24
Transformada de Laplace Definición: La Transformada de Laplace Dada una función ) (t f definida para toda 0 t , la transformada de Laplace de f es la función F definida como sigue: { } () () () st F s f t e f t dt = = L (1) { } 0 para todos los valores de s para los que la integral impropia converja. Ej l 1 Ejemplo 1 Si 1 ) ( = t f para 0 t , la definición de la transformada de Laplace (1) implica 1 { } 1 1 s = L para 0 s . Ejemplo 2 Si at e t f = ) ( para 0 t , obtenemos { } 1 at e s a = L para a s > . Universidad Diego Portales Instituto de Ciencias Básicas

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Transformada de Laplace

Definición: La Transformada de Laplace Dada una función )(tf definida para toda 0≥t , la transformada de Laplace de f es la función F definida como sigue:

( ) ( ) ( )stF s f t e f t dt∞ −= = ∫L (1) 0

( ) ( ) ( )f f∫ ( )

para todos los valores de s para los que la integral impropia converja.

Ej l 1 Ejemplo 1 Si 1)( =tf para 0≥t , la definición de la transformada de Laplace (1) implica

1 11

s=L para 0≥s .

Ejemplo 2 Si atetf =)( para 0≥t , obtenemos

1ates a

=−

L para as > .

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Ejemplo 3 Si ttf =)( para 0≥t , obtenemos

2

1t =L para as > . 2s Ejemplo 4 Si attf sin)( = para 0≥t , obtenemos

2 2sin aats a

=+

L para 0>s . s a+

Ejemplo 5 Si attf cos)( = para 0≥t , obtenemos f )( p ,

2 2cos sats a

=+

L para 0>s .

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Teorema1. Linealidad de la transformada de Laplace Si a y b son constantes, entonces ( ) ( ) ( ) ( )af t bg t a f t b g t+ = +L L L ( ) ( ) ( ) ( )af t bg t a f t b g tL L L

Ejemplo 6

El cálculo de / 2ntL se basa en el conocido valor de π=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Γ

21

de la ⎠⎝ 2

fórmula gamma. Por ejemplo, tenemos que

3113335 ⎞⎛⎞⎛⎞⎛ π43

21

21

23

23

23

25

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Γ⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛Γ=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛Γ ,

mediante la fórmula )()1( xxx Γ+Γ mediante la fórmula )()1( xxx Γ=+Γ . Aplicando la linealidad y los ejemplos precedentes, obtenemos

5

2 3/ 2 23 5/ 2 3 5

4 ( )2! 63 4 3 3t ts s s s

πΓ+ = ⋅ + = +L .

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Ejemplo 7

Considerando que ( )1h kt ktkt −+ y que ( )1i h kt ktkt − 0k > Considerando que ( )cosh2

kt ktkt e e= + y que ( )sinh2

kt ktkt e e= − , 0k > ,

determine cos ktL y sin ktL .

Ejemplo 8 Determine la transformada de Laplace de la función 2 2( ) 5 4sin 3tf t e t= + , 0t ≥ .

Funciones continuas por partes La función ( )f t es continua por partes en el intervalo acotado a t b≤ ≤ si

[ ],a b se puede subdividir en una cantidad finita de subintervalos adyacentes

de modo que: 1. f sea continua en el interior de cada uno de estos subintervalos; y 2. ( )f t tenga un límite finito cuando t tienda a cada extremo de cada subintervalo desde el interior de éste.

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Decimos que f es continua por partes para 0t ≥ si es continua por partes

en cada subintervalo acotado de [ )0 +∞ Así una función continua poren cada subintervalo acotado de [ )0,+∞ . Así, una función continua por

partes sólo tiene discontinuidades simples (si las hay) y sólo en esos puntosaislados. En tales puntos, el valor de la función sufre un salto finito, comode indica en la figura El salto en ( )f t en el punto c se define comode indica en la figura. El salto en ( )f t en el punto c se define como

( ) ( )f c f c+ −− , donde ( ) li ( )f f+ ( ) li ( )f f

0( ) lim ( )f c f c

εε

+

+

→= + y

0( ) lim ( )f c f c

εε

+

→= − .

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Ejemplo 9

Determinar ( )u tL , donde 1 , 0

( )0 , 0

tu t

t≥⎧

= ⎨ <⎩ , es la función escalón unitario.

Ejemplo 10 Determinar ( )au tL si 0a > . ( )a

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Ejemplo 11 Determinar ( )f tL si f está definida, mediante el gráfico siguiente.

Propiedades generales de las transformadas Def: La función f es de orden exponencial cuando t →+∞ si existenconstantes no negativas M , c y T tales que ( ) ctf t Me≤ para t T≥

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Teorema2. Existencia de transformadas de Laplace Si la función f es continua por partes para 0t ≥ y es de orden exponencial

cuando t →+∞ , entonces su transformada de Laplace ( ) ( )F s f t= L existe.

