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Clasa a XII-a - Analiza - 1
Partea I - Primitive
Primitive
Definitia 11 :
- Fie I un interval R si o functie RIf : ;
- Spunem ca f admite primitive pe I daca exista o functie RIF : astfel incat :
1). F este derivabila pe I ;
2). xfxF ' , Ix .
Functia F se numeste pprriimmiittiivvaa a functiei f .
Propozitie :
- Fie F 1 o primitiva a functiei RIf : ;
- Atunci orice alta primitiva a lui f este de forma :
cxFxF 1
unde : c o functie constanta pe I .
Definitia 22 :
- Fie RIf : , unde RI , o functie care admite primitive ;
- Multimea tuturor primitivelor lui f se numeste iinntteeggrraallaa nneeddeeffiinniittaa a functiei f si se
noteaza cu :
dxxf
Clasa a XII-a - Analiza - 2
Partea I - Primitive
Primitive
Observatii :
11)).. Exprimarile “ Sa se calculeze o primitiva a functiei f “ si “ Sa se calculeze dxxf ”
sunt sinonime .
22)).. Daca F este o primitiva a lui f pe I , atunci multimea tuturor primitivelor lui f este :
CxFdxxf
unde : cxcRIccCdef
,:
Clasa a XII-a - Analiza - 3
Partea I - Primitive
Primitive
11)).. O functie care admite primitive aarree proprietatea lui Darboux (proprietatea functiilor derivate).
22)).. O functie care nu are proprietatea lui Darboux , nnuu aaddmmiittee pprriimmiittiivvee .
33)).. Orice fffuuunnncccttt iiieee cccooonnntttiiinnnuuuaaa RIf : , unde RI , aaddmmiittee pprriimmiittiivvee .
44)).. Daca RIf : si IxxfIf ; nnnuuu eeesssttteee uuunnn iiinnnttteeerrrvvvaaalll , atunci f nnuu aaddmmiittee
pprriimmiittiivvee pe I .
55)).. Exista functii care aaadddmmmiiittt ppprrriiimmmiiittt iiivvveee si nnuu ssuunntt ccoonnttiinnuuee (discontinuitati de speta a doua) .
66)).. Daca doua functii RIgf :, admit primitive , atunci orice combinatie liniara a lor :
gf aaddmmiitt pprriimmiittiivvee , R ,
si avem relatia :
dxxgdxxfdxxgxf
77)).. Daca dintre doua functii RIgf :, , uuunnnaaa aaadddmmmiiittteee ppprrriiimmmiiittt iiivvveee si ccceeeaaalllaaalll tttaaa nnnuuu aaadddmmmiiittteee ppprrriiimmmiiittt iiivvveee ,
atunci functiile :
gf si gf
nnuu aaddmmiitt pprriimmiittiivvee .
Clasa a XII-a - Analiza - 4
Partea I - Primitive
Primitive
Fie RIgf :, , RI , doua functii care admit primitive pe I si 0, R
, atunci functiile gf si f admit primitive si au loc relatiile :
1). dxxgdxxfdxxgxf ;
2). dxxfdxxf ;
3). CxFCdxxfdxxf
unde C este multimea functiilor constante pe I si F este o primitiva a lui f .
Clasa a XII-a - Analiza - 5
Partea I - Primitive
Primitive
11)).. Cxdx Rx
22)).. Cn
xdxx
n
n
1
1
RxNn ,
33)).. Ca
xdxx
a
a
1
1
,0,1, xaRa
44)).. Ca
adxa
x
x ln
Rxaa ,1,0
55)).. Cxdxx
ln1
Rx*
66)).. Cax
ax
adx
ax
ln
2
1122
aaRx ,
77))..
Ca
xarctg
adx
ax
1122
0, aRx
88)).. Cxxdx cossin Rx
99)).. Cxxdx sincos Rx
1100)).. Ctgxdxxcos
12
ZkkRx /2
12
1111)).. Cctgxdxxsin
12
ZkkRx /
1122)).. Cxtgxdx cosln
ZkkRx /2
12
1133)).. Cxctgxdx sinln ZkkRx /
1144))..
Caxxdxax
22
22ln
1 0, aRx
1155))..
Caxxdxax
22
22ln
1 0, aax
1166))..
Ca
xdx
xaarcsin
122
0, aax .
Clasa a XII-a - Analiza - 6
Partea I - Primitive
Primitive
Sa se calculeze primitivele urmatoarelor functii :
1). 322
xxxf , Rx ; 2). x
xxf1
, ;0x ;
3). x
xxf1
, 0;x ; 4). xbxaxf cossin , Rx ;
5). x
xf41
12
,
2
1;
2
1x ; 6).
xxf
4
12
, 2;2x ;
7). xx
xfcos
1
sin
222
,
2;0
x ; 8). xx
xfcossin
222
,
2;0
x ;
9). 4
12
x
xf , Rx ; 10). 14
12
x
xf , Rx ;
11). exf xx 2 , Rx ; 12). 1
12
x
xf , 1;1x ;
13). 1
12
x
xf , 1;x ; 14). 3 2
11
xxxf , ;0x ;
15). 3 22 xxxxxf , ;0x ; 16). 53 42 xxxxf , ;0x ;
17). 3 24
312
xxxxf , ;0x ; 18).
xxf
91
12
, Rx ;
19). 254
12
x
xf ,
;
2
5x ; 20).
72
12
x
xf , Rx ;
21). x
xf
8
12
, 22;22x ; 22). x
xxf
4
452
2
, 2;2x ;
23). x
xxf
cos
cos12
3 ,
2;0
x ; 24). xxxf 2 , Rx ;
25). 423 xxxf , Rx ; 26). 21 xxxxf , Rx ;
27). x
xxf15 , ;0x ; 28). 3 2
13
xxf , Rx ;
29). 11 xxxxf , ;0x ;
Clasa a XII-a - Analiza - 7
Partea I - Primitive
Primitive
30).
x
xxf
14
, ;0x ; 31).
3 2
2221
x
xxxf
, ;0x ;
32). x
xf2
1 , ;0x ; 33).
1
22
2
x
xxf , 1;1x ;
34). x
xxxf
4
22
1
11
, 1;1x .
Clasa a XII-a - Analiza - 8
Partea I - Primitive
Primitive
Teorema :
- Daca RIgf :, sunt functii derivabile cu derivatele continue , atunci functiile :
gf , gf '
, gf'
admit primitive pe I si multimile lor de primitive sunt legate prin relatia :
dxxgxfgfdxxgxf''
numita formula de integrare prin parti pentru integrale nedefinite .
Exercitiul nr. 1 :
Sa se calculeze primitivele urmatoarelor functii :
1). xxf ln , 0x ; 2). xxxf ln , 0x ;
3). xxf ln2 , 0x ; 4). xxxf ln
22 , 0x ;
5). xx
xf ln1 , 0x ; 6). xxxf ln
23 , 0x ;
7). xxxxf ln224 , 0x ; 8). xxf 1ln
2 , Rx ;
9). exxf x , Rx ; 10). exxxf x 12
, Rx ;
11). exxxf x 13
, Rx ; 12). xxxf sin2 , Rx ;
13). xxxxf sin12 , Rx ; 14). xxxf sin
23 , Rx ;
15). xexf xsin , Rx ; 16). xexf x
2sin , Rx ;
17). xexf x sin , Rx ; 18). xexf x
cos , Rx ;
19). xexxf xsin , Rx ; 20). xxexf x
cossin , Rx ;
21). xxf sin2 , Rx ; 22). xxxf cos2sin
33 , Rx ;
Clasa a XII-a - Analiza - 9
Partea I - Primitive
Primitive
23). xxxf cos3sin244 , Rx ; 24). 4
2 xxf , ;2x ;
25). 12 xxf , Rx ; 26). 1
22 xxxf , Rx ;
27). 123 xxxf , Rx ; 28). 4
24 xxxf , ;2x ;
29). 425 xxxf , ;2x ; 30). xxf 2
9 , 3;3x ;
31). xxxf 229 , 3;3x .
