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INTRODUCCION

El presente trabajo hace referencia en si a las ecuaciones fundamentales para el curso de “Mecánica de Fluidos”, es decir, las ecuaciones de conservación siendo estas las de conservación de la energía, conservación de la masa y la de Bernoulli las cuales se basan en el principio de conservación de la energía, el principio de la conservación de la materia y el principio de Bernoulli respectivamente.

El interés que lleva a la realización de este trabajo, es el aprendizaje y comprensión del uso y aplicación de las ecuaciones anteriormente mencionadas con el fin, de asimilar de una manera óptima los temas siguientes de la mecánica de fluidos.

Si bien desde el punto de vista académico nos centramos en la parte teórica de los temas en cuestión también se abarcará el ámbito profesional, haciendo hincapié en el contexto industrial en donde se aplican estos principios.

En el capítulo inicial, se realiza una definición de las ecuaciones de conservación para su análisis y comprensión. En el capítulo siguiente, se exponen ejemplos de su aplicación en la industria colombiana. En el último capítulo, se aplican estas ecuaciones para la solución de problemas propuestos de forma teórica.

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1. DEFINICION DE ECUACIONES

1.1 ECUACION DE CONSERVACION DE ENERGIA

Esta ecuación se basa primordialmente en la ley de conservación de energía la cual nos dice que la energía no se crea ni se destruye solo se transforma de una forma a otra, esto quiere decir que no podemos crear energía pero si la podemos transformar de una a otra. El cambio en el contenido de energía de un sistema es igual a la diferencia entre la entrada de energía y la salida de ésta, y el principio de conservación de la energía para cualquier sistema se puede expresar de la siguiente manera: Eent−E sal=∆ E.

El primer principio de la termodinámica dice que la variación de energía total (interna más cinética) de un volumen fluido es igual al trabajo por unidad de tiempo, o potencia, que realizan las fuerzas externas (másicas y de superficie) sobre el volumen fluido, más el calor aportado desde el exterior a dicho volumen fluido por unidad de tiempo. ∆ E=∆Q+∆W

Figura 1: variación de la energía

Para los sistemas compresibles simples, la energía total consiste en la energía interna, la cinética y la potencial, y se expresa, en términos de la unidad de masa,

como: e=u+ec+ep=u+V2

2+gz

1.2 ECUACION DE LA CONSERVACION DE MASA

La ecuación de conservación de la masa es una de las ecuaciones básicas de la mecánica de fluidos que describe la variación de masa en función del tiempo en el interior de un volumen de control (VC) definido. La ecuación de conservación de la masa representa una previsión de la adición y sustracción de masa de una región

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concreta de un fluido. Pensemos en un volumen fijo e indeformable de un fluido, V, llamado volumen de control (cv), que tiene un límite de superficie definido, llamado superficie de control (cs). Para que se cumpla la conservación de la masa, la tasa de intercambio de masa por unidad de tiempo dentro del volumen de control tiene que ser igual a la velocidad la que la masa penetra en el volumen de control más la velocidad a la que éste gana o pierde masa debido a fuentes y desagües.

La masa, como la energía, es una propiedad que se conserva y no se puede crear ni destruir en el transcurso de un proceso, en un volumen de control lo anterior se puede expresar como: la transferencia neta de masa hacia dentro un volumen de control, o hacia fuera de éste durante un intervalo de tiempo es igual al cambio neto (aumento o disminución) en la masa total que está dentro de ese volumen en el transcurso de ∆ t por lo tanto: ment−msal=∆m vc (kg)

Se parte de la ecuación del teorema de transporte de Reynols.

Reescribiendo la ecuación teniendo en cuenta que B=m se obtiene:

Se iguala la ecuación a cero ya que la masa debe conservarse. Esta es la ecuación de la cantidad de masa en función del tiempo para un volumen de control deformable. Si el volumen de control es fijo, entonces puede escribirse la ecuación del siguiente modo:

En la que se ha sustituido la derivada total de la integral por la derivada parcial de la densidad respecto del tiempo.

Si el VC tiene salidas y entradas unidimensionales, podemos escribir:

En el caso de que el flujo en el interior del volumen de control es estacionario, la derivada parcial de la densidad respecto del tiempo es igual a cero

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1.3 ECUACION DE BERNOULLI

El principio de Bernoulli, también denominado ecuación de Bernoulli o Trinomio de Bernoulli, describe el comportamiento de un fluido moviéndose a lo largo de una línea de corriente. Fue expuesto por Daniel Bernoulli en su obra Hidrodinámica (1738) y expresa que en un fluido ideal (sin viscosidad ni rozamiento) en régimen de circulación por un conducto cerrado, la energía que posee el fluido permanece constante a lo largo de su recorrido. La energía de un fluido en cualquier momento consta de tres componentes:

Cinético: es la energía debida a la velocidad que posea el fluido. Potencial gravitacional: es la energía debido a la altitud que un fluido posea. Energía de flujo: es la energía que un fluido contiene debido a la presión

que posee.

