DEEPPA ARRTTAMMEENNTTOO DDEE …oneyear.escoitar.org/IMG/pdf/4o_eso_matB_14-15.pdf · Fraccionarios REALES ( R ) Irracionales (I) Ordenación de los números reales. En los números

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MATEMÁTICAS B 4º E.S.O.

MATERIAL CURRICULAR

CURSO 2014-2015

ALUMNO/A:.............................................................

GRUPO:...............

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS I.E.S. MANUEL LOSADA VILLASANTE

Pág. 1

MATEMÁTICASB. PROGRAMACIÓN PARA EL CURSO 2014-2015.

Índice:

UNIDAD I. NÚMEROS REALES. POTENCIAS Y RADICALES. ............................. 3

1. Números Reales. .................................................................................................... 3 Números Racionales e Irracionales. ......................................................................... 3

Ordenación de los números reales. ........................................................................... 6

Relación de orden y suma. ........................................................................................ 6

La recta real. ............................................................................................................. 7

Intervalos y semirrectas. Valor absoluto. Entornos de un punto. ........................... 10

2. Potencias Reales. ................................................................................................... 13 Propiedades de las potencias. ................................................................................. 13

Potencia de exponente fraccionario. ....................................................................... 14

Potencias de exponente irracional. ......................................................................... 14

Radicales. Propiedades. Operaciones con radicales. Racionalización. .................. 16

UNIDAD II. TRIGONOMETRÍA ................................................................................ 22 Introducción. ........................................................................................................... 22

Medidas de ángulos. Sistema sexagesimal y S.I. ................................................... 29

Razones trigonométricas de ángulos agudos. ......................................................... 30

Cálculo de las razones de los ángulos de 30º, 45º y 60º. ........................................ 31

Relaciones fundamentales de la trigonometría. ...................................................... 33

Ampliación del concepto de ángulo. Sentido de giro. Ángulos positivos y

negativos. ................................................................................................................ 34

Razones de un ángulo cualquiera. Reducción a las razones de un ángulo conocido

del primer cuadrante. .............................................................................................. 35

Ejercicios y problemas de trigonometría. ............................................................... 36

UNIDAD III. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. ....................................................... 40 Manejo de expresiones literales. ............................................................................. 40

Operaciones con polinomios. ................................................................................. 42

Regla de Ruffini. .................................................................................................... 46

Factorización. ......................................................................................................... 48

Fracciones Algebraicas. .......................................................................................... 51

UNIDAD IV. ECUACIONES E INECUACIONES. ............................................. 62

1. Ecuaciones. ............................................................................................................ 62 Ecuaciones de segundo grado y grado superior...................................................... 62

Ecuaciones irracionales. Ecuaciones racionales. .................................................... 66

Resolución gráfica y algebraica de los sistemas de ecuaciones lineales y no lineales

con dos incógnitas. ................................................................................................. 69

2. Inecuaciones. ......................................................................................................... 75 Resolución de inecuaciones de primer grado. ........................................................ 76

Inecuaciones lineales con dos incógnitas. .............................................................. 77

Sistemas de inecuaciones lineales. ......................................................................... 78


Pág. 2

Inecuaciones de segundo grado. ............................................................................. 79

Inecuaciones polinómicas de grado superior al segundo........................................ 81

Inecuaciones Racionales. ........................................................................................ 83

UNIDAD V. LOGARITMOS. ECUACIONES EXPONENCIALES Y

LOGARÍTMICAS. ......................................................................................................... 95 Concepto de logaritmo. Nomenclatura. Cálculo de logaritmos en cualquier base. 95

Propiedades de los logaritmos. ............................................................................... 96

Ecuaciones logarítmicas y exponenciales............................................................... 96

UNIDAD VI. FUNCIONES. ....................................................................................... 101 Funciones. Definición. .......................................................................................... 101

Propiedades generales de las funciones. ............................................................... 106

Clasificación de las funciones a partir de la ecuación o criterio que la define.

Representación gráfica. ........................................................................................ 118

Límite de funciones .............................................................................................. 142

UNIDAD VII. ESTADÍSTICA. ................................................................................... 149 Estadística: clases y conceptos básicos. ............................................................... 149

Variables o caracteres estadísticos. ...................................................................... 150

Encuestas y muestreo............................................................................................ 151

Encuestas y muestreo............................................................................................ 152

Tablas estadísticas: recuento. ............................................................................... 154

Tablas estadísticas: frecuencias. ........................................................................... 156

Representaciones gráficas..................................................................................... 158

Diagramas de tallos y hojas. ................................................................................. 161

Medidas estadísticas. Clasificación. ..................................................................... 165

Parámetros de centralización. ............................................................................... 165

Parámetros de dispersión. ..................................................................................... 169

Coeficiente de variación. ...................................................................................... 171

UNIDAD VIII. PROBABILIDAD .............................................................................. 176 Experimentos aleatorios. Sucesos......................................................................... 176

Operaciones con sucesos. ..................................................................................... 178

Probabilidad de un suceso .................................................................................... 180

Regla de Laplace .................................................................................................. 181

Frecuencia y probabilidad .................................................................................... 183

Propiedades de la probabilidad. ............................................................................ 184

Probabilidad condicionada. .................................................................................. 186

Sucesos dependientes e independientes. ............................................................... 186


Pág. 3

UNIDAD I. NÚMEROS REALES. POTENCIAS Y RADICALES.

1. Números Reales.

Números Racionales e Irracionales.

Recordemos los tipos de números que conocemos:

Números naturales que representamos por N. Son los números que utilizamos para

contar y ordenar. Formado por los números 1,2,3,4…

Números enteros que representamos por Z. Son los números que necesitamos para

representar operaciones imposibles en N, como la resta o diferencia : 3 - 8

Formado por los números …,-3,-2,—1, 0, +1 ,+ 2, +3…

Números racionales que representamos por Q. Son los números que se representan

mediante fracciones o mediante el decimal que procede de esta división indicada.

De esta forma hemos trabajado con números decimales, de los que conocemos

decimales limitados. Ej. 2,34 ; 1,25 ... y decimales ilimitados periódicos Ej. 2,333…;

1,2323 23... . y también con fracciones.

Números Racionales: (Q) Sabemos que los racionales podemos representarlos mediante fracciones o mediante

decimales.

Para pasar de fracción a decimal solamente tenemos que dividir el numerador entre el

denominador.

Veamos casos que se pueden presentar: 75,04

3 decimal exacto;

...6666,03

2 decimal periódico puro; ..166.2

6

13.decimal periódico mixto

Vemos por lo tanto que pasar de fracción a decimal es muy simple solo debemos

dividir.

Veamos el recíproco, pasar de decimal a fracción:

a) Primer caso decimal exacto: Es muy simple solo tenemos que escribir la fracción

decimal correspondiente 4

3

100

7575,0 y así obtenemos la fracción

Numerador: Parte entera y decimal sin coma.

Denominador: Unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales haya.

En el caso de los decimales periódicos:

Tenemos el problema de las infinitas cifras decimales y que hacer con ellas para poder

escribir la fracción correspondiente.

b) Segundo caso decimal periódico puro: calculo de la fracción del decimal 0,666…

Llamaremos “x” a la fracción buscada:

Luego ...666,0x . El sistema consiste en escribir dos igualdades equivalentes de

forma que su diferencia elimine todos los decimales.

Para ello multipliquemos x = 0,666.. por diez y obtenemos 10 x = 6,666..


Pág. 4

Restando ambas :

10 x = 6, 666…

x = 0, 666…

9 x = 6 3

2

9

6xdespejando obtenemos la

fracción.

Numerador: A la parte entera y decimal sin coma se le resta la parte entera.

Denominador: Tantos 9 como cifras tiene el periodo.

Ejercicio 1.- Calcula la fracción generatriz del decimal: a) 0,3333... b) 12,787878...

c) 9,256256256... d) 145,2222... e) – 34,676767....

c)Tercer caso decimal periódico mixto: calculo de la fracción del decimal 2,166…

Llamaremos ―x‖ a la fracción buscada:

Luego x = 2,166… que es un decimal periódico mixto, y en principio no sabemos como

tratarlo, pero si multiplicamos está ecuación por 10 obtendremos un decimal periódico

puro que trataremos como en el caso anterior:

10 x = 21,666… que ya sería un decimal puro, y procederíamos como en el caso a)

Volvemos a multiplicar por diez: 100 x = 216,666…

Restando ambas :100 x = 216 ,666…

10 x = 21,666…

90 x = 195 6

13

18

39

90

195x

Para comprobar si hemos encontrado la fracción adecuada basta dividir 13 9

Numerador: A la parte entera y decimal sin coma se le resta la parte entera seguida de

anteperiodo.

Denominador: Tantos 9 como cifras tiene el periodo seguidos de tantos 0 como cifras

tiene el anteperiodo

Ejercicio 2.- Escribe la fracción de los siguientes decimales

a) 3,4 b) 2,02 c ) 1,333… d ) 12, 2 333… e) 2,8212121 … f) 1,2 3535…

Número irracionales. Tomemos el cuadrado mas simple el de lado 1 (cm, m, km etc) sabemos que existe una

relación entre el lado y la diagonal

Calculemos la diagonal del cuadrado de lado 1.

Apliquemos el Teorema de Pitágoras al

triangulo rectángulo que resulta de dividir

mediante la diagonal el cuadrado en dos partes:

d 2 = 1

2 + 1

2 = 1+1 = 2

d 2

= 2


Pág. 5

He aquí la información: la diagonal es un número cuyo cuadrado es 2

Si calculamos el número que multiplicado por sí mismo dé 2, es decir si calculamos

la raíz cuadrada de 2 obtenemos:

2 = 1, 41421356237309505….

Podemos ver que la raíz es un número decimal ilimitado no periódico.

Demostración:

Como todo los números decimales que conocemos son periódicos es lógico pensar que

éste número procede de una división.

Si procede de una división podemos suponer que esa división es la fracción irreducible

b

a;

Luego el número cuyo cuadrado es 2 será : 2b

a

Si elevamos al cuadrado los dos miembros de la anterior igualdad tendremos:

2

2

2b

a 22

2

22

2

2

b

a

b

a

Esta última igualdad es absurda. ¿Cómo una fracción irreducible puede ser igual a

2? ¡Algo está mal!

En efectos: Habíamos dicho que b

a era una fracción irreducible, luego

2

2

b

a también lo

será.

(una fracción irreducible no es posible simplificarla mas).

Luego si 2

2

b

a es irreducible ¿Cómo puede ser igual a 2?

Conclusión: Por lo tanto la hipótesis de que este número procede de una división, es

falsa. Este número decimal no periódico con infinitas cifras decimales es distinto a los

conocidos hasta ahora. Estos números no son racionales, y se les llaman

IRRACIONALES.

Se dice que un número es irracional a un decimal que posee infinitas cifras decimales

no periódicas. El conjunto de estos se representa por I.

Otros números irracionales son:

,7,5,3 …

También son irracionales los que proceden de operaciones con irracionales con

números racionales:

3 - 2 , ,2

51 5 9 ,….

También lo es el número = 3,141592653589793…..cuya irracionalidad no se

demostró hasta el siglo XVIII.


Pág. 6

Vamos a llamar números reales al conjunto de los números por racionales e

irracionales:

Naturales (N)

Enteros (Z) Cero

Racionales (Q) Enteros negativos (Z - )

Fraccionarios

REALES ( R )

Irracionales (I)

Ordenación de los números reales.

En los números reales se define la relación de orden como una extensión de la definida

en los números racionales. Cuando queremos expresar que 7 es menos o igual que 19,

escribimos 7 19, equivalente a decir que 19 – 7 = 12 es positivo.

La relación de orden, <, menor que, entre números reales se define así:

a < b b – a es positivo

Una desigualdad, lo mismo que una igualdad, puede ser cierta o falsa.

Por ejemplo, la desigualdad x < 7 es cierta para x = 5, ya que 5 < 7, pero es falsa

para x = 12, ya que 12 < 7 no es cierta.

Se define de forma análoga las relaciones menor o igual que, , mayor que, >, mayor

o igual que, .

Relación de orden y suma.

Veamos en los siguientes ejemplos cómo varía la relación de orden al sumar o restar un

número a los dos miembros de la desigualdad:

7 < 10,5 restando 12 se tiene – 5 < - 1,5

- 2,6 > - 4 sumando 10,3 se tiene 7,7 > 6,3

-

Si a los dos miembros de una desigualdad se les suma o resta un mismo número, se

obtiene otra desigualdad en el mismo sentido.

Relación de orden y producto

En estos ejemplos se muestra cómo varía la relación de orden al multiplicar o dividir

por un número distinto de 0 los dos miembros de la desigualdad:

3,2 < 5,7 multiplicando por - 10 se tiene – 32 > - 57

- 8,1 <- 4,7 multiplicando por 10 se tiene – 81 < - 47

Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por un número, se

obtiene otra desigualdad:


Pág. 7

- Si el número es mayor que cero, del mismo sentido.

- Si el número es menor que cero, de sentido contrario.

La recta real.

Existe una correspondencia entre el conjunto de los números reales y el de los puntos

de una recta; es decir, a cada número real corresponde precisamente un punto, y a cada

punto corresponde un número real preciso, a una recta de éste tipo se le llama recta

real.

Representar números enteros.

Representar números decimales. Para representar el número decimal 0,7 observamos

que es un número comprendido entre 0 y 1. Dividimos el segmento unidad entre los

números 0 y 1 en 10 partes iguales. Tomamos 7 de esas partes contando a la derecha

(pues 0,7 es un número positivo) desde el 0.

Para representar el número 2,5 que es un número comprendido entre 2 y 3, dividimos el

segmento entre los números 2 y 3 en 10 partes iguales. Tomamos 5 de esas partes

contando a la derecha desde el 2.

Representar números fraccionarios. Fracciones propias e impropias.

Una fracción se llama propia si el numerador es menor que el denominador. Su

cociente es un número comprendido entre 0 y 1.

Por ejemplo, 2/3 y 3/4 son fracciones propias.

Una fracción es impropia si por el contrario el numerador es mayor que el

denominador. Su cociente es mayor que 1.

Por ejemplo, 5/3 y 9/4 son fracciones impropias.


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Si queremos representar el número 1/3, por ser una fracción propia, su representante en

la recta será un punto comprendido entre 0 y 1. Dividimos el segmento unidad en tres

partes y tomamos 1, contando desde el 0.

Ejercicio 1. Representa el número 1/3 en tu cuaderno. Para dividir el segmento unidad

en tres partes iguales realiza las siguientes operaciones con el cartabón, la escuadra y el

compás:

Dibuja un segmento horizontal. Señala el extremo izquierdo con el número 0 y

el derecho con el 1. Ese será nuestro segmento unidad.

Traza desde el 0 una semirecta cualquiera que no sea horizontal.

Con el compás, marcamos en esa semirecta desde el 0 tres medidas iguales.

Con una regla trazamos el segmento que une la última marca del compás en la

semirecta con el punto 1.

Utilizando el cartabón y la escuadra, trazamos paralelas a ese segmento que

pasen por las otras tres marcas del compás.

Los puntos de corte de esos segmentos en el segmento unidad dividen al mismo en tres

partes iguales. Cada una será 1/3, o lo que es lo mismo 0,33333…., que sería imposible

de representar dividiendo infinitamente la unidad, para obtener decimas , centesimas ,

milésimas ….etc como hicimos con los decimales exactos.

Ejercicio 2.- Representar el número 1/6.

Si la fracción es impropia, siempre se puede descomponer en suma de un número

entero más una fracción propia.

Por ejemplo, 5

13 dividiendo

Dividiendo 13 5 13/5 = 2 + 3/5,

Donde 2 es el cociente entero de la división de 13 entre 5 y 3, el resto.

Así, el número 13/5 será un punto comprendido entre el 2 y el 3. Para representar el

número 13/5 deberemos representar el número 3/5 en el segmento [2,3], es decir, dividir

el segmento [2,3] en 5 partes y tomar 3 desde el punto 2.

Ejercicio 2. Representa también los números 10/3, y 13/2

Observa: si el decimal que obtenemos de la fracción no es periódico siempre puedes

representarlo como decimal, sin embargo si el decimal es periódico necesita para poder

representarlo la construcción basada en el concepto de fracción.

El conjunto de los números racionales Q es un conjunto denso, es decir, que entre

dos números racionales siempre existe otro número racional.


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Ejercicio 3.-Encuentra dos números racionales comprendidos entre:

a) 1,4 y 1,5.

b) 0,34 y 0,35.

c) 4

7

3

7y

¿Cuántos números racionales existen entre dos números racionales?

Representar números irracionales.

También los números irracionales, las raíces, por ejemplo, se representan en la recta.

Por ejemplo, para calcular el punto que representa el número 2 realiza los siguientes

pasos:

Levanta sobre la recta un cuadrado cuyo lado sea el segmento unidad entre el 0 y el 1.

Según el teorema de Pitágoras, la diagonal del cuadrado mide 2 .

Utiliza un compás para trasladar esa diagonal sobre la recta. El punto de corte

del arco del compás sobre la recta representa el número 2

Fíjate en la siguiente figura y dibújala en tu cuaderno.

Ejercicio 4.- De igual forma construyendo cuadrados o rectángulos de distintas

dimensiones se pueden representar otros números irracionales:

a) 5 b) 10 c) 13 d) 18

Dibuja en tu cuaderno un rectángulo cuyos lados midan 2 y 1 ¿Cuánto medirá la

diagonal exactamente? Represéntalo en la recta real


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Intervalos y semirrectas. Valor absoluto. Entornos de un punto.

Intervalos

Puesto que se pueden representar, se pueden ordenar. Es decir que dados dos números

reales a y b, podemos decir que a < b , si al representarlos en la recta b queda a la

derecha de a.

La ordenación de números reales permite hablar de subconjuntos de números

INTERVALOS comprendidos entre otros dos números, que llamaremos extremos.

Tipos de intervalos:

Intervalo cerrado: Conjunto de números comprendidos entre los extremos que incluye

a estos extremos.

Por Ej. 2,1 Intervalo que contiene todos los números desde el ―1‖ al ―2‖ incluidos

ambos números. Representemos en la recta real: ______________

1 2

Intervalo abierto: Conjunto de números comprendidos entre los extremos que NO

incluye a estos extremos.

Por Ej. 2,1 Intervalo que contiene todos los números desde el ―1‖ al ―2‖ SIN

incluir a ambos números.

Representemos en la recta real: ______________

1 2

Intervalo semiabierto o semicerrado: Conjunto de números comprendidos entre los

extremos que NO incluye a uno de los extremos.

Por Ej. 2,1 Intervalo que contiene todos los números desde el ―1‖ al ―2‖ SIN

incluir al 2, e incluyendo al 1. Representemos en la recta real:

1

También podemos expresarlos mediante desigualdades

Para el intervalo cerrado 2,1 , siendo x cualquier número del intervalo, escribiremos:

1 x 2

Para el intervalo abierto 2,1 , siendo x cualquier número del intervalo, escribiremos:

1< x <2

Para el intervalo semiabierto 2,1 , siendo x cualquier número del intervalo,

escribiremos: 1 x <2

La recta completa.

Hasta ahora hemos visto la recta real, ahora vamos a ampliar R ( números reales), con

dos nuevos elementos, que designaremos por y y que llamaremos mas infinito

y menos infinito, completando la recta real con dichos elementos

Para ello conviene aclarar que podremos también utilizar los intervalos utilizando

estos dos nuevos elementos.


Pág. 11

Ejemplos ,,1 3, para 1x y 3x respectivamente (intervalos abiertos

siempre en y )

Ejercicio 5.- Escribir en notación de desigualdades y graficar en un eje numérico o

recta real.

a) 3,2 b) 2,4 c) 2,9,3 d) ,6 e) 0,

Ejercicio 6.- Escribir las siguientes desigualdades en notación de intervalos y graficar:

a) 33 x b) 21 x c) 1x d) 2x

Valor Absoluto.

Si ―a― es un punto de la recta real, la distancia de ―a‖ al origen, que es una cantidad

no negativa, se representa por a y se denomina valor absoluto.

El valor absoluto se define:

-Si el número es positivo o cero su valor absoluto es el mismo

-Si el número es negativo es el opuesto del número.

0

0

asia

asiaa

Con el valor absoluto se pueden expresar los intervalos por ejemplo 1x , implicará

que x puede tomar los valores - 0,9 , - 0,8 ,- 0, 7, …-0,123 , 0, 0, 2 0,69, 0,999 …es

decir que podemos expresarlo mediante -1<x<1 y también por el intervalo 1,1

Ejercicio 7.- Representar en la recta real cada uno de los conjuntos de números

siguientes:

a) 5,1x b) 3x c) 1x d) 0x

Entornos de un punto.

El punto medio del segmento que determinan los extremos del intervalo cerrado [1, 5]

es x = 3. La distancia de este punto a los extremos es 2.

Los puntos x de este intervalo verifican la relación 23x .

El punto medio del intervalo abierto (1, 3) es x = 2 y su distancia a los extremos es 1.

Los puntos s de este intervalo verifican 12x .

Los intervalos determinados por rax ó rax se llaman entornos cerrados o

abiertos del punto a. El punto a se llama centro y la distancia r se llama radio del

entorno.

El entorno cerrado se designa por E[a, r] y por E(a, r) el abierto

Ejercicio 8: Representa los intervalos: 34x y 12x


Pág. 12

Repaso 1.- Escribe un decimal correspondiente a cada número racional indicando de que tipo

se trata.

15

7)

6

7)

3

5)

8

3) dcba

2.- Encuentra un número racional comprendido entre 5

4

7

4y .

3.- Escribe en forma fraccionaria los números:

a) 3,6 b) 2,444444… c) 5,4232323…

4.- Los números a, b y c son tres números reales de los que sabemos,

7,13,2 a 5,14,1 b y 6,29,3 c ¿Es posible escribir el signo < ó >

entre a y b, b y c? y ¿entre c y a?

5.- Halla la fracción generatriz del número decimal 1,23333333...

6.-¿Cuál es el valor exacto de la altura de un triángulo equilátero de 10 cm. de lado?

¿Cuánto mide exactamente el lado de un rombo cuyas diagonales miden 18 y 12

cm.?

7.- Escribe tres números reales pertenecientes a cada intervalo:

24,7,25,7,2,5,2,2,3,2,0,1,1

8.- Escribe tres intervalos cuyo punto medio sea –3,25

9.- Indica en una línea recta los números que pueden sustituir a x.

7;2,5;5,2 xxx

10.- Representa en la recta real los siguientes números, indicando al menor conjunto

numérico al que pertenecen:

2;3

1;1;3

11.-Explica a partir del número 0,6666666... las aproximaciones que conozcas ya sea

por truncamiento o redondeo ( a las décimas, centésimas, milésimas)

12.- Representa en la recta real los intervalos:

a) 0,1)3)3)44)3,5 exdxcxb f) E[2, 3] g) 35x

13.- Representa en la recta real los números: 3;6

5;5,0;1 y clasifícalo

integrándolo en el menor conjunto a que pertenezcan.


Pág. 13

2. Potencias Reales.

Propiedades de las potencias.

Potencia de exponente entero.

1 Definición: a a a a a a nn ... ( veces).

2 Producto de potencias de igual base: a a an m n m

3 División de potencias de igual base: a a aa

aan m n m

n

m

n m: ó

4 a 0 1.

5 aa

n

n

1.

6 Potencia de un producto: a b c n an bn cn .

7 Potencia de una división: a b a ba

b

a

b

n n n

n n

n: : ó .

8 Potencia de potencia: a an m n m .

Además debes tener en cuenta:

Trabajar con los números descompuestos en factores primos al resolver un problema de

potenciación donde intervienen las operaciones producto, división y potencia de potencia.

La simplificación de factores siempre que sea posible.

Observa que a

b

b

a

a

b

b

a

n n n n

y .

Al resolver esta hoja no te inventes normas nuevas, ten en cuenta las reglas de la

potenciación, prioridad de operaciones y simplificación de factores sobre todo.

1. Calcula:

a) ; ; ; ; ; ( ; ( ; ; ; ; ;

b) 2 3 + (5 2) ; ( 3) 7 ; + 5 3 ; ; ;

c) ; ; ; ; ; ; ; ;

2 3 2 2

2 2 2 10 10 1 1 1 1 1 1

5 3 2 7 2 7 2 7 2

3 3 6 3 5 10 2 2

2 2 2 5 8 8 9 7 8 2 2 1

2 2 3 3 3 3

4 4 1 4 3 4 6 6

( ) ( ) ) ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

n n

d) ; ; ; ; ; ; ; ; ;

e) ; ; ; ;

( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( )

0 023

2

3

4

2

3

3

4

1

3

1

50 25

2

3

0 57

23 2 0 5 16 2 3 2 8 4 2

5

2 4 2 0

2

0 2

1

3

2

3

1 2 2 1

2. Opera simplificando el resultado:


Pág. 14

a) ; ; ; ; 27 ;

b) 2 ; ; ; ;

c) 2

; ; 5

; ;

4

8 2

2 32 4 3 27 9 3 81 8 2 625 16 5 2 81 243

2 10 10 2 3 16 243 2 5 2 5 2 5 5

3

16 243

3 8 7

9 2 49

2 11

625 6

2 125 32 5

16 5 5 2

3 2 2 2 2 2 5 6

5 4 3 8 4 2 3 5 7 4 2 7

4 5

2

2 7

3 7

3 4

x x x

a b c

: : ( ):( ) ( ):( )

3 8 3 7

4 2 6 3 7

2 4 3 5 3 2 2 28

23 2 4

3 3 2 3 5 5 7 2 2

2 4 2

128

64

3 2 125 2 5 4 4 9 81 2 2 0 4 0 5

10001125 1125 625 4 100 135

7 2 3

5

3

5

a b c

a b a c c

a b a b

;

d) ; ; ; 2 3 ; ;

e) ; ; ; 90 ;

f) 16 3

25 7 ;

2

3

( ) ( , ) (5 , )

( : ) :

:

3 2 2 2 4

3

3 39

25

21

25

5

3

5

75

3

10

1

5: ; ; ;

Potencia de exponente fraccionario.

Una potencia de exponente fraccionario es un radical donde:

el denominador de la fracción es el índice del radical, y

el numerador de la fracción es el exponente del radicando.

Las potencias de exponente fraccionario verifican las mismas propiedades dque

las potencias de exponente entero. Las operaciones con radicales se simplifican mucho

si se pasan a potencia de exponente fraccionario. Veamos los siguientes ejemplos:

99

13

1

3

13

3

13 3

7

1

7

17

1

7

1

77

3

1

3

13

1

3

1

33

15

4

5

3

3

1

5

3

3

1

5 33

5

3

5

2

5

1

5

2

5

1

5 25

77777

25:105:105:10

15353535

555:55:5

333333

Potencias de exponente irracional.

Veremos como se definen y calculan las potnecias cuando el exponente es un

número irrracional: , ,2 7 ...

Una potencia con exponente irracional se calcula por aproximaciones sucesivas

de potencias racionales; las operaciones se pueden realizar con la calculadora.

Ejemplo: Calcula 2 .

Aproximamos a números decimales y se calculan los valores que toman las

potencias en los extremos del intervalo de aproximaciones. Siguiendo este proceso nos

acercaremos cada vez más al verdadero valor de la potencia 2 .

INTERVALOS DE INTERVALOS DE POTENCIAS INTERVALOS NUMÉRICOS

3< <4 2 2 23 4 8<2 <16

3,1< <3,2 2 2 23 1 3 2, , 8,57<2 <9,18

3,14< <3,15 2 2 23 14 3 15, , 8,815<2 <8,876

3,141< <3,142 2 2 23 141 3 142, , 8,8213<2 <8,8274

2 2


Pág. 15

Cada uno de estos pasos, determinan un intervalo, dentro del cual se encuentra 2 .

2 [8, 16]

2 [8,57, 9,18]

2 [8,815, 8,876]

2 [8,8213, 8,8274]

Cada intervalo está contenido en el anterior. ¿Cuál es el error máximo en cada paso?

Al aumentar el número de cifras de , el error es cada vez más pequeño y se

aproxima a cero. En el cuarto paso vemos que hay ya dos decimales exactos. Este

proceso es válido para cualquier número y cualquier base.

Ejercicios:

1. Expresa, en términos de raíces, las siguientes expresiones:

a) 4

3

5 b) 7

2

3 c) 3

4

3

7

d) 2

3

1

3

2. Simplifica, descomponiendo en factores y pasando la raíz a exponente fraccionario,

las siguientes expresiones: (utiliza las propiedades de las potencias)

a) 5 53 4 b) a a43 5 c) 25

125 5

3

4 d)

a

a a

3

24

3. Utiliza la calculadora para hallar las siguientes potencias con tres cifras decimales

exactas:

a) 5 b) 2 3 c) 3 2 d) 5 3 e) 3 3

Ejercicio 14.- Escribe las siguientes potencias como radicales:

a) 435 = b)

215 c) 32

3 d) 53

x e) 322x

f) 415 g)

522 h)

433x i)

322x j) 43

2 x

Ejercicio 15 .- Escribe los siguientes radicales como potencias:

a) 3 = b)3 23 c)

5 3x = d) x2 = e) 5 3x

f)2

1 g)

3 2

2

x h)

2

1

x i)

4 3

2

x

x =


Pág. 16

Radicales. Propiedades. Operaciones con radicales. Racionalización.

Uso de la calculadora: Utilizaremos la función yx

1

, que encontramos como segunda

función en el signo , por lo que tendremos que utilizar shift.

Ejemplo: calculo de la raíz de 5 1024

Teclear: 1024 shift 5 = y aparecerá en el visor 4.

Radicales equivalentes.

Sabemos que los radicales lo podemos escribir como potencias de exponente

fraccionario. Por ejemplo 323 2 33 y como ...

9

6

6

4

3

2 son fracciones

equivalentes también podremos obtener radicales equivalentes multiplicando el índice

del radical y el exponente del radicando por un mismo número. Así:

...333 9 66 43 2 son radicales equivalentes.

Ejercicio 16.-

a) Halla tres radicales equivalentes a los tres siguientes pero que tenga el

mismo índice: 63 2 55,5 y .

b) Igual que en ejercicio anterior:

3 23 y

Operaciones con radicales:

1. Producto de radicales del mismo índice es igual a otro radical cuyo radicando es el

producto de los radicandos y cuyo índice es el mismo de los radicales

nnn qpqp ··

Ejercicio 17.- Efectúa los siguientes productos, si fuese necesario obtén los radicales

equivalentes para obtener el producto.

a) 3·5 b) 3·3 c) 6·5·2 d) 33 4·3 = e) 2·33

f) 252 g) 3222 h) 223333

i) 15252 j) 22322


Pág. 17

2.Cociente de radicales del mismo índice es igual a otro radical cuyo radicando es el

cociente de los radicandos y cuyo índice es el mismo de los radicales.

nn

n

q

p

q

p

Ejercicio 18.- Efectúa los siguientes cocientes simplificando:

a) 64

36 b)

5

125 c)

5

2003

d ) 10

1004

3.Potencia de un radical es igual a otro radical con el mismo índice y cuyo radicando

es una potencia de exponente igual al del rafdical:

n mmn pp

Ejercicio 19.- Calcula:

a)2

2 b)3

3 3 c)3

2 d)2

3 27 = e) 2

2 x

f)2

23 g)2

52 = h) 3

3 32 i)

2

33

2 j)

44 2 =

4.Raíz de una radical es igual a otro radical cuyo radicando es el mismo y cuyo índice

es el producto de los índices de los radicales:

mnn m pp ·

Ejercicio 20.- Calcula

a) 3 2 b) 3 c) 4 3x d) 2x

5.Extracción de factores : La operación producto de radicales nos va a permitir

descomponer en factores el radicando y extraer del signo radical los factores que

tengan raíces exactas:

Ejemplos: 222·22·22·228 223

263·2·23·2·23·2·23·272 222223


Pág. 18

Nota: De igual forma que podemos extraer factores de los radicales podemos

introducir factores en el radical sin más que elevarlos al índice del radical

Ejemplos: 2·626 2

3 33 4·343

Ejercicio 21.-Contesta a cada uno de los apartados siguientes:

a) Extraer factores de los siguientes radicales:

45,162,75,6·16,18

b) Introducir factores en el radical:

23

2,32,34,52 3

6. Suma de radicales: la suma de radicales solo es posible si estos son idénticos:

Ejemplo: 33233252213235222

Ejercicio 22.- Suma los siguientes radicales:

a) 3253352 b) 2332222

Ejercicio 23.- Suma los siguientes radicales: (al no ser idénticos debes extraer factores y ver cuales lo son)

a) 27238752 b) 1288322

Productos Notables.

Cuadrado de una suma: La expresión (a + b)2

se lee a mas b elevado al cuadrado.

Esta potencia o producto es tan habitual en matemáticas que solemos memorizar su

producto:

(a +b)2 = ( a + b) (a + b) = a

2 + a b + b a + b

2 = a

2 + 2 a b + b

2

Y se dice “ el cuadrado de una suma es igual al cuadrado del primero mas dos veces

el primero por el segundo mas el cuadrado del segundo”

Cuadrado de una diferencia: La expresión (a - b)2

se lee a menos b elevado al

cuadrado. Esta potencia o producto es tan habitual en matemáticas que solemos

memorizar su producto:

(a -b)2 = ( a - b) (a - b) = a

2 - a b - b a + b

2 = a

2 - 2 a b + b

2


Pág. 19

Y se dice “el cuadrado de una diferencia es igual al cuadrado del primero menos

dos veces el primero por el segundo mas el cuadrado del segundo”

Diferencias de cuadrados. A la expresión ( a + b) ( a – b) se le llama suma por

diferencia y su producto es igual a la diferencia de los cuadrados:

( a + b) (a - b) = a2 + a b - b a - b

2 = a

2 - b

2

Ejemplos:

625362233·2223322232 22222

13232323232 2222

Ejercicio 24.- Calcula los siguientes productos:

a) 2

232 b) 2

52 c) 2

23 d) 2

221

e) 2

3322 f) 2

432 g) 2

252 h) 2

522

i) 2525 j) 523523

k) 2222 l) 327327

m) 221221 n) 2323

Ejercicio 25.- Desarrolla los siguientes productos:

a) 5·32 b) 5·25 = c) 52·3 d) 722·22

f) 72332 g) 2522 h) 32·32 = i) 53·53 =

j) 25·25 k) 232·232 = l) 27·27


Pág. 20

Denominadores Irracionales. Racionalizar :

Cuando en las expresiones fraccionaria los denominadores son números irracionales,

es conveniente convertirlos en racionales, es decir Racionalizar, para facilitar las

operaciones.

Veremos dos casos:

a) Si en el denominador aparece un radical cuadrático , multiplicamos numerador

y denominador por dicho radical, y así obtendremos una fracción equivalente a

la anterior pero que carece de radical en el denominador, es decir

racionalizada:

Ejemplo: 2

65

2

2·35

2

2·

2

35

2

35

2

b) Si en el denominador de la fracción aparece una suma o resta de radicales

cuadráticos, multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del

denominador, y así obtendremos una fracción equivalente a la anterior pero que

carece de radicales en el denominador, es decir racionalizada:

Llamamos conjugado de la expresión a + b a la expresión a –b, y reciproco,

conjugado de a –b a la expresión a + b.

Ejemplo:

4

146

73

146

73

732

73

73·

73

2

73

222

Ejercicio 26.- Racionaliza el denominador y simplifica el resultado:

a) 3

5 b)

2

32 c)

25

33 d)

2

32 e)

32

231

f)32

3 g)

322

23= h)

32

32 i)

122

332 j)

52

52


Pág. 21

Repaso 3º E.S.O.:

1.- Simplifica los siguientes radicales:

a) 3 62 b) 12 48 c) 18 125 d) 12 62 e) 15 103 f) 10 152

solución: a) 4 b) 2 c) 3 25 d) 2 e) 3 23 f) 2222 3

2.- Extrae fuera de la raíz todos los factores posibles:

a) 12 b) 200 c) 75 d) 3 40 e) 20 f) 63

g) 45 h) 80 i) 50 j) 3 16 k) 4 64 l) 3 40

solución: a) 32 b) 210 c) 35 d) 3 52 e) 52 f) 73 g) 53 h) 54 i) 25

j) 3 22 k) 22 l) 3 52

3.- Realiza las siguientes operaciones:

a) 23508 b) 832 c) 25032 d) 12375

e) 208055 F) 228125027

solución: a) 24 b) 22 c) 28 d) 36 e) 53 f) 2535

4.- Calcula los siguientes productos de raíces:

a) 322 b) 250 c) 33 4025 d) 4 33 2 22 e) 825 f) 36 2 255

solución: a) 8 b) 10 c) 10 d) 12 522 e) 10 722 f) 5

5.- Reduce los siguientes radicales utilizando las propiedades:

a)3

33 2

b)3 3

9 c)

2

165

d)3

7294

solución: a) 6 3 b) 3 23 c) 10 32 d) 3

6.- Racionaliza:

a)3

1 b)

8

1 c)

3 3

1 d)

3

23

e)5 128

10 f)

31

3 g)

25

1 h)

28

2

solución: a) 3

3 b)

4

2 c)

3

33 2

d) 6 e) 2

255 3

f) 2

33 g)

3

25 h) 1


Pág. 22

UNIDAD II. TRIGONOMETRÍA

1. Introducción

2. Concepto de ángulo. Medidas: sistema sexagesimal y S.I.

3. Razones trigonométricas de ángulos agudos. Cálculo de las razones de los ángulos de

30º, 45º y 60º.

4. Relaciones fundamentales.

5. Ampliación del concepto de ángulo. Sentido de giro: Ángulos positivos y negativos.

6. Razones de un ángulo cualquiera. Reducción a las razones de un ángulo conocido del

primer cuadrante.

