
una paralela a la recta. Este postulado ha causado mucho trabajo de
investigación a los matemáticos posteriores. Se intentó demostrar como si
fuera un teorema, pero fue en vano. Sin embargo, esos trabajos
desembocaron en nuevas teorías: Nicolás Lobachevski, en 1855, crea una
teoría llamada después Geometría Hiperbólica, al postular que por un
punto fuera de una recta, pasan infinitas rectas paralelas; Bernhard
Riemann, en 1854, presenta una teoría denominada después Geometría
Elíptica, al establecer que por un punto fuera de una recta, no pasa
ninguna recta paralela. Ambas teorías le permitieron a Albert Einstein
formular, en 1915, su Teoría General de la Relatividad.
Surge ahora la figura de Arquímedes (Siracusa, 287-212 a.C.),
considerado uno de los tres grandes matemáticos (junto con Newton y
Gauss). Es físico, ingeniero, inventor, astrónomo y, por supuesto,
matemático. Escribió diversos tratados y muchos de ellos han llegado
hasta nosotros: Sobre el equilibrio de las figuras planas, Sobre la
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Cuadratura de la Parábola, El método sobre los teorema mecánicos, Sobre
la esfera y el cilindro, Sobre las espirales, Sobre los conoides y los
esferoides, Sobre los cuerpos flotantes, Sobre la medida del círculo, El
contador de arena, El problema de los bueyes, entre otros. Varios de sus
trabajos en su lengua original el griego se perdieron, pero se tienen en
traducción al árabe o en latín. Mantuvo correspondencia científica con
Eratóstenes y otros matemáticos importantes de su época.
Inventó el tornillo sin fin (para elevar agua), la palanca simple y el
polispasto (sistema de poleas interconectadas). Se le atribuye la frase:
“Dadme un punto de apoyo y moveré el mundo”. La historia señala que
durante el asedio que el general romano Marcelo impuso sitiando a la
ciudad de Siracusa, la toma de ésta se retrasó pues por invento de
Arquímedes había máquinas dentro de la fortaleza de la ciudad que
lanzaban dardos en todas direcciones, ballestas y catapultas más elásticas
y potentes que las usuales; una mano de hierro movida por palancas y
poleas que sujetaba con cadenas los navíos enemigos, los levantaba y los
soltaba en el aire, haciéndose añicos al caer; se dice que utilizó espejos
ustorios (significa el que quema) que, orientados adecuadamente, reúnen los
rayos reflejados en un punto y, con ello, quemaba las velas de los navíos. El
general Marcelo llegó a admirarlo, dando orden de conservarle la vida al
tomar la ciudad finalmente, pero un soldado dio muerte al sabio.
Se cuenta también, que Hierón, tirano de Siracusa y pariente de
Arquímedes, encargó una guirnalda de oro a un joyero y, al recibirla,
sospechó que no se había utilizado todo el oro que le había dado, por lo que
le pidió a Arquímedes que analizara el caso. Después de varios días y en una
ocasión que Arquímedes asistió a los baños públicos, notó cómo se
derramaba agua hacia el exterior al introducirse en la bañera. Razonó que
eso le ayudaba a solucionar el problema de la guirnalda; tal fue su emoción
que, se dice, salió corriendo desnudo por las calles gritando: “¡Eureka!,
¡eureka!” (¡Lo he encontrado!). Con ello confirmó la estafa del joyero y
descubrió el Principio de la Hidrostática que lleva su nombre: Todo cuerpo
sumergido total o parcialmente en agua u otro fluido, sufre un empuje vertical
y hacia arriba que es igual al peso del agua o fluido desalojado por el cuerpo.
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Aplica el método de exhaución, que él mismo se lo atribuye a Eudoxo,
para aproximar áreas y volúmenes hasta donde se desee de figuras
geométricas. Esto es, circunscribir (por afuera) e inscribir (por dentro)
polígonos regulares a la figura determinada, de tal manera que el área por
fuera tenga un exceso y el área por dentro tenga un decremento, respecto al
área de la figura en cuestión. Incrementar cada vez los lados de dichos
polígonos, de tal manera de ir comprimiendo (por afuera) y agotando (por
dentro), el área original (Ver Fig.9). Enseguida, Arquímedes razonaba por
reducción al absurdo: sea S el área de la superficie curva a calcular; se
propone un valor P para dicha área; se desea demostrar que S = P; si se
demuestra que no sucede que S < P; y que no sucede que S > P; entonces,
debe ser S = P.
Fig.9 Aproximar el área del círculo.
