DEA 及其经济背景

魏权龄

中国人民大学数学系

审 视 数 据 包 络 分 析 （ DEA) ） 从数学和经济学两方面审视数据包络分析．

Data Envelopment Analysis （ 简称 DEA ）

1978 年 A. Charens, W. W. Cooper和 E.Rhodes 等人首先给出的．

第一个 DEA 模型 C2R.

审 视1978 年：对当第一个 DEA 模型 C

2R, 认为是一种关于效率评价的新方法．

2004 年 ( 二十六年之后 ): DEA已经形成了一个数学、经济学、管理科学交叉研究的新领域．

在 DEA 领域，在以下几个方面做了一系列奠基性的工作：

• （ⅰ）完成大量应用的实例；

• （ⅱ） DEA 模型的扩充和完善 ．例如 , DEA 模型BC2 ， FG 和 ST ；加法模型； Log －型的 DEA 模型；带偏好的锥比率的 DEA 模型；具有无穷多个 DMU 的半无限规划的 DEA 模型；随机 DEA 模型；逆 DEA 模型；等等 .

• ( ) DEAⅲ 模型和方法的经济背景和管理背景研究；

• ( ) ⅳ 进行 DEA 模型的计算研究和 DEA 软件的研制；

• （ⅴ） DEA 所依据的数学理论研究，

1. 第一个 DEA 模型 C2R

1 2 … … n

… x1 x2 … … xn

y1 y2 … … yn …

评价 DMU － j0 的 DEA 模型（ C2R ）为分式规划（ h0 为 DMU － j0 的效率指数）：

.0,0,0,0

,,,2,1,1

max 00

0

vuvu

njxv

yu

hxv

yu

jT

jT

T

T

分式规划 ( 其中 x0 = xj0 ,y0 = yj0 , 1≤j0≤n ．

用 1962 年 Charnes 和 Cooper 对于分式规

划的 Charnes － Cooper 变换（称为 C2 －

变换） : ,,,0

1

0

utvtxv

tT

.0,0

,1

,,,2,1,0

max

)(0

00

2

x

njyx

hy

PT

jT

jT

T

RC

DEA 有效的定义 :

弱 DEA 有效 : 最优目标值 ( 称为效率指数 ) h0= 1 ．

DEA 有效 : 若（ PC2

R ）存在最优解 ω0,μ0

满足 ω0 >0,μ0 >0 ， h0 = μ0y0 = 1 ．

利用（ PC2

R ）来判别 DMU 的 DEA 有效性并不直接．考虑（ PC

2R ）的对偶规

划问题

.,,,2,1,0

,

,

min

)(

1

10

10

2

Enj

yy

xx

D

j

n

jjj

n

jjj

RC

利用线性规划的对偶定理和紧松定理，可以得到关于 DEA 有效的等价定义．

DEA 有效 : 若（ DC2

R ）的任意最优

解 θ0 ,λ0j, j = 1,2, , n, 都满足

2. DEA 有效性的判别 ( 计算 )

利用（ DC2

R ）判断 DMU 的 DEA 有效性时也不直接．对于 DEA 模型（ DC

2R ），

Charnes 和 Cooper 给出了具有非阿基米德无穷小量的 DEA 模型．

n

jjj

n

jjj yyxx

10

0

10

000 ,,,1

此后，人们又发现用“两步法”判断DMU 的弱 DEA 有效性和 DEA 有效性（即源于 Charnes 等人的目标规划形式的“加法模型”．

同时 , 人们又研究了 DEA 模型的计算稳定性和灵敏度分析 , 等等 .

DEA 软件研制 .

至此， DEA 有效性的判别和计算已经完成．

3. （弱） DEA 有效与（弱） Pareto最优的等价性 (1985)

设 ω0,μ0 为（ PC2

R ）的最优解。若 DMU － j0 为弱 DEA 有效，则 (x0 ,y0) 为下面线性加权和问题的最优解

其中

)(min 00

),(yx TT

Tyx

njyyxxyxT j

n

jjj

n

jjj ,,2,1,0,,|,

11

定理 DMU － j0 为（弱） DEA 有效的充分必要条件是： (x0 ,y0) 为多目标规划（ＶＰ）的（弱） Pareto 解，其中

并且

T y x

y x VVP

,

, min

njyyxxyxT j

n

jjj

n

jjj ,,2,1,0,,|,

11

4. 锥比率的 DEA 模型 C2WH(1987)

C2R 模型之下的 DEA 有效概念与多目标规划的 Pareto 解等价 .

