Deconvolución Sísmica Por Minimos Cuadrados

DECONVOLUCIÓN SÍSMICA

DECONVOLUCIÓN POR MÍNIMOS CUADRADOS

CONCEPTOS BÁSICOS.-

Asumiendo que el modelo matemático de la traza sísmica puede definirse como:

.............................. (1)

Donde:

La ecuación (1) normalmente se presenta de la forma:

............................... (2)

Donde se pretende establecer que el grado de contaminación de la traza sísmica

corresponde a un componente de ruido aditivo que pudiera atenuarse óptimamente en

función del tratamiento estadístico del conjunto de trazas sísmicas CDP.

El concepto de deconvolución por mínimos cuadrados implica la definición de una señal de

salida deseada del filtro de deconvolución comparándola según un criterio normático con la

salida que actualmente sucede de dicho filtro. De esta manera, si la salida deseada se define

como la serie de tiempo (dt) y la salida actual como la serie de tiempo (yt), entonces se define

el criterio de error cuadrático como:

.............................. (3)

La salida actual del filtro de deconvolución (ft) viene dada según el modelo convolucional como:

.............................. (4)

Prof. Gustavo Hernández Dávila


Expresado en términos de las operaciones involucradas, la ecuación (4) puede describirse de la forma:

.............................. (5)

De aquí que el criterio de error cuadrático (J) pueda formularse según la expresión:

.............................. (6)

En virtud de que (J) es una expresión cuadrática semidefinida con respecto a los coeficientes

del filtro de deconvolución (fm), entonces puede asegurarse que si existe un conjunto de

valores de la serie (fm), para los cuales (J) sea un extremo, se garantiza que este valor

extremo es un mínimo.

De aquí que en la expresión (6) para garantizar que los valores de los coeficientes del filtro

de deconvolución (ft) a calcular sean aquellos que minimicen el error cuadrático (J) entre la

salida deseada y la salida actual, debe diferenciarse con respecto a la variable incógnita (f t),

según la relación:

Es decir:

............................. . (8)

Desarrollando la ecuación (8) se obtiene:


........................... (7)


...................... (9)

De la última expresión en (9) se establecen las ecuaciones normales que definen el sistema

lineal a resolver a fin de obtener los coeficientes del filtro (ft) que minimice el error cuadrático

J, según:

.................... ......... (10)

Por definición se tiene que:

........................ ..... (11)

Adicionalmente:

..................... .......... (12)

De aquí que la ecuación (10) pueda reescribirse como:

.................................. (13)

La ecuación (10) también puede transformarse de la forma siguiente:

.................. .............. (14a)

................................ (14c)


............................... (14b)


Actuando análogamente a lo expresado en (12), se tiene que:

...................... ........ (15)

Si se define el parámetro de error (e) como:

............................... (16)

Partiendo de la ecuación (14c) se tiene:

............................... (17a)

Esto es:

...............................(17b)

Por lo que agrupando términos se tiene:

................................(17c)

Y según la ecuación (16):

................................(17d)

Por lo que finalmente este resultado puede expresarse de la forma siguiente:

.................................(18)



De aquí que pueda decirse claramente que la aplicación del procedimiento de mínimos

cuadrados, como filtro de deconvolución, implica que la entrada del filtro, esto es, la traza

sísmica y el error mínimo que se expresa (e), deben ser vectores ortogonales.

EL SISTEMA DE FILTRO NO CAUSAL.-

Asumiendo que la traza sísmica es una realización de un proceso estocástico, estacionario y

ergódico, entonces se tiene que el sistema lineal definido por las ecuaciones del filtro de

deconvolución expresado anteriormente según la ecuación (13), puede reescribirse de la

siguiente manera:

....................(19)

Donde:

Ahora bien, para el caso de deconvolución por mínimos cuadrados en sistemas no causales,

se asume que la ondícula sísmica generadora del proceso ( Wt ) existe para valores

negativos del índice de tiempo (t); por esta razón, el operador del filtro de deconvolución (ft),

también debe ser en consecuencia no causal.

