Sesión de aprendizaje N° 01: La recta

Geometría Analítica Página 1

La Recta

Introducción Histórica

En el año 1872 surgieron una serie de trabajos,

escritos por G. Cantor, R. Dedekind, K.

Weierstrass, E. Heine y Ch. Meray, cuyo único

objetivo era el de dotar de una teoría rigurosa al

número real, problema éste considerado vital para

una correcta fundamentación de análisis.

Así, Dedekind definió el número real como un corte

en el conjunto de los números racionales, dando al

conjunto de los números reales una interpretación

geométrica en forma de “Línea Recta”.

Definición y características de la recta

Según una página Web didáctica, WiKipedia.org, “Desde un punto de vista

geométrico, el concepto de recta es sumamente difícil de construir. Puede decirse

que una recta es el elemento geométrico unidimensional (su única dimensión es

la longitud), el cual puede ser determinado por dos puntos del espacio, es decir,

por un segmento de recta”.

Además se aluden ciertas matizaciones semánticas en las cuales, la Recta:

→ Es la línea más corta entre dos puntos.

→ Es un conjunto de puntos en el cual un punto que se encuentra entre otros

dos tiene la mínima distancia a estos; se prolonga al infinito en ambas

direcciones, en contraposición con el segmento y la semirrecta.

Dedekind Richard

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Geometría Analítica Página 2

→ Es el lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que

tomados dos puntos cualesquiera de ella, la pendiente “m” calculada

mediante la fórmula, resulta siempre constante.

→ Es un conjunto de puntos situados a lo largo de la intersección de dos

planos.

Ángulo de Inclinación y Pendiente de una Recta

Siguiendo a Coveñas (s.f.):

El ángulo de Inclinación ( ) de una recta es el ángulo que forma la

recta con el eje X, medido en sentido antihorario y considerando el eje

X como el lado inicial.

Se llama pendiente “m” de una recta a la tangente trigonométrica de

su ángulo de inclinación.

Si se conocen las coordenadas de dos puntos por donde pasa la

recta, tales como );( 11 yxA y , podemos calcular su

pendiente (m) de la siguiente manera: 12

12

xx

yytgm

, es decir:

);( 22 yxB

La Recta

AbscisasDiferencia

OrdenadasDiferenciam

:

:

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Geometría Analítica Página 3

Ecuaciones de la Recta

A continuación se presentan las diversas ecuaciones de la Recta: Forma

Punto – Pendiente; de los Dos Puntos; Pendiente y Ordenada al Origen; de las

Coordenadas al Origen y su Forma General, cada una de ellas con sus

respectivas demostraciones.

Forma Punto – Pendiente

De acuerdo a Figueroa (2002), la ecuación de una recta no vertical L

que pasa por el punto fijo y de pendiente dada “m”, es:

Demostración:

1.- Sea un punto cualquiera del lugar geométrico diferente del

punto fijo .

2.- Por definición de recta, para cualquier posición de P, se debe verificar

que:

3.- De donde obtenemos:

Forma de los Dos Puntos

La Recta que pasa por dos puntos fijos y tiene

por ecuación: (Figueroa; 2002)

111 , yxP

yxP ,

111 , yxP

11

1

1

xxmyy

xx

yym

111 , yxP 222 , yxP

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Geometría Analítica Página 4

,12

12

1

1

xx

yy

xx

yy

,12

12

1

1

xx

yy

xx

yy

Demostración. En efecto:

1. Sea un punto cualquiera del lugar geométrico, diferente de

y

2. Si

Y si

3. Como , y son colindantes, entonces , esto es:

Forma Pendiente y Ordenada al Origen

La Recta cuya pendiente es m y cuya ordenada en el origen es b, tiene por

ecuación:

Demostración:

1. Sea un punto cualquiera del lugar geométrico y sea (0, b) otro

punto del lugar geométrico situado en el eje Y.

21 xx

yxP ,1P

2P

211 PPmm

1

11

xx

yym

212 PPmm 12

122

xx

yym

1P 2PP 21 mm

21 xx

yxP ,

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2.- Por el teorema de la forma punto pendiente, la ecuación de la recta es:

3.- De donde obtenemos:

:

(Figueroa; 2002)

Forma de las Coordenadas al Origen

Esta forma de la ecuación de una recta, llamada también simétrica,

es un caso especial de la forma de los dos puntos, en la cual los puntos

son las intersecciones de la recta con los ejes coordenados.