Exercitiul nr. 2 :
Sa se calculeze primitivele urmatoarelor functii :
1). exxf x 52 , Rx ; 2). xxxf sin52 , Rx ;
3). xxxf ln52 , 0x ; 4). xxxxf cos532 , 0x
5). x
xxf
ln , 0x ; 6). xxf lnsin , 0x ;
7). xexf xcos , 0x ; 8). xexf x
sin , Rx ;
9). 22 xxf , Rx ; 10). xxf 2
3 , 3;3x .
Exercitiul nr. 3 :
Sa se calculeze primitivele urmatoarelor functii :
1). arctgxxf , Rx ; 2). xxf ln2
, 0x ;
3). xexxf xsin , Rx ; 4). xexxf x
cos2 , Rx ;
5). x
xxf
3
ln , 0x ; 6).
x
xxf
1
1ln , 1;1x ;
7). xxxf arccos , 1x ; 8). xxxf 21ln , 0x ;
9).
x
xxxxf2
2
1
1ln
, Rx ; 10). exxf x33 , Rx ;
11). exxf x 3 , Rx ; 12). exxf
x
22 , Rx .
Clasa a XII-a - Analiza - 10
Partea I - Primitive
Primitive
Metoda schimbarii de variabila , denumita si metoda substitutiei , permite calculul
primitivelor (integralelor nedefinite) pornind de la formulele uzuale de integrare si cele de
derivare a functiilor compuse .
Teorema :
- Fie RJI , doua intervale si
RJf : si RI :
doua functii . Daca :
1). JI ;
2). Functia este derivabila pe I ;
3). Functia f admite primitive pe J ;
atunci functia '
f admite primitive pe I .
Mai mult , daca RJF : este o primitiva a functiei f pe J , atunci functia F
este o primitiva a functiei '
f , adica are loc egalitatea :
CFdxxxf '
Clasa a XII-a - Analiza - 11
Partea I - Primitive
Primitive
SS--aa pprreessuuppuuss RI iinntteerrvvaall ssii RI : ddeerriivvaabbiillaa ccuu ddeerriivvaattaa ccoonnttiinnuuaa .
1).
Cn
xdxxx
n
n
1
1
' , Nn
2).
Cr
xdxxx
r
r
1
1
' , ;0 , 1\ IRr
3).
Cxdxx
x
ln
'
, Ixx , 0
4).
Ca
adxxa
x
x
ln
'
, 1 , 0 aa
5). Cxdxxx cossin'
,
6). Cxdxxx sincos'
,
7).
Cxtgdxx
x
cos2
'
, IxZkkx
, 2
12
8).
Cxctgdxx
x
sin2
'
, IxZkkx ,
9).
C
a
xdx
xa
x
arcsin
22
'
, aaIa ; , 0
10).
C
a
xarctg
adx
xa
x
122
'
, 0a
11).
Cxaxdx
xa
x
22
22
'
ln , 0a
12).
Caxxdx
ax
x 22
22
'
ln
,
Ixax
sau
Ixax
a
,
,
, 0
13). Cxdxxxtg cosln'
, IxZkkx
, 2
12
14). Cxdxxxctg sinln'
, IxZkkx ,
Clasa a XII-a - Analiza - 12
Partea I - Primitive
Primitive
Teorema :
- Fie RJI , doua intervale si
RJf : si RI :
doua functii . Daca :
1). Functia este bijectiva ;
2). Functia este derivabila pe J si 0'
x oricare ar fi Jx ;
3). Functia '
fh admite primitive pe J ,
atunci functia f admite primitive pe I .
Mai mult , daca RJH : este o primitiva a functiei '
fh pe J , atunci
functia 1
H este o primitiva a functiei f pe I , adica are loc egalitatea :
CHdxxf 1
Observatia 1 :
Denumirile de prima formula de schimbare de variabila si a doua formula de schimbare
de variabila sunt pur conventionale .
In realitate avem o singura formula de schimbare de variabila si mai multe variante de
aplicare a ei :
Avem de calculat : Ixdxxf , .
Atunci :
1). Punem in evidenta expresia , in expresia lui f , o functie derivabila RI : si o functie
primitivabila RIg : astfel incat xxgxf '
oricare ar fi Ix .
2). Facem inlocuirile formale tx : si dtdxx :'
;
Obtinem primitiva Itdttg , , pe care o calculam . Fie ItCtGdttg , .
3). Revenim la vechea variabila x , punand xt : in expresia primitivei G ;
Obtinem IxxGdxxf , C .
Clasa a XII-a - Analiza - 13
Partea I - Primitive
Primitive
Avem de calculat : Ixdxxf , .
Atunci :
1). Punem in evidenta un interval RJ si o functie IJ : bijectiva si derivabila .
2). Facem inlocuirile formale tx : si dttdx '
: ;
Obtinem Jtdtttf , '
, pe care o calculam .
Fie JtHdtttf , Ct'
.
3). Revenim la vechea variabila x , punand xt 1
:
in expresia primitivei H ;
Obtinem IxCxHdxxf
, 1
.
Avem de calculat : Ixdxxf , .
Atunci :
1). Punem in evidenta expresia , in expresia lui f , o functie injectiva RI : cu
II :
1 derivabila , si o functie RIg : , astfel incat Ix , xgxf .
2). Facem inlocuirile formale tx : si dttdx 1 '
: ;
Obtinem primitiva Itdtttg , 1 '
, pe care o calculam .
Fie Itdtttg , CtF
1 '
.
3). Revenim la vechea variabila x , punand xt : in expresia primitivei F ;
Obtinem : IxCxFdxxf , .
Observatia 2 :
In toate cele trei variante ale formulei schimbarii de variabila expuse mai sus , expresia
functiei se impune din context , analizand expresia functiei f .
Clasa a XII-a - Analiza - 14
Partea I - Primitive
Primitive
Observatia 3 :
Nu exista reguli de calcul al primitivelor decat pentru clase restranse de functii elementare .
Observatia 4 :
Problema gasirii primitivelor este inversa aceleia a derivarii . Problema gasirii primitivelor
este insa mult mai dificila decat problema derivarii .
Daca derivatele functiilor elementare sunt de asemenea functii elementare , primitivele
functiilor elementare nu sunt totdeauna functii elementare .
Pentru unele functi elementare nici nu se stie daca primitivele lor sunt tot functii
elementare .
Exercitiul nr. 1 :
Sa se calculeze primitivele urmatoarelor functii :
1). ?3
242
dx
xx
x , Rx ; 2).
?
532
6824
3
dxxx
xx , Rx ;
3).
?cos1
sin2
dxx
x , Rx ; 4). ?tgxdx ,
2;
2
x ;
5). ?cos
1dx
x ,
2;
2
x ; 6).
?
12
dxxtg
xtg ,
2;0
x ;
7). ?1sin2 1
2cos2dxexx x , Rx ;
8). ?32dxex x , Rx ; 9). ?
3
dxxtgxtg ,
2;
2
x ;
10). ?cossin2
dxxx , Rx ; 11). ?cossin23
dxxx , Rx ;
12). ?sin3
dxx , Rx ; 13).
?
cossin
cossindx
xx
xx ,
4;
4
x ;
14). ?42
dxxtgxtg ,
2;
2
x ;
15). ?cos
sin3
dxx
x ,
2;
2
x ;
Clasa a XII-a - Analiza - 15
Partea I - Primitive
Primitive
16).