La siguiente ecuación conocida como "Ecuación de Bernoulli" (Trinomio de Bernoulli) consta de estos mismos términos.

ρV 2

2+P+ρgz=cte

 = velocidad del fluido en la sección considerada.

 = densidad del fluido.

 = presión a lo largo de la línea de corriente.

 = aceleración gravitatoria

 = altura en la dirección de la gravedad desde una cota de referencia.

La ecuación de Bernoulli, se puede considerar como una apropiada declaración del principio de la conservación de la energía, para el flujo de fluidos. El comportamiento cualitativo que normalmente evocamos con el término "efecto de Bernoulli", es el descenso de la presión del líquido en las regiones donde la velocidad del flujo es mayor.

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2. APLICACIONES PRÁCTICAS (EJEMPLOS INDUSTRIALES)

2.1 APLICACIÓN DE LA CONSERVACION DE ENERGIA

Energía hidroeléctrica

La central hidroeléctrica de Chivor está situada a 160 km al Nororiente de la ciudad de Santafé de Bogotá, cerca al municipio boyacense de Santa María. Aprovecha el potencial hidroeléctrico del río Batá, regulado por la presa de La Esmeralda que forma un embalse con una capacidad de almacenamiento de 760 Mm3. El caudal regulado del río Batá, se desvía por medio de dos túneles a la hoya del río Lengupá, donde se encuentra situada la casa de máquinas. Esto permite aprovechar una caída de 768 m. De esta forma la energía potencia y cinética del agua al caer es aprovechada transformándola en energía eléctrica.

Figura 2

2.2 APLICACIONES DE CONSERVACION DE LA MASA

Proceso del petróleo

Ecopetrol SA (Empresa industrial y comercial del Estado) es la primera compañía de petróleo de Colombia, ubicada en Bogotá dedicada a la extracción, destilación y comercialización de los derivados del petróleo. En el proceso de destilación del

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petróleo podemos evidenciar que la cantidad de masa que entra a la caldera (petróleo bruto) es igual a la que sale (derivados del petróleo).

Figura 3

2.3 APLICACIÓN DE LA ECUACION DE BERNOULLI

Chimenea

La empresa colombiana DIBTEC S.A.S ubicada en la Cr64 A 75 A-43 Medellín, Antioquia se dedica a la fabricación de chimeneas industriales bajo este principio las chimeneas deben ser altas para aprovechar que la velocidad del viento es más constante y elevada a mayores alturas. Cuanto más rápidamente sopla el viento sobre la boca de una chimenea, más baja es la presión y mayor es la diferencia de presión entre la base y la boca de la chimenea, en consecuencia, los gases de combustión se extraen mejor.

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Figura 4: chimenea industrial

3. EJERCICIOS CON SOLUCION

3.1 EJERCICIO DE CONSERVACION DE ENERGIA

Se bombea agua desde un depósito inferior hacia otro más alto mediante una bomba que suministra 20 kW de potencia mecánica útil al agua. La superficie libre del depósito superior está 45 m más arriba que la superficie libre del inferior. Si el caudal de agua es de 0,03 m3/s, determine la altura de pérdidas del sistema y la potencia mecánica que ésta pérdida representa.

Figura 5

Datos:

Q=0,03ms

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∆ z=45mW=20kW

Incógnitas:

Se pide determinar la pérdida de carga (hL) del sistema y la potencia mecánica (W p) que se pierde en el proceso.

Análisis:

La energia total del sistema es:

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e=P1ρg

+V 12

2 g+ z1+hW−hL

Por lo tanto tenemos que:

P1ρg

+V 12

2g+z1+hW−hL=

P2ρg

+V 22

2g+z2

Las presiones y velocidades en los puntos 1 y 2 son iguales a cero (trabajando con presiones manométricas), entonces la ecuación se transforma en:

hL=hW+(z1−z2)

Como la bomba le suministra energía al fluido entonces hw es de signo positivo, y sabiendo que m = ρQ, tenemos:

hW=W B

ρgQ

Sustituyendo valores:

hL=20 x103

1000 x 9,81x 0,03=22,96m

Respuesta a): 22,96 m

La potencia que se pierde en el proceso vendrá dada por:

W p=ρgQ hL=1000 x9,81 x 0,03x 22,96=6,76kW

Respuesta: 6,76 kW

3.2 EJERCICIO DE CONSERVACION DE LA MASA

Se fuerza agua hacia el interior del aparato con un caudal de 0,1 m3/s a través del tubo A, a la vez que un aceite con densidad relativa de 0,8 se fuerza con un caudal de 0,03 m3/s a través del tubo B. Si los líquidos son incompresibles y forman una mezcla homogénea de gotas de aceite en el agua, ¿Cuál es la velocidad promedio y la densidad de la mezcla que sale a través del tubo C que tiene un diámetro de 0,3 m?

