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Es un documento que sitetiza la introduccion historica, asi como la definicion de la recta, detallando cada una de sus ecuaciones.
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Sesión de aprendizaje N° 01: La recta
Geometría Analítica Página 1
La Recta
Introducción Histórica
En el año 1872 surgieron una serie de trabajos,
escritos por G. Cantor, R. Dedekind, K.
Weierstrass, E. Heine y Ch. Meray, cuyo único
objetivo era el de dotar de una teoría rigurosa al
número real, problema éste considerado vital para
una correcta fundamentación de análisis.
Así, Dedekind definió el número real como un corte
en el conjunto de los números racionales, dando al
conjunto de los números reales una interpretación
geométrica en forma de “Línea Recta”.
Definición y características de la recta
Según una página Web didáctica, WiKipedia.org, “Desde un punto de vista
geométrico, el concepto de recta es sumamente difícil de construir. Puede decirse
que una recta es el elemento geométrico unidimensional (su única dimensión es
la longitud), el cual puede ser determinado por dos puntos del espacio, es decir,
por un segmento de recta”.
Además se aluden ciertas matizaciones semánticas en las cuales, la Recta:
→ Es la línea más corta entre dos puntos.
→ Es un conjunto de puntos en el cual un punto que se encuentra entre otros
dos tiene la mínima distancia a estos; se prolonga al infinito en ambas
direcciones, en contraposición con el segmento y la semirrecta.
Dedekind Richard
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Geometría Analítica Página 2
→ Es el lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que
tomados dos puntos cualesquiera de ella, la pendiente “m” calculada
mediante la fórmula, resulta siempre constante.
→ Es un conjunto de puntos situados a lo largo de la intersección de dos
planos.
Ángulo de Inclinación y Pendiente de una Recta
Siguiendo a Coveñas (s.f.):
El ángulo de Inclinación ( ) de una recta es el ángulo que forma la
recta con el eje X, medido en sentido antihorario y considerando el eje
X como el lado inicial.
Se llama pendiente “m” de una recta a la tangente trigonométrica de
su ángulo de inclinación.
Si se conocen las coordenadas de dos puntos por donde pasa la
recta, tales como );( 11 yxA y , podemos calcular su
pendiente (m) de la siguiente manera: 12
12
xx
yytgm
, es decir:
);( 22 yxB
La Recta
AbscisasDiferencia
OrdenadasDiferenciam
:
:
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Ecuaciones de la Recta
A continuación se presentan las diversas ecuaciones de la Recta: Forma
Punto – Pendiente; de los Dos Puntos; Pendiente y Ordenada al Origen; de las
Coordenadas al Origen y su Forma General, cada una de ellas con sus
respectivas demostraciones.
Forma Punto – Pendiente
De acuerdo a Figueroa (2002), la ecuación de una recta no vertical L
que pasa por el punto fijo y de pendiente dada “m”, es:
Demostración:
1.- Sea un punto cualquiera del lugar geométrico diferente del
punto fijo .
2.- Por definición de recta, para cualquier posición de P, se debe verificar
que:
3.- De donde obtenemos:
Forma de los Dos Puntos
La Recta que pasa por dos puntos fijos y tiene
por ecuación: (Figueroa; 2002)
111 , yxP
yxP ,
111 , yxP
11
1
1
xxmyy
xx
yym
111 , yxP 222 , yxP
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,12
12
1
1
xx
yy
xx
yy
,12
12
1
1
xx
yy
xx
yy
Demostración. En efecto:
1. Sea un punto cualquiera del lugar geométrico, diferente de
y
2. Si
Y si
3. Como , y son colindantes, entonces , esto es:
Forma Pendiente y Ordenada al Origen
La Recta cuya pendiente es m y cuya ordenada en el origen es b, tiene por
ecuación:
Demostración:
1. Sea un punto cualquiera del lugar geométrico y sea (0, b) otro
punto del lugar geométrico situado en el eje Y.
21 xx
yxP ,1P
2P
211 PPmm
1
11
xx
yym
212 PPmm 12
122
xx
yym
1P 2PP 21 mm
21 xx
yxP ,
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2.- Por el teorema de la forma punto pendiente, la ecuación de la recta es:
3.- De donde obtenemos:
:
(Figueroa; 2002)
Forma de las Coordenadas al Origen
Esta forma de la ecuación de una recta, llamada también simétrica,
es un caso especial de la forma de los dos puntos, en la cual los puntos
son las intersecciones de la recta con los ejes coordenados.