?
1
12
dxxtg
xtg ,
4;
4
x ; 17).
?
13dx
x
x , 1;0x ;
18).
?1
4dx
x
x , Rx ; 19).
?
16
2
dxx
x , Rx ;
20).
?1
4dx
x
x , 1;1x ; 21).
?
12
dxe
ex
x
, 0;x ;
22).
?ln1
1dx
xx , ;ex ;
23). ?sincossinsincos dxxxx Rx ;
24).
?cos1
2sin4
dxx
x , ;0x ; 25).
?ln1
12
dxxx
, ;0x ;
26). ?12dxx , Rx ; 27). ?23
2dxxx , ;2x ;
28). ?12
dxxx , Rx ; 29). ?232
dxxx , 2;1x ;
30). ?492dxx ,
2
3;
2
3x ; 31). ?22
22dxxxx , Rx ;
32). ?13
dxxx , ;1x ; 33).
?1
12
dxxx
, ;1x ;
34). ?arcsin
2dx
x
x , 1;0x ; 35).
?
1
124
dxxxx
, ;0x .
Exercitiul nr. 2 :
Sa se calculeze primitivele urmatoarelor functii :
1).
?sin1
2sin2
dxx
x , Rx ; 2). ?2sinsin
2dxxx , Rx ;
3).
?
1
1224
2
dxxx
xx , Rx ; 4).
?
12
dxe
ex
x
, Rx ;
5).
?
112 32
dx
xx
x , Rx ; 6). ?14
5
dxx , Rx ;
7). ?13 42
dxxx , Rx ; 8). ?237
dxx , Rx ;
Clasa a XII-a - Analiza - 16
Partea I - Primitive
Primitive
9). ?
ln2
dxx
x , 0x ; 10).
?
12
dxx
arctgx , Rx ;
11). ?cossin5
dxxx , Rx ; 12). ?2ln1 3
dxxx
, 0x ;
13).
?arcsin1
1 4
2dxx
x , 1;0x ; 14). ?cossin
45dxxx , Rx ;
15). ?cos3
dxx , Rx ; 16). ?sin5
dxx , Rx ;
17). ?sin1cos3cos2
dxxxx , Rx ;
18).
?
1
15dx
x , 1x ; 19).
?
14 4
3
dxx
x , Rx ;
20).
?
1arcsin
122
dxxx
, 1;0x ; 21).
?1ln
14dx
xx , 1;0x ;
22).
?
12dx
e
ex
x
, Rx ; 23).
?
15
12dx
x ,
5
1x ;
24).
?
532 4 dx
x
x , Rx ; 25).
?
43
162 2
dxxx
x , Rx ;
26).
?ln
13dx
xx , 0x ; 27). ?23 dxx ,
3
2x ;
28).
?2
13
dxx
, 2x ; 29). ?543 2dxxx , Rx ;
30).
?1
4
3
dxx
x , Rx ; 31). ?
sin
cosdx
x
x ,
2;
2
x ;
32).
?sin1
2sin2
dxx
x ,
2;
2
x ; 33). ?4 dxee
xx , Rx ;
34).
?arcsin1
12
dxxx
, 1;0x ; 35). ?54 dxx ,
4
5x ;
36).
?2
1dx
x , 2x ; 37). ?13
32dxxx , 1x ;
38).
?32
2dx
x
x , Rx ; 39).
?
52
12
dxxx
x , 2x ;
Clasa a XII-a - Analiza - 17
Partea I - Primitive
Primitive
40).
?8
4
3 2dx
x
x , 22x ; 41). ?2cos2sin xdxx ,
2;
2
x ;
42). ?5sin15cos dxxx ; Rx ; 43). ?cos
1
2dx
xtgx ,
2;
2
x ;
44). ?cos
sin
3 2dx
x
x ,
2;
2
x ; 45). ?cossin43 3
4
dxxx , Rx ;
46). ?ln11
dxxx
, 0x ; 47). ?52 dxx , 2
5x ;
48). ?52 dxxx , 2
5x ; 49).
?
12
1dx
x ,
2
1x ;
50).
?
12
53dx
x
x ,
2
1x ; 51).
?
32
1dx
xxx , 0x ;
52).
?ln
1dx
xxxx
, 0x ; 53).
?2log3log
32 dxx
xx , 0x ;
54).
?1
1dx
xx , 0x ; 55). ?122 dxxx , 1x ;
56).
?5
1dx
x , 5x ; 57).
?
53
1dx
x ,
3
5x ;
58).
?4
2dx
x
x , Rx ; 59).
?
2
362
dxxx
x , Rx ;
60).
?12
3
2
dxx
x , 0x ; 61).
?
53dx
x
x , 0x ;
62).
?
53
42dx
x
x , 0x ; 63).
?
4
352
dxx
x , Rx ;
64).
?
4
352
dxx
x , 2x ; 65).
?
14dx
x
x ,
4
1x ;
66).
?
14
12dx
x
x ,
4
1x ; 67).
?
5
432
dxx
x , Rx ;
68).
?
9
22
dxx
x , 3x ; 69).
?
4
1232
2
dxx
xx , Rx ;
70).
?
cos2
sin3dx
x
x , Rx ; 71).
?
3cossin
cossindx
xx
xx , Rx ;
Clasa a XII-a - Analiza - 18
Partea I - Primitive
Primitive
72). ?cos
2dx
x
tgx ,
2;
2
x ; 73).
?
1
ln
1ln dx
xxx , 0x ;
74).
?lnsin
dxx
x , 0x ; 75). ?
cosdx
x
x , 0x ;
76). ?5sin xdx , Rx ; 77). ?4
cos dxx
, Rx ;
78).
?13sin
dxx
x , 0x ; 79). ?lncosln1 dxxx , 0x ;
80). ?sin2
dxxx , 0x ; 81). ?sin2
dxx , Rx ;
82). ?cos2
dxx , Rx ; 83). ?3sin2
dxx , Rx ;
84). ?4cos2
dxx , Rx ; 85). ?5cos3sin xdxx , Rx ;
86). ?sin3
dxx , Rx ; 87). ?cossin3
dxxx , Rx ;
88). ?3sin xdx , Rx ; 89). ?cos3
dxx , Rx ;
90). ?3cos xdx , Rx ; 91). ?cos2
dxxx , Rx ;
92). ?cos2
dxxx , Rx ; 93). ?lncos dxx , 0x ;
94).
?lncos
dxx
x , 0x ; 95).
?
5dxe
x , Rx ;
96). ?
76dxex x , Rx ; 97). ?cos
sindxex
x , Rx ;
98). ?34
dxx
, Rx ; 99). ?52
dxx x , Rx ;
100).
?14dxe
x , Rx ; 101). ?
2
1
dxx
ex
, 0x ;
102). ?1
43dxex x , Rx ; 103).
?234
2
dxxe xx , Rx ;
104).
?1
12
dxex
arctgx , Rx ; 105).
?5
5
dxx
ex
, 5x ;
106). ?2 dxexx
, Rx ; 107).
?10
5211
dxx
xx
, Rx ;
108).
?
1
13
dxe
ex
x
, Rx ; 109). ?
23
dxxe x , Rx ;
110). ?2
dxex x , Rx ; 111). ?
2dxex
x , Rx ;
112). ?12223dxexxx x , Rx ;
Clasa a XII-a - Analiza - 19
Partea I - Primitive
Primitive
113).
?23
12
dxx
, 3
2x ; 114).
?
23
12
dxx
, Rx ;
115).
?
912
12
dxx
, 2x ; 116).
?
122dx
bax , Rx ;
117).
?sin4
cos2
dxx
x , Rx ; 118).
