De Pr6 Predstavljanje Digitalnih Sklopova 26oct12

Predstavljanje

digitalnih funkcija i

sklopova

Sadraj

Osnovne logike funkcije

Simboli logikih funkcija

Algebra logikih sklopova (Booleova algebra)

De Morganovi teoremi

Shannonov teorem ekspanzije

Minterme i maksterme

Karnaugh-ove tablice

Minimizacija logikih izraza

Realizacija logikih funkcija s NI i NILI sklopovima

2||95

26.10.2012 Digitalna elektronika - prof.dr.sc. eljko Hocenski

3||95

7.1 Osnovne logike funkcije prema sklopovima (1/3)

osnovne logike funkcije: I, ILI, NE

pomou njih se moe izgraditi bilo koji kombinacijski digitalni logiki sklop

funkcije logikih sklopova mogu se jednostavno opisati rijeima: I -logiki sklop e na izlazu dati 1, samo ako su svi ulazi u 1

ILI -logiki sklop e na izlazu dati 1, ako je bilo koji od ulaza u 1

NE-logiki sklop, takoer se naziva i invertor, na izlazu daje komplementarnu vrijednost ulaznoj


4||95


X'X

Osnovni logiki elementi: (a) I; (b) ILI;

(c) NE (invertor)


5||95


dvije sljedee logike funkcije dobiju se kombiniranjem NE sa I odnosno ILI-logikom funkcijom u jednu logiku funkciju

Invertirajui sklop: (a) NI;

(b) NILI


6||95

7.2 Primjeri sa kontaktnim sklopovima i

usporedba s logikim sklopovima (1/2)

digitalni sustav sve funkcije su temeljene na malom skupu

osnovnih logikih funkcija

osnovni logiki sklopovi obrauju logike varijable

logika sudova: kombiniranje osnovnih sudova, radi dobivanja novih sloenih sudova

sudovi (tvrdnje, iskazi) jednostavne reenice

istina, la


7||95

7.2 Primjeri sa kontaktnim sklopovima i

usporedba s logikim sklopovima (2/2)

primjer: sud A: nema ulja u motoru sud B: temperatura motora je previsoka

osnovni logiki veznici: kombinatori I, ILI vrijednost izloenog suda: istina ili la primjer:

f = A ILI B = nema ulja u motoru ILI temperatura motora je previsoka

f = A I B = nema ulja u motoru I temperatura motora je previsoka

izvedba kombinatora I, ILI: mehaniki kontakt relej, struja je pobuda


8||95

Logiki sklop I (1/4)


9||95



10||95



11||95



12||95

Logiki sklop ILI (1/4)


13||95



14||95



15||95



16||95

Logiki sklop NE (1/2)


17||95

Logiki sklop NE (2/2)


18||95

Logiki sklop NI (1/4)


19||95



20||95



21||95



22||95

Logiki sklop NILI (1/4)


23||95



24||95



25||95



26||95

Logiki sklop ISKLJUIVO ILI (1/4)


27||95



28||95



29||95



30||95

7.3 Simboli logikih sklopova (1/3)

Tip ANSI/IEEE IEC Booleova algebra izmeu A i B

Tablica

istine

I

ILI A + B

NE


31||95



Tablica

istine

NI

NILI


32||95



Tablica

istine

EXILI

EXNILI


33||95

7.4 Algebra digitalnih sklopova

(Booleova algebra)

Osnovni matematiki aparat koriten u analizi i projektiranju digitalnih sklopova:

G. Boole: formalizam za prouavanje zakona prosuivanja:

An Investigation of the Laws of Thought, 1854. god.

C. E. Shannon: primjena Booleove algebre (u analizi relejnih elektromehanikih sklopova)

A Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits, 1938. god.


34||95

7.4.1 Osnovni zakoni (1/13)

Booleova algebra zasniva se na:

1. skupu od dva ili vie razliitih lanova (elemenata) S={a, b, c, }.

2. operatorima + i primjenom kojih se na

lanove skupa S proizvodi takoer lan skupa S. Operatori su zatvoreni s obzirom na skup S.

3. Skupu aksioma. Jedan te isti sustav moe se izvesti na osnovi razliitih aksioma.


35||95

7.4.1 Osnovni zakoni (2/13)

E. V. Huntington je 1904. formulirao 6 aksioma, od kojih su dva sadrana u prve dvije od gornjih toaka, a sljedea se etiri navode nie.