Más precisamente, si f es continua por partes y de orden exponencialcuando t →+∞ , entonces ( )F s existe para toda s c> . Corolario: ( )F s para s grande Si f satisface las hipótesis del teorema 2, entonces

lim ( ) 0s

F s→∞

= .

Teorema3. Unicidad de las transformadas de Laplace Suponga que las funciones ( )f t y ( )g t satisfacen las hipótesis del teorema2, de modo que sus transformadas de Laplace ( )F s y ( )G s existan. Si

( ) ( )F s G s= para toda s c> (para alguna c ), entonces ( ) ( )f t g t= en todos

los puntos de [ )0,+∞ donde f y g sean continuas.

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Ejercicios Aplique la definición (1) para determinar directamente las transformadas deLaplace de las funciones siguientes:

1 1 2≤⎧1.

1 , 1 2( )

0 , etoc.t

f t< ≤⎧

= ⎨⎩

, 2.

Determine la transformada de Laplace de la función: 1 ( ) sin 3 cos3f t t t= 2 3( ) (1 )f t t= + 3 3/ 2 10( ) tf t t e−= − 1. ( ) sin 3 cos3f t t t= , 2. ( ) (1 )f t t= + , 3. ( )f t t e= . Halle la función ( )f t , si ( ) ( )f t F s=L está dada por:

3

1. 5/ 2

1 2( )F ss s

= − , 2. 2

3 1( )4

sF ss

+=

+ , 3.

32( )seF s

s

= .

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Sea ( ) 1f t = si a t b≤ ≤ , ( ) 0f t = si t a< o t b> (donde 0 a b< < ). Exprese af en términos defunciones escalón unitario para mostrar quef p q

( )as bse ef t

s

− −−=L .

(a) La gráfica de la función f se muestra en la figura siguiente.

Muestre que f se puede escribir de la forma

0( ) ( 1) ( )n

nf t u t n

=

= − −∑ .

(b) Muestre que 1( )f t =L (b) Muestre que ( )(1 )sf t

s e−=+

L .

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Determine, usando la calculadora classPad 300, la transformada de lafunción sint t , luego, verifique su resultado aplicando la transformadainversa Resuelva el problema usando Maple inversa. Resuelva el problema, usando Maple. Solución: Usando ClassPad300: Usando ClassPad300:

Usando Maple (ingrese los comandos siguientes), verifique el resultadop ( g g ), qanterior. > with(inttrans): > f:=t*sin(t); > plot(f,t=0..5); plot(f,t 0..5);> F:=laplace(f,t,s); > F:=simplify(expand(F)); > g:=invlaplace(F,s,t); > l t( t 0 5)

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> plot(g,t=0..5);

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Transformación de Problemas con Valores Iniciales Teorema1. Transformadas de derivadas Suponga que la función ( )f t es continua y suave por partes para 0t ≥ y quees de orden exponencial cuando t →∞ , de modo que existen constantes nonegativas M , c y T tales que

t ( ) ctf t Me≤ para t T≥ .

Entonces ( ) ( ) (0)f t s f t f′ = −L L .

Corolario 1. Derivadas de orden superior Suponga que las funciones f , f ′ , f ′′ ,..., ( 1)nf − son continuas y suaves porSuponga que las funciones f , f , f ,..., f son continuas y suaves porpartes para 0t ≥ , y que cada una de estas funciones satisface lascondiciones del teorema anterior, con los mismos valores de M y c .

Entonces ( ) ( )nf tL existe cuando s c> y Entonces ( )f tL existe cuando s c> , y

( ) 1 2 ( 1)( ) ( ) (0) (0) ... (0)n n n n nf t s f t s f s f f− − −′= − − − −L L .

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Ejemplo 1 Resuelva el problema con valores iniciales 6 0x x x′′ ′− − = ; (0) 2x = , (0) 1x′ = − . ( ) ( )Ejemplo 2 Resuelva el problema con valores iniciales 4 sin 3x x t′′ + = ; (0) (0) 0x x′= = . Ej l 3 Ejemplo 3 Resuelva el sistema

2 6 2x x y′′ = +⎧

2 6 22 2 40sin 3x x y

y x y t= − +⎧

⎨ ′′ = − +⎩ ,

sujeto a las condiciones iniciales (0) (0) (0) (0) 0x x y y′ ′= = = = .

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Teorema 2. Transformada de Laplace de ( )tf t

( ) ( )fL ( )dF sSi ( ) ( )f t F s=L entonces ( )( ) dF stf t

ds= −L .

Ejemplo 4 je p o

Muestre que 2

1( )

attes a

=−

L .