?1ln
12
dxxx
, 0x ;
119).
?92
12
dxx
, 2
9x ; 120).
?
922
dxx
x ,
2
9x ;
121).
?92
2
2
dxx
x ,
2
9x ; 122).
?
75
12
dxx
, Rx ;
123).
?75
2dx
x
x , Rx ; 124).
?
752
2
dxx
x , Rx ;
125).
?
251
12
dxx
, 6;4x ; 126).
?
165
12
dxx
, Rx ;
127).
?329
12dx
x , 0;3x ; 128).
?1
2
1
dxx
xn
n
, Rx ;
129).
?1
2
12
dxx
xn
n
, Rx ; 130).
?1
4dx
x
x , Rx ;
131).
?1
4
3
dxx
x , Rx ; 132).
?
18
3
dxx
x , Rx ;
133).
?1
8
7
dxx
x , Rx ; 134).
?
sin4
cos2
dxx
x , Rx ;
135).
?cos4
sin2
dxx
x , Rx ; 136).
?
54
2
dxe
ex
x
, 0x ;
137).
?5
2dx
e
ex
x
, 0x ; 138).
?
5ln
12
dxxx
, 0x ;
139).
?126
12
dxxx
, Rx ; 140).
?869
12
dxxx
, Rx ;
141).
?544
12
dxxx
, Rx ; 142).
?2
12
dxxx
, Rx ;
143).
?542
12
dxxx
, Rx ; 144).
?54
12
dxxx
, 1;5x ;
Clasa a XII-a - Analiza - 20
Partea I - Primitive
Primitive
145).
?45
2dx
xx
x , 4;1x ; 146).
?
332
dxxx
x , Rx ;
147).
?
62
342
dxxx
x , Rx ; 148).
?
1
12
dxxx
x , Rx ;
149).
?52
24dx
xx
x , Rx ; 150).
?
3343
32
dxxx
x
, 0x ;
151).
?106
2
2
dxxx
x , Rx ; 152).
?
43
12
2
dxxx
x , Rx ;
153).
?75
12
dxx
,
7
5;
7
5x ; 154).
?
43
12
dxx
, 3
2x ;
155).
?43
12
dxx
, Rx ; 156).
?
316
12dx
x , 1;7x ;
157).
?
912
12
dxx
, ;12;x ;
158).
?9
6
2
dxx
x , 1;1x ; 159).
?
54
12
dxx
, Rx ;
160).
?54
12
dxx
,
;
2
5
2
5;x ;
161).
?45
12
dxx
,
2
5;
2
5x ;162).
?
210
4
dxx
x , 1x ;
163).
?1
4dx
x
x , 1;1x ; 164).
?
281
12
dxx
, 7;10x ;
165).
?1
12
dxx
, 1;1x ; 166).
?1
12
dxx
, ;11;x
167).
?1
2dx
x
x , 1;1x ; 168).
?
12
2
dxx
x , 1;1x ;
169).
?cos9
2sin4
dxx
x , Rx ; 170).
?
12
dxe
ex
x
, 1;1x ;
171).
?1
2dx
e
ex
x
, Rx ; 172).
?ln4
12
dxxx
1;0x ;
Clasa a XII-a - Analiza - 21
Partea I - Primitive
Primitive
173).
?3
dxe
ex
x
, 1x ; 174). ?arcsin
dxe
ex
x
, 0;x ;
175).
?1
12
dxxx
, ;1x ; 176).
?1
2
dxx
x , ;1x ;
177). ?492dxx ,
2
3;
2
3x ; 178). ?59
2 dxx , 1x ;
179). ?2162
dxx , 2;6x ; 180). ?2152
dxx , Rx ;
181). ?1612dxx ,
4
1;
4
1x ; 182). ?4
2dxee
xx , 1x ;
183). ?sin9cos2
dxxx , Rx ; 184). ?912dxx ,
3
1;
3
1x ;
185). ?912dxxx .
3
1;
3
1x .
Clasa a XII-a - Analiza - 22
Partea I - Primitive
Primitive
Definitia ffuunnccttiieeii rraattiioonnaallee :
- Fie I un interval din R ;
- Functia RIf : se numeste rationala daca exista doua polinoame P si Q cu
coeficienti numere reale , astfel incat :
0 xQIx si xQ
xPxf
Definitia ffuunnccttiieeii rraattiioonnaallee ssiimmppllee :
- O functie rationala se va numi simpla daca este de una din urmatoarele forme :
1). axaxaxaxf nn
nn
1
1
10 ..... ;
2). ax
Axf
n
, unde Nn* ;
3). cbxax
CBxxf
n
2 , unde Nn
* si 042
acb .
TEOREMA ddee ddeessccoommppuunneerree aa ffuunnccttiiiilloorr rraattiioonnaallee :
- Afirma ca orice functie rationala se scrie , in mod unic , ca o suma finita de functii
rationale simple .
In consecinta , integrarea functiilor rationale se reduce la integrarea
functiilor rationale simple .
Clasa a XII-a - Analiza - 23
Partea I - Primitive
Primitive
La calculul integralei unei functii rationale pot aparea doua cazuri :
Daca in integrala
dxxQ
xP , polinoamele QP, nu au radacini comune si grQgrP
vom scrie Q
P ca o suma de functii rationale simple .
Daca :
a). Q are radacini simple , atunci xxxxxxxQ n .....21 si functia
rationala xQ
xPxf se poate scrie in mod unic sub forma :
xx
A
xx
A
xx
Axf
n
n
.....
2
2
1
1
b). Q are radacini multiple , de exemplu xxxxxQmn
21 , atunci f se poate
scrie sub forma :
xx
B
xx
B
xx
B
xx
A
xx
A
xx
Axf
m
m
m
m
n
n
n
n
222111
1
11
1
11......
c). xQ se poate descompune sub forma :
cxbxacxbxaxQn
222
2112
1 ,
unde 04 11
2
1 cab , 04 22
2
2 cab
atunci f se poate scrie sub forma :
cxbxa
BxA
cxbxa
BxA
cxbxa
BxA
cxbxa
BxAxf
n
nn
n
nn
222
2222
2222
2112
1
1
112211...
Clasa a XII-a - Analiza - 24
Partea I - Primitive
Primitive
Daca QP gradgrad se imparte P la Q si atunci f se poate scrie :
xQ
xRxCxf
unde : xC si xR sunt respectiv catul si restul impartirii .
Pentru determinarea coeficientilor , se aduce la acelasi numitor in membrul drept si se
pune conditia ca numaratorii celor doi membri sa coincida . Se obtine un sistem liniar in care
necunoscutele sunt coeficientii cautati ( metoda coeficientilor nedeterminati ).
Clasa a XII-a - Analiza - 25
Partea I - Primitive
Primitive
Exercitiul nr. 1 :
Sa se calculeze primitivele urmatoarelor functii :
1).
?
231
1dx
xx ,
3
2x ; 2).
?
1
12dx
xx , 0x ;
3).
?1
4
4
dxx
x , 1x ; 4).
?
1
13
dxx
, 1x ;
5).
?
212dx
xx
x , 1x ; 6).
?
1
12
3
dxxx
xx , 0x ;
7).
?1
3dx
x
x , 1x ; 8).
?
1
123
4
dxxxx
x , 1x .
Exercitiul nr. 2 :
Sa se calculeze primitivele urmatoarelor functii :
1).
?32
12
dxxx
, Rx ; 2).
?
1
123
23
dxxxx
xxx , 0;x ;
3).
?
11
12 23
2
dxxxx
xx , 1;x ;
4).
?
231
123
2
dxxxx
x , 1;2 x ;
5).
?
1
124
2
dxxx
x , Rx ; 6).