Introducción.

El origen de la palabra trigonometría proviene del griego. Es la composición de las

palabras griegas trigonon: triángulo y metron: medida; trigonometría: medida de los

triángulos.

Se considera a Hiparco (180-125 a.C.) como el padre de la trigonometría

debido principalmente por su hallazgo de algunas de las relaciones entre los lados y los

ángulos de un triángulo. También contribuyeron a la consolidación de la trigonometría

Claudio Ptolomeo y Aristarco de Samos quienes la aplicaron en sus estudios

astronómicos. En el año 1600, el profesor de matemáticas de Heidelberg (la universidad

más antigua de Alemania) Bartolomé Pitiscus (1561-1613), publicó un texto con el

título de Trigonometría, en el que desarrolla métodos para la resolución de triángulos.

El matemático francés François Viète (1540-1603) hizo importantes aportes hallando

fórmulas trigonométricas de ángulos múltiples. Los cálculos trigonométricos recibieron

un gran impulso gracias al matemático escocés John Neper (1550-1617), quien inventó

los logaritmos a principios del siglo XVII. En el siglo XVIII, el matemático suizo

Leonard Euler (1707-1783) hizo de la trigonometría una ciencia aparte de la

astronomía, para convertirla en una nueva rama de las matemáticas.

Originalmente, la trigonometría es la ciencia cuyo objeto es la resolución

numérica (algebraica) de los triángulos. Los seis elementos principales en todo triángulo

son sus tres lados y sus tres ángulos. Cuando se conocen tres de estos elementos, con tal

que al menos uno de ellos sea un lado, la trigonometría enseña a solucionar el triángulo,

esto es, a encontrar los otros tres elementos. En este estado de la trigonometría se

definen las funciones trigonométricas (seno, coseno, tangente, etc.), de un ángulo agudo

en un triángulo rectángulo, como las razones entre dos de los lados del triángulo; el

dominio de definición de estas funciones es el conjunto de los valores que puede tomar

el ángulo [0, 180].

Sin embargo, el estudio de la trigonometría no limita sus aplicaciones a los

triángulos: geometría, navegación, agrimensura, astronomía; sino también, para el

tratamiento matemático en el estudio del movimiento ondulatorio, las vibraciones, el

sonido, la corriente alterna, termodinámica, investigación atómica, etc. Para lograr esto,

se debe ampliar el concepto de función trigonométrica a una función de una variable

real, en vez de limitarse a una función de ángulos.


Pág. 23

Ángulo es la parte del plano que delimitan dos semirrectas con el mismo origen.

El origen de las dos semirrectas es el vértice del ángulo. Y las dos semirrectas son los

lados.

Ejercicio 1.- Dibuja un ángulo y nómbralo escribiendo una letra mayúscula en el

vértice.

Ejercicio 2.- Dibuja dos rectas secantes y señala seis ángulos diferentes. ¿Cuál es su

vértice?

Ejercicio 3. Ahora vas a dibujar un ángulo igual a otro. Para ello sigue las

instrucciones:

Dibuja un ángulo cualquiera de vértice P.

Elige un punto cualquiera Q del plano.

Traza las paralelas por Q a los lados del ángulo P.

¿Observas algún ángulo igual a P? ¿Cuántos?

El transportador:

Para medir con el transportador debes hacer coincidir el punto del centro con el

vértice del ángulo y colocar el cero sobre un lado; de esta manera el otro lado coincide

con la regla graduada. Utiliza la escala adecuada al ángulo a medir, de izquierda a

derecha o de derecha a izquierda.

Ejercicio 4.- Mide los siguientes ángulos con tu transportador:

Veamos como clasificamos los ángulos comparándolo con el ángulo recto y con el

llano.

Ángulo agudo Ángulo obtuso Ángulo convexo Ángulo cóncavo

º90 18090 º180 º180

Ejercicio 5.- Dibujando

a) Dibuja un ángulo agudo y otro obtuso que mida el doble.

b) Dibuja un triángulo que tenga un ángulo agudo y otro obtuso. ¿Cómo es el

tercer ángulo?

c) Dos rectas no alineadas y con el mismo origen ¿Determinan un ángulo cóncavo

y otro convexo?

d) Un ángulo cóncavo ¿puede ser agudo?

e) Un ángulo agudo ¿es convexo? ¿Y cóncavo?

f) Un ángulo convexo ¿puede ser agudo? ¿y obtuso?


Pág. 24

Operando con ángulos en la calculadora: ( modo grados:DEG )

Utilizamos el registro º º º cada vez que introduzcamos los grados, minutos y

segundos: por ejemplo para calcular: 71º 28´45´´ - 23 º 22´ 12 ´´ =

Comenzaremos por escribir 71 pulsar º º º , 28 pulsar º º º 45, pulsar º º º y

aparecerá en la pantalla 71,47916667 , es decir ha convertido todo el ángulo en

grados, a continuación operación restar (signo menos) y escribimos el ángulo 23

pulsar º º ºº, 22 pulsar º º ºº , 12 pulsar º º ºº y aparecerá en la pantalla 23,37, es decir

ha convertido el ángulo en grados, seguido pulsando el signo igual y nos da

48,10916667 que si queremos obtenerlo en grados, minutos y segundo, solo tendremos

que pulsar “shift” y º º ºº aparecerá 48º 6º 33.

Ejercicio 6. Calcular.

a) 12º 11´ 23 ´´ + 162º 22 ´12´´ = b) 2 · 23 º 56´45´´ =

Ángulos complementarios y suplementarios.

Dos ángulos son complementarios cuando las sumas de sus amplitudes es 90º.

a) Los ángulos agudos de un cartabón ¿son

complementarios?

b) ¿El complementario de 27º 45´ es 32º 15´?

c) Calcula la medidas de los complementarios de :

25º ; 27º 14´ ; 39º 18´ 13´´ ;

Dos ángulos son suplementarios cuando la suma de sus amplitudes es de 180º.

a) El suplementario de 38º 25´ es de 141º 35´

Compruébalo.

b) Agrupa los siguientes ángulos por parejas de

suplementarios:

95º; 73º 24´, 106º 36´, 85º, 73º 24´, 106º 59´36´´

c) ¿Cuánto miden los suplementarios de los siguientes

ángulos?

38º 23´, 110º38´, 55º 20´32´´.


Pág. 25

Ángulos alternos externos 1 y 8, 2 y 7 son pares de ángulos alternos externos en

la figura que se muestra a la derecha (Lección 4.2).

Ángulos alternos internos 3 y 6, 4 y 5 son pares de ángulos

alternos internos en la figura que se muestra a la derecha..

Ángulos congruentesDos ángulos son congruentes si y sólo si tienen la

misma medida.

Ángulos consecutivosDos ángulos de un polígono que comparten un

lado común

Ángulos correspondientes 1, 5, 2 y 6, 3 y 7, 4 y 8 son pares de ángulos

correspondientes en la figura que se muestra a la derecha

Ángulos internos consecutivos 4 y 6, 3 y 5 son pares de ángulos internos

consecutivos en la figura que se muestra arriba a la derecha.

Ángulo centralÁngulo cuyo vértice es el centro de una circunferencia y cuyos lados

contienen a los radios de ésta.

Ángulo de depresiónSi una persona está mirando hacia abajo, entonces el ángulo visto

desde la horizontal hacia abajo a la línea de visión se denomina ángulo de depresión.

Ángulo de elevaciónSi una persona está mirando hacia arriba, entonces el ángulo de

la horizontal a la línea de visión se denomina ángulo de elevación.

Ángulo de rotaciónUn número, por lo general en grados, que describe un movimiento

de giro alrededor de un centro dado.

Ejercicio 7.- a) Calcula el ángulo suplementario de 23º 32´32´´

b) Calcula el ángulo complementario de 46º 45´27´´

Ejercicio 8.- A la vista del siguiente dibujo y recordando lo visto anteriormente sobre

ángulos alternos internos y alternos externos. ¿Podrías demostrar que la suma de los

ángulos interiores de un triángulo es 180º?

Ejercicio 9.- Utiliza tu calculadora y calcula el ángulo A en cada caso,

35º 22´ 15 ´´

A

65º 25º32´16´´

A A


Pág. 26

Teorema de Thales: Si varias paralelas cortan a dos transversales, determinan sobre

ellas segmentos proporcionales. O

A B

´´´´ BA

AB

OB

OB

OA

OA A´ B´

Ejercicio 10.- En tu cuaderno dibuja una escena similar a la anterior (emplea toda la

página; cuanto mayor sea el dibujo mejores resultados obtendrás). Con una regla mide

cuidadosamente los segmentos determinados en las dos rectas y calcula sus razones. ¿Se

sigue verificando el teorema de Thales? Razona tu respuesta.

Fíjate que de OA/OA' = OB/OB'

Deducimos OA · OB' = OB · OA' (producto de medios = producto de

extremos)

Y de aquí OA/OB = OA'/OB'

Obtenemos así otra forma de enunciar el Teorema de Tales:

Teorema de Thales (Segundo enunciado): Cuando dos rectas secantes son cortadas

por una serie de paralelas, la razón entre dos segmentos de una de las rectas es igual a

la razón entre los segmentos correspondientes de la otra recta.

En el caso de la escena: OA/OB = OA'/OB'

AB/OB = A'B'/OB'

etc.

Semejanza:

Dos triángulos son semejantes si tiene los lados proporcionales y los ángulos iguales

Dos triángulos son semejantes si cumplen unas condiciones mínimas que se

conocen como criterios de semejanza. Estos son:

- Si dos triángulos tienen los lados proporcionales, son semejantes

- Si dos triángulos tienen dos ángulos iguales, son semejantes.

- Si dos triángulos tienen un ángulo igual y los lados que lo forman

proporcionales, son semejantes.

Ejercicio 11.-Los lados de un triángulo ABC miden 30, 40 y 50 m y los lados de otro

triángulo HIJ son 12, 16 y 20 cm. Estudia si los dos triángulos son semejantes,

justificando tu respuesta.

Ejercicio 12.-Dados los triángulos MNP y MŃ´P´ completa los datos de la figura:

P P´ N´

M N M´

P = 70º M = 60º N´= 50 º M´= 60 º

MP = 14,5 ; PN =16,6 ; MN = 18; MŃ´= 8


Pág. 27

TEOREMA DE PITÁGORAS En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la

hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

a c c 2

= a 2 + b

2

b

Cada uno de los sumandos, representa el área de un cuadrado de lado, a, b, y c. Con lo

que la expresión anterior, en términos de áreas se expresa en la forma siguiente: El

área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo, es igual

a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.

Una de las demostraciones más antiguas e intuitivas sobre el teorema de Pitágoras es

la siguiente, que puede seguirse fácilmente a partir de la construcción gráfica que se

muestra:

Partimos del triángulo rectángulo cuya área es 1/2 a b.

A continuación construimos un cuadrado cuyo proceso se describe en el gráfico

anterior

El lado del cuadrado así obtenido es a + b y su área es:

A = (a + b) 2

.

Dicho cuadrado consta de cuatro triángulos rectángulos cuya área es:

A 1 = 4 ( 1/2 a b) = 2 a b

y un cuadrado interior de lado c cuya área es: A 2 = c 2

Igualando ambas áreas tendremos: A = A 1 + A 2 ; luego (a + b) 2

= c 2

+ 2 a

b

por lo que: a 2

+2 a b + b 2

= c 2

+ 2 a b y reduciendo términos semejantes: a 2

+ b 2

= c 2


Pág. 28

Ejercicio 13.-Dibuja un ángulo de 30º en una hoja de papel cuadriculado, y en uno de

sus lados señala los puntos A, A´, y A ´´ Y traza por ellos perpendiculares al otro lado,

que lo cortarán en los puntos B , B´ y B ´´ . En la forma siguiente:

Como verás se forman tres triángulos rectángulos semejantes AOB , AÓB´ , A´Ó B´´.

Utilizando tu regla y toma las medidas que se indican con la mayor precisión posible:

Ängulo de 30º

hipotenusa

opuestocateto

hipotenusa

contiguocateto

contiguocateto

opuestocateto

AOB

AÓB´

A´Ó B´´ (Cateto opuesto y cateto contiguo al ángulo considerado)

Repite el proceso para ángulos de 45º y 60 º

A´´

B´´

A´

B´ B

A

O


Pág. 29

2. Consideremos el plano y en él, dos rectas secantes. Como vemos se divide el plano en

cuatro regiones o zonas (iguales dos a dos): pues bien, llamemos ÁNGULO a cada una

de dichas regiones; o de otra forma, si consideramos dos semirrectas con el origen

común, llamamos ángulo a la región limitada por ambas semirrectas.

Definición: A cada una de las semirrectas se les llama

lados del ángulo y al origen común, vértice.

´

Como vemos en el dibujo podríamos considerar que

existen dos regiones angulares que comparten los lados y el

vértice; por ello a partir de ahora para saber a qué zona nos

referimos pondremos una especie de arco o curva dentro del ángulo para saber a cuál

nos referimos.

Medidas de ángulos. Sistema sexagesimal y S.I.

Si al considerar las rectas secantes del comienzo, se forman cuatro regiones

angulares iguales, decimos que las rectas son perpendiculares y a cada trozo lo

llamamos ángulo RECTO.

En principio, este podría ser nuestra unidad de medida, pero al ser muy grande,

la comparación con otros ángulos por lo general serían números decimales menos que la

unidad y por lo tanto poco práctico para trabajar. Por ello, vamos a dividir el ángulo

recto en 90 partes iguales y cada una de ellas le llamaremos GRADO SEXAGESIMAL.

Cada grado lo dividimos en 60 partes iguales que dan lugar al MINUTO

SEXAGESIMAL. Cada minuto se divide en 60 partes y obtenemos el SEGUNDO

SEXAGESIMAL. (SEX.)

Ejercicio 1: ¿Cuántos minutos hay en 5º? ¿Cuántos segundos? ¿Cuántos grados son

14 400’? ¿y 7 280’’?

Sin embargo, existe otra unidad de medida llamada

RADIÁN. Tracemos una circunferencia de centro O y radio a,

decimos que el ángulo POQ mide un radián y escribimos 1 rad si

el arco PQ que abarca mide lo mismo que el radio, es decir, a.

(S.I.).

2

3

1

4

P

a O a

a

Q


Pág. 30

CAMBIO DE UN SISTEMA A OTRO:

El ángulo central completo en SEX tendrá 4·90º = 360º

En el S.I.: por una regla de tres:

Si a un arco con a cm. 1 rad

para longitud de circunferencia 2 a x rad

x = 2 a

a x = 2 rad.

Ejercicio 2: ¿Cuántos radianes son 30º, 45º, 60º, 90º y 180º ?

Ejercicio 3: ¿Cuántos grados son 3

2 rad,

2 rad y

3

4 rad?

Razones trigonométricas de ángulos agudos.

Consideremos un triángulo rectángulo (con el ángulo recto en C):

Definimos las siguientes razones trigonométricas:

Si observamos la siguiente figura, para esa abertura del ángulo el

cateto opuesto es siempre la mitad del contiguo, luego la razón entre ellos, siempre se

conserva:

Es decir, las razones, de un ángulo son siempre las mismas, sin importar el

triángulo rectángulo considerado.

a

bˆ

c

aˆcos

c

bˆ

contiguocateto

opuestocatetoBtg

hipotenusa

contiguocatetoB

hipotenusa

opuestocatetoBsen


Pág. 31

Lo anterior también se cumple si el triángulo lo

consideramos dentro de una circunferencia de radio c.

Esa situación es la que consideraremos al ampliar el

concepto de razón trigonométrica para ángulos no agudos.

Cálculo de las razones de los ángulos de 30º, 45º y 60º.

A continuación vamos a calcular las razones trigonométricas de los ángulos de 30º, 45º

y 60º.

Si partimos de un triángulo equilátero (los tres lados

iguales y los tres ángulos iguales, 60º), la altura podría

calcularse por PITÁGORAS:

2

3

4

3

4

3

42

2222

222 ll

hll

ll

lh

Entonces:

3

3

3

1

32

2

23

2º30

º602

323

º30cos

º60cos2

1

2

2º30

l

l

l

l

tg

senl

l

l

l

l

l

sen

Si queremos calcular los de 45º, partimos de un cuadrado:

1º45

º45cos2

2

2

1

2º45

222 22222

l

ltg

l

lsen

lldllld

30º 60º 45º

sen

cos

tg


Pág. 32

Uso de la calculadora para el cálculo de las razones trigonometricas:

Solo tienes que escribir el ángulo y después la razón pedida:

(Uso de los registros sin, cos y tan)

sen 45º = ( 45º y pulsar: sin) = 0,707106781

Ejercicio 4.- Obtener con cuatro cifras significativas, usando la calculadora, los valores

siguientes:

sen 23º 12´34´´ = cos 45º 24´´ 12 ´´ = tg 65º 23´22´´ =

Uso de la calculadora para el cálculo de un ángulo, conocidas las razones

trigonométricas:

Solo tienes que escribir la razón y después “shift” (recíproca) de la razón pedida:

(Uso de los registros sin, cos y tan)

sen A = 0,707106781,

y quiero saber cuál será el ángulo que tiene por seno 0,70 71 06 781, que en

matemáticas se escribirá:

A = arc sen 0,70716781

Con la calculadora escribiremos 0, 707167 81 a continuación “shift“ “ sin” =, y

aparecerá 45,00494528 que serán grados, y si queremos ver los grados minutos y

segundos º ´´´ , utilizaremos “shift” y “ º ´´´ “, y aparecerá 45º 0º 17,8

Ejercicio 5.- Obtener en grados, minutos y segundos, que ángulos corresponden a las

siguientes razones.

sen B = 0,3973 cos C = 0, 3457 tg D = 1,2345

Ejercicio 6. - Resuelve los siguientes triángulos rectángulos teniendo en cuenta los

datos de las figuras:

C A

C

C B=60º

A B =35º a=100 m.

b=10m. B =73º A

c =7m.

Ejercicio 7. - De un triángulo rectángulo en A se conocen el ángulo C = 80º y la

hipotenusa cuyo valor es de 13 cm. Calcula el resto de los valores de ángulos y lados

del triángulo.

Ejercicio 8. - De un triángulo rectángulo se conocen la hipotenusa y un cateto cuyos

valores son 13 y 5 cm., respectivamente Calcula el resto de los valores.

Ejercicio 9. - De un triángulo rectángulo se conocen los catetos cuyos valores son 8 y

6 cm. Calcula el resto de los valores.


Pág. 33

Relaciones fundamentales de la trigonometría.

Deduciremos la FÓRMULA FUNDAMENTAL DE LA TRIGONOMETRÍA:

c

aˆcos

c

bˆ

B

Bsen

Elevando al cuadrado

2

222

2

222

aˆcosˆcos

bˆˆ

cBB

cBsenBsen

222

2

2

2

22

2

2

2

222

c :Pitágoras de Teorema elPor

1cbabˆcosˆ

ba

cc

a

ccBBsen

FÓRMULA FUNDAMENTAL DE LA

TRIGONOMETRÍA

Si tomamos la definición de tangente:

B

BsenBtg

ˆcos

ˆ

c

ac

b

a

bˆ

dividimos numerador y denominador por c.

Atendiendo a las definiciones de Bec ˆcos , B̂sec y cotg B̂ (razones

trigonométricas inversas a Bsen ˆ , B̂cos y Btg ˆ respectivamente):

A partir de la FÓRMULA FUNDAMENTAL DE LA

TRIGONOMETRÍA

dividimos por Bsen ˆ2

1ˆcosˆ 22 BBsen

B

BsenBtg

ˆcos

ˆˆ

BsenBec

ˆ

1ˆcos B

Bˆcos

1ˆsec BtgBg

ˆ

1ˆcot


Pág. 34

1ˆcosˆ 22 BBsen BsenBsen

B

Bsen

Bsen

ˆ

1

ˆ

ˆcos

ˆ

ˆ

22

2

2

2

obtenemos:

O bien si dividimos por B̂cos2 , resulta:

1ˆcosˆ 22 BBsen BB

B

B

Bsen

ˆcos

1

ˆcos

ˆcos

ˆcos

ˆ

22

2

2

2

obtenemos:

Ampliación del concepto de ángulo. Sentido de giro. Ángulos positivos y negativos.

La interpretación geométrica de ángulo “como región plana” sólo permite expresar

ángulos menores o iguales a 360º.

Supongamos que un móvil se desplaza en una circunferencia de radio r partiendo de A y

girando en sentido contrario a las agujas del reloj.

Si el sentido de giro es contrario al de las agujas del reloj, se dice que los

ángulos son positivos y su medida es un número positivo.

Si el sentido de giro es el mismo que el de las agujas del reloj, a los ángulos se

les pone el signo menos delante para distinguirlos de los positivos, y su medida es un

número negativo.

Ejercicio 4:

Expresar los siguientes ángulos como suma de un número entero de vueltas y un

ángulo menor de 360º:

a) 720º b) 3 000º c) 900º d) 1 120º e) 2 520º

NOTA: Se divide cada ángulo por 360º. El número de vueltas es el cociente y el ángulo menos de 360º es el resto.

5. Las definiciones de seno, coseno y tangente se extienden ahora a un ángulo

cualquiera. Para ello se utiliza un sistema de coordenadas cartesianas OXY y una

circunferencia con centro en O y radio r. Cada ángulo se representa tomando como

vértice el centro, como lado fijo OX y como segundo lado la semirrecta OA, siendo A el

punto que determina este lado sobre la circunferencia.

Ángulo agudo positivo.

En este caso las razones trigonométricas se definen en el triángulo

OAA’, como se ha hecho anteriormente:

r

ysen

r

xcos

x

ytg

- Si el móvil se detiene en P,

el arco recorrido es AP y la

región angular la determinada

por AOP.

- Si el móvil no se detiene en P, sigue

girando, pasando por A y parándose en la

segunda vuelta en P, el camino recorrido es

una vuelta entera más el arco AP, es decir,

360º + AP.

- Si el móvil da k vueltas antes

de detenerse en P, entonces el

camino recorrido será

k·360º + AP.

BecBg ˆcosˆcot1 22

BBtg ˆsec1ˆ 22


Pág. 35

Razones de un ángulo cualquiera. Reducción a las razones de un ángulo conocido

del primer cuadrante.

Las coordenadas de los puntos A del 2º, 3º y 4º cuadrante no siempre son

positivas, por lo que las razones de los ángulos serán a veces negativas.

Las razones definidas, no dependen del radio de la circunferencia elegida

ya que los triángulos rectángulos son semejantes por tener el ángulo común.

Los valores del seno y el coseno pertenecen al intervalo 1 1,- , si x = 0 no hay

tangente ( = 90º y = 270º).

1º cuadrante 2º cuadrante 3º cuadrante 4º cuadrante

seno positivo positivo negativo negativo

coseno positivo negativo negativo positivo

tangente positivo negativo positivo negativo

Finalmente para el razonamiento de las razones de 0º, 90º, º80º, 270º y 360º,

veremos como serían el cateto opuesto y contiguo en un triángulo “límite” donde el lado

se reduce a un punto.

0º 90º 180º 270º 360º

seno

coseno

tangente

Ejercicio 5:

Expresar las razones trigonométricas de 135º, 225º y 315º conocidas las de 45º.


Pág. 36

Ejercicios y problemas de trigonometría.

1. Calcula las razones trigonométricas de los ángulos agudos A y B de un triángulo

rectángulo cuyos catetos son a = 3 cm y b = 4 cm.

2. Resuelve los siguientes triángulos, si conoces:

a) La hipotenusa a = 6,4 cm. y el cateto c = 3,8 cm.

b) Un cateto b = 10,5 cm y el ángulo B = 60º.

3. Calcula las restantes razones trigonométricas sabiendo que:

a) cos º º4

5270 360

b) sen º º1

390 180

c) tan 4 0 90º º

d) sen º º1

2180 270

4. Calcula las siguientes razones trigonométricas a partir de las razones conocidas:

a) sen (-120º) b) cos (-30º) c) tan (-150º) d) sen 4 500º

e) cos 6

f) sen 3

4 g) tan

2 h) sen 11

5. Un escalera de 6 m. está apoyada en la pared formando un ángulo de 60º con el suelo.

¿Qué altura alcanza?

6. Una carretera tiene el perfil como se muestra el dibujo. ¿Qué ángulo forma con la

horizontal? ¿Cuánto habremos subido si recorremos 200 m.?

7. Queremos hallar la altura de una torre: observamos desde A con un ángulo de 30º y

desde B con 45º. La distancia AB = 80 m.

8. Desde A y B vemos una antena bajo ángulos de 60º y 30º. La distancia entre A y B es

de 126 m. y la antena está alineada con ambos puntos. Calcula la altura de la antena.

9. Desde la orilla de un río se ve la copa de un árbol en la otra orilla bajo un ángulo de

60º y si se retrocede 40 m, se ve bajo un ángulo de 30º. Halla la altura del árbol y la

anchura del río.


Pág. 37

REPASO

1.- Desde un faro situado a 120 m sobre el nivel del mar se ve un barco bajo un ángulo

de depresión de 35º ¿A que distancia está el barco del faro?

2.-Desde la orilla de un río se ve un árbol en la otra orilla bajo un ángulo de 45º y si se

retrocede 40 m, se ve bajo un ángulo de 30º. Halla la altura del árbol y la anchura del

río.

3.- Completa la tabla que sigue sabiendo que I cuadrante. Razona la respuesta. ( No

utilizar calculadora)

180 180 90

sen 0,2

cos

4.- Responde si son verdaderas o falsas las siguientes igualdades:

a) sen = 1,23 b) cos = 1,032 c) tg = 2

Razona tus respuestas.

5.- Calcula los ángulos de un rombo cuyas diagonales son 23 y 12 cm.

6.- De un triángulo isósceles se conoce el valor de su altura, 35 m. y el ángulo opuesto a

la base 121 º 23 ´´ Calcula el valor de sus lados, de sus ángulos, su área y perímetro.

7.-Calcula el valor de la apotema de un pentágono regular de 14 cm. de lado.

8.- Desde una altura de 11.000 pies un piloto de un airbus observa la luz del aeropuerto

de Jerez bajo un ángulo de depresión de 44º 21´23´´. Calcula la distancia entre el airbus

y la torre del aeropuerto.

9.- Calcula la pendiente de una carretera que sube 275 m en una longitud de 3 km.

10.- Desde un punto A determinado se ve una torre bajo un ángulo de elevación de 37º,

y si se retrocede 45 m. se ve bajo un ángulo de17º. Calcula la altura de la torre.

11.- ¿Qué es un radián? ¿Cuál es su valor?

Expresa los siguientes ángulos como un número entero de vueltas y un ángulo menor de

360º, e indica el signo de sus razones trigonométricas. Sitúalas en la circunferencia

goniométrica: .4

13rad y 900 º

12.- Al crecer un ángulo de 0º a 90º que ocurre con el seno coseno y tangente de dicho

ángulo aumentan o disminuyen. Razona tu respuesta.

13.- Dados los triángulos: ABC y A'B'C' y los siguientes datos A = 38º B = 42º B'=42º

C' = 100º a= 12 cm b=16 cm c = 20 cm a'= 30 cm Estudia si los dos triángulos son

semejantes justificando tu respuesta y completa los datos.

14.- Si las dos ramas de un compás forman un ángulo de 60º y las ramas tienen 12 cm

de longitud, halla el radio de la circunferencia que puede trazarse.

15.- La longitud de los lados de un octógono regular es de 12 m. Halla su área.


Pág. 38

16.- Calcular el valor “x” en los siguientes casos:

a) sen x = -1/2 b) cos 2 x = - 1 c) sen x =2

3

17.-Calcula el lado de un triángulo equilátero de altura 6 cm.

18.- Obtener las razones trigonometricas de los siguientes ángulos reduciéndolas

previamente al primer giro.

3425º 12437º 390º

Ángulos de 1º giro

Signo del sen

Signo del cos

Sitúa los ángulos en la circunferencia gonimétrica dibujando los segmentos que

corresponden a los senos y cosenos.

19.- La distancia de un cañón a una carretera es de 15 Km. Si el alcance es de 35 Km.,

¿qué longitud de carretera puede barrer el cañón?

20.- Si las dos puntas de las ramas de un compás distan 7 cm., y cada rama mide 12 cm.

Hala el ángulo que forman las dos ramas del compás.

21.-Desde un acantilado, situado a 32 m. sobre el nivel del mar, se divisan dos

embarcaciones. Los ángulos de depresión son de 28º para el velero y de 34º para una

motora. Sabrías calcular la distancia entre ambas embarcaciones.

22.- La base de un triángulo isósceles mide 20 cm. y el ángulo opuesto 80º. Calcula los

lados y el área del triángulo.

23.-La longitud del lado de un octágono regular es de 12 m. Halla los radios de la

circunferencia inscrita y circunscrita.

24.- Desde una nave espacial se ve la tierra con un ángulo de 29º 9´48´´. Siendo el radio

de la tierra 6366 Km., halla la distancia de la nave a la superficie terrestre.

25.-Desde un cierto punto del suelo se ve el punto mas alto de un edificio formando un

ángulo de 31º 22´ con la horizontal. Si nos acercamos 75 m. hacia el edificio, ese

ángulo mide 59º 12 ´32´´. Halla la altura del edificio.

26.- Simplifica las siguientes expresiones trigonometricas.

tgsena

1) b)

sen1

cos2

c) 23 cossensen

27.- ¿Qué relación existe entre el seno de un ángulo y el coseno de su complementario?

Justifica tu respuesta.

28.- Si un ángulo mide 1,5 radianes ¿es mayor o menor que un recto?

29.- Desde un avión situado a 300 metros sobre el nivel del suelo se hacen

observaciones de un lago obteniendo los resultados que se muestran en la figura.

Calcule la longitud del lago.


Pág. 39

Autoevaluación

1.- Define y dibuja dos ángulos complementarios, suplementarios, y consecutivos.

2.- Criterios de semejanza de triángulos.

3.- ¿Qué es un radián? Expresa en radianes 1º y en grados 1 rad.

4.- Verdadero o falso ¿Por qué?

El seno de un ángulo puede ser mayor que uno

La tangente de un ángulo puede ser igual que 1.

El seno de un ángulo puede ser igual a 1

La tangente de un ángulo solo puede ser positiva

5.- ¿Qué relación existe entre el seno de un ángulo y el seno de su suplementario? ¿Y

entre los cosenos? Justifica tu respuesta.

6.- Comprueba si es verdad que sena

a

a

sena

1

cos

cos

1

7.- ¿Cuánto miden los catetos de un triángulo rectángulo isósceles sabiendo que su

hipotenusa mide 10 cm?

8.- Sabiendo que el sen 5

3 y que II cuadrante, calcula las demás razones

trigonométricas?

9.- Calcular la longitud de la sombra de la Torre Eiffel ( altura 300 m.) cuando la

inclinación de los rayos solares es de 14º (sobre el horizonte).

10.- Los árboles mas grandes del mundo nacen en el Redwood National Park de

California su altura es mayor que el largo de un campo de fútbol. Encontraremos la

altura de estos árboles con las siguientes mediciones: Desde un determinado punto se

ve la parte más alta de la copa con un ángulo de 44º y si retrocedemos 100 pies se ve

bajo un ángulo de 37º10´. Encontrar la altura de estos árboles en metros.

11.- ¿Qué relación existe entre el seno de un ángulo y el coseno de su complementario?

Justifica tu respuesta.

12.- En un triángulo ABC se conocen el lado BC = 10m., el ángulo ABC = 105º, y el

ángulo ACB que vale 30º. Halla los lados y el área.

13.- Dos lados adyacentes de una parcela en forma de paralelogramo de área 851 m 2

tienen unas longitudes de 30 y 80 metros. ¿Cuál es el valor del ángulo que forman

dichos lados?

14.- Calcula el lado de un pentágono regular inscrito en una circunferencia de radio 10

m


Pág. 40

UNIDAD III. EXPRESIONES ALGEBRAICAS.

Manejo de expresiones literales.

Escribe una expresión algebraica que represente las siguientes afirmaciones:

a) Un número impar.

b) La tercera parte del doble un número impar.

c) La triple del cuadrado de un número par.

d) La superficie de un hexágono cuyo lado es el doble de su apotema mas

dos unidades

e) La suma de los cuadrados de cualquier número y seis

f) El cuadrado de la suma de cualquier número y seis

g) El cuadrado del triple de un número.

h) El área de un triángulo que tiene de base el triple de la altura.

i) La mitad del cuadrado de cualquier número más seis.

j) La suma de dos números consecutivos.

k) El doble de la raíz cuadrada de un número

l) La tercera parte del cuadrado de cualquier número.

m) El producto de dos números consecutivos.

n) El volumen de un cilindro de radio x.

o) El precio de una piso es de x € ¿cuánto valdrá después de una subida

del 15%?

p) La hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos se diferencian en

2.

q) La diferencia de los cuadrados de un número y su mitad.

r) El cuadrado de la diferencia de un número y su triple.

s) La superficie de un cubo de arista x.

t) Si las dimensiones de un prisma recto rectangular son tres números

consecutivos, ¿Cuál es su área? ¿Y su volumen?

u) Tres números impares consecutivos.


Pág. 41

Definiciones

1.- Términos de una expresión algebraica. Término de una expresión algebraica es cada uno de los sumandos que constituyen la

expresión algebraica. Ejemplo: 3x2 + 2y – 3x+ 13- 5x

2 tiene cinco términos que son:

3x2; + 2y; – 3x; + 13; -5 x

2

2.-Coeficientes.

Son los valores numéricos que aparecen en cada uno de los términos de la expresión

algebraica.

Ejemplo: 3x2 + 2y – 3x+ 13- 5x

Coeficientes: +3 , + 2 , - 3 , +13 y - 5

3.-Indeterminadas o parte literal.

Son las letras que aparecen en la expresión algebraica.

Ejemplo: 3x2 + 2y – 3x+ 13- 5x

Las indeterminadas son x e y

4.-Términos semejantes Son los términos que se diferencian sólo en los coeficientes.

Ejemplo: 3x2 + 2y – 3x+ 13- 5x

2;

Términos semejantes -5 x2 y 3x

2 son semejantes

5.-Grado de un término.

Se llama grado al número de factores que forman la parte literal.

Por ejemplo en la expresión 3 x 2 + 2 y – 3 x y z + 13

3x2 ( x · x grado 2 ó segundo grado)

; + 2y ( y grado 1 o primer grado)

; – 3xy z(x · y · z tercer grado)

; + 13 (grado

cero);

6.-Grado de una expresión algebraica.

Es el mayor de los grados de los términos que lo forman. Ejemplo. Expresión

algebraica de tercer grado o polinomio de tercer grado:

3x3- 2x

2 + 4x+13

7.- Polinomios . son expresiones algebraicas del tipo:

a x 3

+ b x2

+ c x + d

Estas expresiones se llaman polinomios . Un polinomio es una expresión algebraica en

la que los exponentes de la parte literal son números naturales, es decir no hay ―x‖ en

los denominadores.

En general se les nombra con las letras P, Q , R … etc. seguida de un paréntesis en el

que figura la parte literal, en la forma P (x), Q (y) … se leen ― p de x‖, ― q de y‖ etc.

Ejemplos:

1) Polinomio de primer grado: P(x) = 3 x – 2

2) Polinomio de tercer grado: P (x) = 2 x3 + 2x

2 – 5 x +2

3) Polinomio de cuarto grado: P ( x) =3+2 x2 – 6 x

4

Los polinomios de los ejemplos 1 y 2 se dicen completos y ordenados porque figuran

todos los grados en orden decreciente de la parte literal, y el ejemplo 3 se dice

incompleto y desordenado, ya que le faltan los términos de primero y tercer grado.


Pág. 42

Ejercicio 1.- Escribe un polinomio de cuarto grado, en una indeterminada, completo y

además que el coeficiente del término de tercer grado sea 3, el coeficiente del término

de cuarto grado sea –4, el coeficiente del término de segundo grado sea -8, el

coeficiente del término de primer grado sea 2 y el de grado cero 9.

Ejercicio 2.- Escribe un polinomio de tercer grado completo, en una indeterminada, y

además con el coeficiente del término de segundo grado sea – 4, los términos de primer

grado y tercer grado tenga los coeficiente iguales a 1/3 y el término independiente –19

Valor numérico de un polinomio o expresión algebraica es el valor que toman estas

expresiones cuando se sustituyen las letras por números.

Ejemplo: Valor numérico del polinomio P(x)= x2- 3 x–2 para x = -2.

Se escribe: P (x) = x2 –3 x –2;

Para calcular el valor x = -2 se escribe P(-2) y se lee “ p de -2”

P(-2) = (-2)2 – 3 ·(-2) – 2 = 4+ 6 –2 = 8

Luego el valor de la expresión algebraica cuando la x vale -2 es 8. En matemáticas

esto lo escribimos de la siguiente forma: P(-2) = 8.

Ejercicio 3.-Calcula el valor numérico de los siguientes polinomios:

P(x) = -2 x 2 + 7 x - 1 Calcula: P(-

2

1), P ( -1) y P( 0)

Q(x) = x 2 –2 x – 2 x

3 Calcula: Q(

3

2), Q (-2) y Q ( -1)

R(x) = - 2 x + 3 x 3+

3

1 Calcula: R(

2

1), R ( -2 ) y R ( -1)

Operaciones con polinomios.

Suma y resta de Polinomios

Los términos de un polinomio se pueden sumar sólo si son semejantes (Son los

términos que se diferencian sólo en los coeficientes).

