Definición de Geometría Descriptiva.

Es la ciencia de representación gráfica, sobre superficies bidimensionales, de

los problemas del espacio donde intervengan, puntos, líneas y planos.

La geometría descriptiva es para el dibujo como la gramática es para el

lenguaje.

Importancia de la Geometría Descriptiva.

La geometría descriptiva es importante ya que cumple dos objetivos

principales:

El primero facilitar el método para representar sobre un papel que posee dos

dimensiones longitud y latitud; todos los cuerpos de la naturaleza, que tienen

tres dimensiones, longitud, latitud y profundidad.

El segundo objetivo es dar a conocer por medio de una exacta descripción la

forma de los cuerpos, y deducir todas las verdades que resultan, bien sean de

sus formas, bien de sus posiciones respectivas.

La geometría descriptiva existía antes de ser inventada. La complejidad de los

cortes de la piedra o la madera ha requerido siempre el uso de proyecciones

ortogonales, y sin embargo el sistema diédrico es relativamente moderno. La

perspectiva cónica nació de un proceso artístico lento, anterior al concepto de

“sección de la pirámide visual”. Las axonometrías son utilizadas

sistemáticamente mucho antes de quedar geométricamente explicadas por la

teoría decimonónica. Por eso, cuando en 1795 alguien decidió que esta

denominación, geometría descriptiva, era conveniente para designar un

conjunto de hábitos y conocimientos, estaba, en realidad, legalizando una

situación existente.

Quien tomó la decisión fue un revolucionario francés, de origen humilde,

entusiasta defensor de la racionalización, protagonista de la organización del

calendario republicano, del sistema de pesas y medidas, y principal inspirador

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de la Escuela Normal y de la Escuela Politécnica, que consiguió extender su

organización de la enseñanza por todo el continente. La expresión escogida

para designar a esta materia, geometría descriptiva, perseguía aprovechar el

prestigio de la llamada geometría analítica, contrastando con ella. Desde

entonces y durante todo el siglo XIX los responsables de la producción teórica

y la docencia de la geometría descriptiva, los profesionales de la geometría

descriptiva, entendieron que la perfección de esta disciplina consistiría en

alcanzar una organización ideal al modo de las diversas ramas de la

matemática. Como cualquier cosa se puede forzar hasta conseguir que se

parezca al álgebra, consiguieron su objetivo, y al final del siglo ya existía un

aparato teórico ideal, la llamada geometría proyectiva, que se constituía en

abstracción de los procedimientos de la geometría descriptiva y permitía olvidar

la realidad histórica y colgar los diversos modos de representar, de las ramas

de un árbol taxonómico ideal. Esto no era útil al usuario, pero dejaba a los

profesionales de la geometría descriptiva satisfechos, casi tanto como cuando

los matemáticos consiguieron convencer a todo el mundo de que los niños

debían conocer la teoría de conjuntos, sin embargo, la geometría descriptiva no

podía dejar de ser lo que era, una actividad intrínseca al trabajo del diseñador,

una reflexión sobre las posibilidades del espacio sensible y sobre los criterios,

más o menos convencionales, que empleamos para su representación plana. 

Y para el arquitecto sigue siendo necesario cierto conocimiento de lo que es o

no es geométricamente posible al emplear formas materiales; y es también

necesario con el uso del ordenador es más necesario que nunca el

conocimiento critico de los modos de proyección plana que hemos decidido

utilizar. De manera que el curioso aparato montado por nuestros predecesores

aparece obsoleto y cada vez más es evidente que la geometría descriptiva se

constituye y se debe enseñar a partir de un conjunto de modos de hacer muy

adheridos a la realidad. Parece que un estudiante de arquitectura debe saber

lo que es la perspectiva y cómo cambia al alterar sus elementos; debe ser

capaz de resolver gráficamente algunos sencillos problemas espaciales; debe

controlar la variedad de las axonometrías; debe leer con soltura una topografía

definida por sus curvas de nivel; debe conocer las propiedades y posibilidades

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de conos, cilindros, superficies de revolución, esfera, y algunos menos

comunes, como elipsoides y paraboloides, superficies regladas.

Proyección Ortogonal.

Se denomina proyección ortogonal al sistema de representación que nos

permite dibujar en diferentes planos un objeto situado en el espacio.