DEA 模型 C2R 没能体现决策者的偏好 .

早在 1974 年 P .L .Yu 就给出了多目标的非支配解 (Nondominated Solution ）的概念，已将多目标的 Pareto 解推广到能体现决策者偏好的非支配解 .

1989 年 Charnes ， Cooper ， Wei 和 Huang 推广了 C2R 模型，得到体现决策者偏好的、被称为“锥比例的 C2WH 模型” .

其中 X=( x1 , x2 , … , xn )T , Y=( y1 , y2 , …, ym )T ，

, , 为闭凸锥 .

}0{\

}0{\

max0

0

2

Uu

Vv

KYuXv

xv

yu

WHC TT

T

T

mEV sEU nEK

利用 C2 变换，化为具有锥结构的 DEA 模型

（ PC2

WH ）

（ DC2

WH ）

.,

,1

,

max

0

0

UV

x

KYX

y

T

TT

T

.

,

,

min

*

*0

*0

K

UyY

VxX

定理 在“约束规格”的假设下， DMU—j0 为 DEA 有效（ C2WH ）的充分必要条件是：（ x0 ,y0 ）为下面多目标规划的相对于 V*U* 的非支配解

其中生产可能集

WHCTyx

yxV

2,

,min

*** ,,,,|,2 KUVYXyxyxTWHC

5. DEA 模型 C2R 与 Shephard 输入距离函数之间的关系

• 1970 年由 R. W. Shephard 给出的输入距离函数 .

• 也可以将它看做 1957 年由 M. T. Farrell

对单输入 / 输出的有效性度量方法推广到多输入 / 多输出的情况 .

令生产可能集 T 和产出水平 y 之下的投入集分别为

令生产可能集 T 和产出水平 y 之下的投入集分别为

Shephard 在关于生产可能集 T 某些假设条件之下 , 定义了输入距离函数

而相应的 Farrell 的有效性度量为

}|),{( yxyxT ，能产出投入

}),(|{)( TyxxyL

)}(),/(|{sup),( yLyzxzxyDi

),(/1),( xyDxyF ii

注意 :

• Shephard 从未用线性规划模型直接估计距离函数．

• 同样 ,Farrell 也没有在他 1957 年的文章中将他的效率指数度量用一个线性规划模型实现．

• 由 Charnes 和 Cooper 等人给出的 DEA模型 C2R, 是首次用线性规划直接估计 1970 年由 Shephard 给出的输入距离函数 .

Charnes 对生产可能集 T, 引入了如下的一些公理：

公理 1 （平凡公理） :

公理 2 （凸性公理） : 集合 T 为凸集 .

公理 3 （无效性公理）若

则

公理 4 （锥性公理） : 集合 T 为锥 .

若生产可能集Ｔ是所有满足公理 1 , 2 , 3 和 4 的最小者，则 T 有如下的唯一表示形式

njTyx jj ,,2,1,),(

yyxxTyx ˆ,ˆ,,

Tyx )ˆ,ˆ(

=

于是对偶线性规划（ DC2

R ）可改写为

可见 , C2R 模型之下的效率指数 h0 与 Shephard 的距离函数互为倒数 .

njyyxxyxT j

n

jjj

n

jjj ,,2,1,0,,|,

11

RCT 2

RCRC Tyx

hD

2

2

),(

min)(

00

0

也即（ DC2

R ）模型与 Farrell 1957 年的效率度量相对应．

对于 DEA 模型（ PC2

R ）， R. Färe 等人于 2000 年曾有一篇文章指出：将 Shephard 的输出定价模型，经过一些计算和推导是与（ PC

2R ）的形式类似．

除此之外，在数理经济学关于多输出系统的生产有效性的研究中，也曾从生产可能集的公理体系出发，用 Pareto 最优定义生产有效性． 然而， DEA 模型 C2R之下的（弱） DEA 有效与（弱） Pareto解等价．

由此可以看出：

Charens 和 Cooper 等人首创的 DEA是使用线性规划理论和模型研究经济学中多输入（特别是）多输出系统的有效性。这是对经济学的拓展和创新，也是一种对有效性评价的具体实现 .

DEA 的研究开创了经济学与数学交叉研究的一个新领域 .