Ejemplo: Suma los términos semejantes:

x - 3 x + 7 x2 – 10 x +5 - 4 x

2 - 9 =

En esta expresión o polinomio los términos semejantes son: x, -3 x y - 10 x. Sumamos

pues los coeficientes 1 - 3 – 10 = -12

Otros términos semejantes son + 7 x 2 y - 4 x

2. Sumamos los coeficientes + 7 - 4 = +3

Otros términos semejantes son + 5 y -9 . Sumamos +5 – 9 = -4

La solución sería: x - 3 x + 7 x 2 – 10 x + 5 - 4 x

2 – 9 = - 12 x + 3 x

2 – 4

Ejercicio 4 . Reducir términos o sumar términos semejantes.

a) 2 x 2+ 2/3 x

3- 2 x

2- 8 x

3 - x

2= b) y –2 y - 1 - 8 y

2 – y – y

2 +2 =

c) –9 + y - y 2- 2 y + 2 y

2 – 3 = d) 2 x

2 – 3 x - 2/3 + x

2 - 4 x

2 – x

3 - 1=

Producto de términos. Para multiplicar los términos de una expresión algebraica se

multiplican primero los coeficientes y después la parte literal.

Ejemplo: -3x2 · 10 x = -3 · 10 · x

2· x = - 30 x

2+1 = - 30 x

3

Ejercicio 5. Calcula los siguientes productos:

a) 3

1x

2 · -5 x

3 · x = b) x · -

7

2x · 3 x

3 =


Pág. 43

Productos: a) El producto de un polinomio por un término se obtiene multiplicando el

término por cada uno de los términos de la expresión algebraica (recuerda cómo se

multiplican términos).

Ejemplo: (Fíjate bien)

( 2x2 – 3x + 12 ) · 2x

3 = 2x

2 · 2x

3 – 3x · 2x

3 + 12 · 2x

3 = 4x

2+3 – 6x

1+3 + 24x

3 =

= 4x5 – 6x

4 + 24x

3 .

Ejercicio 6.- Realiza los siguientes productos:

a) (-x 2 + x – 2) · - 3 x

2 = b) 2 x ( 3 x

2 – 7x

3 ) =

c) (-3

2 x – 2) · -

5

1 x

2 = d) -

2

3 y

2 (4 y – y

2 ) =

Productos de dos polinomios . Es el resultado de multiplicar todos los términos de un

de ellos por todos los términos del otro.

Ejemplo: ( - x2 + 2 x – 8 ) · ( 2 x

2 - 3 ) = Para llevar acabo esta operación es más

cómodo disponer los términos como en una multiplicación numérica:

- x2 + 2 x – 8

2 x2 - 3

+ 3 x 2 - 6 x + 24 (resultado de multiplicar - 3 · (- x 2 + 2 x – 8)

-2 x 4

+ 4 x 3 - 16 x

2 (resultado de multiplicar +2 x 2 · (-x 2 + 2 x – 8)

- 2 x 4 + 4 x

3 - 13 x

2– 6 x + 24

Ejercicio 8. Realiza los siguientes productos:

a) (x3 – 4 x + 1) · (x

2 - 2x ) = b) ( - x

2 – 3 x - 2 ) · ( 5 x - 5 ) =

c) (5x – 5) · (5x – 5) = d) (- x4 +3 x

3 - 2x - 3) · (x

2 – 2 x) =

Ejercicios 9.- Calcular

a) (3x -2)2 + 2 ( x

2 – 3 x + 4) – (3 x

2 – 5 x)

2 =

b) 2 x ( x- x 2

) – 3 ( x +2 ) ( x – 2) + 3 ( 2x 3

+ 2x) =

c) (3 x 2 + 2 ) 2 x – 2x ( x + 3)

2 – 3 ( x + 2) =

División de polinomios.- Veamos tres casos:

1.-Cociente de dos términos.

Para dividir dos términos se dividen los coeficientes y después se divide la parte

literal: Ejemplo: 23

42

8x

x

x ; 3

2

5

3

2

3

2x

x

x

Condición: para dividirlos es necesario que el grado del numerador sea que el grado

del denominador.

2.- Cociente de un polinomio por un término:


Pág. 44

Para dividir P(x) entre un término se divide cada uno de los términos del P(x) entre el

término divisor:

Ejemplo: 122

1

2

2

2

4

2224 24

3535 xx

x

x

x

x

x

xxxxx

3.- Cociente entre dos polinomios.

Veámoslo con un ejemplo:

)484()4422( 235 xxxxx

1.- Colocamos el dividendo y el divisor ordenados, teniendo en cuenta que en el

dividendo colocaremos espacios en los términos ausentes. Y después

a) Dividimos: 3

2

5

2

1

4

2x

x

x que es el primer término del cociente.

b) Multiplicamos 3

2

1x ( 4 x

2- 8 x + 4) = 2 x

5 + 4 x

4 + 2 x

3 y lo restamos al

dividendo, por lo que le cambiaremos el signo: - 2 x 5 - 4 x

4 - 2 x

3

2 x 5

+ -2 x 3 + - 4 x + 4 4 x

2 – 8 x + 4

-2 x 5

+ 4 x 4 – 2 x

3

2

1x

3

+ 4 x 4 – 4 x

3

2.- Añadimos los demás términos del dividendo.

a) Dividimos: 2

2

4

4

4x

x

x que es el segundo término del cociente.

b) Multiplicamos 2x ( 4 x 2- 8 x + 4) = 4 x

4 - 8 x

3 + 4 x

2 y lo restamos al dividendo

por lo que le cambiaremos el signo: - 4 x 4

+ 8 x 3 - 4 x

2

2 x 5

+ -2 x 3 + - 4 x + 4 4 x

2 – 8 x + 4

-2 x 5 + 4 x

4 – 2 x

3

2

1x

3 + x

2

+ 4 x 4 – 4 x

3 + -4 x + 4

- 4 x 4 + 8 x

3 – 4 x

2

+ 4 x 3 - 4 x

2 – 4 x + 4


a) Dividimos: xx

x2

3

4

4 que es el segundo término del cociente.

b) Multiplicamos x ( 4 x 2- 8 x + 4) = 4 x

3 - 8 x

2 + 4 x y lo restamos al dividendo

por lo que le cambiaremos el signo: - 4 x 3

+ 8 x 2 - 4 x

2 x 5

+ -2 x 3 + - 4 x + 4 4 x

2 – 8 x + 4


Pág. 45

-2 x 5 + 4 x

4 – 2 x

3

2

1x

3 + x

2 + x

+ 4 x 4 – 4 x

3 + -4 x + 4

- 4 x 4 + 8 x

3 – 4 x

2

+ 4 x 3 - 4 x

2 – 4 x + 4

- 4 x 3

+ 8 x 2

- 4 x

+ 4 x 2 – 8 x + 4


a) Dividimos: 14

42

2

x

x que es el segundo término del cociente.

b) Multiplicamos 1 ( 4 x 2- 8 x + 4) = 4 x

2- 8 x

+ 4 y lo restamos al dividendo por lo

que le cambiaremos el signo: - 4 x 2

+ 8 x - 4

2 x 5

+ -2 x 3 + - 4 x + 4 4 x

2 – 8 x + 4

-2 x 5 + 4 x

4 – 2 x

3

2

1x

3 + x

2 + x + 1

+ 4 x 4 – 4 x

3 + -4 x + 4

- 4 x 4 + 8 x

3 – 4 x

2

+ 4 x 3 - 4 x

2 – 4 x + 4

- 4 x 3

+ 8 x 2

- 4 x

+ 4 x 2 – 8 x + 4

- 4 x + 8 x - 4

0

Ésta es una división exacta, ya que el resto es cero. El proceso de la división se puede

continuar hasta que el grado del dividendo sea mayor o igual que el divisor, si no fuese

así NO podremos continuar, y la división habrá terminado.

También sabemos que la división es correcta cuando:

Dividendo = divisor · cociente + resto

Es decir: P(x) = d(x) ·Q(x) + R(x).

En este caso podremos escribir:

2x5+ 2x

3 – 4 x + 4 = (4 x

2 – 8x + 4 )· 1

2

1 23 xxx + 0 ;

Ejercicio 9.- Calcula el cociente y el resto de las siguientes divisiones

a) ( 4 x 3- 3 x

2 + 2 x – 1 ) ( x

2 – 3 ) =

b) ( x -3 x 2

+ x 3

-1 ) (x 2- x + 1) =

c) (4 x 3- 2 x

2 + 3) (2 x

2 -3) =

d) (3 m 2

– 5 m 3 – 1 + m

4 – 4 m ) ( 3 – 4m + m

2) =

e) (2x 5- 3 ) (2 x

2 – 4 ) =

f) (x 6 – 3 x + x

3 – 3 ) (x

2 – 3 x) =

g) (x 5 – 3 x

3 - x

2 + 1) ( x

2 – 2 x + 1) =


Pág. 46

Divisiones por x – a. Regla de Ruffini. Esta es una regla para dividir polinomios

siempre que el divisor sea del tipo x a, y que reduce los cálculos de forma apreciable.

Por ejemplo: (6 x 3 – 4 x

2 + 5 x

+ 6) (x – 2)=

Regla de Ruffini.

El proceso consiste en colocar los coeficientes del dividendo de forma ordenada, y

colocando ceros en los términos ausentes, y en el extremo izquierdo el opuesto del

término independiente del divisor.

6 -4 +5 +6

+ + +

+2 12 16 42

6 8 21 48 = resto

a) Los números 6 , - 4 , + 5 , +6 son los coeficientes del dividendo.

b) El número +2 del extremo izquierdo resulta de cambiar el signo del término

independiente del divisor x – 2.

c) El primer número seis es siempre el coeficiente del término de mayor grado.

d) Los números 12, 16 42 resultan de multiplicar por +2: 6 , 8 , 21

e) Los números 8 y 21 resultan de sumar a los coeficientes 12 y 16.

Ejercicio 10.- Utilizando la división clásica, divide (6 x 3 – 4 x

2 + 5 x

+ 6) (x – 2).

¿Sabrías explicar los resultados de la regla de Ruffini? ¿Qué significan los números 6, 8

y 21? ¿De qué grado será el cociente?

Ejercicio 11.- Utilizando la regla de Ruffini halla el cociente y el resto de las

siguientes divisiones:

a) ( x 2 – 3 x

3 – x + x

5 + 1 ) ( x + 1) =

b) (4 x 3 – x

5 + 32

- 8 x

2 ) (x + 2) =

c) ( x 3 – x

2 +11x – 10) (x – 2 ) =

d) ( 8 x 3- 3 x + x

4 + 20 + 12 x

2 ) ( x + 3 ) =

e) ( x 5 + 1 ) (x + 1 ) =

Relación entre el valor numérico y la división de un polinomio x a

Teorema del resto.- A veces conviene conocer el valor del resto de la división

P(x) (x - a ), sin necesidad de conocer el cociente, es decir sin hacer la división.

El teorema del resto nos dice que el resto de la división P(x) (x – a), coincide con

el valor numérico de P(x) para x = a.

Es decir el resto de la división P(x) (x – a) , es igual que P(a).

En efecto: Si sabemos que al dividir P( x ) , entre x – a , nos dá Q(x) de cociente y R

de resto, podemos escribir que:

P(x) = Q(x) · (x – a) + Resto

Y si hallamos P(a), es decir sustituimos x = a , en la expresión anterior tendremos;


Pág. 47

P(a) = Q(a) · (a – a) + Resto

0 Como (a- a) = 0, entonces Q(a) · 0 = 0, y por lo tanto P(a) = Resto

Ejemplo: El resto e la división de (3 x 3 – 2 x + 4) (x – 2) es:

P(x) = 3 x 3

– 2 x + 4 luego P (2) = 3 · (2) 3 – 2 · 2 + 4 = 24, por lo tanto el resto

de la división será 24.

Ejercicio 12.- Demuestra el Teorema del Resto para el caso de la división

P(x) (x + a).

¿Se puede aplicar el teorema del resto en cualquier tipo de división?

Ejercicio 13.- Calcula el resto sin hallar el cociente en las divisiones siguientes

a) 1532 32 xxx

b) 222

1 42 xxxx

c) ( 2 x 4 + 3 x

3 - 4 x

2 + x – 18 ) ( x – 2) =

d) (10 x 3 – 15 ) (x + 5 ) =

Raíces de un polinomio.

Un número “a” es una raíz de un polinomio P(x) si el valor numérico de P (x) para

x = a, es cero.

Ejemplo: Dado el polinomio P(x) = x 2 – 5 x + 6, comprueba si x = 3, x = 2, x = -1 son

raíces de dicho polinomio. Es decir comprueba si P (3), P (2) o P (-1) son ceros.

Veámoslo: P (3) = (3)2

- 5 (3) + 6 = 0, luego x = 3 es una raíz

P (2) = (2)2

– 5 (2) + 6 = 0, luego x = 2 es una raíz

P (-1) = (-1)2 – 5 (-1) + 6 = 12, luego x = -1 no es una raíz

Teorema fundamental del álgebra: Todo polinomio de grado ―n‖ admite ―n‖ raíces

reales o complejas.

Este teorema nos permite afirmar que todo polinomio de grado ―n‖admite como

máximo ―n‖ raíces reales.

Estas raíces pueden ser:

Simples. Si son todas distintas entre sí.

Dobles. Si el polinomio admite dos raíces iguales.


Pág. 48

Por ejemplo: P(x)= x3- 1 = (x -1) (x

2+ x +1), P (1) = 0, luego x = 1 es una raíz simple

P(x)= x2-2x + 1 = (x-1) (x-1), x = 1 raíz doble.

¿Cómo podemos encontrar las raíces de un polinomio?

Veamos sólo un caso: cuando el polinomio tiene coeficientes enteros las raíces enteras

son divisores del término independiente.

Es decir, el polinomio P(x) = x 2

– 5 x + 6, este polinomio de segundo grado tendrá,

como máximo dos raíces reales, y las posibles raíces enteras serán los divisores de 6,

que son 6,3,2,1 . Ahora deberíamos probar para ver si alguna de ellas hace

que el valor numérico del polinomio sea cero.

Vamos a demostrarlo para un polinomio de segundo grado, aunque es valido para

cualquier polinomio de coeficientes enteros:

Sea P(x) = x 2 – 5x + 6

Supongamos que x = a es una raíz, “a” , de dicho polinomio, luego P(a) = 0

P(a) = a 2 – 5 a + 6 = 0

Si sacamos factor común “a” nos quedará:

a ( a – 5 ) + 6 = 0

Como “a” es un número entero también lo será

( a – 5)

Llamaremos “c”, ( a – 5) = c

Luego dónde escribimos a ( a - 5 ) + 6 = 0 escribiremos : a · c + 6 = 0

Y despejando a

c6

luego la raíz entera “a” es un divisor del término

independiente

Ejercicio 13.- Escribe las posibles raíces enteras de los siguientes polinomios:

a) P( x) = x 2 – 4

b) Q(x) = 5 x - 3 x

3 +8 x

2 - 6

c) R(x) = 4 x 2 - 8 x + 4

Factorización.

Divisibilidad de un polinomio. Factorización.

La condición para que un polinomio P(x), cualquiera sea divisible por un binomio

de la forma x - a, es que P(a) =0, ya que esto quiere decir que el resto de la división

es cero, y por tanto P(x) es múltiplo de x - a:

Es decir que: P(x) x – a luego: P(x) = Q(x) · (x-a) 0 Q(x)


Pág. 49

Veamos un ejemplo de factorización de polinomios, dado el polinomio:

P(x) = x 3 + 2 x

2- x - 2

Las posibles raíces enteras como hemos vistos son los divisores del término

independiente que son 2,1 . (este polinomio es de tercer grado luego como

máximo podrá tener tres raíces enteras).

Probemos con +1, para ello dividamos por x -1, utilizando la regla de Ruffini:

+1

+1 +2

+1

-1

+3

-2

+2

+1 +3 +2 0 = resto

Hemos dividido P(x) entre x – 1, nos da cociente Q1(x) = x 2 + 3 x + 2 y de resto 0,

Luego podemos escribir: x 3

+ 2 x 2- x – 2 = (x- 1) · (x

2 + 3 x + 2), y así hemos

factorizado el polinomio.

Ahora factoricemos el cociente Q(x) = x 2 + 3 x + 2, cuyas raíces enteras son también

divisores de 2, que son 2,1 .

Probemos con -1, para ello dividamos por x + 1, utilizando Ruffini

-1

+1 +3

-1

+2

-2

+1 +2 0= resto

Hemos dividido Q1(x) entre x +1, nos da cociente Q2(x) = x + 2 y de resto 0,

Luego podemos escribir: (x

2 + 3 x + 2) = (x + 1) · (x + 2), y así hemos factorizado el

polinomio.

Y sustituyendo en la expresión:

x 3

+ 2 x 2- x – 2 = (x- 1) · (x

2 + 3 x + 2) = (x – 1) ( x + 1) ( x + 2)

Luego hemos descompuesto el polinomio P(x) en un producto de tres factores, es

decir hemos factorizado el polinomio.

Ejercicio 14.- Factoriza los siguientes polinomios.

a) x 3 –x

2 – 4 x + 4 =

b) x 3 - 5 x

2 –x + 5 =

c) x 3 + 2 x

2 – 5 x – 6 =

d) x 4 – 1 =

Ejercicio 15.- Factoriza los polinomios siguientes, sacando factor común.

a) x 4

– 5 a x 2 = b) 3 a z – b z

2 + 6 z

3 = c) – x + x

2 - x

3 + x

4 =

d) 6 b – 36 b 2

= e) 49 x 2 – 21 a x + 42 x

3 = f) 2 a x

2 – 4 a

2 x + 12 a x =


Pág. 50

Ejercicio 16.- Descompón en factores los siguientes trinomios: (Recuerda los desarrollos de: (a + b ) 2 , (a – b ) 2 )

a) x 2 + 4 x + 4 b) x

2 - 4 x + 4 c) 2

3

2

9

1xx

d) 9x 2 +6 x + 1 e) 4 x

4 + y

4 + 4 x

2 y

2 f) 9+ x

4 – 6 x

2

Ejercicio 17.- Descompón en factores los siguientes binomios. (Recuerda: a2 – b 2 = (a – b) ( a + b) )

a) x 2 -9 b) 4 x

2 - 9 c) x

2 – 1 d) 1 – x

4 = e )

259

22 ba

Pautas a seguir en la factorización de polinomios:

1) Extraer factor común.

2) Identificar los productos notables.

3) Estudiar los divisores del polinomio, dividir y factorizar.

Polinomios irreducibles: Un polinomio se dice irreducible cuando no puede

descomponerse en producto de polinomios de grado mayor o igual que uno, en caso

contrario se dice reducibles.

De la definición se deduce que todos los polinomios de grado cero o uno son

irreducibles

Ejercicio 18.- Factorizar

a) x 5 – 16 x =

b) 3 x 3 – 12 x

2 – 15 x =

c) 18- 2 x 2 =

d) 20 + 20 x + 5 x 2 =

e) x 6

- 1 =

f) x 4 + x

3 – 16 x

2 – 4 x

+ 48 =

Máximo común divisor y minino común múltiplo de dos polinomios

Vamos a generalizar los conceptos de máximo común divisor y mínimo común

múltiplo de dos números enteros.

El proceso es similar al realizado en los números enteros.

Máximo común divisor de dos polinomios: Vamos a llamar m .c. d. de dos o mas

polinomios a un polinomio de grado máximo que sea divisor de los polinomios.

Si el máximo común divisor es una constante se dice que son primos entre sí.

Veamos con un ejemplo su cálculo.

Ejemplo: Calcular el máximo común divisor de los polinomios siguientes:

P(x) = x 2

+ x + 2

Q(x) = 2 x 2 – 2

Descomponemos los polinomios en productos de factores siguiendo las pautas de

factorización.

Supongamos que realizamos estas operaciones y los resultados son los que siguen:

P(x) = x 2

+ x - 2 = (x-1) ( x + 2)

Q(x) = 2 x 2 – 2 = 2 ( x-1 ) ( x+1)


Pág. 51

El m.c.d. se obtiene multiplicando los factores comunes elevados a los menores

exponentes:

Luego m.c.d. (P(x) ,Q(x) ) = x - 1

Ejercicio 19.- Halla el m.c.d. de los polinomios: P(x) = x 2 + x - 12; Q(x) = x

3 – 9 x

Ejercicio 20.- Halla el m.c.d. de los polinomios: P(x) =x 3 + x

2 - x - 1; Q(x) = x

3 – x

Mínimo común múltiplo Se llama m.c.m. de dos o mas polinomios a un polinomio de

grado mínimo que sea múltiplo común de ambos.

Veamos con un ejemplo su cálculo:

Calcular el m.c.m. de los polinomios:

P(x) = x 2

– x – 6 ;

Q(x) = x 2 – 6 x + 9

Descomponemos los polinomios en productos de factores siguiendo las pautas de

factorización.

Supongamos que realizamos estas operaciones y los resultados son los que siguen:

P(x) = x 2

– x – 6 = (x-3) ( x + 2)

Q(x) = x 2 – 6 x + 9 = (x- 3 )

2

El m.c..m. se obtiene de multiplicar los factores comunes y no comunes con mayor

exponente :

Luego el m.c.m. ( P(x) , Q(x) ) = (x + 2) ( x – 3) 2

Ejercicio 21.- Halla el m.c.m de los polinomios: P(x) = 2 x 2 –x – 3; Q(x) = x

2 + 2 x + 1

Ejercicio 22.- Halla el m.c.m de los polinomios: P(x) = 2 x +x

2 + 1; Q(x) = x

2 - 1

Fracciones Algebraicas.

Una fracción algebraica es una expresión del tipo )(

)(

xQ

xP siendo 0)(xQ

Ejercicio 23 .Escribe tres fracciones algebraicas.

Fracciones equivalentes. Simplificar.

Si se multiplican o dividen el numerador y denominador de una fracción algebraica por

un mismo polinomio se obtiene otra fracción algebraica equivalente.

Aplicando esta propiedad podemos simplificar una fracción, dividiendo sus dos

términos por un divisor común, si los tiene.

Cuando una fracción no se puede simplificar mas se dice irreducible

Ejemplo:

y

x

xy

yx

2

3

8

12 2

2

3

2

2

)2)(2(

)2(

4

)2( 2

2

2

x

x

xx

x

x

x


Pág. 52

Ejercicio 24.- Simplifica las siguientes fracciones algebraicas:

a) xy

xxy

12

33 2

b) 2

2

)5(4

502

x

x c)

22

33

yx

yx d)

1

14

23

x

xxx

Valor numérico de una fracción algebraica.

Es el valor que resulta de sustituir las letras por sus valores numéricos respectivos:

Ejemplo:

1

322x

x para x = 2 ;

5

1

12

32·2

1

3222x

x

Ejercicio 24.- Calcula el valor numérico de la fracción: 3

12 2

x

x para x = -1

Puede ocurrir que la fracción algebraica no esté definida para un determinado valor de

x, por ejemplo la fracción:

3

12 2

x

x no está definida para x = -3, ya que

3

12 2

x

x =

0

19

33

19·2 y como sabemos la

división entre “0” no es posible.

También puede ocurrir que cierto valor de x =a, haga que la fracción sea 0

0 , en

ese caso la fracción se dice INDETERMINADA. Cuando esto ocurre, el hecho de

que dicho valor anule simultáneamente al denominador y numerador, supone que

“a”, es una raíz y dichos polinomios serán divisible por x - a, por lo tanto

podemos factorizar el numerador y denominador de la fracción y por consiguiente

podemos simplificar.

Veamos un ejemplo: Calcular el valor de numérico de :

2275

8623

2

xparaxxx

xx;

0

0

22·72·52

82·62

275

8623

2

23

2

xxx

xx

Como x 2

– 6 x + 8 se anula para x = 2 , es divisible por x- 2

x 2 – 6 x + 8 = (x-2) (x- 4)

Como x 3

– 5 x 2

+ 7 x - 2 se anula para x = 2, es divisible por x- 2

x 3 – 5 x

2 + 7 x - 2 = ( x -2) ( x

2 – 3 x + 1)

1 -6 8

2 2 -8

1 -4 0 = resto

1 -5 +7 -2

2 2 -6 2

1 -3 1 0 = resto


Pág. 53

Ahora podemos simplificar la fracción algebraica:

13

4

)13)(2(

)4)((2(

275

862223

2

xx

x

xxx

xx

xxx

xx

Y ahora en esta fracción equivalente a la anterior calculemos su valor numérico para

x = 2

212·32

42

13

422 xx

x

A este valor numérico obtenido a partir de la fracción anterior se le llama verdadero

valor de la fracción dada.

Ejercicio 25.- Halla el verdadero valor de las fracciones siguientes:

a) 11

232

xparax

xx b) 2

65

42

xparaxx

x

c) 3393

63223

23

xparaxxx

xxx d) 0

2

4324

3

xparaxxx

xx

e) 11

122

2

xparax

xx f) 2

86

652

2

xparaxx

xx

Suma de fracciones algebraicas.

Para sumar fracciones algebraicas procedemos de la misma forma que procedemos en

las fracciones numéricas.

a) Si tienen igual denominador, su suma es una fracción con el mismo denominador y

el numerador es la suma de los numeradores.

b) Si tienen distinto denominador, se halla el mínimo común denominador y después se

suman como en el caso a)

Veamos unos ejemplos:

Ejemplo 1:

a)x

xx

x

xxx

x

xxx

x

xx

x

x

1

3

1

332

1

)23(2

1

23

1

2 2222

b)2

2

2

2

1

23

1

2233

)1)(1(

)1(2)1(3

1

2

1

3

x

xx

x

xxx

xx

xxx

xx

x

1 - x = 1 – x luego el mínimo común denominador será el producto de AMBOS

1 + x = 1 + x

c) 9

65

9

623

)3)(3(

)3(2)3(

93

2

3 22

222

2

2

x

x

x

xxxx

xx

xxxx

x

x

xx

x

x -3 = x -3

x +3 = x +3 luego el mínimo común múltiplo será ( x-3) ( x + 3)

x 2 -9 = (x- 3 ) ( x +3)


Pág. 54

Ejercicio 26.- Efectúa las siguientes adiciones de fracciones algebraicas:

a) 463

1

2

y

y

yx

y

x

y

x b) 1

11

1

1

12

2

x

x

x

x

x

x

c) x

x

x

x

x

x

3

1

1

23 d)

44

3

22

2

66

2

x

x

x

x

x

x

Multiplicación de fracciones algebraicas.

Dadas dos o más fracciones algebraicas, se llama fracción producto a la que tiene por

numerador el producto de los numeradores y como denominador a los productos de los

denominadores de las fracciones dadas.

Es decir: )()·(

)()·(

)(

)(·

)(

)(

xSxQ

xRxP

xS

xR

xQ

xP

Nota: La fracción producto es conveniente simplificarla, por lo que mantendremos los productos indicados.

Ejemplos:

a) 1

1

)1(

)·1(

1·

1

x

x

xx

xx

x

x

x

x

b) xxx

xx

xx

xx

x

x

x

x

2

3

)·3(2

)3(3

)·62(

)3(33·

62

3222

Ejercicio 27.- Efectúa los siguientes productos de fracciones algebraicas:

a) yx

yx

yx

yx·

)(22

2

b)xy

yxy

yx

x

3·

6 2

c) 2

3

2

16·

4

4

x

xx

x d)

2

2

2·1

y

xyx

y

x

División de fracciones algebraicas.

El cociente de fracciones algebraicas se obtiene multiplicando la fracción dividendo por

la fracción inversa del divisor.

Es decir: )()·(

)()·(

)(

)(:

)(

)(

xRxQ

xSxP

xS

xR

xQ

xP

Ejemplo:

1

)(3

)1()(

))((3

))((

)(3·

3:

3 2

2

222

2

222

22

22

x

yxx

xxyx

yxyxx

xxyx

yxx

xx

yx

yx

x

yx

xx

yx

x

Ejercicio 28.- Efectúa las siguientes divisiones:

a) 221212

33

yx

yx

x

x b)

1

1

1

212

2

x

x

x

xx


Pág. 55

REPASO

1.- Realiza las siguientes divisiones:

a) ( 4 x y 2) : ( 2 x y) = b) ( 5 a

3 b

2 c) : ( 2 a

2 b

2) = c) yzxzyx 243

5

3

3

4

d) ( 2 x 4- 3 x

2 + 5 x

3 – 3 x) : ( 2 x) = e) 2324

3

23

3

2xxxx

2.- Calcula el cociente y el resto de cada una de las siguientes divisiones:

a) ( - 3 x 2

+ 4 x 3

+ 2 x – 1) : ( x 2 –3) = b) ( x – 3 x

2 + x

3 –1 ) : ( x

2 –x +1) =

c) ( 4 x 3

– 2 x 2

+ 3 ) : ( 2 x 2 – 3) = d) ( 2 x

5- 3 ) : ( 2 x

2 – 4) =

3.- Calcula el resto sin hallar el cociente de las siguientes divisiones:

a) ( 2 x 2 – 3 x

3 + 5 ) : ( x –1) = b) 422

2

1xxx : ( x –2) =

4.- Calcula "m" para que el resto de la siguiente división sea 3:

( 2 x 2 – 3 m x + x

3 –2 ) : ( x –1) =

5.- Utilizando la regla de Ruffini, halla el cociente y el resto de las siguientes divisiones:

a) ( x 3- x

2+ 11 x – 10) : ( x – 2) = b) ( 8 x

3 – 3 x + x

4 + 20 + 12 x

2) : ( x + 3)=

6.- Descompón en factores:

a) 2 5 x 2 – 9 y

2 = b) x

3 + 1 = c) 12 – 3 x

2 =

d) 1 – x 6 = e) 4 x – x

2 – 4 = f) x

2- 3 x + 2 =

g) x 3 – 4 x = h) x

5 – 3 x

4 + 2 x

3 = i) 32 x

2 –18 =

j) 9 x 2 – 3 x = k) 1 0 x

2 y – 25 x y

2 = l) –x + x

2 – x

3 + x

4 =

7.- Averigua si son exactas las siguientes divisiones:

a) ( x 4 – 81 ) : ( x –3 ) = b) ( x

6 –64) : ( x +2) = c) (x

3 + 27 ) : ( x +3) =

8.- Halla el m.c.m. de los polinomios de cada uno de los apartados siguientes:

a) a 2 – b

2 , (a + b)

2

b) a 2 –1, a

2 + 2 a + 1 , a

3 + 1

c) x 2 – y

2 , x

2 – 2 x y + y

2, x

2 – x y

9.- Halla el valor de k para que el polinomio P(x) sea divisible entre x-1:

P(x) =2 x 3 + k x

2 + x + 2

10.- Halla el valor de m para que el polinomio Q ( x) sea múltiplo de x –3

Q ( x) = x 3 – 5 x

2 + m x – 3


Pág. 56

11. - En algunos de los siguientes ejercicios puede que se hayan cometido errores,

corrígelos:

a) 44222 42 yxyx ; b) 222 baba c) 2422 3)3)(3( yxyxyx

d) 32 532 xxx e) yy 642 f) yy

2

2 g)

2

52

2

3

i)3

6

3

23

yy

12.- Escribe en lenguaje algebraico, las siguiente informaciones relativas a la base x y

la altura y de un rectángulo.

a) La base es la mitad de la altura

b) La base excede en seis unidades a la altura

c) La altura es tres cuartos de la base

d) La base es a la altura como cinco es a dos

13.- Efectúa las siguientes operaciones:

a) 3 · (2 x + y -3 z)2 b) (2 – 3 x)

2+ (3 + 5 x)

2- (4 – 2 x)

2

14.- Siendo P(x) = 1/2 x 2 – 3 x; Q (x) = 2/ 5 x + 1 /2

Calcula: a) P(x) · Q(x) =

b) P(x) – 2 Q(x) 2

15.- Saca factor común en las siguientes expresiones algebraicas:

a) 2 x - 2 x 2 = b) 3 x y - 9 x y

3 = c) 12 x - 2 x

3 – 12 x

2 =

d) a 2 – 12 a – 2 a

2 = e) 12 x y - 23 y =

16.- Utilizando los productos notables factoriza las siguientes expresiones algebraicas:

a) x 2 – 4 = b) x

2 – 4 x + 4 = c) 1 – x

2 = d) y

4 + 16 + 8 y

2=

e) 9 x 2

-12 x + 4 = f) 16 x 2+ 16 x

3+ 4 x

4= g) x

2 -22x + 121 =

h) x 4 – 81 = i) 9 – 6 x

2 + x

4 j) 1 – y

4 = k) 25 x

2 – y

4 =

17.- Divide por el método mas adecuado:

a) (x 5 + 3 x

3 – x -- 8) (x

2-- 2 x + 1) = b) ( 6 x

5 – 4 x

3 + 2 x ) ( ( x -2) =

18.- ¿Cómo podrías calcular el resto de la siguiente división sin realizarla? ¿En que

teorema te basas? Enunciadlo.

( x 3 – 2 x

2 – x + 3) ( x +1)

19.- Calcula el valor de “a” para que x + 2 sea un divisor del polinomio P(x) = 3 x 2 –

a x + x3 - 1 .

20.- Calcula el valor de “m” para que el P(x) = 2 x 2 – m x + 3 sea divisible entre x – 2

21.- Factoriza los siguientes polinomios:

a) 3 x 4 – 10 x

3 + 7 x

2 + 4 x

- 4 = b) x

3 – 2 x

2 + 4 x =

c) x 4

+ 2 x 3 – 5 x

2 - 18 x - 36 = d) 1 – 4 x

2

e) x 5

– 1 f) x 5 – 2 x

4 – 6 x

3 + 12 x

2 + 9 x – 18


Pág. 57

22.- Escribe un polinomio de cuarto de cuarto grado cuyas raíces sean 1 , 2 , -3 y -1

23. -Divide 112683 3234 xxxx y comprueba el resultado.

24.- Se sabe que al dividir x 3- x

2 + a x - 10 entre x – 2 la división es exacta ¿Cuánto

vale a?

25.- ¿Qué es una raíz, cero o solución de un polinomio?

26.- Descompón en factores los siguientes polinomios

P(x) = x 3- x

2+ 6 R (x) = x

3- x + 2 – 2 x

2

Q(x) = 32 - 2 a2

S(x) = x 4- x

3-13x

2 + x +12

27.- Calcula las raíces del siguiente polinomio: P (x) = (2 x – 1) (x + 5) (x 2- 1)

28.- Efectúa las siguientes adiciones de fracciones algebraicas:

a) y

yx

y

x

63

1 b) 1

1

1

x

x

c) x

x

x

x

3

1

1 d)

44

2

1

22 x

x

x

x

29.- Calcular el verdadero valor de las siguientes fracciones algebraicas:

a) 11

12

3

xparax

x

b) 44

862

xparax

xx


Pág. 58

Autoevaluación

1.- Enuncia el teorema del Resto. ¿A qué se le llama raíz de un polinomio? ¿Es x +1

un divisor de x 8

- 1? . ¿Por qué?

2.- Escribe en lenguaje algebraico el área de un triángulo teniendo en cuenta las

siguientes informaciones.

a) La base excede en cinco unidades a la mitad de la altura. ¿Cuál es su área si la

altura 8 cm?

b) La altura es dos quintos de la mitad de la base. ¿Cuál es su área si la base 10 cm?

3.- Calcula el valor de la siguiente fracción algebraica:

24

22

2

xparax

xx

4.- Previa descomposición en factores del polinomio P(x) = x 3 + 2 x

2 – x - 2 ,

resuelve la ecuación x 3 + 2 x

2 – x - 2 = 0.

5.- Simplifica:

234

34

2 xxx

xx

6.-Halla el valor de "m" de forma que el P(x) = - 3 x + x 2 – m + 2 x

3 sea múltiplo

de x -3

7.- Descomponer en factores:

a) 2 x 2 – 8 = b) 4 x

3 - 10 x

2 + 2 x + 4 = c) 1 + 25 x

2 –10 x =

8.- Calcula y simplifica:

a)2

2

42

2

11 2

22

x

x

x

x

x

x

x

x

x

xx

9.- Calcula el m.c.m. de los siguientes polinomios:

a) P (x) = 2 x 2 – 4 x + 2 , Q ( x) = 4 x

3 - 4 x , R ( x ) = 8 x - 8


Pág. 59

REFUERZO

1.- Enuncia el teorema del Resto. ¿A qué se le llama raíz de un polinomio?

2.- Sin dividir. ¿Es x- 2 un factor de x7

- 32? . Verdadero o falso .En que te basas.

3.- Escribe en lenguaje algebraico el área de un rectángulo teniendo en cuenta las

siguientes informaciones.

c) La base excede en dos unidades al cuadrado de la altura..

d) La altura es la tercera parte de la base disminuida en 2

4.- Halla el cociente y el resto de la división. ¿Podrías utilizar la regla de Ruffini?

Razona tu respuesta: (3 x 3 + x

2 + 1) ( x

2 + 3)

5.- Resuelve la ecuación x 3 +7 x +5 x

2 + 3 = 0

6.- Halla el verdadero valor de las siguientes fracciones algebraicas.

053

42)

2275

86)

24

23

23

2

xparaxxx

xxxc

xparaxxx

xxa

7.- Siendo P (x)= 3x 2 – 3 x + 3 ; Q ( x) = 1/ 2 x + 1 /2 ; R(x) = x + 2 x

2 - 1

Calcula: a) P ( x) - 2 Q ( x)

b) P ( x) - 2 ( R ( x) )2

8.- Descomponer en factores:

a) 3 x 3 – 27x = b) x

3–10 x

2 + 25 x =

9.- Escribe un polinomio ordenado de tercer grado cuyas raíces sean -2, 0 y 2

10.- Efectúa las operaciones con fracciones algebraicas en cada uno de los apartados

siguientes:

yx

x

x

xe

x

xxd

x

x

x

xc

xx

x

x

xb

x

x

xa

22

3

2

3)

1

12)

13

2

63

22)

1

5

11)

22

4)

2

11- Se sabe que al dividir x 3- m x

2 + x - 7 entre x – 2 la división tiene resto igual 2

exacta ¿Cuánto vale m?