Este método lo utilizó, por ejemplo, para encontrar la relación entre la
longitud (L) de una circunferencia y su diámetro (d). Él sabía que L = πd,
además, sabía que el área (A) de una circunferencia está dada por: A = π
r2 , donde r es el radio. Entonces, dibujó una circunferencia de radio r = 1,
por lo que A = π . Construyó polígonos regulares inscritos y circunscritos
calculando sus áreas y aumentando cada vez el número de lados. Llegó a
obtener que: 3 + 10/71 < A < 3 + 1/7 , es decir: 3.1408 < A < 3.14286 .
Entonces, tomó A = π = 3.14 con precisión de dos decimales y, por lo
tanto, L = 3.14 d , así que se cumple para toda circunferencia: L / d = π .
Con este método vislumbró las bases del Cálculo Integral.
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Un resultado que consideró muy importante establece que el volumen
y la superficie de un cilindro es igual a 3/2 el volumen y la superficie de la
esfera inscrita en él. Pidió que se esculpiera este teorema en la lápida de
su tumba, como epitafio.
Vemos venir a Eratóstenes (Cirene, 276-195 a.C.), fue astrónomo,
geógrafo, matemático y filósofo. Dio clases y fue director de la biblioteca de
Alejandría. Mantuvo amistad y correspondencia científica con Arquímedes.
Calculó con un error mínimo la longitud de la circunferencia de la Tierra,
por lo que sabía que ésta era esférica (Ver Fig.9); fue el primero en calcular
la inclinación del eje de la Tierra, también con poco error; inventó el
mesolabio, un instrumento para resolver la media proporcional; elaboró la
tabla para obtener los números primos, conocida como Criba; elaboró el
primer mapa del mundo conocido en su tiempo; propuso intercalar un día
cada cuatro años en el calendario.
Medida de la longitud de la Tierra
7.2°
Alejandría 787.5 km Consideró que los rayos del
Sol, por su distancia, caían
Asuán verticales sobre la Tierra.
Fig. 10
Eratóstenes sabía que en la ciudad de Siena (hoy Asuán, Egipto) el
día del solsticio de verano (nuestro 21-junio) a mediodía, el Sol quedaba
exactamente sobre la ciudad, proyectándose en el fondo de los pozos y un
poste vertical no proyectaba sombra. Planeó entonces medir en la ciudad
de Alejandría, que quedaba más al norte y en el mismo meridiano, la
sombra que un objeto vertical proyectara sobre el suelo. Midiendo esa
Sol
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sombra, encontró que el ángulo de separación entre las dos ciudades era
de 7.2° (los ángulos marcados con arco en el dibujo). Luego, ayudado por
viajeros de las caravanas, midió la distancia que separaba las dos
ciudades, resultando de 5,000 estadios, equivalentes a 787.5 km actuales.
Enseguida razonó estableciendo la proporción: 7.2° es a 360° como 787.5
km es a la circunferencia de la Tierra. Por regla de tres obtuvo el valor de
39,375 km. El dato actual es de 40,000 km ¡Sorprendente aproximación! Y
la obtuvo con esos instrumentos en el siglo III a. C.
Por allá va Apolonio (Pérgamo, 262-190 a.C.), estudió y fue profesor
en la escuela de Alejandría. Escribe su libro Las Cónicas, donde generaliza
y extiende el conocimiento de dichas figuras obteniéndolas cortando un
cono cualquiera con un plano cualquiera, y las llama como las conocemos
hasta ahora: parábola, elipse e hipérbola. Ver Fig.11 siguiente.
Por aquel lado está Herón (Alejandría, siglos I-II d.C.), fue ingeniero y
matemático. Inventó un aparato (preámbulo del teodolito) para hacer
observaciones terrestres y astronómicas; diseña un aparato (anticipo del
odómetro) para medir distancias recorridas por un objeto móvil. Propone
una fórmula para calcular el área de un triángulo conociendo la longitud de
sus tres lados a, b, c, y su semiperímetro s= (a+b+c) / 2 :
A = √𝑠(𝑠 − 𝑎)(𝑠 − 𝑏)(𝑠 − 𝑐) , conocida como la Fórmula de Herón.
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Y por allá se ve a Claudio Ptolomeo (Egipcio, 100-175 d.C.), fue
astrónomo, astrólogo, químico, geógrafo y matemático. En su obra Almagesto
(El Gran Tratado) postula que la Tierra está inmóvil en el centro del universo
y que los demás cuerpos celestes giran a su alrededor. Creó los horóscopos.
Aquí aparece Diofanto (Alejandría, 200/214 – 284/298), matemático.