6 ． DEA 有效的经济含义 DEA 的理论、模型是以微观经济学

为其理论基础．

研究 DEA 有效性的经济含义是以生产函数 y = 为背景的．

“ 技术有效” ： 若生产状态（ x, y ）满足 y = ，则称生产状态（ x, y ）是“技术有效”的 （ 也即输出相对输入而言已达到最大）．此时，点（ x, y ）位于生产函数的曲面上．

)(xf

)(xf

“规模有效”：当 时，经济学中的“边际报酬递减规律”是指：生产函数的一阶导数表现为先增后减的规律（或函数先为凸，后为凹）．所谓“规模有效”，是指投入量x既不偏大，也不过小，是介于规模收益由递增（递增）到递减（递减）之间的一种状态（即“规模收益不变”的最佳状态）．

Y

。DMU -3

。 DMU -2 。DMU4 。

。DMU-1 TC2

R

0 x

如果用（DC2R）模型来判断DEA有效性，只有DMU-2为DEA有效．

DMU-4

DMU-1

1Ex

可见， DMU － j0 在 C2R 模型之下为 DEA 有效，DMU － j0 对应的生产状态（ x0,y0 ）既为技术有效，也为规模有效．

7 ． DEA 模型的扩充• DEA 模型的扩充：可以源于数学上的考虑．然而，

源于经济背景的研究所得出的数学模型似乎更直接．

• 1984 年 R. D. Banker ， Charens 和 Cooper 给出了 DEA 模型 BC2 ． DEA 有效是技术有效的 ．

• 1985 年 R. Färe 和 S. Grosskopf 给出了 DEA 模型 FG.DEA 有效是技术有效的，同时，在规模收益上或为规模收益不变或为规模收益递减．

• 1990 年， L. M. Seiford 和 R. M. Thrall 给出了 ST 模型． DMU 是技术有效，同时，在规模上或为规模收益不变或为规模收益递增．

公理 5 （压缩性公理）若

则 ．

公理 6 （扩张性公理）若

则 ．

,10,, Tyx

Tyx ),(

,1,, Tyx

Tyx ),(

• 如果生产可能集定义为：所有满足公理 1 ，公理 2 和公理 3 的最小者，则得到 DEA模型 BC2 ；

• 如果生产可能集定义为：所有满足公理 1 ，公理 2 ，公理 3 和公理 5 的最小者，则得到 DEA 模型 FG ；

• 如果生产可能集定义为：所有满足公理 1 ，公理 2 ，公理 3 和公理 6 的最小者，则得到 DEA 模型 ST 。

我们引进三个取值为０或１的参数 δ1,δ2,δ3时，生产可能集Ｔ有如下的形式

此时 DEA 模型 C2R ， BC2 ， FG 和 ST 可以用统一的形式写成也即（称（ P ）和 (D) 为综合的 DEA 模型）

1,,,2,1,0,))1((,,|,1 1

11211

3 nnjyyxxyxT j

n

j

n

jnjjj

n

jjj

,,1,,,2,1,0

,))1((

,

,

min

)(

1

11121

10

10

3

Ennj

yy

xx

P

j

n

jnj

n

jjj

n

jjj

它的对偶规划为

对综合的 DEA 模型，可以证明： DMU － j0的 DEA 有效性与多目标规划（ＶＰ）的 Pareto解之间是等价性的；可以讨论弱 DEA 有效与多目标规划（ＶＰ）的弱 Pareto 解之间的关系．1996 年 Yu ,G, Wei Q .L . 和 P . Brockett 给出了更为一般地带有偏好的 DEA 模型 GDEA ，证明了 DEA 有效等价于非支配解．

.0)1(,0,0

,1

,,,2,1,0

max

021

0

01

010

3

x

njyx

y

DT

jT

jT

T

8 ． 使用 DEA 模型判别 DMU 的规模收益状况和“拥挤”迹象

规模收益状况（ return to scale ）是指：当投入增大 k倍（ k>1 ），产出是大于 k倍、等于 k倍、小于 k倍时，分别称为生产状态（ x, y ）是处于规模收益递增、规模收益不变、规模收益递减．例如 C-D 生产函数 ， ，有

ii

m

ix A y

1

01

m

ii

则处于规模收益递减

则处于规模收益不变则处于规模收益递增

,1

,1

,1

1

m

ii

在微观经济学中，还有一种情况，当投入增大 k倍时（ k>1 ），产出不仅不会增大，反而会减少（或当投入减少时，产出反而会增大），这种生产函数被称为“俱乐部函数”（ club function ）．此时，是 C-D 生产函数中 的情况 , 称为“拥挤”迹象 (Congestion) ．

