Definição (6.1): Definimos equação diferencial€¦ · As soluções de uma EDO podem ser obtidas em duas formas: 1. Forma explícita, ou seja, na forma ; 2. Forma Implícita,

Capítulo 6 AM IIID – 11/12- 1º Sem.

Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 1 ~

Definição (6.1): Definimos equação diferencial como uma qualquer relação entre uma função

e as suas derivadas.

Definição (6.2): Seja e uma função real incógnita definida num intervalo

aberto . À relação ( ) chamamos equação diferencial ordinária, que

abreviamos por EDO. Definimos ordem da equação como a ordem da derivada de ordem

superior que aparece na relação.



Classificação de EDO’s:

1. Dizemos que uma EDO de ordem é linear se é da forma

onde são funções reais de variável real e é não

identicamente nula. Se é identicamente nula, dizemos que a EDO é linear

homogénea.

2. Todos os restantes tipos de EDO’s designamos por não-linear.

Definição (6.3): Dizemos que uma EDO linear é de coeficientes constantes se é da forma

onde são constantes reais.



Definição (6.4): Seja ( ) uma EDO. Fixemos uma função real definida

num intervalo aberto . Dizemos que é uma solução particular da EDO com intervalo de

definição se ( ) . Dizemos que satisfaz as condições iniciais

se .



EDO’s de Primeira Ordem

Definição (6.5): Consideremos a EDO . Suponhamos que queremos determinar

uma solução desta EDO que satisfaz a condição inicial . A um problema deste

género chamamos um problema de valor inicial. À curva induzida pela solução de um

problema deste tipo denominamos curva integral de .

Nota: Os conceitos de problema de valor inicial e de curva integral generalizam-se trivialmente

para EDO’s de ordem maior ou igual a dois.



As curvas integrais da EDO são da forma

.



Seja uma solução particular de que passa pelo ponto . Então a recta

tangente a é dada por

Os vectores tangentes ao gráfico de no têm a direcção de ( ).

Definição de campo de direcções: A uma EDO da forma , associamos o campo de

vectores tangentes às curvas integrais dado por

( )

que denominamos por campo de direcções.



Campo de direcções de








Solução geral da equação:






Solução geral da equação:




(equação do movimento de queda dos corpos)




(equação do crescimento da população)






Definição (6.6): Seja uma função real a uma variável real. Definimos equação autónoma de

1ª ordem a uma equação do tipo

A uma função constante que seja solução particular desta equação chamamos solução de

equilíbrio. Os pontos que anulam a função denominamos por pontos de equilíbrio ou

pontos críticos.

Nota: Uma função constante é uma solução de equilíbrio de se e só se

.



Classificação de soluções de equilíbrio: Seja uma solução de equilíbrio de .

1. assimptoticamente estável: Existe tal que, para toda a solução de um problema

de valor inicial da forma

] [

com intervalo de definição [ [, temos que

2. instável: Para todo o , existe uma solução de um problema de valor inicial da

forma

] [

com intervalo de definição [ [, tal que

3. semi-estável: Se verifica a definição de assimptoticamente estável á esquerda

( ] [ ) e a definição de instável à direita ( ] [ ou vice-versa.



Teorema de Peano: Consideremos o problema de valor inicial

{

Suponhamos que é contínua num rectângulo [ ] [ ] centrado em . Então

existe um real tal que [ ] [ ] e o problema de valores iniciais admite

uma solução no intervalo [ ].

Consideremos o problema de valor inicial

{

Toda a função da forma

{

é solução deste problema!



Teorema de Picard: Consideremos o problema de valor inicial

{

Suponhamos que e

são contínuas num rectângulo [ ] [ ] centrado em

. Então existe um real tal que [ ] [ ] e o problema de valores

iniciais tem uma e uma só solução no intervalo [ ].

Nota: No exemplo anterior,

não admite derivada em ordem a em zero.



Teorema de Existência e Unicidade para Equações Lineares de 1ª Ordem: Consideremos uma

EDO linear de 1ª ordem na forma

1. Suponhamos que e são contínuas no intervalo aberto . Dados e ,

existe uma e uma só solução do problema valor inicial

definida no intervalo .