Uno de los principales objetivos del dibujo técnico (específicamente el llamado

“dibujo mecánico”) es la confección de planos de fabricación de piezas

mecánicas de las más variadas formas. Para lograrlo se necesita representar

gráficamente las distintas formas que dichas piezas presenten.

Una fotografía o un dibujo pictórico muestra al objeto tal como aparece ante

nosotros como observadores, pero no como es, pues la imagen es afectada por

la perspectiva. Una representación gráfica así no puede describir

completamente el objeto, sin que importe desde que dirección se le mire, ya

que no muestra las formas ni los tamaños exactos de las distintas partes. Las

fotografías no siempre son realizables porque el objeto debe hacerse antes de

que se le pueda fotografiar. Además, tanto en la fotografía como en un dibujo,

no se puede ver los detalles internos del objeto. En la industria se necesita una

descripción completa y clara de la forma y el tamaño del objeto que se

pretenda fabricar, para poder tener la certeza de que el objeto será

manufacturado exactamente como lo propuso el diseñador. Con el fin de

proporcionar esta información clara y precisa, se usan varias vistas

sistemáticamente dispuestas.

Este sistema de vistas recibe el nombre de proyección ortogonal o proyección

de vistas múltiples.

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Si situamos un observador según las seis direcciones indicadas por las flechas,

obtendríamos las seis vistas posibles de un objeto.

Estas vistas reciben las siguientes denominaciones:Vista A: Vista frontal o alzadoVista B: Vista superior o plantaVista C: Vista derecha o lateral derechaVista D: Vista izquierda o lateral izquierdaVista E: Vista inferiorVista F: Vista posterior

Hay tres planos principales de proyección: horizontal, vertical y de perfil. Estos

planos se intersecan uno a otro en ángulo recto formando el primero, segundo,

tercero y cuarto ángulo o cuadrantes. Técnicamente se puede proyectar un

objeto en cualquiera de estos cuadrantes.

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Para la descripción de las diferentes vistas sobre el papel, se pueden utilizar

dos variantes de proyección ortogonal de la misma importancia:

El Método de proyección del primer diedro, también denominado

Europeo (antiguamente método E).

El método de proyección del tercer diedro, también denominado

Americano (antiguamente método A).

En ambos métodos, el objeto se supone dispuesto dentro de un cubo, sobre

cuyas seis caras, se realizarán las correspondientes proyecciones ortogonales

del mismo.

La diferencia esta en que, mientras en el sistema Europeo, el objeto se

encuentra entre el observador y el plano de proyección, en el sistema

Americano, es el plano de proyección el que se encuentra entre el observador y

el objeto.

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Una vez realizadas las seis proyecciones ortogonales sobre las caras del cubo,

y manteniendo fija la cara de la proyección del alzado (A), se procede a obtener

el desarrollo del cubo, que como puede apreciarse en las figuras, es diferente

según el sistema utilizado.

El desarrollo del cubo de proyección, nos proporciona sobre un único plano de

dibujo, las seis vistas principales de un objeto, en sus posiciones relativas.

Con el objeto de identificar, en que sistema se ha representado el objeto, se

debe añadir el símbolo que se puede apreciar en las figuras, y que representa

el alzado y vista lateral izquierda, de un cono truncado, en cada uno de los

síntomas.

La proyección de primer cuadrante se usa principalmente en Europa. En

EE.UU., como es el caso del sistema ASA (American Standard Asociation),

hacen más práctica la proyección de tercer cuadrante, esto debido a que

cuando las vistas de un objeto proyectado en el tercer cuadrante se abaten

sobre el plano vertical, todas las vistas aparecen en su posición natural.

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Proyección Axonométrica.

La proyección axonométrica es una proyección sobre un plano (Axonométrico)

que tiene una posición arbitraria en el espacio. Si los rayos son perpendiculares

al plano axonométrico, se trata de una proyección axonométrica ortogonal. Este

sistema de proyección es muy similar a la manera de observar nosotros los

objetos en el espacio, conservándose, sin embargo, todas las propiedades de

la proyección cilíndrica(paralelismo, perpendicularidad).Las proyecciones del

plano axonométrico en el plano horizontal XY determina la recta XY cuya

proyección es perpendicular al eje Z. en efecto: Ambas rectas (eje Z y XY)

sonortogonales, la recta XY está contenida en el plano axonométrico y la

proyección axonométrica es una proyección ortogonal.