Velikim slovom A, B, C, oznaene su varijable koje mogu poprimiti vrijednost bilo

kojeg lana skupa S, tj. A, B, C, S


36||95

7.4.1 Osnovni zakoni - Aksiom 1

Neutralni elementi (3/13)

Postoje neutralni elementi 0 i 1 s obzirom na operacije + i tako da vrijedi:

a) A+0=A

b) A 1=A


37||95


Komplement (4/13)

Za svaki element A iz skupa S(A S) postoji u istom skupu element ( S) tako da vrijedi:

a) A+ =1

b) A =0

Element naziva se komplement elementa A

A A

A

A

A


38||95


Komutacija (5/13)

Operatori su komutativni (zakon komutacije):

a) A+B = B+A

b) A B = B A

Lako je uoljivo da ovaj aksiom vrijedi openito za bio koji broj varijabli


39||95


Distribucija (5/13) Operatori su distributivni jedan preko drugoga (zakon

distribucije)

a) A(B+C) = AB+AC b) A+BC = (A+B)(A+C) U aksiomu 4 sadrana je hijerarhija operatora. Ako nema

zagrada, prvo se izvrava operacija , a onda +. Zagrade se upotrebljavaju na uobiajen nain. Ako ih ima vie, rjeavaju se iznutra prema van. Kad ne moe doi do zabune, isputa se znak puta i umjesto AB pie se jednostavno AB.

Iz aksioma 2 proizlazi da operacija komplementiranja prethodi operacijama i +.

Iz aksioma moe se izvesti odreeni broj teorema


40||95

7.4.1 Osnovni zakoni - Teorem 1

Jedinini element (7/13)

a) A+1=A

b) A0=0

Dokaz: A+1=(A+1) 1 Primjena aksioma: A.1

=(A+1) (A+ ) A.2

=A+1 A.4

=A+ A.1

=1 A.2

A

A

A


41||95


Idempotencija (8/13)

Zakon idempotencije:

a) A+A=A

b) AA=A

Dokaz: A+A=(A+A) 1 Primjena aksioma: A.1

=(A+A)(A+ ) A.2

=A+A A.4

=A+0 A.2

=A A.1

A

A


42||95

7.4.1 Osnovni zakoni -Teorem 3

Involucija (9/13)

Zakon involucije:

=A

Komplement komplementa mora biti lan od kojeg se poelo

A


43||95


(10/13)

a) A+ B=A+B

b) A( +B)=AB

Dokaz: A+ B=(A+ )(A+B ) A.4

=1(A+B) A.2

= A+B A.1

A

A

A A


44||95


Asocijacija (11/13)

Zakon asocijacije:

a) (A+B)+C=A+(B+C)

b) (AB)C=A(BC)

Zakon vrijedi i za po volji velik broj varijabli


45||95


Apsorpcija (12/13)

Zakon apsorpcije:

a) A+AB=A

b) A(A+B)=A

Dokaz: A+AB=A1+AB A.1

=A(1+B) A.4 =A1 T.1

=A A.1


46||95


Simplifikacija (13/13)

Zakon simplifikacije

a) AB+A =A

b) (A+B)(A+ )=A

Dokaz: AB+A =A(B+ ) A.4

=A1 A.2

=A A.1

B

B

B B


47||95

7.4.2 De Morganovi teoremi -

Teorem 6 (1/5)

De Morganov zakon:

a)

b)

Ovaj vrlo vaan teorem moe se dokazati tako da se najprije dokae da je

i

BABA

BABA

1)()( BABA

0)()( BABA


48||95


Teorem 6 (2/5)

Ako se (A+B) promatra kao jedna varijabla, a kao druga, onda se vidi da je

zadovoljen aksiom A.2 i da su te dvije

varijable jedna drugoj komplement. Ove dvije

leme (pomoni teoremi) mogu se dokazati na sljedei nain:

)( BA


49||95


Teorem 6 (3/5)

Lema 1:

1.......1

2.......1

5.......)(

4.......)(

5.,3.......)()(

T

AA

TBBA

TBBA

TABBAABABA


50||95


Teorem 6 (4/5)

Lema 2:

2.......0

1.......00

2.......00

4......)(

T

T

AAB

ABABBAABABA


51||95


Teorem 9 (5/5)

