Upload
others
View
2
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
AnalyseDeel 1
I.A.M. Goddijn
TUDelft
August 28, 2009
Inleiding
Goniometrie
August 28, 2009 1
I.A.M. Goddijn
Faculteit EWI
Inleiding
I.A.M. Goddijn
Mekelweg 4, kamer 4.240
tel : (015 27)86408
e-mail : [email protected]
homepage : http: //fa.its.tudelft.nl/∼goddijn ofhttp: //aw.twi.tudelft.nl/∼goddijn
blackboard : http: //blackboard.tudelft.nl
Spreekuur : volgens afspraak
September 2, 2009 2
I.A.M. Goddijn
Faculteit EWI
Studiemateriaal
Handout
Boek
James Stewart : Calculus (Early Transcendentals)
6th edition
ISBN-13 : 978-0-495-38273-7
ISBN-10 : 0-495-38273-6
August 28, 2009 3
I.A.M. Goddijn
Faculteit EWI
Goniometrie
sin � =a
b
cos � =c
b
tan � =a
c
(SOSCASTOA)
August 28, 2009 4
I.A.M. Goddijn
Faculteit EWI
Bekende driehoeken
sin �4 =1√2
=1
2
√2
cos �4 =1√2
=1
2
√2
tan �4 = 1
August 28, 2009 5
I.A.M. Goddijn
Faculteit EWI
Volgens Pythagoras is
x2 +
(1
2
)2 = 1 2
en dus x =1
2
√3.
sin �6 =1
2
cos �6 =1
2
√3
tan �6 =12
12
√3
=1
3
√3
sin �3 =1
2
√3
cos �3 =1
2
tan �3 =12
√3
12
=√3
August 28, 2009 6
I.A.M. Goddijn
Faculteit EWI
Belangrijke formules
cos � =xP1
en
sin � =yP1
dus volgens Pythagoras is
(cos �) 2 + (sin �) 2 =
xP2 + yP
2 = 1.
(cos �) 2 + (sin �) 2 = 1
August 28, 2009 7
I.A.M. Goddijn
Faculteit EWI
sin (−x) = − sinxcos (−x) = cosxtan (−x) = − tanx
August 28, 2009 8
I.A.M. Goddijn
Faculteit EWI
sin(�2− x
)= cosx
cos(�2− x
)= sinx
tan(�2− x
)=
1
tanx
August 28, 2009 9
I.A.M. Goddijn
Faculteit EWI
De cosinusregel
Pas de stelling van Pythagoras toe
op de driehoeken ADC en DBC en
trek de verkregen vergelijkingen van
elkaar af.
c2 − 2cp = a2 − b2
a2 = b2 + c2 − 2cp
August 28, 2009 10
I.A.M. Goddijn
Faculteit EWI
De cosinusregelPas de stelling van Pythagoras toe
op de driehoeken ADC en DBC en
trek de verkregen vergelijkingen van
elkaar af.
c2 − 2cp = a2 − b2
a2 = b2 + c2 − 2cp
August 28, 2009 10
I.A.M. Goddijn
Faculteit EWI
De cosinusregelPas de stelling van Pythagoras toe
op de driehoeken ADC en DBC en
trek de verkregen vergelijkingen van
elkaar af.
c2 − 2cp = a2 − b2
a2 = b2 + c2 − 2cp
Gebruik vervolgens dat cos� =p
b
Dit geeft ( cosinusregel ): a2 = b2 + c2 − 2bc cos�
August 28, 2009 10
I.A.M. Goddijn
Faculteit EWI
Pas de stelling van Pythagoras toe op driehoek ABC en de
cosinusregel op driehoek OAB.
Maak vervolgens gebruik van (cos�) 2 + (sin�) 2 = 1
en dezelfde formule voor �.
Dit geeft : cos(� − �) = cos� cos� + sin� sin�
August 28, 2009 11
I.A.M. Goddijn
Faculteit EWI
Pas de stelling van Pythagoras toe op driehoek ABC en de
cosinusregel op driehoek OAB.
Maak vervolgens gebruik van (cos�) 2 + (sin�) 2 = 1
en dezelfde formule voor �.
Dit geeft : cos(� − �) = cos� cos� + sin� sin�
August 28, 2009 11
I.A.M. Goddijn
Faculteit EWI
Pas de stelling van Pythagoras toe op driehoek ABC en de
cosinusregel op driehoek OAB. Dit geeft :
(cos� − cos�)2 + (sin� − sin�)2 = 1 + 1 − 2 cos(� − �)
Maak vervolgens gebruik van (cos�) 2 + (sin�) 2 = 1
en dezelfde formule voor �.