La Recta cuyas intersecciones con los ejes X y Y son y

, respectivamente, tiene por ecuación:

Demostración:

Efectivamente:

1. Sea un punto cualquiera del lugar geométrico y sean (a, 0) y

(0, b) los interceptos del lugar geométrico con los ejes X y Y

respectivamente.

2. Por el Teorema en la Ecuación de la Forma de los dos Puntos, la

ecuación del lugar geométrico es:

0a

0 xmby

0b

1b

y

a

x

yxP ,

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3. De donde obtenemos:

:

(Figueroa; 2002)

Forma General

Cualquier ecuación de primer grado en X e Y se puede escribir de la forma:

En donde A, B y C son constantes arbitrarias, con Ay B no nulas

simultáneamente.

CASOS

Caso 01:

Si y , la ecuación general se puede escribir de la

forma:

Comparando con la ecuación , se deduce que:

0

00

a

b

ax

yabbxay

1b

y

a

x

0 CByAx

0,0 BA 0C

B

Cx

B

Ay

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Geometría Analítica Página 7

Y Caso 02:

Si y , la ecuación general toma la forma:

O Se dice entonces que la recta pasa por el origen de coordenadas.

Caso 03: y , la ecuación general toma la forma:

O

Se dice entonces que la recta es vertical, de pendiente indefinida o paralela al eje Y.

Caso 04: Si y , la ecuación general toma la forma:

O

Se dice entonces que la recta es horizontal, de pendiente cero o paralela al eje Y.

B

Am

A

Cb

0,0 BA 0C

xB

Ay mxy

0,0 BA 0C

A

Cx ax

0,0 BA 0C

B

Cy by

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Geometría Analítica Página 8

Posiciones Relativas de Dos Rectas

Dadas las ecuaciones de Dos Rectas

Las Relaciones siguientes son condiciones necesarias suficientes para:

→ Paralelismo: O sea,

→ Perpendicularidad:

→ Coincidencia: , , ,

→ Intersección en uno y solamente un punto:

(Lehmann; 2002)

1L 0111 CyBxA

2L 0222 CyBxA

2

1

2

1

B

B

A

A 01221 BABA

02121 BBAA

21 KAA 21 KBB 21 KCC 0K

2

1

2

1

B

B

A

A

:

:

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Distancia de un Punto a una Recta

A continuación se presenta la Demostración de la fórmula que determina la

distancia de un punto a una recta, gracias a la contribución de Peterson (1998):

1° Hallamos “m”, de 1L

b

c

b

axy

cbyax

0

Entonces:

2°

a

bm

mm

'

'

1 1.

3° Hallamos la Ecuación:

11

11

11

11

)(

)(

)(

bxbxayay

bxbxyya

xxa

byy

xxmyy

b

am

1

1L 'L

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Geometría Analítica Página 10

4° Formamos un Sistema

2

1

2

1

´22

22

11

2

22

11

2

22

11

2

22

11

2

)()(),(:

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

YYXXQQddpero

ba

bcabyxa

ba

bcabyxayy

ba

acabyxb

ba

acabyxbxx

)(

)(

)(

)(

)(

11

2

11

2

11

11

1

2

11

2

11

2

11

2222

bcabxya

bcabxya

bcaybxaaybxb

cay

acabyxb

acabyxb

abyxbcaaaybx

bcx

babaab

ba

11

11

11

0

0

aybxaybx

cbyax

aybxayax

cbyax

cbyax

bxbxayay

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Geometría Analítica Página 11

Entonces:

22

11

22

1

2

1

2

11

2

122

1

2

1

)(

ba

cbyaxa

ba

xbxaacabxxb

xba

acabyxbxx

22

11

22

1

2

1

2

11

2

122

11

2

1

)(

ba

cbyaxb

ba

ybyabcabxya

yba

bcabxyayy

Por tanto:

222

2

11

2

222

2

11

22

1

)(

)(

)(

)()(

ba

cbyaxb

ba

cbyaxaxx

2

22

112

1

2

1

222

222

2

112

1

2

1

)()(

).()(

)()()(

ba

cbyaxyyxx

baba

cbyaxyyxx

22

11

ba

cbyaxd