Sabemos algo de su vida porque pidió que en la lápida de su tumba se
escribiera un desafío matemático a manera de epitafio (del griego epi=sobre,
y taphos=tumba), donde dice que su niñez ocupó la sexta parte de su vida;
después, durante la doceava parte de su vida, su mejilla se cubrió con el
primer vello. Pasó aún una séptima parte de su vida antes de tomar esposa y,
cinco años después, tuvo un precioso niño que vivió tan solo la mitad de la de
su padre. Su padre tuvo que sobrevivirle, llorándole, durante cuatro años. De
todo esto se deduce su edad.
¡Un epitafio matemático! Con notación actual, podemos resolver el
enigma nombrando x al total de años que vivió Diofanto y planteando la
ecuación siguiente: x/6 + x/12 + x/7 + 5 + x/2 + 4 = x .
La solución es x = 84 , por lo que se deduce que vivió 84 años, su
niñez ocupó 14 años, le salió barba a los 21, se casó a los 33, tuvo un hijo a
los 38, que falleció cuando él tenía 80 años.
Se conservan dos de sus obras: Aritmética (arithmós, número, aunque él lo
tomó como la incógnita) y Números poligonales (números que pueden
representarse como puntos formando polígonos regulares, como 3 que es
triangular: dos puntos en la base y un punto encima de ellos; o como el 9
que es cuadrangular: tres renglones de tres puntos cada uno). En la
Aritmética, presenta una serie de problemas resueltos sin recurrir a la
representación geométrica, que es lo que se acostumbraba después de
Euclides y Arquímedes; empleó sistemáticamente simbología para indicar
potencias, igualdades o números negativos, presagiando ya un álgebra, si
bien cuando se encontró con números negativos consideró que no
formaban parte de la solución o que no había solución. Originalmente
constaba de 13 libros, de los cuales sólo se conservan 6 conteniendo 189
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problemas, resueltos sin generalizar, es decir, se interesó en hallar una
solución concreta (algunas veces otra) pero sin dar un procedimiento
general. Esto lo completarían matemáticos posteriores.
Es famoso porque se interesó en resolver ecuaciones de primero,
segundo y tercer grado con coeficientes enteros, determinadas (una
solución) e indeterminadas (infinitas soluciones), encontrando soluciones
enteras (algunas veces aceptó soluciones racionales y ya mencionamos
que se contentaba con encontrar una de ellas). En su honor, se dice
“resolver una ecuación diofántica”, a encontrar todas sus soluciones
enteras. Por ejemplo: la ecuación 4 x3 – 3 x2 y = – 28 , admite la solución
x = 2, y = 5 . Actualmente, para la ecuaciones de primer grado (lineales) si
existe un método general de solución; para las ecuaciones no lineales, en
1970 el matemático ruso Yuri Matiyasevich demostró que no hay algoritmo
capaz de determinar si una ecuación diofántica polinómica dada es
resoluble. Por lo cual, tampoco se puede hallar un método general que
obtenga las soluciones. Lo que existe es soluciones a casos particulares, y
Diofanto abrió el camino. Por ello, algunos lo consideran “el padre del
álgebra”.
¡Oh! ¡Ahí está la bella Hipatia! (Alejandría, 370-415), filósofa,
astrónoma y matemática. La primera mujer científica de la que se tiene
noticia. Es hija del astrónomo Teón que fue director del Museo de
Alejandría y docente de su escuela. Ella misma fue docente y colaboró con
su padre en muchos de sus trabajos. En sus cátedras, utilizaron el
Astrolabio (de astro=estrella y labio=el que busca, aparato mecánico para
reproducir el complicado movimiento de los objetos celestes).
Se le atribuyen frases como: “Preserva tu derecho a pensar; más vale
que corras el riesgo de equivocarte que cometas el pecado de no pensar”, y
“Terrible cosa es el enseñar supersticiones como si fueran verdades”.
Fue famosa en su época por escribir comentarios (incluyendo, quizás,
algunas aportaciones propias) de los tratados de Euclides, Ptolomeo,
Diofanto y Apolonio. Criticó el sistema solar de Ptolomeo, que colocaba la
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Tierra en el centro (geocéntrico); ella era partidaria del sistema solar
propuesto por Aristarco de Samos (310-230 a.C.), en el que se establece que
el Sol ocupa el centro de la esfera celeste (es decir, heliocéntrico, y los
demás cuerpos giran en círculos), pero Hipatia razona que los demás
cuerpos giran alrededor del Sol en órbitas elípticas, vislumbrando ya lo que
vendría con Copérnico y Kepler.