2. Seja uma primitiva de . Então a equação acima é equivalente à equação

( )



Nota:

1. Os gráficos de duas soluções particulares distintas, com intervalo de definição , de uma

EDO de 1ª ordem da forma nunca se intersectam;

2. Como a função nula é solução de , uma solução desta equação, com

intervalo de definição , ou é nula em ou não admite zeros em .



As soluções de uma EDO podem ser obtidas em duas formas:

1. Forma explícita, ou seja, na forma ;

2. Forma Implícita, ou seja, na forma de equação a duas variáveis reais . Em

casos muito particulares podemos obter várias soluções na forma explícita a partir da

solução na forma implícita. O teorema da função implícita permite-nos obter informação

sobre as derivadas de .

Lembrete: Teorema da função implícita.

Seja uma função real a duas variáveis reais de classe aberto . Seja tal que

e

. Então existe uma bola aberta de centro em contida

em na qual define como função de de classe e



Consideremos a EDO . Através de manipulação algébrica podemos escrever esta

equação na forma

Para esta última equação também usamos a notação



Definição (6.7): A uma EDO de 1ª ordem da forma

Denominamos por equação de variáveis separáveis.

Teorema (6.8): Consideremos a equação de variáveis separáveis

onde são funções contínuas num rectângulo [ ] [ ]. Sejam e

primitivas de, respectivamente, e . A solução geral desta ODE é dada na forma

implícita pela família de curvas

onde é uma constante real arbitrária.



Definição (6.9): Denominamos por equação de Bernoulli a uma EDO de 1ª ordem do tipo

onde são funções contínuas num intervalo e { }.

Teorema (6.10): A mudança de variável definida por

para função não nula, transforma uma equação de Bernoulli numa equação linear de 1ª

ordem.

Nota: A função nula é solução de qualquer equação de Bernoulli.



Definição(6.11): Uma EDO de 1ª ordem diz-se homogénea se é da forma

(

)

onde é uma função real a uma variável real.

Teorema (6.12): Toda a equação homogénea reduz-se a uma equação de variáveis separáveis

através da substituição



Definição (6.13): Consideremos a EDO de 1ª ordem

tal que

A uma EDO nestas condições denominamos por equação exacta.

Teorema (6.14): Sejam funções de classe num rectângulo [ ] [ ].

Seja uma EDO exacta e tal que

Então a EDO é exacta com solução geral na forma implícita dada pela família de curvas



Definição (6.15): Seja , . Dizemos que é um factor integrante para a EDO

de 1ª ordem se a equação

é exacta.



Teorema (6.16): Consideremos uma EDO linear de 1ª ordem na forma

Suponhamos que

depende só da variável . Então a EDO admite factores integrantes

que dependem só de e são solução particular da EDO linear homogénea de 1ª ordem



Teorema (6.17): Consideremos uma EDO linear de 1ª ordem na forma

Suponhamos que

depende só da variável . Então a EDO admite factores integrantes

que dependem só de e são solução particular da EDO linear homogénea de 1ª ordem



Teorema de Existência e Unicidade para Equações Lineares de 2ª Ordem: Consideremos o

problema de valor inicial

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Suponhamos que ( ) ( ) ( ) são funções contínuas num intervalo aberto ao qual

pertence . Então existe uma e uma só solução com intervalo de definição para o problema

de valor inicial indicado.

Nota: Os gráficos de duas soluções particulares distintas, com intervalo de definição , de uma

EDO de 2ª ordem da forma ( ) ( ) ( ) podem intersectar-se em , mas

têm rectas tangentes distintas no ponto de intersecção, ou seja, não podem ser tangentes.



Teorema (7.1): Se ( ) e ( ) são soluções particulares com intervalo de definição da EDO

linear homogénea de 2ª ordem

( ) ( )

onde ( ) ( ) ( ) são funções contínuas em . Então, para quaisquer constante reais

e , ( ) ( ) é solução particular da EDO linear de 2ª ordem. Ou seja, as soluções

particulares de ( ) ( ) com intervalo de definição formam um espaço

vectorial real.

Nota: Estamos a considerar como operações definidas no espaço vectorial a soma usual de

funções e a multiplicação usual de uma função por uma constante.