Asimismo, para el desarrollo de un sistema de filtro de deconvolución no causal, se debe

tomar en consideración las siguientes propiedades:

1) ut es cualquier realización de un proceso aleatorio Gaussiano cuya función de

autocorrelación es la función dirac-delta normalizada. Esto es:

..............................(20)



2) nt Es cualquier realización de un proceso de ruido cuya función de autocorrelación

tiene una forma definida dada según la expresión:

...............................(21)

3) Los procesos ( ut ) y ( nt ), no son correlacionables, esto es, representan espacios

vectoriales ortogonales, por lo que se cumple que:

..................................(22)

Aquí recordamos que el modelo convolucional de un modelo lineal cualquiera fue expresado

según la ecuación (2) de forma que:

..................................(23a)

En el presente caso de sistemas no causales, debemos asumir que la longitud efectiva de la

ondícula sísmica involucrada en el proceso tiene una duración finita de dimensiones

equivalentes a (p) índices de tiempo, por lo que el modelo convolucional en forma discreta

estaría representado por la ecuación:

................................(23b)

Donde:



El modelo anteriormente descrito es ampliamente utilizado en los levantamientos

sismográficos con energía vibratoria, por lo que es importante entender el porque la ondícula

sísmica de un proceso no causal debe ser de fase cero. En este sentido considérese

nuevamente la ecuación general de un sistema lineal expresada por la ecuación (2) y

repetida como la ecuación (23a), multiplicando ambos lados por la serie aleatoria ( ut ) y

tomando valores esperados o el segundo momento, se tiene que:

......................(24a)

La aplicación de la propiedad distributiva es válida para el operador (E), por ser éste un

operado lineal. También se observa, según lo establecido en las ecuaciones (20) que la

función de autocorrelación de una serie aleatoria blanca es igual a la unidad, mientras que la

expresión del segundo momento o función de correlación cruzada no existe, según lo

definido en la ecuación (22). Entonces, de aquí se concluye que:

...................................(24b)

Se asume adicionalmente para la deducción anterior que la ondícula sísmica (Wt)

involucrada en el proceso representa el componente determinístico del modelo

convolucional general, por lo que utilizando la ecuación (24b) podemos reescribir el modelo

del filtro de convolución no causal dado por la ecuación (19) de forma que:

............................(25)



Lo que en forma práctica, mediante un cambio de nomenclatura se transforma en:

...................................(26)

Esta última expresión representa el sistema matricial que debe resolverse para obtener los

coeficientes ( ft ) del filtro de deconvolución para el sistema lineal no causal, él cual si se

acota convenientemente entre los subíndices de tiempo de: –M m +M , se tiene:

........................ (27)

Para investigar las propiedades de fase cero de la ondícula involucrada en el proceso de

deconvolución por mínimos cuadrados, asumiendo un sistema no causal, considérese la

Transformada de Fourier de la ecuación (26), bajo la presunción de M y t , de

forma que esta ecuación en el dominio de Fourier se puede escribir como:

...............................(28)

O también:

................................(29)


=

0122

12212

11

1

121

1201

210

XXXXXX

XXXXXX

XXXXXX

XXXXXX

XXXXXX

XXXXXX

XXXXXX

MM

MM

MMM

MMM

MMM

M

M

M

M

M

M

f

f

f

f

f

f

f

1

1

0

1

1

M

M

M

M

W

W

W

W

W

W

W

1

1

0

1

1


Utilizando las propiedades establecidas en las relaciones (20), (21) y (22) y recordando la

definición del modelo matemático expresado en la ecuación (2) ó la (23a) se tiene que:

.......................... (30)

Por lo tanto se concluye:

........................ (31)

De donde se puede concluir que la aplicación del filtro de deconvolución por mínimos

cuadrados, dentro de las condiciones establecidas, involucra ondículas de fase cero con un

ancho de banda limitado, ya que para el caso límite se tiene que:

.............................. (32)

Finalmente, en el caso de deconvolución por mínimos cuadrados, asumiendo un sistema

estocástico no causal, se tiene que el proceso de deconvolución puede subdividirse en dos

grandes pasos:

1. La correlación entre la ondícula de entrada (Wt) y la señal de la salida (Xt)

2. Un cambio de fase sobre el resultado del primer paso utilizando el operador:

.............................. (33)

Estas consideraciones explican la fuerte relación que existe en el procesamiento de señales

sísmicas con fuentes de energía vibratoria (vibroseis) y la deconvolución por mínimos

cuadrados no causal descrita.



SISTEMA DE FILTRO CAUSAL.-

Se presume un sistema lineal causal cuyo modelo matemático es análogo al modelo

convolucional expresado en la ecuación (2), reescrito nuevamente aquí:

........................................(34a)

En este caso, a la ondícula sísmica (Wt) y al filtro de deconvolución (ft) se les impone la

condición:

.