?
1232
1234
2
dxxxxx
x , Rx ;
7).
?
1
132
7
dxxx
x , 1;0x ; 8).
?
1
1dx
xx , 1x ;
9).
?
321
1dx
xx ,
2
3x ; 10).
?
21
1dx
xxx , ;0x ;
11).
?321
1dx
xxxx , ;0x ;
12).
?1
13dx
x , ;0x ; 13).
?
14
2
dxx
x , Rx ;
Clasa a XII-a - Analiza - 26
Partea I - Primitive
Primitive
14).
?
54
32
2
dxxx
x , Rx ; 15).
?13
2dx
xx
x , ;0x ;
16).
?1
12 2 dx
xx , ;0x .
Exercitiul nr. 3 :
Sa se calculeze primitivele urmatoarelor functii :
1).
?
23
122
dxxx
x , ;2x ; 2).
?
2
12
dxxx
, 0;x ;
3).
?5
12
dxxx
, ;0x ; 4).
?
65
42
dxxx
x , ;3x ;
5).
?
12
3
dxxx
x , ;1x ; 6).
?
3233
2
dxxx
xx , ;1x ;
7).
?21
2dx
xxx , ;2x ;
8).
?
4321
752
dxxxxx
xx , ;4x ;
9).
?
65
952
2
dxxx
xx , 2;x ;
10).
?
321dx
xxx
x , ;3x ;
11).
?2
12
dxxx
, ;1x ; 12).
?123
12
dxxx
, ;1x ;
13).
?
65
123
3
dxxxx
x , ;3x ;
14).
?
312
1dx
xxx ;3x ;
15).
?
4321
12
dxxxxx
xx , ;4x .
Clasa a XII-a - Analiza - 27
Partea I - Primitive
Primitive
Exercitiul nr. 4 :
Sa se calculeze primitivele urmatoarelor functii :
1).
?
11
42 dx
xx , 1x ; 2).
?
143dx
xx , 1x ;
3).
?
11
1322
2
dxxx
xx , 1x ; 4).
?
21
1523
23
dxxx
xxx , 1x ;
5).
?
1
42 2 dx
x
x , 1;1x ; 6).
?
11
2423
23
dxxx
xxx , 1x ;
7).
?
11
18223
23
dxxx
xxx , 1x ; 8).
?
1
232
2
dxxx
xx , 1x ;
9).
?
4222
2
dxxx
x , 2x ; 10).
?
11
8132
43
dxxxx
xx , 1x ;
11).
?
1
2788243
234
dxxx
xxxx , 0x ;
12).
?
2
15223
2
dxxxx
xx , 1x ; 13).
?
23
153
dxxx
x , 2x ;
14).
?1
24dx
xx , 1x ; 15).
?
123
3
dxxx
x , 1x ;
16).
?
13
96522
2
dxxx
xx , 1x ; 17).
?
103
782 2
2
dxxx
xx , 5x ;
18).
?
1
15
dxxx
, 0x ; 19).
?1
122dx
xx , 0x ;
20).
?
12 2
2
dxx
x , 1;1x ; 21).
?
1100
2
dxx
x , 1x ;
22). ?23
2
dx
xx
x , 1x ; 23).
?
321
132 dx
xxx , 1x ;
24).
?
1132 dx
xx
x , 1x ; 25).
?
2
223
dxxxx
x , 1x ;
26).
?
15
2
dxx
x , 1x .
Clasa a XII-a - Analiza - 28
Partea I - Primitive
Primitive
Exercitiul nr. 5 :
Sa se calculeze primitivele urmatoarelor functii :
1).
?1
12
dxxx
, Rx ; 2).
?13
12
dxxx
, Rx ;
3).
?
54
32
2
dxxx
x , Rx ; 4).
?
1
124
2
dxxx
x , Rx ;
5).
?1
16
dxx
, Rx ; 6).
?
21
122
dxxx
, Rx ;
7).
?23
4dx
xx
x , Rx ; 8).
?
4524
4
dxxx
x , Rx ;
9).
?1
2
4
dxxx
x , Rx ; 10).
?
14
45
dxx
xxx , Rx ;
11).
?2
10
4
dxx
x , Rx ; 12).
?
1
14
2
dxx
x , 0x .
Exercitiul nr. 6 :
Sa se calculeze primitivele urmatoarelor functii :
1).
,
12 2 dx
x
x Rx ; 2).
,
1
322 2
23
dxxx
xxx Rx ;
3).
,
1
23222 2
23
dxxx
xxx Rx ; 4).
,
33
6732 2
2
dxxx
xx Rx ;
5).
,
2
12 2 dx
x
x Rx ; 6).
,
52
122 2 dx
xx
x Rx ;
7).
,
1
12 4 dx
x Rx ; 8).
,
222 2 dx
xx
x Rx ;
9).
,
54
12 2 dx
xx
x Rx ; 10).
,
22
12 3
4
dxxx
x Rx ;
11).
,
12 3
5
dxx
x Rx ; 12).
,
1
12 2 dx
xx Rx ;
13).
,
222 2
2
dxxx
x Rx ; 14).
,
1
12 3 dx
xx Rx ;
Clasa a XII-a - Analiza - 29
Partea I - Primitive
Primitive
15).
,
1
252 5 dx
xx
x Rx .
Exercitiul nr. 7 :
Sa se calculeze primitivele urmatoarelor functii :
1).
,
13
2
dxxx
xx ;0x ; 2).
,
13
2
dxxx
xx 0;x ;
3).
,
1234
dxxxxx
x ;0x ; 4).
,
1234
dxxxxx
x 0;1x ;
5).
,
1
132
dxx
x ;1x ; 6).
,
13332
3234
2
dxxxxx
xx
;
2
1x ;
7).
,
2
14234
2
dxxxxx
xx ;1x ;
8).
,
44
122234
2
dxxxxx
xx ;0x ;
9).
,
132
dxxx
x ;1x ; 10).
,
11
122
2
dxxxx
xx ;0x ;
11).
,
12
82422
2
dxxxx
xx ;0x ; 12).
,
8
13
dxx
;2x ;
13).
,
23
122
dxxx
;3x ; 14).
,1
13
dxx
;1x ;
15).
,
312
dxxx
x ;1x ; 16).
,31
2dx
xx
x ;1x ;
17).
,
11
12
dxxxxx
;0x .
Exercitiul nr. 8 :
Sa se calculeze primitivele urmatoarelor functii :
1).
,
11
122
23
dxxx
xxx ;1x ; 2).
,
11
34222
23
dxxxx
xxx ;1x
3).
,
22335
3
dxxx
xx ;0x ; 4).
,
1246
3
dxxx
x ;0x ;
Clasa a XII-a - Analiza - 30
Partea I - Primitive
Primitive
5).
,
11
35423
2
dxxxx
xx ;1x ; 6).
,
542
122 dx
xxx ;2x
7).
,1
124
dxxx
;0x ; 8).
,
521
105322
3
dxxxx
xx ;1x ;
9).
,
11
2323
2
dxxx
xx ;1x .
Exercitiul nr. 9 :
Sa se calculeze primitivele urmatoarelor functii :
1).
,
11
122 2
2
dxxx
xx ;1x ; 2).
,
1
12 3
2
dxxx
x ;0x ;
3).
,
1
22 2 dx
xxx
x ;0x ; 4).
,
11
42 2 dx
xx
x ;1x ;
5).
,41
122 2 dx
xxx ;0x ; 6).
,
1
110 2 dx
xx ;0x .
Exercitiul nr. 10 :
Sa se calculeze primitivele urmatoarelor functii :
1).
,
1
12 22
2
dxxx
x ;0x ; 2).
,
11
59732 22
34
dxxxx
xxx ;1x ;
3).