Los elementos de un sistema de proyección es:

Tres planos perpendiculares (denominado triedro trirrectangular).

Las rectas donde se cortan los tres planos coordenados(denominados ejes).

Corte de los tres ejes (denominado vértice).

La perspectiva axonométrica cumple dos propiedades importantes que la

distinguen de la perspectiva cónica

La escala del objeto representado no depende de su distancia al observador

Dos líneas paralelas en la realidad son también paralelas en su

representación axonométrica.

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Las coordenadas y escalas de una proyección axonométrica se pueden medir

las coordenadas de los puntos sobre los ejes, tomando en cuenta la

deformación correspondiente de estos. (De allí se deriva el nombre

axonométrica que en griego significa medida sobre los ejes).

Cada eje tiene su escala predeterminada de acuerdo con el plano

axonométrico y su respectiva dirección de los rayos de proyección. Todas las

líneas paralelas al plano axonométrico se conservan en esta proyección en

verdadero tamaño. Para determinar las escalas sobre los ejes, rebatimos estos

sobre el plano axonométrico donde se deben proyectar en verdadero tamaño.

Para definir la proyección axonométrica basta fijar los ángulos bajo los ejes X,

Y, Z, cuya suma debe ser 360º y ninguno puede ser 90º. También se puede

definir mediante el triangulo axonométrico.

Trimetría: los tres ángulos son distintos, las tres escalas son distintas.

Bimetría: dos ángulos son iguales y dos escalas también son iguales (la

escala distinta esta sobre el eje opuesto al ángulo distinto).

Isometría (Monometría): los tres ángulos son iguales a 120º, las tres

escalas son también iguales.

Entre las características de la proyección axonométrica tenemos:

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Proyeción axonometría.

La proyección axonométrica es una proyección cilíndrica, ortogonal donde se

conserva:

Propiedades:

a) El paralelismo y la proporcionalidad, así como los diámetros conjugados

de una cónica.

b) El plano axonométrico se proyecta en su verdadero tamaño.

c) La recta perpendicular a una recta paralela al plano axonométrico se

proyecta bajo un ángulo recto en ella.

d) Una esfera se proyecta como una circunferencia.

 La proyección axonométrica se usa ventajosamente para representar

esquemas de instalaciones, piezas mecánicas, edificios, etc. Da una ilusión

más parecida al objeto que la proyección oblicua ya que se acerca más a la

manera de mirar (pero a veces es más laborioso efectuarla. Se acostumbra

repasar únicamente la proyección (perspectiva) aunque la proyección

horizontal es igualmente indispensable.

Método de proyección en cosntrucción axonométrica.

Indirecto: rebatiendo la proyección horizontal del objeto y después

fijando los puntos de acuerdo con las alturas respectivas.

a) Para determinar la proyección horizontal axonométrica, se determina

primero la proyección ortogonal (en el sistema de los ejes XR, YR ).

b) Se busca por homologia la proyección horizontal axonométrica, siendo: X

Y el eje de homologia; los rayos de homologia perpendiculares al eje de

homologia XY; una pareja conjugada: O - OR.

c) Se determina la proyección axonométrica de acuerdo con las alturas de

los puntos. Estas alturas corresponden a la escala del eje Z.

OM= Altura de la casa. ON= Altura de la cresta.

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Directo: construyendo el objeto de acuerdo con aquellas líneas que son

paralelas a los ejes de proyección y de acuerdo con la escala de estos.

a) Tetraedro: regular con base horizontal y una arista paralela al eje Y. la

altura del tetraedro se determino aparte.

b) Cubo con caras paralelas a los planos de proyección, o sea, aristas

paralelas a los ejes.

c) Cubo con sección principal paralela al plano de proyección XZ e YZ, o

sea, diagonales de una cara son paralelos a los ejes X e Y.

d) Octaedro regular: con diagonales paralelas a los ejes de coordenadas.

e) Octaedro regular: con sección principal paralela al plano XZ, o sea,

aristas paralelas a los ejes X e Y, y una diagonal paralela al eje Z.

Proyectivo: semejante a la proyección oblicua, solo que los ejes se

proyectan de otra forma.

Fundamentaciones del sistema axonométrico.