12.- ¿Qué es una raíz, cero o solución de un polinomio?

13.- Descompón en factores los siguientes polinomios

P(x) = x 3- x

2+ 6 R (x) = x

3- x + 2 – 2 x

2

Q(x) = 32 - 2 a2

S(x) = x 4- x

3-13x

2 + x +12


Pág. 60


Pág. 61


Pág. 62

UNIDAD IV. ECUACIONES E INECUACIONES.

1. Ecuaciones.

Ecuaciones de segundo grado y grado superior.

Ecuaciones de segundo grado. Una ecuación de segundo grado con una incógnita es una expresión del tipo :

a x 2 + b x + c = 0

En ésta ecuación:

- ―a ” coeficiente del término de segundo grado que llamaremos coeficiente

cuadrático

- “ b ” Coeficiente del término de primer grado que llamaremos coeficiente lineal.

- " c " que es el término independiente.

Se pueden presentar dos casos cuando algún coeficiente es nulo, entonces diremos que

la ecuación es incompleta

Primer caso:

Modelo Ejemplo

a x 2 + c = 0 4 x

2 – 9 = 0

a x 2= - c 4 x

2 = 9

a

cx2

4

92x

a

cx

2

3

4

9x

Segundo caso:

Modelo Ejemplo

a x 2 + bx = 0 3 x

2 + 5 x = 0

x ( a x + b ) = 0 x ( 3 x + 5 ) = 0

x = 0

a x + b = 0 x = 0

3 x + 5 = 0

x = 0

a x = - b ; luego x =a

b

x = 0

3 x = - 5 ; luego x = 3

5

Ejercicio 1.- Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas:

a) 2 x 2

- 32 = 0 b) 5 x 2- 15 x = 0 c) 3 x

2- 108 = 0 d) 7 x

2 +42 x

= 0

e) x 2

- x = 0 f) 5 x 2

+ x = 0 g) x 2- 2 x = 3 x

2 h) x

2 + 12 x = 5 x


Pág. 63

Resolución de la ecuación completa.

Las ecuaciones de segundo grado completas ordenadas se escriben de la forma:

a x 2 + b x + c = 0 siendo a, b y c números Reales

a

acbbx

2

42

1

Las soluciones vienen dadas por las fórmulas:

a

acbbx

2

42

2

Veamos como podemos obtener dicha fórmula:

Partiendo de la ecuación: a x 2 + b x + c = 0

Vamos a restar “c” a x 2 + b x + c - c = -c a x

2 + b x = -c

Se multiplica por “4 a” 4 a 2

x 2 + 4 a b x = - 4 a c

Sumamos “ b 2

” 4 a 2

x 2 + 4 a b x + b

2 = + b

2 - 4 a c

El primer término de la igualdad podemos ver que es el desarrollo de un producto

notable y lo podemos escribir como tal:

( 2 a x + b ) 2

= + b 2 – 4 a c

Luego podemos escribir que: 2 a x + b = acb 42

Y despejando “x” : 2 a x = - b acb 42

Luego: a

acbbx

2

42

Discusión de las soluciones de una ecuación de segundo grado

La expresión b 2 – 4 a c se llama discriminante, y se indica con la letra delta ( )

mayúscula:

= b 2 – 4 a c

Según los valores que tome el discriminante = b 2 – 4 a c, se presentan tres casos:

1.- Cuando > 0 ( positivo), se obtienen dos raíces reales.

2.-Cuando = 0 los valores que se obtienen para las dos raíces son iguales, se dice que

tiene una raíz doble.

3.- Cuando < 0 (negativo) la ecuación no tiene raíces reales.


Pág. 64

Ejercicio 2.- Halla las raíces o soluciones de las ecuaciones:

a) x 2

+ 7 x + 3= 0 b) 3x 2 -6 x -12 = 0 c) x

2 – 8 x + 15 = 0 d) 2 x

2 - 9 x - 1 = 0

e) x 2

+ x - 2 = 0 f) x 2

- x + 1 = 0 g) x 2

-16 x + 64 = 0

Ejercicio 3.- Halla las raíces de las ecuaciones:

4

11

2

)3(2

3

2)

9

2

3

2

2

3

2)

22 xxxbx

xxa

Suma y producto de las raíces de una ecuación de segundo grado.

A partir de la forma general de la ecuación: a x 2 + b x + c = 0 , y llamando

21 xyx a sus raíces.

Vamos a demostrar que:

La suma de las raíces: a

bxx 21

y que su producto : a

cxx 21·

En efecto sabiendo:

a

acbbx

2

42

1 y que a

acbbx

2

42

2

Veamos que obtenemos al sumar sus raíces:

21 xxa

acbb

2

42

+ a

acbb

2

42

= a

acbbacbb

2

44 22

=

=a

b

a

b

2

2

Veamos que obtenemos al multiplicar sus raíces:

21·xxa

acbb

2

42

· a

acbb

2

42

= 2

22

4

)4)·(4(

a

acbbacbb=

a

c

a

ac

a

acbb

a

acbb

a

acbb22

22

2

22

2

222

4

4

4

4

4

4

4

4

Luego hemos demostrado que: a

bxx 21

a

cxx 21·


Pág. 65

Ejercicio 4 .- Halla la suma y el producto de las raíces de las siguientes ecuaciones:

a) x 2

– 5 x + 4 = 0 b) x 2 + 9 x + 14 = 0 c) x

2 + 10 x + 21 = 0

Forma canónica de la ecuación de segundo grado:

Dada la ecuación a x 2

+ b x + c = 0 , si dividimos todos los términos por ―a‖

tendremos: ;0;0 2

2

a

cx

a

bx

aa

c

a

bx

a

ax

que también podemos escribir: 02

a

cx

a

bx

Y si a la suma de las raíces le llamaremos “s”: sa

bxx 21

Y al producto de las raíces le llamaremos “p”: pa

cxx 21·

Sustituyendo estos valorasen la ecuación quedará:

x 2- s x + p = 0

Que es la forma canónica de la ecuación de segundo grado

Ejercicio 5.- Escribe una ecuación de segundo grado que tenga por soluciones

a) x 1= 4 , x 2 = - 6 b) x 1 = -3 , x 2= - 5 c ) x 1 = 2, x 2 = -7

Ejercicio 6 .- Halla dos números sabiendo que su suma es 5

3 y su producto

5

2

Descomposición factorial de la ecuación de segundo grado.

Un trinomio de segundo grado P (x) = a x 2

+ b x + c se puede factorizar resolviendo

la ecuación a x 2

+ b x + c = 0 , asociada a dicho trinomio, si consideramos que sus

raíces son x1, x 2 , podremos escribir P(x) = a( x - x1) (x - x 2)

En efecto:

x1 + x2

P (x) = a x 2

+ b x + c =

= 2121

222 ·xxxxxxaa

cx

a

bxa

a

cx

a

bxa

= 2º121

2 xxxxxxxa =

x1· x2

Sacamos x factor común en los dos primeros términos: = 2121 ·xxxxxxxa =

Sacamos - x 2 factor común en los dos últimos: = 121 xxxxxxa =

Y sacando factor común (x – x1): = a (x - x1) (x - x 2)


Pág. 66

Ejercicio 7.- Descompón en factores los siguientes polinomios:

a) P(x) = 3 x 2 – 10 x + 3; b) P(x) = 2 x

2 – 5 x + 2;

c) T(x) = 12 x 2 + x – 1; d) R(x) –x

2 +1;

Ecuaciones Bicuadradas:

Son aquellas que se pueden reducir a la forma de una ecuación de segundo grado

mediante la utilización de incógnitas auxiliares.

Veamos un ejemplo: x 4

– 13 x 2 + 36 = 0

Tomemos incógnitas auxiliares:

x 4 = a

2

x 2

= a luego sustituyendo en la ecuación dada: a 2

– 13 a + 3 6 = 0

a 1 = 9

2

513

2

36·4)13(13 2

a

a 2 = 4

x 1= +3

Deshaciendo el cambio: x 2

= a ; x 2 = 9; 9x

x 2 = -3

x 3 = + 2

x 2

= 4 ; 4x

x 4 = -2

Ejercicio 8.- Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas:

a) x 4

– 5 x 2 + 4 = 0 b) x

4 – 10 x

2 + 9 = 0 c) x

4 – 26 x

2 + 25 = 0 d) x

4 –17 x

2 +16 = 0

Ecuaciones irracionales. Ecuaciones racionales.

Se llaman ecuaciones irracionales aquellas en las que algunas de las incógnitas figura

bajo el signo radical.

Estudiaremos ecuaciones irracionales con radicales de índice dos.

Ejemplos de ecuaciones irracionales:

a) xx 3 b) 112x c) xx 5

1

2

El proceso de resolución de estas ecuaciones se basa en el siguiente principio:

Si se elevan al cuadrado los dos miembros de una ecuación, se obtiene otra ecuación

que además de tener las soluciones de la primera, puede contener otras soluciones

que proceden de la nueva ecuación obtenida al elevar al cuadrado la original.


Pág. 67

Una consecuencia importante: Siempre que la resolución de la ecuación exija elevar al

cuadrado los dos miembros de la ecuación, es preciso comprobar si las soluciones

halladas satisfacen la ecuación propuesta.

Veamos unos ejemplos de resolución de ecuaciones irracionales:

Ejemplo 1: Resolver la ecuación 21018 x

1º) Aislamos en un miembro el término que contiene el radical que queremos eliminar:

10218 x

1016 x

2º) Elevamos al cuadrado los dos miembros de la ecuación:

24610256101622

xxx

3º) Comprobar:

222161822561821024618

Por lo tanto podemos afirmar que la solución de la ecuación es x = 246

Ejemplo 2. Resolver la ecuación 639 xx

1º) Aislamos en un miembro uno de los radicales que queramos eliminar:

369 xx

2º) Elevamos los dos miembros de la ecuación al cuadrado:

22

369 xx

Operando:

2

336·2369 xxx

3312369 xxx

3º) Como existe otro radical, volvemos a repetir el proceso. Aislamos el término que

contiene el radical y reducimos términos semejantes:

9336312 xxx AGRUPAR LOS TÉRMINOS!!

24312 x

4º) Elevamos al cuadrado los dos miembros de la ecuación:

77144

10081008144

43257614457643214457631224312 222

xxx

xxxx

5º) Comprobar: 62463797639 xx

Por lo tanto podemos afirmar que la solución de la ecuación es x = 7


Pág. 68

Ejercicio 9.- Resolver las ecuaciones irracionales siguientes:

a) 12314 xx b) 112 xx c) 737 xx

REPASO DE ECUACIONES

1) Determinar, sin resolver las ecuaciones, el valor de la suma y del producto de sus

soluciones:

a) 01572 2 xx b) x

x9

20 c) 0363 2 xx d) 0652 xx

2) Determinar la ecuación de segundo grado en los siguientes casos:

a) Si la suma de soluciones vale 5 y cuyo producto vale 6.

b) b) Si sus soluciones son 51x ; 12x

c) Si la suma de soluciones vale -1/4 y cuyo producto vale -3/8.

d) d) Si sus soluciones son 5

21x ; 32x

e) Si sus soluciones son 21x ; 32x

f) f) Si sus soluciones son 3

21x ;

5

32x

3) Descomponer los polinomios a partir de sus soluciones:

a) 3116 2 xx b) 2715 2 xx c) 6136 2 xx d) 2910 2 xx

4) Obtener dos números sabiendo que su suma es 5 y su producto es -14.

5) Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas:

a) 0910 24 xx b) 03613 24 xx c) 090061 24 xx

d) 014425 24 xx e) 022516 24 xx f) 0910 24 xx

g) 03 24 xx h) 010029 24 xx i) 042 24 xx

j) 24 40169 xx k) 045 24 xx l) 067 36 xx

6) Resuelve las siguientes ecuaciones irracionales:

a) 132 xx x=2 b) xx 2145 x=1

c) xx 21113 x=10 d) 24xx x=4

e) 6412 xx x=5 f) 0213284 xx x=-7

g) 1123213 xx x=7 h) 6722 xx x=-1

7) Resuelve las siguientes ecuaciones racionales:

a) 01

112 xxx

b) 4

1

2

1

2

12xxx

c) 6

131

3 x

x

d) 3

2

65

2

2 2 xxxx

x e) 4

4

2

1

4 22 x

x

xx

x f) 2

31

1

1

xxxx

g) 11

1

12

2

xx

x h) 12

1

2

22 x

x

xxx


Pág. 69

Resolución gráfica y algebraica de los sistemas de ecuaciones lineales y no lineales

con dos incógnitas.

Veamos primero una ecuación lineal con dos incógnitas. Por ejemplo la ecuación:

y =-x + 10 es una ecuación de primer grado con dos incógnitas.

Busquemos soluciones para esta ecuación, ya que aparentemente parece tener más de

una.

Valores de x 1 2 4 5

Valores de y 9

¿Podrías encontrar mas soluciones? En caso afirmativo escribe cuatro soluciones mas.

Veamos ahora otra ecuación lineal con dos incógnitas: Por ejemplo la ecuación:

y = x + 2 es una ecuación de primer grado con dos incógnitas.

Busquemos soluciones para esta ecuación:

Valores de x 1 4 5 7

Valores de y

¿Cuántas soluciones mas podrías encontrar para esta ecuación?

Si ahora consideramos juntas las dos ecuaciones, se dice que que ambas forman un

sistema de ecuaciones lineales:

x + y = 10

x – y = 2

Una solución del sistema sería una pareja de números que fuese solución de las dos

ecuaciones ala vez.

Llamamos solución de un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas a todo

par de números x1 e y1, tales que sustituyendo x por x1 e y por y1 se verifican las

dos ecuaciones a la vez.

Dos sistemas se dice que son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones.

Resolución de sistemas de ecuaciones. Resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas es encontrar un par de

valores (uno para cada incógnita) de forma que al sustituir las incógnitas por esos

valores las dos igualdades sean ciertas. Ejemplo:

2 x + y = 5

2 x – y = -1 La solución del sistema es x = 1, e y =3 ya que.........

Para encontrar la solución de un sistema de ecuaciones estudiaremos tres métodos. Los

tres métodos consisten de una u otra manera en pasar de una ecuación con dos

incógnitas a otra equivalente con una sola incógnita, que sabemos resolver.


Pág. 70

Método de sustitución.

Consiste en despejar una incógnita en una ecuación y sustituir el valor obtenido en la

otra. Ejemplo:

3x – 2y = 10

x + 3y = 7 Elegimos la incógnita más fácil de despejar (la x de la 2ª

ecuación).

x = 7 – 3 y

Sustituimos el valor de la x despejada en la otra ecuación:

3x – 2y = 10

3 · (7 – 3y) – 2y = 10. Ya tenemos una ecuación con una sola incógnita

que sabemos resolver.

21 – 9y – 2y = 10

-11 y = -11 y = 111

11 y = 1 Ahora este valor de "y" lo

sustituimos en la ecuación:

x = 7 – 3 y = 7 – 3 · 1 = 7 – 3 = 4

Luego la solución será el par : x = 4

y = 1

Ejercicio 1.-Resuelve por el método de sustitución los siguientes sistemas de

ecuaciones:

a) x + y = 8 b) 2 x + 3 y = 7 c) 2 x + y = 4

x - y = - 6 3 x - y = 5 x – y = 2

Método de igualación.

Consiste en despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones e igualar las

expresiones obtenidas. Ejemplo:

3x – 2y = 10 3x = 10 + 2y x = 3

210 y Igualamos

x + 3y = 7 x = 7 – 3y

3

210 y = 7 – 3y 10 + 2y = 3 · (7 – 3y) 10 + 2y = 21 – 9y

Obtenemos una ecuación

Con una sola incógnita

11y = 11 y = 111

11 y = 1 . Sustituimos el valor de y en

cualquiera de las expresiones obtenidas de x.

x = 3

210 y= 4

3

12

3

210

3

1210

Solución: x = 4 y = 1


Pág. 71

Ejercicio 2.- Resuelve por el método de igualación los siguientes sistemas:

a) x + y = 10 b) x + y = 2 c) 2 x + y = 2

x =y x - y = 1 x + 3 y = 6

Método de reducción.

Consiste en multiplicar las ecuaciones por los números adecuados para que, al

sumarlas, nos desaparezca una de las incógnitas. Así, la ecuación que obtengamos

tendrá una sola incógnita. Ejemplo:

3x – 2y = 10 Si multiplicamos la segunda ecuación por –3, obtendremos

un sistema equivalente a éste.

x + 3y = 7

3x – 2y = 10 3x – 2y = 10 Sumando las dos ecuaciones,

-3 · (x + 3y) = -3 · 7 -3x – 9y = -21 + nos queda:

0 - 11y = -11 Obtenemos una ecuación con una sola incógnita

y = 111

11 y = 1

A continuación sustituimos el valor de y en cualquiera de las ecuaciones iniciales y

despejamos el valor de x.

x + 3 · 1 = 7

x + 3 = 7 x = 7 – 3 = 4

Solución: x = 4

y = 1

Ejercicio 3.-Resuelve por el método de reducción los siguientes sistemas de ecuaciones:

a) - 7 x - 4 y = -7 b) 2 x + 3 y = 1 c) 5 x –8 y = -13

2 x - y = 2 x + y = - 2 2 x - 3 y = -4


Pág. 72

Método gráfico.

Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas:

3x - 2 y = 10

x + 3y = 7

Vamos a representar gráficamente las soluciones de cada una de las ecuaciones.

La representación gráfica de las infinitas soluciones de cada una de las ecuaciones

que forman el sistema se encuentran en una recta.

Como son rectas basta con conocer un par de soluciones para poderlas trazar:

Ecuación: 3x - 2 y = 10 para facilitar el calculo de las soluciones despejamos la

incógnita y:

yx

yx2

103;2103

2

103xy

Construyendo una tabla de soluciones:

x 4 2

y 1 -2

Ecuación: x + 3 y = 7 para facilitar el calculo de las soluciones despejamos la incógnita

y:

3

7 xy

Construyendo una tabla de soluciones:

Representan los puntos:

3 x – 2 y = 10 x + + 3 y = 7

(4,1)

x 1 4

y 2 1


Pág. 73

El punto de intersección el punto de coordenadas (4, 1) que es solución de ambas

ecuaciones, será la solución del sistema.

Ejercicio 4.- Resuelve gráficamente el siguiente sistema:

2 x + y = 7

x – y = -1

Ejercicio 5.- Resuelve gráficamente los siguientes sistemas:

x – y =1 x – y = 1

- 2x + 2y = -2 2 x – 2 y = 6

Discusión de un sistema: Un sistema puede tener una, infinitas o ninguna solución:

Si tiene una única solución , se dice que el sistema es compatible determinado

(rectas secantes).

Si tiene infinitas soluciones, el sistema es compatible indeterminado

(rectas coincidentes).

Si no tiene solución, el sistema es incompatible (rectas paralelas).

Ejercicio 6.- Completa los sistemas de forma que sean compatible determinado:

a) x + y = 10 b) 2 x + y = 4

x - ... = x + ... =

Ejercicio 7.- Completa los sistemas de forma que sean compatible indeterminado:

a) x + y = 10 b) 2 x + y = 4

2 x + ... 3 x + =

Ejercicio 8.- Completa los sistemas de forma que sean incompatible:

a) x + y = 10 b) 2 x + y = 4

x + ... = 2 x + ... =

Ejercicio 9.- Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por el método que

consideres más adecuado:

a) 3

23

232

yx

yyxx

b)

6

1

6

1

3

1

3

14

4

223

yyxyx

yxxy

d))1(

2

12

12364

xyx

yyx

e)

3

22

8

84

9

21

2

23

6

54

xyx

xy

yxyxxy

f)

15

1612

3

18

5

203

6

5

43

yxyyx

yx


Pág. 74

Sistemas de ecuaciones no lineales

Vamos a resolver sistemas de ecuaciones con dos incógnitas no lineales, es decir

sistemas en los que al menos una de las ecuaciones no es de primer grado.

Para resolver este tipo de sistemas es aconsejable utilizar el método de sustitución

despejando la incógnita en la de primer grado y sustituyendo en la de segundo grado.

Veamos un ejemplo, resolver el sistema

3x + y = 5

x 2 – y

2 = 3

Despejemos en la primera ecuación “y”

y = 5 – 3 x y = 5 – 3 x

x 2 – y

2 = 3 Sustituimos en la segunda ecuación x

2 – ( 5 – 3x )

2 = 3

Resolvemos la ecuación de segundo grado:

x 2 – ( 5 – 3x )

2 = 3 x

2 – ( 25 – 30 x + 9 x

2 ) = 3 ; x

2 –25 + 30 x -9 x

2 = 3

Ordenando: - 8 x 2 + 30 x – 28 = 0

Simplificando:

x 1 = 2

- 4 x 2 + 15 x – 14 = 0;

8

14·4·422515x

x 2 = 4

7

Y sustituyendo estos valores en la ecuación: y = 5 – 2 x

4

1

4

735

4

7

1)2(352

22

11

yxPara

yxPara

Las soluciones serán: 4

1,

4

71,2 y

Ejercicio 10.- Resuelve los siguientes sistemas:

x 2

+ y 2 = 13 x

2 – y

2 = 0 4 x y – 6 y = 3

y + 3 = 3x y -3 x = -5 3 x – 8 y = 5


Pág. 75

2. Inecuaciones.

Desigualdades numéricas: ejemplo 3 < 8

1.- Si sumamos o restamos un mismo número a los dos miembros de una desigualdad

se obtiene una nueva desigualdad del mismo sentido que la anterior.

Ejercicio 1.-SUMA o RESTA un número cualquiera a la desigualdad anterior y

comprueba lo afirmado.

2.- Si multiplicamos o dividimos por mismo número positivo a los dos miembros de

una desigualdad. Se obtiene una desigualdad del mismo sentido.

Ejercicio 2.- MULTIPLICA o DIVIDE por un número cualquiera positivo la

desigualdad anterior y comprueba lo afirmado.

3.- Si multiplicamos o dividimos por un mismo número negativo a los dos miembros de

una desigualdad. Se obtiene una desigualdad de distinto sentido.

Ejercicio 3.-MULTIPLICA o DIVIDE por un número cualquiera negativo la

desigualdad anterior y comprueba lo afirmado.

Inecuación es una desigualdad entre expresiones algebraicas. Las dos partes de

una inecuación, a uno y otro lado del signo de la desigualdad se llaman

miembros. Las letras se llaman incógnitas.

Ejemplos: a) 3 x – 9 > 6 b) 4x - 6 x + 3

Las soluciones de una inecuación son los números que al sustituir a la incógnita o

incógnitas hacen ciertas la desigualdad.

La inecuación del apartado:

a) tiene por solución (los números mayores que cinco) x >5, ya que si

sustituimos la x por números mayores que cinco se cumple la desigualdad.

Compruébalo.

b) tiene por solución (los números menores o iguales que 3) x 3, ya que si

………..(completa)…Compruébalo.

Las soluciones también la podemos representarlas mediante intervalos o

representaciones en la recta real. Por ejemplo la solución x > 5, también se puede

escribir ,5 o representar en la recta real:

5

Ejercicio 4 .- ¿ Como representarías en la recta real las soluciones de la inecuación

4 x – 6 x + 3 ?

Inecuaciones equivalentes son las que tienen las mismas soluciones.


Pág. 76

Resolución de inecuaciones de primer grado.

El procedimiento de resolución de las inecuaciones es similar a los procesos utilizados

en la resolución de ecuaciones, es decir a partir de una inecuación obtenemos

inecuaciones equivalentes:

1.- Si sumamos o restamos un mismo término a los dos miembros de una inecuación se

obtiene una inecuación equivalente a la anterior. Lo que permite trasponer términos.

Ejemplo: 3 x – 9 > 6; 3x > 6 + 9; 3 x > 15

2.- Si multiplicamos o dividimos los dos miembros de una inecuación por número

positivo, y distinto de cero, resulta una inecuación equivalente a la anterior

Ejemplo: 3 x > 15 ; 3

15x ; x > 5

3.- Si multiplicamos o dividimos los dos miembros de una inecuación por número

negativo, y distinto de cero resulta una inecuación equivalente a la anterior pero la

desigualdad cambia de sentido.

Ejemplo: - 2 x > 8 ….. dividir por -2………

Ejercicio 5.- Plantea y resuelve inecuaciones:

a) Busca números tales que al sumarle doce sean menores que cuarenta

b) ¿Qué número cumplen que su tercera parte es mayor o igual que ocho?

c) ¿Qué números al multiplicarlos por cinco serán mayores que el cuadrado de

quince?

d) ¿Qué números cumplen que al sumar diez a sus dobles nos dan un resultado

menor o igual que ocho?

e) ¿Cuándo la tercera parte de un número menos quince será menor o igual que

ocho?

f) ¿Qué números restados de siete son menores que diez?

g) Si el perímetro de un triángulo equilátero es mayor que veinte y cuatro,¿qué

puede decir de su lado?

h) Si el lado de un cuadrado es menor que dieciséis,¿qué puedes decir de su

perímetro? ¿Y de su área?

i) ¿Cómo debe ser el término independiente de la ecuación x2

-2 x + c = 0 para

que tenga dos soluciones distintas?

j) Si el lado de un hexágono está comprendido entre tres y cinco ¿ ¿cómo será su

perímetro?

Ejercicio 6.- Resuelve las siguientes inecuaciones con una incógnita y representa sus

soluciones mediante intervalos y representaciones de estos en la recta real.

a) 9 – 2/3( 3 – x) < 1 d) x – x/2 1 – 3 x

b) ( 1 – x )/ 2 + 1 > x + 4 e) ( x + 1)/2 - (x – 1)/ 3 > 4

c) 3 x + 1 > - 3 ( 5 – x) f) 25 – 2 x < -2 – 2 x


Pág. 77

Inecuaciones lineales con dos incógnitas.

Se llama inecuación lineal con dos incógnitas “x” e “y” cualquiera de las

expresiones siguientes: a x + b y > c; a x + b y < c ; a x + b y c; a x + b y c .

Estas inecuaciones se van a resolver desde el punto de vista gráfico, la ecuación

a x + b y = c, asociada a la inecuación correspondiente representa una recta. Esta

recta divide al plano en dos zonas llamadas semiplanos, como vemos en la

representación siguiente:

La solución de la inecuación de primer grado en las incógnitas x e y la forman los

infinitos puntos de uno de los semiplanos en los que la recta correspondiente divide

al plano, incluyendo la recta si la desigualdad es ó y sin incluirla cuando la

desigualdad es > ó < .

Veamos unos ejemplos:

Ejemplo 1. 2 x + y < 4

Primero representamos la recta asociada a la inecuación, 2 x + y = 4 . Para ello

mediante una tabla de valores representamos algunas de sus soluciones. Facilitará los

cálculos despejar una de las incógnitas por ejemplo: y = 4 – 2 x , y dando valores de

“x” a l azar encontrar los valores de “y"

x 0 2

y 4 0

Para ver la solución de la inecuación 2x + y < 4, se toma un punto cualquiera de uno

de los dos semiplanos que determina la representación gráfica de la recta asociada a la

inecuación: 2x + y = 4 , por ejemplo el punto (0,0) y sustituyendo en la inecuación

2 x + y < 4, tendremos 2 · 0 + 0 < 4, luego 0 < 4, lo que es cierto, luego este punto y

todos los puntos que se encuentran en este semiplano será solución de dicha inecuación.


Pág. 78

La solución de la inecuación 2 x + y < 4 es el semiplano rayado de la figura

siguiente.

Ejercicio 7.- Resuelve las siguientes inecuaciones:

a) x- y > 0 b) 2 x – y 2 c) 2 x + y 4 d) 3 x – y > 6 e) x 0 f) y > 2

Sistemas de inecuaciones lineales.

Se llama sistema de dos inecuaciones lineales con dos incógnitas al conjunto formado

por dos o más inecuaciones de primer grado con dos incógnitas inecuaciones.

La solución del sistema es el conjunto de pares que satisfacen ambas inecuaciones.

Gráficamente procedemos:

a1 x + b1y c1

a2 x + b2 y < c2

Representamos ambas inecuaciones en el mismo sistema de ejes coordenados, la

solución será la intersección de los dos semiplanos

(Zona cuadriculada)


Pág. 79

Ejemplo 2: Veamos un ejemplo:

1

1

yx

yx

Sigue las instrucciones:

a) Representa la ecuación asociada a la primera inecuación x + y = 1. Siguiendo

las indicaciones del ejemplo 1

b) Representa la ecuación asociada la inecuación x – y =1. Siguiendo las

indicaciones del ejemplo 1

Ejercicio 8.- Sistema de tres inecuaciones.

Sigue las instrucciones que a continuación se dictan:

a) Busca pares de números que cumplan las siguientes condiciones: cada uno

mayor que uno y la suma de los dos menor que diez

b) Escribe las inecuaciones que forman el sistema cumpliendo las condiciones

anteriores.

c) Representa en el mismo sistema de ejes coordenado las soluciones de las tres

inecuaciones tres inecuaciones- ¿Qué figuran determinan?

d) Toma puntos del interior de la figura y comprueba que satisfacen todas la

inecuaciones

e) Haz igual con los puntos del exterior de la figura.

f) ¿Cuál será la solución?

Ejercicio 9.- Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones con dos incógnitas:

a) 33

1652

yx

yx b)

1

0

yx

y c)

0

0

203

y

x

yx

Inecuaciones de segundo grado.

Para estudiar las soluciones de una inecuación de segundo grado, a x2

+ bx + c > 0 ( y

también en los casos de <, , ) se descompone en factores la ecuación asociada a la

inecuación:

a x2 + b x + c = 0, cuyas raíces son x1 y x2 a (x – x1) ( x – x2)

Por lo tanto el signo de la inecuación depende de los tres factores implicados:

a, (x – x1), ( x – x2) .

Para resolver la inecuación se hace la representación geométrica de las raíces sobre

la recta real, dividiendo a ésta en los intervalos representados:

1, x x1 21 , xx x 2 ,2x

Y ahora simplemente tendremos que evaluar (estudiar el signo) del producto

a (x – x1) ( x – x2) en los intervalos, tomando puntos al azar pertenecientes a éstos y,

sustituyéndolos en la ecuación y comprobando si el resultado es positivo, o negativo.


Pág. 80

Veamos un ejemplo:

Resuelve la inecuación: x 2 – 7 x – 18 < 0

Primero calculemos las soluciones de la ecuación asociada a la inecuación:

x 2 – 7 x – 18 = 0

x 1 =-2

Serán : 2

117

2

72497x

x 2 = 9

Luego podemos escribir la ecuación factorizada: 1 (x +2) ( x –9) = 0

Para resolver la inecuación se hace la representación geométrica de las raíces sobre

la recta real, dividiendo a ésta en los intervalos representados:

2, - 2 9,2 9 ,9

Estudiemos el signo del producto en cada uno de los intervalos considerados:

a) Tomemos un punto cualquiera del intervalo 2, , por ejemplo -3, y sustituimos

este punto en la ecuación factorizada:

1 (x +2 ) ( x – 9 ) = 1 (-3 +2 ) ( -3 – 9 ) = -1 · -12 = + 12 Resultado Positivo

Esto indica que para todos los puntos pertenecientes al primer intervalo considerado, el

signo de la ecuación siempre es positivo.

Ejercicio 10.- Comprueba tu la anterior afirmación para otros valores del intervalo

2,

b) Tomemos un punto cualquiera el intervalo 9,2 , por ejemplo 0, y sustituimos este

punto en la ecuación factorizada:

1 (x +2) ( x – 9 ) = 1 (0 +2 ) (0 –9) = +2 · -9 = - 18 Resultado negativo

Esto indica que para todos los puntos pertenecientes al segundo intervalo considerado,

el signo de la ecuación siempre es negativo.

Ejercicio 10.- Comprueba tu la anterior afirmación para otros valores del intervalo

7,2

c) Tomemos un punto cualquiera el intervalo ,9 , por ejemplo 10, y sustituimos

este punto en la ecuación factorizada:

1 (x +2) ( x – 9 ) = 1 (10 +2 ) (10– 7 ) = +12 · 2 = + 24 Resultado positivo

Esto indica que para todos los puntos pertenecientes al tercer intervalo considerado, el

signo de la ecuación siempre es positivo.

Ejercicio 11.- Comprueba tu la anterior afirmación para otros valores del intervalo.


Pág. 81

Solución: La solución de la inecuación x 2

– 7 x – 18 < 0 será el intervalo (-2,9).

Esto indica que para todos los valores de x correspondientes al intervalo (-2,9), el

signo de la ecuación siempre será negativo.

Dos casos Especiales:

a) Discriminante nulo. Cuando el discriminante es nulo la ecuación asociada a la

inecuación

a x2

+ bx + c > 0 tiene una raíz doble y resulta: a (x – x 1) 2

> 0

Como el término (x – x 1) 2

siempre es positivo y el signo del producto dependerá

del signo de “a”solamente.

b) Discriminante es negativo, y por no ser nunca cero el signo depende también del

signo del coeficiente “a” del término de segundo grado.

Nota. Téngase en cuenta que si las inecuaciones incluyen el signo ó , los

intervalos en que queda dividida la recta real representada incluye los valores de las

raíces, ya que son soluciones, luego las soluciones serán por lo tanto intervalos

cerrados.

Ejercicio 12.- Resuelve las inecuaciones:

a) x 2

- 4 x + 3 < 0 b) x 2

+ 5 x - 6 > 0 c) x 2

- 4 < 0 d) 6x 2

- 7x + 2 0

e) 3x 2

- 10 x +3 0 f) 6 - x – x 2 > 0 g) 2 x ( x- 3) > 3 x

2 h) x

2 – 6 < 5x

Inecuaciones polinómicas de grado superior al segundo.

Una inecuación polinomica de grado superior a segundo grado, si se puede

descomponer en productos de primer o segundo grado, se resuelve de forma similar a

la explicada en el caso anterior.

Ejemplo: Resolver la inecuación x 3 – x

2 – 6 x < 0

Descomponiendo en factores la ecuación asociada:

x 3 – x

2 – 6 x = x ( x

2 –x – 6) = x ( x - 3) ( x + 2)

Para resolver la inecuación se hace la representación geométrica de las raíces sobre la

recta real, (raíces x = 0, x = 3 , x = -2 ) dividiendo a ésta en los intervalos

representados: (raíces x = 0, x = 3 , x = -2 )

-2 0 +3

-Si tomamos un punto cualquiera perteneciente al intervalo 2, , por ejemplo -3, y

lo sustituimos en el producto x ( x - 3) ( x + 2).

Resultará: -3 · ( -3 - 3) ( -3 + 2) = -3 · -6 · -1 = -18 NEGATIVO

Esto indica que para todos los puntos pertenecientes al intervalo considerado, el signo

de la ecuación siempre es negativo.


Pág. 82

-Si tomamos un punto cualquiera perteneciente al intervalo 0,2 por ejemplo -1, y lo

sustituimos en el producto x ( x - 3) ( x + 2).

Resultará: -1 · ( -1 -3) ( -1 +2) = -1 · -4 · +1 = + 4 POSITIVO


de la ecuación siempre es positivo.

-Si tomamos un punto cualquiera perteneciente al intervalo 3,0 , por ejemplo 1, y lo


Resultará: 1 ( 1 – 3) ( 1 + 2 ) = 1 · -2 · 3 = - 6 NEGATIVO



-Si tomamos un punto cualquiera perteneciente al intervalo ,3 , por ejemplo 4, y lo


Resultará: 4 (4 – 3) ( 4 + 2) = 4 · 1 · 6 = 24 POSITIVO.


de la ecuación siempre es positivo.

Las soluciones de una inecuación son los números que al sustituir a la incógnita hacen

ciertas la desigualdad.

Luego la solución de la inecuación x 3 – x

2 – 6 x < 0 se encontrará en los valores de x

donde la inecuación toma valores menores que cero ( < 0)

Luego la solución será 2, 3,0

Ejercicio 13.- Resuelve as inecuaciones:

a) x 3

- 5 x 2

- 6x < 0 b) (x 2

-9) ( x +1) > 0 c) (1 -x 2

) ( x 2

– 9) < 0

d) (10 x +3) ( x + 1) ( x-2) 0 e) ( x+ 1) ( x -2 ) ( x +2) > 0


Pág. 83

Inecuaciones Racionales.

Inecuaciones del tipo 0)(

)(

xQ

xP , se pueden resolver descomponiendo los polinomios

que forman el denominador y numerador en factores de primer grado, representando

sus raíces en la recta real, y estudiando el signo del cociente de forma similar al

estudiado en las inecuaciones polinómicas de grado superior a dos.

Veamos un ejemplo: 01

)3)(2(

x

xx, en este caso ya está descompuesta en factores

de primer grado. Raíces del numerador: x = 2 , x = 3, raíces del denominador x = - 1.

Representemos las raíces en la recta real:

-1 2 3

Debemos tener en cuenta que x no puede valer nunca 1, ya que hace que el

denominador se haría cero, y no existe la división por cero. Sin embargo en numerador

puede ser cero en x = 2 y x = 3, luego los intervalos serán: 1,

3,2,2,1 ,3

-Si tomamos un punto cualquiera perteneciente al intervalo 1, , por ejemplo -3, y

lo sustituimos en 1

)3)(2(

x

xx

Resultará 2

30

2

6·5

13

)33)(23( que e s un número NEGATIVO



-Si tomamos un punto cualquiera perteneciente al intervalo 2,1 por ejemplo 0, y lo

sustituimos en 1

)3)(2(

x

xx.

Resultará: 1

6

10

)30)(20( que es un número POSITIVO.

Ahora tú: Comprueba los signo de los dos intervalos restantes.