,
1
14 2 dx
x 1;x ; 4).
,
1
13 3 dx
x ;1x ;
5).
,
1
14 3 dx
x ;1x ; 6).
,1
13
dxxx
;0x ;
7).
,
11
232 22
2
dxxxx
xx ;1x .
Clasa a XII-a - Analiza - 31
Partea I - Primitive
Primitive
Daca functia de sub integrala este de forma :
kk n xxxR ,...,, 1
unde 2, kNk ii , atunci punand txk , unde k este cel mai mic multiplu comun al
ordinelor radicalilor kkk n,...,, 21 se ajunge la oo iinntteeggrraallaa ddee ffuunnccttiiee rraattiioonnaallaa .
Exercitiul nr. 1 :
Sa se calculeze primitivele urmatoarelor functii :
1). ,11 dxxxx 0x 2). ,3 dxxx 0x
3).
,1
3
3
dxx
x 0x 4).
,
43 2
dxx
xx 0x
5).
,
11
4 3dx
xx 0x 6).
,
1dx
xx
x 0x
7).
,3
dxxx
x 1x 8).
,1
133
dxxx
1x
9).
,1
4dx
xx 0x 10).
,
11
1dx
x 1x
Clasa a XII-a - Analiza - 32
Partea I - Primitive
Primitive
11).
,1
3
dxx
x 1x 12).
,
2
1dx
xx
x 2x
13).
,
1
5 2dx
xxx 0x 14).
,
2
143
dxxxx
0x
15).
,11 3
dxxx
x 0x 16).
,
1
13
dxx
xx 0x
17).
,1
13
dxx
0x 18).
,1
dxx
x 0x
19).
,
12112
1dx
xx 0x 20).
,
11
1dx
xx 1x
21).
,313
dxx
x
3
1x 22).
,
2
2
dxx
x 2x
23).
,4
dxx
x 0x 24).
,
2
33
6
dxxx
x 0x
25). ,313 dxx Rx 26).
,1
1dx
xx 0x
27). ,13dxxx 1x 28).
,
1
1dx
x
x 0x
29). ,11 dxxxx 1x 30).
,
11
1
3 2dx
xx 1x
31).
,
1
3 2dx
xxx
x 0x 32).
,
2
23
3
dxxx
xx 1x
33).
,
1
13
dxx
x 0x 34).
,
11
1dx
xx 0x
35).
,112
13
dxxx
1x 36).
,1
2
dxx
x1x
Clasa a XII-a - Analiza - 33
Partea I - Primitive
Primitive
I.
Daca functia de sub integrala este de forma :
n
dcx
baxxR ,
atunci se face substitutia tdcx
baxn
, iar de aici
tca
bdtx
n
n
ajungand in final la o
integrala asociata de functie rationala in t .
Exercitiul nr. 1 :
Sa se calculeze primitivele urmatoarelor functii :
1).
,
11
1dx
xx
x 1x 2).
,
1
11dx
x
x
x 1;0x
3).
,
1
113 dx
x
x
x 0x 4).
,
1
1
1
13 dx
x
x
x 1x
5).
,11
1dx
xx 0x 6).
,
4
224
22
dxx
xx 2;2x
7).
,
11
11dx
xx
xx 1x 8).
,
11
1
3 42dx
xx 1x
9).
,1
2
dxx
x 0x 10).
,
1
1dx
x
xx ;11;x
11).
,
1
13 dx
x
x 1x .
Clasa a XII-a - Analiza - 34
Partea I - Primitive
Primitive
II.
In cazul integralelor de tipul
,
2dx
cbxax
xPm
xPm fiind polinom de grad m
Se scrie :
,
12
2
12
dxcbxax
cbxaxxQdxcbxax
xPm
m
(*)
unde xQm 1
este un polinom de grad 1m cu coeficienti nedeterminati , iar este un
parametru real . Se determina polinomul xQm 1
si numarul prin derivarea identitatii (*) .
III.
In cazul integralelor de tipul :
dx
cbxaxxn 2
1
cu ajutorul substitutiei :
tx
1
aceasta se reduce la tipul precedent .
Clasa a XII-a - Analiza - 35
Partea I - Primitive
Primitive
In cazul integralelor binome :
dxbaxxn pm
, Qpnm ,,
calculul primitivelor functiilor binomiale se reduce la calculul functiilor rationale numai in
urmatoarele cazuri stabilite de Cebisev :
Zp
Se face substitutia :
zxr
unde r este multiplu comun al numitorului lui m si n .
Zn
m
1
Se face substitutia :
zbaxsn
unde s este numitorul lui p .
Zpn
m
1
Se face substitutia :
zbxasn .
Clasa a XII-a - Analiza - 36
Partea I - Primitive
Primitive
Exercitiul nr. 1 :
Sa se calculeze primitivele urmatoarelor functii :
1).
,2
2
3
dxx
x 2;2x 2).
,
4
42
24
dxx
xx Rx
3).
,1
12
dxxx
0x 4).
,1
122
dxxx
0x
5).
,
1
12
dxx
x Rx 6).
,
2
142
dxxx
x 2x
7).
,1
12
dxxx
1x 8).
,
31
122
dxxx
Rx
9).
,1
2
dxx
x 0x 10).
,
221
12
dxxxx
1x
11).
,23
12
dxxxx
2x 12). ,452
dxxx 1x
13).
,
11
122
2
dxxx
x Rx 14). ,2
23dxxx Rx
15).
,122
22dx
xx
x Rx 16).
,
422
3
dxx
x 2;2x
17).
,
21
12
dxxxx
;2x 18).
,4
2
2
dxx
x 2;2x
19).
,45
2
2
dxxx
x 5;1x 20).
,
1
123
dxxx
0x
21).
,123
12
dxxxx
1;
3
1x 22).
,
2
12
dxxxx
0x
23).
dxx32
12
, 3
2x 24).
dx
xx 1
12
, 0x
25).
dxxx 1
12
, 1x 26).
dx
xx 11
122
, Rx
Clasa a XII-a - Analiza - 37
Partea I - Primitive
Primitive
27).
,12
dxxx
0x 28).
,1
2dx
xx 1;0x
29).
,1
2
5
dxx
x 1x 30).
,
52
dxxx
x 2;0x .
Exercitiul nr. 2 :
Sa se calculeze primitivele urmatoarelor functii :
1).
,1
2
2
dxxx
x Rx 2).
,
122
3
dxxx
x 21 x
3).
,
21
125 dx
xxx 0x 4).
,
1
22
2
dxx
x Rx
5).
,
11
12
2
dxxxx
xxx Rx 6).
,
231
12
dxxxx
2x
7).
,14
12
dxxx
Rx 8).
,34
12
dxxx
4;1x
9).
,
12
23
dxx
xx Rx 10).
,
11
12
dxxxx
1x
11).
,
21
12
2
dxx
x Rx 12).
,
1
12
dxxxx
Rx
13).
,22
2
dxx
xx 0x 14).
,
542
54
22
2
dxxxx
xx
Rx
Exercitiul nr. 3 :
Fie ;0a . Sa se calculeze :
1). ,22dxax Rx 2).
,
22
dxx
ax 0x
3).
,22
dxx
ax ax 4). ,22
dxxa aax ;
5). ,222dxaxx Rx 6).
,
1
22 3dx
ax
Rx
Clasa a XII-a - Analiza - 38
Partea I - Primitive
Primitive
7).
,1
22dx
xa ax 8). ,22
dxax ax
Exercitiul nr. 4 ( Duca )
Fie baRba ,, . Sa se calculeze :
1).
dxaxxb
1, bax , 2). dxxbax , bax ,
3). dxxbax , ax 4). dxxbax , bx
Exercitiul nr. 5 ( Duca )
Sa se calculeze :
1).