Todo cuerpo con volumen se estructura sobre tres ejes o direcciones

fundamentales, en ellos se distribuyen las tres dimensiones de los objetos,

sobre el eje z se colocan las alturas, sobre el eje x las anchuras y sobre el

eje y las profundidades.

El sistema axonométrico sitúa las aristas básicas de los cuerpos sobre

estos tres ejes coordenados y las proyecta sobre una superficie plana

equivalente a la hoja del papel y que se denomina plano del cuadro.

Cambio de configuración de los ejes coordenados, los ejes coordenados

axonométricos en el espacio formas un ángulo de 90º al igual que las

aristas de un cubo. Cuando son proyectados ortogonalmente sobre el plano

del cuadro se transforman y miden más de 90º, y a su vez los ejes dejan de

estar estructurados tridimensionalmente, para adoptar una nueva

configuración bidimensional sobre el plano del cuadro.

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Tipos de perspectiva axonométrica.

Hay varios tipos de perspectivas axonométricas:

Perspectiva axonométrica isométrica (los 3 ángulos iguales)

Perspectiva axonométrica dimétrico (2 ángulos iguales y otro desigual)

Perspectiva axonométrica trimétrico(los 3 ángulos iguales)

La perspectiva isométrica. Es en la que los ejes forman tres ángulos iguales de

120º cada uno.

La dimétrica. Los ejes forman dos ángulos iguales y un tercero desigual.

La trimétrica. Sus ejes forman ángulos de grados diferentes.

Tipos de líneas de los dibujos de las figuras planas.

Líneas isométricas: son todas aquellas cuyos lados son perpendiculares

entre sí y al pasarlas a isométricas sus lados serán paralelos a los ejes

isométricos.

Líneas no isométricas: los lados de estas figuras no mantienen el

paralelismo con los ejes, porque los ángulos que forman son distintos a 90º.

En estos casos se soluciona inscribiendo la figura en una trama de

coordenadas.

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Proyección Cónica.

Una proyección cónica se forma poniendo un cono en contacto con la esfera o

el esferoide. Al hacerlo, se ve que toca la esfera a lo largo de un paralelo de

latitud. Esta línea se conoce como el paralelo estándar de la proyección.

Se ve, de la figura, que es posible seleccionar formas y tamaños distintos de

conos que resultan todos en paralelos estándar diferentes. La elección

dependerá de la región de la tierra a ser mapeada, un paralelo estándar

apropiado es aquél que pasa a través del centro de la región. La forma

resultante de la proyección cónica es tal que los meridianos se presentan como

líneas rectas que convergen hacia uno de los polos. El ángulo entre dos

meridianos es una función de los paralelos estándar.

La cónica es, de hecho, un caso general de proyección del cual la cilíndrica y

las proyecciones azimutales son formas particulares. La proyección polar es

equivalente a la de un cono completamente plano que toca a la esfera en el

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polo. Un cilindro es el equivalente a un cono tocando el ecuador. 

Estas consideraciones son útiles para visualizar la naturaleza de las

proyecciones cónicas pero no deberían ser implementadas en la práctica ya

que las fórmulas para el cono son susceptibles de 'desmoronarse' bajo estas

condiciones extremas. El equivalente a un escalamiento general se usa a

menudo para las proyecciones cónicas donde se logra usando dos paralelos

estándar: el efecto es reducir el factor de escala debajo de uno entre los dos

paralelos estándar y aumentarlo arriba de uno, fuera de ellos.

Finalmente, debería notarse que para cualquier proyección cónica el factor de

escala es una función de la latitud enteramente, y que estas proyecciones son,

por consiguiente, apropiadas para mostrar regiones extensas en longitud,

particularmente, regiones de latitud media.

Proyección cónica equidistante.

Una proyección cónica equidistante preserva el factor de escala a lo largo de

un meridiano. Las paralelas son entonces arcos igualmente espaciados de

círculos concéntricos. El factor de escala a lo largo de un paralelo de latitud

está dado como una función de la latitud. Un ejemplo de esta proyección se

muestra en la figura:

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Proyección cónica de igual área de Albers.