Definição (7.2): Sejam funções reais definidas num intervalo aberto . Dizemos que

estas funções são linearmente dependentes em se existem constantes reais , onde

pelo menos uma destas constante é não nula, tais que

( ) ( )

Dizemos que as funções são linearmente independentes em se a condição

( ) ( )

Implica que .



Definição (7.3): Sejam funções reais de classe ( ) num intervalo aberto .

Definimos Wronskiano destas funções, e representamos por ( )( ) , como o

determinante

|

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )|

Teorema (7.4): Sejam funções reais de classe ( ) num intervalo aberto . Se existe

tal que ( )( ) , então são linearmente independentes em .

Nota: Do teorema 7.4 concluímos que se são linearmente dependentes em então

( )( ) , para todo o .



Nota: O recíproco do teorema (7.4) não é verdadeiro. Considere as funções de classe ,

] [ definidas por

( ) {

( )

Estas duas funções são linearmente independentes, no entanto, para todo o ] [,

( )( )



Teorema de Abel: Sejam ( ) e ( ) soluções particulares com intervalo de definição da

EDO linear homogénea de 2ª ordem

( ) ( )

Suponhamos que ( ) ( ) são contínuas em . Nestas condições, o Wronskiano

( )( ) é dado por

( )( ) ( )

onde ( ) é uma primitiva de ( ) e é uma constante real que depende de e . Além

disso, ou ( )( ) é constantemente igual a zero ( ) em ou nunca se anula em

( ).



Teorema (7.5): Sejam ( ) e ( ) soluções particulares com intervalo de definição da EDO

linear homogénea de 2ª ordem

( ) ( )

onde ( ) ( ) são contínuas em . Suponhamos que existe tal que

( )( )

Então toda a solução particular definida em é da forma

( ) ( )

onde são constantes reais.



Teorema (7.6): Seja ( ) uma solução com intervalo de definição do problema de valor

inicial

( ) ( ) ( ) ( )

onde ( ) ( ) são contínuas em . Suponhamos que ( ) é uma solução com intervalo de

definição do problema de valor inicial

( ) ( ) ( ) ( )

Então as funções ( ) e ( ) são uma base do espaço vectorial das soluções particulares

com intervalo de definição de ( ) ( ) .



Corolário (7.7): Consideremos a EDO linear homogénea de 2ª ordem

( ) ( )

onde ( ) ( ) são contínuas em . O conjunto das soluções particulares com intervalo de

definição desta equação é um espaço vectorial de dimensão 2.

Definição(7.8): Consideremos a EDO linear homogénea de 2ª ordem

( ) ( )

onde ( ) ( ) são contínuas em . A uma base do conjunto das soluções particulares com

intervalo de definição desta equação chamamos sistema fundamental de soluções.



Nota: Para que duas soluções particulares com intervalo de definição da EDO linear

homogénea de 2ª ordem

( ) ( )

onde ( ) ( ) são contínuas em , formem um sistema fundamental é necessário e

suficiente que estas sejam linearmente independentes em .



Método de d’Alembert: Seja ( ) uma solução particular da EDO linear homogénea de 2ª

ordem

( ) ( )

A substituição

( ) ( ) ( )

reduz a EDO linear homogénea de 2ª ordem a uma EDO linear homogénea de 2ª ordem da

seguinte forma

( )

Agora efectuamos a mudança de variável

( ) ( )

e obtemos a EDO de 1ª ordem homogénea

( )



Definição (7.9): Dada a EDO linear homogénea de 2ª ordem de coeficientes constantes

Definimos polinómio característico desta equação como o polinómio

Nota: O polinómio característico indicado na definição anterior admite

1. ou duas raízes reais distintas com multiplicidade um cada;

2. ou uma raiz real de multiplicidade dois;

3. ou duas raízes complexas que são conjugadas entre.



Teorema (7.10): Consideremos a EDO linear homogénea de 2ª ordem de coeficientes

constantes

Sejam e as raízes do polinómio característico da EDO indicada.

