DEFINICION DE TRIGONOMETRIA

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INDICE

1. Definicin de trigonometra....2 2. Estudio de las principales funciones3 2.1. 2.2. 2.3. Sen x....3 Cos x....5 Tg x...7

3. Estudio de las funciones inversas para el producto....9 3.1. 3.2. 3.3. y = cotg x10 y = sec x..11 y = cosec x..12

4. Funciones reciprocas...13 4.1. 4.2. 4.3. y = arc sen x...14 y = arc cos x14 y = arc tg x..15

5. Grafica de la funcin sen x arc sen x...16 6. Mas informacin17 7. Bibliografa...20

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1.

DEFINICION DE TRIGONOMETRIA

Trigonometra, rama de las matemticas que estudia las relaciones entre los lados y los ngulos de los tringulos. Etimolgicamente significa medida de tringulos. Las primeras aplicaciones de la trigonometra se hicieron en los campos de la navegacin, la geodesia y la astronoma, en los que el principal problema era determinar una distancia inaccesible, es decir, una distancia que no poda ser medida de forma directa, como la distancia entre la Tierra y la Luna. Se encuentran notables aplicaciones de las funciones trigonomtricas en la fsica y en casi todas las ramas de la ingeniera, sobre todo en el estudio de fenmenos peridicos, como el flujo de corriente alterna.

Funciones trigonomtricas Las funciones trigonomtricas son valores sin unidades que dependen de la magnitud de un ngulo. Se dice que un ngulo situado en un plano de coordenadas rectangulares est en su posicin normal si su vrtice coincide con el origen y su lado inicial coincide con la parte positiva del eje x.

En la figura 3, el punto P est situado en una lnea recta que pasa por el origen y que forma un ngulo q con la parte positiva del eje x. Las coordenadas x e y pueden ser positivas o negativas segn el cuadrante (I, II, III, IV) en que se encuentre el punto P; x ser cero si el punto P est en el eje y o y ser cero si P est en el eje x. La distancia r entre el punto y el origen es siempre positiva e igual a x2+ y2, aplicando el teorema de Pitgoras.

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2. ESTUDIO DE LAS PRINCIPALES FUNCIONES 2.1. Sen xEn un tringulo rectngulo, el seno de un ngulo agudo que se designa por sen es igual a la longitud del cateto opuesto al ngulo dividida por la longitud de la hipotenusa.

Para explicar y definir todas las funciones, nos vamos a guiar por el siguiente triangulo:

Figura 2.1 sen : En un ngulo de un tringulo rectngulo, ABC (figura 2.1), se llama seno de , y se escribe sen , al cociente entre el cateto opuesto y la hipotenusa:

O lo que es lo mismo: Seno (sen) = Cateto opuesto/ Hipotenusa Las razones trigonomtricas toman valores positivos o negativos segn el cuadrante en el que se encuentre el ngulo . De esta manera el sen :

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El teorema del seno se aplica a los lados y ngulos de un tringulo cualquiera y relaciona cada dos lados con sus ngulos opuestos:

La funcin y = sen x describe la variacin del seno de ngulos medidos en radianes. Es continua y peridica de periodo 2 . Se denomina funcin sinusoidal.

Dominio Recorrido crece decrece cotas sup. cotas inferiores Simetra Peridica Continua Asintotas H Asintotas V Asintotas O

R [1,-1] (-p/2, p/2) (p/2, 3p/2) 1, 2, 3 -1,-2,-3 impar de periodo 2p en el Dom no tiene no tiene no tiene

Ext. Sup. 1 Ext. inferior -1

Mx. min.

1 -1

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2.2. Cos En un tringulo rectngulo, el coseno de un ngulo agudo , que se designa por cos , es igual a la longitud del cateto adyacente al ngulo dividida por la longitud de la hipotenusa.

O tambin: Coseno (cos) = Cateto contiguo/ Hipotenusa El coseno de un ngulo cualquiera se asigna mediante la circunferencia goniomtrica. Es la abscisa del punto en que el segundo lado del ngulo la corta:

Las razones trigonomtricas toman valores positivos o negativos segn el cuadrante en el que se encuentre el ngulo . De esta manera el cos :

El teorema del coseno se aplica a los lados y ngulos de tringulos cualesquiera y relaciona los tres lados con uno de los ngulos: a2 = b2 + c2 2bccos A b2 = a2 + c2 2accos B c2 = a2 + b2 2abcos C

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La funcin y = cos x describe la variacin del coseno de ngulos medidos en radianes.

Dominio Recorrido

R [1,-1] (- , 0) crece decrece (0, ) Cotas sup. 1, 2,3 Ext. Sup. 1 Cotas Ext. inferiores -1,-2,-3 inferior -1 Simetra impar de periodo Peridica 2 Continua en el dom Asintotas H no tiene Asintotas V no tiene Asintotas O no tiene

Mx. min.

1 -1

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4. tg En un tringulo rectngulo, la tangente de un ngulo agudo , que se designa por tg , es igual a la longitud del cateto opuesto al ngulo dividida por la longitud del cateto adyacente.

O lo que es lo mismo: Tangente (tg) X = Cateto opuesto/ Cateto contiguo

La tangente de un ngulo cualquiera se asigna mediante la circunferencia goniomtrica, y se sita sobre la recta tangente a dicha circunferencia en el punto en que sta corta a la parte positiva del eje X:

La tangente no existe para los ngulos de 90 y 270.