En el museo del Vaticano, hay un fresco enorme pintado por Rafael
llamado La Escuela de Atenas, donde aparecen los grandes personajes
griegos: Sócrates, Platón, Aristóteles, Euclides, Arquímedes, etc. Todos son
hombres, excepto un personaje: Hipatia. ¡Un gran pintor reconociendo a una
famosa matemática!
Fig.12 Rafael, La Escuela de Atenas.
Hasta ahora hemos recorrido el esplendor griego y el faro cultural
alejandrino. Ha pasado la época del emperador romano Constantino (306-
337) que fue el primero en reconocer al Cristianismo; en 330 fundó
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Constantinopla, en el sitio de la antigua colonia griega de Bizancio. Su
sucesor, Teodosio (379-395), declaró al Cristianismo religión oficial del
Imperio. Para evitar las rivalidades entre los aspirantes al gobierno, dividió el
Imperio entre sus dos hijos: a Arcadio le destinó el Oriente, reinando en
Constantinopla; a Honorio el Occidente, estableciéndose en Milán. En 476,
cae el Imperio Romano de Occidente, bajo la invasión de los bárbaros
hérulos, liderados por Odoacro. Da inicio la Edad Media.
Todo esto había desencadenado luchas y revueltas entre cristianos y
paganos. Los cristianos, que antes eran perseguidos por los paganos y
hacían sus ceremonias ocultándose en las catacumbas, ahora persiguen a
los paganos. Esto trajo muchas muertes, entre ellas la de Hipatia, que era
pagana.
La biblioteca y el museo de Alejandría sufrieron estas consecuencias.
La biblioteca había sufrido un primer incendio en 272 a.C., cuando el
emperador romano Aureliano incendió y saqueó la ciudad. Ahora, durante
las revueltas (finales del 300 y principios del 400), los sabios alejandrinos
se habían refugiado en el templo de Serapis, que albergaba buena parte de
la biblioteca; pero cristianos fanáticos los sitiaron y decidieron destruir
enteramente su contenido. Se destruyeron más de 300,000 manuscritos.
La vida del museo continuó pero fue decayendo hasta que sus edificios
quedaron vacíos. Cuando los mahometanos tomaron Alejandría, hacia 640,
la biblioteca estaba cerrada desde hacía tiempo; el gobernador árabe
recibió la orden de destruirlo todo. En Grecia, la escuela de Atenas había
cerrado sus puertas en 529 por un decreto del emperador Justiniano,
temeroso de que al ser paganas pusieran en riesgo el cristianismo
ortodoxo. Parecía que se entraba a la “edad oscura”.
Afortunadamente, no fue así. En este momento de la historia, el centro
político mundial abandonó el mar mediterráneo y se desplazó hacia la
península Arábiga. Hacia el 600, el islam hizo su aparición y empezó a
controlar un territorio que incluía el sur de Europa, el norte de África, Asia
central y tierras cercanas a la India y China. Al morir el profeta Mahoma en
el año 632, la península Arábiga había quedado absolutamente unificada
tanto en lo político como en lo religioso. Poco a poco, los musulmanes se
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fueron estableciendo en las provincias conquistadas y fundaron ciudades,
palacios y mezquitas. En 762, el califa al-Mansur funda la ciudad de
Bagdad, nueva capital del mundo árabe. En 813, el califa al-Ma’mun funda
en esta ciudad la Casa de la Sabiduría (Bayt al-Hikma) -¿Emulando a
Atenas y Alejandría?- a donde llegan manuscritos y eruditos de todas
partes del mundo civilizado y se contrata todo un ejército de traductores.
Se tiene contacto, entonces, con el conocimiento griego, egipcio, indio, sirio
y persa.
En la India, hacia el siglo VI, ya se había inventado el cero,
sunya=vacío; los árabes lo llamaron sifr que Fibonacci, en 1202, la tradujo
como zephirum, nuestra actual cifra. En el continente americano, hacia el
300, los mayas (en el sureste de lo que hoy es México) usaban un sistema
numérico en base 20, las unidades numéricas las representaban en forma de
puntos y una barra o raya representaba cinco unidades; usaban el cero y su
símbolo era un signo en forma de concha o caracol. Habían registrado por
varios siglos observaciones del movimiento del Sol (eclipses, solsticios,
equinoccios), de la Luna y de Venus. Tenían el año solar de 365 días dividido
en 18 meses de 20 días, más un periodo de 5 días considerados “nefastos”.
Además, tenían el año ritual de 260 días que les servía para determinar el
nombre de los recién nacidos y los días favorables o desfavorables de la vida
de las personas. Pero este conocimiento maya no se descubrió sino hasta
después de la conquista española.