................................. (34b)

Para esta situación, se observa que el sistema matricial que define el modelo del filtro lineal

no causal en (26) según la expresión:

............................ (35)

debe reformularse, según el acotamiento expresado en (34b) produciendo la ecuación:

............................. (36)

Donde (m) representa la discretización de la función dirac-delta, por lo que la ecuación (36)

puede escribirse matricialmente como:

............... (37)



Como puede notarse, la aplicación de la deconvolución por mínimos cuadrados con

componentes de memoria (sistemas causales), exclusivamente, no necesita conocer la

ondícula generadora del proceso sísmico (Wt), siendo ésta una de las razones de su

inmensa popularidad en la industria sísmica, en contraposición a la utilización del proceso

de deconvolución por mínimos cuadrados con componentes de anticipación y de memoria

(sistemas no causales), el cual implica necesariamente el conocimiento o la estimulación a

priori de la ondícula sísmica (Wt), lo cual involucra mayor tiempo de procesamiento.

Una palabra final de alerta debe darse cuando se aplica un proceso de deconvolución por

mínimos cuadrados con componentes exclusivos de memoria, es decir modelando a

sistemas causales de la señal sísmica observada, ya que tiene dos restricciones implícitas

que de no cumplirse harían incorrecta su aplicación. Estas restricciones son las siguientes:

1. La ondícula sísmica generadora del proceso debe ser de fase mínima.

2. La Señal sísmica observada no tiene contaminación de ruido coherente.

3. La serie reflectiva del subsuelo es aleatoria Gaussiana.

La condición (1) se hace evidente al observar que en el límite, cuando en la expresión (36)

el valor de acotamiento (M) tienda a infinito, se obtiene una solución del sistema dado por:

..........................(38)

Donde puede demostrarse que, salvo un valor constante de escala (C):

............................(39)



Obviamente, ( f ) debe ser mínimo para garantizar la estabilidad del filtro.

Las condiciones (2) y (3) permiten asegurar dentro del modelo convolucional de un sistema

causal tal como el expresado que:

...........................(40)

Este resultado significa que la Transformada de Fourier de la función de autocorrelación de

la señal sísmica observada es equivalente al espectro de potencia de la ondícula sísmica

generadora del proceso.

Para el caso general de deconvolución adaptiva por mínimos cuadrados con componentes

exclusivos de memoria (sistemas causales), se tiene que el sistema matricial del filtro de

deconvolución descrito en la ecuación (36) se transforma en:

............................(41)

Donde (dt ) es una forma de onda conocida que se correlaciona con la señal sísmica

observada (Xt ), por lo que el sistema matricial vendría descrito como:

......................(42)



Todos los sistemas matriciales descritos presentan la característica de poseer una matriz

Toeplitz por lo que óptimamente pudiera aplicarse el algoritmo recursivo de Levinson.

ALGORITMO RECURSIVO DE LEVINSON.

Dado el sistema lineal expresado en la ecuación (42), se define la siguiente nomeclatura:

aij = El javo coeficiente de un sistema auxiliar en la etapa “i”.

= La matriz de autocorrelación en la etapa “n”.

fij = El javo coeficiente del filtro en la etapa “i”.

El algoritmo recursivo establece las siguientes condiciones iniciales.

............................... (43)

Entonces en una etapa “n”, se asume que el sistema auxiliar tiene la forma:

.............................. (44)

Perturbando este sistema auxiliar hacia la etapa “n = 1” se tiene:

.............................. (45)



Sin embargo, el sistema auxiliar en la etapa “n+1 ” debe ser por analogía a lo expresado en

la ecuación (44):

............................... (46)

Ahora bien, expandiendo el sistema auxiliar perturbado de la ecuación (45), se puede

demostrar que:

.............................. (47)

Comparando los sistemas (46) y (47) se obtienen las ecuaciones recursivas que definen al

sistema auxiliar:

.............................. (48)

.............................. (49)

Una vez definido el sistema auxiliar a la etapa deseada, se considera el sistema original en

una etapa “n” cualquiera, tomando en consideración la condición inicial:



.............................. (50)

De forma que en la etapa “n “el sistema es:

.............................. (51)

perturbando el sistema (51) hacia la etapa “n+1” se tiene:

.............................. (52)

Invirtiendo el orden de las ecuaciones lineales del sistema auxiliar en la etapa “n + 1 “, se

obtiene:

.............................. (53)

Estableciendo una combinación lineal de los sistemas (52) y (53):



......(54)

Sin embargo el sistema en la etapa “n+1 “ debe ser, por analogía a lo expresado en (51):

.............................. (55)

Comparando e igualando términos en los sistemas (54) y (55) se tiene que las ecuaciones

recursivas que definen al filtro inverso son:

.............................. (56)

.

............................. (57)










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