1. Se e , então ( ) é um sistema fundamental de soluções da

EDO indicada, tendo esta solução geral

2. Se e , então ( ) é um sistema fundamental de soluções da EDO

indicada, tendo esta solução geral

3. Se ( ) , então e ( ( ) ( )) é um sistema fundamental de

soluções da EDO indicada, tendo esta solução geral

( ) ( )



Teorema (7.11): Consideremos a EDO linear de 2ª ordem

( ) ( ) ( )

Seja ( ) uma solução particular com intervalo de definição desta. Seja ( ( ) ( )) um

sistema fundamental com intervalo de definição da equação homogénea associada

( ) ( )

Então a solução geral da EDO linear de 2ª ordem é dada por

( ) ( ) ( )



Método da variação das constantes para EDO’s lineares não homogéneas de 1ª ordem:

Consideremos a EDO

( ) ( )

A equação homogénea associada, ( ) , tem por solução geral

( )

onde ( ) é uma primitiva de ( ). Consideremos que ( ) ( ) é solução da EDO não

homogénea. Substituindo esta função na EDO não linear obtemos a condição

( ) ( ) ( )

Como tal, a solução geral da EDO não linear é

( ) ( ) ( )

onde ( ) é uma primitiva de ( ) ( ).



Teorema (7.12): Sejam ( ) e ( ) soluções particulares com intervalo de definição da

EDO linear homogénea de 2ª ordem

( ) ( )

onde ( ) ( ) são contínuas em . As funções ( ) e ( ) são linearmente dependentes

em se e só se, para todo o ,

( )( )

Nota:

1. O teorema (7.12) complementa o teorema (7.4) única e exclusivamente no caso de

soluções particulares de EDO’s lineares homogéneas.

2. Aplicando o teorema (7.12) ao Teorema de Abel concluímos que As funções ( ) e ( )

são linearmente dependentes em se e só se .



Método da variação das constantes para EDO’s lineares não homogéneas de 2ª ordem:

Consideremos a EDO

( ) ( ) ( )

Seja ( ( ) ( )) um sistema fundamental da equação homogénea associada

( ) ( )

Queremos que ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) seja solução da EDO não homogénea.

Derivamos ( ) e impomos a condição ( ) ( )

( ) ( ) . Substituindo ( ) na

EDO não linear obtemos a condição ( )

( ) ( )

( ) ( ). As funções ( ) e

( )

são as funções incógnitas do sistema

{ ( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

Como o determinante da matriz associada a este sistema é ( )( ), o facto de

( ( ) ( )) ser um sistema fundamental de soluções da equação homogénea associada

garante-nos, pela teorema (7.12), que podemos então resolver este sistema, por exemplo,

recorrendo à regra de Cramer.



Definição (8.1): Seja uma função real definida no intervalo [ [ . Definimos

Transformada de Laplace desta função, e representamos por { } ou por , à função

{ } ∫

caso esta exista.

Teorema (8.2): Seja uma função real definida no intervalo [ [ tal que:

1. Para todo o , a função é seccionalmente contínua no intervalo [ ];

2. A função é uma função de ordem exponencial, ou seja,

| |

Então transformada de Laplace de está definida para .



Propriedades (8.3): Sejam e funções reais definidas no intervalo [ [ .

Suponhamos que { } existe para e que { } existe para .

1. Linearidade: Para quaisquer constantes reais , temos { } existe para

{ } e

{ } { } { }

2. Transformada da derivada: Se verifica as condições do teorema (8.2) e se é de classe

por secções em qualquer intervalo do tipo [ ], , então { } existe para

e

{ } { }

3. Derivada da Transformada: Para ,

{ } { }

4. Deslocamento em : Para ,

{ } { }



Nota: Por indução obtemos

1. da alínea 2 do teorema (8.3),

{ } { }

2. da alínea 3 do teorema (8.3),

{ }

{ }

Definição (8.4): Seja ] [ tal que existe [ [ com

{ }

Denominamos por transformada de Laplace inversa de e representamos por

{ }



Nota: Devido à linearidade da transformada de Laplace, resulta a linearidade da transformada

de Laplace inversa, ou seja, se são funções reais definidas no intervalo ] [ que

admitem transformada de Laplace inversa e constantes reais, temos que

{ } { } { }

Teorema (8.5): Sejam e funções reais definidas no intervalo [ [ e nas condições

do teorema (8.2). Se existe tal que para ,

{ } { }

então para todo o ponto onde são contínuas.