T.9. Generalizirani De Morganov zakon:

ijablivarbrojvelikvoljiponaproiritimoeseTeorem

5.T...CBA

6.T...)CB(A

Xzastitucijasup...)CB(A

6.T...XA

CBX:stitucijasup...XACBA:Dokaz

CBACBA)b

CBACBA)a


52||95

7.4.3 Shannonov teorem

ekspanzije (1/5)

Shannonov teorem razrauje ideju da Booeove funkcije mogu biti reducirane prema svojstvu:

pozitivni Shannonov kofaktor funkcije F s obzirom na varijablu x je definiran tako da funkcija sve x-eve postavlja u 1. Negativan Shannonov kofaktor je isto, ali postavlja sve x-eve u 0.

Jednostavno iskazana ekspanzija funkcije sa dvije varijable:

Bilo koja fja

Shannonov

pozitivni

kofaktor

Shannonov

negativni

kofaktor

X'X


53||95


ekspanzije primjer (2/5)

Ako je f(w1,w2,w3)= w1w2+w1w3+w2w3,

ekspandiranje po w1 daje:

f(w1,w2,w3)= w1(w2+w3)+(w1)(w2w3)

f kada je w1=1 f kada je w1=0


54||95




55||95



x kao varijabla ekspanzije


56||95



z kao varijabla ekspanzije


57||95

7.4.4. Komplementarnost I i ILI

sklopova (1/3) Digitalne logike sklopove moemo dizajnirati

pomou I, ILI i NE osnovnih sklopova (prirodni nain razmiljanja, npr. Idemo u kino ako imamo vremena i novaca)

Puno bre se razvija pomou NI i NILI sklopova (razmiljanje negativnom logikom, npr. Ne idemo u kino, ako nemamo vremena ili nemamo novaca)

Logiki izraz vrlo brzo moemo translatirati u ekvivalentan izraz zbroja umnoaka, direktno pomou I i ILI sklopova


58||95


sklopova (2/3)

Primjer dvo-razinskog

zbroja umnoaka: (a) I-ILI;

(b) I-ILI sa ekstra

parovima invertora;

(c) NI-NI


59||95


sklopova (3/3)

Realizacija

(a) ILI-I;

(b) ILI-I sa ekstra

parovima invertora;

(c) NILI-NILI


60||95

7.5 Prikaz logike funkcije (1/5)

Standardni prikaz logike funkcije je pomou tablice istinitosti

redovi od 0-7 predstavljaju ulaze

tablica istine za n varijabli e imati 2n redaka

Opa struktura tablice istine za

logiku funkciju s 3 varijable, F(X, Y, Z)


61||95


Tablica istinitosti je praktina za zapis funkcija sa malim brojem varijabli

Tablica istinitosti za

logiku funkciju s 3 varijable, F(X, Y, Z)


62||95


Definicije:

Literal -je varijabla ili komplement varijable. Primjer: X, Y, X, Y Umnoak lanova - je logika funkcija I dva ili vie literala. Primjer: WXY, XYZ, WYZ Zbroj umnoaka - je logika funkcija ILI umnoaka lanova. Primjer: WXY + XYZ + WYZ Zbroj lanova - logika funkcija ILI dva ili vie literala. Primjer: W+X+Y, X+Y+Z, W+Y+Z Umnoak zbroja - je logika funkcija I zbrojeva lanova. Primjer: (W+X+Y)(X+Y+Z)(W+Y+Z) Minterma - od n varijabli je umnoak lanova od n literala. Primjer minterme s 4 varijable: WYZX Maksterma - od n varijabli je zbroj lanova od n literala. Primjer maksterme s 4 varijable: W+Y+Z+X


63||95

7.5 Prikaz logike funkcije - Minterme (4/5)

Zbroj umnoaka je oblik funkcije u kojem se dotine varijable prikazuju kao zbroj umnoaka. Svaki umnoak sadri sve varijable ili njihov komplement

Gornji izraz je zbroj umnoaka Svaki umnoak sadri sve varijable (neke su

komplementarne)