La versión de áreas iguales de la proyección cónica es usualmente llamada de

Albers de áreas iguales. Un ejemplo de es:

Deberá notarse que el polo se muestra en esta proyección como un arco

circular, es decir, se ha sacrificado la forma para mantener el área sin

distorsión. Deberá notarse también, sin embargo, que la forma no está tan

terriblemente distorsionada como en la proyección cilíndrica de áreas iguales

en la imagen del mundo de Behrmann:

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Esto se debe, sobre todo, a la región proyectada: el área europea mostrada es

un área de latitud media extendida en la región este-oeste, para la cual sería

más adecuada una proyección cónica que una cilíndrica.

Proyección cónica conforme de Lambert.

La versión conforme de la proyección cónica es llamada de Lambert quien

primeramente la desarrolló en 1772. Su nombre completo es proyección cónica

conforme de Lambert (LCC) pero la mayoría de las referencias a la proyección

de Lambert, deberían entenderse como ésta: el área y la forma se distorsionan

al alejarse de los paralelos estándar. La direcciones son ciertas en áreas

limitadas. Usada para mapas de Norte América. Se puede decir, que la

proyección de LCC y la transversal de Mercator dan cuenta del 90% de las

proyecciones de mapas básicos en el mundo.

Su distorsión en la forma es mínima como puede apreciarse de sus indicadores

de Tissot:

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Debido a que es una proyección conforme, los meridianos coinciden en un

punto que representa el polo. Una LCC con un paralelo estándar en el ecuador

sería lo mismo que la proyección de Mercator, como ya se dijo, con los

meridianos paralelos y nunca tocando el polo infinito; una con un paralelo

estándar a 90° sería equivalente a la proyección polar estereográfica.

Una proyección LCC se puede formar también con dos paralelos estándar al

igual que en todas las proyecciones cónicas. En este caso es el equivalente de

un paralelo estándar a la mitad del camino, con un escalamiento. El arreglo

usual para minimizar la distorsión es tener dos paralelos estándar que están

cada uno a 1/6 del rango de latitud como extremos de la proyección.

Ejemplos de proyecciones comparadas para el continente americano:

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y para Norte América:

En todas las proyecciones anteriores es necesario tener en cuenta la forma real

de la tierra cuando se trate de hacer cálculos precisos. El sistema de

coordenadas fundamental es el geodético, relacionado a un esferoide. Es decir,

si se quiere preservar la exactitud, es necesario desarrollar fórmulas para tratar

un esferoide y no una esfera. Se debería tener en cuenta que el achatamiento

de la mayoría de los esferoides es del orden de 1/300. Hay diferencias

significativas en las coordenadas que se harán evidentes en mapas a escalas

muy grandes. No obstante, la esfera es útil para dar una idea de cómo se ha

distorsionado el mapa resultante. En la práctica se deberían usar fórmulas

esferoidales.

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Entre las disciplinas que constituyen el fundamento de la instrucción de

ingenieros se encuentra la Geometría Descriptiva.

La Geometría Descriptiva tiene por objeto la exposición y la argumentación de

los métodos deconstrucción de las imágenes de las formas espaciales sobre un

plano y los métodos deresolución de problemas de carácter geométrico por

las imágenes dadas de estas formas.

Las imágenes construidas por las reglas estudiadas en la Geometría

Descriptiva permiten darse una idea de la forma de los objetos y de su

disposición mutua en el espacio, determinar susdimensiones, estudiar las

propiedades geométricas propias del objeto representado.

La Geometría Descriptiva, provocando un trabajo intensivo de la imaginación

espacial, la desarrolla.

Por fin, la Geometría Descriptiva, transmite una serie de sus deducciones a la

práctica de ejecución de dibujos técnicos, asegurando su carácter expresivo y

su precisión y, por consiguiente, la posibilidad de realización de los objetos

representados.

Las reglas de construcción de las imágenes, expuestas en la Geometría

Descriptiva, se basan en el método de proyecciones.

El estudio del método de proyecciones se inicia con la construcción de las

proyecciones del punto, puesto que al construir la imágen de cualquier forma

espacial se examina una serie de puntos pertenecientes a esta forma.

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Vicente Giménez Peris - Diédrico directo Tomo I (Teoría y 190 ejercicios de

aplicación).

Ángel Taibo - Geometría descriptiva y sus aplicaciones. Tomo I - Tebar Flores.

Josep Bertran Guasp - Geometría descriptiva. Tomo I. Sistema diédrico

directo. Fundamentos y ejercicios.

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