Las razones trigonomtricas toman valores positivos o negativos segn el cuadrante en el que se encuentre el ngulo . De esta manera el tg :

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La funcin y = tg x describe la variacin de la tangente de ngulos medidos en radianes. Es continua, salvo en los puntos de abscisa (/2) + k, k entero, en donde no est definida. Es peridica de periodo :

Dominio Recorrido crece decrece Cotas sup. cotas inferiores Simetra Peridica Continua Asintotas H Asintotas V Asintotas O

X e R| g(x) = /2+k , Ke ZR en todo el dom no decrece no tiene no tiene impar de periodo en el dom k no tiene no tiene

Ext. Sup. Ext. inferior

no tiene no tiene

Mx. min.

1 -1

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3. ESTUDIO DE LAS FUNCIONES INVERSAS PARA EL PRODUCTO: cotg; sec; csc.A partir de las razones trigonomtricas sen, cos y tg se definen la cosecante (cosec), la secante (sec) y la cotangente (cot) del siguiente modo:

Estas razones trigonomtricas no estn definidas cuando el denominador es cero. Por ejemplo, sec cos 270 = 0. no est definida para = 90 ni para = 270, pues cos 90 = 0 y

La cotangente es cero donde la tangente no est definida, es decir, cot 90 = 0 y cot 270 = 0.

Estas tres razones trigonomtricas se sitan en la circunferencia goniomtrica como se indica en la figura:

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Estas funciones trigonomtricas, y = cosec x, y = sec x, y = cot x, por la relacin que tienen con las tres anteriores, se representan con ellas en las figuras siguientes:

3.1 y = cotg x

Dominio Recorrido crece decrece cotas sup. cotas inferiores Simetra Peridica Continua Asintotas H Asintotas V Asintotas O

R- {k ; k e Z} = R - { - /2, /2}R No crece siempre decreciente no tiene no tiene impar de periodo en el dom no tiene X= - /2, /2 no tiene

Ext. Sup. Ext. inferior

no tiene no tiene

Mx. min.

no tiene no tiene

3.2. y = sec x10

Dominio Recorrido crece decrece cotas sup cotas inferiores Simetra Peridica Continua Asintotas H Asintotas V Asintotas O

R- {(2k+1) /2 ; k e Z}(- , -1]U[1,+ ) (0, /2); ( /2, ); ...(- /2, 0); ( , 3 /2) Ext. sup no tiene no tiene impar de periodo 2 en el dom no tiene x = (2k+1)p/2; k e Z no tiene

no tiene no tiene

mx. min.

no tiene no tiene

Ext. inferior

3.3. y = cosec x

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Dominio Recorrido crece decrece cotas sup cotas inferiores Simetra Peridica Continua Asintotas H Asintotas V Asintotas O

R- {k ; k e Z}(- , -1]U[1,+ ) ( /2, ); ( ,3 /2); ... ...(0 , /2); (3 /2, 2 ) Ext. sup no tiene no tiene impar de periodo 2 en el dom no tiene x = (2k+1)p/2; k e Z no tiene

no tiene no tiene

mx. min.

no tiene no tiene

Ext. inferior

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4. FUNCIONES RECIPROCAS: Arco seno, arco coseno, arco tg.

La expresin y es el seno de o y = sen , es equivalente a la expresin es el ngulo cuyo seno es igual a y, lo que se expresa como = arcsen y, o tambin como = sen-1y. La funcin arcsen (que se lee arco seno) es la funcin inversa o recproca de la funcin sen. Las otras funciones inversas, arccos y, arctg y, arccot y, arcsec y, y arccosec y, se definen del mismo modo. En la expresin y = sen o = arcsen y, un valor dado de y genera un nmero infinito de valores de , puesto que sen /6 = sen 5/6 = sen ((/6) + 2) == y, teniendo en cuenta que los ngulos /6 y 5/6 son suplementarios. Por tanto, si = arcsen y, entonces = (/6) + n 2 y = (5/6) + n 2, para cualquier entero n positivo, negativo o nulo. El valor /6 se toma como valor principal o fundamental del arcsen y. Para todas las funciones inversas, se suele dar su valor principal. Existen distintas costumbres, pero la ms comn es que los valores principales de las funciones inversas estn en los intervalos que se dan a continuacin:

-/2 arcsen y /2 0 arccos y -/2 < arctg y < /2 0 < arccosec y < -/2 < arcsec y < /2 0 < arccot y <

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4.1. y = arc sen x

4.2. y = arc cos x

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4.3. y = arc tg x

5. GRAFICA DE LA FUNCION sen x Y arc sen xPara formar la tabla de valores de la funcin arc sen x, escribiremos la tabla de valores al revs de la del sen x.x -1 . . . 0 1/2 2/2 3/2 1 y ... /2,3 /2

6. MS INFORMACION:

...0, , 2 ,... ... /6, 5 /6, ... /4, 3 /4 ... /3, 4 /3, ... /2, 5 /2,...

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Grado, en trigonometra, arco igual a 1/360 de la circunferencia de un crculo, o ngulo central que corresponde a dicho arco. El grado es la unidad corriente de medida de ngulos y arcos de un crculo. Se divide en 60 minutos, cada uno de los cuales equivale a 1/21.600 de la circunferencia de un crculo; cada minuto se divide en 60 segundos, cada uno de los cuales equivale a 1/1.296.000. Los grados se indican normalmente con el smbolo , los minutos con y los segundos con , como en 411809, que se lee "41 grados 18 minutos