La Recta cuyas intersecciones con los ejes X y Y son y
, respectivamente, tiene por ecuación:
Demostración:
Efectivamente:
1. Sea un punto cualquiera del lugar geométrico y sean (a, 0) y
(0, b) los interceptos del lugar geométrico con los ejes X y Y
respectivamente.
2. Por el Teorema en la Ecuación de la Forma de los dos Puntos, la
ecuación del lugar geométrico es:
0a
0 xmby
0b
1b
y
a
x
yxP ,
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3. De donde obtenemos:
:
(Figueroa; 2002)
Forma General
Cualquier ecuación de primer grado en X e Y se puede escribir de la forma:
En donde A, B y C son constantes arbitrarias, con Ay B no nulas
simultáneamente.
CASOS
Caso 01:
Si y , la ecuación general se puede escribir de la
forma:
Comparando con la ecuación , se deduce que:
0
00
a
b
ax
yabbxay
1b
y
a
x
0 CByAx
0,0 BA 0C
B
Cx
B
Ay
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Y Caso 02:
Si y , la ecuación general toma la forma:
O Se dice entonces que la recta pasa por el origen de coordenadas.
Caso 03: y , la ecuación general toma la forma:
O
Se dice entonces que la recta es vertical, de pendiente indefinida o paralela al eje Y.
Caso 04: Si y , la ecuación general toma la forma:
O
Se dice entonces que la recta es horizontal, de pendiente cero o paralela al eje Y.
B
Am
A
Cb
0,0 BA 0C
xB
Ay mxy
0,0 BA 0C
A
Cx ax
0,0 BA 0C
B
Cy by
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Posiciones Relativas de Dos Rectas
Dadas las ecuaciones de Dos Rectas
Las Relaciones siguientes son condiciones necesarias suficientes para:
→ Paralelismo: O sea,
→ Perpendicularidad:
→ Coincidencia: , , ,
→ Intersección en uno y solamente un punto:
(Lehmann; 2002)
1L 0111 CyBxA
2L 0222 CyBxA
2
1
2
1
B
B
A
A 01221 BABA
02121 BBAA
21 KAA 21 KBB 21 KCC 0K
2
1
2
1
B
B
A
A
:
:
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Distancia de un Punto a una Recta
A continuación se presenta la Demostración de la fórmula que determina la
distancia de un punto a una recta, gracias a la contribución de Peterson (1998):
1° Hallamos “m”, de 1L
b
c
b
axy
cbyax
0
Entonces:
2°
a
bm
mm
'
'
1 1.
3° Hallamos la Ecuación:
11
11
11
11
)(
)(
)(
bxbxayay
bxbxyya
xxa
byy
xxmyy
b
am
1
1L 'L
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4° Formamos un Sistema
2
1
2
1
´22
22
11
2
22
11
2
22
11
2
22
11
2
)()(),(:
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
YYXXQQddpero
ba
bcabyxa
ba
bcabyxayy
ba
acabyxb
ba
acabyxbxx
)(
)(
)(
)(
)(
11
2
11
2
11
11
1
2
11
2
11
2
11
2222
bcabxya
bcabxya
bcaybxaaybxb
cay
acabyxb
acabyxb
abyxbcaaaybx
bcx
babaab
ba
11
11
11
0
0
aybxaybx
cbyax
aybxayax
cbyax
cbyax
bxbxayay
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Entonces:
22
11
22
1
2
1
2
11
2
122
1
2
1
)(
ba
cbyaxa
ba
xbxaacabxxb
xba
acabyxbxx
22
11
22
1
2
1
2
11
2
122
11
2
1
)(
ba
cbyaxb
ba
ybyabcabxya
yba
bcabxyayy
Por tanto:
222
2
11
2
222
2
11
22
1
)(
)(
)(
)()(
ba
cbyaxb
ba
cbyaxaxx
2
22
112
1
2
1
222
222
2
112
1
2
1
)()(
).()(
)()()(
ba
cbyaxyyxx
baba
cbyaxyyxx
22
11
ba
cbyaxd