¿Cuál será la solución entonces de la inecuación propuesta?

Ejercicio 14. - Resuelve las siguientes inecuaciones :

a) 21

12

x

x b) 0

5

52

x

x c) 1

2

4

x

x d) 01

2

53

x

x


Pág. 84

Ejercicio 15. -Resuelve las siguientes inecuaciones de segundo grado:

a) 04 2x b) 0232 xx c) 0323 xx d) 032xx

Ejercicio 16. - Resuelve las siguientes inecuaciones representando las soluciones en la

recta real

a) )2(3)3(2 xx b) xxxx

6

13

3

2

4

1 c) 523

22xx


Pág. 85

EJERCICIOS DE INECUACIONES

1. Resuelve las siguientes inecuaciones de primer grado y representa gráficamente sus

soluciones:

131)5392)7436) 2 xxxxcxxbxxa

22

14

4

8

3

25)

12

52

3

42)

65

23)

xxxf

xxe

xxxd

2. Resuelve las siguientes inecuaciones de segundo grado:

,3

2

4

1,:021112)9,2:0187) 22 xSolxxbxSolxxa

1,2

19:44

5

121),

2

3

2

3,:049)

22 xSolx

xxxdxSolxc

tieneNoSolxxfxSolxxe :032),:096) 22

,5

95,:

4

121

2

1

3

132)

2

xSolxxxx

g

3. Resuelve las siguientes inecuaciones de grado superior:

,10,1:0) 3 xSolxxa

,3:0341) 2 xSolxxxb

2,12,:044) 23 xSolxxxc

3,20,:065) 23 xSolxxxd

1,0:032) 24 xSolxxxe

3,22,3:03613) 24 xSolxxf

,21,:0211)23

xSolxxxg

,21,0:0121) 2 xSolxxxxh

4. Resuelve las siguientes inecuaciones racionales:

2,2:02

2) xSol

x

xa 3,

2

3:0

3

32) xSol

x

xb

,01,:01

) xSolx

xc

,11,3:03

1)

2

xSolx

xd

3,21,3:02

9)

2

2

xSolxx

xe

9,33,:3

2

3

1) xSol

xxf

4,22,:2

3

2

1

4

4)

2

2

xSolx

x

xx

xg


Pág. 86

Repaso

1.- Plantea y resuelve:

a) Halla un número sabiendo que su cuadrado mas su doble es igual a cero.¿Cuántos

números cumplen la condición?

b) Halla un número sabiendo que el doble de su cuadrado menos diez veces su valor es

cero ¿Cuántos hay?

c) Si al cuadrado de la cantidad de monedas de euro que tengo lo disminuyo en diez

veces dicha cantidad,” me quedo sin un duro” ¿Cuántas céntimos tengo?

2.-Plantea ecuaciones de segundo grado que tengan por soluciones:

a) x 1= 2 ; x 2= -1; b) x 1= 2 ; x 2 = -3; c) x 1 = 1/2 ; x 2 = 2; d) x 1= 0 ; x 2 = - 3;

3.- Resuelve las ecuaciones de segundo grado:

a) m2 = 5 m – 7 b) 4x - 8 = x

2/2; c) t

2 = - 2 t – 1 ; d) x

2 – 10 ( x - 3 ) = - 4 ;

d) x 4-5 x

2+4=0 e)x

4-26 x

2+25 = 0

4.-.- ¿Cuántas soluciones puede tener una ecuación de segundo grado?

a) ¿En qué caso las soluciones de una ecuación de segundo grado serán números

racionales? ¿En que caso serán números irracionales? ¿De qué dependen el

número y el tipo de soluciones de una ecuación de segundo grado?

b) ¿Plantea ecuaciones de segundo grado que tengan una, dos ó ninguna solución y

resuélvalas para comprobarlo?

5. - Un albergue juvenil tiene habitaciones con literas de dos y de cuatro camas.

Sabiendo que tiene 80 habitaciones y 270 camas ¿cuántas habitaciones son de cada

tipo?

6. -En unos grandes almacenes hacen una rebaja del 20% en abrigos y del 10% en

camisas, Julia paga 128,4 €. por un abrigo y una camisa. Si los hubiera comprado

antes de las rebajas habrían costado 156 €. ¿Cuál era el precio sin rebajar del abrigo y

de la camisa?

7. - Divide un listón de madera de 1,20 metros en dos trozos de modo que el producto

de las longitudes de los dos trozos sea de 1100 cm2. Halla las longitudes de los dos

trozos.

8. - Un estanque tiene un volumen de 2000 m3. Si tiene 5 m. de profundidad y es 5 m

mas largo que ancho, ¿cuáles son las dimensiones?

9. - La suma de las edades de un padre y su hijo es de 58 años y dentro de diez años la

edad del padre será el doble que la de su hijo. Calcula las edades de ambos.

10. - Elisa y Patricia van a jugar un partido de tenis y entre el público se encuentran

sus hermanos, que forman un grupo no superior a seis.

a) ¿Qué condición deben de cumplir los hermanos de Elisa y Patricia?

b) ¿Puede ser el número de hermanos un número negativo?

c) Plantea el sistema de inecuaciones y resuélvelo gráficamente.

d) ¿Todas las soluciones del sistema de inecuaciones son soluciones del problema

en este contexto?


Pág. 87

11. - ¿Cómo debe ser el término independiente de la ecuación x2 – 2 x + c = 0 para que

tenga dos soluciones distintas?

12.- Dibuja los ejes coordenados en cada caso y resuelve de forma gráfica las

inecuaciones siguientes:

2);0);22);01);22):0) yfyeyxdxcyxbyxa

13.- Un día estaba pintando distraídamente los ejes cartesianos en el suelo, cuando

observé que una hormiguita se paseaba alegremente sin salir del recinto determinado

por las ecuaciones:

02

01

y

x Dibuja el recinto por dónde se paseaba la hormiguita

14.- Resuelve las siguientes inecuaciones poli nómicas:

a) x 2

- 4 x - 3 < 0 b) x 2 + 5 x - 6 > 0 c) x

2 - 4 < 0 d) 6x

2 - 7x - 2 0

e) 3x 2

- 10 x +3 0 f) 6 - x – x 2 > 0 g) 2 x ( x- 3) > 3 x

2 h) x

2 – 6 < 5x

a) x 2-5 x + 6<0 b) x

2- 4>0 c) x

2-4 x + 3 0 d)x

3-x

2-4 x + 4<0

15.-Calcula la solución de las siguientes inecuaciones fraccionarias:

22

)13

)02

12)0

1

3)

x

xd

x

xc

x

xb

x

xa

16.- Resuelve la inecuación: y-2x+4<0

17.- Resuelve las inecuaciones:

a) x + 5 >11 b) 33

2

2

3 xx

18.- Determina la ecuación de segundo grado que tiene por suma y producto de las

raíces los valores que a continuación de dan: S = 2 y P = -15

19.- Resuelve la ecuación irracional

a) 737 xx b) xx 112 c) xx 25163

20.-Tres segmento miden respectivamente 8, 22 y 24 cm. Si se añade a los tres una

misma longitud, el triángulo construido con ellos es rectángulo. Halla dicha longitud.

21.- El producto de dos números es 4 y la suma de sus cuadrados es 17 ¿ Cuáles son

esos números?

22. - Resuelve gráficamente los siguientes sistemas de ecuaciones:

a)1025

623

yx

yx b)

22

112

yx

yx c)

245

1032

yx

yx


Pág. 88

23. - Por métodos algebraicos soluciona los siguientes sistemas de ecuaciones:

a) 3

32

23)(2

yx

yyxx

b)

4

31

5

12

24

5

2

3

yx

yx

c)53

1210

yxx

yx

24. -Resuelve las siguientes inecuaciones de segundo grado:

a) 04 2x b) 0232 xx c) 0323 xx d) 032xx

25. - Resuelve las siguientes inecuaciones representando las soluciones en la recta real

a) )2(3)3(2 xx b) xxxx

6

13

3

2

4

1 c) 523

22xx

26. - Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas:

a) 33

1652

yx

yx b)

1

0

yx

y c)

0

0

203

y

x

yx

27. - Si el perímetro de un triángulo equilátero es mayor que 24 ¿qué puedes decir de su

lado?


Pág. 89


Pág. 90


Pág. 91


Pág. 92


Pág. 93

Autoevaluación

1.- Atendiendo al número de soluciones clasifica los siguientes sistemas de ecuaciones.

a) x + y = -1 b) 2 x – y = 3 c) 3x + 2 y = 4

2 x -y = 1 4 x -2 y = 12 6 x = 8 - 4 y

Si representásemos gráficamente estos sistemas, ¿qué podríamos prever de la situación

de las de las ecuaciones en el plano cartesiano?

2.- ¿Cómo debe ser el coeficiente “b” en la ecuación x 2

+ b x + 1 = 0 para que dicha

ecuación deba tener dos soluciones reales? ¿Y para que tenga una raíz? ¿Y para que no

tenga raíces reales?

3.- Resuelve las inecuaciones:

a) x3 + 4 x

2 + 5 x + 2 0 3

43

5)

x

xb c) x

2 – 6 < 5x

4.- La diagonal de un rectángulo mide 30 cm. y su área 432 cm2. Halla las dimensiones

del rectángulo.

5.-Resuelve las ecuaciones siguientes:

a) 6412 xx b) x 4- 5 x

2 + 4 = 0

6.- Resuelve: x + y 1

x - y > 1


Pág. 94

Refuerzo Unidad IV

1.- En un triángulo rectángulo un cateto mide 24 cm. y la hipotenusa 18 cm más que el

otro cateto. Halla el perímetro y el área del triangulo.

2.- Halla la solución de las siguientes ecuaciones.

a) x 4 –17 x

2 + 16 = 0 b) (x-2)

2 = 3 c) xx 25163

3.- Por métodos algebraicos resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:

323

23)(2

yx

yyxx

42

6122

yx

yx

4.- Resuelve las siguientes inecuaciones:

a) x 2-2 x – 3 < 0 b) x

3 – x > 0 c) 1

3

2

x

x d) x

3 – x

2 -4 x + 4 < 0 e) 2

1

12

x

x

5.- Para que la solución del sistema a x + b y = 4 sea (2,3) Calcula los valores de a

y b

6.-Explica los siguientes términos apoyándote en ejemplos y representaciones gráficas:

a) Sistemas de ecuaciones lineales

b) Sistemas de ecuaciones compatibles determinado

c) Sistemas de ecuaciones compatibles indeterminados

d) Sistemas de ecuaciones incompatibles

e) Resolver un sistemas de ecuaciones

f) Solución de un sistema de ecuaciones lineales

g) Solución de un sistema de inecuaciones

7.- Representar el conjunto de puntos que satisface la inecuación 2 x – 3 y + 5 > 0 ;

8.- Resuelve: 7 x + 2 y > 14

4 x + 5 y > 20

9.- Escribe una ecuación de segundo grado que tenga por soluciones: 3 /4 y -2.

10.- Halla el lado de un cuadrado tal que la suma de su área mas su perímetro es igual a

252.

11.-Calcula el valor de b para que la ecuación 3 x 2

– b x + 3 = 0 tenga dos soluciones.


Pág. 95

UNIDAD V. LOGARITMOS. ECUACIONES EXPONENCIALES Y

LOGARÍTMICAS.

1. Concepto de logaritmo. Nomenclatura. Cálculo de logaritmos en cualquier

base.

2. Propiedades de los logaritmos.

3. Ecuaciones logarítmicas y exponenciales.

Concepto de logaritmo. Nomenclatura. Cálculo de logaritmos en cualquier base.

Consideremos la igualdad 823 (tomaremos la base y el exponente natural para

comprender más fácilmente los conceptos).

Si ocultamos la base, esto es, 83x , y nos preguntamos ¿qué número elevado al cubo,

es decir, multiplicado tres veces por sí mismo, da 8?, averiguamos que es 2 y escribimos

283 diciendo entonces que 2 es la raíz cúbica de 8.

Por otro lado, si ocultamos el exponente, es decir, 82 x , y nos preguntamos ¿a qué

número tenemos que elevar 2 para obtener 8?. Averiguamos que es 3, escribiendo

entonces que 38log 2 diciendo entonces que 3 es el logaritmo de 8 en base 2. Esto

dará lugar a otra operación desconocida hasta ahora llamada logaritmo. En general

daremos la siguiente:

Definición: llamamos logaritmo en base b del número N al exponente al que hay que

elevar b para obtener N, es decir,

aNblog “si y solo si” abN

La base “b” ha de ser siempre positiva (aunque puede ser cualquier número real) y por

lo tanto N también lo será.

Si escribimos “log” sin indicar ninguna base supondremos que ésta es 10 llamándose

logaritmo decimal, y si escribimos “ln”, la base será el número “e” diciendo entonces

que los logaritmos son neperianos.

En las calculadoras científicas aparecen ambos logaritmos y para su cálculo escribimos

primero el número y después la tecla de logaritmo correspondiente (es al contrario en

los modelos nuevos). Para calcular el logaritmo en cualquier base usaremos las fórmulas

siguientes:

b

NNb

log

loglog o bien

b

NNb

ln

lnlog

Ejemplo: 5log

100log100log 5

Si no disponemos de calculadora intentaremos realizar el cálculo mediante la definición,

es decir:

x81log 3 → 813x → 433x → x = 4

esto lo haremos si el número dado se puede escribir como potencia de la base del

logaritmo, pues en caso contrario terminaremos usando la calculadora.


Pág. 96

Propiedades de los logaritmos.

a) 01log b para cualquier base.

b) 1log bb

c) Solo tienen logaritmos los números positivos.

d) BABA logloglog

e) BAB

Alogloglog

f) ApA p loglog

g) Para el “log de una raíz” basta escribir una potencia de exponente

fraccionario.

Ecuaciones logarítmicas y exponenciales.

Ecuaciones logarítmicas: son ecuaciones donde la incógnita está sometida a la acción

del logaritmo, como por ejemplo:

2

1log)1log(log xx

Para resolverlas intentaremos llegar a una igualdad del tipo

log ESTO = log AQUELLO, de donde deduciremos que ESTO = AQUELLO

(desapareciendo el log).

Resolvamos pues el ejemplo anterior (usando las fórmulas de la pregunta anterior)

2

1log)1log(log xx ;

2

1log

1log

x

x ;

2

1

1x

x ; 12 xx ; x = 1

Ejemplo: en algunos ejercicios donde aparece un número suelto podemos sustituirlo por

otra expresión que incluya la palabra logaritmo como por ejemplo:

24loglog xx ; 100log4log xx ; 1004 2x ; 4

1002x ; 252x ; x = 5

o bien, si no usamos este artificio, aplicamos la definición de logaritmo

24loglog xx ; 24log xx ; 24log 2x ; 22 410 x ; 4

1002x ; x = 5

A veces al resolver una ecuación logarítmica podemos terminar resolviendo una de tipo

exponencial, en la cual también se intenta llegar a una expresión de la forma:

baseESTO

= baseAQUELLO

,de donde pondremos: ESTO = AQUELLO

(“base ha de ser el mismo número en ambos miembros”)


Pág. 97

Ejercicios de logaritmos

Sabiendo que aNblog si y solo si abN , realiza los siguientes ejercicios:

1. Calcula x en: a) 2log 5 x ; b) 2log 4 x ; c) 4log2

1 x ; d) 0log x ,

e) 3log x ; f) 3

1log8 x ; g)

2

1log 4 x ; h) 1log 3 x ; i)

2

1log 25 x

2. Calcula x en: a) x36log 6 ; b) x27log 3 ; c) x2187

1log3 ;

d) x3log 9 ; e) x8log 4 ; f) x2log 4 ; g) x8

1log8

; h) x2log2

1

3. Calcula x en: a) 216log x , b) 4

110log x ; c) 4

81

1log x ; d)

2

19log x

e) 25,02log x ; f) 3001,0log x ; g) 3125log x ; h) 3

13log x

4. ¿Qué relación existe entre 2log 3 y 2

1log

31 .

5. Si 25,0log ba , ¿cuánto vale ablog ?

6. ¿Qué relación hay entre a y b si log a + log b = 0?

7. ¿Qué relación hay entre a y b si log a + log b = 1?

8. Calcula x sabiendo que 0)))(log(loglog 235 x

9. Calcula a sabiendo que 2loglog 77 xb

a

10. Prueba que 0loglog 11 baba

11. Prueba que si loga x + loga y = 0, entonces x·y = 1

12. ¿Qué se le tiene que hacer a un número para que su logaritmo en base 3 aumente

en 2 unidades?

13. Si se multiplica por 36 el número N, su logaritmo en cierta base aumenta en 2

unidades, ¿cuál es dicha base?

14. Prueba que a

b

b

ababa log)log()log( 22

15. Prueba que 0)1(log)1(log 21

221

2 xxxx para todo x > 1

16. Prueba 21

21

21

21

ln)ln(ln2

1ln

2

111ln baabba

ba


Pág. 98

EJERCICIOS DE ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

1. Resuelve:

5331 39)160054)181232) xxxxxx cba

117333)18)5210) 112323011 22 xxxxxxx fed

1

5

12212 5,37

2)5,02)033283)

xxxxx ihg

01787)14)) 1322323 7 xxxxx lkaaj

32)93)8

12)3 4

1121

22 xxxxx eeñnm

0813644)01222)319223) 2433 xxxxxx qpo

124

2)3

6

8)

xx

x

xsr

2. Calcula el valor de x en los siguientes casos:

3log

3

3

4

913

77)9

1log)

3

3log)33log) xdxcxbxa

10loglog)2log)27log)2log) 4

777 xhxgxfxe

3. Calcula:

10loglog)27

9log)

9

1log)

3

3log)

33log)16

81log)

125

1log)7log)

125

27log)

125log)6

1log)125.0log)2log)

5

1log)

3

3

3

3

4

91

33

2253433

5

2521624

8125

nmlk

jihgf

edcba

4. Desarrolla, aplicando las propiedades de los logaritmos:

4 3

32

log)c

baa 4log) dc

b

ab 3log) qp

n

mc


Pág. 99

5. Halla la expresión algebraica de x si:

dcbaxa loglog22

1log3log2log)

dcbaxb log2log3

1log3log

2

1log) bcaxc log

2

1loglog

5

3log)

6. Sabiendo que log 2 y log 3 son conocidos, calcula (sin calculadora): 3

5

12log)a 8log) 5b 025,2log)c

2

5

36log)d 32

5.08,64log)e

7. Resuelve:

3125log2log95)25log232log2

16log) 2 xxbxxa

5log132log13log)9

32loglog3

3log2

2log5) xxdx

xxc

xxfxxe2222

2log221250log)243log97log)

04log325log)9.0log1log2) 3 xxhxxg

4log

5loglog2)416log5log74) 2

yx

yxjxxi

1log2log2

3loglog)

yx

yxk

8. Resuelve:

25log5

log)3loglog7log) 33

xbxa

xxexxdc xx 2log3log2log)1log1log)225log100log)

2log23log14log)5log112log53log) xxgxxf

05log5log1log)06loglog2) xxxixxh

5log5

4loglog4)1log52log1log32log) 2xxkxxxxj

9,0log1log2)022loglog3) 2 xxmxxxl

25log232log2

16log)

9

32loglog3

3log2

2log5) xxñx

xxn

3

1log3log

9

1log

5

1log5log5log

)

yx

yx

l


Pág. 100

9. Resolver:

1loglog

2)

1loglog

9)

5

1loglog

)yx

yxc

yx

yxb

y

x

yx

a

4loglog5

7log5log)

2loglog3

5log3log2)

1loglog

3loglog)

yx

yxf

yx

yxe

yx

yxd

42

1022)

952

952)

1loglog

21)

11

22

yx

yx

yx

yx

ihyx

yxg

22

2

5log5loglog

)

2

13log

23log

)

24log

2

14log

)

y

x

y

x

y

x

xyx

lx

y

k

x

yj

Repaso

1. Desarrolla, aplicando las propiedades de los logaritmos:

4 3

3

log)bc

baa 4

2log) dc

b

ab

3 2log) qpn

mc

2. Usando la definición calcula el valor de:

log (81) log , log log , log .3 25 94

2

5

35 32

329 27, ,

3. Conociendo log2=0,3010 y log3=0,4771 y utilizando las propiedades de los

logaritmos, calcula:

log , log , log( , ) , log , .12 0 6 0 027 51843 3 5 log 4,8 , , 5

4. Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas:

a) b)

d)

e) f)

43

81

42 3 5 2 1 1 5

4 1 3 2 2 3 2 2 0

2 16 2 4 21

24

2

log log log log( ) log( ) log

) log( ) log( ) log log log( )

log log( ) log(5 ) log log( )

xx x x

c x x x x x

x x x x

5. Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales:

a) b) c)

d) e) f) 9x

2 2 320 0 4 5 2 4 0 5 5 2500

25 30 5 125 0 31

34 2 3 81 0

2 1 3 2 1 2

1 1

1

2

( )x x x x x x

x x x

x

x


Pág. 101

UNIDAD VI. FUNCIONES.

Funciones. Definición.

Son muchas las relaciones que existen entre diversos conjuntos de objetos en las

actividades cotidianas. Por ejemplo,

- A cada persona le corresponde una edad.

- A cada medicamento le corresponde un precio

- A cada automóvil le corresponde una matricula

- A cada número le corresponde su cuadrado.

- A cada número real le corresponde dos raíces cuadradas.

Uno de los aspectos mas importantes de la ciencia consiste en establecer relaciones

entre diversos tipos de fenómenos. Una vez que se conoce la relación entre los dos

tipos de fenómenos se pueden hacer predicciones. (Relación entre el espacio y el

tiempo, la relación entre la presión de un gas y la temperatura. etc.)

Las relaciones especiales llamadas funciones representan unos de los conceptos más

importantes de las matemáticas.

Relaciones y funciones: Veamos algunos ejemplos de las relaciones:

Relación 1.-A cada número se le hace corresponder su cuadrado

Relación 2. -A cada número se le hace corresponder su raíz cuadrada.

Relación 3.-A cada número se le hace corresponder su cubo.

Relación 1 Relación 2 Relación 3

Dominio. Recorrido dominio recorrido dominio recorrido Número cuadrado número raíz cuadrada número cubo

1 1 0 0 0 0

-1 1 +1 1 1

0 0 -1 -1 -1

- 2 4 2 + 2 2 8

+2 - 2 .

. .

. . .

. . .

Una relación o correspondencia es una regla (proceso, método) que produce una

correspondencia entre un primer conjunto llamado dominio y un segundo conjunto

llamado recorrido, tal que a cada elemento del dominio le corresponde uno o más

elemento del recorrido.

Una función es una relación en la que se agrega la restricción de que a cada

elemento del dominio le corresponde uno y solo uno de los elementos del recorrido

En las relaciones anteriores vemos que la relación 1 y la relación 3 son funciones, y que

la relación 2 no es función, ya que un elemento del dominio le corresponde dos

elementos del recorrido.

Relaciones especificadas mediante ecuaciones:

La mayoría de los dominios y recorridos que vamos a estudiar serán dados en R y las

reglas que hacen corresponder o asociar a cada elemento del dominio un elemento del

recorrido serán ecuaciones.

Por ejemplo, consideremos la ecuación: y = x 2

– x dónde Rx (x es un número

Real)


Pág. 102

Para cada valor de x se obtiene un resultado de y.

Por ejemplo, para x = 3, entonces y = 3 2

- 3 = 6

La ecuación asocia a cada valor x del dominio (número real cualquiera) un valor y del

recorrido.

La variable “x” se le llama variable independiente (puesto que los valores se dan en

forma independiente) y la variable “y” se le llama variable dependiente (ya que

dependen del valor que le demos a la variable independiente)

Con la ecuación anterior y = x 2

– x dónde Rx podemos obtener una tabla de

valores de la función, simplemente sustituyen la variable independiente por números

reales en la ecuación:

x 0 1 -1 2 -2 3

Y 0 0 2 2 6 6

Por comodidad solemos elegir números enteros, pero también podríamos haber tomados

otros números reales:

Por ejemplo x =2

1, entonces y =

2

1

2

12

= 4

3

Dado que en una función los elementos del recorrido y del dominio forman parejas,

esta correspondencia se puede ilustrar también en forma de pares ordenados:

(0,0) , ( 1,0) , (-1,2), ( 2, 2) (-2, 6) , ( 3 , 6) ,4

3,

2

1

Esta sería una forma alternativa pero equivalente de definir las funciones., por pares

ordenados.

Si representamos estos pares de valores en un sistema de ejes coordenados,

obtendremos una gráfica de la función.


Pág. 103

Como consecuencia de las definiciones vemos que una función, se puede determinar

de diferentes formas:

-Mediante una ecuación.

-Mediante una tabla.

-Mediante un conjunto de pares ordenados.

-Mediante una gráfica.

Prueba de la recta vertical de una función: Una relación es una función si una recta vertical pasa como máximo por un punto de la

gráfica de la función, si la recta pasa por más de un punto de la gráfica no es una

función.

En la figura siguiente vemos la gráfica de una relación que no es una función, ya que

cualquier recta vertical puede cortar a la gráfica en más de un punto.

Notación de funciones.

De la misma forma que utilizamos letras ”x” e “y” para designar las variables

independiente y dependiente, utilizaremos también letras para designar las funciones,

por ejemplo las letras “f” y “g”, para designar las siguientes funciones:

f : y = 2 x + 1

g: y = x 2 + 2 x - 3

Si “x” representa un elemento del dominio de la función f, frecuentemente vamos

a utilizar f(x) en lugar de “y” para designar el número del recorrido de la función f

asociado a “x”.

El símbolo f(x), se lee “efe de x “ y representa la pareja de “x”, o valor de “y” asociado

a “x”, utilizaremos indistintamente: “y” ó “f(x)”, es decir las funciones anteriores la

podemos escribir:

f (x) = 2 x + 1

g (x) = x 2 + 2 x - 3

La ventaja de esta notación es que si escribimos f (2) y g (1), es que indican de forma

clara el valor del recorrido asociado a estos valores:


Pág. 104

f(2) = 2 · 2 + 1 = 5

g(1) = 12

+ 2 · 1 – 3 = 0

Ejercicio 3.- Dadas las funciones:

a) f(x) = 2x +3 Calcula f(0), f(-1), f 3

2

b) g(x) = 4

22x

x Calcula g( 0), g ( 1 ), g ( 2), g ( -2 ) , g ( 3)

Ejercicio 4.- a) Dada la función f(x) = x + 7. Calcula “ x “ para f(x) = 2, y =0 , f(x) = -3

b) Dada la función y = 4

22x

x. Calcula “x” para f(x) = 0, y = 1, y = - 2

Ejercicio 5.- Obtén una tabla con cinco pares de valores de la función dada por la

ecuación y = 2x – x 3

Ejercicio 6.- La función dada por la ecuación y 2

= x siendo “x” la variable

independiente ¿es una función?

Ejercicio 7.- Encontrar el dominio y el recorrido de la función:

2,1,2,0,3,1,3,2f

Ejercicio 8.- Encontrar el dominio y recorrido de la función:

2,14,5,3,2,1,1,1,2g

Si una función está definida mediante una ecuación y no se indica el dominio, se

supondrá que éste es el conjunto de todos los números reales que, al reemplazar a la

variable independiente produzcan valores reales de la variable dependiente.

El recorrido será el conjunto de todos los resultados correspondientes a los valores

sustituidos.

Ejercicio 9.- ¿Cuál es el dominio y recorrido de la función definida por la ecuación

y = x 2

+3? ¿Y de la función y = 3 x 3

+ 2 x 2 + 5 x -2?

Ejercicio 10.- ¿Cuál es el dominio de la función x

y1

? ¿Y de la función

4

22x

xy ?

Ejercicio 11.- ¿Cuál es el dominio de la función y = x ?¿Y de la función

y = xx 2?

Ejercicio 12.- Sabrías encontrar una regla para definir los dominios de funciones

polinómicas ( ejercicio 9), racionales (ejercicio 10 ) e irracionales (ejercicio 11)?


Pág. 105

x

y

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

-3

-2

-1

0

1

2

3

También podemos calcular el dominio a través de sus gráficas.

Cuando se dibuja la gráfica de una función, los valores del dominio se asocian por lo

general al eje de abscisas (eje horizontal) y los valores del recorrido al eje de

ordenadas (eje vertical).

Ejemplo: Gráfica de la función “f”

R

e

c

o

r

r

i

d

o

Dominio

Ejercicio 13.- ¿Cuál será el dominio de la función “f”? ¿Y su recorrido? A la vista de la

gráfica podrías completar la siguiente tabla:

x -1,5 1 0 2

y 1,5

Ejercicio 14.- Calcula el dominio y el recorrido de las gráficas de las funciones

representadas:

Función: f (x) Función: g(x)

Puntos de Intersección con los ejes:

Son los puntos donde la gráfica corta a los ejes de coordenadas. En los puntos de

intersección con el eje X el valor de y = 0, mientras que los puntos de intersección con

el eje Y el valor de x =0.

Ejemplo: Calcula los puntos de intersección con los ejes de las siguientes funciones:

y = 2 x + 3

En la función y = 2x +3 ,


Pág. 106

Para calcular la intersección con el eje X sabemos que y = 0, y calculamos el valor de

“x” que le corresponde sustituyendo: 0 = 2 x +3, luego - 2 x = 3 y despejando

2

3x luego el punto de intersección o de corte será 0,

2

3.

Para calcular la intersección con el eje Y , sabemos que x =0 , y calculamos el valor de

“y” que le corresponde sustituyendo: y = 2 · 0 + 3 , luego y = 3, por lo tanto el punto

de intersección será ( 0, 3)

Ejercicio 16.- Calcula los puntos de intersección con los ejes de las siguientes

funciones:

a) y = 3x -2 b) y = x 2

– 4 c) 3

22xy d) y = x – 1 e)

1

2

x

xy

Propiedades generales de las funciones.

Todas las funciones que tienen un dominio y un recorrido de números reales tienen una

gráfica, que es la grafica de las parejas ordenadas de números reales que constituyen la

función.

Ahora vamos a ver algunas propiedades de la funciones mediante su graficas.

Simetrías:

Una función que es simétrica con respecto al eje de ordenadas se le llama función par,

si la función es simétrica con respecto al origen se dice impar.


Pág. 107

Sin necesidad de dibujar la gráfica podemos conocer si una función es par o impar

simplemente comprobando:

Si f (-x) = f (x) entonces la función es par. (simétrica respecto al eje de ordenadas)

Si f (-x) = - f(x) entonces la función es impar. (simétrica respecto al origen de

coordenadas)

Ejemplo: Determina sin hacer la gráfica si las funciones siguientes son pares o impares.

a) f (x) = x 3 , b) g(x) = x

2 d) h(x) = x

3 + 1

a) f(x) = x 3

; Sustituyendo “x” por “-x” en la función dada f(-x) = (-x) 3

= - x 3

vemos que “- x 3

” es igual f(x) pero negativa, es decir que

f(-x) = (-x) 3

= - x 3 = - f(x) luego la función es IMPAR

b) g(x) = x2; Sustituyendo “x” por “-x” en la función dada g(-x) = (-x)

2 = x

2

vemos que “ x 2

” es igual g(x) , es decir que

g(-x) = (-x) 2

= x 2

= g (x) luego la función es PAR.

c) h(x) = x 3 +1; Sustituyendo “x” por “-x” en la función dada

h(-x) = (-x) 3

+1= - x 3

+1 vemos que no es igual que h(x) , ni que -h(x) luego

dicha función no es par ni impar.

Veamos sus gráficas:

Para la función f(x) = x 3

. Impar. Simétrica con respecto al origen

f(1) = 1

f(-1) = -1


Pág. 108

Para la función g(x) = x 2.

Par. Simétrica respecto del eje de ordenadas

g ( -2) =4 g ( 2) = 4

Para la función h ( x ). Ni par, ni impar.

¿Por que importa saber si una función es impar o par? Por que si desea graficar la

función nos va a dar información auxiliar para dibujarla reduciendo los cálculos.

Ejercicio 15.- Sin graficar, determinar si las funciones siguientes son pares o impares.

a) y = x 3

+ x b) g(x) = x 2 + 1 c) y = 2 x + 4 d) h(x) = 3 x


Pág. 109

Tasa de variación

Consideremos una función y = f (x) y consideremos dos puntos próximos sobre el eje

de abscisas "a" y "a+h" , siendo "h" un número real que corresponde al incremento

de x (Δx) .

Se llama tasa de variación (T.V.) de la función en el intervalo [a, a+h] ,

que se representa por Δy , a la diferencia entre las ordenadas correspondientes

a los puntos de abscisas a y a+h .

Δy = [f (a+h) − f (a)]

Tasa de variación media

Se llama tasa de variación media (T.V.M.) en intervalo [a, a+h] , y se

representa por ó , al cociente entre la tasa d e variación y la

amplitud del intervalo considerado sobre el eje de abscisas, h ó Δx, esto es:

Interpretación geométrica

La expresión anterior coincide con la pendiente de la recta secante a la función

f (x) , que pasa por los puntos de abscisas a y a+h .

ya que en el triángulo PQR resulta que:

Calcular la T.V.M. de la función f(x) = x

2 − x en el intervalo [1,4].

El índice de la bolsa de Madrid pasó cierto año de 1350 a 1510. Hallar la tasa de

variación media mensual.


Pág. 110

Signo de la función: Si la función es positiva, su gráfica se sitúa por encima del eje

X, y si es negativa se sitúa por debajo del eje X.

Ejemplo: Dada la gráfica de la función “f”, estudia el signo de la función

x

y

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

La función será positiva para todos los números menores que -1, es decir en el intervalo

1,

La función será negativa para todos los números mayores que -1 y menores que 1 es

decir en el intervalo 1,1

La función volverá ser positiva para todos los números mayores que 1 y menores que 2,

es decir en el intervalo 2,1

La función volverá a ser negativa para todos los números mayores que 2, es decir en el

intervalo ,2 .

La función será nula en x= -1, x = 1 , y en x = 2

Ejercicio 16.- Estudia el signo de la gráfica de la función siguiente


Pág. 111

Monotonía:

Crecimiento y decrecimiento: El crecimiento y decrecimiento son propiedades locales,

es decir no se estudian en todo su dominio sino por intervalos., aunque a veces

podemos decir que una función es creciente en todo su dominio si lo es en todos sus

puntos.

Intuitivamente una función es creciente en un intervalo de su dominio si al aumentar

el valor de la variable independiente (x) aumenta el valor de su variable dependiente

(y)

Es decir si tomamos dos puntos cualesquiera de un intervalo “x 1” y “ x 2 ” , y si lo

comparamos vemos que :

x 1 > x 2 y sus asociados f(x 1) > f(x 2) se dice que la

función es creciente en ese intervalo:

Intuitivamente una función es decreciente en un intervalo de su dominio si al

aumentar el valor de la variable independiente disminuye el valor de su variable

dependiente.

Es decir si tomamos dos puntos cualesquiera de un intervalo “x 1” y “ x 2 ” , y si lo

comparamos vemos que :

x 1 > x 2 y sus asociados f(x 1) < f(x 2) se dice que la

función es decreciente en ese intervalo:

Y se dice que una función es constante en un intervalo de su dominio si para

cualquier par de valores de “ x”: x1, x2 de dicho intervalo siempre se cumple que

f(x1) =f(x2)

Ejercicio 9.- Estudia el dominio, recorrido, signo, intersecciones con los ejes, y

monotonía (crecimiento, decrecimiento), de la grafica de la función siguiente:

D C. D. Cte.

D= decreciente; C = creciente; C te

= constante


Pág. 112

Máximos y mínimos.

Si observamos la representación de una función vemos puntos donde la gráfica

presenta cambios en el crecimiento de la función

Max. relativo

mín. relativo mín. relativo

Se observa que hay puntos donde la función pasa de ser creciente a decreciente y al

revés. Estos puntos se les llama máximo y mínimos relativos.

-Si observamos la gráfica vemos que x = -1,5 es un mínimo relativo porque cualquier

punto cercano a él le corresponde un valor de la función mayor.

De igual forma podemos afirmar que la función tiene un máximo relativo en x = 0

porque cualquier punto cercano a él le corresponde un valor de la función menor.

Ejercicio 10.- ¿Existe otro mínimo relativo en la gráfica anterior? ¿En que punto?

¿Cuál es su valor?

En general el Máximos absoluto de una función es el mayor de los máximos relativos

de dicha función. Por otra parte, si una función está definida en un intervalo cerrado

ba, sus máximos absolutos, si los tiene, serán los puntos del intervalo dónde la

función alcance esos valores.

En general el Mínimos absoluto de una función es el menor de los mínimos relativos

de dicha función. Por otra parte, si una función está definida en un intervalo cerrado

ba, sus mínimos absolutos, si los tiene, serán los puntos del intervalo dónde la

función alcance esos valores.


Pág. 113

Max. Absoluto

Mín. Absoluto

Asíntotas:

Veamos una función racional que se llama hipérbola: f(x) = x

1, si queremos

representarla construyamos una tabla de valores:

x -3 -2 -1 0 1 2 3

Y

Aunque es obvio que esta función no existe para x = 0 , es conveniente saber lo que

sucede en la gráfica cuando x toma valores próximos a cero, ya sea acercándonos por la

derecha del cero ( 0x ) o por la izquierda del cero ( 0x )

Construye las tablas: x se aproxima a 0 ( 0x )

x 1 0,1 0,01 0,0001 0,0000001 … …

1/x


Pág. 114

x se aproxima a 0 ( 0x )

x -1 -0,1 -0,001 …… …… ……

1/x

Observemos las tablas y la gráfica:

Cuando x se aproxima a 0 por la derecha ( 0x ) 1/x se vuelve cada vez mayor,

aumenta sin límite.