Umnoci se nazivaju mintermama Zbroj umnoaka se u veini sluajeva postie

kombinacijom odgovarajueg broja I sklopova i jednim ILI sklopom, koji e te umnoke zbrojiti

jedan dva tri


64||95

7.5 Prikaz logike funkcije - Maksterme (5/5)

Umnoak zbrojeva je oblik funkcije u kojem se varijable prikazuju kao umnoak zbrojeva. Svaki zbroj sadri sve varijable ili njihov komplement

gornji izraz je umnoak zbrojeva

svaki zbroj sadri sve varijable (neke su komplementarne)

zbrojevi se nazivaju makstermama

Umnoak zbrojeva se u veini sluajeva postie kombinacijom odgovarajueg broja ILI sklopova i jednim I sklopom, koji e te varijable pomnoiti

nastojimo da svaka suma ima sve varijable:


65||95

7.6 Veitch diagrami za prikaz

logike funkcije (1/2)

Veitchov diagram ili Marqandov graf upotrebljavaju prirodno binarno indeksiranje redova i stupaca

Veitchov diagram ili

Marqandov graf

za 4 varijable


66||95

7.6 Veitch diagrami za prikaz

logike funkcije (2/2) Karnaughove tablice, poznate i kao Veitchovi diagrami

(KV-tablice ili K-tablice skraeno), je alat koji pojednostavlja izraze IK-ova Booleove algebre. Karnaughove tablice reduciraju potrebu za opsenim kalkulacijama s prednou ovjejeg raspoznavanja uzoraka te brze identifikacije i eliminacije potencijalnih hazarda.

Karnaughove tablice je izmislio 1952. Edward W. Veitch. Dalje ih je razvio 1953. Maurice Karnaugh, inenjer telekomunikacija u Bell Labs, kao pomo pojednostavljenju digitalnih elektronikih krugova.

U Karnaughovim tablicama Booleove varijable su transferirane (openito iz tablice istine) i poredane u ovisnosti sa principima Grayevog koda.


67||95

7.7 Prikaz funkcije pomou K-tablice (1/9)

grafiki prikaz Booleovih funkcija

tablice su dvodimenzionalnom obliku

polja

standardni lanovi (produkti / sume)

razlika grafiki susjednih polja samo u jednoj varijabli


68||95


K-tablice: grafike strukture od 2n polja za prikaz

f(x1,x2,,xn)

oznaavanje polja pravokutne koordinate, Grayev kod (dmin=1)

minimizacija grupiranje polja temeljeno na ljudskoj

sposobnosti raspoznavanja uzoraka (1 i 0)

K-tablice za n>2 varijable

praktina primjena: n6


69||95


indeksi K-tablica:

Karnaughove tablice: (a) 2 varijable; (b) 3 varijable; (c) 4 varijable


70||95


podsjetnik. Grayev kod:


71||95


izgradnja K-tablice


72||95


susjedna polja


73||95


Upisivanje funkcija u K-tablice:

funkcija zbroja u obliku zbroja mintermi, mi;

1 za svaki mi

funkcija zbroja u obliku umnoaka makstermi, Mi; 0 sa svaki Mi, ostalo su 1 (0 se ne piu!)

nepotpuno specificirane funkcije

parcijalne funkcije

neke kombinacije argumenata se ne pojavljuju

funkcijska vrijednost nije specificirana, X (eng. dont care)

X se interpretira onako kako najbolje odgovara pri minimizaciji (joker)!


74||95


prikaz sloene Booleove funkcije

osnovne operacije nad Booleovim funkcijama:

jednostavno dobivanje rjeenja pripadnih K-tablica

kombiniranje K-tablica

kombiniranje pojedinih polja K-tablica


75||95


primjer h=f g


76||95

7.8 Minimizacija logikih izraza

Svoenje funkcije na minimalni broj ulaza odnosno minimalni broj elemenata

zove se minimizacija

Postoji nekoliko metoda kojima se logiki izraz minimizira:

1. Algebarska metoda

2. Karnaughove tablice

3. Quine-McCluskeyeva metoda


77||95

7.8.1 Minimizacija pomou pravila u izrazima (algebarska metoda) (1/2)

Jedna te ista Booleova funkcija moe se prikazati algebarski na razliite naine

npr. funkcija f=A+ABC+AB+ABC


78||95

7.8.1 Minimizacija pomou pravila u izrazima (algebarska metoda) (2/2)

iako su obje funkcije logiki iste, fizika e realizacija logikim sklopovima biti razliita (slike a) i b))

a)

b)