Definição (8.6): Seja . Definimos função degrau unitário ou função Heaviside como

[ [

{

O gráfico desta função é:



Dada uma função [ [ , a esta podemos associar a função que

representa uma translação da função original. Em termos da representação gráfica destas:

Gráfico de Gráfico de



Teorema (8.7): Seja e [ [ . Suponhamos que { } está definida para

. Então

{ } { }

Nota: Do teorema (8.7) resulta a propriedade de deslocamento em ,

{ } { }



Seja . Consideremos uma função força da forma

[

] {

O impulso total desta força é

∫

[

]

Consideremos

e a sucessão de funções

[

]



Representação gráfica da sucessão de funções



Definição (8.9): Seja . Definimos Delta de Dirac, e representamos por , como

Nota: O Delta de Dirac não é uma função no sentido usual pois

e

∫



Propriedades do Delta de Dirac:

1. Se é uma função real a uma variável real contínua numa vizinhança de ,

∫

2.

{ }

Definição (8.10): Sejam [ [ funções seccionalmente contínuas. Definimos

produto de convolução entre e , e representamos por , como

∫



Propriedades algébricas do produto de convolução: Sejam [ [ funções

seccionalmente contínuas e .

1.

2.

3.

4. ;

5.

Nota: Em geral não é verdade a igualdade . Por exemplo, se ,

Teorema (8.11): Sejam [ [ funções seccionalmente contínuas para as quais

existe transformada de Laplace em [ [. Então

{ } { } { }

304 Chapter 6. The Laplace Transform

TABLE 6.2.1 Elementary Laplace Transforms

f (t) = L−1{F(s)} F(s) = L{ f (t)} Notes

1. 11

s, s > 0 Sec. 6.1; Ex. 4

2. eat 1

s − a, s > a Sec. 6.1; Ex. 5

3. tn; n = positive integern!

sn+1 , s > 0 Sec. 6.1; Prob. 27

4. t p, p > −1(p + 1)

s p+1 , s > 0 Sec. 6.1; Prob. 27

5. sin ata

s2 + a2 , s > 0 Sec. 6.1; Ex. 6

6. cos ats

s2 + a2 , s > 0 Sec. 6.1; Prob. 6

7. sinh ata

s2 − a2 , s > |a| Sec. 6.1; Prob. 8

8. cosh ats

s2 − a2 , s > |a| Sec. 6.1; Prob. 7

9. eat sin btb

(s − a)2 + b2 , s > a Sec. 6.1; Prob. 13

10. eat cos bts − a

(s − a)2 + b2 , s > a Sec. 6.1; Prob. 14

11. tneat , n = positive integern!

(s − a)n+1 , s > a Sec. 6.1; Prob. 18

12. uc(t)e−cs

s, s > 0 Sec. 6.3

13. uc(t) f (t − c) e−cs F(s) Sec. 6.3

14. ect f (t) F(s − c) Sec. 6.3

15. f (ct)1

cF

( s

c

), c > 0 Sec. 6.3; Prob. 19

16.∫ t

0f (t − τ )g(τ ) dτ F(s)G(s) Sec. 6.6

17. δ(t − c) e−cs Sec. 6.5

18. f (n)(t) sn F(s)− sn−1 f (0)− · · · − f (n−1)(0) Sec. 6.2

19. (−t)n f (t) F (n)(s) Sec. 6.2; Prob. 28



Definição (9.1): Seja uma função real e um real positivo. Dizemos que é uma

função periódica de período se

1. Para todo o , ;

2. Para todo o , ( ) ( ).

Caso exista, ao menor período de uma função denominamos por período fundamental.

Propriedades de funções periódicas: Sejam funções periódicas de período .

Seja .

1. ( ) é um período de , para todo o ;

2. são funções periódicas de período ;

3. Se é integrável em [– ], então para todo o ,

∫ ( )

∫ ( )

4. Dado , as funções .

/ e .

/ têm período fundamental

.



Algumas igualdades trigonométricas: Sejam .

1. (( ) ) ( ) ( ) ( ) ( )

2. (( ) ) ( ) ( ) ( ) ( )

3. ( ) ( ) (( ) ) (( ) )

4. ( ) ( ) (( ) ) (( ) )

5. ( ) ( ) (( ) ) (( ) )



Definição (9.2): Sejam , - duas funções contínuas. Definimos produto interno

entre e , e representamos por ⟨ ⟩ como

⟨ ⟩ ∫ ( ) ( )

Dizemos que e são ortogonais em , - se ⟨ ⟩ .