Ejemplo 5 Ejemplo 5

Muestre que 2 2 2

2sin( )

kst kts k

=+

L .

Teorema 3 Transformadas de integrales Teorema 3. Transformadas de integrales Si ( )f t es una función continua por partes para 0t ≥ y satisface la condición

de orden exponencial ( ) ctf t Me≤ para t T≥ entonces de orden exponencial ( )f t Me≤ para t T≥ , entonces

0

1 ( )( )t F sf z dz

s s⎧ ⎫

= =⎨ ⎬⎩ ⎭∫L L f(t) ⎩ ⎭

para s c> . En forma equivalente,

1 ( ) ( )tF s f z dz

s− ⎧ ⎫ =⎨ ⎬⎩ ⎭ ∫L .

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0s⎩ ⎭

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Ejemplo 6

D t i l t f d i d L l d 1( )G Determine la transformada inversa de Laplace de 2( )

( )G s

s s a=

−.

Ejercicios Utilice la transformada de Laplace para resolver los problemas con valoresiniciales siguientes: 1. sin 2x x t′′ + = ; (0) (0) 0x x′= = . ; ( ) ( ) 2. 3 2x x x t′′ ′+ + = ; (0) 0x = , (0) 2x′ = .

2′⎧3.

2t

x x yy x e−

′ = +⎧⎨ ′ = +⎩

, (0) (0) 0x y= = .

2 0′′ ′ ′+ + +⎧

4. 2 04 2 0

x x y x yy x y x y′′ ′ ′+ + + − =⎧

⎨ ′′ ′ ′+ + + − =⎩; (0) (0) 1x y= = , (0) (0) 0x y′ ′= = .

n5. (a) Aplique el teorema 1 para mostrar que 1n at n atnt e t e

s a−=

−L L .

(b) Deduzca que 1

!( )

n atn

nt es a +=−

L para n IN∈ .

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( )s a

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6. Muestre que 12 2 2 3

1 sin cos( ) 2

kt kts k k

− ⎧ ⎫ −=⎨ ⎬+⎩ ⎭

L . ( ) 2s k k+⎩ ⎭

7. Si ( ) 1f t = en el intervalo [ ],a b y ( ) 0f t = en caso contrario, entonces

( )as bse ef t

s

− −−=L .

8. Si ( )f t es la función onda cuadrada cuya gráfica se muestra en la figura,

entonces 1( ) tanh2sf t

s=L .

2s(Use la serie geométrica.)

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Traslación y Fracciones Parciales Teorema 1. Traslación en el eje s Si ( ) ( )F s f t= L existe para s c> , entonces ( )ate f tL existe para s a c> + , y ( ) ( )ate f t F s a= −L .

Ejemplo 1 Ejemplo 1 Resuelva el problema con valores iniciales 6 34 0x x x′′ ′+ + = ; (0) 3x = ,

(0) 1x′ = (0) 1x = . Ejemplo 2

2 1s +Determine la transformada inversa de Laplace de 3 2

1( )2 8

sR ss s s

+=

− −.

Ejemplo 3 Resuelva el problema con valores iniciales 24 4y y y t′′ ′+ + = ; (0) (0) 0y y′= = .

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Derivadas, Integrales y Productos de Transformadas D fi i ió 1 L l ió d d f i Definición 1: La convolución de dos funciones La convolución f g∗ de las funciones continuas por partes f y g se definepara 0t ≥ como sigue: para 0t ≥ como sigue:

0

( )( ) ( ) ( )t

f g t f g t dτ τ τ∗ = −∫ .

Ejemplo 1 Ejemplo 1 Determine la convolución de ( ) sinf t t= y ( ) cosg t t= . Teorema 1: La propiedad de convolución Suponga que ( )f t y ( )g t son continuas para 0t ≥ y que ( )f t y ( )g t están

acotadas por ctMe cuando t →+∞ . Entonces, la transformada de Laplace dela convolución ( ) ( )f t g t∗ existe para s c> ; además, ( ) ( ) ( ) ( )f t g t f t g t∗ = ⋅L L L

y 1 ( ) ( ) ( ) ( )F s G s f t g t− ⋅ = ∗L

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( ) ( ) ( ) ( )F s G s f t g tL .

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Ejemplo 2 Determine, usando convolución, la función ( )h t tal que

12

2 ( )( 1)( 4)

h ts s

− ⎧ ⎫=⎨ ⎬− +⎩ ⎭

L .

D i ió d t f d Derivación de transformadas Teorema 2: Derivación de transformadas Si ( )f t es continua por partes para 0t ≥ y ( ) ctf t Me≤ cuando t →+∞ ,

entonces ( ) ( )tf t F s′− =L para s c> . En forma equivalente,

1 11( ) ( ) ( )f t F s F s− − ′= =L L ( ) ( ) ( )f t F s F st

= = −L L .