79||95

7.8.2 Minimizacija pomou K-tablica (1/8)

Postupak minimizacije za funkcije u obliku zbroja umnoaka

zaokruivanje uzoraka 2i susjednih polja s 1

eliminiranje varijabli

par polja: 1 varijabla (T8: simplifikacija)

etvorka polja: 2 varijable

osmorka polja: 3 varijable

itd., ako ide


80||95


Postupak minimizacije za funkcije u obliku zbroja umnoaka: zaokruenje

umnoak, ali nije vie standardni

inkluzivna disjunkcija zaokruenja Zbroj umnoaka (=funkcija 2. reda)

tenja: to vei broj 1 u zaokruenju

I sklop s manjim brojem ulaza

sto manji broj zaokruenja manji broj I sklopova=manji broj ulaza u ILI sklop


81||95


Primjer: f(A,B,C,D)=m(5,6,9,10,13,14)


82||95


postupak minimizacije nepotpuno specificirane funkcije u obliku zbroja

umnoaka:

nuno je pokriti sve 1, ali ne i sve X

X se interpretira kao 1 samo ako se time moe proiriti zaokruenje

vee zaokruenje

jednostavniji Booleov izraz = jednostavniji sklop


83||95


Primjer: f=m(2,5,15)+d(0,1,3,4,7,9,13,14)


84||95


preljevanje zaokruenja preko rubova:


85||95


minimizacija funkcije u obliku umnoka makstermi

isti postupak, samo se zaokruuju 0

rezultat je produkt suma

itanje zaokruenja 0 kao zbroja umnoaka

komplement funkcije


86||95


primjer: f=M(5,7,15)


87||95

7.9 Realizacija sloenijih sklopova

NI i NILI su univerzalne funkcije, ali one openito nisu prikladne za formuliranje problema

logike se funkcije u svom primarnom obliku redovito izraavaju pomou osnovnog skupa I, ILI i NE


88||95

7.9.1 Realizacija sloenijih sklopova-pomou NI sklopova (1/4)

2 metode:

metoda supstitucije

neposredna primjena osnovnih funkcija

za zadanu funkciju se prvo nacrta logika shema

ako je zadana logika funkcija kao suma P-lanova npr. , tada se logika shema sastoji od 2 I-sklopa i jednoga ILI-sklopa

algebarska metoda

pomou De Morganova teorema, funkcija se dovodi u oblik prikladan za izvoenje samo pomou NI sklopova

CBABAf


89||95


a) sklop sa sklopovima I, ILI, NE

b) sklopovi I, ILI, NE supstituirani

odgovarajuom kombinacijom NI sklopova

c) konani sklop nakon ponitavanja dvaju uzastopnih invertora

Pretvaranje logikog sklopa sa sklopovima I, ILI, NE u sklop s NI-sklopovima metodom supstitucije


90||95


Primjena algebarske metode za iskazivanje funkcije pomou NI-sklopova

a) shema sa sklopovima I, ILI, NE

b) iz logikog izraza moe se direktno nacrtati shema


91||95


Vierazinska log. shema i njena pretvorba metodom supstitucije u log. shemu s NI-sklopovima

a)

b) 26.10.2012 Digitalna elektronika - prof.dr.sc. eljko Hocenski

92||95

7.9.1 Realizacija sloenijih sklopova-pomou NILI sklopova (1/2)

2 metode:

metoda supstitucije

I, ILI, NE sklopovi se zamijene sa njihovim NILI-ekvivalentima

algebarska metoda je dualna za pretvaranje u NI-oblik i ima sljedee korake:

prikazati funkciju u obliku S-lanova

funkciju dva puta komplementirati

primjeniti De Morganov teorem na izraz ispod unutranje negacije

rezultat je suma komplementiranih izraza koja je kao cjelina komplementirana. Komplementirani izrazi ine svaki po jedan NILI-sklop, a svi zajedno s vanjskom negacijom NILI-sklop na

drugoj razini

)BAAB(


93||95

7.9.1 Realizacija sloenijih sklopova-pomou NILI skl. (2/2)

Pretvorba sklopa u NILI-oblik metodom supstitucije:

a) oblici I, ILI, NE

b) supstitucije

c) konaan NILI-oblik


94||95

Dodatak - kombinacijski SSI

integrirani sklopovi (1/3)


95||95




96||95




Documents

De Pr6 Predstavljanje Digitalnih Sklopova 26oct12