Dit geeft : cos(� − �) = cos� cos� + sin� sin�
August 28, 2009 11
I.A.M. Goddijn
Faculteit EWI
Pas de stelling van Pythagoras toe op driehoek ABC en de
cosinusregel op driehoek OAB. Dit geeft :
(cos� − cos�)2 + (sin� − sin�)2 = 1 + 1 − 2 cos(� − �)
Maak vervolgens gebruik van (cos�) 2 + (sin�) 2 = 1
en dezelfde formule voor �.
Dit geeft : cos(� − �) = cos� cos� + sin� sin�
August 28, 2009 11
I.A.M. Goddijn
Faculteit EWI
De somformules, dubbele hoekformules
cos(x − y) = cosx cos y + sinx sin ycos(x + y) = cosx cos y − sinx sin ysin(x − y) = sinx cos y − cosx sin ysin(x + y) = sinx cos y + cosx sin y
cos 2x = (cosx) 2 − (sinx) 2
cos 2x = 2 (cosx) 2 − 1cos 2x = 1 − 2 (sinx) 2
sin 2x = 2 sinx cosx
August 28, 2009 12
I.A.M. Goddijn
Faculteit EWI
De somformules, dubbele hoekformules
cos(x − y) = cosx cos y + sinx sin ycos(x + y) = cosx cos y − sinx sin ysin(x − y) = sinx cos y − cosx sin ysin(x + y) = sinx cos y + cosx sin y
cos 2x = (cosx) 2 − (sinx) 2
cos 2x = 2 (cosx) 2 − 1cos 2x = 1 − 2 (sinx) 2
sin 2x = 2 sinx cosx
August 28, 2009 12
I.A.M. Goddijn
Faculteit EWI
De cosinusregelPas de stelling van Pythagoras toeop de driehoeken ADC en DBC entrek de verkregen vergelijkingen vanelkaar af.
c2 − 2cp = a2 − b2
a2 = b2 + c2 − 2cp
Gebruik vervolgens dat cosφ =p
b
Dit geeft ( cosinusregel ): a2 = b2 + c2 − 2bc cosφ
September 1, 2008 1
I.A.M. Goddijn
Faculteit EWI
Pas de stelling van Pythagoras toe op driehoek ABC en decosinusregel op driehoek OAB. Dit geeft :(cosβ − cosα)2 + (sinβ − sinα)2 = 1 + 1 − 2 cos(β − α)
Maak vervolgens gebruik van (cosα) 2 + (sinα) 2 = 1en dezelfde formule voor β.
Dit geeft : cos(β − α) = cosα cosβ + sinα sinβ
September 1, 2008 2
I.A.M. Goddijn
Faculteit EWI
De somformules, dubbele hoekformules
cos(x − y) = cosx cos y + sinx sin ycos(x + y) = cosx cos y − sinx sin ysin(x − y) = sinx cos y − cosx sin ysin(x + y) = sinx cos y + cosx sin y
cos 2x = (cosx) 2 − (sinx) 2
cos 2x = 2 (cosx) 2 − 1cos 2x = 1 − 2 (sinx) 2
sin 2x = 2 sinx cosx
September 1, 2008 3
I.A.M. Goddijn
Faculteit EWI
Complexe getallen
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ · · · ?
De verzameling van de reële getallen kan worden uitgebreid totde verzameling van complexe getallen.
Wat is de aanleiding tot deze uitbreiding ?
September 1, 2008 4
I.A.M. Goddijn
Faculteit EWI
Definitie
Het imaginaire getal i is oplossing van de vergelijkingx2 + 1 = 0.
i2 = −1
z = a + bi met a, b ∈ R heet een complex getal.
a heet het reële deel van z.b heet het imaginaire deel van z.
Rez = aImz = b
September 1, 2008 5
I.A.M. Goddijn
Faculteit EWI
C = { a + bi | a, b ∈ R }
Twee complexe getallen a + bi en c + di, a, b, c, d ∈ R zijnaan elkaar gelijk als a = c en b = d.
Als z = a + bi dan is de tegengestelde van z gelijk aan−a − bi.
−z = − a − bi
September 1, 2008 6
I.A.M. Goddijn
Faculteit EWI
Grafische weergave
Complexe vlak !
Gauss vlak !
Argand vlak !