Cuando x se aproxima a 0 por la izquierda ( 0x ) 1/x se vuelve cada vez menor,

disminuye sin límite.

Por lo tanto la gráfica de la función se acerca al eje vertical “Y” pero sin tocarlo

cuando x se acerca a cero.

Las rectas fijas a las que se aproxima una gráfica se llaman asíntotas. En este caso

el eje vertical Y es una asuntota vertical.

Veamos ahora el comportamiento de la función para valores de “ x ” muy

grandes, es decir cuando x y también cuando x

x 1 10 1000 100000 100000000 … …

1/x

x -1 -10 -1000 …… ……

1/x

Ejercicio 11.-¿Qué puedes deducir de estas dos últimas tablas?

En general una recta x =a es una asíntota vertical de una función si esta aumento o

disminuye sin límite cuando ax o ax .

Una recta y = b es una asíntota horizontal si f(x) se aproxima a “b” cuando x

o x


Pág. 115

Ejercicio 12.- En las siguientes gráficas de funciones racionales escribe las ecuaciones

de sus asíntotas horizontales y verticales.

Continuidad.

Una función es continua cuando su gráfica no presenta interrupciones. En caso

contrario será discontinua en los valores de ―x‖ en los que se presentan interrupciones.

Discontinuidades. Una función es discontinua en un punto x = a si su gráfica se

interrumpe en ese punto.

En ese puntos x = a se pueden presentar los tres tipos de discontinuidades siguientes

a) Discontinuidad evitable

x

y

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-1

0

1

2

3

4

5

x

y

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-1

0

1

2

3

4

5


Pág. 116

x

y

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

-2

-1

0

1

2

3

4

Estas gráficas se dicen que presentan una discontinuidad evitable en el punto x = a, ya

que sólo faltaría añadir o modificar dicho punto para que las funciones fuesen continuas

en él.

Este tipo de discontinuidad crea un “agujero” en la gráfica de la función.

b) Discontinuidad de salto finito.

Ésta gráfica se dice que en el punto x = 1 presenta una discontinuidad de salto finito

La amplitud del salto es la diferencia positiva entre 1 y 0,5

c) Discontinuidad asintótica

En la gráfica de esta función se dice que en el punto x = -1 presenta una

discontinuidad de salto infinito o asintótica.


Pág. 117

x

y

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

-2

0

2

4

6

8

10

12

Estudiemos que ocurre con la función en valores de “x” próximos a -1:

- Para cada valor de x próximos a -1 y menores que -1, (valores por la izquierda

de -1: -1,1; -1,01; -1,001; …), la función (y) toma valores cada vez mas

pequeños; matemáticamente esto se expresa diciendo que la función tiende a

menos infinito ( y ).

- Para cada valor de x próximos a -1 y mayores que -1, (valores por la derecha de

-1 : -0,9; -0,99;…), la función (y) toma valores cada vez más grandes;

matemáticamente esto se expresa diciendo que la función tiende a más infinito

( y ).

Esta función presenta una discontinuidad de salto infinito en el punto x = -1, porque

en valores próximos a -1 (por la izquierda y por la derecha) la función tiende a

ó .

Veamos otro ejemplo de discontinuidades de salto infinito.

¿En que punto presenta la discontinuidad la función de la gráfica?

Ejercicio 13.- Estudia las discontinuidades de las siguiente función.


Pág. 118

x

y

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

-6

-4

-2

0

2

4

6

Clasificación de las funciones a partir de la ecuación o criterio que la define.

Representación gráfica.

- Funciones polinómicas:

Función lineal: f es una función del tipo y = m x + n

dónde m 0, m, n R

mx + n es un polinomio de primer grado.

La gráfica de esta función es una línea recta, y ya que por dos puntos pasa una línea

recta solamente será necesario construir una tabla de valores para un par de puntos.

Por ejemplo, estudiemos la función y = 43

2x

Grafiquemos la función y = 43

2x , construyamos su tabla

x 0 3

y 4 2

Cualquier otro punto estará alineado con estos dos puntos, es decir pertenece a la recta.

Ejercicio 14.- Comprueba si los puntos (1,2), (6,0) pertenecen a dicha recta

Grafiquemos y = 43

2x

Ejercicio 15 .- En la grafica de la función anterior, calcula:

Dominio:

Recorrido:

Intersecciones con los ejes:

Continuidad:

Crecimiento:

Ejercicio 16.- Graficar las siguientes funciones lineales

a) y = x2

1 - 2 b) y = 2x + 3 c) y = 2 x


Pág. 119

Estudiemos el significado de “m” y “n”.

Pendiente de una recta. El coeficiente ―m‖ nos da una medida de la inclinación de la

recta, que llamaremos pendiente.

Interpretada geométricamente la pendiente de la recta es la razón (cociente) del

cambio de las ordenadas (y) al cambio de las abscisas (x), cuando P1 se mueve a P2,

Figura 1.

P2 (x 2, y 2)

P1 (x 1, y 1)

En la Figura 1, P 1 ( x 1, y 1) y P2 ( x2, y2) son dos puntos distintos de una recta , la

pendiente vendrá dada por:

12

12

xx

yy

abscisasdecambio

ordenadasdecambiom

Figura 2

P1 ( , )

P2 ( , )

Ejercicio 17.- Escribe las coordenadas de los puntos P 1 y P 2 y calcula la pendiente de

la recta de la figura 2.

¿Sabrías relacionar el signo de la pendiente con el crecimiento y decrecimiento de la

función lineal?


Pág. 120

x

y

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

-2

-1

0

1

2

3

4

5

Figura 3.

P1 ( , ) P2 ( , )

Ejercicio 17 .- Escribe las coordenadas de dos puntos P 1 y P 2 y calcula la pendiente de

la recta de la figura 3

Veamos el caso de una recta vertical o paralela al eje Y.

Por ejemplo la gráfica de la recta de la figura 4.

Ésta grafica no representa ninguna función, ya que para un determinado valor de x ( en

este caso x = 1), la ordenada toma cualquier valor, y si recordamos la definición de

función que vimos al principio de la unidad:

Una función es una relación en la que se agrega la restricción de que a cada

elemento del dominio le corresponde uno y solo uno de los elementos del recorrido

Y como independientemente del valor que tenga “y”, “x” siempre toma el valor 1, su

ecuación será x = 1. Luego la recta de ecuación x = 1 no es una función

Figura 4

Ejercicio 18.- Encuentra la pendiente de la recta representada en la figura 4.


Pág. 121

Ejercicio 19.- Trazar una recta que pase por cada par de puntos y encontrar su

pendiente.

a) (-3,-4) , (3,2) b) (-2,3), (1, -3) c) (-4,2), (3,2) d) (2,4) , (2, -3)

Comprueba que el orden de sustitución de los puntos en la expresión de la pendiente

12

12

xx

yym es irrelevante.

Ejercicio 20.- Encontrar las ecuaciones de las rectas verticales y horizontales que pasan

por el punto (7, -12) y también por el punto (0,0). ¿Cuáles serían las ecuaciones de los

ejes coordenados?

Ordenada en el origen “n”.

El término “n” en la ecuación de la recta y = m x + n, corresponde al valor de la

ordenada (y) cuando la abscisa es cero ( x = 0), es decir en el origen.

Ejemplo: Calcula la ordenada en el origen de la ecuación de la recta: y = 3 x - 2

La ordenada en el rigen será n = - 2, ya que si x = 0 , y = 3 · 0 -2 = -2.

El afirmar que la ordenada en el origen es -2 , equivale a afirmar que pasa por el punto

(0,-2).

Ejercicio 21.- Calcula la ordenada en el origen de las funciones:

a) y = x2

1 - 2 b) y = 2x + 3 c) 2 x

Ecuación de la recta: Hasta ahora hemos dibujado las gráficas de las rectas a partir de

un par de puntos obtenidos de su ecuación.

Ahora veremos como calcular la ecuación a partir de un par de puntos de su gráfica.

Ejemplo: Calcula la ecuación de la recta que pasa por los puntos (-3, -4) y (3, 2)

Veamos dos formas de abordar este problema:

a) Queremos hallar la ecuación de una recta que pasa por dos puntos.

Si es una recta sabemos que su ecuación es de la forma y = m x + n, y también

sabemos que los puntos (-3, -4) y (3, 2) pertenecen a dicha recta luego:

y = m x + n ; sustituyendo las coordenadas (-3, -4) -4 = m · -3 + n

sustituyendo las coordenadas (3, 2) 2 = m · 3 + n

Luego solo tendremos que resolver dicho sistema de ecuaciones cuyas incógnitas son “

m “ y “n” , ordenando dichas ecuaciones y resolviéndolo por reducción tendremos:

- 3 m + n = - 4 - 3 m + n = - 4

3 m + n = 2 3 m + n = 2

+ 2 n = -2 n = 12

2 n = - 1

y sustituyendo en cualquiera de las ecuaciones del sistema tendremos el valor de “ m “ :

3 m + ( -1 ) = 2 ; 3 m – 1 = 2 ; 3 m = 2 + 1 ; 3 m = 3 ; m = 1

Luego la ecuación de la recta pedida será y = x - 1


Pág. 122

Ejercicio 22 .- Calcula la ecuaciones de las rectas que pasan por cada par de puntos.

No hay que graficar.

a) ( -1,2) y ( 1 ,5) b) (-3, -3) y (2, -3) c) (0,4) y (2,4)

b) Otra forma de abordar este problema.

Queremos calcular la ecuación de la recta que pasa por los puntos (-3, -4) y (3, 2),

Para ello vamos a considerar también otro punto cualquiera de la recta de coordenadas

genéricas (x , y )

R( x, y)

Q (3, 2)

P(-3, -4)

Calculemos primero la pendiente de la recta que pasa por

los puntos P y Q : 133

24

12

12

xx

yym ; m = 1

Ahora calculemos la pendiente de la recta que pasa por los puntos Q y R :

3

2

12

12

x

y

xx

yym ;

Las pendientes tienen que ser iguales ya estos puntos pertenecen a la misma recta,

luego igualando ambas pendientes tendremos:

3

21

x

y ; Luego x – 3 = y – 2 ,

Despejando: y = x – 1 que será la ecuación de la recta pedida

Ejercicio 23.- Utilizando el método anterior. Calcula la ecuación de las rectas que

pasan por cada par de puntos.

a) ( 2,-1) y ( 3 , 1) b) ( -1 , 2) y ( 3, -4) c) (0,2) y (3,0)


Pág. 123

Vectores Componentes de un vector

En la figura de la derecha tenemos representado el vector AB, de

origen el punto A(3, 3) y extremo el punto B(7, 5). Para

representarlo unimos ambos puntos con un segmento e indicamos el

sentido del vector con una punta de flecha que apunta a B, el

extremo.

Para ir del punto A al B hacemos dos desplazamientos: uno

horizontal a la derecha de 4 unidades y otro vertical hacia arriba de

2 unidades.

Decimos en este caso que las componentes del vector AB son 4 y 2,

y escribimos AB(4, 2).

Esas componentes se pueden obtener restando a las coordenadas del extremo las del

origen; AB (4, 2) = AB (7- 3, 5 - 3).

Para calcular los componentes de un vector se restan a las coordenadas del

extremo las del origen.

Suma de vectores

Para sumar gráficamente dos vectores AB y CD dibujamos un vector BE que sea

equipolente al segundo, CD, y que tenga como origen el extremo del primer vector

AB, esto es el punto B.

El vector suma de AB y CD se obtiene uniendo el origen de AB, A, con el extremo de

BE, E; AB + CD = AB + BE = AE.

De forma numérica, las componentes del vector suma se hallan sumando las

componentes de los vectores que se suman. En el ejemplo:

AB+CD= (3, 3) + (2, -2) = (3 + 2, 3 + (-2)) = (5, 1)

Hacemos lo siguiente

También podríamos haber trasladado C hasta A manteniendo el vector CD paralelo a sí

mismo y haber construido un paralelogramo con los vectores AB y CD: entonces la

diagonal que parte desde A es el vector suma de ambos.

A

B

C

D

A

B

E


Pág. 124

Vector opuesto. Resta de vectores

Dos vectores son opuestos si tienen igual modulo y direcci6n pero

sentidos contrarios. La suma de dos vectores opuestos es el vector nulo

(0, 0). Las componentes del vector opuesto de un vector dado son los

opuestos de las componentes de dicho vector.

Restar dos vectores es sumar el primero con el opuesto del segundo. En

la primera figura podemos ver la resta de los vectores u y v. Obtenemos

el opuesto de v y lo sumamos a u.

Numéricamente el resultado es:

u–v = u + (-v) = (4, 3) – (-2, 2) =

= (4, 3) + (2, –2) = (4 + 2, 3 – 2) = (6, 1)

Producto de un vector por un número

El producto de un vector por un numero k es igual a la suma de k veces

el mismo vector, por lo que el resultado es un vector de la misma

dirección y k veces más grande.

En la figura puedes ver que si k > 0 los dos vectores tienen el mismo

sentido, como u y 2u,pero si k < 0, tienen sentidos distintos como

u y –3u.

Las componentes del producto se obtienen multiplicando por el número

las componentes del vector. Para u(1, 2) tenemos que

2u = (2 • 1, 2 • 2) = (2, 4) y (-3)u = = ( -3, –6).

Dependencia de vectores

Dos vectores u y v son linealmente dependientes si tienen la misma dirección, es

decir, si existe un numero k tal que v = ku

Así, u(2, 6) y v(8, 24) son linealmente dependientes ya que v = 4u.


Pág. 125

Punto medio de un segmento

Supongamos que tenemos los puntos A(2,3) y B(6,7): si queremos obtener el punto

medio basta con hacer la semisuma de las coordenadas de sus extremos, esto es

= (4 ,5)

Probémoslo:

Si llamamos M(x,y) al punto medio del segmento AB, la relación entre los vectores AB

y AM es AB = 2 AM, y en función de sus componentes escribiremos (6 - 2, 7 – 3) = 2

(x – 2 , y – 3) , por lo tanto,

Igualando componentes

→

→

ECUACIONES DE LA RECTA

Una recta viene determinada por un punto por el que pasa y un vector director que

indica la dirección de la recta.

Supongamos que la recta “r” viene

dada por el punto “A” y el vector

director “d”.

Sabemos que dado un punto cualquiera

delplano hay un “vector de posición”

que va desde el origen a dicho punto,

y en el caso que nos ocupa tendremos

“OA” y “OX”. Pues bien, podríamos

escribir la relación vectorial

, siendo X un punto

genérico (cualquiera) de la recta.

Si ponemos el vector en función del vector director de la recta (en nuestro ejemplo

es dos veces el vector , esto es, ) tendremos en general

ECUACIÓN VECTORIAL

donde hemos sustituido por letras minúsculas a los vectores de posición de los puntos

“A” y “X”.

Si las coordenadas del punto ―X‖ son ( x , y ), las del ―A‖ son ( a1 , a2 ) y las

componentes del vector director son ( d1 , d2 ) podemos escribir la ecuación vectorial

de la siguiente manera

( x , y ) = ( a1 , a2 ) + t ( d1 , d2 ) y operando obtenemos

d

d

A

O

X

r


Pág. 126

( x , y ) = ( a1 , a2 ) + ( td1 , td2 ) = ( a1 + td1 , a2 + td2 ), y como para que dos vectores

sean iguales han de ser iguales sus componentes tendremos las dos siguientes

expresiones

x = a1 + td1 ECUACIONES PARAMÉTRICAS

y = a2 + td2

Si despejamos “t” de ambas expresiones e igualamos los resultados tendremos

ECUACIÓN CONTINUA

Si quitamos denominadores,

( x – a1 ) d2 = ( y – a2 ) d1 y operamos

x d2 – a1 d2 = y d1 – a2 d1 pasamos todo al primer miembro

x d2 – y d1 + a1 d2 – a2 d1 = 0 si ahora hacemos un cambio de letras y llamamos

A = d2

B = – d1 A x + B y + C = 0 ECUACIÓN GENERAL O IMPLÍCITA

C = a1 d2 – a2 d1

Si despejamos la “y” obtendremos

llamando y

Tendremos y = m x + n ECUACIÓN EXPLÍCITA

Al número “m” se le llama pendiente (nos indica la mayor o menor inclinación de la

recta) y al “n” ordenada en el origen (indica el punto del eje Y por donde la recta corta a

dicho eje)

A la hora de trabajar con rectas, hemos de tener en cuenta que nos pueden dar

cualquiera de los tipos vistos anteriormente y atendiendo al desarrollo teórico que

hemos hecho, debemos de ser capaces de saber su vector director y un punto por el que

pasa la recta de forma inmediata, esto es:

Si la recta es 2x – 8 y + 4 = 0 , como hemos llamado A = d2 y B = – d1, y el vector

director es (d1 , d2 ) tendremos que es ( -B , A ), es decir (8, 2).

Análogamente si queremos saber su pendiente sin necesidad de despejar hemos de tener

en cuenta el cambio que hemos hecho


Pág. 127

y entonces será que en nuestro caso m = 2 / 8

POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS EN EL PLANO

Si dos rectas en el piano se cortan tienen un único punto en común. Como este punto

pertenece a las dos rectas, sus coordenadas han de satisfacer las ecuaciones de ambas. El

problema geométrico de hallar la intersección de dos rectas es equivalente a resolver

algebraicamente el sistema formado por las ecuaciones de ambas rectas.

Las relaciones entre la posición de dos rectas en el plano y el sistema formado por las

dos ecuaciones de ambas rectas son:

Sistema con una única solución: las rectas se cortan en un punto, cuyas

coordenadas son la solución del sistema.

Sistema sin solución las rectas son paralelas.

Sistema con infinitas soluciones las rectas coinciden

Si las rectas vienen dadas por sus ecuaciones implícitas, es decir,

A x + B y + C = 0

A´ x + B´ y + C´ = 0

Tendremos:

SECANTES

PARALELAS

SUPERPUESTAS O COINCIDENTES


Pág. 128

EJERCICIOS

VECTORES

1. Dado el vector = (2 , -1) , determinar dos vectores equipolentes a

, , sabiendo que A(1 , -3) y D(2, 0) .

2 . Calcula el valor de k sabiendo que el módulo del vector = (k, 3)

es 5 .

3 . Si es un vector de componentes (3,4) , hal lar un vector uni tar io de

su misma dirección y sent ido.

4 . Dados los vért ices de un t r iángulo A(1, 2) , B( -3, 4) y C(-1, 3) ,

hal lar las coordenadas del baricentro.

5 . Hallar las coordenadas del punto C, sabiendo que B(2, -2) es el

punto medio de AC, A( -3, 1) .

6 . Averiguar s i es tán a l ineados los puntos:

A(-2, -3) , B(1, 0) y C(6, 5) .

7 . Calcula las coordenadas de D para que el cuadri látero de vért ices:

A(-1, -2) , B(4, -1) , C(5, 2) y D; sea un paralelogramo.

8. Las coordenadas de los ex tremos del segmento AB son: A (2, -1) y

B(8, -4) . Hal lar las coordenadas del punto C que divide al segmento

AB en dos partes tales que AC es la m itad de CB.

9. Si el segmento AB de extremos A(1,3) , B(7, 5) , se divide en cuatro

partes iguales , ¿cuáles son las coordenadas de los puntos de divis ión?

10. Hallar el s imétr ico del punto A(4, -2) respecto de M(2, 6) .

11. Hallar un vector uni tar io de la misma direcc ión que el vector

=(8, -6) .

12. Calcula el ex tremo del vector sabiendo que sus componentes son

(3, -1) y su origen A( -2, 4) .

13. Hallar el s imétr ico del punto A(3, -2) respecto de M(-2, 5) .

14. Determinar a con la condición de que los puntos A(0, a) y B(1, 2)

dis ten una unidad.


Pág. 129

ECUACIONES DE LA RECTA

15. Escribe de todas las formas posibles la ecuación de la recta

que pasa por los puntos A(1,2) y B( -2,5) .

16. De un paralelogramo ABCD conocemos A(1, 3) , B(5, 1) , C( -2,

0) . Hal la las coordenadas del vért ice D.

17. Hallar la pend iente y la ordenada en el origen de la rec ta

3x + 2y - 7 = 0.

18. Estudiar la posición relat iva de las rectas de ecuaciones:

1 2x + 3y - 4 =0

2 x - 2y + 1= 0

3 3x - 2y -9 = 0

4 4x + 6y - 8 = 0

5 2x - 4y - 6 = 0

6 2x + 3y + 9 = 0

19. Hallar la ecuación de la recta r , que pasa por A(1,5) , y es

paralela a la recta s ≡ 2x + y + 2 = 0.

20. Se t iene el cuadri lá tero ABCD cuyos vért ices son A(3, 0) , B(1 ,

4) , C(-3, 2) y D( -1, -2) . Comprueba que es un paralelogramo y

determina su centro.

21. Hallar la ecuación de la rec ta que pasa por el punto (2, -3) y es

paralela a la recta que une los puntos (4 , 1)) y ( -2, 2) .

22. La recta r ≡ 3x + ny - 7 = 0 pasa por el punto A(3,2) y es

paralela a la recta s ≡ mx + 2y -13 = 0. Calcula m y n.

23. Dado el t r iángulo ABC, de coordenadas A(0, 0) , B(4, 0) y C(4,

4); calcula la ecuación de la mediana que pasa por el vért ice B.

24. De un paralelogramo se conoce un vért ice, A(8, 0) , y el punto de

corte de las dos diagonales , Q(6, 2) . También sabemos que otro vért ice

se encuent ra en el origen de coordenad as. Calcular:

1 Los otros vért ices .

2 Las ecuaciones de las diagonales .

3 La longi tud de las diagonales .


Pág. 130

x

y

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

-1

0

1

2

3

4

5

Función polinomica de segundo grado: Función cuadrática

Función cuadrática viene dada por la función. f(x) = a x2 + b x + c siendo a 0

Vamos a graficar el caso más simple de una función cuadrática:

f (x) = x 2 cuando b, c 0.

Con la ecuación anterior y = x 2

dónde Rx podemos obtener una tabla de valores

de la función, simplemente sustituyen la variable independiente por números reales en

la ecuación.

Se observa que el conjunto de pares ordenados que se pueden obtener es infinito y su

gráfica se extiende mas allá de cualquier hoja de papel, por grande que sea. Por lo tanto

para dibujar su grafica se incluyen suficientes puntos de tal forma que el resto sea

evidente. Tomemos los siguientes puntos:

x -2 -1 0 1 2

y 4 1 0 1 4

La gráfica es una curva que se llama parábola

Eje simetría

Vértice: Punto de intersección de

la curva con su eje

Se puede demostrar que la gráfica de cualquier función cuadrática es una parábola.

De hecho la grafica de f(x) = ax2 + b x + c, dónde a 0, es la misma que f(x) = x

2,

modificada por desplazamiento a la derecha, a la izquierda, arriba, abajo, expansión

o contracción según los valores de a, b, y c .

Ejercicio 24 .- En la grafica de la función anterior, calcula:

Dominio:

Recorrido:

Intersecciones con los ejes:

Continuidad:

Crecimiento:

Máximo y mínimos

Eje de simetría


Pág. 131

x

y

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

-1

0

1

2

3

4

5

x

y

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

Gráficas en movimiento:

Ejercicio 25.- Asocia cada gráfica a su ecuación. ¿Qué puedes decir del coeficiente

“a”?

a) y = x 2

b) y = 2 x 2 c) y =

2

1 x

2

(1) (2) ( 3)

Ejercicio 26 .- Asocia cada gráfica a su ecuación. ¿Qué puedes decir del coeficiente

“a”? a) y = - x 2

b) y = - 2x2 c ) y =

2

1 x

2

(1) (2) (3)


Pág. 132

x

y

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

-2

-1

0

1

2

3

4

x

y

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

-2

-1

0

1

2

3

4

Ejercicio 27.-Asocia cada gráfica a su ecuación. a) y = (x +2)

2 b) y = ( x

-2)

2

Calcula en ambas gráficas: dominio, recorrido, intersecciones con los ejes, continuidad,

crecimiento, máximo y mínimos, eje de simetría, vértice.

(1) (2)

Ejercicio 28.-Asocia cada gráfica a su ecuación. a) y = x 2

+ 2 b) y = x 2

-2 .

Calcula en ambas gráficas: dominio, recorrido, intersecciones con los ejes, continuidad,

crecimiento, máximo y mínimos, eje de simetría, vértice.

(1) (2)


Pág. 133

Ejercicio 29.- Asocia cada gráfica a su ecuación una ecuación

a) y = ( x + 2)2 -2 b) y = (x - 2)

2 + 2 c) y = ( x -2)

2 -2 d) y = ( x + 2)

2 +2

I II III IV

Ejercicio 30.- En las funciones del ejercicio 27 estudia:

Dominio, recorrido, intersecciones con los ejes, continuidad, crecimiento, máximos y

mínimos, eje de simetría., vértice.

Ejercicio 31.- Escribe las ecuaciones de las siguientes graficas de funciones

cuadráticas.

I II III

Ejercicio 32.- En las funciones del ejercicio 29 estudia: Dominio, recorrido,

intersecciones con los ejes, continuidad, crecimiento, máximos y mínimos, eje de

simetría., vértice.


Pág. 134

Representación gráfica de un función cuadrática completa.

Forma general f(x) = a x 2 + b x + c si está función cuadrática la pudiésemos

escribir de la forma f(x) = a ( x – x1)2 + y1 . El punto de coordenadas ( x1, y1) sería el

vértice de dicha parábola.

Veamos: ca

b

a

bx

a

bxac

a

b

a

bbxaxcbxaxxf

4444)(

2

2

22

2222

a

acb

a

bxa

4

4

2

22

Por tanto su gráfica es una parábola que tiene por eje de simetría a

bx

2 y su vértice

será el punto a

acb

a

bV

4

4,

2

2

O mejor sabiendo la abscisa del vértice que es a

bx

2 su ordenada será

a

bf

2

Ejemplo: Dada la función f(x) = 2 x 2 + 4 x – 5. Calcula su eje de simetría y su vértice.

Eje de simetría: 14

4

2a

bx

Vértice de abscisa x = -1 y de ordenada f(-1) = 2 ( -1)2 + 4 (-1) - 5 = -7 ;

Vértice: V (-1,-7)

Para representar gráficamente una parábola: f(x) = a x 2 + b x + c

a) Se estudia el valor del coeficiente “a” de x 2

)0,0( asiasi

b) Se halla el eje de simetría. a

bx

2

c) Hallamos el vértice.

d) Se hallan intersecciones con los ejes.(Eje X: y = 0; Eje Y: x = 0)

e) Y si fuese necesario se forma una tabla de valores tomando abscisas próximas al

eje de simetría.

Ejemplo. Representar gráficamente la función f(x) = x 2

– 4 x + 3

a) Se estudia el valor del coeficiente “a” de x 2 0asi

b) Se halla el eje de simetría. 2;22

4

2x

a

bx

c)Vértice: x = 2, f(2)= 22 – 4 · 2 + 3 = -1 luego el vértice ( 2, - 1)


Pág. 135

d) Se hallan intersecciones con los ejes.

Eje X: y = 0; x 2

– 4 x + 3 = 0;

x 1 =3

2

24

2

12164x

x 2 = 1

Intersecciones con el eje X: (3,0) y (1, 0)

Eje Y: x = 0 y = 0- 0 + 3 = 3

Intersecciones con el eje Y: (0,3)

Representa los puntos calculados y dibuja su gráfica

Ejercicio 33.- Representa las parábolas definidas por las funciones siguientes

a) y = - x 2

+ 2 x + 3 b) y = x 2

+ 6 x + 5 c) y = 4

1x

2 + x + 3


Pág. 136

- Funciones Racionales.- Vimos una función racional (Pág. 103) que se

llama hipérbola:

f(x) = x

1, Si queremos representarla construyamos una taba de valores.

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y

Ejercicio 34.- Grafica la función x

xf1

)(

Ejercicio 35.- Asocia cada gráfica a su ecuación una ecuación:

a) x

xf2

)( b) xx

xg2

15,0)( c)

xxf

1)(

I II III


Pág. 137

Ejercicio 36.- En general las funciones del tipo x

kxf )( . Tienen las propiedades:

Su dominio es ……………………….

Su gráfica es simétrica…………….

Si k>0 la función es ……………….

Si k<0 la función es ……………….

Ejercicio 37.- Asocia cada gráfica a su ecuación y determina sus asíntotas

21

)11

)x

ybx

ya

I

II

La gráfica de px

kya) se obtienen trasladando verticalmente ” p” unidades la

hipérbola x

kxf )( . La traslaciones hacia arriba o hacia abajo según sea p >0 ó

p<0


Pág. 138

Ejercicio 38.- Asocia cada gráfica a su ecuación y determina sus asíntotas

2

1)

2

1)

xyb

xya

I II

Ejercicio 39.- Representa las hipérbolas:

a) 3

1

xy b)

2

1

xy c) 1

2

2

xy

- Funciones definidas a intervalos.

Hasta ahora hemos visto funciones definidas por una sola ecuación para todo su

dominio. Pero también podemos definir las funciones con diferentes ecuaciones,

siempre que se especifique los intervalos en los que actúa la ecuación,

Ejemplo: Graficar la función dada

xpara

xparax

xparax

xf

53

501

0

)(

2

Esto quiere decir que la función tiene tres tramos, y entre los tres trozos cubren el

conjunto de números reales, su dominio es .

Formemos una tabla por cada tramo y después grafiquemos:

Primer Trozo: y = x 2

para x 0

x -3 -2 -1 0

Y


Pág. 139

Segundo trozo: y = x +1 para 0 < x < 5

x 0 5

y

Tercer trozo; y = -3 para 5x

x 5 7

y

Ejercicio 40.- Representa la siguiente función:

21

22

21

)( 2

xpara

xparax

xpara

xf

Determina su dominio, recorrido, monotonía, cortes con los ejes y continuidad.

Ejercicio 41.- Representa la siguiente función:

15

132

332

)(

xparax

xpara

xparax

xf

Determina su dominio, recorrido, monotonía, cortes con los ejes y continuidad.

Ejercicio 42.- Estudia la continuidad de las siguientes funciones:

a) 32

31)(

xpara

xparaxf b)

31

33)(

xpara

xparaxxf

Ejercicio 43.-.De la gráfica de la función siguiente determina su dominio, recorrido,

monotonía, cortes con los ejes, continuidad y escribe su ecuación.

Ejercicio 44.-. Representa gráficamente:

a) xy b) 4xy c) 42xy d) 652 xxy


Pág. 140

- Función Exponencial.

y = a x con a >1

Vamos a estudiar la función exponencial: y = 2 x

Para graficar la función, construyamos la tabla. (Utiliza tu calculadora)

x -3 -2 -1 0 1 2 3 1/4

y

Gráfica:

Características.

Dominio:

Recorrido:

Continuidad:

Monotonía:

Asíntotas.

Corte con los ejes.

Vamos a estudiar la función exponencial: y = a x con 0 < a < 1

Estudiemos la función

x

y2

1 .

Para graficar la función, construyamos la tabla. (Utiliza tu calculadora)

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y


Pág. 141

Gráfica:

Características.

Dominio:

Recorrido:

Continuidad:

Monotonía:

Asíntotas.

Corte con los ejes

Ejercicio 44.- En filipinas abunda un alga en la que se ha observado que la superficie

que ocupa crece de forma gradual, duplicándose cada año. Se ha estudiado el

crecimiento de una muestra que ocupa una superficie de 1 dm2.

Contesta.

a) ¿Qué superficie ocupa al cabo de tres años?

b) ¿Cuál es la ecuación de la función?

c) ¿De qué tipo es el crecimiento, lineal o exponencial?

- Función Logarítmica. y = xalog donde a es un número real

positivo (a >0) y distinto de 1 (a ≠ 1)

Representa los función logarítmica xxf log)(

Función recíproca de una función dada.-

a)Graficar las funciones y = 3x +1.

b) En el mismo sistema de referencia vamos a representar su función recíproca.

La función recíproca de ésta función la obtenemos de la siguiente forma:

1.- En y = 3x +1 despejamos “x”

2.- Después reemplazamos “x” por “y”

Dicha función es la función recíproca de y = 3x + 1;

Al trazar la bisectriz del primer cuadrante ( y = x) ambas son simétricas respecto

de la bisectriz del primer cuadrante.

Ejercicio 45.- Grafica la función y = x 2

y su recíproca para valores de x > 0


Pág. 142

Límite de funciones

Límite de una función: Decimos que la función f(x) tiene por límite L en el punto x=u,

si a medida que x se acerca a u, se verifica que f(x) se acerca a L (tanto como

queramos).

Se escribe:

., real,cualquier ser puede L

.,,,,ser puede donde lim

aaauLf(x)

ux

Propiedades:

Operaciones Función Propiedades

Adición Suma )(im xgflax

)(im)(im xglxflaxax

Opuesta )(im xflax

)(im xflax

Diferencia )(im xgflax

)(im)(im xglxflaxax

Multiplicación Producto )(im xfglax

)(im)·(im xglxflaxax

Inversa )(1

im xf

lax )(im

1

xflax

Cociente )(im xg

fl

ax )(im

)(im

xgl

xfl

ax

ax

Multiplicación por un

número

Producto por un

número )(im xgcl

ax)(im xglc

ax

Constante cclax

im

Composición Compuesta )(im xfglax

)(im xflgax

Identidad axlax

im

Potencia Potencia )()(im xg

axxfl

)(im)(im

xgl

ax

axxfl

Expresiones indeterminadas: .0,,1,,0,,0

0,

0

00k


Pág. 143

Límite de funciones (cuando resultan expresiones indeterminadas):

0)

ka se calculan límites laterales

límite. el existe no distintosson si

. ó - se puedey límite iguales,son si

0

0)b se descomponen numerador y denominador (RUFFINI), simplificando a

continuación.

)c se divide numerador y denominador por la máxima potencia de x en el

denominador.

d) se multiplica y divide por la conjugada.

e) 1 se aplica la definición del número e.

CONTINUIDAD

Def. 1:

f(x) continua en a si 0)()(lim0

afhafh

Def. 2:

f(x) continua en a si

f(a)

)(lim xfax

Definición de continuidad lateral

1. CONTINUA a la derecha si )(lim xfax

= f(a)

2. CONTINUA a la izquierda si )(lim xfax

= f(a)

y de cumple )(lim xfax

= f(a)


Pág. 144

Def. 3:

f(x) continua en a si

1. f(a)

2. )(lim xfax

= )(lim xfax

)(lim xfax

3. f(a)= )(lim xfax

DISCONTINUIDADES

EVITABLE:

CONTINUA fuese que para )( adar deberíamos

que valor al VALOR VERDADERO llamaremos

)(bien ó )( pero)(lim

xf

afafxfax

INEVITABLE:

)(lim)(limª2

)(lim)(lim

a FUNCIÓNLA DE SALTO llamamos

)(lim)(lim

ª1

xfóxfexisteNoespecie

xfxf

xfxf

especie

axax

axax

axax


Pág. 145

FUNCIONES 1. Calcula el dominio de las siguientes funciones:

a) b) c) d)

f) g) h)

yx

xy

x xy

x

x xy

x

x x x x

e y x x y x yx

xy

x

x

1

3

1

2 5 2

2

1

1

1 14

1

4 1

1

2 2

2

4 3 2

2 3

2

2

2

2)

2. Representa las siguientes funciones indicando:

a) Domino y recorrido.

b) Monotonía y acotación.

c) Máximos y mínimos.

6 si 12

63 si 3

30 si 1

03 si 32

35 si )(

5 si 2

)()

6 si 0

63 si 6

31 si

1 si 1

)()

3 si 8

31 si 13

1 si

)()

2 si 1

20 si 3

0 si 34x

)()

)()())()()12)()23)()

2 si 4

2 si 1

2 si

)(c) 1 si 32

1 si 2)()152)()

2

22

2

2

2

2

xx

xx

xx

x-xx

xxE

x

xfj

x

xx

xx

xx

xfi

x

xx

xxx

xfi

x

xx

xx

xfh

xExxfgxExffxxxfexxxfd

x

x

xx

xfxx

xxxfbxxxfa

3. Estudia la simetría de las siguientes funciones:

a) y x2 5 b) yx

x

1

22 c) xxy 2 d) xxy 3

4. Dadas las funciones f x x g x x f g g f( ) , ( ) . .1 32 Calcula y

Haz lo mismo con las funciones f x x g xx

x( ) , ( ) .3

1

2

5. Calcula las funciones recíprocas de:

y x yx

xy

xy

x

x2

211

2

1

1

1

2, , , .

6. Estudia la continuidad de las siguientes funciones:

a)

11

12

3

)(

2

xsix

xsix

xf b) g x

x si x

xsi x

( )

2 3 0

3

20


Pág. 146

7. Un bar de “copas” abre sus puertas a las 9 de la noche sin ningún cliente y las cierra

cuando se han marchado todos. Se supone que la función que representa el número de

clientes, C, en función del número de las horas que lleva abierto, h, es 21080)( hhhc

a) Hallar el número máximo de clientes que llegan a concentrarse en el local en una

noche.

b) Se deseamos ir cuando haya menos de 150 personas pero más de 70, ¿entre qué

horas debemos hacerlo?

c) ¿A qué hora cierra el bar?

8. Un centro comercial abre a las 10 horas y cierra a las 22 horas. Se ha comprobado

que el número de personas que acuden a dicho centro puede calcularse en función de la

hora del día, por medio de la función y = - x2 + 36 x - 260 donde y es el número de

personas y x la hora del día.

a) ¿Cuántos clientes hay esperando cuándo se abre el comercio? ¿Cuántos hay

comprando cuándo se cierra?

b) ¿Cuántos clientes hay a las 3 de la tarde?

c) Haz una tabla de esta función?

d) Representa gráficamente la función.

e) ¿Cuál es el máximo número de clientes que acuden a este comercio y a qué hora lo

hacen?

f) ¿En que periodos del día aumenta el número de clientes y en cuál disminuye?

g) Si el comercio retrasará el cierre hasta que no hubiera ningún cliente, ¿a qué hora

cerraría?