Sejam . As funções .

/ e .

/ verificam as seguintes relações de

ortogonalidade:

∫ .

/ .

/

2

∫ .

/ .

/

∫ .

/ .

/

2



Definição (9.3): Definimos como série de Fourier toda a série da forma

∑ . .

/ .

//

onde ( ) e ( ) são sucessões reais.

Definição (9.4): Seja uma função periódica de período . Suponhamos que existem as

sucessões reais

∫ ( ) .

/

∫ ( ) .

/

Á série de Fourier de coeficientes

, , , chamamos série de Fourier da função .

Aos coeficientes , , , chamamos coeficientes da série de Fourier da função .



Teorema (9.5): Seja periódica de período e seccionalmente contínua. Dado

, seja

( )

( ) (

)

( )

Seja a série de Fourier de . Então ( ) é uma série numérica convergente para

( ) (

)

Nota: Resulta imediatamente do teorema 9.5 que nos pontos onde é contínua, e a sua

série de Fourier tomam o mesmo valor.



Consideremos a função periódica de período definida por

( ) 2

Representação gráfica de .



Representação gráfica da série de Fourier de .



Desenvolvimento de uma função em série de Senos: Seja uma função real definida no

intervalo , - . Consideremos a função , um prolongamento de , construído da

seguinte forma:

1. ( ) ( ) , -;

2. é ímpar em , - ou seja

( ) ( ) , -

3. é periódica de período .

Seja

∑. .

/ .

//

o desenvolvimento em série de Fourier de . Temos que:

1. Como ( ) .

/ é impar no intervalo , -,

∫ ( ) .

/



2. Como ( ) .

/ é par no intervalo , -,

∫ ( ) .

/

∫ ( ) .

/

∫ ( ) .

/

3. Como ( ) é impar no intervalo , -,

∫ ( )

Obtemos assim o desenvolvimento de em série de Senos dado por

∑ .

/

onde

∫ ( ) .

/



Desenvolvimento de uma função em série de Co-senos: Seja uma função real definida no

intervalo , - . Consideremos a função , um prolongamento de , construído da

seguinte forma:

1. ( ) ( ) , -;

2. é par em , - ou seja

( ) ( ) , -

3. é periódica de período .

Seja

∑. .

/ .

//

o desenvolvimento em série de Fourier de . Temos que:

1. Como ( ) .

/ é par no intervalo , -,

∫ ( ) .

/

∫ ( ) .

/

∫ ( ) .

/



2. Como ( ) .

/ é impar no intervalo , -,

∫ ( ) .

/

3. Como ( ) é par no intervalo , -,

∫ ( )

∫ ( )

∫ ( )

Obtemos assim o desenvolvimento de em série de Co-senos dado por

∑ .

/

onde

∫ ( ) .

/



Consideremos o seguinte problema: Determine as soluções particulares de

( ) ( )

com intervalo de definição , -, , tais que ( ) ( ) e ( ) ( ) ,

onde são constantes reais. Um problema deste tipo é classificado como um problema

de fronteira. Às condições ( ) ( ) e ( ) ( ) chamamos de

condições de fronteira.

Problema (9.6): Determinar os valores de para os quais o problema de fronteira

( ) ( )

Admite soluções não triviais, isto é, não nulas.



Resolução do problema (9.6): A EDO homogénea de coeficientes constantes tem como

polinómio característico associado . Os zeros deste polinómio dependem do parâmetro

.

i)

Neste caso é a única raiz do polinómio característico, tendo esta multiplicidade 2. Como

tal, a solução geral da EDO é dada por

( )

Aplicando as condições de fronteira ( ) ( ) à solução geral obtemos .

Como , neste caso só existe a solução trivial.

ii)

Existe tal que . Os zeros do polinómio característico são obtidos da equação

. Como tal ou . A solução geral da EDO é

( )

Aplicando as condições de fronteira ( ) ( ) à solução geral obtemos o sistema



2

Como , o determinante deste sistema homogéneo é não nulo, donde este sistema é

possível e determinado com solução .

iii)

Existe tal que . Os zeros do polinómio característico são obtidos da equação

. Como tal ou . A solução geral da EDO é

( ) ( ) ( )

Aplicando as condições de fronteira ( ) ( ) à solução geral obtemos o sistema

{ ( ) ( )

Como queremos soluções não nulas, resulta que ( ) ou seja . Sendo

, concluímos que o problema tem solução se e só se

( ) .