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Figura 6

Seleccionando como volumen de control el aparato y aplicando la ecuación de conservación de la masa en su forma integral.

En estado estacionario, el terminó de acumulación seanula, por lo que la ecuación anterior aparecen dos términos de entrada y uno de salida, reacomodando queda expresado como:

Expresando en función de los caudales

Despejando la velocidad de salida en C

Donde

La densidad en C, será una contribución de lo que entra por A y B, por definición:

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Para saber la masa y el volumen de A (agua) y B (aceite) que salen por C, se debe hacer una estimación basada en lo que entra en un tiempo determinado. Por ejemplo en un segundo como base de cálculo.

Entonces la densidad de la mezcla

Sustituyendo en la ecuación 4, la velocidad promedio en el punto C será:

3.3 EJERCICIO DE ECUACION DE BERNOULLI

Para extraer agua de un depósito elevado se utiliza una manguera de ½ pulg de diámetro, tal como se muestra en la figura. Si la superficie libre del agua en el depósito se encuentra a 4,5 pies del suelo y el extremo más bajo de la manguera está a 2 pies del suelo, determine:a) El tiempo necesario para llenar un recipiente con 10 L de agua.b) La presión manométrica en el punto más elevado de la manguera, el cual se encuentra a 5 pies del suelo.

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Figura 7

Datos:

D = 0,5 pulgz1 = 4,5 piez2 = 2 piezA = 5 pie

Incógnitas:

Se pide determinar el tiempo necesario para llenar con 10 L de agua el recipiente ubicado en el suelo y la presión en el punto A.

Análisis:

Si trabajamos con presiones manométricas, entonces P1 = P2 = 0. Además, la velocidad en el punto 1 también es cero (nivel del agua en el depósito permanece constante)

z1=V 22

2g+z2

Despejando de esta ecuación el valor deV 2:

V 2=√2 g(z1−z2)=√2 x 9,81x (4,5−2)=12,689 pies

Como se supuso flujo incompresible:

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Luego,

Respuesta a): 20,8 s

Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y A, tenemos:

Por continuidad:

Como el diámetro de la manguera es constante VA = V2, entonces:

Respuesta b): - 0,04 psi

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4. EJERCICIO DE COMBINACION DE ECUACIONES

Se usa un codo de 90° para dirigir hacia arriba un flujo de agua que viene por un tubo horizontal a razón de 25 kg/s. El diámetro del codo en toda su longitud es de 10 cm. Dicho codo descarga el agua hacia la atmósfera y, por lo tanto, la presión a la salida es la presión atmosférica local. La diferencia de elevación entre los centros de la salida y de la entrada del codo es de 35 cm. Se considera que el peso de este codo y del agua que está en él es despreciable. Determine la presión manométrica en el centro de la entrada del codo.

Figura 8

Tomamos el codo como el volumen de control, y designamos la entrada como 1 y la salida como 2. La ecuación de continuidad para este sistema de flujo constante de una entrada de una sola salida es m1=m2=m=30kg/ s. Observando que

m=ρAV , Las velocidades medias de entrada y salida de agua son.

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Notando que V 1=V 2 y P1=Patm, la ecuación de Bernoulli para una línea de corriente que va a través del centro del codo reductor es expresado como:

Y sustituyendo

5. CONCLUSIONES

Podemos decir que las ecuaciones de conservación de la masa, energía y Bernoulli es un tema muy importante en “Mecánica de fluidos” debido a sus innumerables aplicaciones en las industrias.

La masa y la energía no se destruyen ni se crea si no que se transforma de una forma a otra. Muchas maquinarias y equipos se basan en este principio.

La ecuación de Bernoulli es una relación entre la presión, la velocidad y la elevación en el flujo estacionario e incompresible, y se expresa a lo largo de una línea de corriente y en regiones.

La ecuación de la conservación de Bernoulli solo se puede aplicar para fluidos incompresibles.

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BIBLIOGRAFIA

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