,13 4
dxx
x 0x 2).
,1 3
2dx
x
x 0x
3).
dx
x
x
3 21
, Rx 4). ,33 3dxxx 3x
5).
,1
dxxx
x 1,0x 6).
dx
x
x
1, 1;1x
7). ,43 32dxxx Rx 8).
,
13
dxx
x 0x
9).
,1
3dx
xx 0x 10).
,
13
3 2
dxx
x 0x
11). ,1 32dxxx Rx 12).
,
13
dxxx
0x
13). ,1 dxx 0x 14).
,1
3dx
x
x 0x
15).
,1
3
3
dxx
x 0x 16). ,
1
1
dx
x Rx
17).
,
1
1
4
3 dx
xx
0x 18). ,523 3
25
dxxx Rx
Clasa a XII-a - Analiza - 39
Partea I - Primitive
Primitive
19).
,1 3
2 2
3
dxxx 1x 20).
,1 3
4 8
5
2
1
dxxx 1x
21). ,43dxxx 0x 22). ,13
2
dxxx 0x
23).
,13
dxx
x 0x 24).
,
1
1
32
3 2dx
xx 0x
25). ,13 23dxxx Rx 26). ,
1
1
3 2
dx
xx 0x
Clasa a XII-a - Analiza - 40
Partea I - Primitive
Primitive
Integralele de tipul
dxcbxaxxR2,
se rationalizeaza prin ssuubbssttiittuuttiiiillee lluuii EEUULLEERR :
Daca ecuatia
02 cbxax are radacinile reale x1 si x2
se face substitutia :
xxtcbxax 1
2
sau
xxtcbxax 2
2
Daca
0a , atunci
se face substitutia :
axtcbxax 2
Daca
0c , atunci
se face substitutia :
cxtcbxax 2
Clasa a XII-a - Analiza - 41
Partea I - Primitive
Primitive
Exercitiul nr. 1 :
Sa se calculeze primitivele urmatoarelor functii :
1).
,
231
12
dxxxx
2).
,221
12
dxxx
3).
,
11
12
dxxxx
4).
,65
12
dxxxx
5).
,
112
dxxxx
x 6).
,
212
2
dxxx
x
7).
,112
122dx
xx 8).
,
11
122
dxxx
9).
,
11
122
dxxx
10). ,2dxxx
11). ,222
dxxx 12).
dx
xxx
xx
1
12
2
13).
.
54
12
dxxx
x
Exercitiul nr. 2 :
Sa se calculeze primitivele urmatoarelor functii :
1).
dxxx 221
12
, 1x 2).
dx
xxx2
11
1,
2
51;0x
3).
dxxxx 42
12
, Rx 4).
dxxxx 1
12
, Rx
5).
dx
xx
x
2107
3, 5;2x 6).
dx
xx 121
12
, 21;0 x
7).
dx
xx
x23
11, 1;1x 8).
xxx
xxx2
2
11
1, Rx
Clasa a XII-a - Analiza - 42
Partea I - Primitive
Primitive
9). dxxxx 5422
, 5;1x 10).
dx
xx
x
43
12
11).
dxxxx 273
12
, 0x 12).
dxxxx 44
12
, 2x
13).
dxxxx 441
12
14).
dxxxx 65
12
Clasa a XII-a - Analiza - 43
Partea I - Primitive
Primitive
Cazul in care functiile au in structura functiile xx cos,sin la puterea intai :
Daca functia de sub semnul integrala este de forma :
xxR cos,sin adica avem : dxxxR cos,sin
unde vuR , este o functie rationala
Atunci folosindu-ne de formulele trigonometrice :
21
22
sin2 x
tg
xtg
x
si
21
21
cos2
2
xtg
xtg
x
prin substitutia universala :
2
xtgt
se poate obtine o integrala asociata de functie rationala in t .
Intr-adevar :
t
tx
21
2sin
,
t
tx
2
2
1
1cos
iar din :
tx arctg2 t
dtdx
21
2
Observatii :
Prezenta functiilor trigonometrice xx cos,sin la puteri mai mari conduce la functii
rationale mai complicate si deci calcule mai greoaie .
Clasa a XII-a - Analiza - 44
Partea I - Primitive
Primitive
Cazul in care functiile au in structura functiile xx cos,sin la puteri mai mari :
In astfel de situatii se recomanda scrierea functiei sub una din formele :
Daca
xsincos,cos1xsincos,sin2
~2
~
xxRxxR
se recomanda substitutia : tx cos
Daca
xcossin,sin1xcossin,cos2
~2
~
xxRxxR
se recomanda substitutia :
tx sin
Daca
xxR cos,sin22
~
atunci se recomanda :
1). Trecerea de la patrate la cosinusuri de argument dublu dupa formulele :
2
2cos1sin
2 xx
,
2
2cos1cos
2 xx
sau
2). Substitutia
ttgx cand arctgtx t
dtdx
21
iar : t
t
xtg
xtgx
2
2
2
2
2
11sin
,
txtgx
2
2
2
2
1
1
1
1cos
Clasa a XII-a - Analiza - 45
Partea I - Primitive
Primitive
Daca
dxxxxRxxRnnnn
2sincos,sincos,sin22
~1212
~
1
atunci se recomanda exprimarea puterilor pare ale lui xx cos si sin in functie de :
xt 2cos
Exercitiul nr. 1 :
Sa se calculeze primitivele urmatoarelor functii :
1).
,cos3
1dx
x ,x 2).
dx
xsin1
12
,
2,
2
x
3).
dxxx 3cos2sin
1, ,x 4).
,
sin2cos2sin
1dx
xxx
6,0
x
5).
,sin1
sindx
x
x
2,
2
x 6).
,
cossin
cossin2
dxxx
xx
4,
4
x
7).
,
cos2sin
3222
dxxx
tgx
ZkkRx2
\
8).
,sincos
124
dxxx
2,0
x 9).
,
cossin
cos3sin222
dxxx
xx
4,
4
x
10).
,
sin21
12
2
dxxaa
a
2,
2
x , unde a este un numar real 10 a .
Exercitiul nr. 2 :
Sa se calculeze primitivele urmatoarelor functii :
1).
,cossin
1dx
xx
2,0
x 2). ,cossin23
dxxx Rx
3). ,sincos23
dxxx Rx 4). ,cossin42
dxxx Rx
Clasa a XII-a - Analiza - 46
Partea I - Primitive
Primitive
5).
,cossin
124
dxxx
2,0
x 6). ,cossin55
dxxx
2,0
x
7).
,cossin
sindx
xx
x
2,0
x 8).
,
cos5sin4
cos3sin2dx
xx
xx
2,0
x
9). ,sin2
dxax RxRa , 10). ,cos2
dxax RxRa ,
11). ,sin212
dxx Rx 12). ,3sin12
dxx Rx
13). ,cos3
dxx Rx 14). ,cossin2
dxxx Rx
15). ,cossin2
dxxx Rx 16). ,cossin22
dxxx Rx
17). ,cossin32
dxxx Rx 18). ,cossin33
dxxx Rx
19). ,sin
cos2
3
dxx
x
2,0
x 20). ,sin
1dx
x
2,0
x
21).
,cos35
1dx
x
2,0
x 22).
,cossin3
1dx
xx 2,0x
23). ,2sinsin dxxx Rx 24).
,sin1
12
dxx
,0x
25).
,
cos2sin3
cossin2
dxxx
xx
2,0
x 26).
,coscos1
sin2
dxxx
x
2,0
x
27).
,cossin
sindx
xx
x
2,0
x 28). ,4
dxxtg
2,0
x
29). ,22
dxxtg
2,0
x 30).