9. La altura que alcanza en cada instante un balón que se lanza verticalmente hacia

arriba viene dada por la función h(t) = 40 t - 5 t2 donde h es la altura en metros y t el

tiempo en segundos.

a) Representa gráficamente la función.

b) ¿En cuántos segundos alcanza la altura máxima?

c) ¿Cuánto tiempo tarda en caer al suelo?

10. Halla la fórmula de las siguientes funciones y represéntalas:

a) Recta que pasa por los puntos (1, 2) y (–3, 4).

b) Recta que pasa por (2, 3) y es paralela a 43

2xy .

c) Parábola con a=-2, b=2 y corta al eje Y en (0, 4).

11. Dibujar la gráfica que indica el costo de una carrera de taxi de 2 Km, sabiendo que

cada 300 metros cuesta 50 céntimos y la bajada de bandera inicial un euro.

12.Una empresa de alquiler de vehículos ofrece para una semana las siguientes dos

modalidades:

a) 30 € diarias y kilometraje ilimitado.

b) 60 € a la semana, más 30 céntimo cada kilómetro.

Estudia la conveniencia de elegir una u otra modalidad, apoyándote en una

representación gráfica y en las respectivas funciones que dan el gasto.

13. Un depósito de agua está completamente lleno con 50 000 litros y debido a una fuga

empieza a perder agua a razón de 25 litros por minuto.


Pág. 147

a) Escribe la función que liga la cantidad de agua contenida en el depósito y el

tiempo transcurrido desde que empezó la pérdida. Represéntala.

b) ¿Cuánto tiempo ha de transcurrir para que quede en el depósito 4 000 litros?

c) Si en ese instante se tapa el agujero y empieza a llenarse a razón de 100 litros

por minuto, ¿cuánto tiempo tardará en llenarse?

14. Una persona va a comprarse un coche y no sabe si elegir diesel (D) o gasolina (G).

El D vale 11 500 €, consume 5 litros a los 100 kilómetros y el precio del gasoil es de

0,64 € por cada litro. Por otro lado, el G vale 9 800 €, consume 6 litros cada 100

kilómetros y el precio de la gasolina es de 0,80 € por litro. Da la función que liga el

gasto total de cada modelo en función de los kilómetros recorridos (se supone que el

consumo de los coches no va a variar ni el precio del combustible). Haz una

representación gráfica. ¿Cuál de los dos modelos conviene más?


Pág. 148

LÍMITE DE FUNCIONES. Calcula los siguientes límites:

),(lim),(lim),(lim)(lim),(lim),(lim),(lim

)(lim)(lim),(lim),(lim),(lim),(lim),(lim :Calcula

13

103

2

132

)(

4 si 2

403

1

032

)(

:funciones las Dadas

2

2lim.36

133

12lim.35

1lim.341lim.333

4

416

39lim.32

2

1)3)(2(lim.31

4

1

3

21lim.30

22

3lim.29

211

lim.2811

12lim.271

223

5lim.26

24

12lim.251

52

45lim.241

32

32lim.23

12lim.2213

13lim.21023lim.20

02lim.191

1lim.18

2

2lim.17

1

2lim.160

2

14lim.15

2

14lim.14

4

124lim.131lim.12

2

1

2

11lim.11

02lim.103

2

22

32lim.95

23

6lim.8

15

25lim.72

5

25lim.6

3lim.50

3lim4.

2

1

84

1lim.333

2

1

2

1lim.23

2

1

2

1lim.1

43201

43201

2

2

)2(

1

223

2

1

22

0

3

2

11

1

2

2

1

0

3 3

2

2

2

2

13

5213

12

2

52

2

2

24

12

1

2

6

2

2

20

22

2

2

23

2

12

2

2

2

2

2

2

523

4

23

4

0

222

2

2

xgxgxgxgxgxgxg

xfxfxfxfxfxfxf

xsi

xsix

x

xsix

xg

x

xsix

x

xsixx

xf

x

xxx

xx

x

xx

x

xx

x

x

xxxx

xe

x

x

x

x

x

xx

xxx

x

exx

xx

x

x

x

x

xxxx

xxx

xxex

xe

x

x

ex

x

x

xx

xx

xxxxx

x

x

xxxxx

xx

xx

xx

xx

x

xx

x

xx

x

xx

x

xxxxxx

xxxxxxx

xxxxxxx

x

xx

xxx

xx

x

x

xxx

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

xx

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

xxx

xxx

xxxx

xxx


Pág. 149

UNIDAD VII. ESTADÍSTICA.

Estadística: clases y conceptos básicos

Variables o caracteres estadísticos

Encuestas y muestreo

Tablas estadísticas: recuento.

Tablas estadísticas: frecuencias

Representaciones gráficas.

Diagramas de tallos y hojas

Medidas estadísticas. Clasificación.

Parámetros de centralización: media aritmética, mediana, moda y percentiles.

Parámetros de dispersión: recorrido, desviación media, varianza, desviación

típica.

Coeficiente de variación.

Estadística: clases y conceptos básicos.

En sus orígenes históricos, la Estadística estuvo ligada a cuestiones de Estado

(recuentos, censos, etc.) y de ahí proviene su nombre. Hoy en día está presente en todos

los ámbitos humanos, tanto individuales como colectivos.

La Estadística surge ante la necesidad de poder tratar y comprender conjuntos

numerosos de datos. Los estudios estadísticos, en la actualidad, impregnan numerosos

ámbitos. Algunos de estos son: salud y enfermedad, comunicación con los demás, gente

en el trabajo, gente en la escuela y en deporte, recuento de bienes, etc.

Entre otras, podemos adoptar como definición de Estadística la siguiente:

La Estadística es la ciencia que se ocupa de la recogida de datos, su organización y

análisis; así como de las predicciones que, a partir de estos datos, pueden hacerse.

Por tanto, la Estadística es la parte de las Matemáticas que se ocupa de los

procedimientos que permiten el tratamiento sistemático de datos, la búsqueda de

conclusiones de los mismos y la toma de decisiones tras su análisis.

Según el problema que se estudie y el método utilizado, se distinguen dos clases de

Estadística, la Estadística descriptiva y la Estadística inferencial.

La Estadística descriptiva se ocupa de tomar los datos de un

conjunto, organizarlos en tablas o en representaciones gráficas

y del cálculo de unos números que nos informen de manera

global del conjunto estudiado.

Los conceptos básicos que aparecen en cualquier estudio

estadístico son:

Población. Es el conjunto formado por todos los

elementos que existen para el estudio de un determinado

fenómeno.

Individuo u objeto. Es cada elemento de la

población.

ESTIDISTÍCA

DESCRIPTIVA INFERENCIAL


Pág. 150

Muestra. Es el subconjunto que tomamos de la población para determinar

el estudio del fenómeno.

Tamaño de la muestra. Es el número de individuos que la componen.

La Estadística inferencial trata sobre la elaboración de conclusiones para la

población, partiendo de los resultados de una muestra y del grado de fiabilidad de estas

conclusiones.

Variables o caracteres estadísticos.

Cada una de las cualidades o propiedades referidas a los elementos de una población

objeto de estudio estadístico se llama variable o carácter estadístico.

Las clases de variables estadísticas que aparecen en cualquier estudio estadístico son:

Variables o caracteres cualitativos son aquellos que no se pueden medir y se

describen con palabras.

Algunas de las variables cualitativas son: la raza de un perro, la marca de un

automóvil, las preferencias en el deporte, el estado civil de una persona, etc.

Variables o caracteres cuantitativos son aquellos que se pueden medir y expresar

con números.

Estas últimas pueden ser de las clases que se describen a continuación:

Variables o caracteres cuantitativos discretos son aquellos

que pueden tomar solamente un número finito de valores

numéricos.

Algunas de estas variables son: el número de hermanos de

cada alumno de tu clase, el número de parados de cada

ciudad española, la temperatura máxima diaria de una

localidad a lo largo de un mes, etc.

Variables o caracteres cuantitativos continuos son aquellos

que pueden tomar cualquier valor en un intervalo dado.

Se consideran variables cuantitativas continuas las

siguientes: la estatura de los alumnos de tu centro, el peso de

cada una de las frutas que tiene un árbol, etc.

CARACTERES O VARIABLES

ESTADÍSTICAS

CUALITATIVAS CUANTITATIVAS

DISCRETAS CONTINUAS


Pág. 151

1. Clasifica los siguientes caracteres estadísticos:

a) Numero de huesos de cada ser vivo.

b) Intención de voto.

c) Velocidad que, en un instante dado, llevan los vehículos que circulan por las

carreteras españolas.

d) Talla de calzado de los alumnos de tu centro.

e) Tipos de zumos que prefieren los adolescentes.

f) Temperatura máxima en tu ciudad cada día del año.

g) La medida de los diámetros de las ruedas de un automóvil.

h) La duración de cada lámpara eléctrica producida por una empresa durante un mes.


Pág. 152

Encuestas y muestreo.

En el estudio de cualquier fenómeno estadístico y para conocer los datos hay que

preguntar a un numero determinado de individuos.

Se llama encuesta a las preguntas que se formulan a un cierto número de

individuos de un colectivo o población.

Las encuestas deben contener las preguntas precisas que nos permiten conseguir los

datos que nos hacen falta, por ello es importante elaborar bien el cuestionario de

preguntas.

Las características más significativas que debe poseer una encuesta son:

El tema de la encuesta y las variables que intervengan deben ser claras y

concretas.

Las preguntas tienen que ser precisas para que sean entendidas por todos

los encuestados.

Las preguntas no deben influir en los encuestados.

En la medida de lo posible, cada pregunta debe ser contestada con una sola

palabra.

Las preguntas deben estar ordenadas para que unas respuestas no

condicionen a otras.

Muestreo

Una vez que se ha elaborado una encuesta hay que plantearse a quién se la hacemos.

En unos casos se aplica a toda la población, y en otros a la parte de la población que

llamamos muestra.

Es conveniente conocer los siguientes criterios básicos en la elección de muestras:

Cada elemento de la población debe tener igual oportunidad de encontrarse

en la muestra.

Las características de los elementos de la muestra han de reproducir, con la

máxima exactitud posible, los de la población.

Si la muestra es demasiado pequeña puede inducir a errores y si es

demasiado grande no resulta manejable.

A las técnicas que nos permiten elegir una muestra se la llama muestreo. El tipo de

muestreo más utilizado que garantiza que la muestra es representativa de la población

es el muestreo aleatorio simple.

El muestreo aleatorio simple se basa en que todas las muestras del mismo tamaño

tienen las mismas posibilidades de ser tomadas.


Pág. 153

La obtención de una muestra mediante muestreo aleatorio simple

puede verse en la actividad resuelta que sigue. En ella se ha

utilizado la tabla de números aleatorios del margen.

La tabla de números aleatorios, forma parte del libro A million

random digits publicado en Estados Unidos en el año 1955. En el

citado libro aparece una tabla de un millón de dígitos, obtenidos

de forma aleatoria mediante una ruleta electrónica de diez

sectores.

ACTIVIDAD RESUELTA

1. En un centro de enseñanza hay 650 estudiantes. Se desea

obtener una muestra de 15 alumnos con el fin de conocer

su opinión acerca de las actividades deportivas que el

centro organiza.

Para obtener la muestra de los 15 alumnos que responderán a una

encuesta, seguimos el siguiente proceso:

a) Numeramos todos los alumnos con los números:

001, 002, 003, ... 648, 649 y 650.

b) Vamos a la tabla de números aleatorios y

comenzamos por cualquier fila (columna)

separamos los dígitos en grupos de tres. No

tendremos en cuenta los siguientes: 000, 651, 652,

..., 998 y 999.

c) Si comenzamos por la primera columna de la tabla del margen

obtenemos que los alumnos que se van a encuestar se corresponderán

con los números:

121, 301, 590, 541, 272, 606, 580, 542, 374, 228, 332, 156, 125, 384 y 245.

12159 66144 05091 13446

30156 90519 95785 47544

59069 01722 53338 41942

54107 58081 82470 59407 99681 81295 06315 19458

27252 37875 53679 01889 93259 74585 11863 78985

84098 43759 75814 32261

68582 97054 25251 63787 60646 11298 19680 10087

97437 52922 80739 59178 58009 20681 98823 50979

77211 70110 93803 60135

54256 84591 65302 99257 37493 69330 94609 39544

87569 22661 55970 52623 22896 62237 39635 63725

33230 64527 97210 20080

15652 37216 12456 14526 12544 56985 12544 23654

72771 12459 89654 56324 38472 32596 45689 12536

24511 25643 25463 78965

12458 12354 12456 52124 45978 25874 36415 25786

25631 45329 82931 46312 78326 45973 56248 59431

25731 02145 20189 25012

20564 01568 50479 63025 12542 78032 54301 12981

15487 67980 46302 20684 45217 03458 45178 34987

02385 12554 25445 22684 22485 66487 02310 35971

03144 40023 56881 22956

Tabla de números aleatorios.


Pág. 154

Tablas estadísticas: recuento.

A partir de la recogida de datos, a través de encuestas o entrevistas, suelen ordenarse

para un mejor manejo. La forma usual de ordenarlos consiste en realizar un recuento,

y posteriormente, formar una tabla.

El recuento en Estadística se realiza de la siguiente forma:

1. Se ordenan las cualidades o valores que puede tomar la variable estadística,

colocándolos en la primera columna de la tabla.

2. Cada vez que aparece un dato correspondiente a una cualidad o valor se

traza un pequeño segmento.

3. En la columna del total se anota el número total de segmentos trazados para

cada cualidad o valor.

Veamos la realización del recuento en el ejemplo que sigue.

Preguntados los alumnos de una clase por el color de la pared de su habitación, han

respondido:

―blanco, marrón, blanco, marrón, blanco, blanco, blanco, marrón, marrón,

azul, blanco, marrón, blanco, rosa, verde, rosa, blanco, verde, blanco, verde,

blanco, azul, azul, amarillo, amarillo‖.

COLOR DE LA

HABITACIÓN RECUENTO TOTAL

amarillo 2

azul 3

blanco 10

marrón 5

rosa 2

verde 3

Preguntados por el número de hermanos de cada una, las respuestas han sido:

2, 3, 3, 2, 2, 3, 3, 1, 1, 2, 2, 3, 1, 1, 4, 2, 2, 3, 4, 2, 2, 3, 4, 2, 1, 2, 4, 2, 5.

NÚMERO

DE HEMANOS RECUENTO TOTAL

1 5

2 10

3 6

4 3

5 1


Pág. 155

Cuando se trabaja con variables cualitativas o cuantitativas discretas, las cualidades o

valores de estas aparecen descritos en la tabla.

En el caso de las variables cuantitativas continuas, los datos deben agruparse en clases

o intervalos.

El valor medio de cada clase o intervalo se llama marca de clase y se calcula como la

semisuma de los extremos del intervalo.

Para construir intervalos o clases hemos de tener en cuenta los siguientes puntos:

Es conveniente que el número de intervalos que debemos considerar en

cualquier estudio esté entre 5 y 10.

Usualmente tomamos los intervalos con igual amplitud o longitud. Sólo en

el caso de que existan valores muy dispersos tomamos distintas amplitudes.

Calculamos la diferencia entre el valor más grande y el más pequeño de la

variable a estudio (recorrido de la variable).

Calculamos la amplitud de cada intervalo dividendo el recorrido por el

número de intervalos que tomemos.

En la actividad que sigue puede verse el recuento de una variable cuantitativa

continua.

ACTIVIDAD RESUELTA

1. Los pesos de 60 alumnos que cursan 3º de ESO, en kg, son:

48, 48, 50, 55, 59, 54, 60, 60, 64, 65, 69, 57, 62, 70, 59, 57, 52, 60, 53, 57, 53, 45, 54,

47, 59, 60, 57, 66, 62, 55, 52, 63, 67, 58, 49, 47, 54, 62, 57, 53, 51, 46, 54, 67, 62, 46,

49, 57, 56, 64, 60, 50, 48, 67, 53, 49, 63, 68, 55, 60.

Elabora la tabla estadística correspondiente utilizando cinco intervalos de igual

amplitud.

Observamos que los valores extremos son 45 y 70. El recorrido o amplitud total de los

datos es 70 – 45 = 25. Como deseamos tener cinco intervalos estos tendrán 5 de

amplitud.

El recuento nos lleva a la tabla siguiente:

PESOS

EN INTERVALOS

MARCA

DE CLASE RECUENTO TOTAL

[45, 50] 47,5 11

[50, 55] 52,5 14

[55, 60] 57,5 14

[60, 65] 62,5 13

[65, 70] 67,5 8


Pág. 156

Tablas estadísticas: frecuencias.

En las tablas construidas en el epígrafe anterior, en la comuna correspondiente al total

se obtienen unos valores cuyo significado es el número de veces que se presenta cada

cualidad o valor de la variable estadística. A estos números les llamamos frecuencias

absolutas.

Frecuencia absoluta, fi, de una cualidad o de un valor xi de

la variable estadística es el número total de veces que

aparece esta cualidad o valor.

La suma de todas las frecuencias absolutas es

necesariamente el tamaño de la muestra o la población a

estudio:

En ocasiones nos interesa saber cuál es la proporción del

número de individuos con un valor determinado respecto del

total. Estos valores reciben el nombre de frecuencias

relativas.

Frecuencia relativa o proporción, hi, de una cualidad o de un valor xi, es el cociente

que resulta de dividir su frecuencia absoluta entre el número total, N, de individuos.

Representa la proporción de estos sobre el total y verifica .10 ih

La suma de todas las frecuencias relativas es la unidad:

Frecuentemente en las tablas estadísticas aparecen porcentajes.

Frecuencia porcentual o porcentaje, pi, de una cualidad o de un valor xi es el tanto por

ciento que representa este valor o cualidad respecto del total. Se calcula multiplicando

la frecuencia relativa por 100 y verifica .10 ip

La suma de todos los porcentajes es 100:

Nffffff i

n

inn

11321 ...

Nffffff ii

nn1

1321 ...

1...1

1321 i

n

inn hhhhhh

100...1

1321 i

n

inn pppppp

Signo sumatorio,

En Estadística resulta muy útil

el uso del signo sumatorio,

(letra griega sigma mayúscula).

Con él se expresa la suma de

todos los números o valores

sobre los que actúa.

Por ejemplo:

54321

5

1xxxxxxi

i

Se lee: “suma (o sigma) desde

i=1 hasta i=5 de los x sub i”.


Pág. 157

Frecuencias acumuladas

A menudo nos interesa conocer cuántos datos estadísticos presentan valores,

proporciones o porcentajes que son menores o iguales a uno dado. Para este fin se

estudian las frecuencias acumuladas.

Frecuencia absoluta acumulada, Fi, de una cualidad o de un valor xi es la suma de

todas las frecuencias absolutas correspondientes a los valores anteriores a xi y a la

suya propia.

Las frecuencias absolutas acumuladas se obtienen:

ii fffF ...21

Frecuencia relativa acumulada, Hi, de una cualidad o de un valor xi es la suma de

todas las frecuencias relativas correspondientes a los valores anteriores a xi y a la suya

propia.

Las frecuencias relativas acumuladas se obtienen:

ii hhhH ...21

Frecuencia porcentual acumulada, Pi, de una cualidad o de un valor xi es la suma de

todas las frecuencias porcentuales correspondientes a los valores anteriores a xi y a la

suya propia.

Las frecuencias porcentuales acumuladas se obtienen:

ii pppP ...21

ACTIVIDA RESUELTA

1. Construye una tabla con las frecuencias y las frecuencias acumuladas con los

datos obtenidos para la variable estadística número de hermanos que figura

en el epígrafe 4.

Número

de

hermanos

xi

Frecuencia absoluta Frecuencia absoluta Frecuencia porcentual

fi

Acumulada

Fi = f1 + f2 +...+ fi N

if

ih Acumulada

Hi = h1 + h2 +...+ hi 100ii hp

Acumulada

Pi = p1 + p2 +...+ pi

1 5 5 0,20 0,20 20 % 20 %

2 10 15 0,40 0,60 40 % 60 %

3 6 21 0,24 0,84 24 % 84 %

4 3 24 0,12 0,96 12 % 96 %

5 1 25 0,04 1 4 % 100 %

TOTAL 25 1 100 %


Pág. 158

Representaciones gráficas.

A veces es conveniente expresar la información contenida en las tablas estadísticas

mediante un gráfico, con el fin de hacerla más clara y evidente. Mencionaremos los

principales tipos de gráficos.

Diagrama de sectores

Se utiliza para comparar las distintas modalidades de un carácter, y consiste en un

círculo dividido en tantos sectores circulares como modalidades tiene el carácter.

Para construir un diagrama de sectores, el ángulo central de cada sector ha de ser

proporcional a la frecuencia absoluta correspondiente.

Representamos mediante un diagrama de sectores la distribución estadística que

clasifica a los alumnos según la Autonomía de nacimiento. Para el cálculo del ángulo

central procedemos así:

Autonomía

Número

de

alumnos

Medida del ángulo central

Andalucía 19 º228º36030

19

Castilla-La Mancha 7 º84º36030

7

Cataluña 2 º24º36030

2

Galicia 1 º12º36030

1

País Vasco 1 º12º36030

1

30 Tabla estadística de una variable cualitativa

Diagrama de sectores

Andalucía

Castilla-La

Mancha

Cataluña

Galicia

País Vasco

Andalucía

Castilla-La Mancha

Cataluña

Galicia

País Vasco


Pág. 159

Diagrama de barras. Polígono de frecuencias

Se utiliza para comparar datos cualitativos o cuantitativos discretos.

Para construir un diagrama de barras se representan sobre el eje de abscisas los datos

y en esos puntos se levantan barras proporcionales a las frecuencias absolutas.

Representamos el diagrama de barras asociado a la distribución que clasifica a los

alumnos según el número de hermanos.

Si unimos los extremos de las barras obtenemos el polígono de frecuencias.

Histograma. Polígono de frecuencias

Se utiliza para distribuciones de variable estadística continua o para distribuciones que

variable estadística discreta cuyos datos han sido agrupados en clases.

Para construir el histograma se representan sobre el eje de abscisas los extremos de las

clases. Se construyen unos rectángulos de base la amplitud del intervalo y de altura la

frecuencia absoluta si los intervalos tienen la misma amplitud. En caso contrario, las

alturas de los rectángulos se calculan de modo que sus áreas son proporcionales a las

frecuencias de cada intervalo.

Representamos el histograma asociado a la distribución que clasifica a los alumnos

según su peso en kilogramos.

El polígono de frecuencias se obtiene al unir los puntos medios de los lados superiores

de cada rectángulo. Con el fin de que el área encerrada bajo el polígono de frecuencias

sea igual a la suma de las áreas de los rectángulos, se une el extremo por la izquierda del

polígono con la marca de clase anterior; análogamente, con el extremo por la derecha.

3

9

13

2

1 1 1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

0 1 2 3 4 5 8

Número

de

hermanos

Número

de

alumnos

0 3

1 9

2 13

3 2

4 1

5 1

8 1

Tabla estadística de una

variable discreta.


Pág. 160

Histograma y polígono de frecuencias

0

2

4

6

8

10

12

Peso en Kg

Nº

de a

lum

no

s

Diagrama lineal

Se utiliza para mostrar las fluctuaciones de uno o varios caracteres estadísticos con el

paso del tiempo.

El gráfico siguiente expresa, en miles, los matrimonios, nacimientos y defunciones que

se ha producido en un determinado año:

MATRIMONIOS NACIMIENTOS DEFUNCIONES

0

10

20

30

40

50

60

70

E F M A M J J A S O N D

MIL

ES

PESO

(Kg)

Número

de

alumnos

[40, 45] 1

[45, 50] 3

[50, 55] 10

[55, 60] 9

[60, 65] 4

[65, 70] 2

[75, 80] 1 40 45 50 55 60 65 70 75

nacidos vivos

defunciones matrimonio

s


Pág. 161

Diagramas de tallos y hojas.

Una moderna técnica de recogida de datos es la que se conoce como diagrama de

tallos y hojas.

Veamos en qué consiste con el siguiente ejemplo:

Las puntuaciones obtenidas por 40 alumnos en un test han sido las siguientes:

41, 53, 72, 62, 81, 93, 81, 74, 56, 62, 45, 47, 62, 58, 88, 76, 77, 63, 43, 56, 76, 63, 78,

73, 65, 66, 91, 82, 61, 72, 36, 50, 91, 32, 60, 80, 51, 68, 61, 71.

Para construir el diagrama de tallos y hojas procederemos del siguiente modo:

Paso 1º.

Se observa entre qué valores están las

cifras de las decenas de todos los datos y

se tiene que van de 3 a 9.

Tallo

3

4

5

6

7

8

9

Paso 2º.

Se va leyendo uno a uno cada dato,

anotando la cifra de las unidades de cada

uno en la fila correspondiente:

Primer dato 41 Segundo dato 53

Tallo Hojas

3

4 1

5

6

7

8

9

Paso 3º.

Cuando los datos han sido anotados, se

obtiene una tabla como esta:

Tallo Hojas

3 6 2

4 1 5 7 3

5 3 6 8 6 0 1

6 2 2 2 3 3 5 6 1 0 8 1

7 2 4 6 7 6 8 3 2 1

8 1 1 8 2 0

9 3 1 1

Paso 4º.

Se vuelve a escribir la tabla ordenando de

menor a mayor las unidades dentro de cada

fila:

Tallo Hojas

3 2 6

4 1 3 5 7

5 0 1 3 6 6 8

6 0 1 1 2 2 2 3 3 5 6 8

7 1 2 2 3 4 6 6 7 8

8 0 1 1 2 8

9 1 1 3

Esto es un diagrama de tallos y hojas.

Del diagrama se deduce:

Hay 2 alumnos con puntuaciones entre 30 y 39; 4 alumnos con puntuaciones

entre 40 y 49, y así sucesivamente.

Hay más alumnos con puntuaciones entre 70 y 79 que entre 50 y 59.

La clase con mayor frecuencia es la que tiene de extremos 60-69.

Si unimos los últimos números de cada fila obtenemos el polígono de

frecuencias.

Tallo Hojas

3

4 1

5 3

6

7

8

9


Pág. 162

ACTIVIDADES

1. Enuncia tres variables estadísticas de cada una de las clases que aparecen en el

texto, referidas a los alumnos de tu curso.

2. Responde a lo que se pide en la actividad anterior, referidas, en este caso, a un

individuo de tu lugar de residencia.

3. Clasifica las siguientes variables estadísticas:

a. La profesión que piensan tener los alumnos de tu clase.

b. El peso de cada una de las manzanas producidas por un determinado

manzano.

c. El número de caries que tiene cada uno de los alumnos de un colegio.

d. La altura de los árboles de un parque público.

e. Los habitantes de cada una de las provincias españolas.

f. La categoría de cada club de fútbol español.

g. El número de miembros de cada familia de tu centro.

h. La longitud del brazo de los habitantes de una ciudad.

i. El número de satélites de cada planeta del Sistema Solar.

j. El número de habitaciones de las viviendas de tu barrio.

4. En una ciudad viven 9800 personas de la tercera edad. El Ayuntamiento desea

conocer la opinión de este colectivo acerca de la Asistencia Social ofertada por

el Ayuntamiento. Para realizar este estudio extrae una muestra de tamaño 30.

¿Cómo efectuar esta muestra utilizando la técnica de muestreo aleatorio simple?

5. Hemos lanzado al aire 4 monedas 50 veces y hemos anotado el número de caras

obtenido en cada lanzamiento. Los resultados son:

3, 4, 2, 2, 1, 1, 1, 0, 2, 3, 0, 3, 2, 2, 2, 1, 3, 1, 1, 2, 4, 2, 2, 1, 0, 2, 2, 1, 1, 0, 3, 2,

4, 2, 2, 3, 1, 1, 0, 2, 3, 1, 2, 4, 2, 1, 0, 2, 3, 2.

Haz el recuento y la correspondiente tabla estadística.

6. En un prestigioso laboratorio científico se midió durante varios años la

velocidad de la luz, de forma experimental. Los treinta valores que se

obtuvieron, en km/s, fueron:

300 006

299 781

299 904

300 090

300 144

300 075

300 380

299 904

299 789

299 640

299 400

300 000

299 825

300 035

299 587

299 804

300 021

299 806

300 082

299 751

299 507

299 712

299 984

300 012

300 202

299 875

299 822

300 120

300 043

299 603


163

Observa que el valor mayor es de 300 380 y el menor 299 400. El recorrido es

de 300 380 –299 400 = 980. Hacemos cinco intervalos, luego la amplitud de

cada uno será 980 / 5 = 196. Los intervalos que hay que considerar serán:

[299 400, 299 596); [299 596, 299 792); [299 792, 299 988);

[299 988, 300184); [300 184, 300 380].

A la vista de lo anterior calcula la tabla estadística correspondiente con intervalos,

marcas de clase, recuento y todas las frecuencias que aparecen en esta unidad.

7. La densidad de población, en habitantes por km2, de las provincias españolas, en

el año 1986, era de:

50, 141, 54, 63, 43, 48, 158, 110, 13, 10, 48, 105, 136, 184, 226, 99, 23, 24, 13,

12, 32, 23, 25, 34, 24, 29, 22, 10, 60, 21, 597, 83, 29, 83, 208, 65, 1093, 31, 21,

141, 41, 59, 201, 598, 89, 50, 88, 345, 532, 52, 3 620, 3 742.

En ocasiones no resulta útil usar intervalos de la misma amplitud, como ocurre

en este caso. Utiliza los intervalos [0, 20), [20, 40), [40, 80), [80, 160),

[160, 3 800] y elabora la tabla estadística completa.

8. Las calificaciones obtenidas por los 50 alumnos de dos clases de 3º de ESO, en

un ejercicio de Matemáticas han sido:

4, 6, 6, 0, 3, 2, 4, 4, 7, 0, 4, 9, 5, 4, 3, 6, 5, 2, 6, 3, 5, 6, 8, 4, 3, 4, 10, 5, 8, 7, 3, 4, 2,

8, 4, 7, 9, 1, 10, 6, 3, 7, 6, 8, 2, 5, 4, 1, 7, 8.

Elabora una tabla estadística en la que aparezcan las frecuencias simples y

acumuladas.

9. Completa los datos que faltan en las tablas estadísticas siguientes:

a) xi fi Fi hi b) xi fi Fi pi c) xi fi Hi Pi

1 40 0,16 1 3 0,03 1 3

2 10 2 6 2 0,08

3 65 0,06 3 15 9,37 3 12 20

4 5 0,02 4 8 12,50 4 0,35

5 60 5 10 5 0,53

6 185 6 42 6 17 70

7 210 7 50 7 16

8 20 8 5 8 0,94

9 245 9 59 9 4

10 0,02 10 7,81 10

TOTAL TOTAL TOTAL

10. Representa las siguientes series de datos mediante diagrama de barras:

a) 1, 3, 3, 5, 5, 5, 7, 7, 9. b) 2, 2, 2, 6, 6, 8, 8, 8. c) 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 8.


164

11. Representa las siguientes distribuciones de datos mediante polígono de

frecuencias:

12. Los siguientes datos son una muestra del número de ejemplares vendidos (en

miles) de un periódico en 20 puntos de venta diferentes durante un mes:

7, 4, 10, 9, 6, 9, 7, 8, 11, 6, 8, 10, 11, 6, 10, 10, 8, 11, 6, 5.

Construye la tabla con las diferentes frecuencias y dibuja el polígono de

frecuencias acumuladas.

13. Preguntados 60 alumnos por el número de miembros de su familia, las

respuestas han sido:

5, 4, 4, 5, 6, 6, 4, 7, 3, 2, 8, 4, 5, 6, 3, 6, 5, 7, 3, 4, 3, 5, 6, 2, 4, 5, 6, 6, 4, 3, 7, 7,

4, 4, 4, 3, 8, 5, 6, 3, 6, 4, 3, 7, 2, 5, 4, 8, 6, 5, 7, 4, 4, 3, 6, 5, 7, 8, 4, 3.

Construye una tabla con los datos anteriores en la que figure el recuento y las

frecuencias. Dibuja un diagrama de barras con los valores de las frecuencias

absolutas.

14. La tabla (que aparece incompleta) resume las calificaciones obtenidas por los

80 alumnos de 3º de ESO en cierto instituto:

Calificación Frecuencia absoluta Frecuencia relativa

Insuficiente 0,375

Suficiente 20

Bien 10

Notable 6

Sobresaliente

a. Completa la tabla con las frecuencias que faltan.

b. A través de un diagrama de sectores, representa gráficamente la

información.

15. Se han obtenido las pulsaciones de un equipo de atletas después de una carrera.

Los datos obtenidos han sido los siguientes:

Pulsaciones [70, 75) [75, 80) [80, 85) [85, 90) [90, 95) [95, 100]

Número de atletas 3 3 7 10 12 8

Calcula:

a. Las marcas de clase y la tabla con las frecuencias porcentuales

correspondientes.

b. Representa el histograma con las frecuencias de la tabla de arriba.

a) xi 1 2 3 4 5 6 b) xi 1 2 3 4 5 6 c) xi 1 2 3 4 5 6

fi 15 20 16 18 15 12 fi 15 11 17 20 17 10 fi 16 19 16 19 15 20


165

Medidas estadísticas. Clasificación.

Para poder comparar entre sí distribuciones estadísticas de distintas poblaciones o

muestras y, en cualquier caso, para disponer de un modo rápido que nos indique la

forma de la distribución estadística, sin necesidad de repasar grandes tablas y gráficos,

se han establecido unos números llamados parámetros o medidas estadísticas, que

aparecen clasificados en el cuadro siguiente:

Parámetros estadísticos:

o De centralización:

Media aritmética

Mediana

Moda

o De dispersión:

Rango o recorrido

Desviación media

Varianza

Desviación típica

Parámetros de centralización.

Media aritmética de una variable estadística es el cociente que resulta de

dividir la suma de todos los valores por el numero total de estos.

Se representa por x .

Su cálculo se realiza, según las expresiones que siguen, atendiendo a la presentación de

los datos:

o Para datos sin frecuencias

N

x

N

xxxx

i

n

in 121 ...

o Para datos con frecuencias

N

fx

f

fx

fff

fxfxfxx

ii

n

i

i

n

i

ii

n

i

n

nn 1

1

1

21

2211

...

...

Mediana de una variable estadística es el valor que deja a su izquierda un

número de datos iguales a los que deja a su derecha. Se denota por Me.

Ejemplo:

La calificación que han obtenido 7 alumnos en Matemáticas y 8 alumnos en Lengua han

sido (los datos tienen que estar ordenados):

2, 4, 5, 6, 6, 7, 7. 2, 2, 4, 4, 6, 8, 8, 8.


166

Observamos que en Matemáticas la nota 6 deja tres

alumnos a su izquierda y tres a su derecha. En las de

Lengua, como no hay una nota central, tomamos la media

aritmética de las dos notas centrales: (4 + 6) / 2 = 5.

Decimos que la nota mediana en Matemáticas es 6 y en

Lengua 5.

El proceso anterior, para calcular la mediana, es útil cuando

disponemos de pocos datos, pero cuando el número de

estos es grande este procedimiento resulta muy laborioso,

siendo necesario construir una tabla estadística con

frecuencias acumuladas como podemos ver en el margen.

Cuando los datos están agrupados en intervalos llamamos

clase mediana a la primera clase o intervalo cuya

frecuencia acumulada sobrepase a la mitad del número de

individuos. Si no necesitamos mucha precisión podemos

tomar como valor aproximado de la mediana la marca de

clase correspondiente a la clase mediana.

Cuando es necesaria mayor precisión en el cálculo de la

mediana, para variables agrupadas en intervalos, utilizamos la expresión que nos da su

valor exacto, como podemos ver en la siguiente actividad resuelta:

1. En la tabla adjunta mostramos los resultados obtenidos al tallar los 30 alumnos

de una clase. Calcula la talla mediana.

El intervalo o clase

mediana es [165, 170)

ya que es el primer

intervalo cuya

frecuencia acumulada

Fi = 26, sobrepasa a la

mitad del número de

individuos N/2 = 15.

Para obtener la mediana exacta utilizamos la siguiente expresión:

cf

FN

LMeMe

Me 1

12

42,165512

1415165Me cm es la talla mediana.

Cuartiles

Al estudiar la mediana hemos visto que, una vez ordenados de menor a mayor los datos

de una distribución, la mediana divide a éstos en dos partes iguales.

Ejemplo:

Talla (cm) Marca de clase xi Frecuencias

Absolutas fi Acumuladas Fi

[150, 155) 152,5 1 1

[155, 160) 157,5 3 4

[160, 165) 162,5 10 14

[165, 170) 167,5 12 26

[170, 175] 172,5 4 30

Cálculo de la mediana

Las notas que obtuvieron 32

alumnos en un examen de

matemáticas:

Notas

xi

fi Fi

1 2 2

2 2 4

3 3 7

4 5 12<16

5 7 19>16

6 5 24

7 3 27

8 2 29

9 2 31

10 1 32

La mediana es el primer valor cuya

frecuencia acumulada, Fi sea

mayor que la mitad del número de

individuos N/2 = 16.

En nuestro caso la nota

mediana es Me = 5.

L1 = extremo inferior de la clase mediana

c = amplitud de la clase mediana

fMe = frecuencia absoluta de la clase mediana

FMe-1 = frecuencia absoluta acumulada de la clase anterior a la clase mediana.