对于多输出的系统，如何利用 DEA 模型研究 DMU 的规模收益状况（ Return to Scale ）是人们一直关心的问题．自 2000 年 , 人们也开始关心的“拥挤”迹象的判定问题．

2003 年， Wei 和 Yan 从研究规模收益状况和“拥挤”的统一观点出发给出了判定的充分必要条件．考虑一个新的 DEA 模型 NEW （这里生产可能集是满足公理 1 ，公理 2 以及投入无效性公理的最小者）：

01

m

ii

若 DMU-j0 在 DEA 模型 NEW 之下为弱 DEA 有效（即（ DNEW ）的最优值为 1 ）．我们利用输出的DEA 模型 FG 和输出 DEA 模型 ST去判断 DMU的规模收益状况和“拥挤”迹象，其中输出 FG 模型为：

nj

zyy

xx

z

D

j

n

jj

n

jjj

n

jjj

NEW

,,1,0

1

max

)(

1

01

01

FG 输出模型

ST 输出模型

nj

zyy

xx

z

P

j

n

jj

n

jjj

n

jjj

,,1,0

1

max

)(

1

01

01

0,0,0

1

,,2,1,0

)(min

)(

0

0

0

00

y

njyx

x

DT

jT

jT

T

nj

zyy

xx

z

P

j

n

jj

n

jjj

n

jjj

,,1,0

1

max

)(

1

01

01

0,0,0

1

,,2,1,0

)(min

)(

0

0

0

00

y

njyx

x

DT

jT

jT

T

定理 设 DMU—j0 在输出 DEA 模型 NEW 之下为弱 DEA 有效，则

（ i ） DMU—j0 为规模收益不变的充分必要条件是： DMU—j0 在输出 FG 模型下为弱 DEA 有效，在输出 ST 模型下也为弱 DEA 有效 .

（ ii ） DMU—j0 为规模收益递增的充分必要条件是： DMU—j0 在输出 ST 模型下为弱 DEA 有效，而在输出 FG模型下不为弱 DEA 有效 .

(iii) DMU—j0 为规模收益递减的充分必要条件是： DMU—j0 在输出 FG 模型下为弱 DEA 有效，而在输出 ST 模型下不为弱 DEA 有效 .

(iv) DMU—j0呈现“拥挤”迹象的充分必要条件是： DMU—j0 在输出 FG 模型下不为弱 DEA 有效， 在输出 ST模型下也不为弱 DEA 有效．

9 ．其它与经济背景有关的几个专题研究

• 9.1 具有无穷多个 DMU 的 DEA 模型

1986 年 Charnes, Cooper, Wei 和 Yue 研究了具有无穷多个 DMU 的半无限规划的 DEA模型 C2W[7] 和 C2WY[23] . C2W 模型是国际上第一个非线性的 DEA 模型，它深刻地揭示了 DEA 在数学上和经济上的含义，被认为“提出了一个精美的研究结构，并且对统计方面的研究给出了一个分析基础” .根据具有无穷多个 DMU 的 DEA 模型，可以证明：

由有限多个 DMU 得到的生产可能集是对生产函数的下图的一种逼近；

DEA 的生产前沿面可看作是用分段（片）的线性函数对生产函数曲面的一种逼近；

DEA 模型可用来判断 DMU 的规模收益状态 .

以上述的理论为基础，利用 DEA 模型评估部门或企业的技术进步速度和及各企业的技术进步相对超前或滞后年限 . 同时，也可建立非参数的微观经济模型等 .

• 9.2 生产可能集的生产前沿面的特性和结构分析

• 直观上看，生产前沿面是由分段（片）的线性函数“拼凑”而成的，找出生产可能集的各个前沿面，由此确定出各段（片）如何由生产前沿面上的 DMU 的联结，即确定出生产前沿面的结构 .不难看出，生产前沿面的结构确定之后，可得到很多的经济特性和管理信息 .

• 1999 年， Wei ， Yan 和 Hao 利用求多凸面体全部极点的方法（见 Wei 和 Yan ）给出了确定生产可能集的真正（弱）有效前沿面的更为简单的方法，由此可得到生产可能集的（弱） Pareto面的结构 . 求出生产可能集的真正（弱）有效前沿面，可以更深入的对 DMU进行分析，甚至不必进行线性规划的单纯形方法求解，得出更多的管理信息 .