September 1, 2008 7
I.A.M. Goddijn
Faculteit EWI
Bewerkingen
Laat z = a + bi en w = c + di, a, b, c, d ∈ R
Optellenz + w = (a + c) + (b + d)i
Aftrekkenz − w = z + −w = (a − c) + (b − d)i
Vermenigvuldigenz · w = (ac − bd) + (ad + bc)i
September 1, 2008 8
I.A.M. Goddijn
Faculteit EWI
Bewerkingen
Laat z = a + bi en w = c + di, a, b, c, d ∈ R
Delena + bic + di
?
Waar moeten c en d aan voldoen ?
a + bic + di
=(ac + bd) + (bc − ad)i
c2 + d2
September 7, 2007 2
I.A.M. Goddijn
Faculteit EWI
Bewerkingen
Laat z = a + bi en w = c + di, a, b, c, d ∈ R
Delena + bic + di
?
Waar moeten c en d aan voldoen ?
a + bic + di
=(ac + bd) + (bc − ad)i
c2 + d2
September 7, 2007 2
I.A.M. Goddijn
Faculteit EWI
Deze formule gaan we niet onthouden.We kunnen ook delen door de teller en de noemer van debreuk te vermenigvuldigen met de complex geconjugeerde ofcomplex toegevoegde van de noemer.
September 7, 2007 3
I.A.M. Goddijn
Faculteit EWI
Complex geconjugeerde
Als z = a + bi, a, b ∈ R dan heet a − bi de complexgeconjugeerde of complex toegevoegde van z.
z = a − bi
Eigenschappen
z + z = 2Rez voor alle z ∈ C.z − z = 2i Imz voor alle z ∈ C.
Als z = a + bi, a, b ∈ R danz · z = a2 + b2.
September 7, 2007 4
I.A.M. Goddijn
Faculteit EWI
Eigenschappen
z = z voor alle z ∈ C.
z ± w = z ± w voor alle z, w ∈ C.
z · w = z · w voor alle z, w ∈ C.( zw
)=
z
wvoor alle z, w ∈ C, w 6= 0.
zn = z n voor alle z ∈ C, n ∈ Z.
Nogmaals delen !
a + bic + di
=a + bic + di
· c − dic − di
=(ac + bd) + (bc − ad)i
c2 + d2
September 7, 2007 5
I.A.M. Goddijn
Faculteit EWI
Poolcoördinaten
cosφ =a
r
sinφ =b
r
z = a + bi = r(cosφ + i sinφ)
September 7, 2007 6
I.A.M. Goddijn
Faculteit EWI
Modulus en argumentDefinities
De modulus van z isgelijk aan
√a2 + b2.
Het argument van z isgelijk aan φ waarbij φ zogekozen is dat−π < φ ≤ π.
Notaties
|z| = r =√a2 + b2 en
arg z = φ.
En dusz = |z|(cos arg z + i sin arg z).
September 7, 2007 7
I.A.M. Goddijn
Faculteit EWI
Eigenschappen modulus
|z| 2 = z · z voor alle z ∈ C.
|z + w| ≤ |z| + |w| voor alle z, w ∈ C.
|z · w| = |z| · |w| voor alle z, w ∈ C.
| zw| = |z|
|w|voor alle z, w ∈ C, w 6= 0.
|z n| = |z| n voor alle z ∈ C, n ∈ Z.
September 7, 2007 8
I.A.M. Goddijn
Faculteit EWI
Eigenschappen argument
arg(z · w) = arg z + argw ( mod 2π) voor alle z, w ∈ C.
arg( zw
)= arg z − argw ( mod 2π) voor alle z, w ∈ C
w 6= 0.
arg z n = n arg z ( mod 2π) voor alle z ∈ C, n ∈ Z.
September 7, 2007 9
I.A.M. Goddijn
Faculteit EWI
De somformules
Bij het bewijs van de eigenschappen van modulus en argument
is het handig om gebruik te maken van de volgende formules:
cos(�+�) = cos� cos � − sin� sin �sin(�+�) = sin� cos � + cos� sin �
September 3, 2009 4
I.A.M. Goddijn
Faculteit EWI
GoniometrieBekende driehoekenBelangrijke formules
Sheets2b.pdfGoniometrieBelangrijke formules
Complexe getallenDefinitieGrafische weergaveBewerkingen
Sheets3b.pdfComplexe getallenBewerkingenComplex geconjugeerdeBeschrijving in poolcoördinatenModulus en argument
Sheets4b.pdfComplexe getallenModulus en argumentDe formule van de MoivreDe formule van EulerHet oplossen van vergelijkingenDe binomiaalvergelijkingDe exponentiële vergelijkingPolynomiale vergelijkingen