167

Si tenemos los 20 datos de la siguiente distribución:

16, 22, 21, 20, 23, 22, 17, 15, 13, 22, 17, 18, 20, 17, 22, 16, 23, 21, 22, 18.

Para calcular la mediana ordenamos los datos de menor a mayor:

13, 15, 16, 16, 17, 17, 17, 18, 18, 20, 20, 21, 21, 22, 22, 22, 22, 22, 23, 23. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Los valores que quedan en medio son: 20 y 20, pues hacia la izquierda quedan 9 datos

y hacia la derecha otros 9. Por lo tanto la mediana es 20. Me = 20.

Se llama cuartiles a tres valores que dividen la serie de datos en cuatro partes

iguales.

Se representan por Q1, Q2, Q3, y se designa cuartil primero, segundo y tercero,

respectivamente.

En la distribución anterior Q1 = 17 (20 : 4 = 5), Q2 = 20 (5 x 2 =10) y Q3 = 22.

Se llama quintiles a cuatro valores que dividen la serie de datos en cinco partes

iguales.

Se representan por K1, K2, K3, y se designa quintil primero, segundo y tercero,

respectivamente.

En la distribución anterior:

K1 = 16 (20 : 5 = 4),

K2 = 18 (4 x 2 =8),

Se llama deciles a nueve valores que dividen la serie de datos en diez partes

iguales.

Se representan por D1, D2, D3,..., D9, y se designa decil primero, segundo,

tercero,.., noveno, respectivamente.


D1 = 15 (20 : 10 = 2),

D2 = 16 (2 x 2 =4),

D3 = 17 (3 x 2 =6),

D4 = 18 (4 x 2 =8),

D5 = 20 (5 x 2 =10),

Se llama percentiles a 99 valores que dividen la serie de datos en cien partes

iguales.

Se representan por P1, P2, P3,..., P99, y se designa percentil primero, segundo,

tercero,.., nonagésimo noveno, respectivamente.


P1 = (20 : 100 = 0,2),

P2 = (2 x 0,2 =0,4),

.

.

. P10 = 15 (10 x 0,2 =2),

P20 = 16 (20 x 0,2 =4),

P30 = 17 (30 x 0,2 =6),

K3 = 21 (4 x 3 =12),

K4 = 22 (4 x 4 =16).

D6 = 21 (6 x 2 =12),

D7 = 22 (7 x 2 =14),

D8 = 22 (8 x 2 =16),

D9 = 22 (9 x 2 =18),

P40 = 18 (40 x 0,2 =8),

P50 = 20 (50 x 0,2 =10),

P60 = 21 (60 x 0,2 =12),

P70 = 22 (70 x 0,2 =14),

P80 = 22 (80 x 0,2 =16),

P90 = 22 (90 x 0,2 =18),


168

Debido a que los cuantiles son parámetros del tipo de la mediana, su cálculo se realiza

de forma análoga.

Ejercicios:

1. Las calificaciones en la asignatura Matemáticas de los 40 alumnos de una

clase vienen dadas por la siguiente tabla:

Calificaciones 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Nº de alumnos 2 2 4 5 8 9 3 4 3

Calcular:

a. Los cuartiles primero y tercero.

b. Los percentiles de orden 30 y 70.

2. Se ha aplicado un test sobre satisfacción en el trabajo a 88 empleados de

una fábrica, obteniéndose los resultados que se dan en la siguiente tabla:

Clases fi Fi

[38-44) 7 7

[44-50) 8 15

[50-56) 15 30

[56-62) 25 55

[62-68) 18 73

[68-74) 9 82

[74-80) 6 88

88

Calcular:

a. Los cuartiles primero y tercero.

b. Los percentiles de orcen 40 y 90.

3. Dadas estas series estadísticas:

a. 3, 5, 2, 7, 6, 4, 9.

b. 3, 5, 2, 7, 6, 4, 9, 1.

Hallar:

a. Los cuartiles 1º y 3º.

b. Los deciles 2º y 7º.

c. Los percentiles 32 y 85.

La moda de una variable estadística discreta cualitativa es el valor o cualidad de

la variable con mayor frecuencia absoluta. Se representa por Mo.

A veces la moda no es única, pues existen distribuciones que tienen dos, tres o más

modas. A la distribución que tiene dos modas se le llama distribución bimodal, a la que

tiene tres modas, distribución trimodal y así sucesivamente.

Cuando los datos están agrupados en intervalos llamamos clase modal a la clase con

mayor frecuencia absoluta. Si no necesitamos mucha precisión en el cálculo de la moda,

podemos tomar como valor aproximado de la misma la marca de clase de la clase

modal.


169

Cuando es necesario mayor precisión en el cálculo de la moda para variables agrupadas

en intervalos recurrimos a la expresión que nos da su valor exacto como podemos ver en

la siguiente actividad resuelta:

1. Encuentra la talla moda en la distribución estadística de la página anterior.

El mayor valor de la frecuencia absoluta, 12 da como clase modal [165, 170). El valor

aproximado de la moda es 167,5 cm.

Para obtener la moda exacta utilizamos la siguiente expresión:

cffff

ffLMo

MoMoMoMo

MoMo

11

1

1

16654121012

1012165Mo cm

Por tanto, la talla moda de esta clase es Mo = 166 cm, que como podemos ver se

aproxima mucho al valor central de la clase modal, 167,5 cm.

Parámetros de dispersión.

Los Parámetros de dispersión son valores numéricos que nos informan de las

desviaciones que sufren los datos de una distribución estadística respecto de los

parámetros centrales, en particular respecto a la media aritmética.

Recorrido o rango de una variable estadística es la diferencia entre el dato

mayor y el menor. Es decir, es la longitud del tramo dentro del cual están los

datos.

Desviación media de una variable estadística es el promedio de las distancias de

los datos a la media:

N

fxx

N

fxxfxxfxxDM

inn 12211 ...

Varianza de una variable estadística es la media aritmética de los cuadrados de

las desviaciones de todos los datos o marcas de clase respecto de la media. Se

representa por 2 .

Las expresiones equivalentes que permiten calcular la varianza son:

N

fxx ii

n

i

2

12 2

2

12 xN

fx ni

n

i

Desviación típica de una variable estadística es la raíz cuadrada positiva de la

varianza. Nos informa de la dispersión, por término medio, de cada dato respecto de la

media. Se representa por .

Las expresiones equivalentes que permiten calcular la desviación típica son:

L1 = extremo inferior de la clase modal

c = amplitud de la clase modal

fMo , fMo-1 , fMo+1 = frecuencias absolutas de la

clase modal, de la clase anterior y de la posterior


170

N

fxx ii

n

i

2

1 2

2

1 xN

fx ni

n

i

Utilización conjunta de la media y la desviación típica

Se han anotado las tallas, en centímetros, de 33 alumnos, obteniéndose:

163, 169, 171, 163, 158, 168, 173, 167, 165, 172, 178, 156, 168, 165, 162, 158, 169,

171, 163, 171, 170, 177, 151, 181, 167, 167, 165, 166, 164, 158, 161, 176, 170.

Representamos el polígono de frecuencias y observamos que la distribución es

unimodal y bastante simétrica.

Calculamos la media y la desviación típica:

76,166x cm.

47,6 cm.

Vamos a calcular el porcentaje de personas con estaturas en los siguientes intervalos:

23,173;29,160, xx

Hay 24 personas con estaturas en este intervalo; o sea, el 72 % del total.

70,179;82,1532,2 xx


17,186;35,1473,3 xx


Estos resultados que acabamos de obtener experimentalmente se generalizan del

siguiente modo:

En distribuciones con una sola moda y bastante simétricas (comportamiento normal) se

verifica que:

- En el intervalo xx , se encuentra el 68 % de los datos.

- En el intervalo 2,2 xx se encuentra el 95 % de los datos.

- En el intervalo 3,3 xx se encuentra el 99 % de los datos.


171

Coeficiente de variación.

Los pesos de los toros de lidia de una ganadería se distribuyen con una media

kgx 500 y una desviación típica kg40 .

Los pesos de los perros de una exposición canina tienen una media kgx 20 y una

desviación típica kg10 .

La desviación típica de los pesos de la manada de toros bravos (40 kg) es superior que

la de los perros (10 kg). Sin embargo, los 40 kg son poca cosa para el enorme tamaño de

los toros (es decir, los toros de esa manada son muy parecidos en peso), mientras que

10 kg es mucho en relación con el peso de un perro. En casos como este, la desviación

típica no es una medida adecuada para comparar dispersiones. Por ello, definimos un

nuevo parámetro estadístico.

Para comparar la dispersión de dos poblaciones heterogéneas, se define el

coeficiente de variación así:

xCV

Al dividir entre x estamos relativizando la dispersión.

El resultado se da, a veces, en tantos por ciento.

En el ejemplo de los toros y los perros, obtenemos:

o Para los toros: 08,0500

40CV Es decir, el 8 %

o Para los perros: 50,020

10CV Es decir, el 50 %

De este modo sí que se aprecia claramente que la variación de los pesos de los perros

(50 %) es mucho mayor que la de los pesos de los toros (8 %).


172

ACTIVIDADES

1. Las calificaciones que obtuvieron 32 alumnos de una clase, en Matemáticas, en

la primera evaluación fueron las que aparecen en la tabla.

xi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

fi 2 2 3 5 7 5 3 2 2 1

¿Cuál es la calificación media de la clase?

2. La temperatura que ha marcado un

termómetro en los diferentes días de la

semana, ha sido (en grados centígrados) los

que pueden verse en la tabla.

Calcula:

a. La temperatura media mínima.

b. La temperatura media máxima.

c. La media de las oscilaciones extremas

diarias.

3. Las edades de los componentes de una peña de aficionados al fútbol son:

18, 16, 21, 20, 18, 16, 21, 18, 21, 18, 20, 19, 36, 24, 18, 20, 18, 19 Y 20.

Calcula la edad media aritmética, la edad mediana y la edad moda.

4. Las temperaturas medias en las capitales de 12 países miembros de la UE, en

grados centígrados, son:

Amsterdam, 13; Atenas, 25; Berlín, 14; Bruselas, 15; Copenhague, 11; Dublín,

14; Lisboa, 20; Londres, 15; Luxemburgo, 15; Madrid, 20; París, 15; Roma, 22.

Calcula, en esta distribución, la media, la moda y la mediana. Haz el gráfico más

adecuado a esta distribución.

5. La renta per cápita de las provincias españolas figura en la tabla siguiente:

Renta per cápita

en euros [1000, 1300) [1300, 1600) [1600, 1900) [1900, 2200) [2200, 2500) [2500, 2800]

Número de

provincias 5 15 11 13 3 3

Calcula la renta per cápita media, mediana y moda.

6. La tabla muestra la distribución, a lo largo de

una mes del número de camiones que circulan

diariamente por un cruce de carreteras.

Calcula la media, la moda y la mediana y haz

el gráfico más adecuado.

Mínima Máxima

Lunes 4 19

Martes -2 18

Miércoles -3 21

Jueves 1 13

Viernes 4 12

Sábado 0 14

Domingo 3 22

PASO DE VEHÍCULOS

Nº de camiones

por día

Nº de días

[350, 400) 2

[400, 450) 5

[450, 500) 11

[500, 550) 9

[550, 600] 4


173

7. Para el siguiente conjunto de datos:

19, 9, 15, 17, 11, 18, 11, 6, 8, 21, 14, 5, 10, 10, 7, 4, 13, 19, 17, 11, 12, 9, 8, 5, 14 y 11.

Obtén su mediana.

8. Las respuestas correctas a un test de 79 preguntas realizado por 600 personas

son las que se recogen en la siguiente tabla:

Respuestas [0, 10) [10, 20) [20, 30) [30, 40) [40, 50) [50, 60) [60, 70) [70, 80]

Nº de personas 40 60 75 90 105 85 80 65

a. Calcula el número medio de respuestas correctas.

b. Obtén la mediana.

c. Representa gráficamente los datos de esta distribución.

9. Los siguientes datos son calificaciones obtenidas en cierta prueba de Idioma:

2, 5, 3, 4, 7, 9, 5, 2, 7, 4, 8, 3, 5, 8, 7, 9, 3, 2, 4, 1, 10, 9, 4, 8, 6, 9, 3, 3, 7, 1, 2, 8,

6, 7, 3, 6, 4, 7, 4, 8, 2, 3, 7, 5, 4, 6, 7, 5, 6, 7, 8, 4, 3, 7, 5, 6, 9, 5, 7 y 2.

a. Elabora una tabla en la que aparezcan las diferentes frecuencias simples.

b. Calcula media, mediana y moda de las calificaciones.

c. Calcula todos los parámetros de dispersión citados en el texto.

10. En un hospital se quiere estimar el peso de las niñas recién nacidas. Para ello se

seleccionan, de forma aleatoria, 100 de estas obteniéndose los siguientes

resultados:

Intervalos

(kg) [1; 1,5) [1,5; 2) [2; 2,5) [2,5; 3) [3; 3,5) [3,5; 4) [4; 4,5) [4,5; 5]

Nº de niñas 1 2 5 20 40 26 5 1

a. Calcula los pesos medio, mediano y moda de la distribución anterior.

b. Determina la desviación típica.

11. El cartograma muestra la potencia (en kw)

instalada con energía solar fotovoltaica a

finales de 1995 en las distintas

Comunidades Autónomas.

a. Calcula la media y la desviación

típica de la potencia instalada.

b. ¿Cuántas Comunidades Autónomas

tienen el valor de su potencia

instalada en el intervalo

xx , ?¿Qué porcentaje

representan?


174

12. Una fábrica de yogures empaqueta estos en cajas de cien unidades cada una.

Para probar la eficacia de la producción se han analizado 80 cajas comprobando

los yogures defectuosos que contiene cada una y se han obtenido los resultaos de

la tabla:

Nº de yogures

defectuosos 0 1 2 3 4 5 6

Nº de cajas

40 15 10 9 3 2 1

Define cuáles son los individuos de esta muestra y la variable estadística.

Después calcula para esta distribución estadística la media aritmética, la moda,

la mediana, la varianza, la desviación típica y el número de cajas que están en

los intervalos: xx , ; 2,2 xx ; 3,3 xx . A la

vista de los resultados, ¿puede calificarse la distribución de normal?

13. El presupuesto del Insalud, por Comunidades Autónomas y en miles de

millones, del año 1992 fue el siguiente:

Comunidad

Autónoma Cataluña Navarra Andalucía Galicia Comunidad

Valenciana

País

Vasco

Gestión

directa Presupuesto 379 29 417 146 243 132 1040

a. Construir el diagrama de sectores correspondientes a esta distribución de

frecuencias.

b. ¿Qué datos de los anteriores se encuentran en el intervalo xx , ?

14. En cierta línea de autobuses municipales se ha

registrado el número diario de viajeros que la

han utilizado el último mes, obteniéndose la

información que aparece en la tabla.

a. Realiza el gráfico correspondiente.

b. Calcula la media, la mediana y la moda

del número de viajeros.

c. Encuentra la desviación típica.

15. En la fabricación de cierto tipo de bombillas se han detectado algunas

defectuosas. Se han estudiado 200 lotes diferentes de 500 piezas cada uno,

obteniéndose los datos de la tabla adjunta:

Defectuosas 1 2 3 4 5 6 7 8

Nº de lotes 5 15 38 42 49 32 17 2

Calcula los parámetros de centralización y de dispersión.

16. Calcula parámetros de centralización y de dispersión:

xi [0, 25) [25, 50) [50, 75) [75, 100]

fi 20 40 100 60

Nº de

viajeros

(miles)

Nº de días

[0, 3) 5

[3, 6) 5

[6, 9) 15

[9, 12] 5


175

17. Los lados de dos cuadrados miden 5 y 7 m respectivamente. Halla el área del

cuadrado cuyo lado sea la media aritmética de los otros dos lados.

18. Un trayecto de 7 km es recorrido por una motocicleta en la siguiente forma: 3

km a 60 km/h y los otros 4 restantes a 100 km/h ¿Cuál es la velocidad media?

19. Se desea compara la duración de dos marcas de lámparas halógenas, A y B. Para

ello, elegimos dos muestras, compuestas por 10 lámparas de cada una de las

marcas. La duración en semanas de cada una de ellas fue:

Marca A 23 26 24 32 28 26 22 25 20 21

Marca B 22 29 24 27 30 29 25 27 22 30

a. Calcula la media y la desviación típica de las duraciones de cad

marca de lámparas.

b. ¿Qué marca sería aconsejable elegir?

20. Si a los numero 10, 12, 14, 16, 18 y 20, los sumamos 9 se obtiene 19, 21, 23, 25,

27, 29. Compara las medias y desviaciones típicas de ambas series.

21. Si a los numero 10, 12, 14, 16, 18 y 20, los multiplicamos por 4 se obtiene 40,

48, 56, 64, 72, 80. Compara las medias y desviaciones típicas de ambas series.


176

UNIDAD VIII. PROBABILIDAD

- Experimentos aleatorios. Sucesos.

- Operaciones con sucesos.

- Probabilidad de un suceso.

- Regla de Laplace.

- Frecuencia y probabilidad.

- Propiedades de la probabilidad.

- Probabilidad condicionada.

- Sucesos dependientes e independientes.

Experimentos aleatorios. Sucesos.

Un experimento aleatorio es aquel del que no podemos predecir su resultado, es decir,

que depende de la suerte o del azar.

Cuando conocemos el resultado del experimento antes de realizarlo, decimos que es un

experimento determinista.

Ejemplo 1:

El juego de la rana consiste en lanzar discos de metal a la boca de una rana, ganando

el premio si encestas. Acertar o no es un hecho en el que influye la suerte; sin

embargo, siempre que tiras el disco, este cae por efecto de la gravedad. Determina un

experimento aleatorio y otro determinista.

Acertar en la boca

1º Lanzar el disco

No acertar en la boca

2º Lanzar el disco El disco cae

El caso 1 es un experimento aleatorio porque no podemos asegurar elresultado. En el

caso 2, sí sabemos de antemano lo que va a ocurrir, luego es un experimento

determinista.

Un suceso elemental es cada uno de los posibles resultados de un experimento

aleatorio. El conjunto de todos los sucesos elementales se llama espacio muestral.

En general, un suceso es cualquier subconjunto del espacio muestral.

Ejemplo 2:

Extraemos una bola de una urna con bolas numeradas del 1 al 5. Define el espacio

muestral y escribe sucesos que no sean elementales.

El espacio muestral tiene 5 sucesos elementales: E = {1, 2, 3, 4, 5}

Los sucesos no elementales pueden ser:

A = ―Sacar un número par‖ = {2, 4}

B = ―Sacar un número mayor que 3‖ = {4, 5, 6}


177

Una técnica muy utilizada para calcular el espacio muestral de un experimento aleatorio

es el diagrama de árbol.

Ejemplo 3:

Juan tiene 2 corbatas, una azul y otra roja, y 3 camisas de colorees azul, rosa y

blanco, respectivamente. Si escoge al azar una corbata y una camisa, ¿cuál será el

espacio muestral?

Para calcular el espacio muestral construimos un diagrama de árbol:

E = {AA, AR, AB, RA, RR, RB}

Un suceso compuesto es aquel suceso que está formado por dos o más sucesos

elementales.

Cuando dos sucesos pueden ocurrir simultáneamente decimos que son compatibles; en

caso contrario, se denominan incompatibles.

Ejemplo 4:

En un experimento de lanzar un dado, escribe ejemplos de sucesos compuestos,

compatibles e incompatibles.

Consideramos los sucesos compuestos:

A = “Salir par” B = “Salir múltiplo de 3” C = “Salir potencia de 2”

Los sucesos A y B son compatibles. Si sale 6 es “par” y “múltiplo de 3”.

Los sucesos B y C son incompatibles. No hay ningún número que sea “múltiplo de 3” y,

a la vez, sea “potencia de 2”

Ejercicios:

1. Di cuáles de los siguientes experimentos son aleatorios y cuáles son

deterministas.

a) Pesar 1 dm3

de agua.

b) Medir el lado de un cuadrado de 2 cm2.

c) Preguntar un número de 2 cifras.

d) Lanzar un dado y anotar la puntuación.

e) Elegir un jersey del armario.

Corbata Azul Corbata Roja

Cam. Azul Cam. Azul Cam. Rosa Cam. Rosa Cam. Blanc Cam. Blanc


178

2. Define los sucesos elementales, el espacio muestral y dos sucesos no

elementales al extraer una carta de la baraja española.

3. En un experimento de elegir un número al azar y anotar su resto de dividir

entre 3, pon un ejemplo de suceso que no sea el conjunto vacío.

4. Lanzamos una moneda y un dado. Calcula el espacio muestral mediante

una diagrama de árbol.

5. se extrae una carta de la baraja española. Indica cómo son los siguientes

sucesos.

a) A = “Sacar oros” B = “Sacar copas”

b) A = “Sacar bastos” B = “Sacar un as”

6. Tenemos una bolsa con 8 bolas numeradas del 1 al 8. Extraemos una bola, y

si tiene un número impar, extraemos otra sin reemplazar la primera. Si el

número es par, extraemos dos bolas sin reemplazar la que ya hemos sacado.

a) Determina el espacio muestral.

b) Pon un ejemplo de dos sucesos compatibles.

c) Escribe dos sucesos incompatibles.

Operaciones con sucesos.

La unión de dos sucesos, A y B, es otro suceso formado por todos los sucesos

elementales que hay en A o en B, y se escribe A B.

La intersección de dos sucesos, C y D, es otro suceso formado por todos los sucesos

comunes de C y D, y se escribe C D.

En términos de operaciones con sucesos:

- Que ocurra A o B se traduce como A B.

- Que ocurra A y B se traduce como A B.

Ejemplo 5:

Lourdes y José juegan a lanzar un dado. Lourdes gana si saca un número par o

mayor que 4, y José gana cuando es impar y menor que 3.

Describe esta situación en términos de experimentos aleatorios y sucesos.

En el experimento aleatorio que consiste en lanzar un dado, el espacio muestral es:

E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Los sucesos son:

A = “Número par” = {2, 4, 6}

B = “Número mayor que 4” = {5, 6}

Lourdes gana si: GL = “Número par o mayor que 4” = {2, 4, 5, 6}

GL es la unión de A y B GL = A B


179

Otros sucesos son:

C = “Número impar” = {1, 3, 5}

D = “Número menor que 3” = {1, 2}

José gana si: GJ = “Número impar y menor que 3” = {1}

GJ es la intersección de C y D GL = C D

A partir de las operaciones con sucesos es fácil definir otros sucesos:

El suceso contrario o complementario de un suceso A es otro suceso, que escribimos

como A , y que está formado por los sucesos elementales del espacio muestral que no

están en A.

El contrario de la unión es la intersección de los contrarios.

BABA

El contrario de la intersección es la unión de contrarios.

BABA

El contrario del contrario coincide con el suceso de partida.

AA Siempre se cumple que:

A A = E

A A = Ø

E = Ø

Ø = E

Ejemplo 6:

En el experimento aleatorio que consiste en lanzar un dado y una moneda,

considerando el suceso A = “Sacar divisor de 6 en el dado y cara en la moneda”,

calcula el suceso contrario de A.

El espacio muestral es:

E = {1C, 2C, 3C, 4C, 5C, 6C, 1X, 2X, 3X, 4X, 5X, 6X}

A = {1C, 2C, 3C, 6C}

El suceso contrario de A está formado por todos los sucesos del espacio muestral que no

están en A.

E = {1C, 2C, 3C, 4C, 5C, 6C, 1X, 2X, 3X, 4X, 5X, 6X}

A = {1C, 2C, 3C, 6C}

Por tanto, tenemos que A = {4C, 5C, 1X, 2X, 3X, 4X, 5X, 6X}


180

Ejercicios:

7. En el experimento aleatorio que consiste en lanzar un dado con sus caras

numeradas del 1 al 8, expresa en forma de uniones e intersecciones los

siguientes sucesos.

a) “Salir número par y no primo”

b) “Salir número impar o primo”

c) “Salir número primo o par”

8. En la extracción de una bola de una bolsa que contiene 10 bolas numeradas

del 1 al 10, consideramos los sucesos A = “Número par” y B = “Múltiplo de

3”. Calcula:

a) A B

b) A B

9. De un experimento de sacar una carta de la baraja española, consideramos

los sucesos a = “Sacar una figura” y B = “Sacar oros”. Obtén los sucesos.

a) A B

b) A B

c) A d) B

10. Tomamos una pieza de fruta de un frutero donde hay manzanas, fresas,

plátanos y peras. Calcula los contrarios de los siguientes sucesos.

a) “Que sea manzana o pera”

b) “Que no sea plátano”

c) “Que crezca en árboles”

11. En una caja hay 8 bolas numeradas del 1 al 8. Escribe el suceso contrario,

uno compatible y otro incompatible de estos sucesos.

a) A = “Sacar número menor que 4”

b) B = “Sacar número impar”

12. Con los datos del ejercicio anterior, calcula estos sucesos.

a) A e) BA

b) BA f) BA

c) BA g) BA

d) BA h) BA

Probabilidad de un suceso

La probabilidad, P, de un suceso es una función que a cada suceso de un experimento

aleatorio le asocia un número comprendido entre 0 y 1 y mide la facilidad de que el

suceso ocurra.


181

Cuanto más se acerque la probabilidad de un suceso a 1, mayor será la posibilidad de

que ocurra, y recíprocamente, cuanto más se acerque a 0 más difícil será que suceda.

Un suceso seguro es aquel que siempre ocurre, y su probabilidad es 1. Por ejemplo:

P(E) = 1.

Se dice que un suceso es un suceso imposible cuando nunca sucede, es decir, cuando su

probabilidad es 0. Por ejemplo: P(Ø) = 0.

Ejemplo 7:

Tenemos 2 bolas de igual peso y tamaño, una blanca y otra negra, en una bolsa. Si

extraemos una bola, ¿cuál es la probabilidad de que sea blanca?

La probabilidad de coger una u otra bola será igual. Por tanto, podríamos repartir la

probabilidad de que ocurran ambos sucesos:

P(blanca) = 2

1 P(negra) =

2

1

Lo mismo sucedería si tuviéramos 3 bolas, iguales en peso y tamaño, pero de diferente

color; podríamos repartir la probabilidad de los 3 sucesos elementales, y a cada uno le

asignaríamos una probabilidad de 3

1

Regla de Laplace

Un experimento es regular cuando todos sus sucesos elementales tienen la misma

probabilidad, es decir, son sucesos equiprobables.

La regla de Laplace nos permite calcular probabilidades de un suceso cuando el

experimento aleatorio es regular.

La regla de Laplace afirma que la probabilidad de un suceso es igual al número de

sucesos elementales que contiene dividido entre el número total de sucesos elementales

del espacio muestral.

Para operar se suele utilizar esta expresión.

posibles casos de nº

A de favorables casos de nº P(A)


182

Ejemplo 8:

Carmen tiene una bolsa con 5 caramelos: 1 de menta, 2 de limón y 2 de fresa. Si

escoge un caramelo al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea de menta?¿Y de

limón?¿Y de fresa?

Este es un experimento regular, porque Carmen tiene igual probabilidad de coger

cualquiera de los 5 caramelos.

Para poder aplicar la regla de Laplace, los sucesos elementales tienen que se

equiprobables.

Si aplicamos la regla de Laplace, tenemos que:

caramelos de nº

menta de caramelos de nº P(menta) = 2,0

5

1

caramelos de nº

limón de caramelos de nº P(limón) = 4,0

5

2

caramelos de nº

fresa de caramelos de nº P(fresa) = 4,0

5

2

Ejercicios

13. Si en una bolsa tenemos 4 bolas de diferentes colores: rojo, blanco, verde y

amarillo, calcula la probabilidad de :

a) “Sacar bola marrón”

b) “Sacar bola de algún color”

c) “Sacar bola verde”

14. Halla las probabilidades de estos sucesos.

a) “Salir cara al lanzar una moneda”

b) “Obtener un 5 cuando juegas al parchís”

c) “Sacar un 2 en un dado con forma de tetraedro y cara numeradas del 1 al

4”.

15. De los siguientes experimentos, escribe cuáles son sus sucesos elementales.

a) “Lanzar un dado”

b) “Lanzar una moneda”

c) “Observar cómo cae una chincheta, con lapunta hacia arriba o hacia

abajo”

d) “Contestar al azar una pregunta con 4 posibles respuestas”

e) “Extraer una bola de una bolsa que tiene 2 bolas rojas y 3 azules”

f) “Lanzar un dado de 8 caras y una moneda”

¿Qué probabilidad le asignarías a cada uno de los sucesos?


183

16. En una bolsa hay 5 bolas rojas, 10 verdes y 5 azules, y se extrae una bola,

Calcula la probabilidad de los sucesos.

a) “Sacar bola roja”

b) “Sacar bola verde”

c) “Sacar bola azul”

17. En un aula hay 17 chicos y 19 chicas. Se elige una persona al azar.

Determina la probabilidad de estos sucesos.

a) “Ser un chico”

b) “Ser una chica”

18. Se lanza un dado de 6 caras. Calcula la probabilidad de estos sucesos.

a) A = “Salir un número par”

b) B = “Salir un número múltiplo de 3”

c) C = “Salir un número menor que 4”

19. En un dado se suprime la cara 6 y se añade otra cara 1. ¿Cuál es el espacio

muestral? ¿Son los sucesos elementales equiprobables?¿Puedes calcular su

probabilidad?

Frecuencia y probabilidad

La probabilidad coincide con el número hacia el que se aproximan las frecuencias

relativas de un suceso cuando repetimos el experimento aleatorio un número elevado de

veces.

Esa propiedad se conoce como ley de los grandes números.

Esta propiedad es una herramienta muy útil para calcular probabilidades de manera

experimental.

Ejemplo 9:

Calcula la probabilidad de que, al alanzar una moneda, salga cara.

Sin aplicar la regla de Laplace, realizamos el experimento numerosas veces y contamos

el número de caras que van saliendo.

Número de lanzamientos Número de caras (fi) Frec. Relativa (hi)

10 7 0,7

100 41 0,41

1.000 556 0,556

10.000 4.968 0,4968


184

Observamos que las frecuencias relativas se aproximan al valor de la probabilidad que

podríamos haber obtenido aplicando la regla de Laplace, esto es, a 0,5.

5,02

1

posibles casos de nº

favorables casos de nº P(A)

Propiedades de la probabilidad.

La probabilidad de un suceso no puede ser menor que 0 ni mayor que 1.

0 ≤ P(A) ≤ 1

La probabilidad del suceso seguro es 1 y la probabilidad del suceso imposible

es 0.

P(E) = 1 P(Ø) = 0

Cuando dos sucesos son incompatibles, la probabilidad de su unión es la suma

de sus probabilidades.

P(A B) = P(A) + P(B)

La probabilidad de cualquier suceso es igual a 1 menos la probabilidad de su

contrario.

P(A) = 1 – P( A )

Para dos sucesos cualesquiera, A y B, se verifica siempre que la probabilidad

de la unión es igual a la suma de las probabilidades menos la probabilidad de la

intersección.

P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B)

Si A y B son sucesos incompatibles la probabilidad de su intersección es 0.

Ejemplo 10:

Consideramos los sucesos:

A = “Ser una persona morena” con P(A) = 0,6

B = “Tener los ojos marrones” con P(A) = 0,7

A B = “Ser moreno y con ojos marrones” con P(A B) = 0,42

Calcula la probabilidad de que, elegida una persona al azar:

a) No sea morena b) Sea morena o tenga ojos marrones

a) “No sea morena” = A

P( A ) = 1 – P(A) = 1 – 0,6 = 0,4

b) “Sea morena o tenga ojos marrones” = A B

P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B) = 0,6 + 0,7 –0,42 = 0,88


185

Ejercicios:

20. Se ha lanzado una moneda 75 veces obteniéndose 43 caras. ¿Cuál es la

frecuencia relativa del suceso “Salir cruz”?

a) 75

32 b) 32 c)

100

32 d) 0,32

21. Una máquina hace arandelas para tornillos. Explica cómo calcularías la

probabilidad de que, escogida una de las arandelas al azar, sea defectuosa.

22. E una bolsa hay bolas numeradas del 1 al 5. Se repite 5.000 veces el

experimento de extraer una bola, se anota el resultado y, después, se devuelve

a la bolsa. Las frecuencias obtenidas son:

Bola 1 2 3 4 5

fi 1.200 800 700 1.300 1.000

Calcula la probabilidad de que, al sacar una bola, se obtenga un múltiplo de 2.

23. Una urna contiene 4 bolas blancas, 1 roja y 5 negras. Se considera el

experimento de sacar una bola al azar. Calcula las probabilidades de estos

sucesos.

a) A = ―Sacar bola blanca‖

b) B = ―Sacar bola roja‖

c) C = ―Sacar bola que no sea negra‖

d) D = ―Sacar bola que no sea roja‖

e) E = ―Sacar bola vede‖

f) F = ―Sacar bola blanca o negra‖

g) G = ―Sacar bola roja o negra‖

24. Se lanzan dos dados y se suman los puntos obtenidos. Halla la probabilidad de

que la suma:

a) Sea 3 b) Sea inferior a 11.

c) No sea 7. d) Sea 4 ó 5.

25. Si dos sucesos, A y B, verifican que la suma de sus probabilidades es igual a 1,

son:

a) Compatibles c) Incompatibles

b) Contrarios d) No se puede saber


186

Probabilidad condicionada.

El cálculo de la probabilidad de un suceso B, cuando sabemos que ha ocurrido otro

suceso A, se denomina probabilidad condicionada.

Se escribe P(B/A) y se lee “probabilidad de B condicionada a A”

Ejemplo 11

En una clase de 4º eso hay 8 chicos y 12 chicas. Si 5 chicos y 8 chicas lee el

periódico y escogemos un estudiante al azar, calcula la probabilidad de que:

a) “Lea el periódico y sea chico”

b) “ No lea el periódico o sea chico”

c) “ Sea chica, sabiendo que lee el periódico”

d) “Lea el periódico, sabiendo que es chica”

Como todos los alumnos tienen la misma probabilidad de ser escogidos, los sucesos

elementales son equiprobables y podemos aplicar la regla de Laplace.

A = “Ser chica”

B = “Ser chico”

C = “Lee el periódico”

D = “No lee el periódico”

a) 25,020

5

sestudiante de nº

periódico elleen que chicos de nº B)P(C

b) B)P(D P(D) + P(B) - P(D B) = 6,020

3

20

8

20

7

c) P(A/C) = 615,013

8

leen que sestudiante de nº

periódico elleen que chicas de nº

d) P(C/A) = 6,012

8

chicas de nº

periódico elleen que chicas de nº

Sucesos dependientes e independientes.

Dos sucesos, A y B son independientes cuado que ocurra uno no influye en que ocurra

el otro. En caso contrario, decimos que los sucesos son dependientes.

Dos sucesos, A y B, son independientes, si P(B/A) = P(B) y P(A/B) = P(A).

Regla del producto

La regla del producto es una forma de calcular la probabilidad de la intersección de

sucesos.

P(A B) = P(A) · P(B/A) = P(B) · P(A/B)

Si dos sucesos A y B, son independientes, entonces P(A B) = P(A) · P(B).

La regla del producto se puede utilizar para calcular el valor de la probabilidad

condicionada.


187

Ejemplo 12:

Extraemos 2 bolas de una bolsa en la que hay 12 bolas rojas y 8 azules. Si al sacar

la primera la devolvemos, ¿cuál es la probabilidad de que la primera sea roja y la

segunda sea azul?¿Y si no la devolvemos?

CON DEVOLUCIÓN

P(A) P(B/A)

20

12 Roja

20

12

Roja

20

8 Azul

20

8

Azul 20

12 Roja

20

8 Azul

P(A B) = P(A) · P(B/A)

P(Roja Azul) = P(Roja) · P(Azul /Roja) = 24,020

8

20

12

SIN DEVOLUCIÓN

P(A) P(B/A)

19

11 Roja

20

12

Roja

19

8 Azul

20

8

Azul 19

12 Roja

19

7 Azul

P(A B) = P(A) · P(B/A)


188

P(Roja Azul) = P(Roja) · P(Azul /Roja) = 25,019

8

20

12

Si devolvemos la bola, los sucesos “Obtener primera bola azul” y “Obtener segunda

bola roja” son independientes. Y si no la devolvemos, son dependientes.

Ejercicios:

26. En una caja de bombones hay 5 bombones de chocolate blanco y 15 de

chocolate negro. Si 2 bombones de chocolate blanco y 10 de chocolate negro

tienen relleno de licor, y escogemos un bombón al azar, calcula la

probabilidad de los sucesos.

a) “Sea de chocolate negro y esté relleno”

b) “No tenga relleno o sea de chocolate blanco”

c) “Sea de chocolate blanco, sabiendo que es relleno”

d) “Sea relleno, sabiendo que es de chocolate negro”

27. En una urna tenemos 2 bolas blancas y 2 azules. Si la primera bola que

extraemos no se vuelve a introducir en la urna (sin reemplazamiento),

calcula la probabilidad de obtener una bola azul y, después, una bola

blanca.

28. Si el experimento anterior fuera con reemplazamiento, halla la

probabilidad de obtener una bola azul y, después, una bola blanca.

29. Al extraer una bola de la urna (en la urna hay dos bolas rojas y tres azules)

y anotar el color, se devuelve a la urna. Calcula la probabilidad de que, al

extraer dos bolas, sean rojas.

30. En el ejercicios anterior, ¿son los sucesos dependientes o independientes?

31. Propón un experimento, y busca un ejemplo de sucesos independientes y

otro de sucesos incompatibles.

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DEEPPA ARRTTAMMEENNTTOO DDEE …oneyear.escoitar.org/IMG/pdf/4o_eso_matB_14-15.pdf · Fraccionarios REALES ( R ) Irracionales (I) Ordenación de los números reales. En los números