Al aplicar varias veces el teorema obtenemos ( )( ) ( 1) ( )n n nt f t F s=L ( ) ( 1) ( )t f t F s= −L

para n IN∈ . Ejemplo 3 Determine 2 sint ktL .

Ejemplo 4 Determine 1 1tan ( )s

−L .

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s

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Integración de transformadas Teorema 3: Integración de transformadas Si ( )f t es continua por partes para 0t ≥ , que ( )f t satisface la condición

( )f t0

( )limt

f tt+→

exista y sea finito, y que ( ) ctf t Me≤ cuando t →+∞ . Entonces

( )f t ∞⎧ ⎫ ( ) ( )

s

f t F dt

σ σ⎧ ⎫ =⎨ ⎬⎩ ⎭ ∫L

Para s c> . En forma equivalente,

( ) ( ) ( )s

f t F s t F dσ σ∞⎧ ⎫

= = ⎨ ⎬⎩ ⎭∫-1 -1L L .

Ejemplo 5

Determinesinh t

t⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭L .

Ejemplo 6

Determine 2 2

2( 1)

ss

⎧ ⎫⎨ ⎬−⎩ ⎭

-1L .

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⎩ ⎭

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Funciones de entrada continuas y continuas por partes Teorema 1: Traslación sobre el eje t Teorema 1: Traslación sobre el eje t Si ( )f tL existe para s c> , entonces

( ) ( ) ( )asu t a f t a e F s−− − =L

y ( ) ( ) ( )ase F s u t a f t a− = − −-1L

para s c a> + . Ejemplo 1 Si 21

2( )f t t= , el teorema1 implica que

21

2 2 ( ) si 01( ) ( )as t a te u t a t a

− ⎧⎧ ⎫ − ≥= =⎨ ⎬ ⎨

-1L 3 ( ) ( )2 0 si 0

u t a t as t

= − − =⎨ ⎬ ⎨<⎩ ⎭ ⎩

L

Ejemplo 2 Determine ( )g tL si

2 si 3

( )0 si 3t t

g tt

⎧ <= ⎨

≥⎩

Ej l 3 Ejemplo 3 Determine ( )f tL si

cos 2 si 0 2

( )0 i 2t t

f tt

π≤ <⎧= ⎨ ≥⎩

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0 si 2t π⎨ ≥⎩

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Impulsos y funciones delta

d l f óConsidere la función

,

1 si ( )

0 t ia

a t ad tε

εε

⎧ ≤ < +⎪= ⎨⎪⎩

0 en caso contrario⎪⎩

cuyo gráfico se muestra en la figura A partir de esta función definimos la función delta de Dirac

,0

si ( ) lim ( )

0 si a a

t at d t

t aεεδ

+∞ =⎧= = ⎨ ≠⎩

y la transformada de Laplace y la transformada de Laplace ( ) as

a t eδ −=L ( 0a ≥ ).

Si escribimos 0( ) ( )t tδ δ= y ( ) ( )at a tδ δ− =

entonces ( ) 1tδ =L y ( ) ast a eδ −− =L .

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Ejemplo 1 Resuelva el problema con valores iniciales Resuelva el problema con valores iniciales 2 2 2 ( )x x x tδ π′′ ′+ + = − ; (0) (0) 0x x′= = . Ejemplo 2 Ejemplo 2 Este problema trata de una masa m unida a un resorte (con constante k ), que recibe un impulso 0 0p mv= en el instante 0t = . Muestre que los

problemas con valores iniciales problemas con valores iniciales 0mx kx′′ + = ; (0) 0x = , 0(0)x v′ =

y y 0 ( )mx kx p tδ′′ + = ; (0) 0x = , (0) 0x′ =

tienen la misma solución. Así, el efecto de 0 ( )p tδ consiste en proporcionar a

la partícula un momento inicial 0p .

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Aplicaciones a solución de problemas de Física

Ejemplo 1 Ejemplo 1 Considere el circuito RLC de la figura, con 100 R = Ω , 1 L H= , 0.001 C F= yuna batería que proporciona 0 90 E V= . Inicialmente, no hay corriente en el

circuito y no hay carga en el condensador En el instante 0t = el interruptorcircuito y no hay carga en el condensador. En el instante 0t = , el interruptorse cierra y se mantiene así durante 1 segundo. En el instante 1t = se abrey se mantiene así de ahí en adelante. Determine la corriente resultante enel circuito. Ejemplo 2 Una masa 1m = está unida a un resorte con constante 4k = ; no hay

Una masa 1m está unida a un resorte con constante 4k ; no hayamortiguador. La masa se libera desde el reposo, con (0) 3x = . En elinstante 2t π= golpeamos la masa con un martillo, proporcionando unimpulso 8p = . Determine el movimiento de la masa.

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p p