/ * +



Definição (9.7): Definimos equação de derivadas parciais, que abreviamos por EDP, como

uma equação que envolve uma função de várias variáveis, denominada por função incógnita,

e suas derivadas parciais. Definimos ordem de uma EDP como a ordem da derivada parcial de

ordem superior que consta da equação.

Definição (9.8): Dizemos que uma EDP de função incógnita ( ) é linear se é da forma

( ) ( )

onde ( ) é uma combinação linear de derivadas parciais de sendo os coeficientes desta

combinação linear funções das variáveis . Por exemplo, se depende das variáveis

e , uma EDP linear de ordem dois é da forma

onde são funções das variáveis e . Se R for a função a função

nula dizemos que a EDP linear é homogénea.



Teorema (9.9): Seja ( ) uma EDP linear homogénea. Se são soluções desta

EDP, então uma combinação linear destas funções também é solução da EDP.

Algumas EDP’s lineares homogéneas clássicas:

1. Equação da transferência de calor:

2. Equação de onda a uma dimensão:

3. Equação de onda a duas dimensões:

(

)

4. Equação de Laplace:



Para alguns tipos de EDP´s obtêm-se soluções “revertendo” as derivações efectuadas. Tal

método é denominado por método de integração. Seja função das variáveis . As

EDP’s da forma

onde é uma constante, é resolúvel pelo método de integração. Um outro exemplo de EDP

solúvel pelo método de integração é

obtendo-se

( )

( ) ( )

onde são funções arbitrárias.



Problema (9.10): O objectivo é estudar a transferência de calor ao longo de uma barra

cilíndrica.

Vamos supor que a temperatura é apenas função de e , ou seja, que a temperatura em

qualquer secção vertical da barra num dado tempo é constante. Vamos assumir também que

a temperatura nas extremidades da barra é zero. Seja ( ) a distribuição do calor ao longo da

barra no instante zero.



O problema é dado pela EDP

sujeita às condições de fronteira

( ) ( )

e às condições iniciais

( ) ( )

Vamos resolver este problema recorrendo ao método da separação de variáveis. Para tal

vamos considerar

( ) ( ) ( )

Queremos determinar soluções não nulas do problema. Substituindo ( ) no equação,



O lado esquerdo da igualdade depende só da variável e o lado direito da igualdade depende

só da variável , pelo que existe tal que

Obtemos assim as EDO’s lineares homogéneas

2

Das condições de fronteira ( ) ( ) e tendo em conta que queremos soluções

não nulas do problema, obtemos ( ) ( ) . Pela resolução do problema (9.6),

( ) ( )

tem soluções não nulas se e só se



sendo estas

( ) .

/

Substituindo em obtemos a EDO linear homogénea de 1ª ordem

.

/

cuja a solução geral da EDO é, para cada ,

( ) .

/

Obtemos assim uma sucessão de soluções da equação da transferência de calor

( ) .

/

.

/



Pelo teorema (9.9), sendo que se as funções ( ) verificam as condições de fronteira

lineares homogéneas, a combinação linear destas também verifica as condições de fronteira

lineares homogéneas. Obtemos que a sucessão de funções

∑ ( )

são soluções da equação de transferência de calor que verificam as condições de fronteira

lineares homogéneas. O teorema (9.9) é generalizável para o limite de sucessões de somas

parciais construídas à custa de combinações lineares, pelo que a função

( ) ∑ ( )

∑ .

/

.

/

é solução da equação da transferência de calor que verifica as condições de fronteira.



Seja

∑ .

/

o desenvolvimento em série de senos de ( ) no intervalo , - . Da condição inicial

( ) ( ) obtemos

∫ ( ) .

