Embed Size (px)
Citation preview
CÁC ĐỀ THI NĂM 2004 §Ò 1 - M«n thi: To¸n Cao cÊp
(Thêi gian lµm bµi: 180 phót)
C©u 1.
Cho hµm sè f(x) = tgx – 2x.
1. T×m cùc trÞ cña hµm sè ®ã;
2. T×m tiÖm cËn vµ ®iÓm uèn cña ®å thÞ y = f(x).
C©u 2.
1. Cho z = x.ln(xy); x = u.v; y = u+v (u > 0, v > 0). T×m 2 2 2 2
2 2
z z z z; ; ; .x x y u u v∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
2. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ bÐ nhÊt cña biÓu thøc z = sinx + siny + cos(x+y) víi ®iÒu kiÖn 0 ≤ x ≤ y ≤ π.
C©u 3.
1. T×m thÓ tÝch vËt thÓ mµ trong hÖ to¹ ®é vu«ng gãc Oxyz c¸c mÆt cña nã cã
ph−¬ng tr×nh lµ z = 1 + x + y; x + y = 0; x = y ; y = 2; z = 0.
2. TÝnh tÝch ph©n ®−êng C
1 xdy ydx; C2
−∫))
lµ cung y = x2 nèi A(-1,1) víi B(1,1).
C©u 4.
1. Gi¶i ph−¬ng tr×nh x + yy’ = 2 2x y+ .
2. Gi¶i ph−¬ng tr×nh y” - 2y’ + 5y = xex.
C©u 5.
1. Víi gi¸ trÞ nµo cña α th× chuçi n ln
n=1( 1) .n
∞α−∑ ph©n k×; héi tô kh«ng tuyÖt ®èi; héi
tô tuyÖt ®èi?
2. T×m miÒn héi tô cña chuçi n
nn 0
(x 1)(n 1)x
∞
=
++∑ . T×m tæng cña chuçi khi x = -2.
2
§¸p ¸n C©u 1.
1. §¹o hµm f’(x) = 2
1 2cos x
− . f’(x) = 0 khi x = k
4 2π π+ (k ∈ Z).
- Qua ®iÓm x = k4π + π (k ∈ Z) ®¹o hµm ®æi dÊu tõ + sang -, hµm sè ®¹t cùc ®¹i,
xmax = 1 - 2( k4π + π ), k ∈ Z. Qua ®iÓm x = - k
4π + π ®¹o hµm ®æi dÊu tõ - sang +, hµm
sè ®¹t cùc tiÓu, xmin = - 1 + 2( k4π − π ), k ∈ Z.
2. f”(x) = 3
2sin xcos x
. Do ®ã ®å thÞ cã ®iÓm uèn t¹i x = kπ (khi ®ã y = -2kπ), k ∈ Z.
§å thÞ cã c¸c tiÖm cËn ®øng x = π/2 + kπ (k ∈ Z).
C©u 2.
1. z’x = ln(xy) + 1; z’y = x/y; z”xx = 1/x; z”xy = 1/y; x’u = v; x’v = u; y’u = y’v =1.
z’u = (ln(xy) + 1)v + x/y; z”uu = (v/x + 1/y)v + v/y – x/y2;
z”uv = (u/x + 1/y)v + (ln(xy) + 1) + u/y – x/y2.
2. MiÒn x¸c ®Þnh lµ tam gi¸c c©n nh− h×nh vÏ π
z’x = cosx – sin(x+y), z’y = cosy – sin(x+y). C¸c ®iÓm
dõng x = y = π/6; π/2; 5π/6 ®Òu n»m trªn biªn (c¸c ®iÓm
dõng cßn l¹i n»m ngoµi tËp x¸c ®Þnh). Trªn ®−êng biªn 0 π
x = 0 th× z = siny + cosy, cã ®iÓm dõng lµ y = π/4. Trªn ®−êng biªn y = π th× ta cã z =
sinx - cosx, cã ®iÓm dõng lµ y = 3π/4. TÝnh gi¸ trÞ t¹i c¸c ®iÓm nghi ngê ®¹t lín nhÊt, bÐ nhÊt:
(0,0) (π/6,π/6) (π/2,π/2) (5π/6,5 π/6) (π,π) (0,π/4) (0,π) (3π/4,π)
1 3/2 1 3/2 1 2 -1 2
VËy gi¸ trÞ lín nhÊt lµ z = 3/2; bÐ nhÊt lµ z = -1.
C©u 3.
1. T×m thÓ tÝch vËt thÓ b»ng y2
0 y
dy (1 x y)dx−
+ +∫ ∫ = 2 2
0
3y y( y y y )dy2 2
+ + +∫ =
= 2 2 32 3 2 1( y y y y y y )3 4 5 6
+ + + = 65 44 2
15+
.
2. I = C
1 xdy ydx2
−∫) = 1
2 2
1
1 (2x x )dx2 −
− =∫ 1/3.
C©u 4.
3
1. Ph−¬ng tr×nh x + yy’ = 2 2x y+ biÕn ®æi thµnh d 2 2x y+ = dx vµ do ®ã
2 2x y+ = x + C ⇒ y2 = C(2x + C).
2. Ph−¬ng tr×nh thuÇn nhÊt y” - 2y’ + 5y = 0 cã nghiÖm tæng qu¸t lµ
y = ex(C1. cos(2x) + C2.sin(2x)).
T×m nghiÖm riªng y* = ex.(Ax + B). §¹o hµm cÊp 1 vµ 2 thay vµo ph−¬ng tr×nh ®−îc ex(4Ax + 4B) = xex. Suy ra B = 0; A = 1/4 vµ nghiÖm tæng qu¸t cña ph−¬ng tr×nh kh«ng thuÇn nhÊt lµ
y = ex(C1. cos(2x) + C2.sin(2x)) + xex/4
C©u 5.
1. Chuçi n ln
n=1( 1) .n
∞α−∑ kh«ng tån t¹i khi α ≤ 0; ph©n k× khi α ≥ 1;
héi tô kh«ng tuyÖt ®èi khi 1/e ≤ α < 1; héi tô tuyÖt ®èi khi α < 1/e.
2. XÐt chuçi n
n 0
tn 1
∞
= +∑ . MiÒn héi tô cña nã lµ -1 ≤ t < 1. Do ®ã miÒn héi tô cña chuçi
n
nn 0
(x 1)(n 1)x
∞
=
++∑ gåm nh÷ng x mµ -1 ≤ (x+1)/x < 1, tøc lµ x ≤ -1/2. §Ó t×m tæng cña chuçi
khi x = -2 ta t×m tæng cña chuçi n
n 0
tn 1
∞
= +∑ sau ®ã thay t = 1/2
t t tn n 1 n
n 1 n 1
n 0 n 0 n 1 n 1 n 10 0 0
t 1 t 1 t 1 1 1 1 1u du u du du ln 1 tn 1 t n 1 t n t t t 1 u t
+∞ ∞ ∞ ∞ ∞− −
= = = = =
−= = = = = = −+ + −∑ ∑ ∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫ =
= 2ln2.