• 8.3 DEA 的对策论背景研究

• 自第一个 DEA 模型出现以来，人们除了进行 DEA 的应用实例研究和模型拓展之外，也在努力进行 DEA 的相关领域背景研究，其中也包括了利用对策论模型对 DEA 有效概念的解释． 1995 年 Roussean 和 Semple 给出了被称为比率效率对策模型（ Ratio Effiency Games ），并研究了对策模型与 DEA 模型的等价关系； 2000 年 Hao, Wei和 Yan 研究了具有锥结构的约束对策与具有锥结构的综合 DEA 模型的等价性 .该模型是一个二人无限零和对策．局中人 I 是“评估者”，他是从生产可能集中选取生产状态（ x, y ）；局中人 II是“被评者”（即 DMU-j0 ），他是选取对自己最为有利的权系数；赢得函数取为投入、产出效率比．该模型之下的（弱）对策有效与 DMU 为（弱） DEA 有效等价．

• 10 结束语 在我比较喜欢的一本关于数学与经济的书中，书

的作者引用了一则笑话：“有人提出这样一个命题：凡是奇数都是质数．

• 数学家见到这个命题后去找了一个反例，回答说：这个命题是没有根据的；

• 物理学家见到这个命题后去做实验，回答说：这个命题有时是正确的，有时是不正确的；

• 工程师见到这个命题后就去做试用，回答说：这个命题有用；

• 经济学家见到这个命题后苦苦思索，回答说：我们假设这一命题成立……”．

不同学科领域的人都有自己本能的专业思考习惯和工作方式，特别是有着不同的学术评价标准．从事于交叉领域研究的人常常会遇到来自不同学科领域的人的“挑剔”．

从数学家的角度来审视 DEA ： 分式目标形式的 C2R 模型（投入产出比最

大） ；

经过 C2 －变换转化为线性规划模型； 由对偶理论，使得判别 DEA 有效性具有可操作性（用线性规划计算） ；

（弱） DEA 有效的概念与从多目标 Pareto 最优性等价；

带偏好的锥比例模型 C2WH 和 GDEA 模型；

具有无穷多个 DMU 的 DEA 模型 C2W（半无限的 DEA 模型） ；

建立对策论的模型，对 DEA 有效性（包括 DEA 模型中的权系数）给出对策 方面的背景解释；

DEA 模型中引进隋机因素，等等．

总之，对 DEA 而言，数学上的种种努力，至少得到了最优化领域学者们的称赞 ．

对于数学与经济学交叉学科领域，不要以为数学家的审视过于严格和数学化，有时经济学家的审视却极为的“武断”．在国际上，虽然经济学中的某些分支研究“数学化”倾向是明摆的事实，然而在数学与经济学交叉研究的领域，有人却把过多用数学研究经济学的成果误认为是在经济学中所做的“数学练习”．庆幸的是，在 DEA领域研究的一开始，就由数学家、经济学家、管理学家 Charnes 和 Cooper主宰了 DEA 的研究和发展（ Charens教授也是 1975 年诺贝尔经济学奖的最后一轮三人候选者之一）．

从经济家的角度来审视： DEA的生产可能集公理体系的建立；

DEA模型的扩充；

DEA有效的经济含义研究；

生产前沿面的特性及结构分析；

用 DEA方法和模型研究技术进步速度评估；

使用 DEA模型判断规模收益状况和“拥挤”迹象；

直接使用输入、输出数据建立非参数的经济数学模型，并进行经济特性分析，等等．

这些都是针对经济学中的特定问题进行的 DEA研究．自然， DEA领域能得到经济学家的首肯并参与研究．

作为数学、经济学和管理学交叉研究的新领域，理所当然也应受到管理学家的审视．使用 DEA 方法和模型对 DMU进行评价的客观性，以及评价当中可以得到很多具有价值的管理信息，加之 DEA软件的成功研制，得以 DEA 的实际应用．因此， DEA领域同时受到了管理学家的欢迎和参与研究．

本报告关于 DEA及其经济背景的浅谈．对 DEA 有兴趣的读者可参考作者的新近两本专著：

[1] 魏权龄 ,阎洪 ,广义最优化理论和模型，科学出版社 ,2003.

[2] 魏权龄 ,数据包络分析 , 科学出版社，2004.

谢谢！