Ahí vemos pasar a Brahmagupta (Ujjain, 590-670), astrónomo y
matemático indio. Fue director de un famoso observatorio astronómico que
había en la ciudad. En 628, escribió su libro Brahma-sphuta-siddhanta, con
temas de astronomía, pero también de álgebra, geometría, trigonometría y
operaciones aritméticas. Fue el primero en establecer reglas de operaciones
matemáticas con el cero. Da métodos para resolver ecuaciones lineales,
cuadráticas, ecuaciones simultáneas indeterminadas, operaciones con
fracciones, raíces cuadradas y cúbicas, operaciones con positivos y
negativos, regla de los signos, encontrar ternas pitagóricas, algunas series.
En 665, compuso su libro Khandakhadyaka, manual práctico de astronomía.
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En este momento, vemos aparecer a Muhammad ibn Musa al-Juarismi
(Jorasmia, 780-850), que trabajó toda su vida como traductor en la Casa de
la Sabiduría y colaboró también en un importante observatorio astronómico
de Shammasiya; es considerado uno de los matemáticos árabes más
importantes. Tradujo un tratado hindú sobre el sistema de numeración
posicional en base 10; los Elementos de Euclides; la Geografía, el Almagesto
y las Tablas manuales de Ptolomeo.
Escribió al-Juarismi varias obras: Libro del cálculo con los números
indios, donde explica el sistema de numeración posicional que utilizaban
los indios y las operaciones aritméticas; Tablas indias (Sindhind), que
influyeron en la astronomía; Construcción de las horas en el plano de un
cuadrante solar; Conocimiento del azimut a través de un astrolabio;
Construcción geométrica de la amplitud ortiva de cada signo del zodiaco
según la latitud; entre otras.
Su principal obra es Hisab al-yabrwa’l-muqqabala (Libro concreto del
cálculo de la restauración y de la oposición, escrito entre 813 y 833). El
término al-yabr podría referirse a la operación algebraica consistente en
pasar (transposición), en una ecuación, un término negativo de un miembro
a otro; el término muqqabala podría referirse a la anulación (reducción) de
términos semejantes. Al tratar esta obra de la solución de ecuaciones, en
su honor, la palabra al-yabr derivó en Álgebra y su nombre al-Juarismi
derivó en Algoritmo (pasos secuenciales lógicos para realizar algo: una
operación, una tarea o actividad; en administración se le llama
procedimiento).También de su nombre se derivó la palabra guarismo, que
se refiere a cifra. Se considera esta obra como la primera escrita
formalmente de Álgebra.
Su obra empieza con una introducción sobre el principio del valor de
los números y en los seis capítulos siguientes resuelve seis tipos de
ecuaciones: a x2 = bx , a x2 = c , bx = c , a x2 + bx = c , a x2 + c = bx ,
a x2 = bx + c . Emplea operaciones aritméticas y procesos que hoy
llamamos algebraicos, además de hacer las demostraciones geométricas
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para clarificar el proceso operatorio. La segunda parte trata de operaciones
de la forma (a + b) (a – b) , demostraciones geométricas
complementarias, diversos problemas que explican aplicaciones de
ecuaciones y otro tipo de problemas.
Todo este conocimiento será llevado a la Europa medieval a través de
las rutas de las caravanas de mercaderes (Fig.13). El sistema de
numeración indoarábigo se implantará y aceptará lentamente, sobretodo
por la oposición de autoridades cristianas a su origen pagano. Pero
finalmente será aplicado en las principales ciudades del mundo civilizado.
Fig.13
La Matemática siguió progresando hasta llegar a nuestros
conocimientos actuales. He querido revivir un poco de su historia, hasta
inicios de la Edad Media, para comprender el largo y difícil camino que ha
recorrido y que ha durado siglos. Ha sido el trabajo arduo de muchos
hombres y de muchas culturas, dispersos en espacio y tiempo, pero unidos
sólo por el firme deseo de descubrir sus secretos y muchos de ellos aplicarlos
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a su vida práctica y para entender su mundo. Hemos visto que las
matemáticas son un invento de las culturas, pero también son
descubrimiento; ambas características han sido fundamentales para su
desarrollo y crecimiento. Nos hemos acercado un poco al mundo de las
matemáticas.
En lo que sigue, dejaremos el recorrido cronológico para seguir un eje
temático, que nos permitirá descubrir cómo interpretaron y manejaron un
tema o concepto específico varios personajes separados por espacio y
tiempo, pero unidos por el firme deseo de saber y aplicar ese conocimiento.