/



Problema (9.11): No problema da transferência de calor vamos supor que a temperatura nas

extremidades na barra é constante mas não nula. Neste caso o problema é dado pela EDP

Sujeita às condições de fronteira não-homogéneas

( ) ( )


( ) ( )

Para aplicar o método da separação de variáveis vamos transformar as condições de fronteira

não-homogéneas em homogéneas. Para tal consideremos a aplicação linear ( )em que

transforma os pontos e em, respectivamente, e definida por

( ) ( )

Consideremos a mudança de variáveis

( ) ( ) ( )



O problema da equação da transferência de calor transforma-se em

Sujeita às condições de fronteira homogéneas

( ) ( )


( ) ( ) ( )

cuja solução, segundo a resolução do problema (9.10), é

( ) ∑ .

/

.

/

∫ ( ( ) ( )) .

/



Desfazendo a mudança de variável obtemos

( ) ( ) ∑ .

/

.

/

Interpretação física da mudança de variável: Quando tende para infinito, ou seja, passado

muito tempo, a distribuição da temperatura ao longo da barra estabiliza. Seja ( ) a função

que nos dá essa distribuição. Então ( ) verifica a EDP e as suas condições de fronteira, pelo

que

( ) ( ) ( )

A solução deste problema de fronteira é

( ) ( )

( )



Problema (9.12): Consideremos um elástico de extremidades fixas entre dois suportes.

Aplicamos uma força a este para o colocar em movimento.

Em repouso o elástico situa-se sobre o eixo . Seja ( ) o deslocamento vertical do

elástico no ponto e tempo . Vamos assumir que a amplitude do movimento não é muito

grande e que podemos ignorar efeitos que amorteçam o movimento. Seja ( ) e ( ),

respectivamente a posição e a aceleração do elástico no instante zero.



O problema é dado pela EDP


( ) ( )


( ) ( )

( ) ( )

Vamos resolver este problema de forma análoga ao problema (9.10). Fazendo

( ) ( ) ( )

obtemos que existe tal que

e que ( ) ( ) .



Como procuramos soluções não nulas do problema ( ) ( ) ,

( ) .

/

Substituindo os valores de obtidos na equação e resolvendo esta, vem

( ) .

/ .

/

A função

( ) ∑ ( )

( ) ∑ .

/ 0 .

/ .

/1

é uma solução da EDP que verifica as condições de fronteira. Do desenvolvimento em série de

senos de ( ) no intervalo , - e da igualdade ( ) ( ), obtemos

∫ ( ) .

/



Da igualdade

( ) ( )

vem que

( ) ∑

.

/

Comparando com o desenvolvimento série de senos de ( ) no intervalo , - concluímos

que

∫ ( ) .

/

∫ ( ) .

/



Problema (9.13): Nesta secção vamos estudar a equação de Laplace a duas dimensões

Várias funções potencial verificam esta equação, daí também ser denominada por equação

potencial. Vamo-nos restringir ao estudo desta equação dadas condições ao longo da fronteira

de um rectângulo.

Consideremos a equação de Laplace


( ) ( )

( ) ( ) ( )



Mais uma vez, vamos resolver este problema de forma análoga ao problema (9.10). Seja

( ) ( ) ( )

Substituindo na EDP e nas condições lineares homogéneas ( ) ( ) , obtemos

{ ( ) ( )

Como procuramos soluções não nulas da EDP,

( ) .

/

Substituindo os valores de obtidos na equação e resolvendo esta, vem

( )

Da condição de fronteira ( ) resulta que ( ) , donde e

( ) .

/



A função

( ) ∑ ( )

( ) ∑ .

/ .

/

é solução da equação de onda que verifica as condições de fronteira lineares homogéneas

( ) ( ) e ( ) Do desenvolvimento em série de

senos de ( ) no intervalo , - e da igualdade ( ) ( ), obtemos

.

/

∫ ( ) .

/

ou seja,

.

/∫ ( ) .

/



Nota: De forma análoga resolvemos uma equação de Laplace com condições de fronteira

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

em que apenas uma e uma só das funções ( ) ( ) ( ) ( ) é a função não

identicamente nula.



Nota: Consideremos a equação de Laplace


( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

Seja ( ), * + a solução da equação de Laplace em que consideramos as funções

( ) ( ) ( ) ( ) constantemente iguais a zero com excepção de . Então a função

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

é solução do problema inicial.

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Definição (6.1): Definimos equação diferencial€¦ · As soluções de uma EDO podem ser obtidas em duas formas: 1. Forma explícita, ou seja, na forma ; 2. Forma Implícita,