,
cossin
cossin2
dxxx
xx
2,0
x
31). ,3sin2
dxx Rx 32). ,cos212
dxx Rx
33). ,2sin12
dxx Rx 34). ,cos4
dxx Rx
35). ,cos3sin xdxx Rx 36). ,5sin3sin xdxx Rx
37). ,6cos3coscos xdxxx Rx 38). ,cossin22
dxxx Rx
39). ,cossin44
dxxx Rx 40). ,cossin42
dxxx Rx
41). ,sin5
dxx Rx 42). ,cossin32
dxxx Rx
43). ,cos7
dxx Rx 44). ,cossin24
dxxx Rx
45). ,sincos32
dxxx Rx 46).
,cos
sin12
3
dxx
x
2;0
x
Clasa a XII-a - Analiza - 47
Partea I - Primitive
Primitive
47). ,cos
sin4
3
dxx
x
2;0
x 48).
,sincos
13
dxxx
2;0
x
49).
,sincos
133
dxxx
2;0
x 50).
,sincos
144
dxxx
2;0
x
51). ,5
dxxtg
2;0
x 52). ,18 dxxtg
2;0
x
53).
,sin45
1dx
x daca ;0x ; si apoi pentru 2;0x
54).
,
cos2
sin2dx
x
x
2;0
x 55).
,cossin
1dx
xx
2;0
x
56).
,cossin1
1dx
xx
2;0
x 57).
,sin
1dx
tgxx
2;0
x
58).
,cos4sin3
1dx
xx
2;0
x 59).
,3cos2sin
1dx
xx ;x
60).
,cos53
1dx
x ;x 61).
,
cos7sin48
1dx
xx ;x
62).
,
sin3sin2
1dx
xx ;x 63).
,
cos3sin1
1dx
xx ;x
64).
,
cos3cos2
1dx
xx ;x 65).
,
cossin
144
dxxx
2;
2
x
66). ,sin
16
dxx
;0x 67). ,cos1 dxx 2;0x
68). ,cos
sin3
dxx
x
2;0
x 69).
,sin1sin
cos2
dxxx
x
2;0
x
70). ,cos
sindx
x
x
2;0
x 71).
dxxxe
xx
cossin
sin, 0x
72).
dxxxe
xx
cossin
sin,
2;0
x 73).
,
cos2sin6
cos3sin5dx
xx
xx
2;0
x
74).
,lnsin
ln2
cos2sin12
dxxxx
xx
xx
2;1x 75).
,
sincos
cosdx
xxe
xex
x
2;1x
Clasa a XII-a - Analiza - 48
Partea I - Primitive
Primitive
Exercitiul nr. 3 ( Duca ) :
Sa se calculeze primitivele urmatoarelor functii :
1). ,cossin25
dxxx Rx 2).
,cos31
12
dxx
2;
2
x
3). ,cos2
1
dx
x ;0x 4).
,
sin1
12
dxx
2;
2
x
5).
,cossin
155
dxxx
2;0
x 6).
,
cos1
322
dxx
xtg
2;0
x
7). ,5
dxxtg
2;
2
x 8). ,
cos3
1
dx
x
2;
2
x
9).
,sin31
12
dxx
2;
2
x 10). ,
cos
14
dxx
2;
2
x
11).
,2sinsin2
1dx
xx
2;0
x 12). ,cossin
1
dx
xx
2;0
x
13).
,2sin
1dx
x
tgx
2;0
x 14). ,sin
cos4
2
dxx
x
2;0
x
15). ,sin
cos2
dxx
x ;0x 16).
,
cossin
12 dx
xx
2;0
x
17). ,4
dxxctg ;0x 18). ,3cos
cosdx
x
x
2;0
x
19). ,cos
2sin4
dxx
x
2;
2
x 20). ,
sin
2cos4
dxx
x ;0x
21).
,sin
cos12
3
dxx
x ;0x 22).
,
cos2sin
122
dxxx
2;0
x
23). ,cos
1dx
x
2;
2
x 24).
,
cossin
cossin44
dxxx
xx
2;
2
x
Exercitiul nr. 4 ( Duca ) :
Sa se calculeze primitivele urmatoarelor functii :
1). ,sin4
dxx Rx 2). ,2
dxxctg ;0x
Clasa a XII-a - Analiza - 49
Partea I - Primitive
Primitive
3). ,3
dxxtg
2;
2
x 4).
,
cossin
12
dxxx
2;0
x
5). ,sin
cos3
dxx
x ;0x 6). ,
sin
1 dx
x ;0x
7).
dx
x
xx
cos1
cossin2
3
, Rx 8).
,3cos2sin
1dx
xx ;x
9). ,sin
cos3
dxx
x ;0x 10). ,
5
dxxctg
2;0
x
11).
,5cossin2
1dx
xx ;x 12).
,
cos4sin3
cossin222
dxxx
xx Rx
13).
,sin2
1dx
x ;x 14).
,
cos2sin
sin2
dxxx
x
2;0
x
15).
,cossin
166
dxxx
Rx 16).
,
2cos2sin
sin12
dxxx
x
4;0
x
17).
,cos2sin
122
dxxx
Rx 18).
,
sin1
cossin4
dxx
xx Rx
19).
,
cos1
sin1dx
x
x
2;
2
x 20).
,
sin45
1dx
x
2;0
x
21). ,cos
sin5
dxx
x
2;0
x 22).
,cossin
124
dxxx
2;0
x
Exercitiul nr. 5 ( Duca ) :
Sa se calculeze primitivele urmatoarelor functii :
1).
,
cossin
cossin3
dxxx
xx
4;0
x 2). ,2cos
sindx
x
x
4;0
x
3).
,2cos2
cosdx
x
x Rx 4).
,
sin1cos
sin2
dxxx
x
2;
2
x
5). ,cos
sin2
2
dxxtgx
x
2;0
x 6).
,2sin2
sindx
x
x
2;0
x
7).
,
cos2sin4
cossin22
dxxx
xx Rx 8).
,
cossin
153
dxxx
2;0
x
Clasa a XII-a - Analiza - 50
Partea I - Primitive
Primitive
Exercitiul nr. 6 ( Mihalca + Nita ) :
Sa se calculeze primitivele urmatoarelor functii :
1). ,5cos dxx 2). ,2xdxtg 3). ,2dxxtgx
4). ,cos1
dxxx
5).
dxx1cos
12
, 6). ,3sin
12
dxx
7). ,5sinsin xdxx 8). ,cos3cos xdxx 9). xdxx 5cos3sin ,
10). ,4cos
1dx
x 11). ,
8sin
1dx
x 12). ,sin
3dxx
13). ,sincossinsincos dxxxx 14). ,cos5
dxx
15). ,cossin2
dxxx 16). ,cossin23
dxxx 17).
,cos1
12
dxx
18).
,cos1
2sin4
dxx
x 19). ,
cos
sin3
dxx
x 20). ,
3
dxxtgxtg
21). ,42
dxxtgxtg 22).
,
1
12
dxxtg
xtg 23). ,
cos2
dxx
xtg
24). ,sin
2dx
x
xctg 25).
,
1cos
12
dxxtgx
26).
,sin9
cos2
dxx
x
27).
,sin9
2sin2
dxx
x 28).
,
2cos2
cosdx
x
x 29).
,
2cos1
2sin2dx
x
x
30).
,coscos1
sin2
dxxx
x31).
,
12 dxxtgxtg
xtg 32).
,
cossin
cos3sin222
dxxx
xx
33).
,cos2
sin3
dxx
x 34).
,
sin3
1dx
x ;x
35).
,sin54
1dx
x ;x 36).
,
cos35
1dx
x ;x .